例题_直线方程的概念与直线的斜率
2012.11.2第三章 直线与方程、第四章圆的知识点及典型例题
第三章 直线与方程知识点及典型例题1. 直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即k=tan α。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.当[)οο90,0∈α时，0≥k ； 当()οο180,90∈α时，0<k ； 当ο90=α时，k 不存在。
例.如右图，直线l 1的倾斜角α=30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1和l解：k 1=tan30°=33∵l 1⊥l 2 ∴ k 1·k 2 =—1 ∴k 2 =—3例：直线053=-+y x 的倾斜角是( )A.120°B.150°C.60° ②过两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1) 的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
例.设直线 l 1经过点A(m ，1)、B(—3，4)，直线 l 2经过点C(1，m )、D(—1，m +1)， 当(1) l 1/ / l 2 (2) l 1⊥l 1时分别求出m 的值※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。
直线的倾斜角、斜率与直线的方程
8．1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程 题型1 直线的倾斜角与斜率典例 直线l 过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)[条件探究] 若将典例中点P(1,0)改为点P(－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围．解 ∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，3)，∴kAP ＝1－02－(－1)＝13，kBP ＝3－00－(－1)＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，3.冲关针对训练已知线段PQ 两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2，2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________． 答案 －23≤m ≤12 题型2 直线方程的求法典例 求适合下列条件的直线的方程： (1)在y 轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是35；(2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍．解 (1)设直线的倾斜角为α，则sinα＝35.∴cosα＝±45，直线的斜率k ＝tanα＝±34.又直线在y 轴上的截距是－5，由斜截式得直线方程为y ＝±34x －5.即3x －4y －20＝0或3x ＋4y ＋20＝0. (2)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0， 即l 过点(0,0)和(3,2)．∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0. 若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a ＝1.∵l 过点P(3,2)，∴3a ＋2a ＝1. ∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.(3)设直线y ＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tanα＝3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.冲关针对训练根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝1010(0≤α<π)，从而cosα＝±31010，则k ＝tanα＝±13，故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，满足题意． 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k(x －5)，即kx －y ＋(10－5k)＝0.由点线距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k ＝34，故所求直线方程为3x－4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 题型3 直线方程的综合应用 角度1 由直线方程求参数问题典例 (2017·泰安模拟)已知直线l1：ax －2y ＝2a －4，l2：2x ＋a2y ＝2a2＋4，当0<a<2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.答案 12解析 由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a ，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形OMPN 的面积S ＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2)＝a2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．角度2 与直线方程有关的最值问题(多维探究)典例 过点P(2,1)作直线l ，与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求： (1)△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)求直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l 的方程．解 (1)设所求直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a>0，b>0)，则2a ＋1b ＝1. 又∵2a ＋1b ≥22ab ⇒12ab ≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4.此时，直线l 的方程是x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.(2)根据题意，直线斜率存在，设为k ，且k<0，故直线方程为y －1＝k(x －2)．∴A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B(0,1－2k)(k<0)，∴截距之和为2k －1k ＋1－2k ＝3－2k －1k ≥3＋2(－2k )·⎝⎛⎭⎫－1k ＝3＋2 2.此时－2k ＝－1k ⇒k ＝－22.故截距之和最小值为3＋22，此时l 的方程为y －1＝－22(x －2)，即x ＋2y －2－2＝0. [结论探究] 若本典例条件不变，求|PA|·|PB|的最小值及此时直线l 的方程． 解 ∵A⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B(0,1－2k)(k<0)，∴|PA|·|PB|＝1k2＋1·4k2＋4＝2⎣⎡⎦⎤1－k ＋(－k )≥4，当且仅当k ＝－1时等号成立．故|PA|·|PB|最小值为4，此时，直线l 的方程为x ＋y －3＝0.方法技巧 冲关针对训练已知直线l 过点M(1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求： (1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l 的方程． 解 (1)设A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)． 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b ＝1，所以|OA|＋|OB|＝a ＋b ＝(a ＋b)⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·ba ＝4，当且仅当“a ＝b ＝2”时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.(2)设直线l 的斜率为k ，则k<0， 直线l 的方程为y －1＝k(x －1)，则A ⎝⎛⎭⎫1－1k ，0，B(0,1－k)，所以|MA|2＋|MB|2＝⎝⎛⎭⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2＋k2＋1k2≥2＋2k2·1k2＝4.当且仅当k2＝1k2，即k ＝－1时取等号，此时直线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.1.解析 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝mn x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．故选B.2．解析 ∵sinθ＋cosθ＝55，①∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝15， ∴2sinθcosθ＝－45，∴(sinθ－cosθ)2＝95，易知sinθ>0，cosθ<0， ∴sinθ－cosθ＝355，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧sinθ＝255，cosθ＝－55，∴tanθ＝－2，即l 的斜率为－2，故选D.3．解析 由y ＝2－x2得x2＋y2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，2为半径的圆的一部分，如图所示．由题意知直线l 的斜率存在，设过点P(2,0)的直线l 的方程为y ＝k(x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝|2k|1＋k2，弦长|AB|＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k|1＋k22＝22－2k21＋k2，所以S △AOB ＝12×|2k|1＋k2×22－2k21＋k2≤(2k )2＋2－2k22(1＋k2)＝1，当且仅当(2k)2＝2－2k2，即k2＝13时等号成立，结合图可知k ＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝33舍去，故所求直线l 的倾斜角为150°.故选A.4．答案 5解析 易知A(0,0)，B(1,3)，且PA ⊥PB ，∴|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，∴|PA|·|PB|≤|PA|2＋|PB|22＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝5时取“＝”)．一、选择题1．解析 直线斜率为－33，即tanα＝－33，0≤α<π，∴α＝5π6，故选D.2．解析 将直线xcos140°＋ysin40°＋1＝0化成xcos40°－ysin40°－1＝0，其斜率为k ＝cos40°sin40°＝tan50°，倾斜角为50°.故选B.3．解析 由函数y ＝f(x)＝asinx －bcosx 的一条对称轴为x ＝π4知，f(0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1，∴倾斜角为3π4.故选D.4．解析 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan60°＝ 3.故选A.5．解析 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以kAB ＝－kOA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为y －3＝－3(x －1)．故选D.6．解析 将直线Ax ＋By －1＝0化成斜截式y ＝－A B x ＋1B .∵1B ＝－1，∴B ＝－1.又直线3x －y ＝33的倾斜角α＝π3，∴直线Ax ＋By －1＝0的倾斜角为2α＝2π3，∴斜率－A B ＝tan 2π3＝－3，∴A ＝－3，故选B.7．解析 解法一：直线过P(1,4)，代入，排除A 、D ；又在两坐标轴上的截距为正，排除C ，故选B.8．解析 ∵直线ax ＋by ＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b)⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y轴上的截距之和的最小值为4.故选C.9．解析 ∵m ＋2n －1＝0，∴m ＋2n ＝1.∵mx ＋3y ＋n ＝0，∴(mx ＋n)＋3y ＝0，当x ＝12时，mx ＋n ＝12m ＋n ＝12，∴3y ＝－12，∴y ＝－16，故直线过定点⎝⎛⎭⎫12，－16.故选B.10解析 因为点(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0. 欲求m2＋n2的最小值可先求(m －0)2＋(n －0)2的最小值．而(m －0)2＋(n －0)2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n)到原点的距离，如图．当过原点和点(m ，n)的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n)的距离最小，最小值为2.故m2＋n2的最小值为4.故选C. 二、填空题 11．解析 直线l ：ax ＋y ＋3＝0是过点A(0，－3)的直线系，斜率为参变数－a ，易知PQ ，QA ，l 的斜率分别为：kPQ ＝13，kAQ ＝73，kl ＝－a.若l 与PQ 延长线相交，由图可知kPQ<kl<kAQ ，解得－73<a<－13.12．解析 设横截距为a ，则纵截距为12－a ，直线方程为x a ＋y 12－a ＝1，把A(－3,4)代入，得－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4，a ＝9.a ＝9时，直线方程为x 9＋y3＝1， 整理可得x ＋3y －9＝0.a ＝－4时，直线方程为x －4＋y16＝1，整理可得4x －y ＋16＝0.综上所述，此直线方程是x ＋3y －9＝0或4x －y ＋16＝0.13．解析 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k(x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有12×⎪⎪⎪⎪2－2k×2＝2，即⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x －2y ＋2＝0. 综上知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2.14．解析 ①当α＝90°时，斜率k 不存在，故①错误；②倾斜角的正切值为－1时，倾斜角为135°，故②正确；③直线AB 与x 轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°，故③正确；④直线过定点(1,2)，斜率为1，又4－23－1＝1，故直线必过点(3,4)，故④正确；⑤斜率为34的直线有无数条，所以直线不一定过(1,1)与(5,4)两点，故⑤错误． B 级三、解答题15．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0. 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1.∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，∴a ≤－1.综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]． 16．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S(O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解 (1)证明：直线l 的方程可化为k(x ＋2)＋(1－y)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)． (2)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围为[0，＋∞)．(3)由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B(0,1＋2k)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0. ∵S ＝12·|OA|·|OB|＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k|＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12， ∴Smin ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
直线的倾斜角和斜率,直线方程
直线的倾斜角和斜率，直线方程一、直线的倾斜角和斜率1．直线的倾斜角概念的注意点：1）注意旋转方向：逆时针2）规定平行x轴（或与x轴重合）的直线倾斜角为0°3）直线倾斜角的范围是0°≤<180°2．直线的倾率：直线的倾斜角的正切值tan（倾斜角不为90°时）。
概念注意点：1）倾斜角为90°的直线无斜率2）斜率k可以是任何实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但不是每条直线都有斜率3）=0°时，k=0；0°<<90°时，k>0；=90°时，k不存在；90°<<180°时，k<0。
3．斜率公式：设直线l的倾斜角为(≠90°)，P1(x1，y2)，P2(x2，y2)(x1≠x2)是直线l上不同两点，直线l的斜率为k，则：k=tan=，当=90°时，或x1=x2时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在。
例1．求过A(-2，0)，B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角。
解：k==-1，即tan=-1，∵0°≤<180°，∴=135°。
点评：已知直线的斜率，可以直接得出直线的倾斜角，但要注意角的范围。
例2．设直线l的斜率为k，且-1<k<1，求直线倾斜角的范围。
解法1：当-1<k<0时，∈()，则，当k=0时，=0，当0<k<1时，∈(0，)，则0<<解法2：作k=tan，∈[0，π)时的图形：由上图可知：-1<k<1时，∈[0，）（）。
点评：1、当直线的斜率在某一区间内时，要注意对倾斜角范围的讨论。
2、利用正切函数图像中正切来表示倾斜角和斜率关系也是一种很好的方法。
二、直线方程的四种形式1．两个独立的条件确定一条直线，常见的确定直线的方法有以下两种（1）由一个定点和确定的方向可确定一条直线，这在解析几何中表现为直线的点斜式方程及其特例斜截式方程。
直线的倾斜角、斜率与直线的方程
直线的倾斜角、斜率与直线的方程一、基础知识1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(3)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α)2(πα≠，则斜率k ＝tan α.(2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y －y 0＝k (x －x 0)不含垂直于x 轴的直线斜截式y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式x a ＋y b＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面内所有直线都适用二、常用结论特殊直线的方程(1)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于x 轴的方程为x ＝x 1；(2)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于y 轴的方程为y ＝y 1；(3)y 轴的方程为x ＝0；(4)x 轴的方程为y ＝0.考点一直线的倾斜角与斜率[典例](1)直线2x cos α－y －3＝0])3,6[(ππα∈的倾斜角的取值范围是()A.3,6[ππ B.3,4[ππ C.]2,4[ππ D.]32,4[ππ(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．[解析](1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈]3,6[ππ，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2·cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．又θ∈[0，π)，所以θ∈]3,4[ππ，即倾斜角的取值范围是3,4[ππ.(2)设PA 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线PA 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由PA 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3]．故直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．[答案](1)B(2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)[变透练清]1.(变条件)若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点A (cos θ，sin 2θ)，B (0,1)，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是________．解析：由题意知cos θ≠0，则斜率k ＝tan α＝sin 2θ－1cos θ－0＝－cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直线AB 的倾斜角的取值范围是]4,0(π∪),43[ππ.答案：4,0(π∪),43[ππ.2.(变条件)若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上，∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是]3,31[.答案：]3,31[3．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：4考点二直线的方程[典例](1)若直线经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，则该直线的方程为_____．(2)若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为_______．(3)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为_______．[解析](1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.②当横截距、纵截距都不为零时，设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为 3.又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0.(3)设C (x 0，y 0)，则M )22,25(00-+y x ，N )23,27(00++y x .因为点M 在y 轴上，所以5＋x 02＝0，所以x 0＝－5.因为点N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3，即C (－5，－3)，所以M 25,0(-，N (1,0)，所以直线MN 的方程为x1＋y －52＝1，即5x －2y －5＝0.[答案](1)x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0(2)3x －y ＋6＝0(3)5x －2y －5＝0[题组训练]1．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是22的直线方程是________________．解析：由题知，倾斜角为π4或3π4，所以斜率为1或－1，直线方程为y －2＝x －1或y －2＝－(x －1)，即x －y＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝02．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________________．解析：设直线方程的截距式为x a ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a ＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x 2＋1＋y2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.答案：2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0考点三直线方程的综合应用[典例]已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA ―→|·|MB ―→|取得最小值时直线l 的方程．[解]设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA ―→|·|MB ―→|＝－MA ―→·MB ―→＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b ))12(ba +－5＝2b a ＋2ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.[解题技法]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．[题组训练]1．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为()A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b ))12(ba +＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.2．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与A (－1,0)，B (1,0)两点连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是()A ．[－6，6] B.)66,(--∞∪),66[+∞C.]66,(--∞∪),66[+∞ D.]22,22[-解析：选C设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·y x －1＝3，即y 2＝3x 2－3.－my ＋3m ＝0，2＝3x 2－3，得)31(2-mx 2＋23m x ＋6＝0(m ≠0)，则Δ＝2)32(m －24)31(2-m≥0，即m 2≥16，解得m ≤－66或m ≥66.∴实数m 的取值范围是66,(--∞∪),66[+∞.[课时跟踪检测]1．(2019·合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是()A.33B.3C ．－3D ．－33解析：选A设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是()A.3x －y ＋1＝0B.3x －y －3＝0C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝0解析：选D由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.3．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为()A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选C由题知M (2,4)，N (3,2)，则中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.4．方程y ＝ax －1a表示的直线可能是()解析：选C当a ＞0时，直线的斜率k ＝a ＞0，在y 轴上的截距b ＝－1a＜0，各选项都不符合此条件；当a ＜0时，直线的斜率k ＝a ＜0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＞0，只有选项C 符合此条件．故选C.5．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为()A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：选C 因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则()A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D对于直线mx ＋ny ＋3＝0，令x ＝0得y ＝－3n ，即－3n＝－3，n ＝1.因为3x －y ＝33的斜率为60°，直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角是直线3x －y ＝33的2倍，所以直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角为120°，即－mn＝－3，m ＝ 3.7．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B－y ＝k －1，－x ＝2k＝k k －1，＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝k k －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．8．若直线l ：kx －y ＋2＋4k ＝0(k ∈R)交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，则当△AOB 的面积取最小值时直线l 的方程为()A ．x －2y ＋4＝0B ．x －2y ＋8＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选B由l 的方程，得A )0,42(k k +-，B (0,2＋4k )－2＋4kk ＜0，＋4k ＞0，解得k ＞0.因为S ＝12|OA |·|OB |＝12|2＋4kk |·|2＋4k |＝12·(2＋4k )2k ＝12)16416(++kk ≥12(2×8＋16)＝16，当且仅当16k ＝4k ，即k ＝12时等号成立．此时l 的方程为x －2y ＋8＝0.9．以A (1,1)，B (3,2)，C (5,4)为顶点的△ABC ，其边AB 上的高所在的直线方程是________________．解析：由A ，B 两点得k AB ＝12，则边AB 上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y －4＝－2(x －5)，即2x ＋y －14＝0.答案：2x ＋y －14＝010．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为____________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0.答案：4x －3y －4＝011．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是______________．解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，直线l 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式得k >12或k <－1.答案：(－∞，－1)∪),21(+∞12．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]13．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4))34(+k＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.。
直线的一般式方程斜率
直线的一般式方程斜率
直线的一般式方程斜率：k=(y2-y1)/(x2-x1)
直线的斜率：斜率，亦称“角系数”，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度。
一条直线与某平面直角坐标系横轴正半轴方向的夹角的正切值即该直线相对于该坐标系的斜率。
如果直线与x轴垂直，直角的正切值无穷大，故此直线不存在斜率。
当直线L的斜率存在时，对于一次函数y=kx+b(斜截式)，k即该函数图像(直线)的斜率。
定义为：由一条直线与右边X轴所成的角的正切。
k=tanα=(y2-y1)/(x2-x1)或(y1-y2)/(x1-x2)直线斜率的相关为：
当直线L的斜率不存在时，斜截式y=kx+b当k=0时y=b；当直线L的斜率存在时，点斜式y2-y1=k(X2-X1)；当直线L在两坐标轴上存在非零截距时，有截距式X/a+y/b=1；对于任意函数上任意一点，其斜率等于其切线与x轴正方向的夹角，即tanα
斜率计算:ax+by+c=0中，k=-a/b
直线斜率公式:k=(y2-y1)/(x2-x1)
两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1:k1*k2=-1
当k>0时，直线与x轴夹角越大，斜率越大；当k<0时，直线与x轴夹角越大，斜率越小。
数轴上的基本公式 直线方程的概念与直线的斜率知识精讲 B 试题
卜人入州八九几市潮王学校数轴上的根本公式直线方程的概念与直线的斜率知识精讲一.本周教学内容：§数轴上的根本公式§平面直角坐标系中的根本公式§直线方程的概念与直线的斜率§直线方程的几种形式【教学目的】1.通过对数轴的复习，理解实数和数轴上的点的对应关系，理解实数运算在数轴上的几何意义。
掌握数轴上两点间间隔公式，掌握数轴上的向量加法的坐标运算。
通过讨论得出平面上两点间间隔公式及线段中点坐标公式。
2.在平面直角坐标系中，结合图形，探究确定直线位置的几何要素。
理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握公式ky yx x=--2121的应用。
3.理解并掌握直线方程的几种形式及它们之间的互相转化。
理解在直角坐标系中，平面上的直线与关于x，y 的二元一次方程的对应关系。
二、重点、难点：1.重点：理解和掌握数轴上的根本公式；平面上两点间间隔公式和中点坐标公式、坐标法的应用；理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握两点的连线的斜率公式；几种形式直线方程的推导，其中点斜式是重点中的重点；根据所给条件灵敏选取适当的形式和方法，纯熟地求出直线的方程。
2.难点：对各个概念的正确理解及根本公式的探究；平面上两点间间隔公式和中点坐标公式的推导；使用坐标法证明几何问题时坐标系的建立；斜率的概念和两点的连线的斜率公式的推导；清楚各种形式直线方程的局限性，把握求直线方程的灵敏性，运用数形结合的思想。
三.教学过程： 〔一〕数轴上的根本公式 1.根底概念：〔1〕数轴：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系。
实数集和数轴上的点之间是一一对应关系。
假设点P 与实数x 对应，那么称点P 的坐标为x ，记作P x ()。
〔2〕向量：既有大小又有方向的量通常叫做位移向量，本书简称为向量。
从点A 到点B 的向量，记作AB →，点A 叫做向量AB →的起点，点B 叫做向量AB →的终点。
高考数学直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式专项训练
高考数学直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式专项训练一. 教学内容：直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式［知识点］1. 直线的方程和方程的直线： 定义：（1）以一个方程f （x ，y ）＝0的解为坐标的点都在直线l 上。
（2）直线l 上的点的坐标都是方程f （x ，y ）＝0的解。
满足（1）（2）的方程f （x ，y ）＝0是直线l 的方程，同时称直线l 为方程f （x ，y ）＝0的直线。
2. 直线的倾斜角：定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕交点逆时针旋转与直线重合时，所转过的最小正角为直线倾斜角。
规定：当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°。
范围：0°≤α＜180° 注意：（1）定义分两部分：一部分是与x 轴相交，另一部分与x 轴平行。
（2）与x 轴相交的定义中，应理解三个地方：①x 轴绕交点旋转；②逆时针方向；③最小正角。
（3）应特别注意倾斜角的范围［0，π）。
（4）任何一条直线有唯一倾斜角，表示直线的倾斜程度，但倾斜角为α的直线有无穷多条。
3. 直线的斜率：定义：倾斜角不是90°的直线，其倾斜角的正切，叫做这条直线的斜率。
符号：常用k 表示，即k ＝tan α。
注意：（1）所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率。
（）由正切的单调性可知，单增，，时单增，两个单2απαππ∈⎛⎝ ⎫⎭⎪∈022[)调区间。
（3）当倾斜角为90°时斜率不存在，但直线存在。
4. 过两点的直线斜率公式：公式推导：如图，已知直线l 过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），倾斜角为α，求斜率k 。
yx O α α P 1 P 2yx Oα α P 1 P 2Pyx O α α P 2 P 1yx Oα P 2 P 1P()作或，则，OP P P P P P x x y y →=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=--→→12211212∴=--=--tan αy y x x y y x x 12122121即：k y y x x y y x x =--=--12122121注意：（1）斜率公式与点的顺序无关。
2015届高考数学总复习第七章 第一节直线的斜率与直线方程课件 理
答案：(1)D
(2)C (3)A
π 5π 3 (4)－2 (5)0，6∪ 6 ，π
点评：(1)直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为 90° ，直线 垂直于 x 轴． (2)倾斜角和斜率的变化关系，请结合 y＝ tan
C．4，－3
D．4,3
(3)直线 l1 与直线 l2 关于 x 轴对称，l1 的斜率是－ 7，则 l2 的 斜率是( ) A. 7 7 B．－ 7 7 C. 7 D．－ 7
(4)从直线 l 上的一点 A 到另一点 B 的纵坐标增量是 3，横坐 标增量是－2，则该直线的斜率是________． (5) 直 线 xcos α ＋ 3 y ＋ 2 ＝ 0 的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是 __________________．
(2)因为直线 ax＋y＋1＝0 过定点 C(0，－1)，当直线处在 AC 3＋1 2＋1 与 BC 之间时， 必与线段 AB 相交， 应满足－a≥ 2 或－a≤ ， －3 即 a≤－2 或 a≥1.故选 D.
答案：(1)D (2)D
点评：(1)斜率与倾斜角的范围之间不能想当然，要根据 具体情况而定；(2)涉及求 的最大(小)值或取值范
(2)设 P(x，y)，则由 kAP＝2，kBP
＝－2，得 y－2 ＝－2， x－3
y－2 ＝2， x＋1
2x－y＋பைடு நூலகம்＝0， 即 2x＋y－8＝0，
x＝1， 解得 y＝6.
所以点 P 的坐标为(1,6)．
(3)设直线 l 的倾斜角为 α，则直线 AB 的倾斜角为 2α， 3－－ 3 则由题意可知 tan 2α＝ ＝－ 3， － 3－ 1 所以 2α＝120° ，解得 tan α＝ 3，即直线 l 的斜率为 3. 答案：(1)(－2,0) (2)(1,6) (3) 3
高考数学大一轮复习 第八章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线方程
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对点训练 △ABC 的三个顶点为 A(－3,0)，B(2,1)， C(－2,3)，求： (1)BC 所在直线的方程； (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程； (3)BC 的垂直平分线 DE 的方程．
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【解】 (1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(－2,3)两点， 由两点式得 BC 的方程为3y－－11＝－x－2－22，即 x＋2y－4＝ 0. (2)设 BC 中点 D 的坐标(x，y)，则 x＝2－2 2＝0，y＝1＋2 3＝2. BC 边的中线 AD 过点 A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式 得 AD 所在直线方程为－x3＋2y＝1，即 2x－3y＋6＝0.
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2．斜率公式
(1)直线 l 的倾斜角为 α≠90°，则斜率 k＝_t_a_n_α__.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1≠x2，则 l 的 y2－y1
斜率 k＝__x_2－__x_1__.
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4
二、直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式 斜截式
＝
.
【答案】 －
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4．一条直线经过点 A(2，－3)，并且它的倾斜角等于直
线
y＝
1 3x
的倾斜角的
2
倍，则这条直线的一般式方程
是
，斜截式方程是
．
【答案】 3x－y－2 3－3＝0 y＝ 3x－2 3－3
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 38 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习第七章平面解析几何考点知识总结38 直线的倾斜角与斜率、直线的方程高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，中、低等难度考纲研读1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式2．能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直3．掌握确定直线位置的几何要素4．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系一、基础小题1．直线x sin π7＋y cosπ7＝0的倾斜角α是()A．－π7B．π7 C.5π7D．6π7答案D解析 ∵tan α＝－sin π7cos π7＝－tan π7＝tan 6π7，α∈[0，π)，∴α＝6π7.2．已知直线l 过点(0,3)且与直线x ＋y －1＝0垂直，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －3＝0B ．x －y ＋3＝0C ．x ＋y －2＝0D ．x －y －2＝0答案 B解析 因为直线l 与直线x ＋y －1＝0垂直，所以k l ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0.故选B.3．已知直线l 经过两点O (0,0)，A (1，3)，直线m 的倾斜角是直线l 的倾斜角的两倍，则直线m 的斜率是( )A ．－3B ．－33 C.33 D ． 3答案 A解析 依题意k OA ＝3－01－0＝3，所以直线l 的倾斜角为π3，所以直线m 的倾斜角为2π3，所以直线m 的斜率为tan 2π3＝－ 3.故选A.4．在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0的图象有可能是( )答案 B解析 当a ≠0，b ≠0时，两直线在x 轴上的截距符号相同．故选B.5．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab >0，bc <0B ．ab >0，bc >0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0答案 A解析 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将直线方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b <0且－c b >0，故ab >0，bc <0.6．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则该点处切线的倾斜角α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，5π6 答案 C解析 因为y ′＝3x 2－3≥－3，即切线斜率k ≥－3，所以切线的倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π. 7．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D．(－∞，＋∞)答案C解析令x＝0，得y＝b2，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b2|－b|＝14b2，且b≠0，14b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．8．(多选)已知直线l过点P(2,4)，在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的方程可能为()A．x－y＋2＝0 B．x＋y－6＝0C．x＝2 D．2x－y＝0答案BD解析当直线过原点时，斜率等于4－02－0＝2，故直线的方程为y＝2x，即2x－y＝0.当直线不过原点时，设直线的方程为x＋y＋m＝0，把P(2,4)代入直线的方程得m＝－6，故求得的直线方程为x＋y－6＝0.综上，满足条件的直线方程为x＋y－6＝0或2x－y＝0.故选BD.9．(多选)已知直线l过点P(1,2)，且A(2,3)，B(4，－5)到l的距离相等，则直线l 的方程是()A．4x＋y－6＝0 B．x＋4y－6＝0C．3x＋2y－7＝0 D．2x＋3y－7＝0答案AC解析由已知条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，当直线l∥AB时，因为AB 的斜率为3＋52－4＝－4，所以直线l 的方程是y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0；当直线l 经过线段AB 的中点(3，－1)时，直线l 的方程是y ＋12＋1＝x －31－3，即3x ＋2y －7＝0，所以所求直线l 的方程为3x ＋2y －7＝0或4x ＋y －6＝0.故选AC.10．已知两点A (3,2)，B (8,12)，则直线AB 的一般式方程为________．答案 2x －y －4＝0解析 ∵A (3,2)，B (8,12)，∴过A ，B 的直线方程为y －212－2＝x －38－3，整理，得2x －y －4＝0.11．过点A (2,1)，B (m,3)的直线的倾斜角α的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，则实数m 的取值范围是________．答案 (0,4)解析 当m ＝2时，直线的倾斜角为π2，满足题意；当m ≠2时，直线AB 的斜率为3－1m －2，所以3－1m －2>tan π4＝1或3－1m －2<tan 3π4＝－1，所以4－m m －2>0或m m －2<0，解得2<m <4或0<m <2.综上，实数m 的取值范围是0<m <4.12．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________，四边形面积的最小值是________．答案 12154解析 直线l 1可写成a (x －2)＝2(y －2)，直线l 2可写成2(x －2)＝a 2(2－y )，所以直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154.当a ＝12时，四边形的面积最小，最小值为154.二、高考小题本考点在近三年高考中未涉及此题型．三、模拟小题13．(2022·安徽六安二中期末)已知直线l 的倾斜角为α，若cos α＝－45，则直线l 的斜率为( )A.34 B ．43 C ．－34 D ．－43答案 C解析 ∵0≤α<π，cos α＝－45，∴sin α＝35，tan α＝－34.故选C.14．(2022·湖北宜昌高三阶段考试)已知直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2,1)，则过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线的方程是( )A ．2x ＋y －1＝0B ．2x ＋y ＋1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．x ＋2y ＋1＝0答案 B解析 把A (2,1)坐标代入两条直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0，得2a 1＋b 1＋1＝0，2a 2＋b 2＋1＝0，∴2(a 1－a 2)＝b 2－b 1，过点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线的方程是y －b 1b 2－b 1＝x －a 1a 2－a 1，∴y －b 1＝－2(x －a 1)，则2x ＋y －(2a 1＋b 1)＝0，∵2a 1＋b 1＋1＝0，∴2a 1＋b 1＝－1，∴所求直线的方程为2x ＋y ＋1＝0.故选B.15．(2022·温州模拟)已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线的方程是( )A ．x ＋y －3＝0B ．x －3y －2＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0答案 D解析 直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点为M (2,0)．设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝2，则tan(α＋45°)＝tan α＋tan45°1－tan αtan45°＝2＋11－2＝－3，故得到的直线的方程是y －0＝－3(x －2)，可化为3x ＋y －6＝0.故选D.16．(2022·广东惠州质检)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )A ．－1＜k ＜15B ．－1＜k ＜12C ．k ＞15或k ＜－1D ．k ＜－1或k ＞12答案 D解析 设直线l 的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线l 在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k ＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12.17．(多选)(2022·江苏省江阴高级中学期中)下列说法正确的是( )A．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3,2)B．直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2C．直线3x＋y＋1＝0的倾斜角为60°D．过点(－1,2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线的方程为2x＋y＝0答案ABD解析y＝ax－3a＋2(a∈R)可化为y－2＝a(x－3)，则直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过点(3,2)，故A正确；令x＝0，则y＝－2，即直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2，故B 正确；3x＋y＋1＝0可化为y＝－3x－1，则该直线的斜率为－3，即倾斜角为120°，故C错误；设过点(－1,2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为2x＋y＋m＝0，将点(－1,2)代入，得－2＋2＋m＝0，解得m＝0，则过点(－1,2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线的方程为2x＋y＝0，故D正确．故选ABD.18．(多选)(2022·河北省张家口市月考)已知直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a ∈R，下列说法正确的是()A．当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直B．若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0C．直线l过定点(0,1)D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等答案AC解析对于A，当a＝－1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，显然与x＋y＝0垂直，所以正确；对于B，若直线l与直线x－y＝0平行，可知(a2＋a＋1)×(－1)＝1×(－1)，解得a＝0或a＝－1，所以不正确；对于C，当x＝0时，有y＝1，所以直线l过定点(0,1)，所以正确；对于D，当a＝0时，直线l的方程为x－y＋1＝0，在x轴、y轴上的截距分别是－1,1，所以不正确．故选AC.19．(2022·新高考八省联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________.答案13－3解析如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系.设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tanθ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，故k OA＝tan(θ－45°)＝tanθ－tan45°1＋tanθtan45°＝2－1 1＋2＝13，k OC＝tan(θ＋45°)＝tanθ＋tan45°1－tanθtan45°＝2＋11－2＝－3.20．(2022·广西南宁高三摸底考试)设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的最小值是________，最大值是________．答案－22解析b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．故b的最小值为－2，最大值为2.21．(2022·银川模拟)直线l 的倾斜角是直线4x ＋3y －1＝0的倾斜角的一半，若l 不过坐标原点，则l 在x 轴与y 轴上的截距之比为________．答案 －12 解析 设直线l 的倾斜角为θ.所以tan2θ＝－43.2tan θ1－tan 2θ＝－43，所以tan θ＝2或tan θ＝－12，由2θ∈[0，π)知，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.所以tan θ＝2.设l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，所以tan θ＝－b a ，即a b ＝－1tan θ＝－12. 22．(2022·湖南株洲高三模拟)已知A (－1,0)，B (0，2)，直线l ：2x －2ay ＋3＋a ＝0上存在点P ，满足|P A |＋|PB |＝5，则l 的倾斜角的取值范围是________________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析 直线l ：2x －2ay ＋3＋a ＝0可化为a (－2y ＋1)＋2x ＋3＝0，则直线l 必过定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12.又|AB |＝5，|P A |＋|PB |＝5，∴点P 在线段AB 上，∴直线l 与线段AB 必有一个交点P .∵k QA ＝12－0－32＋1＝－1，k QB ＝2－120＋32＝1，∴直线QA ，OB 的倾斜角分别为3π4，π4.又直线l 不能表示斜率为0的直线，∴如图所示，直线l 位于QA 与QB 之间⎝ ⎛⎭⎪⎫包含边界，不含y ＝12，∴直线l 的倾斜角的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2022·内蒙古赤峰二中模拟)已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2，－4)，B (2,4)，C (5，－1)．(1)求边AB 上的中线所在直线的一般式方程；(2)求边AB 上的高所在直线的一般式方程．解 (1)∵A (－2，－4)，B (2,4)，∴AB 的中点为O (0,0)，∴边AB 上的中线CO 的斜率为k ＝－15，∴边AB 上的中线所在直线的一般式方程为x ＋5y ＝0.(2)∵A (－2，－4)，B (2,4)∴k AB＝4－(－4)2－(－2)＝2，故边AB上的高所在直线的斜率为k＝－12，由点斜式得，边AB上的高所在直线方程为y＋1＝－12(x－5)，∴边AB上的高所在直线的一般式方程为x＋2y－3＝0.2．(2022·山东菏泽三中模拟)已知直线y＝－33x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的5倍，分别求满足下列条件的直线l的方程．(1)过点P(3，－4)；(2)在x轴上的截距为－2；(3)在y轴上的截距为3.解设直线y＝－33x＋5的倾斜角为α，则斜率k＝tanα＝－33，∴α＝150°，故所求直线l的倾斜角为30°，斜率k′＝33.(1)过点P(3，－4)，由点斜式方程得y＋4＝33(x－3)，∴y＝33x－3－4.(2)在x轴上的截距为－2，即直线l过点(－2,0)，由点斜式方程得y －0＝33(x ＋2)，∴y ＝33x ＋233.(3)在y 轴上的截距为3，由斜截式方程得y ＝33x ＋3.3. (2022·安徽亳州模拟)如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x上时，求直线AB 的方程．解 由题意可得k OA ＝tan45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，直线l OB ：y ＝－33x .设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线，得⎩⎨⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.4．(2022·云南丽江质检)已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 恒过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解 (1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎨⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1.所以无论k 取何值，直线l 恒过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎨⎧ －1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意． 综上所述，k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得 A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎨⎧ －1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0.由S ＝12|OA |·|OB |＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，当且仅当k >0且4k ＝1k ，即k ＝12时，“＝”成立． 所以S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。