直线方程的概念与直线的斜率教案
直线的倾斜角和斜率--教案二：第一课时
直线的倾斜角和斜率--教案二：第一课时●教学目标(一)教学知识点1.“直线的方程”与“方程的直线”的概念.2.直线的倾斜角和斜率.3.斜率公式(二)能力训练要求1.了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念.2.理解直线的倾斜角和斜率的定义.3.已知直线的倾斜角，会求直线的斜率.4.已知直线的斜率，会求直线的倾斜角.(三)德育渗透目标1.认识事物之间的相互联系.2.用联系的观点看问题.●教学重点直线的倾斜角和斜率概念.●教学难点斜率概念理解与斜率公式.●教学方法学导式本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手，引入直线的方程与方程的直线概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法.引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是由于进一步研究直线方程的需要.在直线倾斜角和斜率学习过程中，要引导学生注重导求倾斜角与斜率的相互联系，以及它们与三角函数知识的联系.在对倾斜角及斜率这两个概念进行辨析时，应以倾斜角与斜率的相互变化作为突破口.●教具准备投影片三张第一张：“直线的方程”与“方程的直线”概念（记作§7.1.1 A）第二张：斜率公式推导过程（记作§7.1.1 B）第三张：本节例题（记作§7.1.1 C）●教学过程Ⅰ.课题导入［师］在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾，一次函数的图象有何特点?［生］一次函数形如y＝kx＋b，它的图象是一条直线.［师］如果我们现在对于一给定函数y＝2x＋1，如何作出它的图象.［生］由于两点确定一条直线，所以在直线上任找两点即可.［师］这两点与函数式y＝2x＋1有何关系?［生］这两点就是满足函数式的两对x，y值.［师］好，这一同学回答的完全正确.从上述作图过程可以看出，满足函数式y＝2x＋1的每一对x，y的值都是函数y＝2x＋1的图象上的点，也就是一条直线上的点；同样，这条直线上的每一点的坐标都满足函数式y＝2x＋1.因此，我们可以得到这样一个结论：一般地，一次函数y＝kx＋b 的图象是一条直线，它是以满足y ＝kx ＋b 的每一对x 、y 的值为坐标的点构成的.由于函数式y ＝kx ＋b 也可以看作二元一次方程.所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.［师］有了上述基础，我们也就不难理解“直线的方程”和“方程的直线”的基本概念. Ⅱ.讲授新课1.直线方程的概念：(给出投影片§7.1.1 A)以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.［师］在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题.为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率.下面，请同学们通过自学了解直线的倾斜角与斜率的有关概念，并注意它们的变化范围.2.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.［师］因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0°≤α＜1８0°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示. 为使大家巩固倾斜角和斜率的概念，我们来看下面的概念辨析题.关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的.A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；C.平行于x 轴的直线的倾斜角是0或π；D.两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等.E.直线斜率的范围是(－∞，＋∞).［生］上述说法中，E 正确，其余均错误，原因如下：A.与x 轴垂直的直线倾斜角为2π，但斜率不存在；B.举反例说明，120°＞30°，但ta n120°＝－3＜tan30°＝33；C.平行于x 轴的直线的倾斜角为0；D.如果两直线的倾斜角都是2π，但斜率不存在，也就谈不上相等.［师］通过上面的练习，我们可以总结出如下几点(板书)说明：①当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜1８0°；③倾斜角是90°的直线没有斜率.［师］下面我们对于“两点确定一条直线”这一事实，研究怎样用两点的坐标来表示直线的斜率.3.斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2（x 2，y 2）的直线的斜率公式：k ＝1212x x y y --（x 1≠x 2） (给出投影片§7.1.1 B)推导：设直线P 1P 2的倾斜角是α，斜率是k ，向量21P P 的方向是向上的(如上图所示).向量21P P 的坐标是(x 2－x 1，y 2－y 1).过原点作向量21P P OP =，则点P 的坐标是(x 2－x 1，y 2－y 1)，而且直线OP 的倾斜角也是α，根据正切函数的定义，tan α＝1 212x x y y --（x 1≠x 2）即k ＝1212x x y y --（x 1≠x 2）同样，当向量12P P 的方向向上时也有同样的结论.［师］下面通过例题讲评逐步熟悉斜率公式.4.例题讲解：［例1］如图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求l 1、l 2的斜率.分析：对于直线l 1的斜率，可通过计算tan30°直接获得，而直线l 2的斜率则需要先求出倾斜角α2，而根据平面几何知识，α2＝α1＋90°，然后再求tan α2即可.解：l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33，∵l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l 2的斜率k 2＝tan120°＝tan （1８0°－60°）＝－tan60°＝－3.评述：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定.［例2］直线经过点A (sin70°，cos70°)，B （cos ４0°，sin ４0°），则直线l 的倾斜角为( )A.20°B.４0°C.50°或70°D.120°参考公式：sin α－sin β＝2cos 2βα+sin 2βα-，cos α－cos β＝－2sin 2βα+ｓi ｎ2βα-. 分析：若想求出l 的倾斜角，则应先由斜率公式求出l 的斜率.思路较为明确，但关键在于运用斜率公式后三角函数的变形.考虑到这一点，题目给出两个参考公式，但仍对学生解题的灵活性有一定要求，其中，若想利用参考公式，需要对分子、分母进行函数名的统一、希望给予学生一定的启示.解：设l 的倾斜角为α，则tan α＝?-??-?40cos 70sin 40sin 70cos 3)10sin(30sin 2)10sin(30cos 240cos 20cos 40sin 20sin -=?-?-?-?=?-??-?=又α∈［0，π］∴α＝120°故选D.［师］接下来，我们通过练习来熟悉已知直线的倾斜角求斜率，并明确倾斜角变化时，斜率的变化情况.Ⅲ.课堂练习1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)α＝0°；（2）α＝60°(3)α＝90°；（４）α＝43π 分析：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率.解：(1)∵tan0°＝0∴倾斜角为0°的直线斜率为0；(2)∵tan60°＝3∴倾斜角为60°的直线斜率为3；(3)∵tan90°不存在∴倾斜角为90°的直线斜率不存在；(4)∵tan43π＝tan （π－4π）＝－tan 4π＝－1，∴倾斜角为43π的直线斜率为－1. 2.已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况：(1)0°＜α＜90°解：作出y ＝tan α在(0°，90°）区间内的函数图象；由图象观察可知：当α∈（0°，90°），y ＝tan α＞0，并且随着α的增大，y 不断增大，｜y ｜也不断增大.所以，当α∈（0°，90°）时，随着倾斜角α的不断增大，直线斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大.(2)90°＜α＜1８0°解：作出y ＝tan α在(90°，1８0°）区间内的函数图象，由图象观察可知：当α∈(90°，180°），y ＝tan α＜0，并且随着α的增大，y＝tan α不断增大，｜y ｜不断减小.所以当α∈（90°，1８0°)时，随着倾斜角α的不断增大，直线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断减小.［师］针对此题结论，虽然有当α∈（0°，90°），随着α增大直线斜率不断增大；当α∈（90°，1８0°），随着α增大直线斜率不断增大，但是当α∈（0°，90°）∪（90°，1８0°）时，随着α的增大直线斜率不断增大却是一错误结论.原因在于正切函数y ＝tan α在区间(0，90°）内为单调增函数，在区间(90°，1８0°）内也是单调增函数，但在(0°，90°）∪（90°，1８0°)区间内，却不具有单调性.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握已知直线的倾斜角求斜率，理解斜率公式的推导，为下一节斜率公式的应用打好基础.Ⅴ.课后作业(一)课本P 37习题7.11.在同一坐标平面内，画出下列方程的直线：l 1：2x ＋3y －6＝0 l 3：2x ＋3y ＋6＝0l 2：2x －3y ＋6＝02.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)α＝30°；（2）α＝４5°；（3）α＝65π；（４）α＝32π；（5）α＝８9°；（6）α＝2. 解：(1)∵tan30°＝3 3，∴直线斜率为33；(2)∵tan ４5°＝1，∴直线的斜率为1；(3)∴tan 65π＝－tan 6π＝－33，∴直线斜率为－33；(4)∵tan 32π＝－tan 3π＝－3，∴直线斜率为－3；(5)∵tan ８9°＝57.29，∴直线的斜率为57.29. (6)∵tan2＝－2.1８４，∴直线的斜率为－2.1８４.(二)1.预习内容：斜率公式2.预习提纲：尝试总结斜率公式的特点. ●板书设计。
直线方程的概念与直线的斜率
一. 复习引入我们已经知道平面直角坐标系内，一次函数y=kx+b(K≠0)的图象是直线，那么所有的直线都能用一次函数表示吗？1. 一次函数与坐标平面内的直线之间的关系？2. 二元一次方程的概念.1.直线的方程与方程的直线：如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上；并且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线.2. “直线方程”概念的两重含义①以方程的解为坐标的点是否在直线上；②直线上的点的坐标是不是方程的解，即坐标代入方程是否成立.这两点都具备了，直线才是方程的直线，方程才是直线的方程.3. 概念的理解及应用②在平面直角坐标系中，画出下列方程的图象：1(1).112(2).21(21)(2)0;y y x x y x x y x y -=-=-=+-++-=与；与①由于方程y=kx+b 的图象是一条直线，因此今后可以说成“直线y=kx+b ”;设直线y =kx +b 上任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：(△x ≠0即x 1≠x 2).21122112y y y y y k x x x x x --∆===∆--1. 斜率的概念与公式2. 通常把直线y =kx +b 中的系数k 叫做这条直线的斜率.3. 垂直于x 轴的直线不存在斜率.三. 直线的斜率三. 直线的倾斜角1. 倾斜角的定义：①x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角.②规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.[00，1800)2. 倾斜角的范围：______________1.斜率和倾斜角都反映了直线相对于x 轴正向的倾斜程度.2.①当k=0时，直线平行于x轴或与x轴重合，此时直线的倾斜角为00;②k>0时，直线的倾斜角为锐角；k值增大，倾斜角也随着增大;③当k<0时，直线的倾斜角为钝角，k值增大，倾斜角也随着增大;④垂直于x轴的直线的倾斜角为900，但其斜率不存在.例1. 求经过A(-2,0)，B(-5,3)两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角？例2. 下面选项中两点的直线不存在斜率的是（）A.(4，2)与(-4，1) B .(0，3)与(3，0)C .(3，-1)与(2, -1)D .(-2，2)与(-2，5)例3. 已知直线l 1、l 2、l 3的斜率分别是k 1、k 2、k 3，如图. 则k 1、k 2、k 3的大小关系为_________.xy 1l 3l 2l o例4. ①已知直线l1的倾斜角为α1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角α2=. (用α1表示)②已知直线l1的斜率为k1(k1≠0)，l1关于x 轴对称的直线l2的斜率k2 =________. (用k1表示)例5. 求证: A(1，5)，B(0，2)，C(2，8)三点共线.例6. 已知直线l1和l2关于直线y=x对称，若直线l1的斜率为，求直线l2的斜率.3例7. 已知实数x 、y 满足2x +y =8；当2≤x ≤3 时，求的最大值与最小值.y x 例8. 已知A(-2,-3)，B(3,0)，过点P 的直线与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围.。
人教新课标版数学高一B必修2学案 直线方程的概念与直线的斜率
高中数学-打印版数学人教B必修2第二章2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率1．理解直线的斜率和倾斜角的概念，了解用代数的方法探索直线斜率的过程．2．掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能在实际问题中应用．3．能利用数形结合与分类讨论思想求直线的斜率和倾斜角．1．直线方程的概念由于函数y＝kx＋b(k≠0)或y＝b都是________方程，因此，我们也可以说，方程y＝kx ＋b的解与其图象上的点存在一一对应关系．如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是__________，那么这个方程叫做____________，这条直线叫做__________．直线的方程和方程的直线要同时满足两个条件：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解．两个条件只要缺少一个，命题就是错误的．【做一做1－1】在平面直角坐标系中，二、四象限角平分线所在的直线的方程为__________．【做一做1－2】给出下列四个命题：①一条直线必是某个一次函数的图象；②一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象必是一条不过原点的直线；③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则此方程叫做这条直线的方程；④以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这条直线叫做此方程的直线．其中正确命题的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．32．直线的倾斜角和斜率(1)我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的______．(2)两点斜率公式：已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线的斜率k＝__________(x1≠x2)．(3)倾斜角θ：x轴正向与__________所成的角叫做这条直线的倾斜角，记为θ.当直线l与x轴__________时，规定θ＝0°，故θ的取值范围是__________．(4)斜率k 与倾斜角θ的关系如图所示．当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率越大，且均为正；当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率越大，且均为负．但我们不能错误地认为倾斜角越大，斜率越大．【做一做2】过点P (1,3)和Q (0,5)的直线的斜率为( )．A ．2B ．－2C ．12D ．－12对直线斜率的全方位剖析 剖析：(1)斜率公式的适用范围．经过两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1，其适用范围是x 1≠x 2.说明如下：①斜率公式可通过直线上任意两点的坐标表示．②斜率公式与两点的顺序无关，也就是说两点的纵、横坐标在公式中的次序可以同时调换(要一致)．③如果y 2＝y 1(x 2≠x 1)，则直线与x 轴平行或重合，k ＝0；如果x 1＝x 2，y 1≠y 2，则直线与x 轴垂直，倾斜角θ＝90°，斜率k 不存在．(2)从运动变化的观点看斜率公式．由直线上两点的坐标求这条直线的斜率k 与这两点在直线上的顺序无关，于是k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)．如果令Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1，则Δx 表示变量x 的改变量，Δy 表示相应的y 的改变量，于是k ＝ΔyΔx(Δx ≠0)．(3)斜率的功能．斜率是用来反映直线倾斜程度的一个量，它与倾斜角都反映倾斜程度，但倾斜角相对直观一些，而斜率较抽象，且倾斜角θ与斜率k 有k ＝tan θ这一关系式．结合图示说明如下：如图所示，直线PQ ，直线PM ，且直线MQ 与y 轴平行，由直线斜率公式：k PQ ＝ΔyΔx ，k PM ＝Δy ′Δx， 由图易知Δy ′＞Δy ，∴k PM ＞k PQ .显然直线PM 相对于x 轴正方向比直线PQ 相对于x 轴正方向倾斜程度要大．比如某人从点P 沿直线PQ 到达点Q ，相对于从点P 沿直线PM 到达点M 来说，此人会感到沿直线PM 走比沿直线PQ 走更费劲．一般地，直线斜率为k ，若有|k |越大，反映直线相对于x 轴倾斜程度越大；反之|k |越小，反映直线相对于x 轴倾斜程度越小．若k AB ＝k AC ，此时直线AB 与直线AC 的倾斜角相同，即三点A ，B ，C 共线，因此可以利用斜率解决三点共线问题；但k AB ＝k CD 只能说明直线AB 与直线CD 倾斜角相同，不能说明A ，B ，C ，D 四点共线，因此要用斜率证明共线问题，而线段(或两条直线)必须有公共点才行．题型一 概念辨析题【例1】下列四个命题：①一条直线向上的方向与x 轴正向所成的角，叫做这条直线的倾斜角； ②直线l 的倾斜角要么是锐角，要么是钝角；③已知直线l 经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，则直线l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1；④若直线l 的方程是ax ＋by ＋c ＝0，则直线l 的斜率k ＝－ab .其中正确命题的个数是( )．A ．3B ．2C ．1D ．0反思：斜率与倾斜角是直线中最基本的概念，正确理解斜率与倾斜角的概念是解答本题的基础，要注意直线的斜率与倾斜角的对应关系，还有斜率公式是有使用范围的，直线与x 轴垂直时斜率不存在．题型二 求直线的斜率【例2】已知直线l 经过两点A (2,－1)，B (t,4)，求直线l 的斜率． 分析：点B 的坐标中含参数t ，注意分类讨论．反思：应用斜率公式表示直线斜率时，一定注意x 1≠x 2的条件，遇到参数时要根据参数的取值进行讨论．题型三 斜率公式的综合应用【例3】求证：A (1,5)，B (0,2)，C (－1,－1)三点共线．分析：根据过同一点的两条直线，若它们的斜率相等，则两直线必重合，从而证明三点共线．反思：通过本题可归纳出：若斜率k AB ，k AC 存在，则k AB ＝k AC ⇔A ，B ，C 三点共线，当然也可以用|AB |＋|BC |＝|AC |来证，最后需指出的是当证明四点共线时，一定要注意看是否有公共点．【例4】已知直线l ：y ＝ax ＋2和两点A (1,4)，B (3,1)，当直线l 与线段AB 相交时，求实数a 的取值范围．分析：过定点的动直线与线段相交，可借助图形加以解决．反思：通过本题的解决，要掌握斜率与倾斜角之间的关系，还要注意数形结合思想的利用．【例5】已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．分析：根据yx 的几何意义，本题即是求直线y ＝－2x ＋8(2≤x ≤3)上的点与原点连线的斜率的最值．反思：利用斜率公式解决代数问题的关键是：根据题目中代数式的特征，看是否可写成y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)的形式，从而联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用几何图形的直观性来分析解决问题．题型四 易错辨析【例6】设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转30°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )．A ．α＋30°B ．α－150°C ．150°－αD ．当0°≤α＜150°时为α＋30°，当150°≤α＜180°时为α－150°错解：∵直线l 按逆时针旋转，结合倾斜角的定义及旋转角的概念可知l 1的倾斜角为α＋30°.答案：A错因分析：没有考虑到α＋30°会越过180°，这样就不满足倾斜角的范围[0，π)了．1过点P (－2，m )和点Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为( )． A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或42若两直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中正确的是( )． A ．若α1＜α2，则两直线的斜率k 1＜k 2 B ．若α1＝α2，则两直线的斜率k 1＝k 2 C ．若两直线的斜率k 1＜k 2，则α1＜α2 D ．若两直线的斜率k 1＝k 2，则α1＝α23若直线l 经过第二、四象限，则直线l 倾斜角α的范围是__________． 4若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0,4)共线，则a 的值等于__________．5已知点A (3,4)，在坐标轴上有一点B ，使直线AB 的斜率等于2，把直线方程写成一次函数形式，并求出点B 的坐标．答案： 基础知识·梳理1．二元一次 这个方程的解 这条直线的方程 这个方程的直线 【做一做1－1】y ＝－x【做一做1－2】A 由直线方程的定义可知③，④均不正确．又y ＝5表示一条直线，但它却不是一次函数，原因是一次函数y ＝kx ＋b 中的k ≠0，∴①也不正确．当一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)中的b ＝0时，其图象经过原点，可知②也不正确．2．(1)斜率 (2)y 2－y 1x 2－x 1 (3)直线向上的方向 平行或重合 0°≤θ＜180°【做一做2】B 典型例题·领悟【例1】C 根据倾斜角定义知，①正确；倾斜角范围为[0，π)，∴②不正确；当x 1＝x 2时，直线P 1P 2的斜率k 不存在，不能用公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1求解，∴③不正确；当b ＝0时，直线斜率不存在，∴④不正确．故选C.【例2】解：(1)当t ＝2时，直线l 与x 轴垂直， ∴直线l 的斜率不存在．(2)当t ≠2时，直线l 的斜率k ＝4－(－1)t －2＝5t －2，∴综上所述，当t ＝2时，直线l 的斜率不存在； 当t ≠2时，直线l 的斜率k ＝5t －2. 【例3】证明：利用斜率公式计算出AB 和AC 两条直线的斜率，k AB ＝5－21－0＝3，k AC ＝－1－5－1－1＝3. ∵k AB ＝k AC ，又过同一点A ， ∴A ，B ，C 三点共线．【例4】解：如图所示，直线l 过定点C (0,2)，k CB ＝1－23－0＝－13，k CA ＝4－21－0＝2，k l ＝a .当直线l 与线段AB 相交时，k CB ≤k l ≤k CA ， ∴－13≤a ≤2.【例5】解：如图，由已知，点P (x ，y )在线段AB 上运动，其中A (2,4)，B (3,2)， 而y x ＝y －0x －0，其几何意义为直线OP 的斜率．由图可知k OB ≤k OP ≤k OA ，而k OB ＝23，k OA ＝2.故所求的y x 的最大值为2，最小值为23.【例6】D 正解：要分类讨论，旋转30°后，看α＋30°是否在0°≤α＜180°范围内．若在，则l 1的倾斜角为α＋30°；若不在，则l 1的倾斜角为α＋30°－180°＝α－150°.随堂练习·巩固1．A 由斜率公式，有1＝4－mm －(－2)，得m ＋2＝4－m .∴m ＝1.2．D3．90°＜α＜180° 如图所示，直线过第二、四象限，可知直线l 的倾斜角为钝角，其范围是90°＜α＜180°.4．4由题意可得k AB＝22－a＝k AC＝2－42＝－1⇒a＝4.5．解：设所求直线方程为y＝kx＋b，∵k＝2，A(3,4)在直线上，∴4＝2×3＋b，解得b＝－2.∴直线方程为y＝2x－2.如果B在x轴上，则可设B(x0,0)，代入直线方程解得x0＝1，即B(1,0)；如果B在y轴上，则可设B(0,y0)，代入直线方程解得y0＝－2，即B(0,－2)．。
2.2.1直线方程的概念与直线的斜率教案教师版
§2.2 直线的方程2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率【学习要求】1．了解直线的方程与方程的直线的概念和关系．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．【学法指导】通过对直线的方程的概念及直线的倾斜角、斜率的学习，培养观察、探索和抽象概括能力；通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，进一步理解数形结合思想.填一填：知识要点、记下疑难点1．如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的 坐标 都是这个方程的解，那么这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．2．直线的斜率：直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的 斜率 ，由这条直线上任意两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)的坐标可以计算出k 的值，k ＝ y 2－y 1x 2－x 1 (x 1≠x 2)． 3．直线的倾斜角：x 轴正向与直线 向上 的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．4．斜率与倾斜角的关系：由斜率k 的定义可知：k ＝0时，直线平行于 X 轴 或 与X 轴重合 ；k ＞0时，直线的倾斜角为 锐角 ，k 值增大，直线的倾斜角也随着 增大 ；k ＜0时，直线的倾斜角为 钝角 ，k 值增大，直线的倾斜角也随着 增大 ；垂直于x 轴的直线的倾斜角等于 90° .研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节首先探索确定直线位置的几何要素——倾斜角与斜率．探究点一 直线方程的概念导引 画出y ＝2x ＋1的图象，然后观察并思考以下问题：问题1 点(1,3)为直线上的点，x ＝1，y ＝3满足关系y ＝2x ＋1吗？答： 将x ＝1，y ＝3代入关系式y ＝2x ＋1，两边成立，即x ＝1，y ＝3满足关系y ＝2x ＋1.问题2 x ＝－2，y ＝－3满足关系y ＝2x ＋1，则点(－2，－3)在y ＝2x ＋1的图象对应的直线上吗？答：将点(－2，－3)描在上述直角坐标系内，观察到点(－2，－3)在y ＝2x ＋1的图象对应的直线上．问题3 一次函数y ＝2x ＋1的图象上的点与满足关系式y ＝2x ＋1的实数对(x ，y)有怎样的关系？答： 存在着一一对应的关系．问题4 我们已经知道平面直角坐标系内，所有一次函数y ＝kx ＋b (k≠0)的图象都是直线，那么所有的直线都能用一次函数表示吗？答： 不能，例如方程y ＝2的图象是一条经过点(0,2)且平行于x 轴的直线，但y ＝2不是一次函数．问题5 一元一次函数y ＝kx ＋b (k≠0)的解析式可看作二元一次方程，那么方程y ＝kx ＋b 的解与其图象上的点存在怎样的关系？答： 由于函数y ＝kx ＋b( k≠0)或y ＝b 都是二元一次方程，因此，方程y ＝kx ＋b 的解与其图象上的点存在一一对应关系．小结： 如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．例1 画出二元一次方程3x ＋6y －8＝0的图象．解：已知方程解出y ，得y ＝－12x ＋43，这是一次函数的表达式，它的图象是一条直线． 当x ＝0时，y ＝43；当x ＝2时，y ＝13. 在坐标平面内作点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13.作直线AB ， 即为所求方程的图象(如图)．小结： 画二元一次方程所表示的图象同画一次函数图象一样，取的两点一般是坐标轴上的点．跟踪训练1 已知方程2x ＋3y ＋6＝0. (1)画出这个方程所对应的直线l ； (2)点⎝⎛⎭⎫32，1是否在直线l 上？(3)方程2x ＋3y ＋6＝0(x ∈Z)是不是直线l 的方程？直线l 是不是该方程的直线？解：(1)在方程中令x ＝0，y ＝0，得A(0，－2)，B(－3,0)，如图直线AB 即为所求直线l 的图象．(2)∵当x ＝32，y ＝1时，方程的左边＝2×32＋3×1＋6＝12，右边＝0，∴左边≠右边．∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1不在直线l 上．(3)虽然以方程2x ＋3y ＋6＝0 (x∈Z)的解为坐标的点都在l 上，但是l 上点的坐标不都是该方程的解，比如点C ⎝⎛⎭⎫－32，－1∈l ，但⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32y ＝－1不是该方程的解，所以方程2x ＋3y ＋6＝0 (x ∈Z)不是直线l 的方程，直线l 也不是方程2x ＋3y ＋6＝0 (x ∈Z)的直线．探究点二 直线的斜率问题1 直线y ＝kx ＋b 被其上的任意两个不同的点所唯一确定．那么，由这条直线上任意两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的坐标如何计算出k 的值？答：由于x 1，y 1和x 2，y 2是直线方程的两组解，方程y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b ，两式相减，得y 2－y 1＝kx 2－kx 1＝k(x 2－x 1)．因此k ＝y 2－y 1x 2－x 1 (x 1≠x 2)． 问题2 直线上任意两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2) ，当x 1＝x 2时直线的位置怎样，k 值如何？答： 此时直线平行于y 轴，或与y 轴重合，在k ＝y 2－y 1x 2－x 1中，因为分母为0，所以k 不存在． 问题3 运用上述公式计算直线AB 的斜率时，需要考虑A 、B 的顺序吗？答： k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝k BA ＝y 1－y 2x 1－x 2，所以直线AB 的斜率与A 、B 两点的顺序无关． 小结： 我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．垂直于x 轴的直线，人们常说它的斜率不存在． 例2 求经过A(－2,0)，B(－5,3) 两点的直线的斜率k.解： x 1＝－2，x 2＝－5，y 1＝0，y 2＝3，Δx ＝－5－(－2)＝－3，Δy ＝3－0＝3， k ＝Δy Δx ＝3－3＝－1. 小结：应用斜率公式表示直线斜率时，一定注意x 1≠x 2的条件，遇到参数时要根据参数的取值进行讨论． 跟踪训练2 已知直线l 经过两点A(2，－1)，B(t,4)，求直线l 的斜率．解： (1)当t ＝2时，x 1＝x 2＝2，直线l 与x 轴垂直， ∴直线l 的斜率不存在．(2)当t ≠2时，直线l 的斜率k ＝4－(－1)t －2＝5t －2. ∴综上所述，当t ＝2时，斜率不存在； 当t ≠2时，k ＝5t －2. 探究点三 直线的倾斜角问题1 过一点P 可以作无数条直线，它们都经过点P ，这些直线区别在哪里呢？答： 区别是它们的倾斜程度不同．问题2 在k ＝y 2－y 1x 2－x 1中，如果令Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1，则Δx 表示自变量x 的改变量，Δy 表示相应的y 的改变量，则k 的表达式如何？此表达式说明了什么问题？答： k ＝Δy Δx，说明了斜率决定了直线相对于x 轴的倾斜程度． 问题3 怎样描述直线的倾斜程度呢？答：x 轴正向与直线l 向上方向所成的角叫做直线的倾斜角，并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．问题4 直线的斜率k ＝Δy Δx与倾斜角α有怎样的关系？ 答： 由图可知，k ＝Δy Δx＝tan α. 问题5 直线的斜率k 与倾斜角α之间有怎样的变化关系？答： 由斜率k 的定义可知：k ＝0时，直线平行于x 轴或与x 轴重合；k ＞0时，直线的倾斜角为锐角，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大；k ＜0时，直线的倾斜角为钝角，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大；垂直于x 轴的直线的倾斜角等于90°.问题6 依据倾斜角的定义，你能得出倾斜角α的取值范围吗？答： 0°≤α<180°.例3 如图，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB ，BC ，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解：直线AB 的斜率k AB ＝1－2－4－3＝17； 直线BC 的斜率k BC ＝－1－10－－＝－12； 直线CA 的斜率k CA ＝－1－20－3＝1. 由k AB >0及k CA >0知，直线AB 与CA 的倾斜角均为锐角； 由k BC <0知，直线BC 的倾斜角为钝角．小结： 倾斜角和斜率都反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度．倾斜角直接反映倾斜程度．跟踪训练3 求过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．(1) (1,1)，(2,4)； (2) (－3,5)，(0,2)； (3) (2,3)，(2,5)； (4) (3，－2)，(6，－2)．解： (1)k ＝4－12－1＝3>0，所以倾斜角是锐角； (2)k ＝2－50－－＝－1<0，所以倾斜角是钝角； (3)由x 1＝x 2＝2得：k 不存在，倾斜角是90°；(4)k ＝－2－－6－3＝0，所以倾斜角为0°. 练一练：当堂检测、目标达成落实处1．对于下列命题：①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k 是直线的斜率，则k ∈R ； ③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析： ①②③正确．2．若经过P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率为1，则m 等于 () A ．1 B ．4C ．1或3D ．1或4解析： 由题意，得k PQ ＝4－mm ＋2＝1，解得m ＝1.3．若A(3，－2)，B(－9,4)，C(x,0)三点共线，则x 等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．7解析： 由题意，得k AB ＝k BC ，即4＋2－9－3＝0－4x ＋9， 解得x ＝－1.课堂小结：1．直线的方程与方程的直线．2．斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1(或k ＝y 1－y 2x 1－x 2) (x 1≠x 2)．3．直线的倾斜角定义及其范围：0°≤α<180°.4．直线的斜率的几何意义：k ＝tan α (α≠90°)．5．斜率k 与倾斜角α之间的关系：⎩⎨⎧ α＝0°⇒k ＝tan 0°＝0，0°<α<90°⇒k ＝tan α>0，α＝90°⇒不存在⇒k 不存在，90°<α<180°⇒k ＝tan α<0.。
直线方程的概念与直线的斜率
汇报人：XX
• 直线方程的基本概念 • 直线的斜率 • 直线方程的求解方法 • 直线方程与图形的结合 • 直线方程在实际问题中的应用
01
直线方程的基本概念
直线方程的定义
直线方程
描述平面上一条直线的数学表达式， 通常表示为 $y = mx + b$，其中 $m$ 是斜率，$b$ 是截距。
k代表斜率，x1和y1代表直线上的一个点(x1,y1)，x2和y2代表直线上的另一个点 (x2,y2)。
斜率与倾斜角的关系
倾斜角不是90度的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率（k） 。
直线的斜率反映直线上每一点的倾斜程度。一条直线与平面直角坐标系 横轴正半轴方向的夹角的正切值即该直线相对于该坐标系的斜率。
02
直线的斜率
斜率的定义
斜率，亦称“倾斜度”、“倾斜 率”，表示一条直线相对于横坐
标轴的倾斜程度。
一条直线与某平面直角坐标系横 坐标轴正半轴方向的夹角的正切 值即该直线相对于该坐标系的斜
率。
如果直线与x轴互相垂直，直角 的正切值无穷大，故此直线不存
在斜率。
斜率的计算公式
直线斜率公式：k=(y2-y1)/(x2-x1)。
移变换中，直线方程可以根据平移向量进行相应的变换。
02
旋转变换
通过旋转变换可以改变图形的方向，但不改变图形的形状和大小。在旋
转变换中，直线方程可以根据旋转中心和旋转角度进行相应的变换。
03
缩放变换
通过缩放变换可以改变图形的大小，但不改变图形的形状。在缩放变换
中，直线方程可以根据缩放因子进行相应的变换。
直线方程的特殊形式
1 2
水平线方程
直线的倾斜角和斜率教学教案
直线的倾斜角和斜率一教学教案教学目标(1)了解直线方程的概念.(2)正确理解直线倾斜角和斜率概念.理解每条直线的倾斜角是唯一的，但不是每条直线都存在斜率.(3)理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.(4)通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探究能力，运用数学言语表达能力，数学交流与评价能力.(5)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，援助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.教学建议1.教材分析(1)知识结构本节内容首先依据一次函数与其图像一一直线的关系导出直线方程的概念；其次为进一步研究直线，建立了直线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念，从而完成了直线的方向或者说直线的倾斜角这一直线的几何属性向直线的斜率这一代数属性的转变；最后推导出经过两点的直线的斜率公式.这些充分表达了解析几何的思想方法.(2)重点、难点分析①本节的重点是斜率的概念和斜率公式.直线的斜率是后继内容展开的主线,无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及商量直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用.因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键.②本节的难点是对斜率概念的理解.学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受，但是，为什么要定义直线的斜率，为什么把斜率定义为倾斜角的正切两个问题却并不简单接受.2.教法建议(1)本节课的教学任务有三大项：倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.学生思维也对应三个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立.相应的教学过程也有三个阶段①在教学中首先是创设问题情境，然后通过商量明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在商量中逐渐明确倾斜角的概念.②本节的难点是对斜率概念的理解.学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样.学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗.再有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率，而不用正弦、余弦或余切哪要解决这些问题，就要求教师援助学生认识到在直线的方程中表达的不是直线的倾斜角，而是倾斜角的正切，即直线方程(一次函数的形式，下同)中X的系数恰好就是直线倾斜角的正切.为了便于学生更好的理解直线斜率的概念，可以借助几何画板设计：(1)α变化一直线变化一中的系数变化(同时注意的变化(2)中的系数变化一直线变化一Q变化(同时注意的变化〕.运用上述正反两种变化的动态演示充分揭示直线方程中系数与倾斜角正切的内在关系，这对援助学生理解斜率概念是极有好处的.③在进行过两点的斜率公式推导的教学中要注意与前后知识的联系，课前要对平面向量，三角函数等有关内容作肯定的复习打算.④在学习直线方程的概念时要通过举例清楚地指出两个条件，最好能用充要条件表达直线方程的概念，强化直线与相应方程的对应关系.为将来学习曲线方程做好打算.(2)本节内容在教学中宜采纳启发引导法和商量法，设计为启发、引导、探究、评价的教学模式.学生在积极思维的根底上，进行充分的商量、争辩、交流、和评价.倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立，这三项教学任务都是在商量、交流、评价中完成的.在此过程中学生的思维和能力得到充分的开展.教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，参与评价.教学设计例如直线的倾斜角和斜率教学目标：(1)了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念，(2)理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.(3)培养学生观察、探究能力，运用数学言语表达能力，数学交流与评价能力.(4)援助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.教学重点、难点：直线斜率的概念和公式教学用具：计算机教学方法：启发引导法，商量法教学过程：(一)直线方程的概念如图1,对于一次函数，和它的图像一一直线有下面关系：(1)有序数对(0,1)满足函数，则直线上就有一点A,它的坐标是(0,1).(2)反过来，直线上点B(1,3),则有序实数对(1,3)就满足.一般地，满足函数式的每一对，的值，都是直线上的点的坐标(，)；反之，直线上每一点的坐标都满足函数式，因此，一次函数的图象是一条直线，它是以满足的每一对X,y的值为坐标的点构成的.从方程的角度看，函数也可以看作是二元一次方程，这样满足一次函数的每一对，的值“变成了〃二元一次方程的解，使方程和直线建立了联系.定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的全部点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线.以上定义改用集合表述：，的二元一次方程的解为坐标的集合，记作.假设(1) (2),则.问：你能用充要条件表达吗？答：一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是…….（问题1）请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同.99过定点，方向不同.如何确定一条直线？两点确定一条直线.还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？学生：思考、回忆、答复：这条直线的方向，或者说倾斜程度.（导入）今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向.（问题2）在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？商量之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的.学生：展开商量.学生商量过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导.通过商量认为：应选择α角来刻画直线的方向.依据三角函数的知识，说明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角），当然用最小的正角.从而得到直线倾斜角的概念.（板书）定义：一条直线1向上的方向与轴的正方向所成的最小正角叫做直线的倾斜角.（教师强调三点：（1）直线向上的方向，（2）轴的正方向，（3）最小正角.）特别地，当与轴平行或重合时，规定倾斜角为0。
平面直角坐标系中的直线方程及其性质教案
平面直角坐标系中的直线方程及其性质教案一、教学目标1.掌握平面直角坐标系中直线的斜率公式和点斜式方程。
2.了解直线的截距式方程。
3.熟悉直线的一般式方程。
4.理解直线的平行、垂直关系以及相关性质。
二、教学重点平面直角坐标系中直线的斜率公式和点斜式方程。
三、教学难点直线的截距式方程和一般式方程。
四、教学内容1.直线的基本概念在平面直角坐标系中，直线是由无数个不同的点组成的线段，它可以使用不同的方程来描述。
我们现在来看直线的斜率公式和点斜式方程。
2.直线的斜率公式斜率是直线的倾斜程度，它是指在x轴移动1个单位时，y轴移动多少个单位。
斜率的计算公式如下：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，k是斜率，(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个点的坐标。
需要注意的是，当直线与x轴平行时，它的斜率为0；当直线与y 轴平行时，它的斜率为无穷大。
3.直线的点斜式方程点斜式方程是另一种表示直线的方式，它通过指定直线上的一个点和该点的斜率来描述直线。
公式如下：y - y1 = k(x - x1)其中，(x1, y1)是直线上的一个点，k是斜率。
点斜式方程可以通过直线的斜率公式进行导出。
4.直线的截距式方程截距式方程是一种更方便的表达方式，它使用x轴截距和y轴截距来描述直线。
方程的形式如下：y = kx + b其中，k是斜率，b是y轴截距。
特别地，斜率为0时，截距式方程可以简化成y = b，即直线与x 轴平行；斜率不存在时，截距式方程可以简化成x = a，即直线与y轴平行。
5.直线的一般式方程一般式方程时直线的一种标准表示方式，它形如ax + by + c = 0，其中a、b和c是常数，a和b不能同时为0。
一般式方程可以转化为截距式方程：y = (-a/b)x - c/b。
如果想反过来得到一般式方程，只需要把截距式方程进行转换即可。
6.直线关系与性质两条直线可能是平行或垂直的，这两种关系有一些鲜明的特征。
高B数学必修二课件直线方程的概念与直线的斜率
面积问题
利用直线方程表示图形的边界 ，通过计算图形面积解决与面 积相关的问题。
其他问题
直线方程还可以应用于解决其 他实际问题，如物理中的运动 问题、化学中的反应速率问题
等。
05
斜率在实际问题中应用
斜率与速度关系
斜率表示速度
在直线运动中，斜率可以表示物体的速度。当直线方程为y=mx+b时，斜率m即为速度。
方法二
斜截式方程。先根据两点坐标求出直线的斜率，再利用斜率和其中一点的坐标求 出直线方程。
已知斜率和一点求直线方程
方法一
点斜式方程。根据已知的斜率和一点 坐标，利用点斜式公式直接求解直线 方程。
方法二
斜截式方程。将已知的斜率转换为斜 截式形式，再利用已知点的坐标求出 直线方程。
平行和垂直直线方程求解
斜率不存在情况
垂直情况
当直线与$x$轴垂直时，即直线的倾斜角为$90^circ$时，斜 率不存在。
无穷大情况
当直线方程为形如$x=c$（$c$为常数）的形式时，斜率也不 存在，此时可以理解为斜率为无穷大。
03
直线方程求解方法
已知两点求直线方程
方法一
两点式方程。通过已知的两点坐标，利用两点式公式直接求解直线方程。
公式法
利用点到直线距离公式，将点的 坐标和直线方程代入公式进行计
算。
向量法
通过向量的数量积和模长计算点到 直线的距离。
垂线法
过点作直线的垂线，利用垂足坐标 和点到垂足的距离计算点到直线的 距离。
两平行线间距离计算
01
02
03
公式法
利用两平行线间距离的公 式，将两直线方程代入公 式进行计算。
平行移动法
2.2.1直线方程的概念与直线的斜率
2.2.1直线方程的概念与直线的斜率课程学习目标［课程目标］目标重点：理解直线的倾斜角和斜率的概念目标难点：斜率的概念和两点的连线的斜率公式的推导及应用!［学法关键］1．本节是解析几何的重点内容，倾斜角和斜率都是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度. 倾斜角是直接反映这种倾斜程度大小的，斜率的绝对值越大，倾斜程度越大，平面上任意一条直线l 都有倾斜角α，且0≤α<180°，但不是所有的直线都有斜率.2．掌握斜率的求法及斜率公式，并把斜率的计算公式迁移到代数函数或三角函数的最大、最小值中去，形成数形结合的方法.研习点1．直线方程的概念直线的方程与方程的直线：一般地，如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线.由于方程y =kx +b 的图象是一条直线，因而我们以后就说直线y =kx +b如何理解直线方程的概念？在直线方程的概念中，要明确方程的解与直线上点的坐标的关系，它含两重意思：（1）以方程的解为坐标的点是否在直线上；（2）直线上的点的坐标是否是方程的解，即坐标代入方程是否成立.这两点都具备了，直线就是方程，方程就是直线.研习点2． 直线的斜率1． 斜率：设直线y =kx +b 上任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有k =2121y y x x --=y x(△x ≠0，x 1≠x 2).2．通常把直线y =kx +b 中的系数k 叫做这条直线的斜率；3．垂直于x 轴的直线不存在斜率.研习点3．直线的倾斜角1．倾斜角的定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角；2．规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角；3．垂直于x 轴的直线的倾斜角等于90°.直线的倾斜角与斜率的关系1．斜率和倾斜角都反映了直线相对于x 轴的正方向的倾斜程度；2．直线的倾斜角是分两种情况定义的：第一种是对于与x 轴相交的直线，把直线向上的方向与x 轴正方向所成的角叫做直线的倾斜角；第二种是与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角；3．直线倾斜角的范围是0°≤α<180°；4．当k =0，直线平行于x 轴或与x 轴重合! 此时直线的倾斜角为0°；当k >0时，直线的倾斜角为锐角；k 值增大，直线的倾斜角也随着增大；当k <0时，直线的倾斜角为钝角，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大!垂直于x 轴的直线的倾斜角为90°，但其斜率不存在.题型1．求直线的斜率例1．已知点A (3，1)，点B 在y 轴上，且|AB |=5，求直线AB 的斜率.解：由已知可设B (0，y )，因为|AB |=5，所以(3－0)2+(1－y )2=25，所以y =5或y =－3，所以B (0，5)或B (0，－3)，当B (0，5)时，k =－34； B (0，－3)时，k =34， 所以直线AB 的斜率k =34或k =－34.例2．下面选项中两点的直线不存在斜率的是（ ）（A ）(4，2)与(－4，1) （B ）(0，3)与(3，0)（C ）(3，－1)与(2，－1) （D ）(－2，2)与(－2，5)解：当两点所在直线与x 轴垂直时，直线的斜率不存在，故应选D .题型2．求直线的倾斜角例3． 已知直线l 1的倾斜角为α1，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角α2= .解：如图所示，结合图形知：若α1≠0°，则α2=180°－α1；若α1=0°，则关于x 轴对称的直线l 2与l 1平行或重合，α2=α1=0°.∴ 1121180,01800, 0αααα︒-︒<<︒⎧=⎨︒=︒⎩.题型3． 证明三点共线例4．求证A (1，5)，B (0，2)，C (2，8)三点共线.解：利用斜率公式计算出AB 和AC 两条直线的斜率，52310AB k -==-, 85321AC k -==-, 因为直线AB 和AC 的斜率相同，又直线AB 和AC 过同一点A ，所以A 、B 、C 三点共线.【教考动向·演练】1．对于下列命题①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k 是直线的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角.其中正确命题的个数是（ C ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42．如果过点P (－2，m )和Q (m ，4)的直线的斜率等于1，那么m 的值为（ A ）（A ）1 （B ）4 （C ）1或3 （D ）1或43．下列各组点中，在同一直线上的是（ C ）（A ）(－2，3)，(－7，5)，(3，－5) （B ）(3，0)，(6，4)，(－1，－3)（C ）(4，5)，(3，4)，(－2，－1) （D ）(1，3)，(2，5)，(－2，3)4．已知A (a ，2)，B (3，b +1)，且直线AB 的倾斜角为90°，则a ，b 的值为（ D ）（A ）a =3, b =1 （B ）a =3, b =2 （C ）a =2, b =3 （D ）a =3, b ∈R 且b ≠15．给出下列四个命题：①一条直线必是某个一次函数的图象；②一次函数y =kx +b 的图象必是一条不过原点的直线；③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则此方程叫做这条直线的方程； ④以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这条直线叫做此方程的直线. 其中正确命题的个数是（ A ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）36．直线l 过A (－2，21()t t +)，B (2，21()t t-)两点，其中t ≠0，则此直线的斜率为 －1 ，此直线经过第 一、二、四 象限"7．若点A (2，－3)，B (3，－2)，C (21，m )三点共线，则m = －29 . 8．（1）当且仅当m 为何值时，经过两点A (－m ，6)、B (1，3m )的直线的斜率是12？（2）当且仅当m 为何值时，经过两点A (m ，2)、B (－m ，2m －1)的直线的倾斜角是90°？ 答案（1）m =－2；（2）m =0.例5．已知直线l 1和l 2关于直线y =x 对称， 若直线l 1的斜率为3，求直线l 2的斜率. 解：在l 2上任取不同的两点A (a ，b )，B (c ，d )，因为l 1和l 2关于直线y =x 对称，所以A ，B 两点关于直线y =x 的对称点A ’(b ，a )，B ’(d ，c )就一定在l 1上，设l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，则k 1=a c b d -=-，∴k 2=13b d a c a c b d-===---.例6．已知实数x 、y 满足2x +y =8，当2≤x ≤3 时，求y x的最大值与最小值.解：如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x +y =8，且2≤x ≤3，可知点P 在线段AB 上移动，并且A 、B 两点的坐标可分别求得为A (2，4)，B (3，2)，由于y x的几何意义是直线OP的斜率，且k OA =2，k OB ＝32，所以可以得y x的最大值为2，最小值为32．【教考动向·演练】9．下列四个命题：①一条直线向上的方向与x 轴正向所成的角，叫做这条直线的倾斜角；②直线l 的倾斜角的取值范围是第一象限角或第二象限角；③已知直线l 经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，则直线l 的斜率k =2121y y x x --； ④若直线l 的方程是ax +by +c =0，则直线l 的斜率k =a b-. 其中正确命题的个数是（ D ）（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个10．若直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角的范围是（ C ）（A ）[0°，90°) （B ）[90°，180°) （C ））(90°，180°) （D ））[0°，180°)11．设点P 在y 轴上，点N 是点M 关于y 轴的对称点，若直线PM 的斜率为k (k ≠0)，则直线PN 的斜率是（ B ）（A ）k （B ）－k （C ）1k （D ）1k- 12．已知过点P (1－a ，1+a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是 (－2，1) .13．直线：(2a 2－7a +3)x +(a 2－9)y +3a 2=0的斜率为1，则实数a = 3或－32 。
直线方程的概念与直线的斜率
高中2012级数学教学案
由直线上两点的坐标求这条直线的斜率于是k ＝
x
x y y 2
1
2
1--.如果令Δx ＝x 2表示相应的y 的改变量，于是_______________(2)斜率的定义
通常，我们把直线y ＝kx ＋b 中的
垂直于x 轴的直线斜率___________
斜率反映直线_____________ 3．直线的倾斜角
(1)定义x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．
题型二：求直线的斜率
已知直线l经过两点A(2，－1)，B(t,4)，求直线l的斜率．
跟踪训练2 求过下列两点的直线l的斜率k.
(1)A(a，b)、B(ma，mb)(m≠1，a≠0)； (2)P(2,1)、Q(m,2)
①一条直线必是某个一次函数的图象；
的图象必是一条不过原点的直线；
③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则此方程叫做这条直线的方程；
④以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这条直线叫做此方程的直。
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直线方程的概念与直线的斜率教案
教学目标：1、理解直线的方程的概念
2、直线斜率的定义、公式
3、直线倾斜角的定义、范围、条件
4、直线斜率变化与倾斜角变化关系
教学重点：1. 直线的方程的概念
2、直线斜率的定义、公式
3、直线倾斜角的定义、范围、条件
4、直线斜率变化与倾斜角变化关系
教学难点：1、理解直线的方程的概念
2、直线斜率与倾斜角关系
教学步骤：
一． 理解直线方程的概念：
（1） 首先回顾一次函数的解析式？图像？
y ＝kx ＋b （k ≠0） ，一条直线
（2） 让大家画y=2x+1的图像
（3）我们已经知道所有的一次函数的图像都是直线，那么是不是所有直线都可以用一次函数来表示？用几何画板展示。
一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=2，y=3都不是．
一次函数 y=kx+b ，x=a, y=c 都可以看作方程。
(4) 直线 l 上 每一点的坐标 P ( x , y ) 与对于方程 y=2x+1有什么关系?
1. 直线l 上每一点的坐标P(x,y)都是二元一次方程 y=2x+1的解。
2. 二元一次方程 y=2x+1的解所对应的点P(x,y)都在直线l 上
（5）推广到y =kx+b 的情况
1. 直线l 上每一点的坐标P(x,y)都是二元一次方程 y=kx+b 的解。
2. 二元一次方程 y=kx+b 的解所对应的点P(x,y)都在直线l 上
(6 )直线的方程,方程的直线
以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线．
上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一
个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的．
平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线
方程的概念和定义，并通过方程来研究直线的有关问题。
即用代数的方法来研究几何问题。
二． 直线的斜率：
（1） 先让学生看一分钟课本，让学生回顾一下斜率的求法？ 2121y y k x x -=-并让学生指出没先后的差距，只是要对应起来。
（2）让学生练一个题目求过A(-2,0),B(-5,3)的斜率？
K=-1
（3） 让学生求一下2x-y+1=0,y=3, x=1的斜率？ 结论： 与x 轴平行或与x 轴重合的直线斜率为0，与x 轴的垂直的直线斜
率不存在
然后做例2来深化一下刚才的结论。
直线的倾斜角：
（1）直线的倾斜角如何定义？观察几何画板
直线向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角。
（2）倾斜角范围？
00
0180α≤< 并规定0°和90°的位置。
三 。
直线斜率变化与倾斜角变化的关系。
（1）通过观察几何画板来得到如下结论:
1.k=0时，直线平行于x 轴或与x 轴重合，倾斜角为0°
2.k>0时，直线的倾斜角为锐角，此时，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大。
3.k<0时，直线的倾斜角为钝角，此时，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大。
注：垂直于x 轴的直线的倾斜角为90°，k 不存在。
（都是按照逆时针的方向增大的）
(2)看课件的例题并让学生口述。
（3）让学生做例三和例四得出答案，例四还可以问一下倾斜角的大效关系。
四．做练习巩固已经学习的内容
1.考察的是已知斜率求点的坐标
2.考察的斜率相等证三点共线
3.考察的是已知三点共线通过斜率相等得出点坐标。
五．总结
六．当堂检测。
. .。