2014高考数学一轮复习直线与圆的位置关系Word版含解析

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2024年高考数学一轮总复习讲义第三讲圆的方程直线与圆的位置关系

[解析] 依题意，过切点(1,1)的圆的半径所在直线方程为 y－1＝－1(x－1)， 2
x＋y－1＝0，
x＝－1，
即 x＋2y－3＝0，由
解得
因此所求圆的圆心为(－
x＋2y－3＝0，
y＝2，
1,2)，半径 r＝－1－12＋2－12＝ 5，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2
＝5.
名师点拨：求圆的方程的两种方法
3．常见圆的方程的设法
标准方程的设法
一般方程的设法
圆心在原点过原点
x2＋y2＝r2 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
x2＋y2－r2＝0 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在 x 轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在 y 轴上
x2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Ey＋F＝0
x－4 3
2＋
33
y－7 3
2＝65；
9
过(－1,1)，(4,0)，(4,2)的圆的方程为 x2＋y2－16xLeabharlann 2y－16＝0，即x－8 5
2
5
5
＋(y－1)2＝169. 25
3．(2024·湖北武汉部分学校调研)圆心在直线 x＋y－1＝0 上且与直线 2x－y
－1＝0 相切于点(1,1)的圆的方程是 (x＋1)2＋(y－2)2＝5 .
[解析] 设圆心坐标为 C(a,0)， ∵点 A(－1,1)和 B(1,3)在圆 C 上， ∴|CA|＝|CB|，即 a＋12＋1＝ a－12＋9，解得 a＝2， ∴圆心为 C(2,0)，半径|CA|＝ 2＋12＋1＝ 10， ∴圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝10. 3．(选择性必修 1P98T2(1))以点(2，－1)为圆心且与直线 3x－4y＋5＝0 相切的圆的方程为( C ) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 [解析] 因为圆心(2，－1)到直线 3x－4y＋5＝0 的距离 d＝|6＋4＋5|＝3，所

2014年职高数学第一轮复习直线和圆的复习

即
半径为线段AB的长度的一半，即 1 1 2 2 r (4 6) (3 1) 20 5 2 2
故所求圆的方程为
( x 5)2 ( y 1)2 5．
4 6 3 1 C , ， 2 2
8． 4
圆
例3 根据下面所给的条件，分别求出圆的方程： ⑴ 以点(−2，5)为圆心，并且过点(3， −7) ； (2) 设点A(4，3)、B (6， −1)，以线段AB为直径； (3) 过点P(−2 ，4)、Q (0， 2)，并且圆心在x+y=0上； ⑶ 由于圆心在直线 x y 0 上，故设圆心为C ( x0 , x0 )，于是有
方法一：几何法
直线：Ax+By+C=0;圆: (x-a)2 + (y-b)2 =r2，
圆心（a,b)到直线Ax+By+C=0的距离 d=
方法二：判别式法
直线：Ax+By+C=0;圆：x2 + y2 +Dx+Ey+F=0
一元二次方程
直线与圆位置关系的判定
典型例题1
判断直线x 2 y 4 0和圆x ( y 1) 7 相离的位置关系______
2 2
3.经过点P(-3,4),圆心在点M (6, 1)的圆的方程 4.求已知点A(2,1), B(1, 4), C (3,4), 求ABC的外接圆的方程 5.求以AB为直径,其中A(2,3), B(4,5)的圆的方程
答案
1.(x+3)2 ( y 4) 2 5 2.圆心坐标为(3, 4), 半径r 4 2 3. (x-6)2 ( y 1) 2 106 4.x 2 y 2 4 x 13 0 5. (x+1)2 ( y 4) 2 10

高三数学(文)一轮复习讲解与练习8.4直线与圆、圆与圆的位置关系(含答案解析)

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，设d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.[探究] 1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示：应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，则切线不存在．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).[探究] 2.若两圆相交时，公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系？提示：两圆的方程作差，消去二次项得到关于x，y的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程．[自测·牛刀小试]1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：选A法一：圆心(0,1)到直线的距离d＝|m|m2＋1<1< 5.法二：直线mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，又因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C是相交的．2．(2012·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离解析：选B两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1，之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．3．已知p：“a＝2”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A a＝2，则直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切，反之，则有a＝±2.因此p是q的充分不必要条件．4．已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是()A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝0解析：选D 法一：圆心O (0,0)，C (3，－3)的中点P ⎝⎛⎭⎫32，－32在直线l 上，故可排除A 、B 、C.法二：两圆方程相减得，6x －6y －18＝0，即x －y －3＝0.5．(2012·重庆高考)设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选D 因为直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝1的圆心 (0,0)，所以所得弦长|AB |＝2.[例1] (1)(2012·安徽高考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) (2)(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．[自主解答] (1)因为直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|a －0＋1|2≤r ＝2，可得|a ＋1|≤2，即a ∈[－3,1]．(2)圆C 方程可化为(x －4)2＋y 2＝1，圆心坐标为(4,0)，半径为1，由题意，直线y ＝kx －2上至少存在一点(x 0，kx 0－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，因为两个圆有公共点，故(x －4)2＋(kx －2)2≤2，整理得(k 2＋1)x 2－(8＋4k )x ＋16≤0，此不等式有解的条件是Δ＝(8＋4k )2－64(k 2＋1)≥0，解之得0≤k ≤43，故最大值为43.[答案] (1)C (2)43——————————————————— 判断直线与圆、圆与圆的位置关系的常用方法(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．(2)判断两圆的位置关系，可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系求解．1．直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y －3＝0的位置关系是________．解析：将x 2＋y 2－2y －3＝0化为x 2＋(y －1)2＝4.由于直线l 过定点(1,1)，且由于12＋(1－1)2＝1<4，即直线过圆内一点，从而直线l 与圆相交．答案：相交2．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆D ．圆解析：选A 设圆心C (x ，y )，则题意得(x －0)2＋(y －3)2＝y ＋1(y >0)，化简得x 2＝8y －8.[例2] (1)(2012·北京高考)直线y ＝x 被圆x 2＋(y －2)2＝4截得的弦长为________． (2)(2013·济南模拟)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．[自主解答] (1)法一：几何法：圆心到直线的距离为d ＝|0－2|2＝2，圆的半径r ＝2，所以弦长为l ＝2×r 2－d 2＝24－2＝2 2.法二：代数法：联立直线和圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋(y －2)2＝4，消去y 可得x 2－2x ＝0，所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2)，(0,0)，弦长为2(2－0)2＝2 2.(2)由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知⎝⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或a ＝－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.[答案] (1)22 (2)x ＋y －3＝0 ———————————————————求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2；(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：|AB ||x 1－x 2|＝3．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．－1或3 B ．1或3 C ．－2或6D ．0或4解析：选D 圆心(a,0)到直线x －y ＝2的距离d ＝|a －2|2，则(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －2|22＝22，所以a ＝0或a ＝4.4．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．解析：设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋(－3)2＝1，则R 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫|AB |22，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案：x 2＋(y －1)2＝10[例3] 已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)从圆C 外一点P ( x ，y )向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求点P 的轨迹方程．[自主解答] (1)将圆C 配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2. 由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为x ＋y －a ＝0，由|－1＋2－a |2＝2，得|a －1|＝2，即a ＝－1或a ＝3.故直线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. (2)由于|PC |2＝|PM |2＋|CM |2＝|PM |2＋r 2， ∴|PM |2＝|PC |2－r 2.又∵|PM |＝|PO |，∴|PC |2－r 2＝|PO |2， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2－2＝x 2＋y 2.∴2x －4y ＋3＝0即为所求的方程．若将本例(1)中“不过原点”的条件去掉，求直线l 的方程．解：将圆C 配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得y ＝(2±6)x ；当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x ＋y －a ＝0，由直线与圆相切得x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上可知，直线l 的方程为 (2＋6)x －y ＝0或 (2－6)x －y ＝0或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.——————————————————— 求过一点的圆的切线方程的方法(1)若该点在圆上，由切点和圆心连线的斜率可确定切线的斜率，进而写出切线方程；若切线的斜率不存在，则可直接写出切线方程x ＝x 0.(2)若该点在圆外，则过该点的切线将有两条．若用设斜率的方法求解时只求出一条，则还有一条过该点且斜率不存在的切线．5．已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值．解：(1)圆心C (1,2)，半径为r ＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3. 由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切．当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0. 由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.故方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43.2种方法——解决直线与圆位置关系的两种方法直线和圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合．(1)从思路来看，代数法侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质．(2)从适用类型来看，代数法可以求出具体的交点坐标，而几何法更适合定性比较和较为简单的运算．3个注意点——直线与圆相切、相交的三个注意点(1)涉及圆的切线时，要考虑过切点的半径与切线垂直；(2)当直线与圆相交时，半弦、弦心距、半径所构成的直角三角形在解题中起到关键的作用，解题时要注意把它与点到直线的距离公式结合起来使用；(3)判断直线与圆相切，特别是过圆外一点求圆的切线时，应有两条．在解题中，若只求得一条，则说明另一条的斜率不存在，这一点经常忽视，应注意检验、防止出错.创新交汇——直线与圆的综合应用问题1．直线与圆的综合应用问题是高考中一类重要问题，常常以解答题的形式出现，并且常常是将直线与圆和函数、三角、向量、数列及圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数、最值、圆的方程等问题．2．对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系；其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化、待定系数及分类讨论等思想方法．[典例](2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．[解](1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(22)2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为32＋(t－1)2＝3.则圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0. 从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1. [名师点评]1．本题有以下创新点(1)考查形式的创新，将轨迹问题、向量问题和圆的问题融为一体来考查．(2)考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线和圆的位置关系的方式，而是借助于参数考查直线与圆的位置关系，同时也考查了转化与化归思想．2．解决直线和圆的综合问题要注意以下几点(1)求点的轨迹，先确定点的轨迹的曲线类型，再利用条件求得相关参数； (2)存在性问题的求解，即先假设存在，再由条件求解并检验． [变式训练]1．已知直线2ax ＋by ＝1(其中a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 是直角三角形，则点P (a ，b )与点M (0,1)之间的距离的最大值为( )A.2＋1 B ．2 C. 2D.2－1解析：选A 直线2ax ＋by ＝1(其中a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则依题意可知，△AOB 是等腰直角三角形，坐标原点O 到直线2ax ＋by ＝1的距离d ＝12a 2＋b 2＝22，即2a 2＋b 2＝2， ∴a 2＝2－b 22(－2≤b ≤2)，则|PM |＝a 2＋(b －1)2＝b 22－2b ＋2＝2|b －2|2，∴当b ＝－2时，|PM |max ＝2×|－2－2|2＝2＋1.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，即要圆心到直线的距离小于1，即|c |122＋(－5)2<1，解得－13<c <13.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝1的切线方程中有一个是( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0 C ．x ＝0D ．y ＝0解析：选C 圆心为(1，－3)，半径为1，故x ＝0与圆相切．2．已知直线l ：y ＝k (x －1)－3与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角为( ) A.π6 B.π2 C.2π3D.56π 解析：选D 由题意知，|k ＋3|k 2＋1＝1，得k ＝－33，故直线l 的倾斜角为56π.3．(2012·陕西高考)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能解析：选A 把点(3,0)代入圆的方程的左侧得32＋0－4×3＝－3<0，故点(3,0)在圆的内部，所以过点(3,0)的直线l 与圆C 相交．4．过点(1,1)的直线与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A ．2 3 B ．4 C ．2 5D ．5解析：选B 由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB 的中点时，|AB |的值最小，此时|AB |＝2r 2－d 2＝29－5＝4.5．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：选A 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.6．直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M ，N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM ·ON(O为坐标原点)等于( )A ．－7B ．－14C ．7D ．14解析：选A 设OM ，ON的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于|c |a 2＋b 2＝1，cos θ＝13，cos 2θ＝2cos 2 θ－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79，OM ·ON ＝3×3cos2θ＝－7.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m 2＝1，解得m ＝±33.答案：±338．(2012·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P (x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M .∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝x 20＋(－x 0＋22)2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)．答案：(2，2)9．(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．解析：由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为3，即1m 2＋n2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，所以|mn |≤16，又A ⎝⎛⎭⎫1m ，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1n ，所以△AOB 的面积为12|mn |≥3，最小值为3.答案：3三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．求过点P (4，－1)且与圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0切于点M (1,2)的圆的方程．解：设所求圆的圆心为A (m ，n )，半径为r ，则A ，M ，C 三点共线，且有|MA |＝|AP |＝r ，因为圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0的圆心为C (－1,3)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －1＝2－31＋1，(m －1)2＋(n －2)2＝(m －4)2＋(n ＋1)2＝r ，解得m ＝3，n ＝1，r ＝5，所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B .(1)求k 的取值范围； (2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34. 而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫－34，0，故没有符合题意的常数k . 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知O ，C 两点的斜率k OC ＝b a＝－1，故b ＝－a ，则|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2，结合点C (a ，b )位于第二象限知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2. 故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)假设存在Q (m ，n )符合题意，则⎩⎪⎨⎪⎧ (m －4)2＋n 2＝42，m 2＋n 2≠0，(m ＋2)2＋(n －2)2＝8，解得⎩⎨⎧ m ＝45，n ＝125.故圆C 上存在异于原点的点Q ⎝⎛⎭⎫45，125符合题意．1．设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( )A ．4B ．4 2C ．8D ．8 2解析：选C 依题意，可设圆心坐标为(a ，a )，半径为r ，其中r ＝a >0，因此圆方程是(x －a )2＋(y －a )2＝a 2，由圆过点(4,1)得(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，即a 2－10a ＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C 1，C 2的横坐标，|C 1C 2|＝2×102－4×17＝8.2．(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋ 3 ]B ．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2 2 ]D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞)解析：选D 由题意可得|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，化简得mn ＝m ＋n ＋1≤(m ＋n )24，解得m ＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋2 2.3．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 与⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________．解析：⊙O 的圆心为(0,0)，半径为2，⊙O ′的圆心为(4,0)，半径为6，设点P 为(x ，y )，由已知条件和圆切线性质得x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6，化简得x ＝32. 答案：x ＝324．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点．若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：依题意，设l 的方程为y ＝x ＋b ，①x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，②联立①②消去y 得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝b 2＋4b －42，③ ∵以AB 为直径的圆过原点， ∴OA ⊥OB ，即x 1 x 2＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2，∴2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0，由③得b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0，即b 2＋3b －4＝0，∴b ＝1或b ＝－4.∴满足条件的直线l 存在，其方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0.。

高中数学高考一轮复习一轮复习第四节直线与圆圆与圆的位置关系

课时作业(四十八) 直线与圆、圆与圆的位置关系1．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1，3]C ．[－3，1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C [由题意可得，圆的圆心为(a ，0)，半径为2 ， ∴|a －0＋1|12＋（－1）2≤2 ，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.]2．过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0B [∵过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，∴点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上， ∵圆心与切点连线的斜率k ＝1－03－1 ＝12 ，∴切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0.]3．若直线：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则k ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2A [由x 2＋y 2－2x －3＝0，得(x －1)2＋y 2＝4.易知直线y ＝kx ＋1恒过定点A (0，1)，要使截得的弦最短，需圆心(1，0)和A 点的连线与直线y ＝kx ＋1垂直，所以k ·0－11－0＝－1，即k ＝1.故选A ．]4．(多选)(2023·聊城期中)点P 在圆C 1：x 2＋y 2＝1上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋8y ＋24＝0上，则( ) A ．|PQ |的最小值为0 B ．|PQ |的最大值为7C ．两个圆心所在的直线斜率为－43D ．两个圆相交弦所在直线的方程为6x －8y －25＝0BC [根据题意，圆C 1：x 2＋y 2＝1，其圆心C 1(0，0)，半径R ＝1，圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋8y ＋24＝0，即(x －3)2＋(y ＋4)2＝1，其圆心C 2(3，－4)，半径r ＝1，圆心距|C 1C 2|＝16＋9 ＝5，则|PO |的最小值为|C 1C 2|－R －r ＝3，最大值为|C 1C 2|＋R ＋r ＝7，故A 错误，B 正确；对于C ，圆心C 1(0，0)，圆心C 2(3，－4)，则两个圆心所在的直线斜率k ＝－4－03－0 ＝－43 ，C 正确；对于D ，两圆圆心距|C 1C 2|＝5，有|C 1C 2|>R ＋r ＝2，两圆外切，不存在公共弦，D 错误．故选BC.] 5．(2023·广东省七校联考)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (8，0)，以OA 为直径的圆与直线y ＝2x 在第一象限的交点为B ，则直线AB 的方程为( )A ．x ＋2y －8＝0B ．x －2y －8＝0C ．2x ＋y －16＝0D ．2x －y －16＝0A [法一：如图，由题意知OB ⊥AB ，因为直线OB 的方程为y ＝2x ，所以直线AB 的斜率为－12 ，因为A (8，0)，所以直线AB 的方程为y －0＝－12 (x－8)，即x ＋2y －8＝0，故选A ．法二：依题意，以OA 为直径的圆的方程为(x －4)2＋y 2＝16，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧（x －4）2＋y 2＝16，y ＝2x得⎩⎨⎧x ＝85，y ＝165 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0(舍去)，即B ⎝⎛⎭⎫85，165 ，因为A (8，0)，所以k AB＝16585－8 ＝－12 ，所以直线AB 的方程为y －0＝－12(x －8)，即x ＋2y －8＝0，故选A ．]6．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m 的值为________．解析：对于圆C 1与圆C 2的方程，配方得圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，则圆C 1的圆心C 1(m ，－2)，半径r 1＝3，圆C 2的圆心C 2(－1，m )，半径r 2＝2.因为圆C 1与圆C 2相外切，所以|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即（m ＋1）2＋（m ＋2）2 ＝5，m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2. 答案：－5或27．(2023·西湖区校级期中)已知圆C 1：x 2＋y 2＝4与圆C 2：x 2＋y 2－8x ＋6y ＋m ＝0外切，则m ＝________；此时直线l ：x ＋y ＝0被圆C 2所截的弦长为________．解析：根据题意，圆C 1：x 2＋y 2＝4，其圆心C 1(0，0)，半径r ＝2，圆C 2：x 2＋y 2－8x ＋6y ＋m ＝0，即(x －4)2＋(y ＋3)2＝25－m ，必有m <25，其圆心C 2(4，－3)，半径R ＝25－m ，若两圆外切，则有|C 1C 2|＝R ＋r ，即5＝2＋25－m ，解可得m ＝16，此时圆C 2的方程为：(x －4)2＋(y ＋3)2＝9，圆心C 2(4，－3)，半径R ＝3，圆心C 2到直线l ：x ＋y ＝0的距离d ＝|4－3|2＝22 ，则直线l 被圆C 2所截的弦长l ＝2×R 2－d 2 ＝2×9－12＝34 . 答案： 16；348．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________．解析：设圆心为C ，则C (3，0)，P 为直线y ＝x ＋1上一动点，过P 向圆引切线，切点设为N ，所以|PN |min＝(|PC |2－1 )min ＝|PC |2min －1 .又|PC |min ＝|3－0＋1|12＋（－1）2＝22 ，所以|PN |min ＝7 .答案：79．(开放型)(2023·湖北期中)在①圆经过C (3，4)，②圆心在直线x ＋y －2＝0上，③圆截y 轴所得弦长为8；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解．已知圆E 经过点A (－1，2)，B (6，3)，且________； (1)求圆E 的方程；(2)已知直线l 经过点(－2，2)，直线l 与圆E 相交所得的弦长为8，求直线l 的方程．解析： (1)选条件①：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧5－D ＋2E ＋F ＝045＋6D ＋3E ＋F ＝025＋3D ＋4E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6E ＝2F ＝－15，∴圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －15＝0；选条件②：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2 ，可得⎩⎪⎨⎪⎧5－D ＋2E ＋F ＝045＋6D ＋3E ＋F ＝0－D 2－E 2－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6E ＝2F ＝－15 ，∴圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －15＝0；选择条件③：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2 ，半径为12 D 2＋E 2－4F 可得⎩⎪⎨⎪⎧5－D ＋2E ＋F ＝045＋6D ＋3E ＋F ＝0D 24＋16＝14（D 2＋E 2－4F ），解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6E ＝2F ＝－15 ，∴圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －15＝0. (2)化圆C 的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝25，则圆心C (3，－1)，半径r ＝5.设圆心到直线的距离为d ，则弦长L ＝2r 2－d 2 ＝8，即25－d 2 ＝4，得d ＝3.当直线的斜率不存在时，d ＝5≠3，∴直线的斜率存在，设其方程为y －2＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋2＝0，由d ＝|3k ＋1＋2k ＋2|k 2＋1 ＝3，解得k ＝0，k ＝－158.∴所求直线的方程为y ＝2或15x ＋8y ＋14＝0.10．设O 为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P ，Q ，满足关于直线x ＋my ＋4＝0对称，且OP → ·OQ →＝0.(1)求m 的值； (2)求直线PQ 的方程．解析： (1)x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，所以曲线是以(－1，3)为圆心，3为半径的圆．由已知得直线过圆心，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.(2)设直线PQ ：y ＝－x ＋b ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，y ＝－x ＋b ，得2x 2＋2(4－b )x ＋b 2－6b ＋1＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝b －4，x 1x 2＝b 2－6b ＋12 .又OP → ·OQ →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即2x 1x 2－b (x 1＋x 2)＋b 2＝0，将x 1＋x 2＝b －4，x 1x 2＝b 2－6b ＋12 代入上式得b 2－2b ＋1＝0，所以b ＝1，所以直线PQ 的方程为y ＝－x ＋1.11．(多选)设有一组圆C k ：(x －k ＋1)2＋(y －2k )2＝1，下列说法正确的是( ) A ．这组圆的半径均为1B ．直线2x －y ＋2＝0平分所有的圆C kC ．存在无穷多条直线l 被所有的圆C k 截得的弦长相等D ．存在一个圆C k 与x 轴和y 轴均相切ABC [对于选项A ：由圆C k 的方程可知，这组圆的半径均为1，故A 正确；对于选项B ：圆C k 的圆心坐标为(k －1，2k )，因为2(k －1)－2k ＋2＝0，所以直线2x －y ＋2＝0过圆C k 的圆心，故B 正确；对于选项C ：由B 知，直线2x －y ＋2＝0平分所有的圆C k ，所以存在无数条与直线2x －y ＋2＝0平行或重合的直线(与直线2x －y ＋2＝0的距离小于1)被所有的圆C k 截得的弦长相等，故C 正确；对于选项D ：若圆C k 与x 轴和y 轴均相切，则⎩⎪⎨⎪⎧|k －1|＝1，|2k |＝1，无解，故选ABC.] 12．(多选)(2023·临沂期中)若圆C 1：x 2＋y 2－3x －3y ＋3＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0的交点为A ，B ，则( ) A ．公共弦AB 所在直线方程为x ＋y －3＝0 B ．线段AB 中垂线方程为x －y ＋1＝0 C ．公共弦AB 的长为22D ．在过A ，B 两点的所有圆中，面积最小的圆是圆C 1 AD [根据题意，依次分析选项：对于A ，圆C 1：x 2＋y 2－3x －3y ＋3＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0，联立两个圆的方程可得x ＋y －3＝0，即公共弦AB 所在直线方程为x ＋y －3＝0，A 正确；对于B ，圆C 1：x 2＋y 2－3x －3y ＋3＝0，其圆心C 1为⎝⎛⎭⎫32，32 ，圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0，其圆心C 2为(1，1)，直线C 1C 2的方程为y ＝x ，即线段AB 中垂线方程x －y ＝0，B 错误；对于C ，圆C 1：x 2＋y 2－3x －3y ＋3＝0，即⎝⎛⎭⎫x －32 2 ＋⎝⎛⎭⎫y －32 2＝32 ，其圆心C 1为⎝⎛⎭⎫32，32 ，半径r ＝62，圆心C 1⎝⎛⎭⎫32，32 在公共弦AB 上，则公共弦AB 的长为6 ，C 错误；对于D ，圆心C 1⎝⎛⎭⎫32，32 在公共弦AB 上，在过A ，B 两点的所有圆中，面积最小的圆是圆C 1，D 正确．故选AD.]13．已知P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 面积．解析： (1)由条件可得圆心C 的圆心坐标为(0，4)，|PC |＝2，设P (a ，2a )，则a 2＋（2a －4）2 ＝2.解得a ＝2或a ＝65，所以点P 的坐标为(2，4)或⎝⎛⎭⎫65，125 .(2)证明：设P (b ，2b )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0，整理得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0. 即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝85，y ＝165．所以该圆必经过定点(0，4)和⎝⎛⎭⎫85，165 .14．已知圆C 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点．(1)求圆C 的方程；(2)①请问AM → ·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由； ②若OM → ·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程．解析： (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1. (2)①AM → ·AN →为定值．过点A (0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ，如图．易得|AT |2＝7，∴AM → ·AN → ＝|AM → |·|AN →|cos 0°＝|AT |2＝7. ∴AM → ·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1. 并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2 ，x 1x 2＝71＋k 2， ∴OM → ·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2 ＋8＝12，即4k （1＋k ）1＋k 2 ＝4，解得k ＝1.又当k ＝1时，Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x －1.15．(创新型)(多选)(2023·山东青岛期末)如图，已知A (2，0)，B (1，1)，C (－1，1)，D (－2，0)，CD 是以OD 为直径的圆上的一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上的一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线W ，则下述正确的是( )A ．曲线W 与x 轴围成区域的面积等于2πB ．曲线W 上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点)C ．CB 所在圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1D ．CB 与BA 的公切线方程为x ＋y ＝2 ＋1BCD [如图所示，连接BC ，过点C 作CK ⊥x 轴于K ，过点B 作BL ⊥x 轴于L .则曲线W 和x 轴围成区域的面积S ＝π＋2，故A 错误；曲线W 上有A ，B ，C ，D ，M 这5个整点，故B 正确；CB 所在圆的圆心为(0，1)，半径为1，故CB 所在圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1，故C 正确；设CB 与BA 的公切线方程为y ＝kx ＋b ，由图知k ＜0，b ＞0，则|k ＋b |1＋k 2 ＝1，|1＋b |1＋k 2＝1，解得k ＝－1，b ＝2 ＋1，即x ＋y ＝2 ＋1，故D 正确．故选BCD.]16．已知点P (－1，2)及圆(x －3)2＋(y －4)2＝4，一光线从点P 出发，经x 轴上一点Q 反射后与圆相切于点T ，则|PQ |＋|QT |的值为________．解析：点P 关于x 轴的对称点为P ′(－1，－2)，如图，连接PP ′，P ′Q ，由对称性可知，P ′Q 与圆相切于点T ，则|PQ |＋|QT |＝|P ′T |.圆(x －3)2＋(y －4)2＝4的圆心为A (3，4)，半径r ＝2，连接AP ′，AT ，则|AP ′|2＝(－1－3)2＋(－2－4)2＝52，|AT |＝r ＝2，所以|PQ |＋|QT |＝|P ′T |＝|AP ′|2－|AT |2 ＝43 .答案：43。

直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习

, 到直线： − − = 的距离 =

≤ + ，解得−

≤≤

.

−−
+
=

+
≤ ，即
考点二直线与圆位置关系的应用
角度1 圆的切线问题（链接高考）
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)过点 , − 与圆 + − − = 相切的两条直
（2）过圆 + = 外一点 , 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 + = .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
（2）两个圆系方程
①过直线 + + = 与圆 + + + + = 交点的圆系方
（其中不含圆，所以注意检验是否满足题意，以防丢解）.
1.若经过点 −, − 的直线与圆 + = 相切，则该直线在轴上的截
距为(

A.

)
√

C.−

B.5
解析：选C.因为 −

+ −

D.−
= ，所以点在圆上，
所以切线方程为− − = ,令 = 得 =
+ − − = 相交.
方法三：圆的方程可化为 −

+ = ,
所以圆的圆心为 , ，半径为3.
圆心到直线 − + − = 的距离为
+−
+
=

+
≤ < ,所以直线与圆相交.故选C.

高考数学一轮总复习课件：圆的方程及直线与

所以圆的方程为x2＋y2－4x－235y－5＝0. 将D(a，3)代入得a2－4a－21＝0. 解得a＝7或a＝－3(舍)．
(2)(2021·辽宁大连模拟)在直线l：y＝x－1上有两个点A， B，且A，B的中点坐标为(4，3)，线段AB的长度|AB|＝8，则过 A，B两点且与y轴相切的圆的方程为____(_x_－_4_)_2＋__(y_－__3)_2＝__1_6___
解析 (x＋2m)2＋(y－1)2＝4m2－5m＋1表示圆，则 4m2－5m＋1>0，解得m<14或m>1.
3．(2021·成都七中月考)圆心在y轴上，且过点(3，1)的圆与
x轴相切，则该圆的方程是( B )
A．x2＋y2＋10y＝0
B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0
D．x2＋y2－10x＝0
第3课时圆的方程及直线与圆的位置关系
[复习要求] 1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程和一般方程.3.掌握直线与圆的位置关系．
课前自助餐
圆的定义平面内到定点的距离__等_于__定_长___的点的集合(轨迹)是圆，定点是圆心，定长是半径．注：平面内动点 P 到两定点 A，B 距离的比值为 λ，即||PPAB||＝ λ， ①当 λ＝1 时，P 点轨迹是线段 AB 的垂直平分线； ②当 λ≠1 时，P 点轨迹是圆．
A＝B≠0，
__D_2＋__E_2_－_4_A_F_>_0.
圆的参数方程圆心为(a，b)，半径为 r 的圆的参数方程为xy＝＝ab＋＋rrcsoinsθθ，(θ 为参数)．
确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； (3)解出 a，b，r 或 D，E，F 代入标准方程或一般方程．

高考数学一轮总复习课件：圆与圆的位置关系

【解析】设圆心到直线l：mx＋y＋3m－ 3 ＝0的距离为d，
则弦长|AB|＝2
12－d2 ＝2
3
，得d＝3，即
|3m－ 3| m2＋1
＝3，解得m＝
－ 33，则直线l：x－ 3y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝co|sA3B0°| ＝4.
(3)【多选题】已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交
因为kMN＝65－－31＝34，所以两圆的公切线的斜率是－43. 设切线方程为y＝－43x＋b，则有43×143＋23＋－1b＝ 11. 解得b＝133±5 311. 容易验证，当b＝133＋5 311时，直线与后一圆相交，舍去．故所求公切线方程y＝－43x＋133－5 311，即4x＋3y＋5 11－13＝0.
状元笔记
在研究弦长及弦中点问题时，可设弦AB两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)若OA⊥OB(O为原点)，则可转化为x1x2＋y1y2＝0，再结合根与系数的关系，代入方程简化运算过程，这在解决垂直关系问题中是常用的．
(2)若弦AB的中点为(x0，y0)，圆的方程为x2＋y2＝r2， xx1222＋＋yy1222＝＝rr22，，∴k＝yx22－－yx11＝－xy22＋＋xy11＝－xy00.
2＋P→C·(C→B＋C→A)＋C→B·C→A＝|P→C|2－1＝(x－1)2＋(x＋1)2－1＝2x2
＋1，所以P→A·P→B的最小值为1，故选D.
授人以渔
题型一圆与圆的位置关系
例1 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋ m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？ (2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ (3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．

高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：8.3 圆的方程 word版含答案

第三节圆的方程圆的方程(1)掌握确定圆的几何要素． (2)掌握圆的标准方程与一般方程．知识点一圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫作圆方程标准(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)圆心C (a ，b ) 半径为r一般,x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝充要条件：D 2＋E 2－4F >0 圆心坐标：⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2 半径r ＝12D 2＋E 2－4F易误提醒 (1)标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)中易忽视右端为半径r 的平方，而不是半径．(2)对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F >0这一成立条件．必备方法求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．[自测练习]1．圆x 2＋y 2－4x ＋8y －5＝0的圆心与半径分别为( ) A ．(－2,4)，5 B ．(2，－4)，5 C ．(－2,4)，15D ．(2，－4)，15解析：圆心坐标为(2，－4)，半径r ＝12(－4)2＋82－4×(－5)＝5.答案：B2．圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为________．解析：法一：设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )．又该圆经过A ，B 两点，所以|CA |＝|CB |，即(2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2，解得a ＝－2，所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝10. 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法二：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 答案：(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10 知识点二点与圆的位置关系1．确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系． 2．三种关系：圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)． (1)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点在圆上． (2)(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔点在圆外． (3)(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔点在圆内．易误提醒若圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，点M (x 0，y 0)．注意点M 与圆的位置关系满足条件．[自测练习]3．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <1 C ．a >1或a <－1D ．a ＝±1解析：因为点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2<4，∴－1<a <1. 答案：A考点一圆的方程|1．(2015·高考北京卷)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r ＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.答案：D2．(2015·高考全国卷Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．26B ．8C ．4 6D ．10解析：设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，，解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，令x ＝0，得y 2＋4y －20＝0，设M (0，y 1)，N (0，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－20，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4 6.故选C.答案：C3．(2015·广州测试)圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1解析：∵圆心(1,2)关于直线y ＝x 对称的点为(2,1)，∴圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.答案：A待定系数法求圆的方程的三个步骤(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. (2)根据已知条件，建立关于a ，b ，r 的方程组．(3)解方程组，并把它们代入所设的方程中，整理后，就得到所求结果．考点二与圆有关的最值范围问题|与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．归纳起来常见的命题角度有：1．斜率型最值问题． 2．截距型最值问题． 3．距离型最值问题． 4．距离和(差)的最值问题． 5．利用目标函数求最值．探究一斜率型最值问题1．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求yx 的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .如图所示，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3. 所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.探究二截距型最值问题2．在[探究一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. 探究三距离型最值问题3．在[探究一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．解析：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为 (2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.探究四距离和(差)最值问题4．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17解析：圆心C 1(2,3)，C 2(3,4)，作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，连接C ′2C 2与x 轴交于点P ，此时|PM |＋|PN |取得最小值，为|C ′2C 2|－1－3＝52－4.答案：A探究五利用目标函数求最值5．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2解析：将x 2＋y 2－2y －5＝0化为x 2＋(y －1)2＝6，圆心(0,1)，代入ax ＋by ＋c －1＝0得b ＋c ＝1.∴4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝5＋4c b ＋bc≥5＋24c b ·bc＝9. 答案：A求解与圆有关的最值问题的两大规律(1)借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．考点三与圆有关的轨迹问题|已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．[解] (1)设AP 的中点为M (x 0，y 0)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x 0－2,2y 0)．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x 0－2)2＋(2y 0)2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ′，y ′)．在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x ′2＋y ′2＋(x ′－1)2＋(y ′－1)2＝4. 故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法(1)直接法：根据题设条件直接列出方程． (2)定义法：根据圆的定义写出方程． (3)几何法：利用圆的性质列方程．(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．(2016·唐山一中调研)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4.化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案：A25.方程思想在圆中的应用【典例】在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．[思维点拨] 曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴有3个交点，可设圆的一般式方程或标准式方程，通过列方程或方程组可求．[解] 法一：曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，(3＋22)2＋D ×(3＋22)＋F ＝0，(3－22)2＋D ×(3－22)＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.法二：曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，故可设圆C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1，则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.[方法点评] (1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算．显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题．[跟踪练习] 已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程为________．解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43.答案：x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43A 组考点能力演练1．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8D ．(x －1)2＋(y －1)2＝8解析：直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 答案：B2．(2016·北京西城期末)若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－3，3)C ．(－2，2)D.⎝⎛⎭⎫－22，22 解析：∵(0,0)在(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则有(0－m )2＋(0＋m )2<4，解得－2<m <2，选C.答案：C3．(2016·开封模拟)已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上的点到直线l 的距离的最小值为( )A. 2B. 3 C ．1D ．3解析：由题意知，圆C 上的点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去圆的半径，即|1－1＋4|12＋(－1)2－2＝ 2.答案：A4．(2016·洛阳期末)在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，|－a |>2|2a |>2⇒a <－2，故选A.答案：A5．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A ．30B ．18C ．6 2D ．5 2解析：由圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为32，则圆上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离为|2＋2－14|2＋32＝82，最小距离为|2＋2－14|2－32＝22，故最大距离与最小距离的差为6 2.答案：C6．(2016·绍兴模拟)点P (1,2)和圆C ：x 2＋y 2＋2kx ＋2y ＋k 2＝0上的点的距离的最小值是________．解析：圆的方程化为标准式为(x ＋k )2＋(y ＋1)2＝1. ∴圆心C (－k ，－1)，半径r ＝1. 易知点P (1,2)在圆外． ∴点P 到圆心C 的距离为： |PC |＝(k ＋1)2＋32＝(k ＋1)2＋9≥3. ∴|PC |min ＝3.∴点P 和圆C 上点的最小距离d min ＝|PC |min －r ＝3－1＝2. 答案：27．若圆C ：x 2－2mx ＋y 2－2my ＋2＝0与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________．解析：圆C 的标准方程为(x －m )2＋(y －m )2＝m 2＋m －2，依题意有⎩⎨⎧m 2＋m －2>0，m ≤m 2＋m －2，得m ≥ 2.m ≥0.答案：[2，＋∞)8．圆C 通过不同的三点P (k,0)，Q (2,0)，R (0,1)，已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，则圆C 的方程为________．解析：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则k,2为x 2＋Dx ＋F ＝0的两根， ∴k ＋2＝－D,2k ＝F ，即D ＝－(k ＋2)，F ＝2k ，又圆过R (0,1)，故1＋E ＋F ＝0. ∴E ＝－2k －1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫k ＋22，2k ＋12.∵圆C 在点P 处的切线斜率为1， ∴k CP ＝－1＝2k ＋12－k ，∴k ＝－3.∴D ＝1，E ＝5，F ＝－6.∴所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0. 答案：x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.9．(2016·洛阳统考)已知圆S 经过点A (7,8)和点B (8,7)，圆心S 在直线2x －y －4＝0上． (1)求圆S 的方程；(2)若直线x ＋y －m ＝0与圆S 相交于C ，D 两点，若∠COD 为钝角(O 为坐标原点)，求实数m 的取值范围．解：(1)线段AB 的中垂线方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －4＝0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，所以圆S 的圆心为S (4,4)，圆S 的半径为|SA |＝5，故圆S 的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝25.(2)由x ＋y －m ＝0变形得y ＝－x ＋m ，代入圆S 的方程，消去y 并整理得2x 2－2mx ＋m 2－8m ＋7＝0.令Δ＝(－2m )2－8(m 2－8m ＋7)>0，得8－52<m <8＋5 2.设C ，D 的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－8m ＋72.依题意，得OC →·OD →<O ，则x 1x 2＋(－x 1＋m )(－x 2＋m )<0，即m 2－8m ＋7<0，解得1<m <7.故实数m 的取值范围是{m |8－52<m <8＋52}∩{m |1<m <7}＝{m |1<m <7}． 10．(2016·唐山一模)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点A (3，0)，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)直线AB 交圆O 于C ，D 两点，当B 为CD 的中点时，求直线AB 的方程．解：(1)设AB 的中点为M ，切点为N ，连接OM ，MN (图略)，则|OM |＋|MN |＝|ON |＝2，取A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B ，故|A ′B |＋|AB |＝2(|OM |＋|MN |)＝4.所以点B 的轨迹是以A ′，A 为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a ＝2，c ＝3，b ＝1，则曲线Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为B 为CD 的中点，所以OB ⊥CD ，则OB →⊥AB →.设B (x 0，y 0)，则x 0(x 0－3)＋y 20＝0. 又x 204＋y 20＝1，解得x 0＝23，y 0＝±23.则k OB＝±2 2，kAB＝∓2，则直线AB的方程为y＝±2(x－3)，即2x－y－6＝0或2x＋y－6＝0.B组高考题型专练1．(2014·高考北京卷)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A．7 B．6C．5 D．4解析：根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m.因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝12|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.答案：B2．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53 B.213C.253 D.43解析：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∴⎩⎨⎧1＋D＋F＝0，3＋3E＋F＝0，7＋2D＋3E＋F＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D＝－2，E＝－433，F＝1，∴△ABC外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎫1，233，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝⎛⎭⎫2332＝213.答案：B3．(2014·高考陕西卷)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．解析：根据题意得点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点(0,1)为圆心，又半径r ＝1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝14．(2015·高考全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4,0)，(0,2)，(0，－2)，设圆心为(a,0)，其中a >0，由4－a ＝a 2＋4，解得a ＝32，所以该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 答案：⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254。

高考数学一轮复习第2节两直线的位置关系

第2节两直线的位置关系考试要求 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.知识梳理1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行. (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎨⎧A1x ＋B1y ＋C1＝0，A2x ＋B2y ＋C2＝0的解一一对应. 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解. 3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x2＋y2. (2)点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C1－C2|A2＋B2.4.对称问题(1)点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0，2b －y 0).(2)设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y′－y0x′－x0·k ＝－1，y′＋y02＝k·x′＋x02＋b ，可求出x ′，y ′. [常用结论与微点提醒] 1.两直线平行的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0). 2.两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.3.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( ) 解析 (1)两直线l 1，l 2有可能重合.(2)如果l 1⊥l 2，若l 1的斜率k 1＝0，则l 2的斜率不存在. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(老教材必修2P114A10改编)两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( ) A.235B.2310C.7D.72解析由题意知a ＝6，直线3x ＋4y －12＝0可化为6x ＋8y －24＝0，所以两平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72.答案 D3.(老教材必修2P110B1改编)若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________.解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1，2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9. 答案－94.(2020·青岛调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( ) A.2B.－3C.2或－3D.－2或－3解析直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3. 答案 C5.(2020·重庆重点中学联考)已知直线l 1：y ＝2x ，则过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心且与直线l 1垂直的直线l 2的方程为________.解析由题意可知圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，所以圆的圆心坐标为(－1，2)，由已知得直线l 2的斜率k ＝－12，所以直线l 2的方程为y －2＝－12(x ＋1)，即x ＋2y －3＝0. 答案 x ＋2y －3＝06.(一题多解)(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________. 解析法一由题意可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x0，x0＋4x0(x 0>0)，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x0＋x0＋4x02＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x0＋4x02≥22x0·4x02＝4，当且仅当2x 0＝4x0，即x 0＝2时取等号. 故所求最小值是4.法二设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x0，4x0＋x0(x 0>0)，则曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝1－4x20.令1－4x20＝－1，结合x 0>0得x 0＝2，∴P (2，32)，曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的点P 到直线x ＋y ＝0的最短距离即为此时点P 到直线x ＋y ＝0的距离，故d min ＝|2＋32|2＝4.答案 4考点一两直线的平行与垂直【例1】 (1)(2019·河北五校联考)直线l 1：mx －2y ＋1＝0，l 2：x －(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2020·西安模拟)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋3y －1＝0垂直，则12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2 019π2－2α的值为( )A.310B.35C.－310D.110解析 (1)由l 1∥l 2得－m (m －1)＝1×(－2)，得m ＝2或m ＝－1，经验证，当m ＝－1时，直线l 1与l 2重合，舍去，所以“m ＝2”是“l 1∥l 2”的充要条件.(2)∵直线x ＋3y －1＝0的斜率为－13，∴直线l 的斜率k ＝3，∴tan α＝3，∴12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192π－2α＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2α＝－12sin 2α＝－12×2sin αcos α＝－sin αcos αsin2α＋cos2α＝－tan αtan2α＋1＝－39＋1＝－310.答案 (1)C (2)C规律方法 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 【训练1】 (1)若直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c ＝( ) A.－2B.－4C.－6D.－8(2)已知三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23 解析 (1)由已知得：⎝⎛⎭⎪⎫－a 4×25＝－1，a ＋4c －2＝0，2－5c ＋b ＝0，解得a ＝10，c ＝－2，b ＝－12.∴a ＋b ＋c ＝－4.(2)由题意得直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点.当直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0分别平行时，m ＝23或－43；当直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时，m ＝－23.所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23.答案 (1)B (2)D考点二两直线的交点与距离问题【例2】 (1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为________________.(2)(2020·广州模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________.解析 (1)先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1，2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.(2)由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|5≤3，即|15－3a |≤15，解之得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0，10]. 答案 (1)5x ＋3y －1＝0 (2)[0，10]规律方法 1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.2.利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数分别化为相等.【训练2】 (1)(2020·葫芦岛调研)若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P (1，－1)，则直线l 的斜率是( ) A.－23B.23C.－32D.32(2)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A.95B.185C.2910D.295(3)(一题多解)直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为________.解析 (1)由题意，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)－1，分别与y ＝1，x －y －7＝0联立解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋1，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k －6k －1，－6k ＋1k －1.又因为MN 的中点是P (1，－1)，所以由中点坐标公式得k ＝－23.(2)因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知，|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.(3)法一当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13. ∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意.法二当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1，4). ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 答案 (1)A (2)C (3)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 考点三对称问题多维探究角度1 点关于点对称【例3－1】直线x －2y －3＝0关于定点M (－2，1)对称的直线方程是________________.解析设所求直线上任一点(x ，y )，则关于M (－2，1)的对称点(－4－x ，2－y )在已知直线上，∴所求直线方程为(－4－x )－2(2－y )－3＝0，即x －2y ＋11＝0. 答案 x －2y ＋11＝0规律方法 1.点关于点的对称：点P (x ，y )关于O (a ，b )对称的点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a －x ，y′＝2b －y.2.直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解. 角度2 点关于线对称【例3－2】如图，已知A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( ) A.33 B.6 C.210D.25解析直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2，0)关于直线AB 的对称点为D (4，2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.答案 C规律方法 1.若点A (a ，b )与点B (m ，n )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)对称，则直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直平分线段AB ，即有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A·a ＋m 2＋B·b ＋n 2＋C ＝0.2.几个常用结论(1)点(x ，y )关于x 轴的对称点为(x ，－y )，关于y 轴的对称点为(－x ，y ).(2)点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x ). (3)点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x ，2b －y ). 角度3 线关于线对称【例3－3】直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________________.解析设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x02－y ＋y02＋2＝0，x －x0＝－（y －y0），得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝y －2，y0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0. 答案 x －2y ＋3＝0规律方法求直线l 1关于直线l 对称的直线l 2，有两种处理方法：(1)在直线l 1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l 的对称点，再用两点式写出直线l 2的方程.(2)设点P (x ，y )是直线l 2上任意一点，其关于直线l 的对称点为P 1(x 1，y 1)(P 1在直线l 1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x ，y 表示出x 1，y 1，再代入直线l 1的方程，即得直线l 2的方程.【训练3】已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2).求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)(一题多解)直线l 关于点A 对称的直线l ′的方程.解(1)设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，即A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点必在m ′上. 设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，即M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4，3).又m ′经过点N (4，3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)法一在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1，1)，N (4，3)，则P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上.易知P ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法二设Q (x ，y )为l ′上任意一点，则Q (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为 Q ′(－2－x ，－4－y )，∵Q ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.数学抽象——活用直线系方程1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.直线系方程的常见类型(1)过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是：y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数且λ≠C )； (3)垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)； (4)过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R ，但不包括l 2). 类型1 相交直线系方程【例1】 (一题多解)已知两条直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点为P ，求过点P 且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程.解法一解l 1与l 2组成的方程组得到交点P (0，2)，因为k 3＝34，所以直线l 的斜率k ＝－43，方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二设所求直线l 的方程为：4x ＋3y ＋c ＝0，由法一可知：P (0，2)，将其代入方程，得c ＝－6，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.法三设所求直线l 的方程为：x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0，因为直线l 与l 3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0. 类型2 平行直线系方程【例2】已知直线l 1与直线l 2：x －3y ＋6＝0平行，l 1与x 轴、y 轴围成面积为8的三角形，请求出直线l 1的方程.解设直线l 1的方程为：x －3y ＋c ＝0(c ≠6)，则令y ＝0，得x ＝－c ；令x ＝0，得y ＝c 3，依照题意有：12×|－c |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 3＝8，c ＝±43.所以l 1的方程是：x －3y ±43＝0.【例3】 (一题多解)已知直线方程3x －4y ＋7＝0，求与之平行而且在x 轴、y 轴上的截距和是1的直线l 的方程.解法一设存在直线l ：x a ＋y b ＝1，则a ＋b ＝1和－b a ＝34组成的方程组的解为a ＝4，b ＝－3.故l 的方程为：x 4－y3＝1，即3x －4y －12＝0.法二根据平行直线系方程可设直线l 为：3x －4y ＋c ＝0(c ≠7)，则直线l 在两坐标轴上截距分别对应的是－c 3，c 4，由－c 3＋c4＝1，知c ＝－12.故直线l 的方程为：3x －4y －12＝0.类型3 垂直直线系方程【例4】求经过A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.解因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A(2，1)，所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.类型4直线系方程的应用【例5】求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3，1)，B(5，7)等距离的直线方程.解设所求直线方程为2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0，即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0，由点A(－3，1)，B(5，7)到所求直线等距离，可得|（2＋7λ）×（－3）＋（7－21λ）×1－4－λ|（2＋7λ）2＋（7－21λ）2＝|（2＋7λ）×5＋（7－21λ）×7－4－λ|（2＋7λ）2＋（7－21λ）2，整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝2935或λ＝13，所以所求的直线方程为21x－28y－13＝0或x＝1.A级基础巩固一、选择题1.直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能确定解析直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率为k2＝－12，则k1≠k2，且k1k2≠－1.答案 C2.(2020·昆明诊断)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为()A.1B.2C.2D.22解析圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y ＝x ＋3得x －y ＋3＝0，则圆心到直线的距离d ＝|－1－0＋3|12＋（－1）2＝2.答案 C3.(2019·高安期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A.6x －4y －3＝0 B.3x －2y －3＝0 C.2x ＋3y －2＝0D.2x ＋3y －1＝0解析因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0.答案 A4.设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线ax －y ＋1＝0与直线x －ay －1＝0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析当a ＝1时，两直线分别为x －y ＋1＝0和x －y －1＝0，满足两直线平行.当直线ax －y ＋1＝0与直线x －ay －1＝0平行时，若a ＝0，两直线分别为－y ＋1＝0和x －1＝0，不满足两直线平行，所以a ≠0.故a 1＝－1－a ≠1－1，解得a 2＝1，且a ≠－1，所以a ＝1.即“a ＝1”是“直线ax －y ＋1＝0与直线x －ay －1＝0平行”的充要条件.故选C. 答案 C5.点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( ) A.(1，2)B.(2，1)C.(1，2)或(2，－1)D.(2，1)或(－2，1)解析设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x0＋y0－5＝0，|x0－y0－1|2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝1，y0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x0＝2，y0＝－1，所以点P 的坐标为(1，2)或(2，－1).故选C. 答案 C6.(2020·河北五校联盟质检)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A.2B.823C.3D.833解析因为a ＝0或a ＝2时，l 1与l 2均不平行，所以a ≠0且a ≠2.因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a （a －2）＝3，2a2≠18，a≠2，a≠0，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823.故选B.答案 B7.(2020·山东省精英对抗赛)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点N ，则直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为( ) A.2x ＋3y －12＝0 B.2x ＋3y ＋12＝0 C.2x －3y ＋12＝0D.2x －3y －12＝0解析由ax ＋y ＋3a －1＝0可得a (x ＋3)＋y －1＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y ＝1，∴N (－3，1).设直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6). 则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c|4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去).∴所求直线方程为2x ＋3y ＋12＝0，故选B. 答案 B8.已知直线l 1：mx －y ＋3＝0与l 2关于直线y ＝x 对称，l 2与l 3：y ＝－12x ＋12垂直，则实数m ＝( ) A.－12B.12C.－2D.2解析由于l 2与l 3：y ＝－12x ＋12垂直，故l 2的斜率是2.设l 2：2x －y ＋n ＝0，因为l 1：mx －y ＋3＝0过定点(0，3)，l 2和x 轴的交点为⎝⎛⎭⎪⎫－n 2，0，l 1：mx －y ＋3＝0与l 2关于直线y ＝x 对称，所以3n 2＝－1，则n ＝－6.易知l 2：2x －y －6＝0和直线y ＝x 的交点为(6，6)，该点也在l 1：mx －y ＋3＝0上，所以6m －6＋3＝0，解得m ＝12. 答案 B 二、填空题9.点(－1，－2)关于直线x ＋y ＝1对称的点的坐标是______.解析设点(－1，－2)关于直线x ＋y ＝1对称的点的坐标是(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧m －12＋n －22＝1，n ＋2＝m ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2，故所求坐标为(3，2). 答案 (3，2)10.(2020·长沙一调)已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.解析设点M (－3，4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，由⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －（－3）·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2，6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.答案 6x －y －6＝011.如果平面直角坐标系内的两点A (a －1，a ＋1)，B (a ，a )关于直线l 对称，那么直线l 的方程为________________. 解析因为直线AB 的斜率为a ＋1－a a －1－a＝－1，所以直线l 的斜率为1.设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，由题意知直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －12，2a ＋12，所以2a ＋12＝2a －12＋b ，解得b ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0. 答案 x －y ＋1＝012.在平面直角坐标系中，已知点P (－2，2)，对于任意不全为零的实数a ，b ，直线l ：a (x －1)＋b (y ＋2)＝0，若点P 到直线l 的距离为d ，则实数d 的取值范围是________. 解析易知直线l 经过定点(1，－2)，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为（－2－1）2＋（2＋2）2＝5，最小值为0，所以d 的取值范围是[0，5]. 答案 [0，5]B 级能力提升13.设△ABC 的一个顶点是A (3，－1)，∠B ，∠C 的平分线的方程分别是x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程是( ) A.y ＝3x ＋5 B.y ＝2x ＋3 C.y ＝2x ＋5D.y ＝－x 2＋52解析 A 关于直线x ＝0的对称点是A ′(－3，－1)，关于直线y ＝x 的对称点是A″(－1，3)，由角平分线的性质可知，点A′，A″均在直线BC上，所以直线BC的方程为y＝2x＋5.故选C.答案 C14.(2019·洛阳期末)已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By ＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示()A.过点P且与l垂直的直线B.过点P且与l平行的直线C.不过点P且与l垂直的直线D.不过点P且与l平行的直线解析因为点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P，排除A，B；又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行，排除C.故选D.答案 D15.(2020·济南质检)l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________________.解析当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大.因为A(1，1)，B(0，－1)，所以k AB＝－1－10－1＝2，所以当l1，l2间的距离最大时，直线l1的斜率为k＝－12，此时，直线l1的方程是y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.答案x＋2y－3＝016.(一题多解)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，若点A(5，0)到直线l的距离为3，则l的方程为________.解析法一两直线交点为(2，1)，当斜率不存在时，所求直线方程为x－2＝0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋(1－2k)＝0.由点线距离公式得d ＝|5k ＋1－2k|k2＋1＝3，解得k ＝43，故所求直线方程为4x －3y －5＝0.综上知，所求直线方程为x －2＝0或4x －3y －5＝0.法二经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，所以|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，解得λ＝2或λ＝12.所以l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0. 答案 x ＝2或4x －3y －5＝0C 级创新猜想17.(多选题)已知直线l 1：x －y －1＝0，动直线l 2：(k ＋1)x ＋ky ＋k ＝0(k ∈R )，则下列结论正确的是( )A.存在k ，使得l 2的倾斜角为90°B.对任意的k ，l 1与l 2都有公共点C.对任意的k ，l 1与l 2都不重合D.对任意的k ，l 1与l 2都不垂直解析对于动直线l 2：(k ＋1)x ＋ky ＋k ＝0(k ∈R )，当k ＝0时，斜率不存在，倾斜角为90°，故A 正确；由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，（k ＋1）x ＋ky ＋k ＝0，可得(2k ＋1)x ＝0，对任意的k ，此方程有解，可得l 1与l 2有交点，故B 正确；因为当k ＝－12时，k ＋11＝k －1＝k－1成立，此时l 1与l 2重合，故C 错误；由于直线l 1：x －y －1＝0的斜率为1，动直线l 2的斜率为k ＋1－k＝－1－1k ≠－1，故对任意的k ，l 1与l 2都不垂直，故D 正确.答案 ABD18.(多填题)在平面直角坐标系内，已知A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)，则平面内任意一点到点A 与点C 的距离之和的最小值为________，平面内到A ，B ，C ，D 的距离之和最小的点的坐标是________.解析设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |＝25，当且仅当A ，M ，C 共线，且M 在A ，C 之间时取等号，同理，|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线，且M 在B ，D 之间时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，此时|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求.因为k AC ＝6－23－1＝2，所以直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x－y ＝0.① 又因为k BD ＝5－（－1）1－7＝－1，所以直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以M (2，4).答案 25 (2，4)。

【红对勾】高考新课标数学(文)大一轮复习课时练：选4-1-2直线与圆的位置关系(含答案解析)

课时作业59 直线与圆的位置关系1．如图，AB 是⊙O 的直径，MN 与⊙O 切于点C ，AC ＝12BC ，则sin ∠MCA ＝________.解析：由弦切角定理得，∠MCA ＝∠ABC ， sin ∠ABC ＝AC AB ＝AC AC 2＋BC 2＝AC 5AC ＝55. 答案：552．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若PB PA ＝12，PC PD ＝13，则BCAD的值为________．解析：∵∠P ＝∠P ，∠PCB ＝∠PAD ，∴△PCB ∽△PAD ， ∴PB PD ＝PC PA ＝BC DA ，∵PB PA ＝12，PC PD ＝13，∴BC AD ＝66. 答案：663．如图，D 是圆O 的直径AB 延长线上一点，PD 是圆O 的切线，P 是切点，∠D ＝30°，AB ＝4，BD ＝2，PA ＝________.解析：连接PO ，因为PD 是⊙O 的切线，P 是切点，∠D ＝30°，所以∠POD ＝60°，并且AO ＝2，∠POA ＝120°，PO ＝2，在△POA 中，由余弦定理知，PA ＝2 3.答案：2 34．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝72°，⊙O 过A 、B 两点且与BC 相切于点B ，与AC 交于点D ，连接BD ，若BC ＝5－1，则AC ＝________.解析：由题易知，∠C ＝∠ABC ＝72°，∠A ＝∠DBC ＝36°，所以△BCD ∽△ACB ，又易知BD ＝AD ＝BC ，所以BC 2＝CD·AC ＝(AC －BC)·AC ，解得AC ＝2.答案：25．(2015·湖北卷)如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC ＝3PB ，则ABAC＝________.解析：由切割线定理知，PA 2＝PB·PC ＝PB·(PB ＋BC)＝4PB 2，则PA ＝2PB ，而△PAB ∽△PCA ，所以AB AC ＝PB PA ＝12.答案：126．(2016·江苏月考)如图，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作圆O ，圆O 与斜边AC 交于D ，过D 作圆O 的切线与BC 交于E ，若BC ＝6，AB ＝8，则OE ＝________.解析：由题意，如图，连接OD ，BD ，则OD ⊥ED ，BD ⊥AD.∵OB ＝OD ，OE ＝OE ，∴Rt △EBO ≌Rt △EDO ，∴EB ＝ED ，∴∠EBD ＝∠EDB.又∠EBD ＋∠C ＝90°，∠EDB ＋∠EDC ＝90°，∴∠C ＝∠EDC ，∴ED ＝EC ，∴EB ＝EC.∵O 是AB 的中点，∴OE ＝12AC.∵直角边BC ＝6，AB ＝8，∴AC ＝10，∴OE ＝5.答案：5 7.(2015·广东卷)如图，已知AB 是圆O 的直径，AB ＝4，EC 是圆O 的切线，切点为C ，BC ＝1，过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD ＝________.解析：连接OC ，由于EC 是圆O 的切线，∴OC ⊥DC ，由题意知OC ＝2，∴在Rt △DOC 中，cos ∠COD ＝OCOD .又OD ∥BC ，∴∠COD ＝∠OCB ，而△OCB 为等腰三角形，且OC ＝OB ＝2，BC ＝1，∴cos ∠OCB ＝cos ∠OBC ＝BC AB ＝14，∴cos ∠COD ＝OC OD ＝14，∴OD ＝8.答案：88．如图，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA ＝∠DBA.若AD ＝m ，AC ＝n ，则AB ＝________.解析：∵PB 切⊙O 于点B ，∴∠PBA ＝∠ACB.又∠PBA ＝∠DBA ， ∴∠DBA ＝∠ACB ，又∠A 是公共角， ∴△ABD ∽△ACB.∴AB AC ＝ADAB ，∴AB 2＝AD·AC ＝mn ，∴AB ＝mn. 答案：mn9．如图，两个等圆⊙O 与⊙O′外切，过O 作⊙O′的两条切线OA ，OB ，A ，B 是切点，点C 在圆O′上且不与点A ，B 重合，则∠ACB ＝________.解析：连接O′A ，O′B ，O′O ，由⊙O 与⊙O′外切且半径相等得O′A ＝12O′O ，又因O′A⊥OA ，所以∠AOO′＝30°，同理∠BOO′＝30°，故∠AOB ＝60°，由四边形的内角和为360°得∠AO′B ＝120°，故∠ACB ＝12∠AO′B ＝60°.答案：60°10．(2015·江苏卷)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D.求证：△ABD ∽△AEB.证明：因为AB ＝AC ，所以∠ABD ＝∠C. 又因为∠C ＝∠E ，所以∠ABD ＝∠E ，又∠BAE 为公共角，可知△ABD ∽△AEB.11．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．12．(2015·新课标全国卷Ⅰ)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.(1)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；(2)若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小．解：(1)证明：如图，连接AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB. 在Rt △AEC 中，由已知得，DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE.连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB. 又∠ACB ＋∠ABC ＝90°，所以∠DEC ＋∠OEB ＝90°，故∠OED ＝90°，DE 是⊙O 的切线．(2)设CE ＝1，AE ＝x ，由已知得AB ＝23，BE ＝12－x 2. 由射影定理可得，AE 2＝CE·BE ，所以x 2＝12－x 2，即x 4＋x 2－12＝0.可得x ＝3，所以∠ACB ＝60°.(tan ∠ACB ＝AE CE＝3)13．如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB ，FC.(1)求证：FB ＝FC ； (2)求证：FB 2＝FA·FD ；(3)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝6 cm ，求AD 的长．解：(1)证明：因为AD 平分∠EAC ，所以∠EAD ＝∠DAC. 因为四边形AFBC 内接于圆，所以∠DAC ＝∠FBC. 因为∠EAD ＝∠FAB ＝∠FCB ，所以∠FBC ＝∠FCB ，所以FB ＝FC. (2)证明：因为∠FAB ＝∠FCB ＝∠FBC ， ∠AFB ＝∠BFD ，所以△FBA ∽△FDB ，所以FB FD ＝FAFB，所以FB 2＝FA·FD.(3)因为AB 是圆的直径，所以∠ACB ＝90°，又∠EAC ＝120°，所以∠ABC ＝30°， ∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，因为BC ＝6，所以AC ＝BCtan ∠ABC ＝23，所以AD ＝ACcos ∠DAC＝43(cm)．14．(2015·新课标全国卷Ⅱ)如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点．(1)证明：EF ∥BC ；(2)若AG 等于⊙O 的半径，且AE ＝MN ＝23，求四边形EBCF 的面积．解：(1)证明：由于△ABC 是等腰三角形，AD ⊥BC ，所以AD 是∠CAB 的平分线．又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于E ，F ，所以AE ＝AF ，故AD ⊥EF.从而EF ∥BC.(2)由(1)知，AE ＝AF ，AD ⊥EF ，故AD 是EF 的垂直平分线．又EF 为⊙O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE ⊥AE.由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形．因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1，于是AD ＝5，AB ＝1033.所以四边形EBCF 的面积为12×(1033)2×32－12×(23)2×32＝1633.。

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第 1 页课时提能演练 1.(2012·娄底模拟)如图：PA切圆O于点A，PA=4，PBC过圆心O，且与圆相交于B、C两点，AB∶AC=1∶2,则圆O的半径为________.

2.如图AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为________.

3.如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，F是AB的中点，CF的延长线交⊙O于点E，那么CF∶EF的值是__________.

4.(2011·广东高考)如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，∠BAC=∠APB，则AB=__________. 第 2 页

5.圆外切等腰梯形的上底长为4 cm，圆的半径为3 cm，那么这个梯形的腰长是 ________________. 6.如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB1PA2, PC1PD3,则BCAD的值为_________.

7.已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为22,AB=3，则切线AD的长为__________.

8.如图，⊙O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=27，AB=BC=3，则AC=_____________.

9.如图，已知△ABC中，∠B=60°,CD⊥AB,AE⊥BC,则DE=_____AC. 10.(2011·天津高考)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是第 3 页

AB延长线上一点，且DF=CF=2，AF∶FB∶BE=4∶2∶1.若CE与圆相切,则线段CE的长为 ____________.

11.如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A.若BD⊥AE,AB=4,BC=2,AD=3,则DE= ________;CE=___________.

12.如图，PC是⊙O的切线，C为切点，PAB为割线，PC=4，PB=8，∠B=30°,则BC=_____________.

13.如图，PT为⊙O的切线，T为切点，PA是割线，它与⊙O的交点是A、B，与直径CT的交点是D，已知CD=2，AD=3，BD=4，那么PB=_______. 第 4 页

14.如图，在三角形ABC中，∠A=60°,∠ACB=70°,CF是△ABC的边AB上的高，FP⊥BC于点P，FQ⊥AC于点Q，则∠CQP的大小为_________.

15.如图，△ABC是圆内接三角形，PA切圆于点A，PB交圆于点D，若∠ABC= 60°,PD=1,BD=8,则∠PAC=________,PA=______.

16.(2011·湖南高考)如图所示，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________

17.在圆内接△ABC中，AB=AC=53，Q为圆上一点，AQ和BC的延长线交于点P(如图)，且AQ∶QP=1∶2，则AP=_________. 第 5 页

18.如图所示，梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC=8，CD=5，AF=6，则EF的长为________.

19.如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.若△ABC的面积S=12AD·AE，则∠BAC=_________.

20.如图，已知A、B、C、D、E五点都在⊙O上，且AC为⊙O的直径，则∠A+∠B+∠C=________.

21.如图所示，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC=12BC，则sin∠MCA 第 6 页

=__________. 22.如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于_________.

23.如图，已知AB是⊙O的直径，CD与AB相交于E，∠ACD=60°,∠ADC=45°，则∠AEC=_________.

24.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，∠DAB=80°,则∠ACO=________.

25.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AP和过C的切线互相第 7 页

垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交⊙O于Q,若∠BTC=120°,AB=4,则PQ·PB=__________.

26.如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为_________. 27.如图，分别延长圆内接四边形ABCD两组对边相交于E和F两点，如果∠E= 30°,∠F=50°,那么∠A=____________.

28.如图，PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线.并且不过圆心O，已知∠BPA= 30°,PA=23,PC=1,则圆O的半径为__________. 第 8 页

29.如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连接CB，并延长与PQ相交于Q点，若AQ=6，AC=5，则弦AB的长是 ___________.

30.如图，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA=1，ED=2，则BC的长为________.

答案解析 1.【解析】∵PA是切线， ∴∠BAP=∠ACP,∵∠P=∠P,∴△PAB∽△PCA,则ABPAACPC,即142PC,∴PC=8.设圆的半径为r,由切割线定理PA2=PB·PC得，16=(8-2r)×8.解出r=3. 答案：3 第 9 页

2.【解析】连接OC，因为CD切圆O于点C，所以OC⊥CD，因为∠A=30°,所以∠COD=60°，所以∠D=30°. 答案：30° 3.【解析】设正方形的边长为2a，则AF=BF=a, ∴CF=22BCBF5a. 又∵CF·EF=AF·BF, ∴CF·EF=a2,

∴EF=2a5a55a, ∴CF∶EF=5∶1. 答案：5∶1 4.【解题指南】利用相似三角形对应边成比例，求得AB的值. 【解析】∵∠PAB=∠ACB,又∠BAC=∠APB， ∴△ABP∽△CBA,∴ABPBBCAB, 从而AB2=PB·BC=7×5=35,∴AB=35. 答案：35

5.【解析】如图，等腰梯形ABCD外切于⊙O，第 10 页

设M，N是梯形上、下底与⊙O相切的切点，作DP⊥AB，P为垂足，连接MN，易知MN过点O.根据圆的切线性质，DM=2 cm=PN,若设AN=x cm, 则AD=(x+2) cm,AP=(x-2)cm. 易知MN=DP=6 cm, 所以在Rt△APD中，AD2=DP2+AP2，即(x+2)2=62+(x-2)2, 解得x=92，故等腰梯形ABCD的腰长为x+2=6.5(cm). 答案：6.5 cm 6.【解析】∵∠P=∠P,∠PCB=∠PAD, ∴△PCB∽△PAD. ∴PBPCBC.PDPAAD

∵PB1PC1BC6,,.PA2PD3AD6 答案：66 7.【解析】作OE⊥BC垂足为E，连接OC，由题意知，OC=3，OE=22，则CE=BE=1，所以AC=5，由切割线定理得，AD2=AB·AC=15，所以AD=15. 答案：15 8.【解析】∵CD是切线， ∴CD2=BD·(BD+AB)，即28=BD2+3BD，第 11 页

∴BD=4，又∠1=∠A,∠D为公共角， ∴△ACD∽△CBD,∴ACCDCBBD,

∴AC=CBCD32737BD42. 答案：372 9.【解析】∵CD⊥AB,∠B=60°, ∴∠BCD=30°,∴BD=12BC, 又∵AE⊥BC,∴∠AEC=∠ADC, ∴A、D、E、C四点共圆，又∠BED=∠BAC,又∠B为公共角， ∴△BED∽△BAC, ∴DEBD1CABC2,即DE=12AC. 答案：12 10.【解题指南】利用相交弦及切线的比例关系求解. 【解析】设BE=x,则AF=4x,FB=2x,因为AF·FB=DF·FC，所以8x2=2,x=12，

又CE2=BE·AE，即CE=77x2. 答案: 72 11.【解析】由圆的割线定理知：AB·AC=AD·AE， ∴AE=8，∴DE=5，连接EB，∵∠EDB=90°, ∴EB为直径，∴∠ECB=90°. 由勾股定理，得EB2=DB2+ED2=AB2-AD2+ED2=16-9+25=32. 第 12 页

在Rt△ECB中，EB2=BC2+CE2=4+CE2, ∴CE2=28，∴CE=27. 答案：5 27 12.【解析】连接AC，∵PC2=PA·PB，∴PA=2，∠ACP=∠B=30°,在△PAC中，由正弦定理得24sin30sinPAC,∴sin∠PAC=1, 从而∠PAC=90°,∠P=60°,∠PCB=90°, ∴BC=22PBPC43. 答案：43 13.【解析】由相交弦定理，得CD·DT=AD·BD， ∴DT=ADBD34CD2 =6, ∴PT2=(PB+4)2-62=PB(PB+7). 解得PB=20. 答案：20 14.【解析】由FP⊥BC,FQ⊥AC知，Q、C、P、F四点共圆，所以∠CQP=∠CFP=∠B=180°-(60°+70°)=50°. 答案：50° 15.【解析】∵PA是圆的切线， ∴∠PAC=∠ABC=60°,又PA2=PD·PB=1×(1+8)=9,所以PA=3. 答案：60° 3 16.【解析】连接AB、AO、CE、OE，则△OAB,