全国数学建模竞赛06艾滋问题研究

艾滋病疗法的评价及疗效的预测 摘要 本题是一个根据ACTG所公布的数据对艾滋病的疗法进行评价，并对其疗效进行预测的问题。在解决过程中，我们建立了四个数学模型，并给出了具体的数值结果。 针对问题一，我们建立了两个数学模型，从附件一中筛选了部分数据，从不同的角度解决了问题。模型一运用了二元线性回归预测方法以最小二乘法为工具得到了二元经验线性回归方程及相应数值结果。模型二为带有权重系数的Hammerstein模型，可视为模型一的推广。在一般情况下，它是一个非线性的模型，因而我们用最速下降法给出了回归方程系数的数值解法。 问题二的解答利用了模型一、二中的相关结论，建立了一个多目标决策的数学模型。该模型中，我们运用层次分析法得到了各评价因子的权重系数，并由此得出疗法的综合评价指数。从附件二中筛选了部分数据，根据病情及年龄将其分为九类，对每一类患者选择了较优的疗法，并确定了最佳治疗终止时间。 在问题三的解决过程中，我们考虑了疗效和费用两因素，建立了模糊切比雪夫多目标决策模型，利用该模型我们得到了问题二的重新评价和预测结果。 问题一、二、三的具体数值结果如下： 问题一：轻症患者最佳治疗终止时间为第76周，中症患者为第65周，重症患者为第54周。 问题二：对第1类病人第一种疗法的疗效较好，其最佳治疗终止时间为第78 周；对第3类病人第二种疗法较为有效，其最佳治疗终止时间为第20周；对第2类病人第三种疗法的治疗效果较好，其最佳治疗终止时间为第41周；对第48类病人第四种疗法较为有效，最佳治疗终止时间分别为第34,29,40,24,25周。 问题三：问题二中需要调整疗法的有:第3、第7、第8类病人，他们均可选用第三种疗法。 关键词：最小二乘法 模糊切比雪夫多目标决策 层次分析法 一、问题的重述与分析 1、 问题的重述 艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。 艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。 艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。 迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。 现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。 ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）。193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）。4种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平）。 请你完成以下问题： （1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）。 （2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。 （3）艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。

2、 问题的分析 本文主要解决以下问题：在已知相关数据的前提下对艾滋病药物的疗效进行评价和预测。解决问题前应先对数据进行筛选和分类处理，例如根据病情及年龄分组，只有在此前提下我们才能对同类对象进行评价和预测。在对疗效进行预测时，可运用线性回归、非线性回归等方法进行预测并对两者的回归效果进行比较，找出其中的数值规律。在对各类药物的优劣进行评价时，我们可以构造一个用于评价各类药物的优劣指标的函数，它应该是CD4细胞所能达到的峰值，药物有效时间，CD4细胞含量的变化率以及CD4细胞达到的峰值所需时间等相关因素的量化指标。如果要考虑费用因素，那么综合效用应该是由药物的疗效和价格共同决定。 二、基本假设 1、假设艾滋病人在服用指定药物期间没有服用其他相关药物； 2、假定病人其他与艾滋病无关的疾病不影响病人内CD4的浓度； 3、假定药物的价格在不发达国家及地区无区域性差异； 4、假设治疗效果仅由CD4和HIV浓度的综合指标表示；

三、主要符号说明及名词约定 1、符号说明 ()ft： 人体内CD4细胞的浓度指标；单位：0.2个/ml

()gt ： 人体内HIV的浓度指标； ()Pt： 衡量治疗效果的指标函数； ()yt ： 由CD4细胞及HIV的浓度指标构成的效用函数； ()t ： 正态噪声序列；

(1,2)iki： ()ft、()gt在效用函数中的权重系数；

(1,2,3,4)iwi：ijT、ijT、(max)ijg、()ijVt在疗效评价指标中的权重系数；

1()ijht： 第j类患者运用第i种疗法时，不考虑费用的前提下疗效的综合评价指标(1,2,3,4;1,2,...,9)ij； 2()iht： 第i种疗法所花费用（单位：美元）；

ijT： 第j类患者运用第i种疗法时，CD4细胞浓度达到峰值（单位：周）(1,2,3,4;1,2,...9)ij； ijT： 第j类患者用第i种疗法的有效时间（单位：周 ）(1,2,3,4;i1,2,...9)j；

(max)ijg: 第j类患者运用第i种疗法后CD4细胞浓度所能达到的峰值（单位：0.2

个/ml）； ()ijVt： CD4细胞含量的变化率； iC: 第i类疗法所用药物在不发达地区的销售价格（单位：美元）； 2、名词约定 最佳终止治疗时间：病人使用药物后，效用函数（或CD4 的量化指标）经历先上升后下降的规律后，首次低于最初效用函数值的时刻。 CD4细胞的峰值：在一疗程中，人体内CD4细胞所能达到的最大值。 患者分类：依据患者的初始病情分为轻度，中度，重度三种情况，每种情况中再根据患者的年龄分为三组，则一共九类病人。

四、数学模型的建立及求解 1 问题一的模型的建立及求解 1.1 模型一：预测治疗效果的二元线性回归模型[1]1.1.1预测治疗效果的二元线性回归模型的建立 艾滋病治疗的疗效是由人体内HIV和CD4的浓度共同确定的，而这种关系我们这可以用二元线性回归的方法进行预测。 令

012()()()Ptbbftbgt （1）

式中 2(0,)N--正态噪声序列，其中2012,,,bbb都是与()ft，()gt无关的未知参数。 记 ()((0),(8),...,(40))ftfff， ()((0),(8),...,(40))gtggg。

以下我们用最小二乘法来估计参数，即取00ˆbb，当00ˆbb，11ˆbb，22ˆbb时 402

min0120(()()())tQQPtbbftbgt



分别求Q关于012,,bbb的偏导数，并令他们等于零得 4001200400120140012022[()()()]02[()(()()())]02[()(()()())]0tttQPtbbftbgtbQftPtbbftbgtbQgtPtbbftbgtb























 （2）

化简（2）式可得正规方程组： 4040400120004040404020120000404040402012000040()()()()()()()()()()()()()()()tttttttttttbbftbgtQPtbftbftbftgtftPtbgtbftgtbgtgtPt











 （3）

记 1(0)(40)1(0)(40)ffXgg





， [(0),(8)...(40)]YPPP。

则（3）式即可写成 TTXXBYY，

因而

012ˆˆˆˆ

[,,]TBbbb=1()TTXXXY。

由于我们筛选的数据大致为t0、4、8、24、40，而我们需要的却是比较多的数据，因此在这里我们不妨运用二次插值算出t2、6、16、32时()ft的值。 二次插值多项式为： 020112

012

010210122021

()()()()()()()()()()()()()()()()ttttttttttttqtqtqtqttttttttttttt





得出t2、6、16、32时()ft的值如表1所示： 表1 时间 f(t)/g(t) 0 8 16 24 32 40

020 f(t) 35．898 119．469 122．150 130．592 144．797 164．755 g(t)

15．280 3．220 3．054 2．971 2．859 3．051

2040 f(t) 134．06 188．188 195．024 200．875 205．741 209．625 g(t)

15．006 3．025 2．708 2．594 2．681 2．969

4060 f(t) 241．75 222．75 282．531 309．25 302．907 253．5 g(t)

47．722 94．726 118．352 131．953 135．530 129．083

解得

1012ˆˆˆˆ

()()()8.2796580.8208409()Ptbbftbgtft