不等式的性质5
数学必修5—9.不等式的基本性质
模块一、不等式的基本性质一、不等式的基本性质性质1:如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >.（反身性）性质2如果a b >，b c >，那么a c >.（传递性）性质3如果a b >，那么a c b c +>+.（可加性）推论1如果a b c +>，那么a c b >-.（可移项）推论2如果a b >，c d >，那么a c b d +>+.（同向可加性）性质4如果a b >，0c >，那么ac bc >；如果a b >，0c <，那么ac bc <. 推论1如果0a b >>，0c d >>，那么ac bd >.（同正同向可乘性）推论2如果0a b >>，那么22a b >.（同正同向可乘方性）推论3如果0a b >>，那么n n a b >（n N *∈）.（同正同向可乘方性）推论4如果0a b >>，那么11n n a b >（n N *∈）.（同正同向可开方性）二、高考再现1.（2013·北京卷·文科）设a ，b ，c R ∈，且a b >，则A.ac bc >B.11a b< C.22a b > D.33a b > 2.（2019·全国卷Ⅱ·理科）若a b >，则A ．ln()0a b ->B ．33a b <C ．330a b ->D ．a b >3.（1993·全国卷·理科）若a ，b 是任意实数,且a b >，则A.22a b >B.1b a< C.lg()0a b -> D.11()()22a b < 4.对于任意实数a ，b ，c ，下列命题中正确的是A.若a b >，则22ac bc >B.若0a b >>，则11a b > C.若0a b <<，则b a a b > D.若a b >，11a b>，则0a >，0b < 5.（2014·四川卷·文科）若0a b >>，0c d <<，则一定有 A.a b d c > B.a b d c< C.a b c d > D.a b c d < 6.（2004·北京卷·理科）已知a ，b ，c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是A ．ab ac >B ．c b a ()-<0C ．cb ab 22<D ．0)(<-c a ac7．（2007·上海卷·理科）设a ，b 是非零实数，若b a <，则下列不等式成立的是A ．22b a <B ．b a ab 22<C ．ba ab 2211< D ．b a a b < 8.（2014·山东卷·理科）已知实数x ，y 满足x y a a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是 A.221111x y >++ B.22ln(1)ln(1)x y +>+ C.sin sin x y > D.33x y > 9.（2016·北京卷·理科）已知x ，y R ∈，且0x y >>，则 A.110x y -> B.sin sin 0x y -> C.11()()022x y -< D.ln ln 0x y +> 10.（2020·全国卷Ⅱ·文理科）若2233x y x y ---<-，则A ．ln(1)0y x -+>B ．ln(1)0y x -+<C ．ln 0x y ->D ．ln 0x y -<11.（2005·江西卷·理科）已知实数a ，b 满足等式11()()23a b =，下列五个关系式①0b a << ②0a b << ③0a b << ④0b a << ⑤a b =其中不可能．．．成立的关系式有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个模块二、一元二次不等式考法1 标准的一元二次不等式1.（2012·湖南卷·文科）不等式2560x x -+≤的解集是 .2.（2011·广东卷·文科）不等式2210x x -->的解集是 A.1(,1)2- B.(1,)+∞ C.(,1)(2,)-∞+∞ D.1(,)(1,)2-∞-+∞ 3.（2016·全国卷Ⅱ·理科）已知集合{}1,2,3A =，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ， 则A B =A.{}1B.{}1,2C.{}0,1,2,3D.{}1,0,1,2,3-4.（2018·全国卷Ⅰ·理科）已知集合{}220A x x x =-->，则R C A = A.{}12x x -<< B.{}12x x -≤≤C.{}{}12x x x x <->D.{}{}12x x x x ≤-≥5.（2016·全国卷Ⅰ·理科）设集合{}2430A x x x =-+<，{}230B x x =->, 则A B = A.3(3,)2-- B.3(3,)2- C.3(1,)2D.3(3)2， 6.（2019·全国卷Ⅰ·理科）已知集合{42}M x x =-<<，2{60}N x x x =--<，则M N =A.{43}x x -<<B.{42}x x -<<-C.{22}x x -<<D.{23}x x <<7.（2019·全国卷Ⅱ·理科）设集合2{560}A x x x =-+>，{10}B x x =-<，则A B =A.(,1)-∞ B ．(2,1)- C ．(3,1)-- D ．(3,)+∞8.（2020·全国卷Ⅰ·文科）设集合2{340}A x x x =--<，{4,1,3,5}B =-，则A B =A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3} 考法2 不含一次项的一元二次不等式1.（2016·全国卷Ⅱ·文科）已知集合{}1,2,3A =,{}29B x x =<，则A B =A.{}210,1,2,3--，，B.{}21012--，，，，C.{}123，，D.{}12，2.（2016·浙江卷·理科）已知集合{}13P x R x =∈≤≤, {}24Q x R x =∈≥,则()R P C Q =A ．[]23，B ．(]2,3-C ．[)1,2D ．(,2][1,)-∞-+∞3.（2020·全国卷Ⅰ·理科）设集合2{40}A x x =-≤，{20}B x x a =+≤，且 {21}A B x x =-≤≤，则a =A ．4-B ．2-C ．2D ．4 考法3 不含常数项的一元二次不等式1.（2011·重庆卷·文科）设U R =，2{20}A x x x =->，则U C A =A.[0,2]B.(0,2)C.(,0)(2,)-∞+∞D.(,0][2,)-∞+∞2.（2012·湖南卷·理科）设集合{}1,0,1M =-，{}2N x x x =≤，则MN =A.{}0B.{}0,1C.{}1,1-D.{}1,0,1- 模块三、简单的线性规划1.（2018·全国卷Ⅱ·文科）若x ，y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则z x y=+的最大值是 .2.（2018·全国卷Ⅰ·文理科）设,x y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y=+的最大值为 .3.（2020·全国卷Ⅱ·文科）若x ，y 满足约束条件1121x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为 .4.（2020·全国卷Ⅲ·文理科）若x ，y 满足约束条件0201x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则32z x y=+的最大值为 .5.（2019·全国卷Ⅱ·文科）若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的最大值为 ．6.（2017·全国卷Ⅰ·理科）设,x y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为 .。
4-5不等式基本性质
引申： +bx,且1≤f(引申：设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, 求f(-2)的取值范围. f(-2)的取值范围. 的取值范围
例5、已知 − 1 < a < 0, A = 1 + a2 , B = 1 − a2 , C = 1 , D = 1 , 、
2 、、B 则A、、B、C、 的大小关系是 、、 （ 1+ a 1− a ）
a >b >0,c > d >0⇒ ac >bd ;
n >b n ; （5）a >b >0,n∈N ,n >1⇒ a
（6）a > b > 0, n ∈ N , n >1⇒ n a > n b .
练习: 练习
1.下列命题正确的个数为（ 1 1 (1)若 a > b , 则 < , a b (2)若 ac 2 > bc 2 , 则 a > b ,
例6、比较以下两个实数的大小： 、比较以下两个实数的大小：
1 (1)16 与 18 ; (2) 与2 n (n ∈ N* ) n +1 − n
18 16
（ ）比较a ⋅ b 和a ⋅ b 的 3
a b b a
作商比较法： 作商比较法： 作商——变形 变形——与1比较大小． 比较大小． 作商 变形 与 比较大小 大多用于比较幂指式的大小． 大多用于比较幂指式的大小．
∴ ( x + y )( x − y ) > ( x − y )( x + y )
2 2 2 2
归纳: 归纳
作差比较法的步骤是： 作差比较法的步骤是： 1. 作差； 作差； 2. 变形：配方、因式分解、通分、分母 变形：配方、因式分解、通分、 分子）有理化等； （分子）有理化等； 3. 判断符号； 判断符号； 4. 作出结论． 作出结论．
不等式的基本性质
(同向不等式相加 同向不等式相加) 同向不等式相加 (传递性 传递性) 传递性
= ( x + 10 x + 21) − ( x + 10 x + 24) = −3 < 0
2 2
所以 ( x + 3)(x + 7) < ( x + 4)(x + 6)
不等式的基本性质: 不等式的基本性质 (1 )如果 a > b , 那么 b < a ; 如果 b < a , 那么 a > b .即 (对称性 对称性) a>b⇔ b<a 对称性 ( 2 )如果 a > b , b > c , 那么 a > c .即 a > b , b > c ⇔ a > c
( iii )如果 a > b , c < d , 那么 a − c > b − d .
(4)如果a > b, c > 0, 那么ac > bc; 如果a > b, c < 0, 那么ac < bc. (乘法法则 乘法法则) 乘法法则 如果a > b > 0, c > d > 0, 那么ac > bd . (5)如果a > b > 0, 那么a n > bn ( n ∈ N , n ≥ 2).
不等式及其性质
不等式及其性质【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2. 理解不等式的基本性质，并会简单应用.【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义“≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大“≤”读作“小于等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“≥”读作“大于等于”即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．要点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．不等式的基本性质4：如果a＞b，那么b＜a.不等式的基本性质5：如果a＞b，b＞c，那么a＞c.要点诠释：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念1．（2015春•辽阳校级期中）贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，已知某一天的气温为t℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（）A．18＜t＜27 B．18≤t＜27 C．18＜t≤27 D．18≤t≤27举一反三：【变式】aa 的值一定是（）．A.大于零B.小于零C.不大于零D. 不小于零2.下列叙述：①a是非负数则a≥0；②“a2减去10不大于2”可表示为a2-10＜2；③“x的倒数超过10”可表示为1x＞10；④“a，b两数的平方和为正数”可表示为a2+b2＞0．其中正确的个数是（）.A.1个B.2个C.3个D. 4个3．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形，判断下列正确的情形是( ).举一反三：【变式】设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（ ）.A ．■、●、▲B ．▲、■、●C ．■、▲、●D ．●、▲、■类型二、不等式的基本性质4.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）． （1）若 b-3a ＜0，则b ＜3a ； （2）如果-5x ＞20，那么x ＞-4；（3）若a ＞b ，则 ac 2＞bc 2；（4）若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；（5）若a ＞b ，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）． （6）若a ＞b ＞0，则1a <1b．5.如果a ＞b ，c ＜0，那么下列不等式成立的是( ). A ．a+c ＞b+c B ．c-a ＞c-b C ．ac ＞bc D ．a b c c>举一反三： 【变式】（2015•乐山）下列说法不一定成立的是（ ） A ．若a ＞b ，则a+c ＞b+c B ．若a+c ＞b+c ，则a ＞bC ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2D ．若ac 2＞bc 2，则a ＞b6.下面四个命题：（1）22ac bc >,则a b >；（2）a b >，则ac bc >；（3）若a b >，则1ba<；（4）若0a >，则b a b -<.其中正确的个数是（ ）. A. 1个 B.2个 C. 3个 D. 4个7. （2015春•十堰期末）若2a+b=12，其中a≥0，b≥0，又P=3a+2b．试确定P的最小值和最大值．8.若关于x、y的二元一次方程组3133x y ax y+=+⎧⎨+=⎩的解满足x+y＜2，则a的取值范围是________．举一反三：【变式1】（2015春•沙河市期末）若关于x的不等式（1﹣a）x＞3可化为，则a 的取值范围是．【变式2】a、b是有理数，下列各式中成立的是( )．A．若a＞b，则a2＞b2； B．若a2＞b2，则a＞bC．若a≠b，则｜a｜≠|b| D．若｜a｜≠|b|，则a≠b【基础练习】一、选择题1. （2015春•陕西校级期末）下列式子：①﹣2＜0；②2x+3y ＜0；③x=3；④x+y 中，是不等式的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列不等式表示正确的是( ).A ．a 不是负数表示为a ＞0B ．x 不大于5可表示为x ＞5C ．x 与1的和是非负数可表示为x+1＞0D ．m ＞n ，n ＞4，则m ＞43.式子“①x+y=1；②x ＞y ；③x+2y ；④x-y ≥1；⑤x ＜0”属于不等式的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 4．已知a ＜b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a+3＞b+3B ．2a ＞2bC ．-a ＜-bD ．a-b ＜05．若图示的两架天平都保持平衡，则对a 、b 、c 三种物体的重量判断正确的是（ ）.A.a ＞cB.a ＜cC.a ＜bD.b ＜c 6．下列变形中，错误的是（ ）.A ．若3a+5＞2，则3a ＞2-5B ．若213x ->，则23x <- C ．若115x -<，则x ＞-5 D ．若1115x >，则511x >二、填空题7．用“＞”或“＜”填空：(1)-10.8________10.4； (2)327-________2(2)--；(3)15-________16- ； (4)32________8； (5)(-2)3________3|2|- ； (6) -1.11________119-； (7)当a ＞0，b_____0 时，ab ＜0 ； (8) 当a ＞0，12-a_____0. 8．用不等式表示下列各语句所描述的不等关系： (1)a 的绝对值与它本身的差是非负数________； (2)x 与-5的差不大于2________；(3)a 与3的差大于a 与a 的积________； (4)x 与2的平方差是—个负数________． 9．（2015春•玉田县期末）如果a ＜b ．那么3﹣2a 3﹣2b ．（用不等号连接）10．假设a ＞b ，请用“＞”或“＜”填空(1)a-1________b-1； (2)2a______2b ；(3)12a -_______12b -； (4)a+l________b+1．11．已知a ＞b ，且c ≠0，用“＞”或“＜”填空． (1)2a________a+b (2)2a c _______2bc (3)c-a_______c-b (4)-a|c|_______-b|c|12. k 的值大于-1且不大于3，则用不等式表示 k 的取值范围是_______．（使用形如a ≤x ≤b 的类似式子填空．）三、解答题 13．我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质？请完成下列填空（填“＞”或“＜”），探索归纳得到一般的关系式： （1）已知5321>⎧⎨>⎩可得5+2______3+1，已知3512->-⎧⎨->-⎩可得-5-2_____-3-1； 已知2314-<⎧⎨<⎩可得-2+1_____3+4，…，一般地，如果a bc d >⎧⎨>⎩，那么a+c____b+d ．（2）应用不等式的性质证明上述关系式．14. （2015春•睢宁县校级月考）用等号或不等号填空： （1）比较2x 与x 2+1的大小：当x=2时，2x x 2+1当x=1时，2x x 2+1当x=﹣1时，2x x 2+1（2）任选取几个x 的值，计算并比较2x 与x 2+1的大小；15．已知x ＜y ，比较下列各对数的大小． (1)8x-3和8y-3； (2)516x -+和516y -+； (3) x-2和y-1．【提高练习】一、选择题1．下列不等式中，一定成立的有( ).①5＞-2；②21a >；③x+3＞2；④a +1≥1；⑤22(1)(1)0a b ++>． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个2. 若a+b ＞0，且b ＜0，则a ，b ，-a ，-b 的大小关系为（ ）.A ．-a ＜-b ＜b ＜aB ．-a ＜b ＜-b ＜aC ．-a ＜b ＜a ＜-bD ．b ＜-a ＜-b ＜a 3．（2015•怀化）下列不等式变形正确的是（ ） A ．由a ＞b 得ac ＞bc B ．由a ＞b 得﹣2a ＞﹣2b C ．由a ＞b 得﹣a ＜﹣b D ．由a ＞b 得a ﹣2＜b ﹣24．若0＜x ＜1，则x ，1x，x 2的大小关系是( ). A ．21x x x << B ．21x x x << C ．21x x x << D ．21x x x<<5.已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且a b <cd，给出下列四个不等式：①a c a b c d <++；②c a c d a b <++；③d b c d a b <++；④b da b c d<++ 其中不等式正确的是（ ）.A. ①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③ 6．如果a ＞b ，那么下列不等式一定成立的是( ).A ．a+c ＞b-cB ．a-c ＜b-cC ．11a b< D ．-a ＜-b 二、填空题 7．（2015春•盐城校级期中）给出下列表达式：①a （b+c ）=ab+ac ；②﹣2＜0；③x ≠5；④2a ＞b+1；⑤x 2﹣2xy+y 2；⑥2x ﹣3＞6，其中不等式的个数是 ． 8．(1)若22a b c c <，则a_________b ； (2)若m ＜0，ma ＜mb ，则a_________b ．9．已知2|312|(2)0x x y m -+--=，若y ＜0，则m________．10．已知关于x 的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是负数，则a 的取值范围是________．11．下列结论：①若a ＞b ，则ac 2＞bc 2；②若ac ＞bc ，则a ＞b ；③若a ＞b ，且c ＝d ，则ac ＞bd ；④若ac 2＞bc 2，则a ＞b ，其中正确的有_________．(填序号)12．如果不等式3x-m ≤0的正整数解有且只有3个，那么m 的取值范围是________．三、解答题13．(2015.保定期末)用适当的符号表示下列关系：（1）x的与x的2倍的和是非正数；（2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；（4）明天下雨的可能性不小于70%；（5）小明的身体不比小刚轻．14．已知-2＜a＜3，化简|a-3|-|3a+6|+4(a-1)．15．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法．若A-B＞0，则A ＞B；若A-B＝0，则A＝B；若A-B＜0，则A＜B．这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下列问题．(1)比较3a2-2b+1与5+3a2-2b+b2的大小；(2)比较a+b与a-b的大小；(3)比较3a+2b与2a+3b的大小．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ． 2. 【答案】D ；【解析】a 不是负数应表示为a ≥0，故A 错误； x 不大于5应表示为x ≤5，故B 错误； x 与1的和是非负数应表示为x+1≥0，故C 错误；故D 正确. 3.【答案】B. 4.【答案】D ；【解析】从不等式a ＜b 入手，由不等式的性质1，不等式a ＜b 的两边都加上3后，不等号的方向不变，得a+3＜b+3，故选项A 不成立；由不等式的性质2，不等式a ＜b 的两边都乘以2后，不等号的方向不变，得2a ＜2b ，故选项B 不成立；由不等式的性质3，不等式a ＜b 的两边都乘以-1后，不等号的方向改变，得-a ＞-b ，故选项C 也不成立；由不等式的性质1，不等式a ＜b 的两边都减去b 后，不等号的方向不变，得a-b ＜0．故应选D ． 5.【答案】A. 6.【答案】B ；【解析】B 错误，应改为：213x ->，两边同除以23-，可得：32x <-. 二、填空题7.【答案】 (1)＜ (2)＜ (3)＞ (4)＞ (5)＜ (6) ＞ (7)＜ (8)＜； 【解析】根据大小进行判断．8.【答案】 (1)|a|-a ≥0 (2)x-(-5)≤2 (3)23a a -> (4)2220x -<；9.【答案】＞．【解析】∵a ＜b ，两边同乘﹣2得：﹣2a ＞﹣2b ，不等式两边同加3得：3﹣2a ＞3﹣2b. 10．【答案】(1)＞ (2)＞ (3)＜ (4) ＞； 11.【答案】 (1)＞ (2)＞ (3)＜ (4)＜； 【解析】利用不等式的性质进行判断. 12.【答案】-1＜k ≤3． 三、解答题 13.【解析】 解：（1）由题意得，5+2＞3+1；-5-2＜-3-1；-2+1＜3+4；a+c ＞b+d ； （2）令c=d+1，则可得a+d ＞b+d ，a+d+1＞b+d ， ∴a+c ＞b+d ． 14.【解析】解：（1）比较2x 与x 2+1的大小：当x=2时，2x ＜x 2+1当x=1时，2x=x 2+1当x=﹣1时，2x ＜x 2+1， 故答案为：＜，=，＜；（2）当x=3时，2x ＜x 2+1，当x=﹣2时，2x ＜x 2+1.15.【解析】解： (1)∵ x ＜y ∴ 8x ＜8y ， ∴ 8x-3＜8y-3．(2)∵ x ＜y ，∴ 55y 66x ->-， ∴ 551166x y -+>-+．(3)∵ x ＜y ，∴ x-2＜y-2，而y-2＜y-1，∴ x-2＜y-1．【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】B ；【解析】一定成立的是：①④⑤； 2. 【答案】B. 3.【答案】C ．【解析】∵a ＞b ，∴①c ＞0时，ac ＞bc ；②c=0时，ac=bc ；③c ＜0时，ac ＜bc ， ∴选项A 不正确；∵a ＞b ，∴﹣2a ＜﹣2b ，∴选项B 不正确；∵a ＞b ，∴﹣a ＜﹣b ， ∴选项C 正确；∵a ＞b ，∴a ﹣2＞b ﹣2，∴选项D 不正确． 4. 【答案】C ；【解析】∵0＜x ＜1，∴ x 2≤x ≤1x. 5.【答案】A ； 【解析】∵a b <cd，a 、b 、c 、d 都是正实数， ∴ad ＜bc ，∴ac+ad ＜ac+bc ，即a （c+d ）＜c （a+b ），∴a ca b c d <++，所以①正确，②不正确； ∵a b <cd，a 、b 、c 、d 都是正实数， ∴ad ＜bc ，∴bd+ad ＜bd+bc ，即d （a+b ）＜b （d+c ）， ∴d bc d a b<++，所以③正确，④不正确． 故选A ． 6.【答案】D ； 二、填空题 7.【答案】4.8. 【答案】(1)＜， (2)＞；【解析】（1）两边同乘以2c （20c ≠）；（2）两边同除以(0)m m <. 9. 【答案】＞8；【解析】由已知可得：x ＝4，y ＝2x-m ＝8-m ＜0，所以m ＞8.10．【答案】35a >-； 11.【答案】④ .12.【答案】9≤m ＜12；【解析】3x-m ≤0，x ≤3m ，3≤3m ＜4，∴ 9≤m ＜12. 三、解答题13.【解析】解：（1）x+2x ≤0；（2）设炮弹的杀伤半径为r ，则应有r ≥300；（3）设每件上衣为a 元，每条长裤是b 元，应有3a+4b ≤268；（4）用P 表示明天下雨的可能性，则有P ≥70%；（5）设小明的体重为a 千克，小刚的体重为b 千克，则应有a≥b ．14.【解析】解： ∵ -2＜a ＜3，∴ a-3＜0．当3a+6≥0，即a ≥-2时，3a+6就为非负数．又∵ -2＜a ＜3，3a+6≥0．∴ 原式＝-(a-3)-(3a+6)+4a-4＝-715.【解析】解：(1)222232153240a b a b b b -+--+-=--<．∴ 222321532a b a b b -+<+-+．(2)a+b-(a-b)＝a+b-a+b ＝2b ，当b ＞0时，a+b-(a-b)＝2b ＞0，a+b ＞a-b ；当b ＝0时，a+b-(a-b)＝2b ＝0，a+b=a-b ；当b ＜0时，a+b-(a-b)＝2b ＜0，a+b ＜a-b ．(3)3a+2b-(2a+3b)＝a-b 当a ＞b 时，3a+2b ＞2a+3b ；当a ＝b 时，3a+2b ＝2a+3b ；当a ＜b ，3a+2b ＜2a+3b ．。
不等式的基本性质
a>b>0，c>d>0 如果a>b，c>d,那么ac>bd是否成立？ 如果a>b>0，那么1/a<1/b是否一定成立？ 如果a<b<0，那么1/a>1/b是否一定成立？ 同号倒数改向性 例：若a、bR，请写出不等式a>b和1/a>1/b同时成立的 充要条件。
正数同向相乘法性
例 求证：如果a>b>0，那么a2>b2。 如果a>b>0，那么an>bn。(nN*)
7、已知三个不等式：（1）ab>0；（2）－c/a<－d/b；
（3）bc>ad，以其中两个作为条件，余下一个作为结论， 则可以组成多少个真命题？ 8、已知命题甲：a>b，命题乙：1/a<1/b， 命题丙：c/a2>c/b2。 （1）若甲是乙的必要非充分条件，求a、b应满足的条件； （2）若a<0，b<0，判断丙是甲的什么条件，并加以证明。 9、（1）设2<a5,3b<10，求a+b、a-b及a/b的取值范围； （2）若二次函数f(x)的图像过原点，且1f(-2) 2, 3f(3)
2、如果a>b，那么a+c>b+c。
3、如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc。 4、如果a>b，c>d,那么a＋c>b＋d。 5、如果a>b>0，c>d>0,那么ac>bd。 6、如果a、b同号，那么1/a<1/b。
7、如果a>b>0，那么an>bn (nN*) 。
4、解关于x的不等式：（1）ax+4<2x+a2，其中a>2 （2）m(x+2)>x+m。
不等式的基本性质
不等式的基本性质
基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。
符号语言表示为：如果，那么。
基本性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
符号语言表示为：如果，并且，那么（或）。
基本性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
符号语言表示为：如果，并且，那么（或）。
注意事项：
(1)“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“＞”，那么变化后仍是“＞”；如果原来是“≤”，那么变化后仍是“≤”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“＞”，那么变化后将成为“＜”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘(除)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号的方向一定要改变。
第二章 2.1 第二课时等式性质与不等式的性质
第二课时 等式性质与不等式的性质课标要求素养要求1.掌握不等式的基本性质；2.运用不等式的性质解决有关问题.通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题，提升数学抽象及数学运算素养.教材知识探究在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表示这一现象.问题 你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？提示 糖水变甜这一现象对应的不等式为a b <a ＋c b ＋c，其中a <b ，c >0.1.等式的性质性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ； 性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ； 性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ； 性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ； 性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c .2.不等式的性质 注意这些性质是否可逆(易错点) 性质1 如果a >b ，那么b <a ；如果b <a ，那么a >b .即a >b b <a .性质2 如果a >b ，b >c ，那么a >c ，即a >b ，b >c a >c . 性质3 如果a >b ，那么a ＋c >b ＋c .性质4 如果a >b ，c >0，那么ac >bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc . 性质5 如果a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d . 性质6 如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . 性质7 如果a >b >0，那么a n >b n (n ∈N ，n ≥2).教材拓展补遗[微判断] 1.a >bac 2>bc 2.(×)提示 当c ＝0时，不成立.2.同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(×)提示 相乘需要看是否⎩⎨⎧a >b >0，c >d >0，而相加与正、负和零均无关系.3.设a ，b ∈R ，且a >b ，则a 3>b 3.(√) [微训练]1.已知a ，b ，m 是正实数，则不等式b ＋m a ＋m >ba 成立的条件是( )A.a <bB.a >bC.与m 有关D.恒成立解析b ＋m a ＋m －b a ＝m （a －b ）a （a ＋m ），而a >0，m >0且m （a －b ）a （a ＋m ）>0，∴a －b >0.即a >b . 答案 B2.已知m >n ，则( ) A.m 2>n 2 B.m >n C.mx 2>nx 2D.m ＋x >n ＋x解析 由于m 2－n 2＝(m －n )(m ＋n )，而m ＋n >0不一定成立，所以m 2>n 2不一定成立，而m ，n 不一定有意义，所以选项A ，B 不正确；选项C 中，若x 2＝0，则不成立. 答案 D [微思考]1.若a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d 成立吗？a －c >b －d 呢？提示 a ＋c >b ＋d 成立，a －c >b －d 不一定成立，但a －d >b －c 成立. 2.若a >b ，c >d ，那么ac >bd 成立吗？提示 不一定，但当a >b >0，c >d >0时，一定成立.题型一 利用不等式的性质判断命题的真假【例1】 若1a <1b <0，有下面四个不等式：①|a |>|b |，②a <b ，③a ＋b <ab ，④a 3>b 3，则不正确的不等式的个数是( ) A.0 B.1 C.2D.3解析 由1a <1b <0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①②均不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确. 故不正确的不等式的个数为2. 答案 C规律方法 不等式的性质常与比较大小结合考查，此类问题一般结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值求解.【训练1】 设a >b >0，c <d <0，则下列不等式中一定成立的是( ) A.ac >bd B.a d <b c C.a d >b cD.ac 2<bd 2解析 a >b >0，c <d <0，即为－c >－d >0， 即有－ac >－bd >0，即ac <bd <0，故A 错；由cd >0，又ac <bd <0，两边同乘1cd ，可得a d <bc ，则B 对，C 错； 由－c >－d >0，－ac >－bd >0， 可得ac 2>bd 2，则D 错.故选B. 答案 B题型二 利用不等式的性质证明不等式解决此类问题一定要记准，记熟不等式的性质，并注意在解题中灵活地加以应用 【例2】 若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋dd . 证明 ∵bc －ad ≥0，∴bc ≥ad ，∴bc ＋bd ≥ad ＋bd ， 即b (c ＋d )≥d (a ＋b ).又bd >0，两边同除以bd 得，a ＋b b ≤c ＋dd .规律方法 1.不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小；2.证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导.【训练2】 (1)已知a >b ，e >f ，c >0，求证：f －ac <e －bc . (2)a <b <0，求证：b a <ab .证明 (1)因为a >b ，c >0，所以ac >bc ，即－ac <－bc . 又e >f ，即f <e ，所以f －ac <e －bc .(2)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝（b ＋a ）（b －a ）ab ，∵a <b <0，∴b ＋a <0，b －a >0，ab >0， ∴（b ＋a ）（b －a ）ab <0，故b a <a b . 题型三 利用不等式的性质求范围同向可加性，同向同正可乘性是解这类问题的常用性质 【例3】 已知1<a <6，3<b <4，求a －b ，ab 的取值范围. 求解范围时，不可两式直接相减 解 ∵3<b <4，∴－4<－b <－3. ∴1－4<a －b <6－3，即－3<a －b <3. 又14<1b <13，∴14<a b <63， 即14<a b <2.规律方法 求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除.【训练3】 已知－π2<β<α<π2，求2α－β的取值范围.解 ∵－π2<α<π2，－π2<β<π2， ∴－π2<－β<π2.∴－π<α－β<π. 又∵β<α，∴α－β>0，∴0<α－β<π， 又2α－β＝α＋(α－β)，∴－π2<2α－β<32π.一、素养落地1.通过学习并理解不等式的性质，培养数学抽象素养，通过运用不等式的性质解决问题，提升数学运算素养.2.利用不等式的性质证明简单的不等式是否成立，实际上就是根据不等式的性质把不等式进行适当的变形，证明过程中注意不等式成立的条件. 二、素养训练1.设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A.M >N B.M ＝N C.M <ND.与x 有关解析 M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0.∴M >N . 答案 A2.设a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是( ) A.a －b >0 B.a 3＋b 3>0 C.a 2－b 2<0D.a ＋b <0解析 本题可采用特殊值法，取a ＝－2，b ＝1，则a －b <0，a 3＋b 3<0，a 2－b 2>0，排除A ，B ，C ，故选D. 答案 D3.若8<x <10，2<y <4，则xy 的取值范围为________. 解析 ∵2<y <4，∴14<1y <12.又∵8<x <10，∴2<xy <5. 答案 2<xy <54.下列命题中，真命题是________(填序号).①若a >b >0，则1a 2<1b 2；②若a >b ，则c －2a <c －2b ；③若a <0，b >0，则－a <b ；④若a >b ，则2a >2b . 解析 ①a >b >00<1a <1b1a 2<1b 2；②a >b－2a <－2bc －2a <c －2b ；对③取a＝－2，b ＝1，则－a <b 不成立.④正确. 答案 ①②④5.已知c a >db ，bc >ad ，求证：ab >0.证明 ∵⎩⎪⎨⎪⎧c a >d b ，bc >ad ，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a －d b >0，bc －ad >0.∴⎩⎪⎨⎪⎧bc －ad ab >0，bc －ad >0，∴ab >0.基础达标一、选择题1.已知a <b <0，则下列式子中恒成立的是( ) A.1a <1b B.1a >1b C.a 2<b 2D.a b <1解析 因为a <b <0，不妨令a ＝－3，b ＝－2， 则－13>－12，可排除A ； (－3)2>(－2)2，可排除C ； a b ＝－3－2>1，可排除D ； 而－13>－12，即1a >1b ，B 正确. 答案 B2.设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( ) A.x 2<ax <a 2 B.x 2>ax >a 2 C.x 2<a 2<axD.x 2>a 2>ax解析 ∵x <a <0，∴x 2>a 2. ∵x 2－ax ＝x (x －a )>0，∴x 2>ax . 又ax －a 2＝a (x －a )>0，∴ax >a 2. ∴x 2>ax >a 2. 答案 B3.设a <b <0，则下列不等式中不正确的是( ) A.2a >2b B.ac <bc C.|a |>－bD.－a >－b 解析 a <b <0，则2a >2b ，选项A 正确；当c >0时选项B 成立，其余情况不成立，则选项B 不正确；|a |＝－a >－b ，则选项C 正确；由－a >－b >0，可得－a >－b ，则选项D 正确，故选B. 答案 B4.已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( ) A.a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >a C.a b >a >a b 2D.a b >a b 2>a解析 由题意知ab >0，b 2>1， 则a b 2>a ，且a b 2<0，所以a b >a b 2>a . 答案 D5.若1<a <3，－4<b <2，那么a －|b |的范围是( ) A.－3<a －|b |≤3 B.－3<a －|b |<5 C.－3<a －|b |<3D.1<a －|b |<4 解析 ∵－4<b <2，∴0≤|b |<4，∴－4<－|b |≤0. 又∵1<a <3，∴－3<a －|b |<3. 答案 C二、填空题6.若a >b >0，则a ＋1b ________b ＋1a (用“<”，“>”，“＝”填空). 解析 法一 ∵a >b >0，∴0<1a <1b ， 即1b >1a >0，∴a ＋1b >b ＋1a .法二 a ＋1b －(b ＋1a )＝（a －b ）（1＋ab ）ab ，∵a >b >0，∴a －b >0，ab >0，1＋ab >0， 则a ＋1b >b ＋1a . 答案 > 7.若a <b <0，则1a －b与1a 的大小关系是________. 解析1a －b －1a ＝a －（a －b ）（a －b ）a ＝b （a －b ）a， ∵a <b <0，∴a －b <0，则b （a －b ）a <0，1a －b <1a.答案1a －b <1a8.已知－π2≤α<β≤π2，则α－β2的取值范围是________. 解析 ∵－π2≤α<β≤π2，∴－π4≤α2<β2≤π4. ∴－π4≤α2<π4，①－π4<β2≤π4，∴－π4≤－β2<π4.② 由①＋②得－π2≤α－β2<π2.又知α<β，∴α－β<0.∴－π2≤α－β2<0. 答案 －π2≤α－β2<0 三、解答题9.判断下列各命题的真假，并说明理由. (1)若a <b ，c <0，则c a <cb ； (2)若ac 3<bc 3，则a >b ； (3)若a >b ，且k ∈N *，则a k >b k ； (4)若a >b ，b >c 则a －b >b －c . 解 (1)∵a <b ，不一定有ab >0， ∴1a >1b 不一定成立， ∴推不出c a <cb ，∴是假命题.(2)当c >0时，c 3>0，∴a <b ，∴是假命题.(3)当a ＝1，b ＝－2，k ＝2时，显然命题不成立，∴是假命题.(4)当a ＝2，b ＝0，c ＝－3时，满足a >b ，b >c 这两个条件，但是a －b ＝2<b －c ＝3，∴是假命题. 10.已知c >a >b >0，求证：a c －a >b c －b. 证明a c －a －bc －b ＝a （c －b ）－b （c －a ）（c －a ）（c －b ）＝ac －ab －bc ＋ab （c －a ）（c －b ）＝c （a －b ）（c －a ）（c －b ）. ∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0，a －b >0. ∴c （a －b ）（c －a ）（c －b ）>0.∴a c －a >b c －b. 能力提升11.已知a >b >0，c <d <0，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a d 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3.证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴0<－1c <－1d .∵a >b >0，∴－a d >－bc >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－a d 3>⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c 3，即－⎝ ⎛⎭⎪⎫a d 3>－⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a d 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3. 12.已知1≤a ＋b ≤4，－1≤a －b ≤2，求4a －2b 的取值范围. 解 法一 设u ＝a ＋b ，v ＝a －b 得a ＝u ＋v 2，b ＝u －v2， ∴4a －2b ＝2u ＋2v －u ＋v ＝u ＋3v . ∵1≤u ≤4，－1≤v ≤2，∴－3≤3v ≤6. 则－2≤u ＋3v ≤10，即－2≤4a －2b ≤10. 法二 令4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， ∴4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b . ∴⎩⎨⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3. 又⎩⎨⎧1≤a ＋b ≤4，－3≤3（a －b ）≤6. ∴－2≤4a －2b ≤10.。
不等式的基本性质
不等式的基本性质【知识要点】1．不等式的有关概念：用 连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的 的值叫做不等式的解；一个含有 的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一个不等式的 的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.2．不等式的基本性质：（1）若a ＜b ，则a +c c b +；（2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或c a c b ）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a cb ）. 3.不等式的解与解集：4.一元一次不等式：一元一次不等式的标准形式：)0(≠><a b ax b ax 或一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项变号；④合并同类项；⑤系数化为1. 【典型例题】例1 指出下面变形根据的是不等式的哪一条基本性质.（1）由5a ＞4,得a ＞54; （2）由a +3＞0,得a ＞－3; （3）由－2a ＜1,得a ＞－21; （4）由3a ＞2a +1,得a ＞1.例2 用“＜”“=”“＞”号填空.（1）如果a ＞b ，那么a －b __________0;（2）如果a =b ，那么a －b __________0;（3）如果a ＜b ，那么a －b __________0.例3 指出下列各题中不等式变形的依据.(1)由21a ＞3，得a ＞6.(2)由a －5＞0，得a ＞5.(3)由－3a ＜2，得a ＞－32.例4 根据不等式性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式.(1)x +7＞9(2)6x ＜5x －3 (3)51x ＜52(4)－32x ＞－1例5 如果a ＞ab ，且a 是负数，那么b 的取值范围是什么？* 例6 已知m ＜0，－1＜n ＜0，试将m ，mn ，mn 2从小到大依次排列.【大展身手】1．填空：（1）若3x>4，两边都除以3，得__________，依据是____________．（2）若x+6≤5，两边都减6，得__________，依据是_____________．（3）若－4y≥1，两边都除以－4，得__________，依据是____________．（4）若－23y<－2，两边都乘－32，得___________，依据是____________． 2．若a<b ，用不等号填空： （1）a －5_______b －5；（2）a+m_______b+m ； （3）－2a ______－2b ； （4）6－a_______6－b ；（5）－1+2a_______－1+2b ；（6）ac 2_______bc 2．3．（1）已知a<b ，b<c ，则a_______c ；（2）已知a<b ，则b________a ．4.若a ＜b ，则－3a +1________－3b +1.5.若－35x ＞5，则x ________－3. 6.若a ＞b ，c ≤0，则ac ________bc .7.若ba b a --||=－1，则a －b ________0. 8.若ax ＞b ，ac 2＜0，则x ________ab . 9.若a +3＞b +3，则下列不等式中错误的是( )A.－55b a -<B.－2a <－2bC.a －2＜b －2D.－(－a )＞－(－b )10.若a ＞b ，c ＜0，则下列不等式成立的是( )A.ac ＞bcB.c b c a <C.a －c ＜b －cD.a +c ＜b +c11.有理数a 、b 在数轴上的位置如图1所示，在下列各式中对a 、b 之间的关系表达不正确的是( )A.b －a ＞0B.ab ＞0C.c －b ＜c －aD.a b 11>图112.已知4＞3，则下列结论正确的是( )①4a ＞3a ②4+a ＞3+a ③4－a ＞3－aA.①②B.①③C.②③D.①②③13.下列判断中，正确的个数为( )①若－a ＞b ＞0，则ab ＜0②若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0③若a ＞b ，c ≠0，则ac ＞bc④若a ＞b ，c ≠0，则ac 2＞bc 2⑤若a ＞b ，c ≠0，则－a －c ＜－b －cA.2B.3C.4D.5 14．已知x>y ，则下列不等中不成立的是（ ）A ．x －4>y －4B ．－2x>－2yC ．33x y >D ．－13x<－13y 15．下列不等式的变形中，正确的是（ ）A ．∵－3x>4，∴x>－43B ．∵－3x>4，∴x>－34C ．∵－3x>4，∴x<－43D ．∵－3x>4，∴x<－3416．已知x<y ，要使mx>my 成立，则（ ）A ．m>0B ．m<0C ．m=0D ．m 是任意实数17．如果x<3，则下列不等式错误．．的是（ ） A ．x －3<0 B ．2x<6 C ．－x>－3 D ．x+2008>018.下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A.x 1 +1>2 B.x 2>9 C.2x +y ≤5 D.21 (x －3)<0 19.不等式3(x －2)≤x +4的非负整数解有几个.（ ）A.4B.5C.6D.无数个 20.不等式4x －41141+<x 的最大的整数解为（ ） A.1 B.0 C.－1 D.不存在21.与2x <6不同解的不等式是（ ）A.2x +1<7B.4x <12C.－4x >－12D.－2x <－622．用不等式的基本性质，试将下列不等式化为x>a或x<a的形式：（1）x－1>3；（2）4x<6；（3）－2x>8．23．如果a<b，则下列不等式必定成立的是（）A．am>bm B．am<bm C．am2<bm2D．am2≤bm2 24．如果a<0，则不等式ax>2可化为（）A．x<2aB．x>2aC．x<－2aD．x>－2a25．已知关于x的不等式x>32a，表示在数轴上知图，则a的值为（）A．1 B．2 C．－1 D．－226．已知a>b，比较12－3a与12－3b的大小．27．试比较a与2a的大小．。
不等式的基本性质
不等式的基本性质1．比较两个实数的大小（1）a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b.（2）若b＞0，则有ab＞1⇔a＞b；ab＝1⇔a＝b；ab＜1⇔a＜b.2．不等式的性质(1)对称性：a ＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇔a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N，n≥2)；(6)可开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2)．3.两条常用性质(1)倒数性质：①a＞b，ab＞0⇒1a＜1b；②a＜0＜b⇒1a＜1b；③a＞b＞0,0＜c＜d⇒ac＞bd；④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒1b＜1x＜1a.(2)若a＞b＞0，m＞0，则①真分数的性质：②假分数的性质：b a ＜b＋ma＋m；ba＞b－ma－m(b－m＞0)；ab＞a＋mb＋m；ab＜a－mb－m(b－m＞0)．判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a ＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅5．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．6．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 7．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ， 基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．8．利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)1 9.基本规律：（1）一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22； 2 ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等． 还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．（2）两个变形(1)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．（3）三个注意(I)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(II)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(III)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．。
不等式的基本性质
如果a+b＞c，则a与c-b？
推论1：如果a＋b＞c，则a＞c－b．
证明 ：因为 所以 即 a＋b＞c， a＋b＋(－b)＞c＋(－b)， a＞c－b．
综合法：指从已知条件出发，借助其性质和有 关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到特征结论 或需求问题的方法。其特点和思路是：由因到果。
小试牛刀
(1)在－6＜2 (2)在4＞－3 的两边都加上9，得 的两边都减去6，得 3<11 ；
(3)如果 a＜b，那么 a－3 (4)如果 x＞3，那么 x＋2
-2>-9 ； < b－3；
> 5； (5)如果 x＋7＞9，那么两边都 减去7，得 x＞2．
把不等式60＞36的两边同时乘以任意一个
不为0的数，你发现什么规律了吗？
如果不等式两边都乘同一个正数，则不等
号的方向不变，如果都乘同一个负数，则不等
趣味探索不等式
10年后爷爷和爸爸他们各自多少 岁呢？爷爷的年龄还比爸爸的年 龄大吗？10年前呢？X年后呢？
10年后，60+10>36+10 10年前，60-10>36-10 x年后，60+x>36+x
不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变。
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a>b
b
c b b+c b+c c
号的方向改变。
趣味探索不等式
3.不等式性质3(乘法法则) ：如果 a＞b，c＞0，则ac＞bc； 如果 a＞b，c＜0，则ac＜bc． 证明：因为 ac－bc＝(a－b)c， 又由 a＞b，即 a－b＞0， 所以 当c＞0时，(a－b)c＞0，即 ac＞bc； 所以 当c＜0时，(a－b)c＜0，即 ac＜bc．