用向量法证明直线与直线平行

用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、

平面与平面平行导学案

一、知识梳理

1、设直线l 1和l 2的方向向量分别是为1v 和2v ，由向量共线条件得l 1∥l 2或l 1与l 2重合⇔1

v

∥2v 。

2、直线与平面平行的条件

已知两个不共线向量1v 、2v

与平面a 共面（图（2）），

一条直线l 的一个方向向量为1v

，则由共面向量定理，

可得l ∥a 或l 在平面a 内⇔存在两个实数x 、y ，使

1v ＝x 1v ＋y 2v 。

3、平面与平面平行的条件

已知两个不共线的向量1v 、2v

与平面a 共面，则由两个平面平行的判定定理与性质得

a ∥β或a 与β重合⇔1v ∥β且2v

∥β

4、点M 在平面ABC 内的充要条件

由共面向量定理，我们还可得到：如果A 、B 、C 三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充分

必要条件是，存在一对实数x 、y ，使向量表达式AM x AB y AC =+

成立。

对于空间任意一点O ，由上式可得(1)O M x y O A xO B yO C =--++

，这也是点M 位于平

面ABC 面内的充要条件。

知识点睛 用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行时要注意： （1）若l 1、l 2的方向向量平行，则包括l 1与l 2平行和l 1与l 2重合两种情况。 （2）证明直线与平面平行、平面与平面平行时要说明它们没有公共点。 例1：如图3－28，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，点M ，N 分别是面对角线A ′B 与面对角线A ′C ′的中点。 求证：MN ∥侧面AD ′；MN ∥AD ′，并且MN ＝12

AD ′。

已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M，N分别是棱BB′与对角线CA′的中点。求证：

MN∥BD，MN＝1

2 BD。

[例2] 在长方体OAEB－O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，点P在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，点S在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS

在正方体AC1中，O，M分别为BD1，D1C1的中点．证明：OM∥BC1.

例3]如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.

如图所示，已知正方形ABCD 和正方形ABEF 相交于AB ，点M ，N 分别在AE ，BD 上，且AM ＝DN .

求证：MN ∥平面BCE .

堂巩固训练

1．设M (5，－1,2)，A (4,2，－1)，若OM →＝AB →，则点B 应为

( )

A ．(－1,3，－3)

B ．(9,1,1)

C ．(1，－3,3)

D ．(－9，－1，－1) 2．已知A (3，－2,4)，B (0,5，－1)，若OC →＝23

AB →，则C 的坐标是 A ．(2，－143，10

3

)

B ．(－2，143，－10

3

)

C ．(2，－143，－103)

D ．(－2，－143，10

3

)

3．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3)B (2，－5,1)，C (3,7，λ)，若AB

→⊥AC →，则λ等于( ) A ．λ＝28 B ．λ＝－28 C ．λ＝14 D ．λ＝－14

4．已知a ＝(2，－2,3)，b ＝(4,2，x )，且a ⊥b ，则x ＝____.