江苏省泰州中学2022-2023学年高三上学期期初调研考试数学试题(原卷版)
江苏省苏州市2022-2023学年高三上学期期中考试数学试卷(解析版)
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2022~2023学年第一学期高三期中调研试卷 数 学 2022．11
注 意 事 项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本卷共6页，包含单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第12题)、填空题(第13题~第16题)、解答题(第17题~第22题)．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．已知集合A＝{x|x2≤4x}，B＝{x|3x－4＞0}，则A∩B＝
A．[0，＋∞) B．[0，43) C．(43，4] D．(－∞，0)
【答案】C 【考点】集合的运算 【解析】由题意可知，A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|x＞43}，则A∩B＝(43，4]，故答案选C． 2．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝ A．12 B．22 C．2 D．2 【答案】C 【考点】复数的运算 【解析】由题意可知，|1＋i||z|＝|2i|，即2|z|＝2，则|z|＝2，故答案选C．
3．在△ABC中，点N满足→AN＝2→NC，→BN＝→a，→NC＝→b，那么→BA＝ A．→a－2→b B．→a＋2→b C．→a－→b D．→a＋→b 高三数学第 页(共 14 页) 2
【答案】A 【考点】平面向量的基本定理
【解析】由题意可知，→BA＝→BN＋→NA＝→BN－2→NC＝→a－2→b，故答案选A．
2022-2023学年江苏省泰州中学高一年级上册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省泰州中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合M 满足{}1,2M ⊆⊆{}1,2,3,4,5，那么这样的集合M 的个数为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】D【分析】根据子集关系可知：集合M 中一定包含元素1,2，可能包含元素3,4,5，由此可判断集合M 的个数即为集合{}3,4,5的子集个数.【详解】由题意可知：1,2M ∈且M 可能包含{}3,4,5中的元素， 所以集合M 的个数即为集合{}3,4,5的子集个数，即为328=个， 故选D.【点睛】本题考查根据集合的子集关系确定集合的数目，难度较易. 2．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是 A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C【详解】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-【解析】全称命题与特称命题3．设11,1,,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为（ ）．A ．1-，3B ．1，3C ．1-，12，1D ．1-，1，3【答案】B【分析】结合已知条件，利用函数的定义域和奇函数定义即可求解. 【详解】因为11,1,,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，函数()y f x x α==的定义域为R ，所以1α=或3α=，由()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，经检验，当1α=或3α=时，都有()()f x f x -=-，故α值为1，3. 故选：B.4．已知0x >，0y >，且2x y +=，则19x y +的最小值为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】A【分析】利用乘“1”法及及基本不等式计算可得. 【详解】解：因为0x >，0y >，且2x y +=，所以()191191919102108222y x y xx y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当9y x x y =，即12x =，32y =时，等号成立，即19x y +的最小值为8. 故选：A5．若函数()y f x =的定义域为{22}M xx =-≤≤∣，值域为{02}N y y =≤≤∣，则函数()y f x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数的定义可以排除C 选项，根据定义域与值域的概念排除A ，D 选项. 【详解】对于A 选项，当2(]0,x ∈时，没有对应的图像，不符合题意； 对于B 选项，根据函数的定义本选项符合题意；对于C 选项，出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，不符合题意；对于D 选项，值域当中有的元素在集合M 中没有对应的实数，不符合题意. 故选：B ．6．已知函数f (x )=()211414(1)x x ax ax a x ⎧-⎪⎨⎪+++>-⎩，，是R 上的递减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．23a ≤- B ．38a ≤- C ．2a ≤- D ．1a ≤-【答案】C【分析】利用分段函数的单调性列不等式组求出a 的范围. 【详解】因为1y x=在(],1-∞-上单调递减，且最小值为-1. 所以要使函数f (x )=()211414(1)x x ax ax a x ⎧-⎪⎨⎪+++>-⎩，，是R 上的递减函数， 只需04141a a a a <⎧⎨-++≤-⎩，解得：2a ≤-.故选：C7．若()f x 是奇函数，且在()0,∞+上是增函数，又()30f -=，则()20x f x <的解是（ ）A ．()()3,01,-+∞B ．()(),30,3-∞-⋃C ．()(),33,-∞-+∞D ．()()3,01,3-【答案】B【分析】将所求不等式转化为0x ≠且()0f x <；根据奇偶性和已知区间单调性可求得()30f =且()f x 在(),0∞-上是增函数，利用单调性可解得不等式的解集.【详解】由()20x f x <得：0x ≠且()0f x <；()f x 为奇函数，()()330f f ∴=--=，又()f x 在()0,∞+上是增函数，f x 在(),0∞-上是增函数， ∴当()(),30,3x ∞∈--⋃时，()0f x <；()20x f x ∴<的解集为()(),30,3-∞-⋃. 故选：B.8．已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(2)b f =，(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．a b c <<【答案】B【分析】通过121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立可得到()f x 在(1,)+∞上递增，通过()1f x +是偶函数可得到()f x 的图象关于直线1x =对称，即可求出答案【详解】解：∵当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立， ∴当121x x <<时，()()210f x f x ->，即()()21f x f x >， ∴函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数， ∵函数(1)f x +是偶函数，即()()11f x f x +=-，∴函数()f x 的图象关于直线1x =对称，∴1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数，∴5(2)(3)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即1(2)(3)2f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，∴b a c <<，故选：B ．二、多选题9．设集合{}2320A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 的值可以为（ ）A ．12B ．0C ．1D ．3【答案】ABC【分析】解方程可求得集合A ，根据交集结果可知B A ⊆，分别在0a =和0a ≠的情况下讨论即可求得a 所有可能的取值.【详解】由2320x x -+=得：1x =或2x =，即{}1,2A =；A B B =，B A ∴⊆；当0a =时，B =∅，满足题意；当0a ≠时，1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则11a =或12a =，解得：1a =或12a =；综上所述：实数a 的取值集合为10,,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故选：ABC.10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =+为偶函数，则下列命题中正确的是（ ） A ．()()4f x f x +=B ．()f x 的图像关于直线1x =对称C ．()f x 为奇函数D ．()f x 为偶函数【答案】ABC【分析】由函数的等量关系可得()()42()f x f x f x +=-+=、(2)()f x f x -=判断A 、B 的正误，进而判断()f x 的奇偶性.【详解】由()()2f x f x +=-，知：()()42()f x f x f x +=-+=，A 正确；由()1(1)y f x f x =+=-+，知：(2)()f x f x -=，即()f x 的图像关于直线1x =对称，B 正确； 由上知：()(2)()f x f x f x -=+=-，即()f x 为奇函数，C 正确，D 错误. 故选：ABC11．下列各组函数表示相同函数的是（ ） A ．()1y x x =+∈Z ，()1y x x =+∈Z B ．()20y x x =>，()20y x x =-< C ．()10y x x =-≠，11y x+= D ．()21f x x =-，()21g t t =-【答案】CD【分析】依据相同函数的定义，定义域和对应法则都相同，依次判断即可 【详解】选项A ，两个函数的对应法则不同，不是同一函数； 选项B ，两个函数的定义域和对应法则都不相同，不是同一函数； 选项C ，111(0)y y x x x+=⇔=-≠，两个函数的定义域和对应法则都相同，是同一函数； 选项D ，两个函数的定义域和对应法则都相同，与自变量的符号表示无关，是同一函数. 故选：CD12．下面命题正确的是（ ） A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B ．命题“2R,230x ax x ∀∈++≥”是真命题，则13a ≥C ．设,R x y ∈则“2x ≥且2y ≥”是“228x y +≥”的必要而不充分条件D ．设,R a b ∈，则“0ab ≠”是“0a ≠”的必要不充分条件 【答案】AB【分析】根据充分、必要条件和命题的真假依次判断即可. 【详解】选项A ，由1a >，能推出11a <，但是由11a <，不能推出1a >，例如当0a <时，符合11a <，但是不符合1a >，所以“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，故A 正确； 选项B ，“x ∀∈R ，2230ax x ++≥”是真命题可知，=0a 时不成立，当0a ≠时，只需满足2>0Δ=2120a a ⎧⎨-≤⎩，解得13a ≥，故B 正确；选项C ，根据不等式的性质可知：由2x ≥且2y ≥能推出228x y +≥，充分性成立，故C 错误； 选项D ，因为0ab ≠等价于0a ≠且0b ≠，由0ab ≠可推出0a ≠，而b 可以等于零，所以由0a ≠不能推出0ab ≠，所以“0ab ≠”是“0a ≠”的充分不必要条件，故D 错误. 故选：AB.三、填空题13．函数()f x =_________ . 【答案】[)2,0(0,)-⋃+∞【分析】此题考查函数的定义域，根据分母不为0和被开方数大于等于0即可得到结果.【详解】要使函数有意义，则020x x ≠⎧⎨+≥⎩，即2x ≥-且0x ≠，()f x ∴=[)2,0(0,)-⋃+∞. 故答案为：[-2,0)()0,⋃+∞14．幂函数()()21mf x m m x =+-的图象必不过第 象限.【答案】四 【详解】()()21m f x m m x =+-为幂函数211m m ∴+-=即220m m +-=()()210m m +-=2m ∴=-或1m =则图象必不过第四象限15．“R x ∃∈，210ax ax -+<”是假命题，则实数a 的取值范围为 _________ . 【答案】04a ≤≤【分析】存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不等式恒成立问题，分情况讨论，求a 的范围.【详解】由题意可知，“R x ∃∈，210ax ax -+<”的否定是真命题， 即“R x ∀∈，210ax ax +≥-”是真命题， 当0a =时，10≥，不等式显然成立，当0a ≠时，由二次函数的图像及性质可知，2Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得04a <≤， 综上，实数a 的取值范围为04a ≤≤. 故答案为：04a ≤≤.16．已知偶函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，且(1)0f -=，则()0f x x<的解集__________ 【答案】(1,0)(1,)【分析】分0x >和0x <两种情况讨论x 的范围，根据函数的单调性可得到答案. 【详解】因为()f x 是偶函数，且(1)0f -=，所以(1)(1)0f f =-=， 又()f x 在(0,)+∞上是减函数，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数， ①当0x >时，由()0f x x<得()0f x <，又由于()f x 在(0,)+∞上为减函数，且(1)0f =，所以()(1)f x f <，得1x >； ②当0x <时，由()0f x x<得()>0f x ，又(1)0f -=，()f x 在(,0)-∞上是增函数，所以()>(1)f x f -，所以10x -<<.综上，原不等式的解集为：(1,0)(1,).故答案为：(1,0)(1,).【点睛】方法点睛：本题主要考查函数相关性质，利用函数性质解不等式，运用函数的奇偶性与单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段.奇函数在对称区间上的单调性相同，且()() f x f x -=-.偶函数在对称区间上的单调性相反，且()()() f x f x f x =-=..四、解答题17．已知集合{|3}A x x a =≤+，{|15}B x x x =-或．（1）若2a =-，求R A C B ⋂； （2）若A B A =，求a 的取值范围． 【答案】（1）{|11}R A C B x x ⋂=-≤≤；（2）4a．【详解】试题分析：（1）先求得R C B ，再借助于数列数轴可求得R A C B ⋂；（2）由,A B A A B ⋂=∴⊂，可得关于a 的不等式，解得a 的范围．试题解析：（1）当2a =-时，集合{|1}A x x =≤，{|15}R C B x x =-≤≤ ∴{|11}R A C B x x ⋂=-≤≤．（2）∵{|3}A x x a =≤+，{|15}B x x x =-或，A B ⊆， ∴31a +<-，∴4a．【解析】集合的运算；集合间的关系．【易错点睛】本题主要考查了集合的运算，集合间的关系．集合的运算方法：（1）数轴图示法：对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考查等号．（2）韦恩图示法：对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图，这是数形结合思想的又一体现．18．已知函数()2234f x x mx m =+++，（1）若()f x 在(,1]-∞上单调递减，求m 的取值范围； （2）求()f x 在[0,2]上的最大值()g m .【答案】（1）1m ≤-；（2）34(1)()78(1)m m g m m m +≤-⎧=⎨+>-⎩【分析】（1）二次函数的对称轴是x m =-，若()f x 在(,1]-∞上单调递减，比较对称轴和区间端点列出不等式，可得m 的取值范围；（2）函数是开口向上的抛物线，对称轴是x m =-，离对称轴远，函数值大，区间的中点是1x =，所以讨论对称轴与1x =的关系，分1m -≥和1m -<两种情况讨论函数的最大值. 【详解】（1）()f x 的对称轴是x m =-又()f x 在(,1]-∞上单调递减1m ∴-≥1m ∴≤-（2）()f x 的对称轴为x m =-当1m -≥，即1m ≤-时，()(0)34g m f m ==+，当1m -<，即1m >-时，()(2)78g m f m ==+34(1)()78(1)m m g m m m +≤-⎧∴=⎨+>-⎩19．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm ，宽为ym ．(1)若菜园面积为72m 2，则x ，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长度为30m ，求12x y+的最小值．【答案】(1)菜园的长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小 (2)310．【分析】（1）由已知可得xy ＝72，而篱笆总长为x +2y ．利用基本不等式x +2y 2xy （2）由已知得x +2y ＝30，利用基本不等式（12x y +）•（x +2y ）＝522y x x y ++≥22y xx y⋅得出．【详解】（1）由已知可得xy ＝72，而篱笆总长为x +2y ．又∵x +2y 2xy =24， 当且仅当x ＝2y ，即x ＝12，y ＝6时等号成立．∴菜园的长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小． （2）由已知得x +2y ＝30，又∵（12x y +）•（x +2y ）＝522y x x y ++≥22y xx y ⋅=9， ∴12310x y +≥，当且仅当x ＝y ，即x ＝10，y ＝10时等号成立． ∴12x y +的最小值是310． 20．设函数f (x )=ax 2+(b －2)x +3（a ≠0）．(1)若不等式f (x )＞0的解集(－1，1)，求a ，b 的值；(2)若f (1)=2，①a ＞0，b ＞0，求14a b+的最小值；②若f (x )＞1在R 上恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)3,2a b =-=； (2)①9；②(3-+【分析】（1）由一元二次不等式的解得一元二次方程的解，利用根与系数关系列方程求解； （2）由条件得+=1a b ，①利用基本不等式求最小值；②化简不等式为标准的一元二次不等式，然后由一元二次不等式恒成立可得．【详解】（1）由题意2(2)30ax b x +-+=的两根是1-和1且0a <， 所以2=1+1=03=1b a a-⎧--⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，解得=3=2a b -⎧⎨⎩．（2）①(1)232f a b =+-+=，+=1a b ， 又0,0a b >>，所以14144()()559a b a b a b a b b a +=++=++≥+，当且仅当4a b b a =，即12,33a b ==时等号成立．所以14a b+的最小值是9．②由①得1b a =-，2()(1)3f x ax a x =-++，()1f x >即2(1)20ax a x -++>， 2(1)20ax a x -++>的解集为R ，0a =时，20x -+>不合题意，所以2(1)80a a ∆=+-<，且0a >，解得33a -<+ 所以a的范围是(3-+． 21．已知()y f x =是幂函数，(1)若函数()y f x =过定点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，求函数()y f x =的表达式和定义域；(2)若()()()322,13f x x f a f a -=+<+，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()12f x x -=，定义域为()0,∞+(2)31a -<<-或2a >【分析】（1）设()a f x x =，代点计算可得表达式，进而可得定义域；（2）先根据幂函数的性质得函数的单调性和定义域，再利用函数单调性解不等式即可.【详解】（1）设()a f x x =，代入点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭得142a =，解得12a =- 即()12f x x -=，其定义域为()0,∞+ （2）由幂函数的性质可得，函数()32f x x -=的定义域为()0,∞+，且在定义域上单调递减， ()()213f a f a +<+， 2130a a ∴+>+>，解得31a -<<-或2a >.22．已知函数()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =+．(1)当0x <时，求()f x 解析式；(2)若()()1210f a f a --+<，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()22f x x x =-(2)()(),20,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据函数奇偶性求分段函数解析式的步骤即可解决；（2）根据函数单调性，偶函数性质()()f x f x = 即可解决.【详解】（1）因为函数()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =+，所以当0x <时，0x ->，所以()()()2222f x x x x x -=-+-=-，因为()()=f x f x -，所以()22f x x x =-， 故当0x <时，()22f x x x =-（2）由（1）知，222,(0)()2,(0)x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩， 当0x ≥时，()22f x x x =+，易知此时函数单调递增，由偶函数性质得，当0x <时，()f x 单调递减，所以函数()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 因为()()1210f a f a --+<，所以()()121f a f a -<+，又因为函数()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 所以121a a -<+，解得0a >或2a <-．故实数a 的取值范围为()(),20,-∞-⋃+∞．。
江苏省苏州市2022-2023学年高三上学期期中考试数学试卷(学生版)
高三数学第 页(共6页)1 苏州市2022~2023学年第一学期高三期中调研试卷数 学 2022．11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．已知集合A ＝{x |x 2≤4x }，B ＝{x |3x －4＞0}，则A ∩B ＝A ．[0，＋∞)B ．[0，43)C ．(43，＋ ) D ．(－∞，0) 2．设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝A ．12B ．22 C ． 2 D ．2 3．在△ABC 中，点N 满足→AN ＝2→NC ，→BN ＝→a ，→NC ＝→b ，那么→BA ＝A ．→a －2→bB ．→a ＋2→bC ．→a －→bD ．→a ＋→b 4．“sin α＋cos α＝1”是“sin2α＝0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．奇函数f (x )在R 上单调递增，若正数m ，n 满足f (2m )＋f (1n －1)＝0，则1m ＋n 的最小值为A ．3B ．4 2C ．2＋2 2D ．3＋2 2 6．已知函数f (x )＝3cos ωx －sin ωx (ω＞0)的周期为2π，那么当x ∈[0，2π3]时，ωf (x高三数学第 页(共6页)2 )的取值范围是A ．[－32，32]B ．[－3，3]C ．[－32，1] D ．[－1，2] 7．古时候，为了防盗、防火的需要，在两边对峙着高墙深院的“风火巷”里常有梯子、铜锣、绳索等基本装备．如图，梯子的长度为a ，梯脚落在巷中的M 点，当梯子的顶端放到右边墙上的N 点时，距地面的高度是h ，梯子的倾斜角正好是45°，当梯子顶端放到左边墙上的P 点时，距地面的高度为6尺(1米＝3尺)，此时梯子的倾斜角是75°．则小巷的宽度AB 等于A ．6尺B ．a 尺C ．(h ＋2)尺D ．h ＋a2尺 8．已知实数a ＝log 23，b ＝2cos36°，c ＝2，那么实数a ，b ，c 的大小关系是A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．a ＞c ＞b 二、多项选择题：本大题共45分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．己知非零实数a ，b ，c 满足a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式一定正确的有A ．c a ＞c bB ．c a ＋a c ≤－2C ．(a －b )a ＞(b －c )aD ．c a ∈(－2，－12) 10．已知函数f (x )＝cos2x －2cos x cos3x ，则A ．f (x )的最大值为1B ．f (π6)＝f (－π3)C ．f (x )在(－π12，π6)上单调递增D ．f (x )的图象关于直线x ＝π4对称11．在棱长为2的正方体中，M ，N 分别是棱AB ，AD 的中点，线段MN 上有动点P ，棱CC 1上点E 满足C 1C ＝3C1E ．以下说法中正确的有高三数学第 页(共6页)3A ．直线C 1P 与BE 是异面直线B ．直线C 1P ∥平面BDE C ． 三棱锥C －C 1MN 的体积是1D ．三棱锥C －C 1MN 的体积是3 12．已知函数f (x )＝(x 2－x )(x 2＋ax ＋b )的图象关于直线x ＝2对称，则A ．a ＋b ＝5B ．f (x )的最小值是－3516C ．f (x )图象与直线2x ＋y －8＝0相切D ．f (x )图象与直线12x －y －48＝0相切 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，若两个空，第一个空2分，第二个空3分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋mx ＋2≤0，若“非p ”为真命题，则m 的取值范围是 ．14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x ＞0，则函数g (x )＝2－f [f (x )]的所有零点之积等于 ．15．在△ABC 中，已知B ＞C ，A ＝3132，cos(B －C )＝18，那么tan B ＝ ． 16．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，往里第二个正方形为A 2B 2C 2D 2，…，往里第n 个正方形为A n B n C n D n ．那么第7个正方形的周长是 ，至少需要前 个正方形的面积之和超过2．(本小题第一空2分，第二空3分，参考数据：lg2＝0.301，lg3＝0.477)．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b sin A－3a＝0．(1)求角B的大小；(2)求cos A cos B cos C的取值范围．18．(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，已知点E(cosα，sinα)(其中0≤α≤π)，将向量→OE逆时针方向旋转90°，得到向量→OF，记A(1，0)，B(0，－1)．(1)求|→AE＋→AF|的最大值：(2)试判断两向量→AE与→BF的位置关系．高三数学第页(共6页)4高三数学第 页(共6页)519．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，∠ACB ＝90°，P A ⊥底面ABC ． (1)求证：平面P AC ⊥平面PBC ；(2)若AC ＝BC ＝P A ，M 是PB 的中点，记AM 与底面ABC 所成角为α，AM 与平面PBC 所成角为β，试研究α与β的等量关系．20．(本小题满分12分)已知首项a 1＝4的数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有a n S n＝n ＋12n ．(1)求数列{a n }的通项公式;(2)记c n ＝a n 2n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，有A ≤1T 1＋1T 2＋…＋1T n≤B 恒成立，求B －A 的最小值．21．(本小题满分12分)给定函数f(x)＝(x＋1)e x．(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；(2)画出函数f(x)的大致图象；(3)求出方程f(x)＝a(a∈R)的解的个数．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－(ln a) x(实数a＞0)．(1)若实数a∈N*，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＜0恒成立，求实数a的最小值；(2)证明：(1＋1n)n＜3．高三数学第页(共6页)6。
2022-2023学年全国高中高三上数学苏教版(2019)期中试卷(含解析)
2022-2023学年全国高三上数学期中试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 设集合，，则( )A.B.C.D.2. 复数 上的虚部为( )A.B.C.D.3. 已知，则 A.B.C.D.A ={x|−1<x ≤2}B ={x|x ≥0}A ∩B ={x|0≤x ≤2}{x|−1<x ≤2}{x|−1≤x ≤0}{x|−1≤x <0}z =i5+i 526i526−526−i526sin α+cos α=5–√3(α+)=(cos 2π4)235185131318+=1(a >b >0)224. 已知椭圆 和直线 ,若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D. 5. 如图所示，在中， ，点在边上，点在线段上，若，则( )A.B.C.D.6. 把张面值元的纸币换成元和元的两种纸币，则不同的换法共有（ ）A.种B.种C.种D.种7. 已知函数，记 ，则、、的大小关系是（ ）A.B.C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2l :+=1x 4y 3C l C 45353415△ABC BC =30D BCE AD =+CE −→−16CA −→−12CB −→−BD =10121518120151234f (x)=lg(4−)x 2a =f (),b =f[,c =f (106)log 372()1413g 1a b c a >b >cb >a >cc >b >aC.D.8. 四棱锥中，侧面为等边三角形，底面为矩形， ，，点是棱的中点，顶点在底面的射影为，则下列结论正确的是（ ）A.棱上存在点使得面B.当落在上时，的取值范围是C.当落在上时，四棱锥的体积最大值是D.存在的值使得点到面的距离为二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列四个条件中，能成为的充分不必要条件的是（ ）A.B.C.D.10. 若，则下列命题正确的是( )A.是偶函数B.在区间上是减函数，在上是增函数C.没有最大值D.没有最小值11. 已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若线段的长是，的中点到轴的距离是，是坐标原点，则( )A.抛物线的方程是B.抛物线的准线方程是C.直线的方程是D.的面积是12. 函数，若时，有，是圆周率，为自然对数的底数，则下列说法正确的是( )c >b >ac >a >bS −ABCD SBC ABCD BC =2AB =a F AD S ABCD H SC P PD//BSFH AD a (0,]3–√H AD S −ABCD 2a B SFC 3–√x >y x >y c 2c 2<<01x 1y|x|>|y|ln x >ln yf (x)=lg(|x −2|+1)f (x +2)f (x)(−∞,2)(2,+∞)f (x)f (x)l C :=−2px (p >0)y 2M N MN 16MN y 6O C =−8xy 2y =2l x −y +2=0△MON 82–√f(x)＝ln x x ≠x 1x 2f()=f()=m x 1x 2πe =2.71828⋯<m <1A.B.C.D.，，，，，，则最大卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 《易经》中记载着一种几何图形——八卦图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积．如图，现测得正八边形的边长为，代表阴阳太极图的圆的半径为，则每块八卦田的面积为________．14. 的展开式的系数和为，此展开式中不含项的系数和为________．15. 若，，则满足的值为________．16. 如图，在宽米的矩形教室正前方有一块长米的黑板，学生座位区域距黑板最近米，在教室六侧边上寻找黑板的最大视角点即使 最大），则 ________时， 最大．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知正项数列是等比数列，且，，成等差数列．求的通项公式；求数列的前项和. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知＝，．Ⅰ求证：为等腰三角形；Ⅱ若面积为，为中点，求线段的长．0<m <1ef(2)<f(3)<x 1x 2e 2a =e 3b =3ec =e πd =πe s =3πt =π3s 8m 2m m 2(2−a x −√)71x 3f (x)=x 2g(x)=x 3(x)+1=(x)f ′g ′x 8MEFN 6AB CEFD 1CE AB P （∠APP CP =∠APP {}a n =a 1121a 2+21a 31a 4(1){}a n (2){n }a n n S n △ABC A B C a b c 2c sin B 3a sin C ()△ABC ()△ABC D AB CD ABC −A B C AB AA AC AA19. 如图，正三棱柱中，＝＝，点，分别为，的中点．Ⅰ求点到平面的距离；Ⅱ求二面角的余弦值．20. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米．要使矩形的面积大于平方米，则的长应在什么范围内？当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值．21. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为且双曲线过点求双曲线的方程；若点 在双曲线上，（其中 ，求 的值．22. 已知是自然对数的底数，函数的导函数为．求曲线在点处的切线方程；若对任意，都有，求实数的取值范围．ABC −A 1B 1C 1AB AA 12D E AC AA 1()B 1BDE ()D −BE −C 1ABCD AMPN B AM D AN MN C AB =3AD =2AMPN 32DN DN AMPN F 1F 22–√P(4,−)10−−√(1)(2)M (3,m)m <0)⋅MF 1−→−−MF 2−→−−e f (x)=+sin x −2x e x g(x)(1)y =f (x)(0,1)(2)x ∈[−,0]π3x ⋅g(x)≥+m x 2m参考答案与试题解析2022-2023学年全国高三上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】直接利用交集的定义求解即可.【解答】解：∵，，∴.故选.2.【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：因为 ，所以的虚部为．故选．3.【答案】A ={x|−1<x ≤2}B ={x|x ≥0}A ∩B ={x|0≤x ≤2}A z ==i 5+i =+i i (5−i)26126526z =i 5+i 526AD【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】由两边平方可得的值，再利用三角函数的诱导公式化简求解即可．【解答】∵，∴两边平方可得：，解得，∴．4.【答案】A【考点】椭圆的定义和性质椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，直线的斜率为，所以，又,∴.故选.5.【答案】B sin α+cos α=5–√3sin 2αsin α+cos α=5–√31+2sin αcos α=59sin 2α=−49(α+)====cos 2π41+cos(2α+)π221−sin 2α21−(−)4921318C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2l :+=1x 4y 3C l l −34=b c 34+=b 2c 2a 2e ==c a 45A向量的线性运算性质及几何意义向量在几何中的应用【解析】根据图形可设，从而可以得出，根据．D 三点共线即可得出，解出，从而可求出，进而求出【解答】解：由题意可设，则.由，，三点共线，得，解得：，所以，则.故选.6.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】解：解设元和元的纸币各张、张,根据题意得:,整理得:,当;;,则共有种换法.故选.7.【答案】B=λ(0<λ≤1)CD −→−CB −→−=+CE −→−16CA −→−12λCD −→−A,E,+=11612λλ=35CD =18BD =12=λ(0<λ≤1)CD −→−CB −→−=+=+CE −→−16CA −→−12CB −→−16CA −→−12λCD −→−A E D +=11612λλ=35CD =30×=1835BD =30−18=12B 15x y x +5y =20x =20−5y y =1,x =15y =2,x =10y =3,x =53C对数值大小的比较【解析】【分析】推导出的增区间是）的减区间是）推导出，由此能比较、、的大小关系．【解答】【解答】解：∵函数．∴，且的增区间是的减区间是） ∴、、的大小关系是8.【答案】A【考点】直线与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算点、线、面间的距离计算【解析】利用平面与平面平行的性质及判定证明直线与平面平行，考查四棱锥的性质，利用四棱锥的体积求解【解答】解：对于选项，如图，取的中点，连结，取中点，连结，，f (−x)−f (x),f (x)(−2,0),f (x)[0,20<<1<10g 31−6<2()1413731081a b c f (x)−lg(4−)x 2−2<x <2f (−x)−f (x)f (x)(−2,0),f (x)[0,21−3<<6<log 2log 373log 2log 9−20<≤−1()1413()140l0g =−log 13636∴0<()1413<1<l0g 372<−l06<2g 13记a =f log372b =[f ]()1413c =f 10 g 613 a b c b >a >c A BC E DE SC P PE PD因为为的中位线，所以.又因为平面，面，所以平面.在矩形中，，分别为，的中点，所以.因为平面，面，所以平面.因为 ，故平面平面，所以平面，故选项正确；对于选项，因为三角形为等边三角形， ，故.当时，与重合，图形不能构成四棱锥，与已知条件矛盾，故选项错误；对于选项，在中， ，，当且仅当时，取得最大值，故选项错误；对于：由选项的推导可知：当的最大时，点到面的距离最大．，此时，∴，∴．故选项错误.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B,D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断命题的真假判断与应用PE △BCS PE//BS BS ⊆BF S PE ⊂BFS PE//BFS ABCD E F BC AD DE//BF BF ⊆BFS DE ⊂BFS DE//BFS DE ∩PE =E PDE//BFS PD//BSF A B SBC BC =2SE =3–√a =3–√S H B C Rt △SHE SH =3−a 2−−−−−√=×2a ×V S−ABCD 133−a 2−−−−−√=≤123(3−)a 2a 2−−−−−−−−−√=a 232V S−ABCD 1C D C V S−ABD B SFC d ==V S−BFC 12V S−ABCD 12SF =,CF ==6–√2C +D D 2F 2−−−−−−−−−−√10−−√2=SF ×CF =××=S △SFC 12126–√210−−√215−−√4d ==×=V S 121215−−√215−−√5D A不等式性质的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：对于选项：若，则，则，反之，当时得不出，所以是的充分不必要条件，故正确；对于选项：由可得，即能推出；但不能推出（因为，的正负不确定），所以是的充分不必要条件．故正确；对于选项：由可得，则，不能推出；由也不能推出（如），所以是的既不充分也不必要条件，故错误；对于选项：若，则，反之得不出，所以是的充分不必要条件．故选项正确．故选．10.【答案】A,B,C【考点】函数奇偶性的判断函数的最值及其几何意义函数的单调性及单调区间【解析】令，讨论的性质，从而确定的性质即可.【解答】解：，设，则定义域为，又，所以函数是偶函数，即是偶函数，故选项正确；，由可知：函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，即函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，所以函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，故选项正确；，由于时，，故函数没有最大值，故选项正确；，由函数在区间上为减函数，在区间上为增函数可知，当时，取最小值，故选项错误.故选.11.A >x 2y 2≠0c 2x >y x >y c =0x >c 2yc 2x >y c 2c 2x >y AB <<01x 1y y <x <0x >y x >y <<01x 1y x y <<01x 1yx >y B C |x|>|y|>x 2y 2(x +y)(x −y)>0x >y x >y |x|>|y|x =1,y =−2|x|>|y|x >y C D ln x >ln y x >y x >y ln x >ln y ln x >ln y x >y D ABD g(x)=f(x +2)=lg(|x|+1)g(x)f (x)A g(x)=f(x +2)=lg(|x|+1)R g(−x)=lg(|−x|+1)=lg(|x|+1)=g(x)g(x)f(x +2)A B g(x)=lg(|x|+1)g(x)(−∞,0)(0,+∞)f(x +2)(−∞,0)(0,+∞)f(x)(−∞,2)(2,+∞)B C x →+∞f (x)→+∞f(x)C D f(x)(−∞,2)(2,+∞)x =2f(x)f (2)=lg1=0D ABC【答案】A,D【考点】直线与抛物线结合的最值问题抛物线的性质抛物线的标准方程【解析】【解答】解：设，，抛物线的焦点为，由题意可得，，∵的中点到轴的距离是，∴，∴，∴.所以抛物线的方程是，故正确；抛物线的准线方程为，故错误；当直线的斜率不存在时，直线的方程是，此时，，的长为，不符合题意；当直线的斜率存在时，设斜率为，直线方程为，联立直线方程与抛物线方程得，即，，解得：.直线的方程是或.故错误；当直线的方程是时，M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2F −−+p =16x 1x 2MN y 6−=6+x 1x 22+=−12x 1x 2p =4C =−8x y 2A C x ==2p 2B l l x =−2M(−2,4)N(−2,−4)MN 8l k y =k(x +2){=−8x,y 2y =k(x +2),+(+8)x +4=0k 2x 24k 2k 2+=−=−12x 1x 24+8k 2k 2k =±1l x −y +2=0x +y +2=0C l x −y +2=0点到直线的距离为；当直线的方程是时，点到直线的距离为，∴的面积是.故正确.故选.12.【答案】A,B,D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】作出的大致图象，结合图象可判断选项；由，可得，由此判断选项；若，则，构造函数，可知矛盾，由此可判断选项；这六个数的最大数在与中取，而，由此判断选项．【解答】解：，当时，，当时，，∴函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，当时，，，作出函数的大致图象如图所示，，由于，即有且仅有两个交点，由图象可知，，故选项正确；，易知，即，即，即，故选项正确；，由图象不妨设，故等价于，又，，故等价为，即，O MN d ==22–√2–√l x +y +2=0O MN d ==22–√2–√△MON ⋅|MN|⋅d 12=×16×122–√=82–√D AD f(x)A ln 8<ln 9<ln 22ln 33B <x 1x 2e 2f()>f()x 1e 2x 1g(x)＝f(x)−f()，1<x <e e 2x f()<f()x 1e 2x 1C 3ππ3<π33πD (x)＝(x >0)f ′1−ln x x 2(x)>0f ′0<x <e (x)<0f ′x >e f(x)(0,e)(e,+∞)x →0f(x)→−∞x →+∞f(x)→0f(e)＝1ef(x)A f()=f()=m x 1x 2f(x)=m 0<m <1e B ln 8<ln 93ln 2<2ln 3<ln 22ln 33f(2)<f(3)C 1<<e <x 1x 2<x 1x 2e 2<x 2e 2x 1x 2∈(e,+∞)e 2x 1f()>f()x 2e 2x 1f()>f()x 1e 2x 1设，，则，∴在上单调递增，故，即矛盾，故选项错误；，由于，由指数函数和幂函数的性质可知，，，，，故这六个数的最大数在与中取，由及的单调性可知，，即，即，故，综上，这六个数中最大数是，故选项正确．故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】三角形的面积公式正弦定理【解析】由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积，再计算出圆面积的，两面积作差即可求解．【解答】解：如图，正八边形分割成个等腰三角形，顶角为，设等腰三角形的腰为由正弦定理可得 ，解得，所以每个三角形的面积为：，g(x)＝f(x)−f()e 2x 1<x <e (x)＝(x)+()g ′f ′e 2x 2f ′e 2x ＝+1−ln x x 2ln x −1e 2=(1−ln x)(−)>01x 21e 2g(x)(1,e)g(x)<g(e)=0f()<f()x 1e 2x 1D e <3<π>e πe 3>3π3e >ππ3>3πe π3ππ3e <3<πf(x)f(π)<f(3)<ln ππln 33ln <ln π33π<π33πs ABD (16+16−)2–√π2188=360∘845∘a ，=a sin 135∘28sin45∘a =8sin 2–√135∘2S =sin 12(8sin )2–√135∘2245∘=32⋅=16(+1)2–√1−cos135∘2–√所以每块八卦田的面积约为：.故答案为：.14.【答案】【考点】二项式系数的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：设，得系数和为，解得，含项的系数为，不含的系数和为．故答案为：．15.【答案】或【考点】导数的运算简单复合函数的导数【解析】根据基本初等函数的求导公式列方程求解即可．【解答】解：由导数的公式知，，．因为，所以，即，解得或．故答案为：或．16(+1)−×π×=16+16−2–√18222–√π2(16+16−)2–√π2−13x =1(2−a =1)7a =1x 32(−1=14C 67)6x 3−13−131−13(x)=2x f ′(x)=3g ′x 2(x)+1=(x)f ′g ′2x +1=3x 23−2x −1=0x 2x =1x =−131−13【答案】【考点】直线与椭圆结合的最值问题正切函数的性质【解析】无【解答】解：设，，，则，∴令，（），则在上单调递减，在单调递增，从而有最大值，即当时取得最大值．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：设数列的公比为．且，，成等差数列，，整理得，即，解得 . 的通项公式为 . ，−17–√PC =x(x ≥0)∠BPM =α∠APM =β∠BPA =θ(0<θ<)π2tan α=7x +1tan β=1x +1tan θ=tan(α−β)=tan α−tan β1+tan α⋅tan β==−7x +11x +11+⋅7x +11x +16x +1+7x +1f(x)=x +1+7x +1x ≥0f(x)[0,−1]7–√[−1,+∞]7–√CP x =−17–√−17–√(1){}a n q ∵=a 1121a 2+21a 31a 4∴+1q 12=2(+2)112q 3112q 22−+2q −1=0q 3q 2(2q −1)(+1)=0q 2q =12∴{}a n =a n ()12n(2)∵n =n a n ()12n两式相减得 ， . 【考点】等比数列的通项公式等差数列的性质数列的求和【解析】（1）设数列的公比为．由且成等差数列，得，整理得，解得 . 的通项公式为 .【解答】解：设数列的公比为．且，，成等差数列，，整理得，即，解得 . 的通项公式为 . ，=+++⋯12S n 12()122()123+−()12n n()12n+1=−[1−]12()12n 1−12n()12n+1=1−−()12n n()12n+1=1−(n +2)()12n+1∴=2−(n +2)S n ()12n{}a n q =a 112,+2,1a 21a n 1a 4+1q 12=2+2112q 3 112q 2 2−+2q −1=0,(2q −1)(+1)=0q 3q 2q 2q =12{}a n =a n ()12n(1){}a n q ∵=a 1121a 2+21a 31a 4∴+1q 12=2(+2)112q 3112q 22−+2q −1=0q 3q 2(2q −1)(+1)=0q 2q =12∴{}a n =a n ()12n(2)∵n =n a n ()12n两式相减得 ， . 18.【答案】（I ）证明：由正弦定理及＝得，＝，所以＝，因为，由余弦定理得，＝＝，整理得，＝，所以＝，即为等腰三角形；因为，则＝＝，由题意得，＝＝，则＝，＝＝，因为为中点，所以＝，故＝，解得，＝．【考点】解三角形正弦定理三角形的面积公式【解析】=+++⋯12S n 12()122()123+−()12n n()12n+1=−[1−]12()12n 1−12n()12n+1=1−−()12n n()12n+1=1−(n +2)()12n+1∴=2−(n +2)S n ()12n2c sin B 3a sin C 6bc 3ac 2b 2a 3a 5c b c △ABC (II)sin C >0sin C 2a 4b c 3D AB cos ∠ADC −cos ∠BDC CD此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】（1）取的中点，连结，则平面，∵是等边三角形，∴，以为原点，分别以，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，∴＝，，＝，，＝，，设平面的法向量为＝，则，即，令＝可得＝，，∴点到平面的距离为＝＝．（2）＝，-，＝，，设平面的法向量为＝，则，即，令＝可得＝，，∴，＝＝＝，∴二面角的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析A 1C 1D 3DD 1D ⊥D 1ABC △ABC BD ⊥AC D DA DD 8D −xyz D(0,0,2)0)21)(2B 12)(−1,0,3)C 8(0(40(70BDE (,,)x 1y 2z 1z 11(−80B 1BDE (1(−20BEC 8(,,)x 2y 2z 4x 21(6cos <>D −BE −C 1【解答】此题暂无解答20.【答案】设的长为米，则米．∵，∴，∴，由，得又，得，解得：或，即长的取值范围是．矩形花坛的面积为，当且仅当，即时，矩形花坛的面积取得最小值故的长为米时，矩形的面积最小，最小值为平方米．【考点】基本不等式在最值问题中的应用在实际问题中建立三角函数模型【解析】此题暂无解析【解答】略略21.【答案】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，DN x (x >0)AN =(x +2)=DN AN DC AM AM =3(x +2)x =AN ⋅AM =S AMPN 3(x +2)2x>32S AMPN >32.3(x +2)2x x >03−20x +12>0x 20<x <23x >6DN (0,)∪(6,+∞)23AMPN y ==3(x +2)2x =3x ++12≥2+12=243+12x +12x 2x 12x 3x ⋅12x −−−−−−√3x =12x x =2AMPN 24.DN 2AMPN 24(1)e =2–√−=λx2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2即，∴．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴．22.【答案】解：，，，曲线在点处的切线方程为，即．∵，对任意，都有，即对任意，都有，∴成立，解得．当时，对任意，都有，设，则．设，则在上单调递增，又，，存在唯一实数，使，当时，，在上单调递减；−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−(1)e =2–√−=λx2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−(1)∵f (x)=+sin x −2x e x ∴g(x)=(x)=+cos x −2f ′e x g(0)=(0)=0f ′∴y =f (x)(0,1)y −1=0(x −0)y −1=0(2)g(x)=(x)=+cos x −2f ′e x x ∈[−,0]π3x ⋅g(x)≥+m x 2x ∈[−,0]π3x +x cos x −2x −≥m e x x 20+0cos 0−2×0−≥m e 002m ≤0m ≤0x ∈[−,0]π3x +x cos x −2x −≥me x x 2F (x)=+cos x −2−x e x G (x)=(x)=−sin x −1F ′e x H (x)=(x)=−cos xG ′e x (x)=+sin x H ′e x [−,0]π3∵(−)=−=<<0H ′π3e −π33–√22−3–√e π32e π32−e3–√2e π3(0)=1>0H ′∴∈(−,0)x 0π3()=0H ′x 0∴x ∈[−,)π3x 0(x)<0H ′H (x)[−,)π3x 0x ∈(,0](x)>0H ′H (x)(,0]当时，，在上单调递增．又，，当时，，故在上单调递减，当时，，故在上单调递增，∴当时，，即，当时，，即，∴实数的取值范围为.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题【解析】无无【解答】解：，，，曲线在点处的切线方程为，即．∵，对任意，都有，即对任意，都有，∴成立，解得．当时，对任意，都有，设，则．设，则在上单调递增，又，，存在唯一实数，使，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．x ∈(,0]x 0(x)>0H ′H (x)(,0]x 0∵H (−)=−=<<0π3e −π3122−e π32e π32−e 2e π3H (0)=0∴x ∈[−,0]π3H (x)=(x)≤0G ′G (x)[−,0)π3∴x ∈[−,0]π3(x)=G (x)≥G (0)=0F ′F (x)[−,0]π3x ∈[−,0]π3F (x)≤F (0)=0F (x)=+cos x −2−x ≤0e x ∴x ∈[−,0]π3xF (x)=x (+cos x −2−x)≥0e x x ⋅g(x)−≥0x 2m (−∞,0](1)∵f (x)=+sin x −2x e x ∴g(x)=(x)=+cos x −2f ′e x g(0)=(0)=0f ′∴y =f (x)(0,1)y −1=0(x −0)y −1=0(2)g(x)=(x)=+cos x −2f ′e x x ∈[−,0]π3x ⋅g(x)≥+m x 2x ∈[−,0]π3x +x cos x −2x −≥m e x x 20+0cos 0−2×0−≥m e 002m ≤0m ≤0x ∈[−,0]π3x +x cos x −2x −≥me x x 2F (x)=+cos x −2−x e x G (x)=(x)=−sin x −1F ′e x H (x)=(x)=−cos x G ′e x (x)=+sin x H ′e x [−,0]π3∵(−)=−=<<0H ′π3e −π33–√22−3–√e π32e π32−e3–√2e π3(0)=1>0H ′∴∈(−,0)x 0π3()=0H ′x 0∴x ∈[−,)π3x 0(x)<0H ′H (x)[−,)π3x 0x ∈(,0]x 0(x)>0H ′H (x)(,0]x 0(−)=−=<<0−π又，，当时，，故在上单调递减，当时，，故在上单调递增，∴当时，，即，当时，，即，∴实数的取值范围为.∵H (−)=−=<<0π3e −π3122−e π32e π32−e 2e π3H (0)=0∴x ∈[−,0]π3H (x)=(x)≤0G ′G (x)[−,0)π3∴x ∈[−,0]π3(x)=G (x)≥G (0)=0F ′F (x)[−,0]π3x ∈[−,0]π3F (x)≤F (0)=0F (x)=+cos x −2−x ≤0e x ∴x ∈[−,0]π3xF (x)=x (+cos x −2−x)≥0e x x ⋅g(x)−≥0x 2m (−∞,0]。
江苏省苏州市2022-2023学年高三上学期期中数学试题(解析版)
2022~2023学年第一学期高三期中调研试卷数 学2022.11注 意 事 项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1. 已知集合2{|4}A x x x =≤，{|340}B x x =->，则A B = （ ）A. [0,)+∞ B. 4[0,)3C. 4(,4]3D. (,0)-∞【答案】C 【解析】【分析】先求得集合A 的范围、集合B 的范围，最后取它们的交集即可.【详解】由题意，集合{}{}2404A x x x x x =≤=≤≤，{}43403B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，所以444,433A B x x ⎧⎫⎛⎤⋂=<≤=⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭．故选：C.2. 设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=（ ）A.12B.C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】求出1i z =+即得解.【详解】解：由题意可得2i1iz =+，所以2i(1i)22i 1i (1i)(1i)2z -+===++-，所以||z ==故选：C3. 在ABC ∆中，点N 满足2AN NC =，记BN a = ，NC b = ，那么BA =（ ）A. 2a b -B. 2a b+C. a b-D. a b+【答案】A 【解析】【分析】根据向量的线性运算将BA分解为BA BN NA =+ ，再转化为a ，b表示即可.【详解】22BA BN NA BN NC a b =+=-=-.故选：A.4. “sin cos 1αα+=”是“sin 20α=”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】结合同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、充分、必要条件的知识确定正确答案.【详解】若sin cos 1αα+=，则2(sin cos )12sin cos 1sin 21ααααα+=+=+=，即sin 20α=.若sin 20α=，则222sin cos sin 2(sin cos )1ααααα++=+=，则sin cos 1αα=±+.故“sin cos 1αα+=”是“sin 20α=”的充分不必要条件.故选：A5. 奇函数()f x 在R 上单调递增，若正数,m n 满足1(2)(1)0f m f n +-=，则1mn +的最小值为（ ）A. 3B.C. 2+D. 3+【答案】D 【解析】【分析】由题意可得121m n +=，再根据1121n m m n n m ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭结合基本不等式即可得解.【详解】解：因为奇函数()f x 在R 上单调递增，且1(2)(1)0f m f n+-=，所以1(2)(1)f m f n =--，即1(2)(1)f m f n=-+，所以121m n =-+，即121m n+=，所以112323311n n m mn n m m m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当12mn mn =，即1m n ==时，取等号，所以1mn +的最小值为3+.故选：D.6. 已知函数()sin f x x x ωω=-（0ω>）的周期为2π，那么当2[0,]3x π∈时，()f x ω的取值范围是（ ）A. [B. [C. [D. [1,2]-【答案】B 【解析】【分析】首先化简函数()f x ，根据周期求ω，再根据函数的定义域求函数的值域.【详解】()2cos 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，22T ππω==，1ω∴=，()2cos 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，5,666x πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+，所以2cos 6x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭.7. 古时候，为了防盗、防火的需要，在两边对峙着高墙深院的“风火巷”里常有梯子、铜锣、绳索等基本装备．如图，梯子的长度为a ，梯脚落在巷中的M 点，当梯子的顶端放到右边墙上的N 点时，距地面的高度是h ，梯子的倾斜角正好是45 ，当梯子顶端放到左边墙上的P 点时，距地面的高度为6尺（1米=3尺），此时梯子的倾斜角是75 ．则小巷的宽度AB 等于 （ ）A. 6尺B. a 尺C. （2h +）尺D.2h a+尺【答案】A 【解析】【分析】连接PN ,过N 作NC PA ⊥于C ，则//AB NC 且AB NC =.证明出 AMP ≌CPN △ ，得到6NC PA ==,即可求出AB .【详解】连接PN ,过N 作NC PA ⊥于C ，则//AB NC 且AB NC =.由题意可得：45NMB ∠=︒，所以45MNC NMB ∠=∠=︒.因为180754560PMN ∠=︒-︒-︒=︒且PM MN =，所以PMN 为等边三角形,即MN PN PM ==.因为45MNC ∠=︒，所以604515PNC MNP MNC ∠=∠-∠=︒-︒=︒.而90907515APM AMP ∠=︒-∠=︒-︒=︒,所以APM PNC ∠=∠.因为90PAM PCN ∠=∠=︒，所以75PMA NPC ∠=∠=︒.又PN PM =,所以 AMP ≌CPN △ (ASA ),所以6NC PA ==,即6AB =.8. 已知实数2log 3a =，2cos36b = ，c =，那么实数,,a b c 的大小关系是（ ）A. b c a >>B. b a c>> C. a b c>> D. a c b>>【答案】B 【解析】【分析】利用余弦函数的单调性可得到b c >，利用对数函数的单调性可得到a c >，假设在ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，角B 的平分线交边AC 于点D ，利用长度关系和正弦定理可得到2cos36︒=，然后利用作差法能得到b a >，即可求解【详解】由于cos36cos 45> 可得2cos36> 即b c >，又由于2223log 3log log 2=>=>a c >，假设在ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，角B 的平分线交边AC 于点D ，所以18036722C ABC ︒-︒∠=∠==︒，36CBD ABD ∠=∠=︒，180367272BDC ∠=︒-︒-︒=︒，所以BCD ABC △△,所以BC AB CD BC =即2BC CD AB=，所以2BC AD AC CD AB AB =-=-，所以2BC BC BD AD AB AB===-，所以22BC AB AB BC ⋅=-即21AB AB BC BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得AB BC =在ABC 中，sin 72sin 36AB BC =︒︒即sin 722sin 36cos362cos36sin 36sin 36AB BC ︒︒︒===︒︒︒，所以2cos36︒=，由于5832<即5ln 38ln 2<，所以ln 38ln 25<，所以28log 35a =<，805=-=>，所以b a >，所以b a c >>故选：B【点睛】关键点点睛：这道题的关键时计算出2cos36︒=，需假设在ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，角B 的平分线交边AC 于点D ，然后利用相似三角形和正弦定理即可得到二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9. 已知非零实数,,a b c 满足a b c >>且0a b c ++=，则下列不等关系一定正确的有（ ）A.c c a b> B.2c aa c+≤- C. ()()a aa b b c ->- D.1(2,2c a ∈--【答案】BD 【解析】【分析】根据已知，利用不等式的性质以及特值法进行判断.【详解】因为非零实数,,a b c 满足a b c >>且0a b c ++=，所以0,0a c ><，b 的正负不能确定，对于A ，若0a b >>，则110a b >>，则c cb a>，故A 错误；对于B ，因为0c a <，所以0ca ->，所以c a c a a c a c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为2c a a c ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当c a a c-=-时，即a c =-时取到等号，所以2c ac a a c a c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；对于C ，当2,1,3a b c ===-时，2()11a a b -==，2()416a b c -==，显然不满足()()a a a b b c ->-，故C 错误；对于D ，因为a b c >>，0a >，所以1b ca a>>，又0a b c ++=，所以c a c a a--<，解得12c a <-；因为a b c >>，0c <，所以1a bc c<<，又0a b c ++=，所以1a a c ac c c --<=--，解得12a c <-，所以20c a-<<；综上，1(2,)2ca ∈--.故D 正确.故选：BD.10. 已知函数()cos 22cos cos3f x x x x =-，则（ ）A. ()f x 的最大值为1B. ππ63f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()f x 在ππ126⎛⎫- ⎪⎝⎭,上单调递增D. ()f x 的图象关于直线π4x =对称【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，先利用余弦的和差公式化得()cos 4f x x =-，由此易得()f x 的最大值为1；对于B ，代入角易得ππ63f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；对于C ，由ππ126x -<<得π2π433x -<<，先判断cos y x =在π2π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调情况，从而判断()f x 的单调情况；对于D ，由余弦函数的图像性质得到()f x 的对称轴，由此可判断π4x =为()f x 的对称轴.【详解】()()cos 22cos cos3cos 32cos cos3f x x x x x x x x=-=--()()cos3cos sin 3sin 2cos cos3cos3cos sin 3sin cos 3x x x x x x x x x x x x =+-=--=-+cos 4x =-，对于A ，因为1cos 41x -≤≤，所以1cos 41x -≤-≤，即1()1f x -≤≤，所以()f x 的最大值为1，故A 正确；对于B ，因为π2π1cos 632f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π4π2π2π1cos cos 2πcos 33332f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππ63f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ，因为ππ126x -<<，所以π2π433x -<<，又因为cos y x =在[]π,0π,03⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭上单调递增，在[]2π0,0,π3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以()cos 4f x x =-在ππ126⎛⎫- ⎪⎝⎭,上先减后增，故C 错误；对于D ，因为cos y x =的对称轴为()πZ x k k =∈，所以由4πx k =得π4k x =，可知()cos 4f x x =-的对称轴为()πZ 4k x k =∈，当1k =时，()f x 的对称轴为π4x =，故D 正确.故选：ABD.11. 在棱长为2正方体中，,M N 分别是棱,AB AD 的中点，线段MN 上有动点P ，棱1CC 上点E 满足113C C C E =．以下说法中，正确的有（ ）A. 直线1C P 与BE 是异面直线B. 直线1//C P 平面BDEC. 三棱锥1C C MN -的体积是1D. 三棱锥1C C MN -的体积是3【答案】ABC 【解析】【分析】对A 选项：可用异面直线的判定方法判断；对B 选项：可通过证明面1//C MN 面BDE 得到直线1//C P 平面BDE ；对C 、D 选项：将三棱锥1C C MN -的体积转化为三棱锥1C CMN -的体积计算.【详解】对A 选项：异面直线的判断方法：经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线，的因为P ∉平面1BC ，1C ∈平面1BC ，BE ⊂平面1BC ，1C ∉直线BE ，故直线1C P 与BE 是异面直线.对B 选项：下面先证明面1//C MN 面BDE ，再证直线1//C P 平面BDE .如图：连结AC 与BD 交于点O ，与MN 交于点F ，在正方形ABCD 中，有3CF OF ＝，又113C C C E =，故1//C F OE ，又1C F ⊂面1C MN ，OE ⊄ 面1C MN ，所以//OE 面1C MN ，又//BD MN ，MN ⊂面1C MN ，BD ⊄ 面1C MN ，所以//BD 面1C MN ，BD ⊂面BDE ，OE ⊂面BDE ， BD OE O ⋂＝，所以面1//C MN 面BDE .又1C P ⊂面1C MN ，故直线1//C P 平面BDE ，所以B 正确.对选项C ：11332242CMN S MN CF =⋅=⨯= ，111111321332C C MN C CMNC MN V V S CC --==⋅=⨯⨯= ，故C 正确D 不正确；故选：ABC12. 已知函数22()()()f x x x x ax b =-++的图象关于直线2x =对称，则（ ）A. 5a b += B. ()f x 的最小值是3516-C. ()f x 图象与直线280x y +-=相切D. ()f x 图象与直线12480x y --=相切【答案】AD【解析】【分析】根据函数的对称性代入特殊值，求,a b ，即可判断A;利用换元，转化为二次函数求最值，即可判断B ；联立函数与直线方程，利用方程组解，判断交点处的导数，判断是否相切，即可判断C ；利用导数求函数在4x =处的切线方程，即可判断D.【详解】因为()y f x =图象关于直线2x =对称，当3x =时，(3)(1)0f f ==，于是930a b ++=，当4x =时，(4)(0)0f f ==，于是1640a b ++=，于是7a =-，12b =，所以5a b +=，故A 正确；2222()()(712)(1)(3)(4)(4)(43)f x x x x x x x x x x x x x =--+=---=--+，令24t x x =-，4t ≥-，则2()(3)3g t t t t t =+=+，4t ≥-，因为2()3g t t t =+图象开口向上，对称轴是32t =-，所以()g t 的最小值为3924g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故B 正确；联立方程()()()13482y x x x x y x ⎧=---⎨=-⎩，解得：4x =或2x =或1x =()()()()()()()222244342424283f x x x x x x x x x x '=--++--=--+，()4122f '=≠-，()202f '=≠-，(1182f '=-±≠-，所以()f x 与直线280x y +-=不能相切，故C 不正确；()()()224283f x x x x '=--+，()412f '=，()40f =，所以函数()y f x =在4x =处的切线方程为12480x y --=，故D 正确.故选：AD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13. 命题2:,20p x R x mx ∃∈++…，若“非p ”为真命题，则m 的取值范围是_________．【答案】m -<<．【解析】【分析】写出命题的否定，由命题的否定全称命题且为真命题，结合一元二次不等式恒成立可得．【详解】由题意知，命题2:,20p x R x mx ∃∈++≤为假，即2,20x R x mx ∀∈++>恒成立，的所以∆<0，所以2420m -⨯<，所以m -<<故答案为：m -<<14. 已知函数22,0,()log ,0,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则函数()2[()]g x f f x =-的所有零点之积等于__．【答案】2-【解析】【分析】由题意，表示出函数()f f x ⎡⎤⎣⎦解析式，利用零点的定义，建立方程，可得答案.【详解】求函数()2[()]g x f f x =-的所有零点，则等价于求方程()2f f x =⎡⎤⎣⎦的根，当0x ≤时，()20xf x =>，则()2log 22xf f x x ==-=⎡⎤⎣⎦，解得2x =-；当0x >且1x ≠时，()2log 0f x x =>，则()22log log 2f f x x ==⎡⎤⎣⎦，22log log 2x =±，可得2log 4x =，21log 4x =，即2log 4x =±，21log 4x =±，解得x =116或16；当1x =时，()21log 10f ==，()0121f f ==⎡⎤⎣⎦，不符合题意.综上，1216216-⨯⨯=-，故答案为：2-.15. 在ABC 中，已知B C >，31cos 32A =，1cos()8B C -=，那么tan B =____________．【答案】【解析】【分析】由题意，根据三角形内角和以及诱导公式和三角函数和差公式，建立方程组，可解得答案.【详解】由31cos 32A =，且()A B C π=-+，则()31cos 32B C +=-，即得到31cos cos sin sin 32B C B C -=-，由1cos()8B C -=，得到1cos cos sin sin 8B C B C +=，于是27cos cos 64B C =-，35sin sin 64B C =，故35tan tan 27B C =-．在ABC 中，tan tan tan()tan 1tan tan B C B C A B C ++==-=-于是tan tan B C +=35tan tan 27B C =-，解方程组得到tan B =或tan B =，由于B C >，取tan B =．故答案为：.16. 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形1111D C B A 的边长为1，往里第二个正方形为2222A B C D ，…，往里第n 个正方形为n n n n A B C D ．那么第7个正方形的周长是____________，至少需要前____________个正方形的面积之和超过2．（参考数据：lg 20.301=，lg 30.477=）．【答案】 ①.500729②. 4【解析】【分析】根据已知，利用勾股定理、正方形的周长公式、面积公式以及等比数列的通项、前n 项和公式进行求解.【详解】因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，且外围第一个正方形1111D C B A 的边长为1，所以2123A B =，2113B B =,由勾股定理有：22A B ===设第n 个正方形n n n n A B C D 的边长为n l ，则11l =，21l ==，……，1n n l -==，所以111n n n l l --==，所以第7个正方形的周长是6376512550044443729729l =⨯=⨯=⨯=，第n个正方形的面积为221259n n n l --⎛⎫== ⎪⎝⎭，则第1个正方形的面积为021519l ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则第2个正方形的面积为1225599l ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则第3个正方形的面积为22359l ⎛⎫= ⎪⎝⎭，……则第n 个正方形的面积为1259n n l -⎛⎫= ⎪⎝⎭，前n 个正方形的面积之和为115155959115994919nn n n S -⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++==-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ，当1n =时，11951149S ⎡⎤⎛⎫=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当2n =时，2295141499S ⎡⎤⎛⎫=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当3n =时，339515114981S ⎡⎤⎛⎫=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当4n =时，449514841249729S ⎡⎤⎛⎫=-=>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以至少需要前4个正方形的面积之和超过2．故答案为：500729，4.四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且2sin 0b A =．（1）求角B 的大小；（2）求cos cos cos A B C 的取值范围．【答案】（1）3B π=（2）1(0,8【解析】【分析】(1) 由正弦定理将边化为角后即可求出角B 的大小；(2)已知3B π=后可以将A C ，全用B 表示，将cos cos cos A B C 表示为B 的函数，利用三角恒等变换化为一般式求范围，注意锐角三角形对角范围的限制.【小问1详解】由正弦定理，2sin b R B =，2sin c R C =，代入2sin 0b A =，有22sin sin 2sin 0R B A R A ⨯=，因为A 是三角形的内角，sin 0A ≠，所以sin B =， 在锐角ABC 中，3B π=．【小问2详解】由（1），3B π=，23A C π+=，23C A π=-于2cos cos cos cos coscos()33A B C A A ππ=-11cos (cos )22A A A =-21cos cos 4A A A =-11cos 2242A A +=-⨯11sin(2)468A π=-- 在锐角ABC 中，由于3B π=，有62A ππ<<，52666A πππ<-<，于是1sin(2(,1]62A π-∈，11sin(2)468A π--1(0,]8∈．所以cos cos cos A B C 的取值范围是1(0,]8．18 平面直角坐标系xOy 中，已知点(cos ,sin )E αα（其中0απ≤≤），将向量OE逆时针方向旋转90 ，得到向量OF，记(1,0)A ，(0,1)B -．（1）求||AE AF +的最大值；（2）试判断两向量AE 与BF的位置关系．【答案】（1）2+（2）两向量AE 与BF平行【解析】【分析】（1）利用垂直向量的坐标表示，求得点F 的坐标，利用模长公式以及三角函数恒等变换，可得答案；（2）利用平行向量的坐标表示，可得答案.【小问1详解】向量OE 逆时针方向旋转90 ，则OE OF ⊥ ，即0OE OF ⋅=，得到点(sin ,cos )F αα-，又因为(1,0)A ，所以(cos 1,sin )AE αα=- ，(sin 1,cos )AF αα=--，所以AE AF +(cos sin 2,sin cos )αααα=--+，是.所以||AE AF +=====2≤=+，所以||AE AF +最大值为2+，此时πsin 14α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3π4α=．【小问2详解】由题意，(cos 1,sin )AE αα=- ，(sin ,cos 1)BF αα=-+，因为22(cos 1)(cos 1)sin (sin )(cos 1)sin 0αααααα-+--=-+=，所以(cos 1)(cos 1)sin (sin )αααα-+=-，所以两向量AE 与BF平行．19. 如图，在三棱锥-P ABC 中，90ACB ∠= ，PA ⊥底面ABC ．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若AC BC PA ==，M 是PB 的中点，记AM 与底面ABC 所成角为α，AM 与平面PBC 所成角为β，试研究α与β的等量关系．【答案】（1）证明见解析 （2）2παβ+=【解析】【分析】（1）由PA ⊥底面ABC ，可得PA ⊥BC ，再结合AC ⊥BC ，由线面垂直的判定定理可得BC⊥的平面PAC ，再利用面面垂直的判定定理可得结论，（2）取AB 的中点N ，连接MN ，可得MAN ∠就是直线AM 与底面ABC 所成角α，在直角MAN △中可求得tan α，取PC 的中点H ，连接AH HM ,，可得AMH ∠就是直线AM 与平面PBC 所成角β，在直角AMH 中可求得tan β，从而可得答案.【小问1详解】证明：因为PA ⊥底面ABC ，BC ⊂底面ABC ，所以PA ⊥BC ．又因为90ACB ∠= ，即AC ⊥BC ，又因为,PA AC ⊂平面PAC ，且,PA AC 相交于点A ，所以直线BC⊥平面PAC ．又因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC ．【小问2详解】取AB 的中点N ，连接MN ，由于M 是PB 的中点，有//MN PA ，又因为PA ⊥底面ABC ，,AB AC ⊂底面ABC ，所以,PA AB PA AC ⊥⊥，所以,MN AB MN AC ⊥⊥，因为,,AB AC A AB AC =⊂ 底面ABC ，所以MN ⊥底面ABC ，所以MAN ∠就是直线AM 与底面ABC 所成角α．记2AC BC PA a ===，则AB =，12MN PA a ==在直角MAN △中，tan tan MN MAN AN α=∠===，取PC 的中点H ，连接AH HM ,，由于AC PA =，有AH PC ⊥．由（1）BC⊥平面PAC ，AH ⊂平面PAC ，所以BC AH ⊥．又因为,PC BC ⊂平面PBC ，,PC BC 相交于点C ，所以AH ⊥平面PBC ，所以AMH ∠就是直线AM 与平面PBC 所成角β．在直角AMH中，1122AH PC ==⨯=，12MH BC a ==，所以tan tan AMH β=∠==所以tan tan 1αβ=，由于α、β都是锐角，所以2παβ+=．20. 已知首项14a =的数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意N n *∈都有12n n a n S n+=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2nn n a c =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，有12111n A B T T T ≤+++≤ 恒成立，求B A -的最小值．【答案】（1）()1·2nn a n =+；（2）1318.【解析】【分析】（1）依题意可得21n n na S n =+，根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差得到121n n a an n -=⋅+，即可得到1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列，从而求出{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得1n c n =+，利用等差数列求和公式得到n T ，即可得到1211(33n T n n =-+，利用裂项相消法求出12111n T T T +++L ，从而得到12111nT T T +++L 的取值范围，从而得解.【小问1详解】解：由12n n a n S n +=得到21n n na S n =+，当2n ≥时，112(1)n n n a S n---=，两式相减，有122(1)1n n n na n a a n n --=-+，得到12(1)(1)1n n n a n a n n ---=+，由于2n ≥，121n n a an n-=⋅+，因为122a=，由上述递推关系知01n a n ≠+所以1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列，所以1221n na n -=⨯+，所以(1)2nn a n =+．【小问2详解】解：由（1）12nn n a c n =+=，所以数列{}n c 的前n 项和为(21)(3)22n n n n n T +++==，则12211((3)33n T n n n n ==-++，所以12111211211211211()((()31432533633n T T T n n +++=-+-+-++-+ 2111111211111((312312331239n n n =++---<++=+++，又由于10n T >，121111112n T T T T +++≥= ，即1211111129n T T T ≤+++< 恒成立，结合题设恒成立，所以111139218B A -≥-=，所以B A -的最小值为1318．21. 给定函数()(1).x f x x e =+（1）判断函数()f x 的单调性，并求出()f x 的极值；（2）画出函数()f x 的大致图象；（3）求出方程()()f x a a R =∈的解的个数【答案】（1）单调递增区间为()2,-+∞；单调递减区间为(),2-∞-，极小值,()212f e -=-；（2）答案见详解；（3）当21a e <-时，解为0个；当21a e=-或0a ≥时，解为1个； 当210a e -<<时，解为2个【解析】【分析】（1）求出导函数()f x '，再由导数与函数单调性之间的关系即可求解.（2）由函数的单调性、极值即可作出图象.（3）利用数形结合法即可求解.【详解】（1）由()(1)x f x x e =+，定义域为R()()(1)2x x x f x e x e e x '=++=+，令()0f x ¢>，即2x >-，令()0f x '=，即2x =-，令()0f x '<，即<2x -，所以函数的单调递增区间为()2,-+∞；单调递减区间为(),2-∞-，2x =-为极小值点，所以函数的极小值为()212f e -=-.（2）函数()f x 的大致图象，如图所示：（3）方程解的个数等价于()y f x =于y a =的交点个数.作出()f x 与y a =的图象，由图可知当21a e <-时，方程()()f x a a R =∈的解为0个；当21a e =-或0a ≥时，方程()()f x a a R =∈的解为1个； 当210a e-<<时，方程()()f x a a R =∈的解为2个；22. 已知函数()ln(1)(ln )f x x a x =+-⋅（实数0a >）．（1）若实数*N a ∈，当,()0x ∈+∞时，()0f x <恒成立，求实数a 的最小值；（2）证明：1(13nn +<．【答案】（1）3（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意，利用导数证明不等式恒成立，由a 的取值范围，逐一检验，可得答案；（2）由（1），令3a =，根据单调性，整理不等式，结合对数运算，可得答案.【小问1详解】因为()ln(1)(ln )f x x a x =+-⋅，求导得1()ln 1f x a x '=-+．由于,()0x ∈+∞，1(0,1)1x∈+，又因为*N a ∈，当1a =时，1()01f x x'=>+，()f x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f >=舍去；当2a =时，令1()ln 201f x x '=-=+，得110ln 2x =->，当11ln (0,)2x -∈时，()0f x '>，()f x 在11ln (,20)-上单调递增，此区间上()(0)0f x f >=舍去；当3a ≥时，由于1(0,1)1x ∈+，ln 1a >，1'()ln 1f x a x=-+恒小于零，()f x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0f x f <=，满足题意．综合上述，实数a 的最小值为3．【小问2详解】由（1），当3a =时，()0f x <恒成立，即ln(1)(ln 3)0x x +-⋅<，于是ln(1)(ln 3)x x +<⋅．取1x n =，有11ln(1)(ln 3)n n +<⋅，所以1ln(1ln 3n n+<，即1ln(1)ln 3n n +<，所以1(1)3n n +<．【点睛】利用导数证明不等式恒成立，根据导数与单调性的关系，求解函数与端点值之间的大小关系，因此，在解题时，观察不等式与函数端点值的关系，清晰解题思路.。
江苏省2022-2023学年高三上学期大联考数学试题含答案优选全文
江苏省2023届高三年级大联考数学本试卷共6页，22小题，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U =R ，集合{}13A x x =-<<，{}10B x x =-≥，则()U A B ⋂=ð（）A.{}13x x ≤< B.{}13x x <≤ C.{1x x ≤或}3x ≥ D.{1x x <或}3x ≥2.设复数z 的共轭复数为z ，已知()2i 5z +=，则zz =（）A.7B.5C.3D.3.设R θ∈，则“66ππθ-<”是“sin 2θ<”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某人在湖面之上5米处测得空中一气球的仰角为30︒，而湖中气球倒影的俯角为45︒，若不考虑水的折射，则气球离水面的高度（单位：米）为（）A.(51B.(51+C.(52+D.(52+5.函数()22e ex xx f x -=-的图像可能是（）A. B.C.D.6.把函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<图象上所有点向左平移π3个单位，得到函数()g x 的图象.若()g x 的图象关于直线π12x =对称，则函数()()ππ2cos ,22h x x x ϕ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎣⎦⎝⎭的最小值为（）A.2- B.3C.1-D.07.已知ln33a =，()22ln3b =+，3ln3c =，则（）A.a c b>> B.c a b>> C.a b c>> D.b c a>>8.设函数()(),0,ln ,0,x a x f x x x -+≥⎧=⎨-<⎩()()12f x f x =，12x x -的最小值为()g a ，则()2g a a a --的最大值为（）A.1- B.0C.1D.e 1-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知1a b >>，0c >，则（）A.c c a b< B.abc c> C.a cb cb b a a --⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.()()log log b a a c b c +>+10.已知函数()sin cos f x x a x =+的最大值为2，且()00f >，则（）A.3a =B.()f x 的图象关于直线2π3x =对称C.()f x 的图象关于点5π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D.将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，得到π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象11.已知0x >，0y >，22x y +=，则（）A.xy 的最大值为14B.22x y +的最小值为45C.1y x y+的最小值为1+D.的最大值为12.19世纪，德国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet ，1805-1859）引入现代函数，他还给出了一个定义在实数集R 上的函数()1,,0,,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数，则（）A.(0D x =B.()()D x D x =-C.若T 为有理数，0T ≠，则()()D x T D x +=D.存在三个点()()11,A x D x ，()()22,B x D x ，()()33,C x D x ，使得ABC 为正三角形三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线sin 2cos y x x =-在点（π，2）处的切线方程是________．14.若tan 4x =，则sin 4sin 2sin sin cos8cos 4cos 4cos 2cos 2cos cos x x x xx x x x x x x+++=_______．15.在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若1c =，π3B =，则a 的取值范围为_____________；sin sin AC 的最大值为__________．16.已知函数()ln 1f x ax x =--，3()27xg x =，用max{m ，n }表示m ，n 中的最大值，设()max{(),()}x f x g x ϕ=．若()3xx ϕ≥在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为_____四、解答题；本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设函数())πsin 22f x m x m ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭R ．（1）若4m =，求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点；（2）求函数()f x 的最大值．18.已知函数()()3213f x x x ax a =-+∈R ．（1）证明有且仅有两条经过原点的直线与曲线()y f x =相切；（2）记（1）中两条切线为1l ，2l ，设1l ，2l 与曲线()y f x =异于原点O 的公共点分别为,A B ．若1a =，求cos AOB ∠的值．19.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，7cos 3B =，点D 在边AB 上，2BD AD =．（1）若ACD BCD ∠=∠，求sin A ；（2）若6CD BD ==，求b ．20.在PAB 中，PA PB =，点C ，D 分别在PB ，PA 边上．（1）若3APB π∠=，1CD =，求PCD 面积的最大值；（2）设四边形ABCD 的外接圆半径为R ，若,3APB π∠π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且AB BC CD DA ⋅⋅⋅的最大值为49，求R 的值．21.已知0a >，函数()()ln f x a x x =-．（1）证明()f x 存在唯一极大值点；（2）若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意()0,x ∈+∞成立，求b 的取值范围．22.已知函数()3ln f x ax x =-．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，证明：122e x x +>．2023届高三年级大联考数学本试卷共6页，22小题，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U =R ，集合{}13A x x =-<<，{}10B x x =-≥，则()U A B ⋂=ð（）A.{}13x x ≤< B.{}13x x <≤ C.{1x x ≤或}3x ≥ D.{1x x <或}3x ≥【答案】D 【解析】【分析】先求出A B ⋂，再求其补集.【详解】{}13A x x =-<< ，{}{}101B x x x x =-≥=≥，{}13A B x x ∴⋂=≤<，(){U 1A B x x ∴⋂=<ð或}3x ≥.故选：D .2.设复数z 的共轭复数为z ，已知()2i 5z +=，则zz =（）A.7B.5C.3D.【答案】B 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，再根据共轭复数及复数的乘法运算即可得解.【详解】解：由()2i 5z +=，得()()()52i 52i 2i 2i 2i z -===-++-，则2i z =+，所以()()2i 2i 5zz =-+=.故选：B.3.设R θ∈，则“66ππθ-<”是“3sin 2θ<”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】分析：由题意首先求解三角不等式，然后结合题意确定“66ππθ-<”与“2sin θ<”的充分性和必要性即可.详解：求解绝对值不等式66ππθ-<可得π0θ3<<，若3sin 2θ<，则()42233k k k Z πππθπ-≤≤+∈，当0k =时，433ππθ-≤≤，据此可得：“66ππθ-<”是“3sin 2θ<”的充分而不必要条件.故选：A 4.某人在湖面之上5米处测得空中一气球的仰角为30︒，而湖中气球倒影的俯角为45︒，若不考虑水的折射，则气球离水面的高度（单位：米）为（）A.(51B.(51+C.(52+D.(52+【答案】C 【解析】【分析】结合题意作出示意图，利用直角三角形中正切函数的定义得到关于气球离水面的高度的方程，解之即可.【详解】结合题意作出示意图，易知点C 与点D 关于湖面BM 对称，则CM DM =，5AB =，故5,5CE CM EM CM AB CM DE DM AB CM =-=-=-=+=+，在Rt ACE 中，tan 30CEAE ︒=，即tan 30CE AE ==︒，在Rt ADE △中，tan 45DE AE︒=，tan 45DEAE DE ==︒，DE =，即)55CM CM -=+，故(5152CM +==+，所以气球离水面的高度为(52.故选：C..5.函数()22e ex xx f x -=-的图像可能是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义，求得函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，再结合()0f x >，即可求解.【详解】由题意，函数()22e ex xx f x -=-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且()22()e ex xx f x f x --==--，所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B.又当0x >时，e e 0xxy -=->，所以()220e ex x x f x -=>-，故排除CD.故选：A6.把函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<图象上所有点向左平移π3个单位，得到函数()g x 的图象.若()g x 的图象关于直线π12x =对称，则函数()()ππ2cos ,22h x x x ϕ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎣⎦⎝⎭的最小值为（）A.2-B.C.1- D.0【答案】A 【解析】【分析】根据平移变换及正弦函数的对称性求出ϕ，再根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解.【详解】解：函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<图象上所有点向左平移π3个单位，得到函数()2πsin 23g x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为()g x 的图象关于直线π12x =对称，所以π2πππ,Z 632k k ϕ++=+∈，又0πϕ<<，所以2π3ϕ=，则()2π2cos 3h x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2ππ7π,366x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故2π3cos 1,32x ⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以()min 2h x =-.故选：A.7.已知ln33a =，()22ln3b =+，3ln3c =，则（）A.a c b>> B.c a b>> C.a b c>> D.b c a>>【答案】A 【解析】【分析】构造函数2()23(1)(2)f x x x x x =+-=--，由1ln32<<易得b c <；构造函数()33x g x x =-，由导数与函数的单调性求得()g x 的单调性，从而证得a c >；由此可得a c b >>.【详解】令2()23(1)(2)f x x x x x =+-=--，所以(1,2)x ∈时，()0f x <，因为2ln e ln 3ln e <<，即1ln32<<，所以2(ln 3)(ln 3)23ln 30f =+-<，故2(ln 3)23ln 3+<，即b c <，令()33x g x x =-，则()ln 333x g x '=⋅-，显然()ln 333x g x '=⋅-在(0,)+∞单调递增，令()0g x '>，得33log ln 3x >，故()g x 在33log ,ln 3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为1ln 33<<，故313ln 3<<，则330log 1ln 3<<，故()g x 在(1,)+∞上单调递增，则(ln 3)(1)0g g >=，即ln333ln 30->，即ln 333ln 3>，故a c >，综上：a c b >>.故选：A.8.设函数()(),0,ln ,0,x a x f x x x -+≥⎧=⎨-<⎩()()12f x f x =，12x x -的最小值为()g a ，则()2g a a a --的最大值为（）A.1-B.0C.1D.e 1-【答案】C 【解析】【分析】对a 分类讨论求出()e ,01,0a a g a a a ⎧≤=⎨+>⎩，再分类讨论求出()2g a a a --的最大值.【详解】设()()12,()f x f x t t a ==≤，不妨设12x x <，所以1212ln(),,e ,tx t x a t x x t a -=-+=∴=-=-+，所以1221e (),()tx x x x t a h t t a -=-=-+=≤，所以()e 1t h t '=-，当0a ≤时，()e 10,t h t '=-≤函数()h t 在(,]a -∞上单调递减，所以min ()()()e ah t g a h a ===.当0a >时，函数()h t 在(,0]-∞上单调递减，在[0,]a 单调递增，所以min ()()(0)1h t g a h a ===+.所以()e ,01,0a a g a a a ⎧≤=⎨+>⎩.当0a ≤时，()22e =()ag a a a a a m a --=--，所以()e 21()a m a a n a '=--=，所以()e 20,a n a '=-<所以()n a 在(,0]-∞单调递减()(0)0n a n ∴≥=，所以()0m a '≥，所以()m a 在(,0]-∞单调递增，所以max ()(0)1m a m ==.所以()2g a a a --的最大值为1.当0a >时，()22211g a a a a a a a --=+--=-+，在(0,)+∞单调递减，没有最大值，()2211g a a a a --=-+<所以()2g a a a --的最大值为1.故选：C【点睛】关键点睛：本题解题的关键有两个，其一是分类讨论求出()e ,01,0a a g a a a ⎧≤=⎨+>⎩，其二是分类讨论求出()2g a a a --的最大值.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知1a b >>，0c >，则（）A.c ca b< B.a bc c> C.a cb cb b a a --⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.()()log log b a a c b c +>+【答案】ACD 【解析】【分析】根据不等式的性质结合指数函数和对数函数的单调性逐一分析判断即可.【详解】解：因为1a b >>，所以11a b<，又0c >，所以c ca b<，故A 正确；当01c <<时，a b c c <，当1c >时，a b c c >，故B 错误；由1a b >>，得01,ba cbc a<<->-，所以a cb cb b a a --⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；由1a b >>，0c >，得1+>+>a c b c ，则()()()log log log b b a a c b c b c +>+>+，所以()()log log b a a c b c +>+，故D 正确.故选：ACD.10.已知函数()sin cos f x x a x =+的最大值为2，且()00f >，则（）A.a =B.()f x 的图象关于直线2π3x =对称C.()f x 的图象关于点5π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D.将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，得到π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象【答案】AC 【解析】【分析】利用辅助角公式结合已知求出a ，即可判断A ，再根据正弦函数的对称性代入检验即可判断BC ，根据周期变换的原则即可判断D.【详解】解：()00f a =>，()()sin cos ϕ=+=+f x x a x x （其中tan a ϕ=），因为函数()sin cos f x x a x =+的最大值为2，2=，解得a =a =，故A 正确；则()π2sin 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为2π2sin π=03f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故B 错误；因为5π2sin 2π03f ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故C 正确；将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，得到函数π2sin 2sin 223y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，而π2cos 22sin 26y x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：AC.11.已知0x >，0y >，22x y +=，则（）A.xy 的最大值为14B.22x y+的最小值为45C.1yx y+的最小值为1+ D.的最大值为【答案】BC 【解析】【分析】利用基本不等式及其变形可分析AC 选项，由二次函数求最值可判断B ，可用三角换元来分析D 选项【详解】对于A 选项，由基本不等式得22x y =+≥，整理得12xy ≤，当且仅当2x y =，即1x =，12y =时，xy 的最大值为12，所以A 错误.对于B 选项，22222(22)584x y y y y y +=-+=-+，220x y =->得01y <<，22445845(+55y y y -+=-，∴当45y =时，22x y +的最小值为45，所以B 正确.对于C选项，122111222y y y x y y x x y x y x y x y ++=+=+=++≥=+，当且仅当2y x x y =，x =时1y x y+1+，所以C 正确.对于D 选项，令m =，n =，由01y <<，220y x =->，02x <<可知0m <<，01n <<，得2x m =，2y n =，由题意得2222m n +=，设m θ=，cos n θ=，02πθ<<，cos )m n θθθϕ=+=+=+，tan 2φ=)θϕ+≤，所以D 错误.故选：BC12.19世纪，德国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet ，1805-1859）引入现代函数，他还给出了一个定义在实数集R 上的函数()1,,0,,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数，则（）A.(0D x =B.()()D x D x =-C.若T 为有理数，0T ≠，则()()D x T D x +=D.存在三个点()()11,A x D x ，()()22,B x D x ，()()33,C x D x ，使得ABC 为正三角形【答案】BCD 【解析】【分析】根据狄利克雷函数的定义结合分段函数的性质，分别讨论x 为有理数和无理数，依次判断各个选项，即可得解.【详解】对于A是无理数，若x为有理数，x -则(0D x =；若x为无理数，x有可能为有理数，如x =，此时(()01D x D ==，故A 错误；对于B ，当x 为有理数，x -为有理数，则()()1D x D x =-=；当x 为无理数，x -为无理数，则()()0D x D x =-=，故B 正确；对于C ，T 为有理数，若x 为有理数，则x T +是有理数，则()()1D x T D x +==；若x 为无理数，x T +是无理数，则()()0D x T D x +==，故C 正确；对于D ，存在三个点且x 为有理数，则(),1A x ，,03B x ⎛-⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,03C x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭是边长为3的等边三角形，故D 正确；故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线sin 2cos y x x =-在点（π，2）处的切线方程是________．【答案】2π0x y +--=【解析】【分析】求导，利用导数的几何意义求出切线方程的斜率，进而求出切线方程.【详解】()cos 2sin f x x x '=+，所以()πcos π2sin π1f =+=-'，故sin 2cos y x x =-在点（π，2）处的切线方程为()2πy x -=--，即2π0x y +--=.故答案为：2π0x y +--=14.若tan 4x =，则sin 4sin 2sin sin cos8cos 4cos 4cos 2cos 2cos cos x x x xx x x x x x x+++=_______．【答案】-【解析】【分析】利用切化弦、二倍角公式可推导得到sin tan 2tan cos 2cos xx x x x-=，由此可化简所求式子为tan 8x ，利用二倍角正切公式可求得结果.【详解】sin 2sin sin 2cos sin cos 2tan 2tan cos 2cos cos 2cos x x x x x xx x x x x x--=-= ()222sin cos sin 2cos 1sin cos 2cos cos 2cos x x x x x x xx x--==，sin 4tan8tan 4cos8cos 4x x x x x ∴=-，sin 2tan 4tan 2cos 4cos 2xx x x x=-，∴原式22tan 4tan8tan 4tan 4tan 2tan 2tan tan tan81tan 4x x x x x x x x x x =-+-+-+==-12==--故答案为：-.15.在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若1c =，π3B =，则a 的取值范围为_____________；sin sin AC 的最大值为__________．【答案】①.1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭②.34##0.75【解析】【分析】利用正弦定理可得sin sin c A a C =，结合三角恒等变换知识及C的范围可化简得到1122tan a C=+⋅，由C 的范围可求得tan C 的范围，进而得到a 的范围；利用两角和差正弦公式、二倍角和辅助角公式可化简得到1π1sin sin sin 2264A C C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，根据正弦型函数最值的求法可求得结果.【详解】由正弦定理得：()()()1cos sin sin πsin sin 1cos 22sin sin sin sin 22sin C CB C B C c A C a C C C C C +-++=====+⋅；π3B =Q ，ABC 为锐角三角形，2ππ032π02A C C ⎧<=-<⎪⎪∴⎨⎪<<⎪⎩，ππ62C ∴<<，cos 0C ∴≠，1122tan a C∴=+⋅，tan ,3C ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，10tan C ∴<<122a ∴<<，即a 的取值范围为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；()211sin sin sin sin cos sin sin sin cos sin 2222A C B C C C C C C C C ⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭1cos 2111π1sin 222sin 244444264C C C C C -⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭；ππ62C <<，ππ5π2666C ∴<-<，1πsin 2126C ⎛⎫∴<-≤ ⎪⎝⎭，∴当πsin 216C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，sin sin A C 取得最大值34.故答案为：1,22⎛⎫⎪⎝⎭；34.16.已知函数()ln 1f x ax x =--，3()27xg x =，用max{m ，n }表示m ，n 中的最大值，设()max{(),()}x f x g x ϕ=．若()3xx ϕ≥在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为_____【答案】4[,)3+∞【解析】【分析】分别讨论当03,3x x <<≥时，3()27x g x =与3x y =的关系，可将问题转化为()3x f x ≥在(0,3)上恒成立，运用参数分离和构造函数法，结合导数求得最大值，可得所求范围．【详解】当(0,3)x ∈时，3()273x x g x =<，当[3,)x ∈+∞时，3()273x xg x =≥，所以()3x x ϕ≥在[3,)+∞必成立，问题转化为()3x f x ≥在(0,3)恒成立，由ln 13x ax x --≥恒成立，可得ln 113x a x +≥+在(0,3)x ∈恒成立，设ln 11(),(0,3)3x h x x x +=+∈，则221(ln 1)1ln ()x x x x h x x x '⋅-+⨯-==，当01x <<时，()0h x '>，当13x <<时，()0h x '<，所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，max 44()(1),33h x h a ∴==∴≥故a 的取值范围是4[,)3+∞.故答案为：4[,)3+∞【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立的问题，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，是一道有一定难度的压轴填空题.四、解答题；本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设函数())πsin 22f x m x m ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭R ．（1）若4m =，求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点；（2）求函数()f x 的最大值．【答案】（1）0（2）当2m <时，()max f x m =-；当2m ≥时，()max 4f x m =-【解析】【分析】（1）利用诱导公式及二倍角的余弦公式化简，再解关于cos x 的一元二次方程即可；（2）利用诱导公式及二倍角的余弦公式化简，再结合二次函数的性质分类讨论，从而可得出答案.【小问1详解】解：若4m =，()24cos24cos 8cos 4cos 4f x x x x x =-=--，令()28cos 4cos 40f x x x =--=，解得cos 1x =（1cos 2x =-舍去），又因π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0x =，所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点为0；【小问2详解】解：()2cos 24cos 2cos 4cos f x m x x m x x m=-=--令[]cos ,0,1t x t =∈，则()[]224,0,1f t mt t m t =--∈，当0m =时，()[]4,0,1f t t t =-∈，则()()max 00f t f ==，当0m ≠时，函数()f t 的对称轴为1t m=，若0m <，则()f t 在[]0,1上递减，所以()()max 0f t f m ==-，若1102m <≤，即2m ≥时，()()max 14f t f m ==-，若112m >，即02m <<时，()()max 0f t f m ==-，综上所述，当2m <时，()max f x m =-；当2m ≥时，()max 4f x m =-.18.已知函数()()3213f x x x ax a =-+∈R ．（1）证明有且仅有两条经过原点的直线与曲线()y f x =相切；（2）记（1）中两条切线为1l ，2l ，设1l ，2l 与曲线()y f x =异于原点O 的公共点分别为,A B ．若1a =，求cos AOB ∠的值．【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）设出切点，结合导数的几何意义求出有两个不同的切点即可证明；（2）先求出两条切线的方程，联立曲线方程，求出交点，结合向量夹角公式可求答案.【小问1详解】证明：2()2f x x x a '=-+，设过原点的直线与曲线()y f x =相切于点(),()t f t ，则22()01203f t t t a t t a t --+==-+-，整理得2203t t -=，即0=t 或32t =；所以有且仅有两条经过原点的直线与曲线()y f x =相切.【小问2详解】当1a =时，2()21f x x x '=-+，由（1）知切点为()330,0,,28⎛⎫⎪⎝⎭，31(0)1,(24f f ''==；两条切线方程分别为：313,842y x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，即1,4y x y x ==；联立方程3213y x y x x x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，得3x =和0x =（舍），可得()3,3A ；同理可求33,28B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()333,3,,28OA OB ⎛⎫== ⎪⎝⎭，334533288OA OB ⋅=⨯+⨯=，8OA OB == ，所以cos 34OA OB OA OBAOB ∠⋅==.19.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 3B =，点D 在边AB 上，2BD AD =．（1）若ACD BCD ∠=∠，求sin A ；（2）若6CD BD ==，求b ．【答案】（1）22sin 3A =（2）5b =【解析】【分析】（1）在ACD 中和在ABD △中，分别利用正弦定理求出CD ，再结合已知即可得解；（2）在BCD △中，利用余弦定理求出BC ，在ABC 中，再次利用余弦定理即可得解.【小问1详解】解：在ACD 中，由sin sin AD CDACD A =∠，得sin sin AD A CD ACD⋅=∠，在ABD △中，由sin sin BD CDBCD B =∠，得sin sin BD B CD BCD ⋅=∠，则sin sin sin sin AD A BD BACD BCD⋅⋅=∠∠，因为ACD BCD ∠=∠，所以sin sin ACD BCD ∠=∠，又2BD AD =，所以sin 2sin A B =，因为()cos ,0,π3B B =∈，所以sin 3B =，所以sin 3A =；【小问2详解】解：在BCD △中，7cos ,63B CD BD ===，2222cos CD BD BC BD BC B =+-⋅，即273636263BC BC =+-⨯⨯⨯，解得BC =0BC =舍去），在ABC 中，9AB =，则2222cos 8111229253AC AB BC AB BC B =+-⋅=+-⨯⨯=，所以5AC =，即5b =.20.在PAB 中，PA PB =，点C ，D 分别在PB ，PA 边上．（1）若3APB π∠=，1CD =，求PCD 面积的最大值；（2）设四边形ABCD 的外接圆半径为R ，若,3APB π∠π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且AB BC CD DA ⋅⋅⋅的最大值为49，求R的值．【答案】（1）34（2）49【解析】【分析】（1）利用余弦定理及基本不等式求得PC PD ⋅的最大值为1，再利用面积公式即可求解；（2）由四边形ABCD 存在外接圆，知四边形ABCD 为等腰梯形，连接AC ，设CBA θ∠=，CAB x ∠=，利用正弦定理，表示,,AB BC CD ，进而利用基本不等式求解.【小问1详解】由已知3DPC APB π∠=∠=，在PCD 中，利用余弦定理知22212cos CD PC PD PC PD PDC ==+-⋅∠，结合基本不等式有122cos3PC PD PC PD PC PD π≥⋅-⋅=⋅，当且仅当1PC PD ==时，等号成立，即PC PD ⋅的最大值为1，133sin 2344PCD S PC PD PD π=⋅=⋅≤所以PCD 面积的最大值为4【小问2详解】四边形ABCD 存在外接圆，DAB DCB π∴∠+∠=又PA PB =，DAB CBA ∴∠=∠，CBA DCB π∴∠+∠=，//AB CD ∴，所以四边形ABCD 为等腰梯形，连接AC ，设CBA θ∠=，CAB x ∠=，在BAC 中，由正弦定理得，2R sin()sin AB BCx xπθ==--，2R sin BC x ∴=，2R sin()2R sin()AB x x πθθ=--=+同理，在ACD 中，由正弦定理得，2R sin()CD x θ=-，所以2216R sin sin()sin()AB BC CD DA x x x θθ⋅⋅⋅=-+()22222216R sin sin cos cos sin x x xθθ=-()22222216R sin sin 1sin cos sin x x x θθ⎡⎤=--⎣⎦()222216R sin sin sin x xθ=-,3APB π∠π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，03x πθ∴<<≤，220sin sin x θ∴<≤()()22222222224sin sin sin 16R sin sin sin 16R 4R sin 2x xx x θθθ⎡⎤+-⎢⎥∴-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当222sin sin sin x x θ=-，即221sin sin 2x θ=0,3πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ ，23sin 4θ∴≤，当且仅当3πθ=时，等号成立，即22344R 49⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，即4R 9=21.已知0a >，函数()()ln f x a x x =-．（1）证明()f x 存在唯一极大值点；（2）若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意()0,x ∈+∞成立，求b 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）e b ≥-【解析】【分析】（1）求导()ln 1,0af x x x x'=-+->，再对()f x '求导，判断其单调性，然后结合零点存在性定理进而可知()0f x '=有唯一零点，结合极值点定义可证得结论；（2）题目转化为()max f x a b -≤⎡⎤⎣⎦，构造2()ln ln ,0u x x x x x x x =-->，利用导数研究函数的单调性，求其最值，即可得解.【小问1详解】函数()()ln f x a x x =-，求导()()1ln ln 1,0af x x a x x x x x'=-+-=-+->，令()ln 1,0a g x x x x -+->=，则()221a x ag x x x x+'=--=-又0a >，()0g x '∴<，()f x '∴在()0,x ∈+∞上单调递减，当1e x -=时，()10e a f x -'=>，当e a x =时，()1e 1110e e a a a a f a a ⎛⎫'=-+-=--< ⎪⎝⎭，故存在()10e e,ax -∈，使得()0f x '=当()00,x x ∈，()0f x ¢>，故函数()f x 在()00,x 上单调递增，当()0,x x ∈+∞，()0f x '<，故函数()f x 在()0,x +∞上单调递减，所以()f x 存在唯一极大值点；【小问2详解】由题知，存在0a >，使得()f x a b ≤+对任意()0,x ∈+∞成立，即存在0a >，使得()max b f x a ≥-⎡⎤⎣⎦对任意()0,x ∈+∞成立，由（1）知，()max 0()f x f x =，且00ln 10ax x -+-=，即()001ln a x x =+，()()()()0000000max 1ln ln 1ln f x a f x a x x x x x x -=-=+--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦即存在0a >，使得2000000ln ln ,0b x x x x x x ≥-->恒成立，构造2()ln ln ,0u x x x x x x x =-->，即存在0a >，使得()b u x ≥恒成立，即存在0a >，min ()b u x ≥对任意()0,x ∈+∞恒成立，求导2()ln ln 2,0u x x x x '=+->令()0u x '=，求得1ln 2x =-，2ln 1x =，即21e x -=，2e x =，当()20,ex -∈，()0u x '>，故函数()u x 在()20,e -上单调递增，当()2e e ,x -∈，()0u x '<，故函数()u x 在()2e e ,-上单调递减，当()e,+x ∈∞，()0u x '>，故函数()u x 在()e,+∞上单调递增，所以2min ()(e)eln e e elne e 0u x u ==--=-<，由()20,ex -∈时，()2215()ln ln 1ln 24u x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=--=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为()20,ex -∈，所以ln 2x <-，即215ln 524x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，则()0u x >在()20,e x -∈上恒成立，所以b 的取值范围是e b ≥-.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．22.已知函数()3ln f x ax x =-．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，证明：122e x x +>．【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在3(0,)a 上单调递减，在3(,)a+∞上单调递增（2）详见解析【解析】【分析】(1)对函数()f x 进行求导，然后对a 进行分类讨论，根据导函数值的正负，得到函数的单调区间(2)由题意变形得到ln 3a xx =的符号，不妨设12x x <，21x tx =，1212ln ln x x x x =得到1ln x 与t 之间的关系，将122ex x +>变形为1ln ln 2e ln(1)x t >-+，构造为t 的函数，在进行求导得出函数值最小为0即可判断【小问1详解】由()3ln f x ax x =-，得33()ax f x a x x'-=-=，0x >，当0a ≤时，()0f x '<，∴()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，3(3()x ax a f x a x x-=⋅'-=，由3x a >时，()0f x '>，()f x 在3(,)a +∞上单调递增，由3x a<时，()0f x '<，()f x 在3(0,a 上单调递减，∴综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在3(0,a 上单调递减，在3(,)a+∞上单调递增【小问2详解】根据函数()f x 有两个零点，3ln 0ax x -=变形ln 3a x x=，画出ln x y x =的图像，()f x 有两个零点即为3a y =与ln x y x=有两个交点，不妨设12x x <，如图可得11e x <<，2e x >，设21x tx =，(1)t >由1212ln ln x x x x =，将21x tx =代入1111ln ln x tx x tx =整理得1ln ln 1t x t =-①，要想证明122e x x +>，即证12e1x t >+，即证1ln ln 2e ln(1)x t >-+②，将①代入②整理得，只需证明ln (1)ln 2e (1)ln(1)0t t t t --+-+>即可，令()ln (1)ln 2e (1)ln(1)F x t t t t =--+-+，(1)t >，11()ln 2e ln(1)1t F x t t t -=-++++'，22222112(1)(31)()01(1)(1)t t t F x t t t t t-++=-++=+'>++'，()F x '在(1,)+∞递增， (1)0F '=，∴()0F x '>得()F x 在(1,)+∞递增，(1)0F =，∴()(1)0F x F >=，即ln (1)ln 2e (1)ln(1)0t t t t --+-+>，从而证明122ex x +>【点睛】本题采用分类讨论的方法，数形结合的方法，求解的关键进行构造函数，并画出图像，利用数形结合进行分析，两个变量的证明要转化为一个变量进行分析证明。
2022-2023学年江苏省泰州市高二年级上册学期期中联考数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省泰州市高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．圆222440x y x y ++--=的圆心坐标和半径分别为（ ） A ．(1,2)-，3 B ．(1,2)-，3 C ．(1,2)-，9 D ．(1,2)-，9【答案】A【分析】将圆方程化为标准方程，即可求得圆心坐标和半径. 【详解】由方程222440x y x y ++--=可得22(1)(2)9x y ++-=， 故圆心坐标为(1,2)-，半径为3． 故选：A.2．已知直线3430x y -+=与直线6140x my +-=平行，则它们之间的距离是（ ） A ．175B ．2C ．1710D ．12【答案】B【分析】先根据线线平行公式可得8m =-，再根据平行线间的距离公式求解即可. 【详解】直线3430x y -+=与直线6140x my +-=平行， ∴614343m -=≠-，解得8m =-，故直线6140x my +-=为直线68140x y --=，化简得3470x y --=， ∴2=．故选：B ．3．经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是（ ） A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D ．30,,44πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【分析】画出坐标系，连接,,PB PB AB ，结合斜率变化可知，tan PA PB k k α≤≤，联立斜率与倾斜角关系即可求解. 【详解】如图所示，设直线l 的倾斜角为α，[)0,απ∈， 则12101PA k -+==--，11102PB k --==-， ∵直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 的线段总有公共点，∴tan PA PB k k α≤≤， 即ta 11n α-≤≤， ∴30,,44ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：A ．4．若方程24x b x +=-有两个实数解，则实数b 的取值范围为（ ） A ．[2,22]- B ．(0,22]C ．(22,22)-D ．[2,22)【答案】D【分析】题目转化为函数24y x =-与y x b =+有两个公共点，画出函数图像，根据图像计算得到答案.【详解】方程24x b x +=-有两个实数解即函数24y x =-与y x b =+有两个公共点， 曲线24y x =-表示以(0,0)为圆心，半径为2的圆的上半部分（包括端点）， 如图所示．由图形知，当直线y x b =+经过点(0,2)时，直线与曲线有2个公共点，此时有2b =；2=，解得b =或b =-.结合图形可得实数b 的取值范围是[2,． 故选：D5．若抛物线2y mx =上一点(),2t 到其焦点的距离等于4，则（ ） A ．14m =B ．18m =C ．4m =D ．8m =【答案】B【分析】由抛物线的定义求解即可【详解】因为抛物线2y mx =的标准方程为21x y m=，其准线方程为14y m =-，由于抛物线上一点(),2t 到其焦点的距离等于4， 由抛物线的定义可得，1244m+=，解得18m =．故选：B6．已知数列：1，1，2，3，5，8，…，则144是该数列的第（ ）项． A ．10 B ．11 C ．12 D ．13【答案】C【分析】由题意可得数列从第3项起，每一项等于前两项的和，即可得144所对应项数.【详解】由题意可得数列从第3项起，每一项等于前两项的和,所以这个数列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……， 所以144是该数列的第12项． 故选：C ．7．设F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若FOH △的内切圆与x 轴切于点B ，且3BF OB =，则C 的离心率为（ ）A B C D 【答案】A【分析】首先求出2a b cr +-=，由3BF OB =，通过运算得到22b a c =+，再利用,,,e a b c 之间的关系得到关于e 的方程，解出e 即可.【详解】解：双曲线的渐近线方程为：by x a=±，即0bx ay ±=，(),0F c ∴到渐近线的距离为22bc FH b b a==+，22OH c b a ∴=-=，则直角三角形FOH 的内切圆的半径2a b cr +-=，如图，设三角形的内切圆与FH 切于M ，则2a b c MH r +-==，3BF OB =，可得34FM BF c ==，342a b c BF MH c FH b +-∴+=+==， 即22b a c =+，则2222244444b c a c ac a =-=++， 所以228430a ac c +-=， 由e ca=，23e 4e 80∴--=， e 1>，227e +∴=. 故选：A.8．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线.现有方程()()2222123m x y y x y +++=-+表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为（ ） A ．()0,1 B ．()1,+∞C ．()0,5D ．()5,+∞【答案】C【分析】对方程进行化简可得双曲线上一点(),x y 到定点与定直线之比为常数5e m=果.【详解】已知方程可以变形为()2222321x y m x y y -+=-++()22123x y x y m++=-+其表示双曲线上一点(),x y 到定点()0,1-与定直线230x y -+=之比为常数e = 又由1e >，可得05m <<， 故选：C.二、多选题9．下列说法中，正确的有（ ）A ．点斜式()11y y k x x -=-可以表示任何直线B ．直线42y x =-在y 轴上的截距为2-C ．直线230x y -+=关于0x y -=对称的直线方程是230x y -+=D ．点()21P ，到直线的()130ax a y a +-++=的最大距离为【答案】BD【分析】点斜式方程不能表示斜率不存在的直线判断A ；直接令0x =求解直线在y 轴上的截距判断B ；结合关于直线0x y -=对称的点的关系求解判断C ；结合直线过定点()4,3Q -求解即可判断D. 【详解】解：对于A 选项，点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，故错误； 对于B 选项，令0x =得=2y -，所以直线42y x =-在y 轴上的截距为2-，正确；对于C 选项，由于点(),x y 关于直线0x y -=对称的点为(),y x ，所以直线230x y -+=关于0x y -=对称的直线方程是230x y --=，故错误；对于D 选项，由于直线()()()13130ax a y a a x y y +-++=++--=，即直线过定点()4,3Q -，所以点()21P ，到直线的()130ax a y a +-++=的最大距离为PQ =. 故选：BD10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．已知412a =，140S >，150S <，则下列结论正确的是（ ） A ．70a < B ．2437d -<<- C ．784S = D ．设n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则0n T >时，n 的最大值为27【答案】BC【分析】由已知求得80a <，70a >，解公差为d 的取值范围，利用等差数列的通项公式求和公式及其性质逐个选项判断正误即可. 【详解】∵140S >，150S <，∴()()1147814702a a a a +=+>，()1158151502a a a +=<， ∴780a a +>，80a <，∴70a >，A 选项错误； 又∵412a =，即1123a d =-，∴ 78448434247041240a a a d a d d a a d d +=+++=+>⎧⎨=+=+<⎩ ，解得2437d -<<-，B 选项正确； ∵()177477842a a S a +===，故C 选项正确； 因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以1(1)2n n n S na d -=+，即112n S n a d n -=+， 由11n n S S n n --=-11111222n n d a d a d ---⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭， ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设112n n S n b a d n -==+， 因为当14n ≤时，0n S >，当15n >时，0n S <， 所以当14n ≤时，0n b >，当15n >时，0n b <， 所以1272714272702b b T b +=⨯=>，1282812715281421424222b b T a d d +⎛⎫⎛⎫=⨯=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2437d -<<-，所以28T 可能为正数，也可能为负数，所以D 选项不正确． 故选：BC ．11．已知圆22:(1)(1)4M x y +++=，直线:20+-=l x y ，P 为直线l 上的动点，过P 点作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，则下列说法正确的是（ ） A ．四边形MAPB 面积的最小值为4 B ．线段AB的最小值为C ．当直线AB 的方程为0x y +=时，APB ∠最小D ．若动直线1//l l ，1l 且交圆M 于C 、D两点，且弦长CD ∈，则直线1l 横截距的取值范围为2,0)(4,2)⋃- 【答案】ABD【分析】由切线性质PA AM ⊥，PB MB ⊥，PA PB =，由点到直线距离公式求得圆心M 到直线l 的距离，结合四边形MAPB 面积计算判断AB ，当AB 方程为0x y +=时，由对称性求得AB ，求出APB ∠，然后再取一特殊值得出APB ∠比此时的小可判断C ，由CD 弦长求出圆心到弦CD 的距离的范围，从而设直线方程为0x y m ++=后可求得m 的范围，从而可得横截距范围判断D ． 【详解】圆22:(1)(1)4M x y +++=的圆心(1,1)M --，半径为2r =，可知||||2MA MB ==，PA AM ⊥，||PA2MAPB APM S S =△12||||2AM PA =⨯⨯⨯=当||PM 取最小值时，四边形MAPB 面积取得最小值，此时||PM ==所以四边形MAPB 面积的最小值为4=，故A 正确；又圆心(1,1)M --到直线l 的距离d ==所以当MAPB S 取得最小值时，1||2MAPB S AB =⨯⨯可得||MAPB AB =，故||AB 4=B 正确； 当直线AB 的方程为0x y +=时，1AB k =-，1OMk =，则1AB OMk k ⋅=-，所以直线AB 与直线OM 垂直，又O 是AB 中点，||||2MA MB ==，||OM =所以||AB =222||||||MA MB AB +=， 所以MA MB ⊥，易得四边形MAPB 是正方形，此时APB ∠=90︒，而当4PM =时，直角三角形中21sin 42APM ∠==，30APM ∠=︒，6090PB ∠=︒<︒，故C 错误；设M 到直线1l 的距离为1d ，因为||CD ∈，且22211||4CD r d =-，所以22211||4d r CD =-，则1(1d ∈，设1:0l x y m ++=，所以1<<|2|2m -<，解得(0,2(24)m ∈⋃，所以直线1l 的横截距m -的取值范围为2,0)(4,2)⋃-，故D 正确． 故选：ABD ．12．已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有公共的焦点1F ，2F ，设P 是1C ，2C 的一个交点，1C 与2C 的离心率分别是1e ，2e ，则下列结论正确的有（ ）A ．221212PF PF b b ⋅=+B ．12F PF △的面积12S b b =C ．若12π3F PF ∠=，则2212124e e +=D ．1221tan2F PF b b ∠= 【答案】ABD【分析】根据焦点三角形与椭圆双曲线的联系，结合余弦定理，面积公式即可求解.【详解】设12F PF θ∠=，12||2F F c =，又∵222221122c a b a b =-=+，即22221212a a b b -=+，又∵1212+=PF PF a ，1222PF PF a -=，令12PF PF >， ∴112=+PF a a ，212=-PF a a ，∴2222121212PF PF a a b b ⋅=-=+，故A 正确；()2222222212121222221212124224cos 22PF PF c a a c b b PF PF b b b b θ+-+--===⋅++，1222122sin b b b b θ=+， 1212121sin 2F PF S PF PF b b θ=⨯⋅⋅=△，故B 正确；当12π3F PF ∠=时，221222121cos 2b b b b θ-==+，得22123b b =，∴2212222212212a a e e c c +=+2222122223234c b b b c c+-==+<，故C 不正确． 设12F PF θ∠=，证明椭圆2212211:1x y C a b +=的焦点三角形面积为1221tan 2PF F S b θ=△，记1PF m =，2PF n =，在12F PF △中，由余弦定理有：2222122cos 4m n mn F F c θ+-==， ∴22()2(1cos )4m n mn c θ+-+=， 又由椭圆定义有：12m n a +=，∴()222112(1cos )44mn a c b θ+=-=；∴2121cos b mn θ=+，又∵121sin 2PF F S mn θ=△，∴1221sin 1cos PF F b S θθ=+△ 2122sin cos 2212cos 12b θθθ=+- 21tan2b θ=，设12F PF θ∠=，证明双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>的焦点三角形面积为1222tan 2PF F b S θ=△， 记1PF m =，2PF n =，在12F PF △中，由余弦定理有：2222122cos 4m n mn F F c θ+-==， ∴22()2(1cos )4m n mn c θ-+-=， 又由双曲线定义有：22m n a -=，∴()222222(1cos )44mn c a b θ-=-=；∴2221cos b mn θ=-，又∵121sin 2PF F S mn θ=△，∴1222sin 1cos PF F b Sθθ=- 2222sin cos 22112sin 2b θθθ=-+ 22tan2b θ=，由122221tan2tan 2PF F b S b θθ==△2222211tan tan 22b bb b θθ⇒=⇒=，故D 正确． 故选:ABD ．三、填空题13．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则22a =_______． 【答案】3-【分析】利用等差数列的通项公式和等差中项求解即可.【详解】根据题意，可设等差数列{}n a 的公差为d ， 又由135105a a a ++=，则33105a =，即335a =， 24699a a a ++=，则4399a =，即433a =，则公差432d a a =-=-，则223(223)35383a a d =+-=-=-， 所以223a =-． 故答案为：3-14．写出与圆221x y +=和圆22(2)(1x y -+-=都相切的一条切线方程_______．【答案】1x =（10x -=20y -+=20y --=，20x +=任选一个答案均可） 【分析】设切线方程为0x by c ，由直线与两相切可得221c b =+①，|2|c ++=，联立求解即可得答案.【详解】解：圆221x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径为1，圆22(2)(1x y -+-=的圆心坐标为(2,，半径为1， 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为0x by c ，11=，故221c b =+①，|2|c ++，联立①②解得01b c =⎧⎨=-⎩或b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以直线方程有4条，分别为10x -=20y -+=20y --=或20x +=． 故答案为：1x =（10x -=20y -+=20y --=或20x +=任选一个答案均可）．15．已知椭圆22:12x C y +=，点P 为直线2x y +=上一动点，过点P 向椭圆作两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 过定点_______．【答案】11,2⎛⎫⎪⎝⎭【分析】求得过椭圆上一点处的切线方程，再根据题意，求得AB 的方程，即可由相交直线系方程，求得直线恒过的定点.【详解】若过椭圆C 上任意一点()(,,m n m ≠作切线，则其斜率存在， 不妨设其为()y n k x m -=-，联立椭圆方程可得：()()()222214220k x k n km x n km ++-+--=，则()()()222216421220k n km k n km ⎡⎤=--+--=⎣⎦， 即()2222210m k mnk n --+-=，又该方程()()2222224421488m n m n m n =---=+-因为2222m n +=，则0=，故可得()222222222mn mn mn m k m nn m ====----， 故此时过椭圆C 上一点(),m n 的切线方程为()2my n x m n-=--， 即()22220mx ny m n +-+=，22mx ny +=，即12mxny +=；当m =(),m n 的切线方程也满足12mxny +=， 综上所述，过椭圆上任意一点(),m n 的切线方程为：12mxny +=； 设()00,P x y ，则002x y +=，()11,A x y ，()22,B x y ， 则切线PA 的方程为1112x x y y +=，切线PB 的方程为2212xx y y +=，又点P 在,PA PB 上，故102010201,122x x x xy y y y +=+=， 可得A 、B 都在直线0012x x y y +=上， 即()00212x x x y +-=，02102x y x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 令02210x y y ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩，解得112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，故直线AB 过定点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．故答案为：11,2⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆中直线恒过定点的问题，处理问题的关键是熟练掌握过椭圆上一点的切线方程的推导以及其形式，属综合困难题.16．已知抛物线2:8M x y =，直线:2l y kx =+与抛物线交于A ，D 两点，与圆：22:430N x y y +-+=交于B ，C 两点（A ，B 在第一象限），则||2||AC BD +的最小值为_______．【答案】942+##429+【分析】分别在0k =，0k ≠时，结合抛物线的性质证明111||||2AF DF +=，结合图象可得||2||||2||3AC BD AF DF +=++，再利用基本不等式求其最小值.【详解】因为抛物线M 的方程为28x y =， 所以抛物线M 的焦点为(0,2)F ，准线=2y -， 则直线2y kx =+过抛物线的焦点F ， 当0k =时，联立2y =与28x y =可得，4x =± 所以||||4AF DF ==，则111||||2AF DF +=； 当0k ≠时，如图，过A 作AK y ⊥轴于K ，设抛物线的准线交y 轴于E ， 则||||||EK EF FK =+||cos ||p AF AFK AF =+∠=， 得||1cos pAF AFK =-∠，则11cos ||AFKAF p-∠=， 同理可得11cos ||AFKDF p+∠=， 所以1121||||2AF DF p +==， 化圆N ：22430x y y +-+=为22(2)1x y +-=，则圆N 的圆心为F ，半径为1， ||2||AC BD +=||12(||1)AF DF +++||2||3AF DF =++2(||2||)AF DF =+113||||AF DF ⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭||2||233||||AF DF DF AF ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭||2||2323||||AF DF DF AF ⎛≥+⋅+ ⎝942=+||2|AF DF =且111||||2AF DF +=时等号成立，即2DF =2AF =+ 所以||2||AC BD +的最小值为9+故答案为：9+四、解答题17．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且1n n a a d +=+，（*N n ∈，0d <），若312S =，353525100a a a a +--=．求：(1)数列{}n a 的通项公式； (2)n S 的最值． 【答案】(1)28n a n =-+ (2)最大值12，无最小值．【分析】（1）由等差数列的通项公式与求和公式求解即可（2）利用等差数列求和公式表示出n S ，由二次函数的性质可求得最值.【详解】（1）由1n n a a d +=+，（*N n ∈，0d <），知{}n a 为等差数列，公差为d ， 设首项为1a ，由312S =，353525100a a a a +--=，得()()()()111113312242254100a d a d a d a d a d +=⎧⎨++++-+-=⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩或162a d =⎧⎨=-⎩，因为0d <，所以162a d =⎧⎨=-⎩，故28n a n =-+．（2）当28n a n =-+时，162a d =⎧⎨=-⎩，()()216272n n n S n n n -=+⨯-=-+， 所以当3n =或4时，n S 有最大值3412S S ==，n S 无最小值．18．已知的ABC 顶点(1,2)A ，(3,2)B -，直线BC(1)求过点A ，且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)求角B 的角平分线所在直线方程． 【答案】(1)20x y -=或30x y +-=；20y ++=或30x ++=．【分析】（1）考虑直线过原点和不过原点两种情况，根据截距相等得到直线方程为1x ya a+=，代入点得到直线方程.（2）考虑点C 位于直线AB 下方和上方两种情况，计算倾斜角得到斜率，得到直线方程.【详解】（1）①当所求直线过原点时，设直线方程为y kx =，直线过点A ，2k =，故方程为20x y -=； ②当所求直线不过原点时，因为所求直线在两坐标轴上截距相等，所以设所求直线方程为1x ya a +=，因为直线过点A ，所以121a a+=，解得3a =，所以所求直线方程为30x y +-=；综上，满足条件的直线方程为20x y -=或30x y +-=； （2）因为ABC 的顶点(1,2)A ，(3,2)B -，直线BC所以直线AB 方程为2y =，直线BC 的倾斜角为60︒，①当点C 位于直线AB 下方时，120ABC ∠=︒，设此时其角平分线为BD ，则角平分线BD 的倾斜角为120︒，其斜率为所以角平分线BD 方程为23)y x -=+20y ++=； ②当点C 位于直线AB 上方时，60ABC ∠=︒，设此时其角平分线为BE ，则角平分线BE 的倾斜角为30︒所以角平分线BE 方程为23)y x -=+，即30x ++；所以角B 20y ++=或30x ++=． 19．直线l 经过抛物线28y x =焦点F ,且与抛物线相交于()11,A x y ,()22,B x y 两点,通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D . (1)若直线l 的斜率为2,求线段AB 的长; (2)求证:直线DB 平行于抛物线的对称轴. 【答案】(1)10(2)证明见解析【分析】(1)根据题意得到直线AB 的方程,与抛物线方程联立,依据抛物线的定义和韦达定理即可求出弦长;(2)设直线OA 的方程,令2x =-得到D y ;设直线AB 的方程,联立抛物线的方程,根据韦达定理求出2y ,证明2D y y =即可.【详解】（1）∵抛物线28y x =的焦点(2,0)F ,准线方程为2x =-, ∴直线AB 的方程为24y x =-,联立方程28y x =,得2640x x -+=, 则126x x +=,124x x =,∴12||||||410AB AF BF x x =+=++=;（2）设直线OA 的方程为:1118y y x x x y ==, 令2x =-,可得116D y y =-, 设直线AB 的方程为:2x my =+,联立方程28y x =,得28160y my --=, ∴1216y y =-, ∴2116y y =-, ∴2D y y =,∴直线DB 平行于x 轴,即直线DB 平行于抛物线的对称轴.20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为2c ，左右焦点分别为1F 、2F ，圆221:()1F x c y ++=与圆222:()9F x c y -+=相交，且交点在椭圆E 上，直线:l y x m =+与椭圆E 交于A 、B 两点，且线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率为14-．(1)求椭圆E 的方程；(2)若1m =，试问E 上是否存在P 、Q 两点关于l 对称，若存在，求出直线PQ 的方程，若不存在，请说明理由．【答案】(1)2214x y +=；(2)存在P 、Q 两点关于l 对称，直线PQ 的方程为53y x =--．【分析】（1）由椭圆定义知2a 为两圆半径之和，由点差法可得22OM AB b k k a⋅=-，求出2b ，从而得到椭圆方程；（2）设直线PQ 的方程为y x t =-+，根据PQ 中点在直线l 上求得t 值，注意检验直线PQ 与椭圆有两个交点.【详解】（1）因为圆221:()1F x c y ++=与圆222:()9F x c y -+=相交，且交点在椭圆E 上，所以213a =+，2a =，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,M x y ，22112222222211x y a b x y a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①－② ()()01201222220x x x y y y a b --⇒+=， 201220120y y y b a x x x -⇒+⋅=-22OM AB b k k a ⇒⋅=-， 222114b b a⇒-=-⇒=，则椭圆E 的方程：2214x y +=；（2）假设存在P 、Q 两点关于l 对称，设直线PQ 的方程为y x t =-+，()33,P x y ，()44,Q x y ，PQ 中点(),N N N x y ， 22225844044y x tx xt t x y =-+⎧⇒-+-=⎨+=⎩， ()226420440t t ∆=-->t ⇒<< 34425N x x t x +==，5N t y =，即4,55t t N ⎛⎫⎪⎝⎭， 由N 在l 上，451553t t t =+⇒=-，此时(t ∈，故存在P 、Q 两点关于l 对称，直线PQ 的方程为53y x =--．21．已知双曲线C过点P ⎫⎪⎝⎭,Q . (1)求双曲线C 的标准方程;(2)已知(3,4)A ,过点1,03⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与双曲线C 交于不同两点M 、N ,设直线AM 、AN 的斜率分别为1k 、2k ,求证:12k k +为定值.【答案】(1)2212y x -=(2)证明见解析【分析】(1)设双曲线C 的方程为221(0)mx ny mn -=>,将P ⎫⎪⎝⎭,Q 代入求解即可; (2)由题意易得直线l 的斜率存在,设()11,M x y ,()22,N x y ,直线l 的方程为13y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,联立直线l 与双曲线方程,化简12k k +的式子,结合韦达定理即可求出结果. 【详解】（1）设双曲线C 的方程为221(0)mx ny mn -=>,将P ⎫⎪⎝⎭,Q 代入上式得:312221m n m n ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩, 解得112m n =⎧⎪⎨=⎪⎩,∴双曲线C 的方程为2212y x -=.（2）设()11,M x y ,()22,N x y , 由题意易得直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为13y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,代入2212y x -=整理得, ()22221896180k xk x k -+--=,∴21226189k x x k +=--,212218189k x x k+=--,21890k -≠且0∆>, 则1212124433y y k k x x --+=+--121211443333k x k x x x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-- 1281124333k k x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭()1212126824339x x k k x x x x +-⎛⎫=+- ⎪-++⎝⎭ ()()2222266189824318189189k k k k k k k ---⎛⎫=+- ⎪--++-⎝⎭8324334k k ⎛⎫⎛⎫=+-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故123k k +=为定值.22．长为4的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，线段AB 的中点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程，并说明其形状；(2)过点(0,2)M 作两条直线分别与曲线C 交于P 、Q 两点，若直线MP ，MQ 的斜率之积为2-，线段PQ 的中点为D ，求证：存在定点E ，使得||DE 为定值，并求出此定值． 【答案】(1)224x y +=，是以坐标原点为圆心，2为半径的圆； (2)证明见解析，此定值为13．【分析】（1）利用几何法直接求出轨迹方程，进而判断出形状；（2）设直线方程为2y kx =+与224x y +=联立求出222422,11k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，由MQ 的斜率为2k -，同理求出222828,44k k Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.根据对称性可知，判断出PQ 过20,3F ⎛⎫- ⎪⎝⎭.由直角三角形的性质判断出10,3E ⎛⎫- ⎪⎝⎭为OF 的中点||DE 为定值.【详解】（1）∵OA OB ⊥，P 为线段AB 中点， ∴1||||22OP AB ==，设(,)P x y ，则222x y +=，即224x y +=. 则曲线C 是以坐标原点为圆心，2为半径的圆；（2）根据题意，直线MP 的斜率存在且不为0，MP 设斜率为k ，则直线方程为2y kx =+代入224x y +=中，整理得()22140k x kx ++=，故241P k x k =-+，22221P k y k -=+，即222422,11k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 因为直线MP ，MQ 的斜率之积为2-，所以MQ 的斜率为2k -，同理：222828,44k k Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 根据对称性可知，直线PQ 所过定点在y 轴上，不妨令2222222814k k k k --=++，得22k =， 此时23P Q y y ==-，即PQ 过20,3F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2222033PF QFk k k k k k ---=-=，所以PQ 过定点20,3F ⎛⎫- ⎪⎝⎭.连接OD ，在圆O 中，由垂径定理可得：OD PQ ⊥.当D 、F 不重合时，即OD DF ⊥，所以ODF △为直角三角形，取OF 的中点10,3E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则11||||23DE OF ==．当D 、F 重合时，取OF 的中点10,3E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则11||||23DE OF ==也成立．故存在定点E ，使得||DE 为定值，此定值为13．。
泰州中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(原卷版)
14. 幂函数 f x m2 m 1 x2m1 在 0, 上为减函数，则实数 m 的值为__________.
15. 已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f x x2 2x 1，则 f 1 ______.
ax 2, x 2
16.
命题 P :
f
x 2ax2
D. x 3 x 5
1
D.
4
A. f x x0 与 g x 1
B. f x x2 与 g x x3
x
C. f x x 1 x 1 与 g x x 1 x 1
D. f x x 2 与 g x (x 2)2
5. 已知 x x1 4 ，则 x2 x2 等于（ ）
20. 已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且当 x 0 时， f x x2 2x ，
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（1）现已画出函数 f x 在 y 轴左侧的图象，请将函数 f x 的图象补充完整，并写出函数 f x x R 的
解析式和单调减区间；
（2）若函数 g x f x 4ax 3 x 1, 2，求函数 g x 的最大值.
是一个无理数），则 a,b, c 的大小关系为（ ）
A. a b c
B. a c b
C. c a b
D. c b a
二，多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
（2）求当 2023 年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
22. 对于函数 f x ，若在定义域内存在实数 x0 ，且 x0 0 ，满足 f x0 f x0 ，则称 f x 为“弱偶 函数”.若在定义域内存在实数 x0 ，满足 f x0 f x0 ，则称 f x 为“弱奇函数”. （1）判断函数 f x ex 1 是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”；（直接写出结论）
2022届江苏省泰州中学高三上学期12月月考数学试题解析
2022届江苏省泰州中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}24,A x x x =<∈N ，{}1,1,2,3B =-，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2,3答案：A先解不等式化简集合A ，再进行交集运算即可.解：集合{}{}24,22,A x x x x x x =<∈=-<<∈N N {}0,1=，{}1,1,2,3B =-，因此{}1A B ⋂=. 故选：A.2．复数z 对应复平面上的点12Z ⎛ ⎝⎭，则2z 在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B首先根据复数的几何意义表示出复数z ，再根据复数的乘方运算求出2z 即可得到其坐标，即可判断；解：解：因为复数z 对应复平面上的点12Z ⎛ ⎝⎭，所以12z =+，所以221122z ⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭，在复平面内对应的点的坐标为12⎛- ⎝⎭位于第二象限.故选：B.3．已知直线()1:3453l m x y m ++=-，()2:258l x m y ++=，则“7m =-”是“12//l l ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件答案：C根据两直线平行可求得实数m 的值，进而判断可得出结论.解：若12//l l ，则()()358m m ++=，即2870m m ++=，解得1m =-或7-.当1m =-时，直线1l 的方程可化为24x y +=，直线2l 的方程可化为24x y +=，两直线重合，不合乎题意；当7m =-时，直线1l 的方程可化为22130x y -+=，直线2l 的方程可化为40x y --=， 此时，两直线平行，合乎题意.因此，“7m =-”是“12//l l ”的充分必要条件. 故选：C.4．曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能最完好的青铜礼乐器，全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调．其初始四音为宫、徵、商、羽．我国古代定音采用律管进行“三分损益法”．将一支律管所发的音定为一个基音，然后将律管长度减短三分之一（即“损一”）或增长三分之一（即“益一”），即可得到其他的音．若以宫音为基音，宫音“损一”得徵音，徵音“益一”可得商音，商音“损一”得羽音，则羽音律管长度与宫音律管长度之比是（ ） A ．23B ．89C ．1627D ．6481答案：C根据题意，设出宫音的律管长度，表示出羽音的律管长度，作比即可. 解：设以宫音为基音的律管长度为x ，则徵音的律管长度为113x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，商音的律管长度为111133x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，羽音的律管长度为111111333x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，羽音律管长度与宫音律管长度之比是1111111633327x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=.故选：C.5．已知下表中是关于变量x ，y 的5组观测数据，甲同学根据表中数据通过模型mx n y e +=得到回归方程 2.6 3.8x y e -=，则ab =（ ）A ．10eB ．11eC ．12eD ．13e答案：B令ln z y =，然后求出,x z ，而由 2.6 3.8x y e -=可得 2.6 3.8z x =-，再将,x z 的值代入可求出ab 的值 解：令ln z y =，则3x =，()111ln ln 95z a b =⨯-++++，∵ 2.6 3.8x y e -=，∴ 2.6 3.8z x =-，∴ 2.63 3.84z =⨯-=，解得ln ln 11a b +=， ∴11ab e =， 故选：B.6．一个封闭的圆柱形容器，内部装有高度为三分之一的水（图一），将容器歪倒放在水平放置的的桌面上，设水面截底面得到的弦AB 所对的圆心角为θ，则（ ）A ．π3θ=B ．2π3θ=C ．πsin 3θθ=- D ．2πsin 3θθ=- 答案：D根据水平放置前后的水的体积相等列方程化简即可求解． 解：设圆柱体底面半径为r ，高为h ，则水的体积为213r h π水平放置后，水的体积为221sin 22r r h θπθπ⎛⎫⋅-⎪⎝⎭所以22211sin 322r h r r h θππθπ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭，解得2πsin 3θθ=- 故选：D7．将双曲线绕其对称中心旋转，会得到我们熟悉的函数图象，例如将双曲线22122x y -=的图象绕原点逆时针旋转45°后，能得到反比例函数1y x=的图象(其渐近线分别为x 轴和y 轴)；同样的，如图所示，常见的“对勾函数”(0,0)ny mx m n x=+>>也能由双曲线的图象绕原点旋转得到．设3m =，n ＝1，则此“对勾函数”所对应的双曲线的离心率为（ ）AB C D ．1答案：C由两条渐近线的夹角可得双曲线渐近线的斜率，然后由公式e =.解：易知对勾函数1y x+的渐近线为y =与y 轴，其夹角为30︒，故旋转之前双曲线的一条渐近线斜率为tan15︒，即()tan15tan 4530b a =︒=︒-︒=，所以双曲线离心率e =故选：C8．已知2log 3a =，函数()e ln 4=+-xf x x 的零点为b ，()3212g x x x x =--的极小值点为c ，则（ ） A ．()()()f a f b f c >> B ．()()()f b f a f c >> C ．()()()f b f c f a >> D ．()()()f c f a f b >>答案：A求出c 的值，利用零点存在定理得出31,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，然后比较a 、b 、c 的大小关系，结合函数()f x 的单调性可得出结论.解：因为()f x 的定义域为()0,∞+，()1e 0xf x x'=+>，则函数()f x 在其定义域上为增函数， 3e 16>，则32e 4>，则3233e ln 4022f ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，因为()1e 40f =-<，由零点存在定理可知31,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()2310g x x x '=--=可得1=x 2=x当x <x >时，()0g x '>x <<()0g x '<.所以，1c =<.因为2223log log 3log 422a ==<=，所以，01cb a <<<<，故()()()f a f b fc >>. 故选：A. 二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．()522x x -的展开式中含7x 的系数是80- B ．已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()()151P X P X >-+≥=，则2μ=C ．若实数221a b +=，则a b +的最大值为1D ．若函数()24f x x x m =-+有4个零点，则40m -≤<答案：AB利用二项式定理可判断A 选项；利用正态密度曲线的对称性可判断B 选项；利用基本不等式可判断C 选项；数形结合可判断D 选项.解：对于A 选项，()522x x -的展开式通项为()()()5210155C 2C 2kk kkkk k T x x x --+=⋅⋅-=⋅-⋅，令107k -=，可得3k =，所以，展开式中含7x 的系数是()335C 280⋅-=-，A 对； 对于B 选项，由已知可得()()()5111P X P X P X ≥=->-=≤-， 由正态曲线的对称性可得5122μ-==，B 对； 对于C 选项，()()22222222a b a b ab a b +=++≤+=，当且仅当a b =时，等号成立，故22a b -≤+≤，C 错；对于D 选项，由()0f x =，可得24m x x -=-，作出直线y m =-与曲线24y x x =-的图象如下图所示：由图象可知，当04m <-<时，即当40m -<<时，直线y m =-与曲线24y x x =-有4个交点，此时函数()24f x x x m =-+有4个零点，D 错.故选：AB.10．已知方程22sin sin 21x y θθ-=，则（ ） A ．存在实数θ，该方程对应的图形是圆，且圆的面积为43π B ．存在实数θ，该方程对应的图形是平行于x 轴的两条直线C ．存在实数θ，该方程对应的图形是焦点在xD ．存在实数θ，该方程对应的图形是焦点在x答案：CD根据二元二次方程表示各种曲线时的结构特征，取值计算可得. 解：2222sin sin 21(2)sin 1cos x y x y θθθθ-=⇔-=当1cos 2θ=-，sin θ=22x y +=，故A 不正确；要使该方程表示平行于x 轴的两条直线，需满足sin 0,sin 20θθ=≠，显然无实数解，故B 不正确；当1cos ,sin 2θθ==221=，表示焦点在x，故C 正确；当3cos ,sin 4θθ=-=221=，表示焦点在x轴上的椭圆，且椭圆的离心率为D 正确. 故选：CD11．已知函数f (x )＝sin(|cos x |)＋cos(|sin x |)，则以下结论正确的是（ ） A ．f (x )的图象关于直线2x π=对称 B ．f (x )是最小正周期为2π的偶函数 C ．f (x )在区间(0,)2π上单调递减D ．方程1()2f x x =恰有三个不相等的实数根 答案：ACD根据对称性，周期性，复合函数单调性可判断选项ABC ，结合单调性和周期性对函数1()2g x x =和()f x 的图象交点情况讨论可判断D.解：()sin(cos())cos(sin())sin(sin )cos(cos )222f x x x x x πππ-=-+-=+， ()sin(cos())cos(sin())sin(sin )cos(cos )222f x x x x x πππ+=+++=+， ()()22f x f x ππ∴-=+，故A 正确； ()sin(cos())cos(sin())sin(cos )cos(sin )()f x x x x x f x πππ+=+++=+=，故B 不正确；当(0,)2x π∈时，cos t x =单调递减，sin ,(0,1)y t t =∈单调递增，所以，sin(cos )sin(cos )y x x ==单调递减，同理，cos(sin )cos(sin )y x x ==单调递减，故函数()f x 在区间(0,)2π上单调递减，所以C正确；易知()f x 为偶函数，综上可知：()f x 的周期为π，且在区间(0,)2π上单调递减，在区间(,)2ππ上单调递增，在区间3(,)2ππ上单调递减.令1()2g x x =，因为(0)sin11(0)0f g =+>=，()cos1cos ()24224f g ππππ=<=<=，故函数()f x 与()g x 的图象在区间(0,)2π内有且只有一个交点；又()sin11sin 1()42f g ππππ=+>+=>=，故函数()f x 与()g x 的图象在区间(,)2ππ内有且只有一个交点； 又333()cos1()224f g πππ=<=，故函数()f x 与()g x 的图象在区间3(,)2ππ内有且只有一个交点. 因为(2)sin11(2)f g πππ=+<=，由()f x 周期性和()g x 单调性可知，当2x π>或0x ≤时，两函数图象无交点.综上所述，方程1()2f x x =恰有三个不相等的实数根 故选：ACD12．已知三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱，且A 12,A AB ==D 是11B C 的中点，点P 是线段1A D 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．四面体11A BC B -外接球的表面积为20πB ．若直线PB 与底面ABC 所成角为θ，则sin θ的取值范围为12⎡⎢⎣⎦C ．若12A P =，则异面直线AP 与1BC 所成的角为4πD ．若过BC 且与AP 垂直的截面α与AP 交于点E ，则三棱锥P －BCE 答案：ABD可求得底面外接圆的半径2r =，再构造直角三角形求得外接球的半径R =A ；取BC 的中点F ，连接DF ，AF ，BD ，1A D ，由正三棱柱的性质可求得1sin [2θ∈，从而判断B ；将正三棱柱补成如图所示的直四棱柱，从而判断C ；由2123P ABC V -=⨯=P BCE -的体积最小，则三棱锥E ABC -的体积最大，从而判断D ．解：四面体11A BC B -外接球即为正三棱柱111ABC A B C -外接球， 因为ABC外接圆的半径2r ==，且12AA =，设正三棱柱111ABC A B C -外接球的半径为R ，设正三棱柱的高为h ＝12AA =，则由2222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得R =2420R ππ=，故A 正确；取BC 的中点F ，连接DF ，AF ，BD ，1A D ，由正三棱柱的性质可知平面1AA DF ⊥平面ABC ，所以当点P 与1A 重合时，θ最小为∠1BAA ，11121sin 42AA BAA A B ∠===， 当点P 与D 重合时，θ最大为DBF ∠，sinDF DBF DB∠===，所以1sin [2θ∈，故B 正确； 将正三棱柱补成如图所示的直四棱柱，则GAP ∠(或其补角)为异面直线AP 与1BC 所成的角，14AG BC ==，AP =，∵111160,30GAC C A D ∠=︒=︒∠，∴190GA D ∠=︒，∴GP ，所以cos GAP ∠，即4GAP π∠≠，故C 错；因2123P ABC V -==⨯=故要使三棱锥P BCE -的体积最小，则三棱锥E ABC -的体积最大，设BC 的中点为F ，作出截面如图所示，∵AP α⊥，∴AP ⊥EF ，∴点E 在以AF 为直径的圆上， ∴点E 到底面ABC距离的最大值为113222AF =⨯=⎝， ∴三棱锥PBCE -的体积的最小值为21332⨯，故D 正确； 故选：ABD ．【点睛】本题为立体几何的综合题，研究空间点、线、面的位置关系，需要良好的空间想象能力和作图能力.C 选项的关键在于把三棱柱补成四棱柱，从而构造出要求的异面直线夹角；D 选项的关键是把三棱锥P BCE -看成是三棱锥P ABC -的一部分，利用割补思想求解. 三、填空题13．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m ︒=.若24m n +=m n+=_________.答案：22利用同角的基本关系式，可得24cos 18n =︒，代入所求，结合辅助角公式，即可求解． 解：因为2sin18m =︒，24m n +=，所以222444sin 184cos 18n m =-=-︒=︒， 2sin182cos1822sin(1845)22sin 63m n +︒+︒︒+︒===︒22【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，辅助角公式，考查计算化简的能力，属基础题14．已知数列{}n a 的首项11021a =，其n 前项和n S 满足21n n S S n -=--，则2021a =______.答案：999-利用题干中的递推关系找出an 与n 的关系，进而计算出结果.解：由题知，21n n S S n -+=-，则()211n n S S n ++=-+.两式做差得()()221121n n a a n n n ++=-+--=--.整理得()()11n n a n a n +++=-+.所以{n a n + }是以111022a +=为首项，-1为公比的等比数列. ()202020212021102211022a +=⨯-=.故答案为999-【点睛】方法点睛：在处理数列的通项与前n 项和的相关问题时，一定要抓住题干中给出的递推关系，利用递推关系将抽象的数列问题转化为我们熟悉的等差数列、等比数列问题，从而运用我们所学的等差、等比数列的知识取解决问题.15．在ABC 中，6,63,12,AB AC BC ===动点P 自点C 出发沿CB 运动，到达点B 时停止，动点Q 自点B 出发沿BC 运动，到达点C 时停止，且动点Q 的速度是动点P 的3倍．若二者同时出发，且当其中一个点停止运动时．另一个点也停止运动，则该过程中AP AQ →→⋅的最大值是________________________． 答案：72先求出90,BAC ∠=︒且30,ACB ∠=︒建立平面直角坐标系xAy ，如图所示．设点[],633,0,2()P x x x -∈，求出2512752AP AQ x →→⎛⎫⋅=--+ ⎪⎝⎭，即得解.解：因为2226,63,12,AB AC BC AB AC BC ===+=， 所以90,BAC ∠=︒且30,ACB ∠=︒ 建立平面直角坐标系xAy ，如图所示．设点[],633,0,2()P x x x ∈，则2,6CP x BQ x ==， 从而可得3(6)3,3Q x x -，所以2563336331275()2()AP AQ x x x x x →→⎛⎫⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭．因为2512752y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭在[]0,2上单调递增，所以当2x =时，AP AQ →→⋅取得最大值，且最大值为72． 故答案为：7216．对任意的1(,)x m∈-+∞，不等式21mx n e x m +-≥恒成立，则n m 的最小值为______.答案：22e -根据不等式恒成立，构造2()(0)mx n f x e x m +=-≠，有2()21mx n f x me +'=-，利用二阶导数研究()'f x 单调性，再讨论0m <、0m >时()f x 的单调性，进而确定()f x 在1(,)x m∈-+∞上的最小值及对应m 、n 的关系式，将n m 与所得关系式转化为直线与曲线相切的问题，求nm的最小值即可. 解：令2()(0)mx n f x e x m +=-≠，则2()21mx n f x me +'=-，即22()40mx n f x m e +''=>， ∴()'f x 单调递增，∴当0m <时，()0f x '<，即()f x 在1(,)x m∈-+∞上递减，而当x →+∞时，()f x →-∞，故不满足1()f x m≥； 当0m >时，若()0f x '=得212mx nem +=，即ln(2)2n m x m+=-， ∴ln(2)2n m x m +<-时，()0f x '<，即()f x 递减；当ln(2)2n m x m+>-时，()0f x '>，即()f x 递增；若令n k m =，即n m k=， 则：①当1ln(2)2n m m m+->-，即ln(2)2n m +>，2min 111()()n f x f e m m m -=-=+>恒成立；∴22ne m ->情况下n m 最小，即直线n m k =与曲线2()2n e g n -=相切，而2()2n e g n -'=-，∴01()g n k '=时，0022022n n n e e ---=，有01n =-，302e m =，则0302n m e =-； 当1ln(2)2n m m m+-≤-，即ln(2)2n m +≤，min ln(2)1ln(2)1()()22n m n m f x f m m m +++=-=≥，得ln(2)1n m +≥，∴1222n n e e m --≤≤情况下n m 最小，即直线n m k =与曲线1()2ne g n -=相切，而1()2n e g n -'=-，∴01()g n k '=时，0011022n n n e e ---=，有01n =-，202e m =，则0202n m e =-； ∴综上：2322e e-<-，即n m 的最小值为22e -. 故答案为：22e -. 【点睛】关键点点睛：根据不等式恒成立，利用导数、分类讨论的方法判断()f x 单调性，并构造函数结合导数确定目标代数式中参数的关系，由所得条件中代数式的几何含义求最小值 四、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b c =∠B ＝45°． (1)求边BC 的长以及三角形ABC 的面积； (2)在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADB ，求tan ∠DAC 的值． 答案：(1)3BC =；32ABCS =； (2)211（1）在ABC 中，利用余弦定理即可求解3BC =，结合面积公式求得面积；（2）在ABC 中，由正弦定理可以求出sin C =，再利用ADC ∠与ADB ∠互补可以求出4cos 5ADC ∠=-，得出ADC ∠是钝角，从而可得C ∠为锐角，即可求出cos C 和sin ADC ∠的值，利用sin sin()DAC ADC C ∠=∠+∠展开代入数值即可求解，从而求解tan ∠DAC 的值． (1)在ABC 中，因为b =c =45B ∠=， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2522a a =+-所以2230a a --=解得：3a =或1a =-（舍） 所以3BC =，113sin 3222ABC S ac B ==⨯=△ (2)在ABC 中，由正弦定理sin sin b cB C=，245sin =所以sin C =在ADC 中，因为()4cos 180cos cos 5ADB ADB ADC -∠=-∠∠=-=，所以ADC ∠为钝角.而180ADC C CAD ∠+∠+∠=， 所以C ∠为锐角故cos C =因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin5ADC∠==，()sin sin180sin()DAC ADC C ADC C∠=-∠-∠=∠+∠，sin cos cos sinADC C ADC C=∠∠+∠∠3455=-=由题可知∠DAC为锐角，cos DAC∠==所以sin2tancos11DACDACDAC∠∠==∠．18．已知数列{}n a的前n项和为n S，满足：11a=，11n n nS S a+-=+，数列{}n b为等比数列，满足134b b=，2114b b=<，*n N∈.（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）若数列11n na a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为n W，数列{}n b的前n项和为n T，试比较n W与n T的大小.答案：（1）n a n=，12nnb⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）当1n=时，n nW T=.当2n≥时，12nn+<，即有n nW T<. （1）由11a=,11n n nS S a+-=+可证数列{}n a为等差数列，然后求出其通项公式，设{}n b的公比为q，然后根据134b b=，2114b b=<，列出关于1b和q的方程组求解；（2）由()1111111n na a n n n n-==-++，用裂项相消法求数列{}na的前n项和nW，再利用等比数列的前n项和公式求解nT，然后比较nW与nT的大小.解：（1）由1S1Sn n na+-=+，得11n n nS S a+-=+，即11n na a+-=，又11a=，所以数列{}n a是首项和公差均为1的等差数列，可得n a n=.因为数列{}n b为等比数列，满足134b b=，2114b<b=，*n N∈，所以设公比为q，可得2114b b q=，所以12q=±，当12q=时，11124b=，可得11124b=>.当12q =-时，11124b -=，得112b =-，不满足21b b <，舍去，所以12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）()1111111n n a a n n n n -==-++， 11111111223111n n W n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++，112n n T =-，此时1111(1)21112212(1)n n n n n n n w T n n n +-⎛⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 易知：当1n =时，n n w T =. 当2n ≥时，12n n +<，即有n n w T <.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．19．新疆棉以绒长､品质好､产量高著称于世.现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A 类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.B 类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完. (1)通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价-成本）；(2)某服装专卖店店庆当天，全场A ，B 两类服装均以会员价销售.假设每位来店购买A ，B 两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A 类服装的概率为13.已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X 为该店当天所售服装中B 类服装的件数，Y 为当天销售这两类服装带来的总收益.求当()0.5()P X n n <∈N 时，n 可取的最大值及Y 的期望E （Y ）. 答案：(1)B 类服装单件收益的期望更高 (2)n 可取的最大值为3，()400E Y =（元）（1）结合期望公式由单件总盈利减去成本即可计算；（2）由题知B 类服装的销售件数符合二项分布，求出对应(0)P X =，(1)P X =，……，(4)P X =的值，可确定n 的最大值；先列出这5件衣服总收益关于X 的关系式，得25045Y X =+，结合()(25045)E Y E X =+化简即可求解.(1)设A 类服装､B 类服装的单件收益分别为X 1元，X 2元，则1()0.32000.52000.850.22000.612049E X =⨯+⨯⨯+⨯⨯-=，20.23000.43000.850.4300(0.616074)E X =⨯+⨯⨯+⨯⨯-=， 12()()E X E X <，故B 类服装单件收益的期望更高；(2)由题意可知，2~(5,)3X B ，511(0)()3243P X ===，11452110(1)C ()()33243P X ===，22352140(2)C ()()33243P X ===，33252180(3)C ()()33243P X ===，44252180(4)C ()()33243P X ===.因为1104017(3)0.524381P X ++<==<，1104080131(4)0.5243243P X +++<==>， 所以当()0.5()P X n n <∈N 时，n 可取的最大值为3.(2000.85120)(5)(3000.85160)25045Y X X X =⨯--+⨯-=+（元）， 因为210()533E X =⨯=， 所以()(25045)25045()400E Y E X E X =+=+=（元）.20．某商品的包装纸如图1，其中菱形ABCD 的边长为3，且60ABC ∠=，3AE AF ==，23BE DF ==，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E 、F 、M 、N 汇聚为一点P ，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．(1)证明PA ⊥底面ABCD ；(2)设点T 为BC 上的点，且二面角B PA T --3试求PC 与平面PAT 所成角的正弦值．答案：(1)证明见解析； 37. （1）证明出PA AB ⊥，PA AD ⊥，利用线面垂直的判定可证得结论；（2）连接AC ，取BC 的中点E ，连接AE ，证明出AD AE ⊥，以点A 为坐标原点，AE 、AD 、AP所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点33,,02T t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，其中3322t -≤≤，利用已知条件求出t ，然后利用空间向量法可求得PC 与平面PAT 所成角的正弦值. (1)证明：由菱形ABCD 的边长为3，3AE AF ==，23BE DF ==， 所以，222BE AB AE =+，即有AB AE ⊥，同理可得AD AF ⊥， 在翻折的过程中，垂直关系保持不变可得PA AB ⊥，PA AD ⊥，AB AD A =，PA ∴⊥底面ABCD .(2)解：连接AC ，取BC 的中点E ，连接AE ，由已知AB BC =，60ABC ∠=，故ABC 为等边三角形， 因为E 为BC 的中点，则AE BC ⊥，因为//AD BC ，则AD AE ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，以点A 为坐标原点，AE 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，PA ⊥平面ABCD ，AB 、AT ⊂平面ABCD ，则PA AB ⊥，PA AT ⊥，故二面角B PA T --的平面角为BAT ∠，由题意可得22sin 3tan cos sin cos 1sin 0BAT BAT BAT BAT BAT BAT ⎧∠∠==⎪∠⎪⎪∠+∠=⎨⎪∠>⎪⎪⎩，可得21sin 27cos BAT BAT ⎧∠=⎪⎪⎨⎪∠=⎪⎩， 易知点()0,0,0A 、333,02B ⎫-⎪⎪⎝⎭、333,02C ⎫⎪⎪⎝⎭、()0,3,0D 、(3P ，设点,0T t ⎫⎪⎪⎝⎭，其中3322t -≤≤，33,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3,02AT t ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以，2734cos ,3tAB AT AB AT AB AT-⋅<>===⋅，整理可得2428150t t +-=，解得12t =或152-（舍），故点1,02T⎫⎪⎪⎝⎭， 设平面PAT 的法向量为(),,n x y z =，(AP =，31,022AT ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，由30331022n AP z n AT y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，可得()1,33,0n =-， 33,22PC ⎛=⎝，cos ,23PC n PC n PC n ⋅-<>===⋅因此，PC 与平面PAT 21．在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，P 是直线x ＝－4上的动点，过P 作两条相异直线1l 和2l ，其中1l 与抛物线C ：28y x =交于A 、B 两点，2l 与C 交于M 、N 点，记1l 、2l 和直线OP 的斜率分别为1k 、2k 和3k ．(1)当P 在x 轴上，且A 为PB 中点时，求|k 1|；(2)当AM 为△PBN 的中位线时，请问是否存在常数μ，使得31211k k k μ+=若存在，求出μ的值；若不存在，请说明理由． 答案：(1)23(2)存在；2μ=-(1)设出直线1l 方程，联立抛物线方程消去x 得到关于y 的一元二次方程，根据韦达定理和中点坐标公式列出方程，解方程即可；(2)设点A 、B 、M 、N 、P 的坐标，利用两点坐标求斜率公式和中点坐标公式、韦达定理列出方程，解方程即可. (1)由条件知P （-4，0）且10k ≠，设()114l y k x =+：，所以()1248y k x y x ⎧=+⎨=⎩消去x 可得218320y y k -+=，所以1832A B A B y y y y k +==，． 又因为A 为PB 中点，所以2P B A y y y +=．所以2B A y y = 所以2183232A A y y k ==，，所以218163k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以123k =； (2)设2222(,)(,)(,)(,)(4,)8888N A B MA B M N y y y y A y B y M y N y P a -，，，，，所以21288A B A B B A B A A By y y y k x x y y y y --==-=-+，222888M N M N N M M N M N y y y y k y y x x y y --===-+- 所以121188M N A B y y y y k k +++=+．． 因为AM 为△PBN 的中位线，所以A 为PB 的中点，M 是PN 的中点，所以422P B B A x x x x +-+==，即22141882BA y y -+=，即2211448AB y y =-+ 又22p BBA y y a y y ++==，所以2B A y y a =- 所以22114(2)48A A y y a =-+-，所以2224320A A y ay a -+-=①．．．同理，222,24320N M M M y y a y ay a =--+-=②由①②可知：,A M y y 是满足方程2224320y ay a -+-=的两个根． 所以2,A M y y a +=． 所以12(2)(2)11,8888M N A B A A M M y y y y y y a y y a k k +++-+-+=+=+ 所以123()21162882A M y y a a a a k k +--+===．．．．． 3144p py a k a x ===--，所以12112k k k +=-，所以2μ=-所以存在常数2μ=-使得31211k k k μ+=成立． 22．已知函数2()ln f x x x ax =-+． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的极值；(2)设函数f (x )的极值点为0x ，当a 变化时，点00(,()x f x )构成曲线M ．证明：任意过原点的直线y ＝kx ，与曲线M 均仅有一个公共点． 答案：(1)极大值为()10f =，无极小值 (2)证明见解析（1）求导，根据函数单调性求解极值；（2）先通过求导求出函数的极值表达式，再将任意过原点的直线y ＝kx ，与曲线M 均仅有一个公共点的问题转化为函数只有一个零点的问题，最后利用导数来研究零点个数即可证明. (1)当1a =时，()2ln f x x x x =-+则()()()211121x x f x x x x+-+=-='+． 当1x >时，()0f x '<，f (x )单调递减， 当01x <<时．()0f x '>，f (x )单调递增， 所以当1x =时，f (x )的极大值为()10f =，无极小值； (2)()21212x ax f x x a x x-++'=-+=令2210x ax -++=，得280a ∆=+>，且由韦达定理得方程必一正根一负根，所以存在()00,x ∞∈+，使得()00f x '=，即200210x ax -++=且当()00,x x ∈时，()00f x '>，当()0x x ∈+∞，时()00f x '<， 所以f (x )在（00x ，）上单调递增，在（0x ，+∞）上单调递减， ∴f (x )的极大值为22000000()ln ln 1f x x x ax x x =-+=+-则曲线M 的方程为2ln 1y x x =+-，故只要证明对任意k ∈R ，方程2ln 1x x kx +-=均只有唯一解即可． 设2()ln 1h x x x kx =+--，则()21212x kx h x x k x x-+'=+-=①当0k ≤时，()0h x '>恒成立，所以h (x )在（0，+∞）上单调递增．∵(1)0h k =-≥，()2()1(1)10k k k k kh e k e ke e k e =+--=---≤所以存在x '满足21k e x '≤≤时，使得()0h x '=又因为h (x )单调递增，所以x x '=为唯一解；②当0k >且280k ∆=-≤，即0k <≤()0h x '≥恒成立，所以成h (x ）在(0,)+∞上单调递增，∵363323(1)0,()31()0h k h e e ke e k e =-<=+--=+> 存在3(1,)x e '∈使得()0h x '=又∵h (x )单调递增，所以x x '=为唯一解；③当k >时，()0f x =有两解12x x ，，且120x x >，不妨设120x x <<因为1212x x ⋅=，所以12x x <<，列表如下：由表可知．当1x x =时．h (x )的极大值为()21121ln 1h x x x kx =+--． ∵211210x kx -+=，所以()2111ln 20h x x x =--<∴()2222222221()()0(11,)0.k k k k k h x h x h k e k e ke e ke <<=+--=+>--∴存在22(,)k x x e '∈，使得()0h x '=又因为h (x )单调递增，所以x x '=为唯一解， 综上，原命题得证.【点睛】关键点点睛：将图像有一个公共点的问题转化为函数的零点问题来解决；另外，对于对于方程的根无法解出的情况，可以设出方程的根，利用根产生的等式进行计算.。
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2022－2023学年秋学期高三年级期初调研考试
数学学科试卷
出题人： 审题人：
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U ＝{－3，－2，－1，1，2，3}，集合A ＝{－1，1}，B ＝{1，2，3}，则(C U A )∩B ＝( )
A ．{1}
B ．{1，2}
C ．{2，3}
D ．{1，2，3} 2．已知复数z ＝i
1＋i
(其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( )
A ．－12＋12i
B ．－12－12i
C ．12＋12i
D ．12－12i
3．已知向量→a ，→
b 满足|→
a |＝2，|→
b |＝1，→
a ⊥→
b ，若(→
a ＋→
b )⊥(→
a －λ→
b )，则实数λ的值为( )
A ．2
B ．2 3
C ．4
D ．92
4．《算数书》是已知最早的中国数学著作，于上世纪八十年代出土，大约比现有传本的《九章算术》还要早近二百年．《算数书》内容丰富，有学者称之为“中国数学史上的重大发现”．在《算数书》成书的时代，人们对圆周率的认识不多，用于计算的近似数与真实值相比误差较大．如书中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．此术相当于给出了圆锥的体积V 的计算公式为1
36L 2h ，其中L 和h 分别为圆锥的底面周
长和高，这说明，该书的作者是将圆周率近似地取为( )
A ．3.00
B ．3.14
C ．3.16
D ．3.20 5．(x ＋1)5(2
x
＋1)的展开式中，一次项的系数与常数项之和为( )
A ．33
B ．34
C ．35
D ．36 6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π
2)的部分图象如图
所示，则f (π)的值为( )
A ．
32 B ．22
C ．12
D ．－32
7．若a ＝sin1＋tan1，b ＝2，c ＝ln4＋1
2
，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．c ＜b ＜a
B ．c ＜a ＜b
C ．a ＜b ＜c
D ．b ＜c ＜a 8．某旅游景区有如图所示A 至H 共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为( )
A ．288
B ．336
C ．576
D ．1680 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知α，β是两个不重合的平面，m ，n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是( )
A ．若m ⊥n ， m ⊥α，n ∥β，则α⊥β
B ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n
C ．若α∥β，m α，则m ∥β
D ．若m ∥n ，α∥β，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等 10．在△ABC 中，已知tan C
2
＝sin(A ＋B )，则以下四个结论正确的是( )
A ．cos A cos
B 最大值1
2 B ．sin A ＋sin B 最小值1
C ．tan A ＋tan B 的取值范围是[2，＋∞)
D ．sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C 为定值
11．在数列{a n }中，对于任意的n ∈N *都有a n ＞0，且a n ＋12－a n ＋1＝a n ，则下列结论正确的是
A ．对于任意的n ≥2，都有a n ＞1
B ．对于任意的a 1＞0，数列{a n }不可能为常数列
C ．若0＜a 1＜2，则数列{a n }为递增数列
D ．若a 1＞2，则当n ≥2时，2＜a n ＜a 1 12．已知0＜x ＜y ＜π，e y sin x ＝e x sin y ，则( )
A ．sin x ＜sin y
B ．cos x ＞－cos y
C ． sin x ＞cos y
D ．cos x ＞sin y 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，那么当a ＝时，满足条件“b ＝2，A ＝30°”的△ABC 有两个．(仅写出一个a 的具体数值即可)
14．老师要从6篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某位同学只能背出其中的4篇，则该同学能，及格的概率是．
15．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边
形ABCD 的面积为．
16．已知f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (0)＝1，对任意的x 总有2f ′(x )－f (x )＞2，则不等式f (x )＋2≥3的解集为．
四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos B (3a －b sin C )＝b sin B cos C ． (1)求B ；
(2)若c ＝2a ，△ABC 的面积为233
，求△ABC 的周长．
18．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，S 4＝26．正项等比数列{b n }中，b 1＝2，b 2＋b 3＝12．
(1)求{a n }与{b n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n ．
19．某学校对男女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男女生人数均为10n (n ∈N *)，统计得到以下2×2列联表，经过计算可得K 2≈4.040．
(1)完成表格求出n 值，并判断有多大的把握认为该校学生对长跑的喜欢情况与性别有关； (2)①为弄清学生不喜欢长跑的原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢长跑的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名女生”的概率； ②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对长跑喜欢的人数为X ，求X 的数学期望． 附表：
附：K 2＝
n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
．
20．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝t ，M 是线段EF 的中点．
(1)求证：AM ∥平面BDE ：
(2)若线段AC 上总存在一点P ，使得PF ⊥BE ，求t 的最大值．
21．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2，上顶点为H ，O 为坐标原点，∠OHF 2
＝30°，(1，3
2)在椭圆E 上．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设经过点F 2且斜率不为0的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，点P (－2，0)，Q (2，0)．若M ，N 分别为直线AP ，BQ 与y 轴的交点，记△MPQ ，△NPQ 的面积分别S △MPQ ，S △NPQ ，求S △MPQ S △NPQ
的值． 22．已知函数f (x )＝ax e x 和g (x )＝ln x
ax 有相同的最大值．
(1)求a ；
(2)证明：存在直线y ＝b ，其与两条曲线y ＝f (x )和y ＝g (x )共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列．。