高等数学课程学习指导(部分)
高等数学说课稿(左林)
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3.1 课程实施
教学模式 班级授课
教学方法 讲授法 启发式教学法 讲练结合法 小组讨论法 案例教学法
教学手段 黑板+粉笔+教具 多媒体 网络
三、教学手段与方法
3.2 教学模式的设计与创新
问题提出 数学史介绍 概念介绍
Байду номын сангаас
“必需、够用”为原则 “应用能力”培养为中心
例题讲解
归纳总结
课堂练习
及较强的自主学习能
力，逐步培养学生的 创新能力。
需的数学知识。
三位一体
相互支撑
一、课程介绍
1.4.1 学情分析
学生在入学前已学习掌握了初等数学的知识与方法，由于学 生生源的多元性，学生存在着水平参差不齐、基础和能力差异 性明显等特点，根据计算机专业的人才培养目标，其开设的部 分后续专业课程将用到高等数学的知识与方法。 由于学时的限制，高等数学教学坚持“以应用为导向，以能 力为目标，理论知识以必需、够用为度”的定位原则，将数学 建模与数学实验的思想与方法融入高等数学课程中，加强专业 针对性教学，培养学生将实际问题转化为数学问题及运用所学 知识与方法分析与解决实际问题的能力。
三、教学手段与方法
教学模式的设计与创新
（1）问题提出 心理学表明：思维从疑问开始。问题的提出使学生的 思维得以启动，在讲授新知识之前，教师首先提出问题，具 有新鲜感和诱惑力问题能极大引起学生的兴趣。 （2）数学历史介绍 向学生介绍数学史，使学生了解古今中外科学家对某 些数学问题的看法，对调动学生的学习积极性有很大的帮助。 同时，通过对科学家不畏艰难勇于探索事迹的介绍，也是对 学生不怕困难刻苦学习精神的教育。
理论够用 服务专业
高等数学学习方法技巧总结
高等数学学习方法技巧总结高等数学学习方法技巧总结复习高等数学的四点窍门第一，要理解概念数学中有很多概念。
概念反映的是事物的本质，弄清楚了它是如何定义的、有什么性质，才能真正地理解一个概念。
所有的问题都在理解的根底上才能做好。
第二，要掌握定理定理是一个正确的命题，分为条件和结论两部分。
对于定理除了要掌握它的条件和结论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。
第三，在弄懂例题的根底上作适量的习题要特别提醒学习者的是，课本上的例题都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理，要注意不同例题的特点和解法在理解例题的根底上作适量的习题。
作题时要擅长总结——不仅总结方法，也要总结错误。
这样，作完之后才会有所收获，才能举一反三。
第四，理清脉络高等数学中包括微积分和立体解析几何，级数和常微分方程。
其中尤以微积分的内容最为系统且在其他课程中有广泛的应用。
微积分的理论，是由牛顿和莱布尼茨完成的。
(当然在他们之前就已有微积分的应用，但不够系统)数学备考一定要有一个复习时间表，也就是要有一个周密可行的方案。
按照方案，循序渐进，切忌搞突击，临时抱佛脚。
其实数学是根底性学科，解题才能的进步，是一个长期积累的过程，因此复习时间就应适当提早，循序渐进。
大致在三、四月分开始着手进展复习，假设数学根底差可以将复习的时间适当提早。
复习一定要有一个可行的方案，通过方案保证复习的进度和效果。
一般可以将复习分成四个阶段，每个阶段的起止时间和所要完成的任务考生应给予明确规定，以保证方案的可行性。
第一个阶段是按照考试大纲划分复习范围，在熟悉大纲的根底上对考试必备的根底知识进展系统的复习，理解考研数学的根本内容、重点、难点和特点。
这个时间段一般划定为六月前。
第二个阶段是在第一阶段的根底上，做一定数量的题，重点解决解题思路的问题。
一般从七月到十月。
这个阶段要注意归纳总结，即拿到题后要知道从什么角度，可以分几步去求解，每道题并不要求都要写出完好步骤，只要思路有了，运算过程会做了，可以视情况而灵敏掌握，这样省出时间来看更多的题。
高等数学V课程教学大纲-医学院药学专业
《高等数学Ⅴ》课程教学大纲(Advanced Mathematics Ⅴ)一、课程基本信息课程编号：17082008课程类别：学科基础课适用专业：医科类药学专业学分：4学分总学时：64学时其中理论学时:64学时, 实验学时:0学时先修课程：无后续课程：无课程简介：本课程系统介绍一元函数的极限、连续、导数、微分及其应用、不定积分、定积分及其应用。
部分专业可根据专业需要，对教学内容作适当调节（课时相应作结构性调整）。
主要教学方法与手段：以讲授为主，辅之以多媒体教学、习题课和课外辅导，注重理论联系实际。
选用教材：蒋国强蔡蕃.高等数学（第4版）[M].北京：机械工业出版社，2010；必读书目：无选读书目：[1] 刘金林主编.高等数学（经济管理类）[M].北京：机械工业出版社，2013；[2] 同济大学数学教研室主编.《高等数学》（第六版），[M].北京：高等教育出版社，2007；[3] 同济大学数学教研室主编.《高等数学》（本科少课时类型）（第三版）[M].北京：高等教育出版社；[4][美] Morris Kline著.古今数学思想（英文版，1-2）[M].上海：上海科技出版社；二、课程总目标本课程是高等学校本科医科类药学专业必修的重要基础课。
通过本课程的学习，使学生对高等数学的基本概念、基本理论、基本方法有比较基本的认识，构建必要的知识基础。
适当了解相关的古今中外的数学发展史。
逐步培养学生抽象概括问题的能力、一定的辩证思维能力和逻辑推理能力、比较熟练的运算能力和自学能力，提高学生在数学方面的素质和修养，培养学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，学会运用本课程提供的数学思想、数学方法解决简单的应用问题，激发学生的探索与创新意识，为学习其它基础课程和专业课程打下基础。
三、课程教学内容与教学要求1、教学内容与学时分配课程总学时：64学时，其中讲授学时：64 学时；实验(上机)学时：0学时2本课程是高等学校的一门必修的重要基础课。
高等数学(一)1课程教学大纲
第一章矢量与坐标
【目的要求】能正确理解矢量的概念，并且能灵活运用这些概念解决一些具体问题；掌握矢量的线性关系及矢量的分解；熟练掌握矢量各种运算的定义、性质、法则以及矢量的各种位置关系及其对应的代数表示式，在此基础上能进行正确的证明、计算；能正确理解矢量的坐标与点的坐标的内在联系和区别，掌握矢量运算的坐标表示及其各种位置关系的坐标表示，并且能熟练地进行运算和论证。
三、泰勒公式
四、函数单调性的判别法
五、函数的极值及其求法
六、函数的最大值和最小值
七、函数的凹凸性与拐点
八、函数图形的描绘
九、曲率
●实践教学内容与安排（4学时）
一、第一章习题
二、描绘函数图形
【作业与思考】第一章部分习题
思考：函数一阶导、二阶导数与函数极值点和拐点有哪些联系？
第六章定积分
【目的要求】掌握积分概念，性质，换元积分法和分部积分法、有理函数、三角函数有理式、简单无理式的积分方法。
【作业与思考】第三章部分习题
思考：微分与积分的联系。
学时分配表
课程内容
学时
理论
第一章中值定理与导数应用
16
第二章不定积分
10
第三章定积分
10
实践
一各章节习题
19
二描绘函数图形
2
三讨论：定积分与不定积分换元法的区别
1
考核
1．第一、二章内容
2
合计
60
教学策略与方法建议：以讲授法为主，辅以练习法、谈话法、讨论法、引导发现法。教学策略上宜以问题的呈现引发学生思考，帮助学生建立数学模型，找出解决问题的一般方法，从而建立概念，掌握有关数学思想方法，巩固定理和法则。
【重点与难点】重点是求导公式及法则。难点是导数与微分概念。
高等数学(同济大学版)课程讲解1.9-1.10连续函数的性质
课时授课计划课次序号：07 一、课题：§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性§1.10 闭区间上连续函数的性质二、课型：新授课三、目的要求：1.了解连续函数的和、差、积、商的连续性；2.了解反函数和复合函数的连续性；3.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质．四、教学重点：利用复合函数及初等函数的连续性求函数极限，利用零点定理证明方程解的存在性.教学难点：闭区间上连续函数的性质.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–9 3（4），4（3）（4），5；习题1–9 1八、授课记录：九、授课效果分析：复习1.连续的定义：00lim ()()x x f x f x →=,三个条件缺一不可；2.间断点的分类：第一类(可去型、跳跃型)，第二类（无穷型、振荡型）. 下面介绍连续函数的运算法则和闭区间上连续函数的几个性质．第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的四则运算由连续函数的定义及极限的运算法则和性质，立即可得到连续函数的下列运算法则． 定理1 若函数f （x ），g （x ）均在点x 0处连续，则()()()()()()f x f xg x f x g x g x ±⋅、、 （g （x 0）≠0），均在点x 0处连续．如多项式函数0()nk n k k P x a x ==∑在（-∞，+∞）内连续，正切函数sin tan cos xx x=在其定义区间内连续．二、反函数的连续性定理2 若函数()y f x =在区间x I 内单调增加（减少）且连续，则其反函数1()x f y -=在相应区间{(),}y x I y y f x x I ==∈内单调增加（减少）且连续．从几何上看，该定理是显然的，因为函数()y f x =与其反函数1()x f y -=）在xoy 坐标面上为同一条曲线．如sin y x =在[,]22ππ-上单调增加且连续，其反函数arcsin x y =在[1,1]-单调增加且连续．三、复合函数的连续性由连续函数的定义及复合函数的极限定理可以得到下面有关复合函数的连续性定理． 定理3 设函数[()]y f x ϕ=是由函数(),()y f u u x ϕ==复合而成的复合函数，0()f g U x D ⊆．如果()u x ϕ=在点0x 连续，又()y f u =在相应点00()u x ϕ=处连续，则[()]y f x ϕ=在点0x 处连续．推论 若在某极限过程有lim ()x ϕ=A ，且y =f （u ）在u =A 处连续， 则lim [()]f x ϕ=f （A ）， 即 lim [()][lim ()]f x f x ϕϕ= 例1 求1limsin(1)xx x→∞+．解 11lim sin(1)sin lim(1)sin e xx x x xx →∞→∞⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭．例2 试证0ln(1)lim1x x x→+=．证 因为ln y u =(u ＞0)连续, 故100ln(1)lim lim ln(1)x x x x x x →→+=+100ln(1)lim ln lim(1)ln e =1x x x x x x →→⎡⎤+==+=⎢⎥⎣⎦． 由定理3及其推论,我们可以讨论幂指函数[]()()g x f x 的极限问题． 幂指函数的定义域要求()0f x >．当(),()f x g x 均为连续函数,且()0f x >时, []()()g x f x 也是连续函数．在求[]()lim ()g x x x f x →时,有以下几种结果:(1) 如果0lim ()x x f x →=A ＞0, 0lim ()x x g x →=B ,则[]()lim ()g x x x f x →=A B ．(2) 如果0lim ()x x f x →=1, 0lim ()x x g x →=∞,则[]()lim ()g x x x f x →=[]0lim ()1()ex x f x g x →-.(3) 如果0lim ()x x f x →=A ≠1(A ＞0), 0lim ()x x g x →=±∞,则[]()lim ()g x x x f x →可根据具体情况直接求得．例如，0lim ()x x f x →=A ＞1，0lim ()x x g x →=+∞，则[]()lim ()g x x x f x →=+∞． 又如,0lim ()x x f x →=A (0＜A ＜1), 0lim ()x x g x →=+∞,则[]()lim ()g x x x f x →=0．上面结果仅对x →x 0时写出,实际上这些结果对x →∞等极限过程仍然成立．例3 求10sin 2lim xx x x +→⎛⎫ ⎪⎝⎭．解 因为100sin 2lim 2,lim(1)1xx x x x x +→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, 所以 110sin 2lim 22xx x x +→⎛⎫== ⎪⎝⎭．例4求21lim21xxxx→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭．解 由于11lim212x x x →∞+=+，2lim x x →∞=+∞，因此 21lim 021x x x x →+∞+⎛⎫= ⎪+⎝⎭． 例5 求1lim 1xx x x →∞-⎛⎫⎪+⎝⎭． 解 由于1lim 11x x x →∞-=+，lim x x →∞=∞，则12lim 1lim 2111lim e e e 1x x xx x x x x x x x →∞→∞-⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭+→∞-⎛⎫=== ⎪+⎝⎭． 例5也可按下列方法求解：12111e lim lim e 1e 11xx x x x x x x x --→∞→∞⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 四、初等函数的连续性我们遇到的函数大部分为初等函数，它们是由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算而成的．由函数极限的讨论以及函数的连续性的定义可知：基本初等函数在其定义域内是连续的．由连续函数的定义及运算法则，我们可得出：初等函数在其定义区间内是连续的．由上可知，对初等函数在其定义区间内的点求极限时，只需求相应函数值即可．例6 求21ln(43)lim arctan x x x x→+-．解 初等函数2ln(43)()arctan x x f x x+-=在x =1的某邻域内有定义，所以21ln(43)1ln(43)4lim arctan arctan1x x x x →+-+-==π． 例7 求22041lim 235x x x x →--+．解 220414011lim 23520305x x x x →-⨯-==--+⨯-⨯+5． 第十节 闭区间上连续函数的性质在闭区间上连续的函数有一些重要性质．它们可作为分析和论证某些问题时的理论根据．这些性质的几何意义十分明显，我们均不给予证明．一、最值定理1.最值的定义定义1 设函数()y f x =在区间I 上有定义，如果存在点x 0∈I ，使x I ∀∈，有0()()f x f x ≥（或0()()f x f x ≤），则称0()f x 为函数()y f x =在区间I 上的最大（小）值，记为0()max ()x If x f x ∈=（或0()min ()x If x f x ∈=）． 2. 最值定理一般说来，在一个区间上连续的函数，在该区间上不一定存在最大值或最小值． 但是如果函数在一个闭区间上连续，那么它必定在该闭区间上取得最大值和最小值．定理1 若函数()y f x =∈C ［a ，b ］，则它一定在闭区间［a ，b ］上取得最大值和最小值．设f (x )∈C ［a ,b ］，(1) f (x )为［a ,b ］上的单调函数由图1-40可看出，此时函数f (x )恰好在区间［a ,b ］的端点a 和b 取得最大值和最小值：图1-40y =f (x )↑,x ∈［a ,b ］，则[],max x a b ∈f (x )=f (b ), [],min x a b ∈f (x )=f (a )；y =f (x )↓,x ∈［a ,b ］，则[],max x a b ∈f (x )=f (a ), [],min x a b ∈f (x )=f (b )．(2) f (x )为［a ,b ］上的一般连续函数在这种情形下，总可以将［a ,b ］分成有限个小区间，使函数f (x )在每个小区间上保持单调增加或单调减少．于是，这有限个小区间的端点处的函数值中的最大者和最小者即分别为函数f (x )在［a ,b ］上的最大值和最小值，如图1-41所示．最大值为f (b )，而最小值为f (a 4)．图1-413. 有界性定理定理1表明：若()y f x =在闭区间［a ，b ］上连续，则存在x 1，x 2∈［a ，b ］，使得 12[,][,]()min (),()min ()x a b x a b f x f x f x f x ∈∈==．于是，对任意x ∈［a ，b ］，有f （x 2）≤ f （x ）≤ f （x 1），若取M =max{12(),()f x f x }，则有()f x ≤M ，从而有下述结论．定理2 若函数()y f x =∈C ［a ，b ］，则f （x ）在［a ，b ］上有界．二、介值定理1. 零点定理（根的存在定理）图1-42定理3 若函数()y f x =∈C （［a ，b ］），且f （a ）·f （b ）＜0，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0f ξ=．零点定理的几何意义十分明显：若函数()y f x =在闭区间［a ，b ］上连续，且f （a ）与 f （b ）异号，则函数()y f x =对应的曲线至少穿过x 轴一次（见图1-42）．例1 证明方程x 5-3x =1在x =1与x =2之间至少有一根．证 令f (x )=x 5-3x -1，[]1,2x ∈，则f (x )∈C （［1,2］），且f (1)=-3,f (2)=25,故由零点定理，至少存在一点x 0∈(１,２)，使得f (x 0)=0，即方程x 5-3x =1在x =1与x =2之间至少有一根．例2 证明方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个不超过a +b 的正根．证 设f (x )=x -a sin x -b ,[]0,x a b ∈+ ,则f (x )∈C （［0,a +b ］），而f (0)=0-a sin 0-b =-b ＜0,f (a +b )=a +b -a sin (a +b )-b ＝a ［1-sin (a +b )］≥0．1) 如果f (a +b )=0,则x 0=a +b 就是原方程的根．2) 如果f (a +b )＞０，则由零点定理，至少存在一点0x '∈(0,a +b ),使得f (0x ')=0． 综上所述，方程x =a sin x +b 在（０，a +b ］上至少有一根，即至少有一个不超过a +b 的正根．例3 设f (x )∈C （［a ,b ］），f (a )=f (b )=0，且存在正常数δ和δ１，使f (x )在(a ,a +δ)及(b -δ１,b )内是严格单调增加的，证明至少存在一点x 0∈(a ,b )，使得f (x 0)＝０．证 由于f (x )∈C （［a ,b ］），f (a )=0,且f (x )在(a ,a +δ)上严格单调增加，故至少存在一点a 0∈(a ,a +δ),使得f (a 0)＞f (a )＝０．同理，至少存在一点b 0∈(b -δ１，b ),使得f (b 0)＜f (b )＝０． 由f (x )∈C （［a 0,b 0］），f (a 0)f (b 0)＜0可知，至少存在一点x 0∈（a 0,b 0）⊂（a ,b ）,使得f (x 0)=0．图1-432. 介值定理由零点定理并运用坐标平移的方法，可以得到介值定理． 定理4 设f (x )∈C （［a ,b ］），f (a )=A ,f (b )=B ,且A ≠Ｂ，则对于A ，B 之间的任意一个数C ，至少存在一点x 0∈(a ,b )，使得f (x 0)=C ．该定理说明，当x 在［a ,b ］上变动时，［a ,b ］上的连续函数所取得的函数值必完全充满某个区间［A ，Ｂ］(图1-43)．由介值定理我们还可得出:推论 设()y f x =∈C ［a ，b ］，[,]max ()x a b M f x ∈=，[,]min ()x a b m f x ∈=，则f （x ）必取得介于M 与m 之间的任何值．例4 设f (x )∈C (［a ,b ］)，a ＜x 1＜x 2＜…＜x n ＜b ，证明：至少存在一点x 0∈［x 1,x n ］，使得 f (x 0)=12()()()n f x f x f x n+++．证 因为f (x )∈C （［x 1,x n ］），所以f (x )在［x 1,x n ］上有最大值和最小值存在．设M ＝1[,]max n x x x ∈f (x ),m =1[,]min n x x x ∈f (x )，则 m ≤f (x i )≤M , i =1,2,…,n ．从而 m ≤12()()()n f x f x f x n+++≤M ．由介值定理的推论，至少存在一点x 0∈［x 1,x n ］，使f (x 0)＝12()()()n f x f x f x n+++．应该注意，以上四个定理的共同条件“f (x )在闭区间［a ,b ］上连续”不能减弱．将区间［a ,b ］换成(a ,b )，或去掉“连续”的条件，定理的结论都不一定成立．比如，y =1x在(0，1)连续，但1x 在(0，1)内不能取到最大值，也无上界．又比如，f (x )= ,0,1,0x x x ≠⎧⎨=⎩ 在［-1,1］上有定义，仅在x =0处不连续，(1)(1)0 f f -⋅<，但不存在x 0∈(-1,1)，使f (x 0)=0．课堂总结1.连续函数的运算法则：四则运算,反函数、复合函数、初等函数的连续性；2.闭区间上连续函数的性质：最值定理、有界性定理、零点定理、介值定理.友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。
学习高等数学的目的、作用、内容及方法
学习高等数学的目的、作用、内容及方法一、为什么要学习高等数学？高等数学是高等学校许多专业学生必修的重要基础理论课程。
数学主要是研究现实世界中的“数量关系”与“空间形式”。
世界上任何客观存在都有其“数”与“形”的属性特征，并且一切事物都发生变化，遵循量变到质变的规律。
凡是研究量的大小、量的变化、量与量之间关系以及这些关系的变化，就少不了数学。
同样，客观世界存在有各种不同的空间形式。
因此，宇宙之大，粒子之微，光速之快，实事之繁，……无处不用数学。
数学不但研究空间形式与数量关系，还研究现实世界中的任何形式和关系，只要这种形势和关系能抽象出来，用清晰准确的方式表达，即所谓化为数学模型。
不但如此，数学还研究在逻辑上可能的形式。
“空间形式”必须理解为一切类似于空间形式的形式：射影空间、非欧几里得空间、拓扑空间、无穷维空间的空间、微分流形……“数量关系”也要理解为一切类似于数量关系的关系：逻辑关系、语法关系……数学研究的是各种抽象的“数”和“形”的模式结构。
在今天的数学中，“数”和“形”的概念已发展到很高的境地。
比如，非数之“数”的众多代数结构，像群、环、域等；无形之形的一些抽象空间，像线性空间、拓扑空间、流形等。
恩格斯说：“要辩证而又唯物地了解自然，就必须掌握数学。
”英国著名哲学家培根说：“数学是打开科学大门的钥匙”。
德国大数学家、天文家、物理学家高斯说：“数学是科学的皇后，她常常屈尊去为天文学和其它自然科学效劳，但在所有的关系中，她都堪称第一。
”马克思还认为：“一种科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步。
”亨普尔说：经验科学中多数更加深刻的定理都是借助数学概念陈述的。
拉奥说：一个国家的科学进步可以用它消耗的数学来衡量。
考特说：数学是人类智慧王冠上最灿烂的明珠。
戴维认为：被人们如此称颂的高科技技术，本质上是一种数学技术。
霍格说：如果一个学生要成为完全合格的、多方面武装的科学家，他在其发展初期就必定来到一座大门，并且必须通过这座大门，在这座大门上用每种人类语言刻着同一句话：“这里使用数学语言。
高等数学基础课程教学及考核要求
高等数学基础课程教学及考核要求第一部分教学内容和教学要求一、函数、极限与连续（10学时）（一）教学内容函数：常量与变量，函数的定义函数的表示方法：解析法，图示法、表格法函数的性质：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性初等函数：基本初等函数，复合函数，初等函数，分段表示的函数，建立函数关系极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算，无穷小量及其性质，两个重要极限连续：函数在一点连续，左右连续，连续函数，间断点，初等函数的连续性重点：函数概念，基本初等函数，极限的计算难点：建立函数关系，极限概念（二）教学基本要求1.理解函数的概念，了解分段函数。
能熟练地求函数的定义域和函数值。
2.了解函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性和有界性)。
3.熟练掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。
4.了解复合函数、初等函数的概念。
5.会列简单应用问题的函数关系式。
6.了解极限的概念，会求左右极限。
7.了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质。
8.掌握极限的四则运算法则.9.掌握用两个重要极限求一些极限的方法。
10.了解函数连续性的定义。
11.了解函数间断点的概念。
12.知道初等函数在其有定义的区间内连续的性质。
二、一元函数微分学（22学时）（一）教学内容导数：导数的定义及几何意义，函数连续与可导的关系，基本初等函数的导数，导数的四则运算法则，复合函数求导法则，隐函数求导法则，高阶导数微分：微分的概念与运算，微分基本公式表，微分法则，一阶微分形式的不变性中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理的叙述导数应用：函数的单调性判别法，函数的极值及其求法，函数图形的凹凸性及其判别法，拐点及其求法，最大值、最小值问题重点：导数概念和导数的计算，极值难点：导数的应用（二）教学基本要求1.理解导数与微分概念(微分用dy＝y'dx 定义)，了解导数的几何意义。
会求曲线的切线方程。
知道可导与连续的关系。
2.熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则。
《高等数学》(1-3章)教学教案(全)
高等数学教学教案第1章函数、极限与连续授课序号01(是一个给定的非空数集.若对任意的授课序号02的左邻域有定义，如果自变量为当0x x →时函数授课序号032n n ++)(1,2,n x =授课序号04授课序号05授课序号06高等数学教学教案第2章导数与微分授课序号01授课序号02授课序号03授课序号04高等数学教学教案第3章微分中值定理与导数的应用授课序号01授课序号02授课序号03!n +!n +()()!n x n +!n +!n +[cos (x θ+=21)2!!x n α-++)(1(1)!n n αθ-++()nx R x +授课序号04（1）在生产实践和工程技术中，经常会遇到求在一定条件下，怎样才能使“成本最低”、“利润最高”、“原材料最省”等问题．这类问题在数学上可以归结为建立一个目标函数，求这个函数的最大值或最小值问题.（2）对于实际问题，往往根据问题的性质就可以断定函数()f x 在定义区间内部存在着最大值或最小值．理论上可以证明这样一个结论：在实际问题中，若函数()f x 的定义域是开区间，且在此开区间内只有一个驻点0x ，而最值又存在，则可以直接确定该驻点0x 就是最值点，0()f x 即为相应的最值． 四．例题讲解例1.讨论函数32()29123f x x x x =-+-的单调增减区间． 例2.判断函数3()=f x x 的单调性.例3.设3,0,()arctan ,0.x x f x x x x ⎧-<=⎨≥⎩确定()f x 的单调区间.例4.证明：当0x >时，e 1x x >+． 例5.求函数32()(1)f x x x =-的极值．例6.求函数22()ln f x x x =-的极值．例7.求函数233()2f x x x =+在区间1[8]8-，上的最大值与最小值．例8.水槽设计问题有一块宽为2a 的长方形铁皮如图3.8所示，将宽所在的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，问横截面的高取何值时水槽的流量最大（流量与横截面积成正比）． 图3.8例9.用料最省问题要做一圆柱形无盖铁桶，要求铁桶的容积V 是一定值，问怎样设计才能使制造铁桶的用料最省？ 例10.面积最大问题将一长为2L 的铁丝折成一个长方形，问如何折才能使长方形的面积最大．授课序号05授课序号06教学基本指标教学课题第3章第6节弧微分与曲率课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点曲率的计算公式教学难点曲率的计算参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
高等数学课程标准
《高等数学》课程标准课程编号：0610005课程名称：高等数学学时：64学时（含实践性教学）适用专业：电子与电气工程系各专业一、课程描述（一）课程性质《高等数学》是高职工科类、文科类、医技类部分专业学生的一门必修课，是服务于各专业的一门重要基础课，是培养学生应用数学知识解决实际问题的能力的有力工具。
通过本课程的学习使学生了解微积分的背景思想，较系统地掌握高等数学的基础知识、必需的基本理论和常用的运算技能，了解基本的数学建模方法。
为学生学习后继课程、专业课程和分析解决实际问题奠定基础。
（二）教学目标与要求本课程目标分为：知识教学目标（极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、专业应用方面的基础知识、数学建模的初步知识、数学软件知识）；能力培养目标（逻辑推理能力、基本运算能力、自学能力、数学建模的初步能力、数学软件运用能力，应用数学知识解决实际问题的能力）；素质培养目标（树立辩证唯物主义世界观、培养学生良好的学习习惯、坚强的意志品格、严谨思维、求实的作风、勇于探索、敢于创新的思想意识和良好的团队合作精神。
）（三）重点和难点重点：使学生掌握一元函数积分这部分教学内容的基本概念、基本定理、基本结论，在此基础上培养学生的应用意识，使学生明确数学知识来源于实践又反作用于实践，体会数学理性逻辑之美，使学生树立辩证唯物主义世界观。
难点：如何让学生转变观念，正确认识《高等数学》这门课程，让绝大部分同学对该课程感兴趣，从而发挥《高等数学》这门课程的基础与服务作用就成了我们的教学难点。
（四）与其他课程的关系高等数学将为今后学习专业基础课以及相关的专业课程打下必要的数学基础，为这些课程的提供必需的数学概念、理论、方法、运算技能和分析问题解决问题的能力素质。
基于职业教育的特点，以及为适应迅猛的社会经济发展，为公司企业输送相应层次的技术人才，注重理论联系实际，强调对学生基本运算能力和分析问题、解决问题能力的培养，以努力提高学生的数学修养和素质。
高等数学(一)1课程教学大纲
《高等数学（一）1》课程教学大纲课程编号：311ZB0061课程名称：高等数学（一）1 Advanced Mathematics（一）1课程类别：专业必修课授课学时：68学分：4课程性质：本课程是小学教育本科专业必修的基础理论课程之一，该课程传授极限、导数、微分的有关理论，通过学习本课程，可拓展学生的数学知识面，获得近代数学的基本知识点，加深学生对数学思想方法的理解和认识，提高学生的数学思维能力和数学素养，为起今后从事小学数学教育工作打下坚实的理论基础。
课程目标：知识：使学生掌握以下知识：◆函数有关概念和性质◆极限有关概念和性质◆连续函数有关概念和性质◆导数、微分有关概念和性质能力和技能使学生获得：◆求初等函数的极限、导数、微分的运算技能◆分析综合能力、归纳演绎能力情感和态度◆进一步理解数学的价值，学会以运动、变化、无限、联系的观点观察分析问题，思维的严密性得到加强。
课程内容:第一章函数【目的要求】理解单调函数、奇偶函数、周期函数、有界函数、复合函数、反函数概念性质，掌握基本初等函数图象和性质。
【重点与难点】重点是基本初等函数图象和性质。
难点是有界函数。
【主要内容】●理论教学内容（6学时）一、函数二、四种具有特殊性质的函数三、复合函数、反函数●实践教学内容（2学时）一、第一章习题【作业与思考】第一章部分习题思考：以自己的方式列表记忆基本初等函数图象和性质。
第二章极限【目的要求】理解极限、无穷大、无穷小概念，掌握极限运算法则。
【重点与难点】重点是极限概念，极限运算法则。
难点是两个重要极限。
【主要内容】●理论教学内容（16学时）一、数列极限二、函数极限三、无穷小与无穷大四、极限运算法则五、极限存在准则，两个重要极限六、无穷小的比较●实践教学内容（4学时）一、第二章习题二、讨论：将函数分类并归纳求各类函数极限的一般方法。
【作业与思考】第二章部分习题第三章连续函数【目的要求】理解函数连续性与间断点的概念，会寻找函数间断点。
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《高等数学》课程学习指导（部分）绪论《高等数学》(基本内容是微积分)是同学们来到高校要学习的第一门数学课，也是理工科院校高校生最重要的基础课之一。
在起先学习这门课程的时候，假如对该课程探讨的对象是什么及探讨的基本思想方法是什么能有一个初步的了解，那么，对今后如何学习该课程是大有好处的！假如将学习这门课看作是对微积分这座神奇的科学殿堂的一次探究，那么，这个绪论就是为了大家描绘一张简洁的导游图！本次课的目的就是向同学们简要介绍微积分探讨的对象和基本思想在此基础上，我们还将简要说明本课程的教学方法，并就如何学习这门课程向同学们提几点建议。
一、教学内容微积分探讨的对象和方法，关于本课程的教学方法和学习方法。
二、教学要求1．了解初等数学探讨的对象是：常数或常量，简洁的规则几何形体(如直线、直边形、直面形等)，而高等数学探讨的对象是：变数或变量、函数，困难的不规则几何形体(如曲线、曲面、曲边形、曲面形等)。
2．初步理解微积分的基本探讨方法——微元分析法，即(1) 在微小局部，“以匀代不匀”，求得所求量的近似值；(2) 通过极限，将近似值转化为精确值。
3．导数是探讨函数在一点处改变的快慢程度(改变率)。
在匀称改变状况下，需用除法计算的量，在非匀称改变的状况下，往往可用导数来计算，因此，导数可看作初等数学中商(除法)的推广；积分是探讨函数在某一区间内改变的大小，它可看作初等数学中积(乘法)的推广。
4．函数是微积分探讨的对象，极取是微积分的理论基础。
5．学习方法的建议：(1) 培育自学的实力，在学习过程中特殊要特殊留意概念、理论和思想方法的理解；(2) 勤于思索，敢于和擅长发觉问题，大胆提出问题，发表自己的见解，培育自己的创新精神和创新实力。
(3) 培育应用数学的意识、爱好和实力。
第一章映射与函数，极限与连续函数(18-20学时)函数是微积分探讨的对象，它刻画了客观世界变量之间相互联系相互依靠的关系；极限是刻画变量在改变过程中的改变趋势，它既是一个重要概念，又是学习微积分的重要工具和思想方法；函数的连续性是借助于极限概念揭示出来的变量在改变过程中的一个基本性态，连续函数是微积分探讨的主要对象。
因此，本章是学好微积分的基础，是跨入微积分科学殿堂必需经过的第一道门槛！希望同学们要花大力气把这部分内容(特殊是数列与函数的极限)学好。
本章教学实施方案讲课：8-10学时，包括4讲：1．集合与实数集、映射与函数(2学时)。
重点讲：实数的完备性；确界与存在定理；映射、满射、单射、一一映射、逆映射与复合映射的概念；函数、分段函数、反函数与复合函娄、初等函数。
2．数列的极限(2-3学时)，重点讲：数列极限的概念，特殊是数列极限的定义与几何意义；收敛数列的性质(主要从几何直观说明并用定义证明一个)和运算法则：数列极限的审敛准则，主要讲单调有界准则与Cauchy收敛原理，数列的极限与其子列极限的关系，简要介绍有界数列有收敛子列这个结论(不证)；3．函数的极限(2-3学时)，重点讲：函数极限的定义及几何意义；归并原理(不证)；函数极限的性质(用归并原理证一个)和运算法则；两个重要极限；无穷小(大)量；简要介绍判定函数极限存在的单调有界与Cauchy准则；4．连续函数(2学时)，重点讲：连续函数的概念；连续函数的运算性质及初等函数的连续性；间断点及其分类；闭区间上连续函数的性质(几何说明，零点定理证明的思路——二分法)。
自学2学时，数列极限与函数极限各一学时。
讨论4学时，数列极限的概念，性质及审敛准则(2学时)；函数极限及连续函数(2学时)。
习题课4学时，数列极限的计算及审敛准则(2学时)；函数极限的计算、间断点的分类，闭区间上连续函数的性质(2学时)。
第一讲集合与实数集、映射与函数一、教学内容集合及其运算，实数集的完备性，确界与确界存在定理，映射与满射、内射、一一映射的概念，复合映射与逆映射，函数的概念及其表示，复合函数与反函数，初等函数。
二、教学要求本讲是在复习中学已有学问的基础上，对上述内容进行总结、提高，加深对实数集的性质、映射与函数的概念的理解。
1．熟识集合的概念及其运算，理解积集的概念。
2．从几何直观上理解实数的完备性和实数集的上(下)确界概念，知道确界存在定理是实数集的本质属性，是实数完备性的表现。
3．正确理解映射概念中的两个基本要素：定义域与对应法则。
4．理解满射、内向、一一映射三类常见映射的概念。
5．正确理解复合映射的概念及映射复合的条件。
6．正确理解逆映射的概念，熟识映射可逆的充要条件为它是一一映射。
7．正确理解函数是从一个实数集到另一个实数集的映射这个定义，从而驾驭构成函数的两个基本要素，复合函数的概念及复合条件，反函数的概念及反函数存在条件。
8．熟识函数的表示方法及分段函数。
9．熟识什么叫初等函数。
其次讲数列的极限一、教学内容数列极限的概念，收敛数列的性质，数列极限的运算法则，数列收敛性的判别准则。
二、教学要求1．正确理解数列极限的直观含义，会用语言和邻域两种方法表述数列极限的定义，并能用定义证明简洁数列的极限。
2．熟识数列极限的性质及其应用。
3．驾驭数列极限的有理运算法则以及运用这些法则求数列极限时应留意的条件和方法。
4．正确理解单调有界准则，会运用这个准则判别数列的收敛性，熟记一个重要的极限公式并会运用该极限求一些相关数列的极限。
5．驾驭数列极限与子列极限的关系，会利用这种关系判定数列的极限不存在，知道有界数列必有收敛子列。
6．理解Cauchy数列的概念和Cauchy收敛原理，知道Cauchy收敛原理的作用。
第三讲函数的极限一、教学内容函数极限的概念，函数极限的性质，函数极限的运算法则，两个重要极限，函数极限的存在准则，无穷小量及其阶。
二、教学要求1．正确理解函数极限(包括左、右极限)的及定义其几何意义，会用定义证明简洁函数的极限。
2．理解归并原理，会用它将函数极限的问题转化为数列极限的相应问题，并判定函数极限的不存在。
3．熟识函数极限的性质(特殊是夹逼原理)及其作用。
4．正确运用函数极限的有理运算与复合运算法则计算函数的极限，特殊是要驾驭求不定式极限的方法。
5．牢记两个重要极限公式：，并会运用这两个重要极限求一些相关函数的极限。
6．知道判定函数极限存在的单调有界准则与Cauchy收敛原理。
7．正确理解无穷小量与无穷大量，高阶、同阶与等价以及低阶无穷小的概念，驾驭利用无穷小等价代换求极限的方法，熟识一些无穷小等价关系，例如当时，，，。
第四讲连续函数一、教学内容函数的连续性与间断点，连续函数的运算性质与初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。
二、教学要求1．正确理解连续函数在一点的连续性与连续函数的概念。
2．熟识连续函数的运算性质(包括和、差、积、商、复合及反函数的连续性)及初等函数的连续性，驾驭利用函数的连续性求函数极限的方法。
3．会求函数间断点，并推断间断点的类型。
4．熟识闭区间上连续函数的性质：有界性、最大最小值定理，零点定理与介值定理，并会利用这些性质解决一些简洁问题(如函数方程根的存在性)。
其次章一元函数微积分学及其应用(2学时)导数与微分是微分学中两个最重要的基本概念，它们既有亲密的联系，又有重要的区分。
导数是以刻画函数随自变量改变的快慢程度(即改变率)的，而微分则是通过在微小局部用线性函数近似代替非线性函数求得当自变量有微小改变时函数值变大小(近似值)的。
以Lagrange定理为中心的微分中值定理与此同时Taylor公式是微分学的基本理论。
中值定理揭示了函数在一个区间上的平均改变率等于函数在该区间上某一点处的改变率(导数)，而Taylor公式则通过用高次多项式来近似代替非线性函数，大大地改进了用微分近计计算函数值的精确度和适用范围。
中值定理与Taylor公式(可看成中值定理的推广)为利用导数探讨函数改变的性态(例如单调性，极值与凸性等)供应了有力的工具，从而为微分学在实际问题中的应用开拓了广袤的道路。
因此，本章是跨入微积分科学殿堂后的第一个也是最重要的景区之一，同学们应当很好地体会并驾驭它的科学内涵。
本章教学实施方案讲课8学时，分4讲：1．导数的概念(2学时)。
重点讲导数的概念，包括导数的定义，几何意义、物理意义、单侧导数、可导与连续的关系。
2．微分学中值定理及其应用(2学时)。
重点讲Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理的直观含义、证明思想方法(作协助函数)及其应用、L Hospital法则及其在求不定式极限中的应用。
3．Taylor定理(2学时)。
重点讲用高次多项式靠近可导函数的思想及求函数的Taylor公式的方法。
4．函数性态的探讨(2学时)。
重点讲用导数探讨函数的单调性、极值与凸性。
突出建立并求解简洁优化模型的方法(即最大最小值问题)。
自学4学时，分2次课：1．求函数导数的各种方法(包括：有理运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法则、隐函数求导法则、参数方程求导法、高阶导数)。
2．相关改变率、微分的概念、运算法则、一阶全微分形式不变性、微分的应用。
讨论4学时，分2次：1．微分中值定理与Taylor公式。
重点探讨诸定理和公式的含义及成立的条件，证明思想方法与利用它们解决相关问题的方法——协助函数法。
2．导数的应用：探讨函数改变率(含相关改变率)、单调性、极值与凸性以及相关的实际问题。
突出建立实际问题的数学模型及解决问题的思想。
习题课6学时，分3次：1．函数的各种求导方法，包括利用定义探讨分段函数的可导性，求高阶导数，求微分等(2学时)。
2．中值定理、Taylor公式的应用、L Hospital法则(2学时)。
3．导数的应用。
函数的性态(单调性、极值、凸性)及与这们相关的实际应用问题(2学时)。
单元测验(2小时，时间另定)第一讲导数的概念一、教学内容导数的定义、几何意义与物理意义、可导与连续的关系。
二、教学要求1．正确理解导数的定义，左(右)导数，函数在一点处可导与在该点处左、右导数的关系。
2．会用定义求一些简洁函数的导数，会求分段函数的导数，分段函数在定义区间的分界点处是否可导要用导数定义来探讨。
例如，会探讨下列两种类型的分段函数(其中为常数)；在处的可导性。
3．正确理解导数的几何意义(平面曲线在某点处切线斜率)，并会利用它解决一些相关问题。
4．正确理解函数在一点处的导数就是函数在该点处的改变率，并会将科学技术中某些简洁的问题化为导数问题。
5．正确理解可导与连续的关系：在处可导——→在处连续第一次自学(2学时)一、自学内容函数的和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则，反函数的求导法则，初等函数的求导问题，高阶导数，隐函数求导法。
二、自学要求1．看懂有理运算法则、复合函数及反函数求导法则，运用时应留意的条件及证明思路，并会娴熟地利用这些法则求函数的导数。