高等数学第9章试题

合集下载

高等数学2第九章答案_37700

习题9-1 多元函数的基本概念1.求下列各函数的定义域：（1）ln(z y x =-（2）u =2.求下列各极限：（1）(,)(0,0)limx y →；（2）(,)(2,0)tan()limx y xy y →.（3）2222()lim()x y x y x y e-+→∞→∞+令22u x y =+，原式1limlim 0u uu u u e e →∞→∞===（4）()(,0,0limx y →令t =23220001sin 1cos 12lim lim lim 336t t t xt t t t t t +++→→→--==== 习题9-2 偏导数1.求下列函数的偏导数：（1）2sin()cos ()z xy xy =+；（2）(1)y z xy =+；（3）arctan()z u x y =-.（4）设()23y z xy x ϕ=+，其中()u ϕ可导，证明22z z x y xy x y∂∂+=∂∂ 解 ()()222,33z y z yy xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂左边()()22222233z y y x y x y xy y xy x xy x x ϕϕ∂⎡⎤''=+=-++=+=⎢⎥∂⎣⎦右边2.求下列函数的22z x ∂∂，22z y ∂∂和2zx y∂∂∂.（1）arctany z x=；（2）x z y =.习题9-3 全微分1.求下列函数的全微分：（1）y xz e =；（2）yzu x =.（3）sin2yz yu x e =++. 解11,c o s ,22yz yz u u y uze ye x y z∂∂∂==+=∂∂∂，所求的全微分为 1cos 22yz yz y du dx ze dy ye dz ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭‘（4）()222tanz y x u ++=解 u x ∂=∂， u y ∂=∂u z ∂=∂)du xdx ydy zdz =++2.求函数yz x=，当2x =，1y =，0.1x ∆=，0.2y ∆=-时的全增量和全微分。

高等数学习题集第二版第九章

所以体积为 V d
0 2 3 R 2
0
[ R 2 r 2 ( R R 2 r 2 )]rdr 5 R 3 。 12
2
3 R 2
0
[2 R 2 r 2 R]rdr
2 1 1
(12)先对 z 求，利用柱坐标变换 d dr zrdz
2 x 2 y 2
2 2
x y
x 2 zdy

12
。
2 x ( x a ) 2 y 2 a 2 2 2 (14)由题 D : ， 2 4 ，且 z a x y ，则 z x 2 2 2 a x y z 0
zy
2 1 2 r cos ln(r 1) z ln( x 2 y 2 z 2 1) dxdydz dr d r 2 sin d 2 2 2 2 0 0 0 x y z 1 r 1
2
r 3 ln(r 2 1) dr sin cos d 0 ， 2 0 0 r 1
D
(axy by
D
2
)dxdy by 2 dxdy ，所以符号和 b 有关，与 a 无关。
D
(9)可以参考 P347 三重积分的球面坐标变换。 (10) 由题关于 yoz 面， y 1 面和 z 1 面对称，所以
xdV 0

，
( y 1)dV 0 ， ( z 1)dV 0 。则
1 3 1
1
3
1
(6) sin x cos ydxdy sin xdx 2 cos ydx 2 。
D 0 0

高等数学下第九章

一、单项选择题1.下列级数中，发散的是（）（A）n ∞=；（B ）11(1)n n n ∞=+∑；（C ）111(1)n n n-∞=-∑；（D）11(1)n n -∞=-∑. 2.下列论述正确的是（）(A) 若lim 0n n u →∞=，则级数1n n u ∞=∑收敛； (B) 若1lim 1n n nu u +→∞<，则级数1n n u ∞=∑收敛；(C) 若级数1nn u∞=∑收敛，则1nn u∞=∑收敛； (D) 若级数1nn u∞=∑收敛，则1nn u∞=∑收敛.3..下列级数中，绝对收敛的是（）（A）1n ∞= （B）nn ∞=；（C ）11(1)n n -∞=-∑；（D ）1sinn n nπ∞=∑.4.下列论述正确的是（） (A) 若级数1nn u∞=∑发散，则1nn u∞=∑条件收敛； (B) 若级数1nn u∞=∑收敛，则1nn u∞=∑收敛；(C) 若lim 0n n u →∞≠，则级数1nn u∞=∑发散；(D) 若lim 0n n u →∞=，则级数1nn u∞=∑收敛.5.下列级数中，发散的是（）（A）1n ∞=；（B ）21121n n n n ∞=++-∑；（C）11(1)n n -∞=-∑；（D ）21sin n nxn ∞=∑. 6.下列论述错误的是（）(A) 若lim 0n n u →∞≠，则级数1nn u∞=∑发散； (B) 若lim 0n n u →∞=，则级数1nn u∞=∑收敛.；(C) 若级数1nn u∞=∑收敛，则1nn u∞=∑收敛； (D) 若级数1nn u∞=∑发散，则1nn u∞=∑发散.7.下列级数为绝对收敛的是（）(A) ∑∞=12sin n n n； (B)∑∞=-1)1(n n n ； (C)1)1(1+-∑∞=n n n n； (D)∑∞=12sin n n n . 8.若级数∑∞=1n na，∑∞=1n nb均为正项级数，且n n b a ≤，则下列结论错误的是（）(A) 若∑∞=1n nb收敛，则∑∞=1n na收敛； (B) 若∑∞=1n nb发散，则∑∞=1n na也发散；(C) 若∑∞=1n na发散，则∑∞=1n nb也发散； (D) 若∑∞=1n nb收敛，则∑∑∞=∞=≤11n nn n ba .9.下列结论正确的是（） (A) 若∑∞=1n na发散，则0lim ≠∞→n n a ； (B) 若级数∑∞=1n na收敛，则∑∞=1n na也收敛；(C) 0lim =∞→n n a ，则∑∞=1n na收敛； (D) 若级数∑∞=1n na收敛，则∑∞=1n na也收敛10.下列级数为条件收敛的是（）(A)∑∞=12sin n n n ； (B)∑∞=+-12)1(n n n ； (C)1)1(1+-∑∞=n n n n； (D)∑∞=1!2sin n n n .11.下列级数中，发散的是（）（A）1n ∞= （B ）311(1)n n n∞=+∑；（C ）1!nn n n ∞=∑；（D ）∑∞=--111)1(n n n. 12. 当下列条件（）成立时，级数1nn u∞=∑收敛.(A)lim()0n n nu →∞=； (B)1lim1n n nu u +→∞<；(C)其部分和数列}{n S 有界； (D)1nn u∞=∑收敛.13.下列级数中，收敛的是（）(A) 212n n n ∞=∑； (B) 11n nn ∞=+∑；(C) 132n n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑； (D)11(1)n n -∞=-∑. 14.下列级数中，绝对收敛的是（）（A）1n ∞=；（B ）；2121n nn n ∞=++∑ （C ）111(1)n n n-∞=-∑；（D ）21sin n nxn ∞=∑. 15.在下面的级数中，绝对收敛的级数是（）(A)n n n)23()1(1∑∞=-； (B)∑∞=+1121n n ；(C)∑∞=--11)1(n nn n ； (D)∑∞=--1311)1(n n n.16.若级数1nn u∞=∑收敛，下列论述不正确的是（）(A) lim 0n n u →∞=； (B)1nn u∞=∑收敛；(C)13nn u∞=∑收敛； (D)10nn u∞=∑收敛.17.级数21sin n nxn ∞=∑（） (A) 条件收敛； (B)绝对收敛；(C) 发散； (D)敛散性不确定． 18.幂级数113(1)2n n n n x n ∞-=-+∑的收敛半径是（）(A)13； (B)0； (C)3； (D)+∞.19.若级数1nn u∞=∑收敛，且12n n S u u u =+++，则下列结论正确的是（）（A ）lim 0n n S →∞=；（B ）lim 0n n u →∞≠；（C ）lim n n S →∞存在；（D ）{}n S 不一定有界.20.对于级数11(1)n n n u ∞-=-∑，其中0n u >(1,2,3,)n =，则下列论述正确的是（）(A)若11(1)n n n u ∞-=-∑收敛，则级数11(1)n n n u ∞-=-∑必条件收敛；(B)若11(1)n n n u ∞-=-∑收敛，则级数1n n u ∞=∑必收敛；(C)若级数1nn u∞=∑发散，则11(1)n n n u ∞-=-∑必发散；(D)若级数1nn u∞=∑收敛，则11(1)n n n u ∞-=-∑绝对收敛.21.下列级数中，绝对收敛的是（）（A ）11(1)nn n ∞=-∑；（B ）11(1)(1)nn n n ∞=-+∑；（C ）∑∞=-+-11121)1(n n n ；（D ）∑∞=--111)1(n n n.22.若级数1nn u∞=∑收敛，则下列结论正确的是（）(A) 级数1nn u∞=∑收敛； (B) 级数1(1)nn n u ∞=-∑收敛；(C) 级数21n n u ∞=∑收敛；(D) 若级数112n n n u u ∞+=+∑收敛. 23.下列级数中，收敛的是（）(A)11n n ∞=∑；(B)1n ∞=； (C)()11nn n ∞=-∑；(D)1n ∞=.24.设a 为非零常数，则当（）时，级数1nn ar∞=∑收敛.(A)1r <； (B)1r ≤； (C)r a <； (D)1r >.25.若级数∑∞=+111n p n发散，则（）(A) 0p ≤ (B) 0p > (C) 1p ≤ (D) 1p < 26.在下面的级数中，绝对收敛的级数是（）(A) n n n)23()1(1∑∞=- (B) ∑∞=+1121n n(C) ∑∞=--11)1(n nn n (D)∑∞=--1311)1(n n n27.下列级数中，发散的是（）（A ）11ln(1)n n ∞=+∑；（B ）；112∞=⋅∑nn n （C ）1211(1)-∞=-∑n n n ；（D）11(1)n n -∞=-∑ 28.下列论述错误的是（） (A) 若级数1nn u∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=； (B) 若级数1nn u∞=∑条件收敛，则1∞=∑nn u收敛；(C) 若级数1nn u∞=∑绝对收敛，则1∞=∑nn u收敛；(D) 若级数1nn u∞=∑发散，则1nn u∞=∑发散.29.下列级数中，发散的是（）（A ）3110n nn n ∞=-∑；（B ）；12n n n∞=∑ （C ）13!n nn n n ∞=⋅∑；（D）11(1)n n -∞=-∑. 30.下列论述错误的是（）(A) 若级数1n n u ∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=； (B) 若级数1lim2n n nu u +→∞=，则1n n u ∞=∑发散；(C) 若级数1nn u∞=∑绝对收敛，则1∞=∑nn u收敛；(D) 若级数1nn u∞=∑发散，则1nn u∞=∑发散.二、填空题 1.判断级数1!n n n n ∞=∑的敛散性，得到该级数一定____________.(注：填收敛或发散) 2.级数1(1)2nn n x n∞=+⋅∑的收敛域为___________.3.已知>0n u ，若lim 0n n u →∞=，且1n n u u +-≥________，则级数n 11(1)n n u ∞-=-∑收敛.4.级数1()3nnn x n ∞=-⋅∑的收敛半径为___________. 5.已知>0n u ，当+1lim n n nu u →∞<___________时，级数1n n u ∞=∑收敛.6.级数1(1)3nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域为___________. 7. 级数∑∞=+12n nn 收敛, 则α的取值范围为____________. 8. 级数∑∞=+-123)1(n nn n是____________.（填绝对收敛、条件收敛或发散） 9. 判断级数143nnn n ∞=⋅∑的敛散性，得到该级数一定____________.(注：填收敛或发散) 10. 级数03(1)n nn x n ∞=-∑的收敛域为___________.11. 函数x y 211+=（)21<x 展开成x 的幂级数为____________. 12. 函数xe y 2=展开成x 的幂级数为____________. 13. 已知>0n u，当n <___________时，级数1nn u∞=∑收敛.14. 判断级数1!nn n n∞=∑的敛散性，得到该级数一定____________.(注：填收敛或发散)15.级数1n nn -∞=___________.16. 级数12(1)nn n x n∞=-∑的收敛域为___________.17.211x -展开成x 的幂级数为 18.211321n n n n ∞=+++∑的敛散性是 .（填收敛或发散） 19. 判断级数313n n n ∞=∑的敛散性，得到该级数一定____________.(注：填收敛或发散)20. 级数1(2)nn x n ∞=+∑的收敛域为___________.21. 判断级数1!2n n n ∞=∑的敛散性，得到该级数____________.(注：填收敛或发散) 22. 级数15(2)nnn x ∞=-∑的收敛域为___________.23. 判别级数()121nn nn ∞=-+∑的收敛性，得到该级数一定____________（填收敛或发散）.24. 当1x <时，函数211x -展开成x 的幂级数为__________________. 25. 如果级数1nn u∞=∑收敛，则lim n n u →∞=____________.26. 将2x e 展成x 的幂级数为____________. 27. 幂级数nn nx∞=∑(11)-<<x 的和函数为____________.28. 级数13nn n x ∞=∑的收敛域为___________.29. 幂级数11n n nx∞-=∑(11)-<<x 的和函数为____________.30. 级数1(1)2nn n x n∞=-⋅∑的收敛域为___________.三、计算题1.将函数1()ln 1x f x x +=-展开成x 的幂级数，并求级数2111(21)2n n n ∞-=-⋅∑的和. 2.将函数21()43f x x x =-+展开成x 的幂级数.3.将函数()2x x e e f x -+=展开成x 的幂级数, 并求级数01(2)!n n ∞=∑的和.4.求幂级数∑∞=--1212)1(n nn n x n 的收敛半径和收敛域. 5.求幂级数∑∞=-+-11)1(3)1(n nn n x n n 的收敛半径和收敛域.6.将函数()ln(3)f x x =+展开成x 的幂级数，并求级数1(1)nn n ∞=-∑的和.7.求幂级数20(1)(3)n nn x n∞=--∑的收敛半径与收敛域. 8.将函数()ln(2)f x x x =+展开成x 的幂级数.9.将(1)ln(1)x x ++展开成x 的幂级数，并指出其收敛域. 10.将函数1()()2x xf x e e -=-展开成x 的幂级数，并指出其收敛域. 11.求幂级数01nn x n ∞=+∑的收敛半径与收敛域.12.求幂级数()11nnn x n ∞=-∑的收敛域及和函数.13.将()ln(1)f x x x =+展开成x 的幂级数，并指出幂级数的收敛域.14.已知01(11)1n n x x x ∞==-<<-∑，将21()43f x x x =-+展开成x 的幂级数. 四、证明题1.设正项级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都收敛，证明：（1）lim()0n n n u v →∞+=；（2）级数21()n n n u v ∞=+∑也收敛.。

高等数学课后习题答案第九章

习题九1. 求函数u=xy2+z3-xyz在点（1，1,2）处沿方向角为的方向导数。

解：2. 求函数u=xyz在点（5,1,2）处沿从点A（5,1,2）到B（9，4，14）的方向导数。

解：的方向余弦为故3. 求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数。

解：设x轴正向到椭圆内法线方向l的转角为φ，它是第三象限的角，因为所以在点处切线斜率为法线斜率为.于是∵∴4.研究下列函数的极值：(1)z=x3+y3－3(x2+y2); (2)z=e2x(x+y2+2y);(3)z=(6x－x2)(4y－y2); (4)z=(x2+y2);(5)z=xy(a－x－y),a≠0.解：（1）解方程组得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).z xx=6x－6, z xy=0, z yy=6y－6在点（0，0）处，A=－6，B=0，C=-6，B2－AC=－36<0，且A<0,所以函数有极大值z(0,0)=0.在点（0，2）处，A=－6，B=0，C=6，B2－AC=36>0，所以(0,2)点不是极值点.在点（2，0）处，A=6，B=0，C=－6，B2－AC=36>0，所以(2,0)点不是极值点.在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B2－AC=－36<0，且A>0,所以函数有极小值z(2,2)=-8.(2)解方程组得驻点为.在点处,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函数有极小值.(3) 解方程组得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).Z xx=－2(4y-y2),Z xy=4(3－x)(2－y)Z yy=－2(6x－x2)在点（3，2）处，A=－8，B=0，C=－18，B2－AC=－8×18<0,且A<0，所以函数有极大值z(3,2)=36.在点（0，0）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(0,0)点不是极值点.在点（0，4）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(0,4)不是极值点.在点（6，0）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(6,0)不是极值点.在点（6，4）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(6,4)不是极值点.(4)解方程组得驻点P0(0,0),及P(x0,y0),其中x02+y02=1，在点P0处有z=0，而当（x,y）≠(0,0)时，恒有z>0，故函数z在点P0处取得极小值z=0.再讨论函数z=u e-u由，令得u=1,当u>1时，；当u<1时，,由此可知，在满足x02+y02=1的点（x0,y0）的邻域内，不论是x2+y2>1或x2+y2<1,均有.故函数z在点（x0,y0）取得极大值z=e-1(5)解方程组得驻点为z xx=-2y, z xy=a-2x-2y, z yy=-2x.故z的黑塞矩阵为于是易知H（P1）不定，故P1不是z的极值点，H（P2）当a<0时正定，故此时P2是z的极小值点，且,H（P2）当a>0时负定，故此时P2是z的极大值点，且.5. 设2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0，确定函数z=z(x,y)，研究其极值。

高等数学教材习题九章

高等数学教材习题九章第一章：导数与微分导数与微分是高等数学中重要的概念，也是解决各种数学问题的基础。

在本章中，我们将学习导数与微分的概念、性质以及应用。

1. 导数的定义在一元函数中，导数表示函数在某一点的变化率。

数学上，导数可以通过定义来描述。

设函数y=f(x)，如果极限$$\lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{f(x+\Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}}$$存在，则称函数f(x)在点x处可导，该极限值即为函数在点x处的导数，记作f'(x)或$\frac{{dy}}{{dx}}$。

2. 导数的性质导数具有一些重要的性质，如导数的四则运算法则、导数的链式法则等。

这些性质可以帮助我们进行导数的计算和应用。

3. 微分的概念微分，简单来说就是函数在某一点附近的线性近似。

在数学上，微分可以与导数相互转化。

设函数y=f(x)，若函数在点x处可导，那么在该点的微分即为$$dy = f'(x) \cdot dx$$第二章：定积分与不定积分积分是微分的逆运算，是高等数学中另一个重要的概念。

本章将介绍定积分与不定积分的概念、性质以及应用。

1. 定积分的定义对于一元函数f(x)，定积分可以看作函数在一个区间上的“总体积”。

数学上，定积分可以通过黎曼和或黎曼积分来定义。

设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将[a, b]等分为n份，每个子区间的长度为△x，选取一个代表点，记作$c_i$，则定积分的近似值可以表示为$$\sum_{{i=1}}^{n} f(c_i)\Delta x_i$$当$\Delta x \to 0$时，这个近似值的极限值称为函数f(x)在[a, b]上的黎曼积分，记作$\int_{{a}}^{{b}} f(x) dx$。

2. 定积分的性质定积分具有一些重要的性质，如定积分的线性性质、区间可加性等。

高等代数第九章单元测试

高等代数第九章单元测试高等代数第九章单元测试一、选择题1. 设A 是欧氏空间V 的正交变换，A 是A 在V 的一组标准基下的矩阵，则( ) A.±=A 1 B. A 的特征值是1 C. 秩)(A =±1 D. A 的迹是12. 设A 是n 维欧氏空间V 的对称变换，s λλλ,,,21 是A 的所有不同特征值，i V λ是A 的特征子空间，则 ( )A.∑=s 1i 维n V i <)(λ B.∑=s1i 维n V i =)(λ C.∑=s 1i 维n V i >)(λ D.∑=s 1i 维n V i ≠)(λ 3. 设A 是欧氏空间V 中的一组基n εεε,,,21 的度量矩阵，向量α与β在这组基下的坐标分别为),,,(n 21x x x X =,),,,(n 21y y y Y =,则( )A.AX Y /),(=βαB./),(XAY =βαC.X Y /),(=βαD./),(XY =βα 4. 设n 21εεε,,, 与n 21ηηη,,, 是欧氏空间V 的两组基，A 与B 分别是这两组基的度量矩阵，则A 与B 的关系是 ( )A.相似B.合同C.相等D.不等价5. ),(),,(2121b b a a ==βα是实数域上线性空间2R 中任意向量，如下定义的二元函数，使2R 作成欧氏空间的是 ( )A.1221b a b a +=),(βαB.221121b a 2a b a a )()(),(+++=βαC.2211b a b a -=),(βαD.1b a b a 2211++=),(βα6.如下定义的3R 的线性变换中是正交变换的为 ( )A.A ),,(),,(3221321x x x x x x x +=B. A ),,(),,(3321321x x x x x x x +=C. A ),,(),,(3221321x x x x x x x +=D.A ),,(),,(321321x x x x x x -= 1 7.若A ,B 是欧氏空间V 的对称变换，以下变换1．A+B 2. AB 3. A 2 4. AB +BA中对称变换的个数是 ( )A.1B.2C.3D.48.设A 是n 维欧氏空间的对称变换，则 ( )A. A 关于V 的任意基的矩阵是对称矩阵. B . A 关于V 的任意基的矩阵是对角矩阵.C. A 关于V 的任一组标准正交基的矩阵是对称矩阵. D. A 关于V 的任一组标准正交基的矩阵是对角矩阵二、判断题1．设V 是欧氏空间，V ∈≠α0,如果向量V ∈β满足0=),(αβ,则0=β. （）2．在n 维欧氏空间V 中，一组基1ε,2ε,…..,n ε的度量矩阵必定是正定矩阵. （）3．在R 3中，对于任意向量α=(a 1,2a ),β=(b 1,b 2),定义(βα,)=a 1b 2+a 2b 1，那么R 2对于定义的内积构成欧氏空间.（）4．在欧氏空间V 中，如果向量β与向量组1α,2α,…..,s α中的每一个正交，那么β与1α,2α,…..,s α的任意一个线性组合也正交. （）5．正交向量组是线性无关的. （）6．正交变换在一组基下的矩阵为正交矩阵. （）7．实对称矩阵都相似于对角形矩阵. （）8．定义R 3上线性变换σ:σ(x 1,x 2,x 3)=(x 3,x 2,x 1)，则σ是对称变换. （）三、计算题1．设A 是欧氏空间V 的线性变换，A 在V 的一组标准正交基321,,εεε下的矩阵为------=312132220A ,（1）求A 的特征值及相应的一组线性无关的特征向量.（2）求正交矩阵T ，使AT T 1-为对角矩阵.（3）写出V 的一组标准正交基，使A 在这组基下的矩阵为对角矩阵.2．求矩阵--θθθθco s sin 0sin co s0001在复数域上的特征值与特征向量（θ≠ k π）. 3.1α=(1, 1, 0, 1),2α=(-1, 0, 0, 1)是R 4的一组向量,V 1=L(1α,2α),求⊥1V 的一组基.四、证明题1．设R[x]3是次数小于3的多项式函数及零多项式构成的线性空间.验证:内积(f(x),g(x))=?-11)()(dx x g x f ,3][)(),(x R x g x f ∈?使得R[x]3成为一个欧氏空间.2．设欧氏空间V 中)0(,,≠γγβα线性相关且α与γ正交，β与γ正交，证明：α与β线性相关.3．两对称变换之积是对称变换的充要条件是它们的乘法可交换.4．设A 是反对称矩阵，那么A+E 可逆，且1))((-+-=A E A E U 是正交阵.。

高等数学(同济第七版)第九章课后答案

－．《高＂tt雪；＇）( ;r,乞履＞rm习IA全航44， ’ ’i，、、J·．，－一，rr－T令，，、－M－·．‘FEE－’‘．．．．l i··付守年，2－·’、fp····．，．．．、付’创刊令，－2、．四．，。

－H‘．，．JA、。

当”、句，‘－、，．-.----－号ri咱也k fi'l企：，i(r'J ;(,) f尔1’在.i!Iii i ra、2所l'..t全微分r.. l.主R F列的数的全做分：l I ) ：二X)... ...:.. ; (2):=··-:14)u＝‘.， .( 3): sτ兰＝＝：、f叶’.，.I·．·、－= .,ii: ”l' .‘Ez－－－虫”·飞”( I ) I晏为t;_＝（，－干）‘1曹寸、－于）r1r.ii·i i·dz =ι二，I x+ , _ •h，，店，问向f t:l曾il=,l: \－二－.....,..,.h’，：1 2 l I崎＇）.J...＋二二，I‘冉、,1: d‘。

‘1’fr l'..lt、，I‘．“i,)dε =－飞、··．．．．( l、牛＋‘.｝‘ii:_ -J '们飞！－+\1、厅可丁2( 3 > I叫11• , Iv飞＋，－－，－－咱自－－－，电·、，、句’‘‘. t I－－,l:,l 1、·＂l1．．t．．1．．．－F‘｛’. .,..,.,1: ·＝、·,1‘φ. • ,I,A‘.11．，MFa，．’｝iuyt吁《－Itl48 一、o，�舷学’｛第七版）"F筋习忍金’E8ε27.6 一二一一－二I.JO 号i S 2 127. 8 !:, · 12.钊JU 1: l校纷iaF I乎）：内政之佣的地（，j i克i:丁j宫。

高等数学(经济类)课后习题及答案第九章多元函数微分

习题9-1（A ）1．求下列各函数的表达式：（1）设函数22),(y x y x f -=，求(,)f y x --，),(x x f -．解：(,)f y x --22)()(x y -+-=22x y -=，0)(),(22=--=-x x x x f ．（2）设函数)1(3-+=x f y z ，已知1=y 时，x z =，求)(x f 及z 的表达式．解：由1=y 时，x z =，有)1(13-+=x f x ，即，所以1)1()(3-+=x x f ；而1)1(3-+=-+=x y x f y z ．（3）设函数y y x y x f +-=1)1(),(2，求),(xy y x f +．解：2222))(()()(/1)/1()(),(y x y x y x yx y x y x x y x y y x x y y x f -=-+=+-+=+-+=+．（4）设函数xy y x y x f =+-),(，求),(y x f 的表达式．解：（方法1）因为4)()(4)2(244),(222222y x y x y xy x y xy x xy y x y x f --+=+--++==+-，所以),(y x f 422x y -=．（方法2）令v y x u y x =+=-、，则22uv y v u x -=+=、，于是 422),()(22u v u v u v xy y x y x f v u f -=-+==+-=，，所以),(y x f 422x y -=．2．求下列各函数的定义域，并作定义域草图：（1）)ln(x y z -=；（2）221arcsin xy y z -+=；（3）221arcsin yx x x y z --+=；（4）41)16ln(2222-++--=y x y x z ．1]1)1[(1)1(333-+-=-=-x x x f解：（1）由0>-x y 且0≥x ，得定义域}0,),{(≥>=x x y y x D ．（2）由022>-x y 及1≤y ，有1≤<y x ，得定义域}1),{(≤<=y x y x D ．（3）由0100122>--≥≠≤y x x x xy、、、，有0122>≤<+x x y y x 、、，得定义域}0,,1),{(22≠≤<+=x x y y x y x D ．（4）由040162222≥-+>--y x y x 、，有16422<+≤y x ，或4222<+≤y x ，得定义域}42),{(22<+≤=y x y x D ．3．求下列极限：（1）(,)(1,1)2lim2x y x yx y →-+；（2）xxy a y x sin lim ),0(),(→；（3）22)0,0(),(1sinlim y x x y x +→；（4）2)1,0(),(2tan limxy xyy x →；（5）22(,)(1,1)sin()lim x y x y x y →--；（6）231lim )1,1(),(-+-→xy xy y x .解：（1）(,)(1,1)2121lim2213x y x y x y →--==-++．（2）(,)(0,)(,)(0,)sin limlim x y a x y a xy xya x x →→==．（3）因为221sinyx +有界，而0lim )0,0(),(=→x y x ，所以=+→22)0,0(),(1sinlim yx x y x 0．（4）2111211lim tan lim 212tan lim)1,0(),()1,0(),(2)1,0(),(=⨯⨯==→→→y xy xy xy xy y x y x y x ．（5）222222(,)(1,1)(,)(1,1)sin()()sin()limlim 21 2.x y x y x y x y x y x y x y →→-+-==⨯=-- （6）=++=-++-=-+-→→→)23(lim 1)23)(1(lim231lim)1,1(),()1,1(),()1,1(),(xy xy xy xy xy xy y x y x y x 4．4．证明下列极限不存在：（1）(,)(0,0)lim x y x yx y →-+；（2）242)0,0(),(lim y x y x y x +→．证明：（1）沿)1(-≠=k kx y 取极限，则k kkx x kx x y x y x x x kx y +-=+-=+-→→=11lim lim00，当k 取不同值时，该极限值不同，所以极限(,)(0,0)limx y x yx y →-+不存在．（2）沿0=y 取极限，00lim lim 024200==+→→=x x y y x yx ；沿2x y =取极限，212lim lim 44024202==+→→=x x y x y x x x x y ．由于2420242002lim lim y x y x y x y x x x y x y +≠+→=→=，所以极限242)0,0(),(lim y x yx y x +→不存在．习题9-1（B ）1．某厂家生产的一种产品在甲、乙两个市场销售，销售价格分别为y x 、（单位：元），两个市场的销售量21Q Q 、各自是销售价格的均匀递减函数，当售价为10元时，销售量分别为2400、850件，当售价为12元时，销售量分别为2000、700件．如果生产该产品的成本函数是(2012000+=C )21Q Q +，试用y x 、表示该厂生产此产品的利润L ．解：根据已知，设y a b Q x a b Q 222111-=-=、，由10=x 时，24001=Q ；12=x 时，20001=Q ，有⎩⎨⎧=-=-，，2000122400101111a b a b 得、2001=a44001=b ，于是x Q 20044001-=．由10=y 时，8502=Q ；12=y 时，7002=Q ，有⎩⎨⎧=-=-，，70012850102222a b a b 得、752=a16002=b ，于是y Q 7516002-=．两个市场销售该产品的收入为22217516002004400y y x x yQ xQ R -+-=+=，该产品的成本(2012000+=C y x Q Q 15003200040008800012000)21-+-+=+y x 15004000132000--=．根据利润等于收入减去成本，得)15004000132000(751600200440022y x y y x x L ----+-= 132000752003100840022---+=y x y x ．2．求下列极限：（1）y y x xy )11(lim ),2(),(++∞→；（2）22)0,0(),(1e lim 22yx y x y x +-+→；（3）4422),(),(lim y x y x y x ++∞∞→；（4）(,)lim x y →解：（1）==+=++∞→+∞→211),2(),(),2(),(e ])11[(lim )11(lim x xy y x y y x xyxy e ．（2）法1：令t y x =+22，则当)00()(，，→y x 时，+→0t ，所以 =-=+-+→+→t y x t t y x y x 1e lim 1e lim 022)0,0(),(221．法2：因为)00()(，，→y x 时，1e 22-+y x 与22y x +是等价无穷小，所以1lim 1e lim 2222)0,0(),(22)0,0(),(22=++=+-→+→y x y x y x y x y x y x ．（3）因为224424424422110yx y x y y x x y x y x +≤+++=++≤，而00lim ),(),(=∞∞→y x ， 0)11(lim 22),(),(=+∞∞→y x y x ，根据“夹逼准则”得0lim 4422),(),(=++∞∞→yx y x y x ．（4）令θρθρsin cos ==y x 、，则当)00()(，，→y x 时，0→ρ（其中θ在区间)20[π，内任意变化），所以==+<≤→→θθρπθρsin cos lim lim20022)0,0(),(yx xy y x 0．3．证明极限22222)0,0(),()(lim x y y x y x y x -+→不存在．证明：沿0=y 取极限，00lim )(lim 202222200==-+→→=x x y y x y x x x y ；沿x y =取极限，11lim )(lim 0222220==-+→→=x x x y x y y x y x ．因此，极限22222)0,0(),()(lim x y y x y x y x -+→不存在．4．讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0002)(222222y x y x yx xy y x f ，，，，在点），（00处的连续性．解：沿x y =取极限，由)00(11lim 2lim)(lim 0220，，f yx xyy x f x x x y x x y ≠==+=→→=→=，有 )00()(lim )0,0(),(，，f y x f y x ≠→，所以函数)(y x f ，在点），（00处不连续．习题9-2（A ）1. 求下列函数的偏导数：（1）2z xy =；（2）2cos sin()z xy x y =++；（3）z = （4）2ln(ln )z x y =+；（5）yz x=（0>x ）；（6）z = （7）22y x xyz +=；（8）arctanx yz x y+=-；（9）yx z u =；（10）zy x u )tan(22-=．解：（1）2z y x ∂=+∂2z xy y ∂=∂．（2）2sin cos cos()sin 2cos()zxy xy y x y y xy x y x∂=-⋅++=-++∂， 2sin cos cos()sin 2cos()zxy xy x x y x xy x y y∂=-⋅++=-++∂．（3）12z x x y ∂==∂+ 122z y x y ∂=⋅=∂+．（4）22122ln ln z x x x x y x y ∂=⋅=∂++，22111ln (ln )z y y x y y x y ∂=⋅=∂++．（5）x yxy xyx y xy x y xy x y xy y x z sin cos 21)(sin cos 2332+=-⋅-=∂∂， xyx y x yy x x x y xy x y xy x y z sin cos 211sin cos 2-=⋅-=∂∂．（6）)1(212)1(11xy xy yxy y xy x z --=--⋅--=∂∂，)1(212)1(11xy xy x xy x xy y z --=--⋅--=∂∂．（7）2/3223222222)(y x y y x y x x xy y x y xz+=++⋅-+=∂∂，由变量y x 、的对称性，得2/3223)(y x x y z +==∂∂．（8）222211()1()()1()z x y x y yx y x x y x yx y∂⋅--⋅+-==+∂-++-， ()22221()1()1()1()x y x y z xx y y x y x y x y⋅---⋅+∂==+∂-++-．（9）z z yy z z x u y x y x ln 11ln =⋅=∂∂，z z y x y x z z y u y xy x ln )(ln 22-=-⋅=∂∂， yyx y xz yxz y x z u --==∂∂1．（10）zy x x z x y x x u )(sec 22)(sec 222222-=⋅-=∂∂， z y x y z y y x y u )(sec 2)2()(sec 222222--=-⋅-=∂∂，222)tan(z y x z u --=∂∂． 2. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=1,2122x y x z 在点)3,1,1(M 处的切线与x 轴正向的夹角．解：z x ∂=∂，111112x x y y z x ====∂==∂，用α表示曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=1,2122x y x z 在点)3,1,1(M 处的切线与y 轴正向的夹角，则21tan =α，所以432621arctan '≈=α． 3. 设xy x y x z xsec)1(e 2-++=，求)0,1(x z 及)0,1(y z ．解：因为1e )0(-+=x x z x ，，所以=11d (1,0)(e 1)(e 1)d xx x x x z x x-=+-=+=e 1+，因为e )1(+=y y z ，，所以1)e (d d)0,1(0=+==y y y yz ．4. 求下列函数的高阶导数：（1）设13323+--=xy xy y x z ，求22223223,,,,z z z z zy x x y x y x∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂.解：xz ∂∂ ,33322y y y x --= y z ∂∂ ;9223x xy y x --=22x z ∂∂ ,62xy = 33xz ∂∂ ,62y = 22y z ∂∂ ;1823xy x -= y x z ∂∂∂2 ,19622--=y y x xy z ∂∂∂2 .19622--=y y x （2）设xy x z ln =，求22x z ∂∂，22y z ∂∂和23yx z ∂∂∂；解：1ln ln +=⋅+=∂∂xy xy y x xy x z ，yxxy x x y z =⋅=∂∂， x xy y x z 122==∂∂，222y x y z -=∂∂，y xy x y x z 12==∂∂∂，2231yy x z -=∂∂∂． 5. 验证：（1）设函数x yz u arctan =，证明0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u ．证：因为2222)()/(1y x yzx y x y z x u +-=-⋅+=∂∂，22222)(y x xyz x u +=∂∂， 2221)/(1y x xzx x y z y u +=⋅+=∂∂，22222)(y x xyz y u +-=∂∂，x y z u arctan =∂∂，022=∂∂zu，所以，00)()(222222222222=++-+=∂∂+∂∂+∂∂y x xyzy x xyz z u y u x u ．（2）设y x z =)1,0(≠>x x ，求证z yzx x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂.证明：=∂∂xz ,1-y yx =∂∂y z ,ln x x yy z x x z y x ∂∂+∂∂ln 1 x x xyx y x yy ln ln 11+=-y y x x += .2z =原结论成立．习题9-2（B ）1．设一种商品的需求量Q 是其价格1p 及某相关商品价格2p 的函数，如果该函数存在偏导数，称Q p p Q E 111∂∂-=为需求对价格1p 的弹性、Qp p Q E 222∂∂-=为需求对价格2p 的交叉弹性．如果某种数码相机的销售量Q 与其价格1p 及彩色喷墨打印机的价格2p 有关，为 222110250120p p p Q --+=，当501=p ，52=p 时，求需求对价格1p 的弹性、需求对价格2p 的交叉弹性．解：由211250p p Q -=∂∂，22210p p Q--=∂∂，有1111250Qp Q p p Q E =∂∂-=，Qp p Q p p Q E 222222210+=∂∂-=，当501=p ，52=p 时，50255050250120=--+=Q 需求对价格1p 的弹性：1.0250505015501121======Q p p p Qp E 、、，需求对价格2p 的交叉弹性：=+=====5052225502221210Q p p p Qp p E 、、2．2. 设22arcsiny x x z +=，求x z ∂∂，yz ∂∂.解： =∂∂xz '⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-xy x x y x x 2222211322222)(||y x y y y x +⋅+=.||22y x y += =∂∂yz'⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-yy x x y x x 2222211=y y x x 1sgn 22+-=. 3. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=，，，，，x y x y y x yx y x f 0)(证明在)00(，点处),(y x f 的两个偏导数都不存在．证：因为极限x xf x f x x ∆=∆-∆→∆→∆1lim )00()0(lim00，，不存在，极限yf y f y ∆-∆→∆)00()0(lim0，，xx ∆-=→∆1lim0不存在，所以在)00(，点处),(y x f 的两个偏导数都不存在． 4. 设y x yx z -+=arctan ，求22x z ∂∂，22y z ∂∂和y x z ∂∂∂2．解：2222)()()()(11y x yy x y x y x y x y x xz+-=-+---++=∂∂，22222)(2y x xy x z +=∂∂， 2222)()()()(11y x xy x y x y x yx y x yz +=-++--++=∂∂，22222)(2y x xy y z +-=∂∂， 22222222222(2)()()z x y y y y x x y x y x y ∂+--=-=∂∂++．5. 设函数222ln z y x u ++=，证明2222222221z y x z u y u x u ++=∂∂+∂∂+∂∂．证明：将函数改写为)ln(21222z y x u ++=，则 222z y x xx u ++=∂∂，2222222222222222)()(2z y x x z y z y x x x z y x x u ++-+=++⋅-++=∂∂，由变量的对称性，有222222222)(z y x y z x y u ++-+=∂∂，222222222)(z y x z y x z u ++-+=∂∂，所以2222222222222222222)()()()(z y x z y x y z x x z y z u y u x u ++-++-++-+=∂∂+∂∂+∂∂ 22222222221)(zy x z y x z y x ++=++++=．习题9-3（A ）1．求下列函数的全微分：（1）1sin()z x y=+；（2）22z x y =+；（3）xyz e =；（4）yxz tanln =；（5）22y x z u +=；（6）ln(32)u x y z =-+.解：（1）因为1cos()z x x y ∂=+∂，221111cos()()cos()z x x y y y y y ∂=+⋅-=-+∂，所以2211111d cos()d cos()d cos()(d d )z x x x y x x y y y y y y=+-+=+⋅-．（2）因为2z xyx ∂=+∂，2z x y ∂=+∂22(dz xydx x dy =++．（3）因为x yx yx z e 2-=∂∂，x yxy z e 1=∂∂，所以 )d d (e 1d e 1d e d 22x y y x xy x x x y z x yx yx y-=+-=．（4）因为2122cot sec cs c z x x x x y y y y y ∂=⋅=∂，22222cot sec ()csc z x x x x x y y y y y y ∂=⋅-=-∂，所以)d d (2csc 2d 2csc 2d 2csc 2d 22y x x y y xyy y x y x x y x y z -⋅=-=（5）因为z xz x u y x ln 222+=∂∂，z yz y u y x ln 222+=∂∂，12222)(-++=∂∂y x z y x zu ，所以z z y x y z yz x z xz u y xy xy xd )(d ln 2d ln 2d 122222222-+++++⋅+⋅=]d )d d (ln 2[2222z zy x y y x x z zy x +++⋅=+．（6）因为132u x x y z ∂=∂-+，332u y x y z ∂-=∂-+，232u z x y z∂=∂-+，所以 d 3d 2d d 3d 2d d 32323232x y z x y zu x y z x y z x y z x y z--+=++=-+-+-+-+．2.求函数zxyu )(=在点)1,2,1(-处的全微分．解:).ln()( ,1)( ),()(121x y x y y u x x y z y u xy x y z x u z z z ⋅=∂∂⋅=∂∂-⋅=∂∂-- 在点)1,2,1(-处，分别有.2ln 21,41 ,21)1,2,1()1,2,1()1,2,1(=∂∂-=∂∂=∂∂---zuyu xu因此，我们有.2ln 21d 41 21dz y dx dz +-=3.求函数)41ln(22y x z -+=当1=x ，2=y 时的全微分．解因为22418y x x x z -+=∂∂，22412y x yy z -+-=∂∂，821=∂∂==y x xz ，421-=∂∂==y x yz ，所以y x z d 4d 8d )2,1(-=，4.求函数xy e z =在点()2,1处当2.0,1.0=∆=∆y x 时的全微分．解由于,2,,,212212e yz e xz xe y z ye x z y x y x xy xy =∂∂=∂∂=∂∂=∂∂====所以，当2.0,1.0=∆=∆y x 时，函数xye z =在点（2，1）处的全微分为.5.02.021.0222e e e dz =⋅+⋅=习题9-3（B ）1. 计算()2.021.04的近似值．解：设函数(,)yz f x y x ==．显然，要计算的值是函数在 1.04, 2.02x y ==时的函数值()1.04,2.02.f取1,2,0.04,0.02.x y x y ==∆=∆=因为 ,),(1-=y x yx y x f ,ln ),(x x y x f y y =(1,2)1,f =(1,2)2,x f =(1,2)0,y f =所以由公式得 2.02(1.04)120.0400.02 1.08≈+⨯+⨯=． 2．计算3397.102.1+的近似值．解：考虑函数33y x z +=，取03.002.02100-=∆=∆==y x y x 、、、，而33223yx x z x +='，33223yx y z y +='，3)21(=，z 、2/1)21(='，x z 、2)21(='，y z ，则)(97.102.10033y y x x z ∆+∆+=+，y y x z x y x z y x z y x ∆'+∆'+≈)()()(000000，，，95.206.001.03)03.0(202.05.03=-+=-⨯+⨯+=．3. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,),(2222222y x y x y x y x y x f 在点)0,0(O 点处讨论偏导数的存在性、偏导数的连续性以及函数),(y x f 的可微性．解：因为00lim )00()0(lim==∆-∆→∆→∆x x xf x f ，，，00lim )00()0(lim==∆-∆→∆→∆x y yf y f ，，，所以在)0,0(O 点处函数)(y x f ，的两个偏导数都存在，且0)10(0)00(==，、，y x f f ．再讨论可微性，函数在)0,0(O 处的全增量用z ∆表示，则222)()()()00()00(y x yx z y f x f z y x ∆+∆∆⋅∆=∆=∆-∆-∆，，，记22)()(y x ∆+∆=ρ，则2/3222)0,0(),(0])()[()(lim )00()00(limy x yx yf x f z y x y x ∆+∆∆∆=∆-∆-∆→∆∆→ρρ，，不存在（沿0=∆x 取极限，其值为0；沿x y ∆=∆取极限，其值为22/1），所以函数)(y x f ，在)0,0(O 点处不可微．进而得偏导（函）数在)0,0(O 点处不连续（若偏导（函）数在)0,0(O 点处连续，根据可微的充分条件，则函数在点)0,0(O 可微，与函数不可微矛盾）．习题9-4（A ）1.求下列函数的全导数：（1）设函数 32,sin ,t v t u ez vu ===-，求dtdz ；（2）设函数t uv z sin +=，而t e u =，t v cos =，求全导数dtdz ；（3）设函数y x z cos 2=而)(x y y =是x 的可微函数，求xzd d ．解：（1）dtdv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂==)6(cos 3)2(cos 22sin 2223t t e t e t e t t v u vu -=⋅-+---. （2）tzdt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=t t u ve t cos sin +-= t t e t e t t cos sin cos +-=.cos )sin (cos t t t e t+-= （3）=⋅-=∂∂+∂∂=xy y x y x x y y z x z x z d d sin cos 2d d d d 222cos sin ().x y x y y x '-⋅ 2.求下列函数的一阶偏导数：（1）设函数v uz e =，而y x u +=，y x v -=，求x z ∂∂和yz∂∂；（2）设函数122)(++=xy y x z ，求x z ∂∂和yz ∂∂．解：（1）1e 1e 12⋅-⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂v uv uvu v x v v z x u u z x z =-=v uv u v e 2yx yx y x y -+--e )(22， 21e 1e (1)u uv vz z u z v u y u y v y vv ∂∂∂∂∂=+=⋅-⋅-∂∂∂∂∂2+e u v v u v ==22e ()x yx y x x y +--，（2）这是幂指函数求导，为方便求导，将它写作复合函数，为此令122+=+=xy v y x u 、，则vu z ==⋅+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-y u u x vu xv v z x u u z x z v v ln 21)]ln()1(2[)(2222122y x y y x xy x y x xy ++++++，=⋅+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-x u u y vu y v v z y u u z y z v v ln 21)]ln()1(2[)(2222122y x x yx xy y y x xy ++++++． 3. 求下列函数的一阶偏导数（其中函数f 具有一阶连续的偏导数或导数）：（1）(e )xyx z f y=，；（2）)(22y x xy f z -=，；（3）)(22y x xf z +=；（4）(,,)u f x xy xyz =．解：（1）121e xy z f f y x y ∂''=⋅+⋅=∂121e xyf y f y''+， 122()e xy z x f f x y y ∂''=⋅-+⋅=∂122e xy xf x f y''-+．（2）212122f x f y x f y f xz '+'=⋅'+⋅'=∂∂，21212)2(f y f x y f x f y z'-'=-⋅'+⋅'=∂∂．（3）=+⋅'+=∂∂2222yx xf x f x z f y x x f '++222，12y z xf y ⨯∂'==∂f yx xy '+22．（4）1231231uf f y f yz f yf yzf x∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂， 123230uf f x f xz xf xzf y∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂， 123300uf f f xy xyf z∂''''=⋅+⋅+⋅=∂． 4. 设函数)(22y x f y z -=，其中)(u f 是可微函数，证明211y zy z y x z x =∂∂+∂∂．证：因为)()(22)()(2222222222y x f y x f xy x y x f y x f y x z --'-=⋅--'-=∂∂， )()(2)(1)()2()()(222222222222222y x f y x f y y x f y x f y y x f y y x f y z --'+-=--⋅-'--=∂∂，所以222222222222112()12().()()()z z yf x y yf x y x x y y f x y yf x y f x y ''∂∂--+=-++∂∂---2222)(yzy x f y y =-=． 5.设函数)(x y xyf z =，其中)(u f 是可微函数，证明z yz y x z x2=∂∂+∂∂．证：因为)()()()()(22x yf x y x y yf xy x y f xy x y yf x z '-=-⋅'+=∂∂，)()(1)()(xyf y x y xf x x y f xy x y xf y z '+=⋅'+=∂∂，所以 z xy xyf x y f y x y xyf x y f y x y xyf y z y x z x2)(2)()()()(22=='++'-=∂∂+∂∂． 6.利用全微分形式的不变性求函数)cos(222z y x eu zy +++=+ 的全微分．解令=+=w z y v ,222z y x ++，由一阶全微分形式的不变性，我们有dw w dv e dw wudv v u du v )sin (-+=∂∂+∂∂=，注意到w v ,又都是z y x ,,的函数，并且,v vdv dy dz dy dz y z∂∂=+=+∂∂ 222.w w w dw dx dy dz xdx ydy zdz x y z∂∂∂=++=++∂∂∂ 将它们带入上式，得.)]sin(2[ )]sin(2[)sin(2 )(2)sin()( )sin (222222222222dz z y x z e dyz y x y edx z y x x zdz ydy xdx z y x dz dy e dww dv e du z y zy z y v ++-+++-+++-=++⋅++-+=-+=+++习题9-4（B ）1.求下列函数的二阶偏导数（其中函数f 具有二阶连续偏导数）：（1）),(y x xy f z +=；（2）)(22y x x f z +=，；解：（1）21f f y xz '+'=∂∂，21f f x y z'+'=∂∂，221211222211211222)()(f f y f y f f y f f y y xz ''+''+''=''+''+''+''=∂∂， 221211222211211222)()(f f x f x f f x f f x x yz''+''+''=''+''+''+''=∂∂， 221211122211211122)()()(f f y x f xy f f f x f f x y f xy zy x z ''+''++''+'=''+''+''+''+'=∂∂∂=∂∂∂．（2）212f x f xz '+'=∂∂，221220f y f y f y z'='+⋅'=∂∂，2221211222212121122442)2(22)2(f x f x f f f x f x f f x f xz''+''+''+'=''+''+'+''+''=∂∂， 2222222122242)20(22f y f f y f y f yz''+'=''+⋅''+'=∂∂， 221222212242)2(2f xy f y f x f y xy zy x z ''+''=''+''=∂∂∂=∂∂∂． 2. 设函数)(3x yxy f x z ，=，其中函数)(v u f ，有二阶连续偏导数，求yx z y z y z ∂∂∂∂∂∂∂222、、．解：2214213)1(f x f x f xf x x y z '+'='+'=∂∂， 24253111221*********11()()2z x xf f x xf f x f x f xf y x x∂''''''''''''''=+++=++∂， )(2)(422221221221141322f x yf y x f x f x y f y x f x x y z y x z ''-''+'+''-''+'=∂∂∂=∂∂∂ 2211421324f y f y x f x f x ''-''+'+'=． 3.设),(y x f z =有连续的一阶偏导数，且θθsin ,cos r y r x ==.求θ∂∂∂∂zr z ,，并证明 .)()()(1)(22222y z x z z r r z ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂θ解由链式法则，得cos sin ,sin cos .z z x z y z z r x r y r x yz z x z y z z r r x y x yθθθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=-⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂于是有222)(1)(θ∂∂+∂∂z r r z 222)cos sin (1)sin (cos y zr x z r r y z x z ∂∂⋅+∂∂⋅-+∂∂⋅+∂∂⋅=θθθθ.)()(22yz x z ∂∂+∂∂=习题9-5（A ）1.若函数)(x y y =分别由下列方程确定，分别求xy d d ：（1）1cos y x y =+；（2）yx y e 2+=；（3）xyy x arctan ln22=+；解（1）法1：设()1cos F x y y x y =--，，则cos 1sin x y F y F x y =-=+、，所以d cos .d 1sin x y F y y x F x y=-=+ 法2：方程1cos y x y =+两边同时对x 求导，有d d cos sin d d y yy x y x x=-，解得d cos d 1sin y yx x y=+．（2）方程yx y e 2+=两边同时对x 求导，有xy x y yy d d e 1d d 2+=，解得yy x y e 21d d -=．（3）令()221(,)arctanln arctan ,2y yF x y x y x x==+- 则 ,),(22y x y x y x F x ++=,),(22yx xy y x F y +-= y x F F dx dy -= .xy yx -+-= 2. 设()y y x =由方程 1yy xe =+所确定的隐函数，求 202.x d ydx=解令 (.)1; 1yyy dy e F x y xe y dx xe =+-=--，当0x =时01y =+，此时x dy e dx==，所以222(1)()(1)yy y y y y dy dy e xe e e xe d ydx dx dx xe --+=--，222022(01)(0)2(01)x d y e e e e dx =--+=-=-. 3.设函数y x z =，而函数)(x y y =由方程yy x e +=确定，求全导数xz d d ．解：方程yy x e +=两边同时对x 求导，有x y x y y d d e d d 1+=，得yx y e 11d d +=， =+=∂∂+∂∂=-x y x x yx x y y z x z x z yy d d ln d d d d 1y y y x x yx e1ln 1++-． 4. 若函数),(y x z z =分别由下列方程确定，求x z ∂∂及yz∂∂．（1）21z y xz -=；（2）xyz z y x 2222=-+；（3）22)sin(xyz xyz =；（4）yz z x ln =．解：（1）法1：设1)(2--=xz y z z y x F ，，，则x yz F z F z F z y x -==-=22、、，所以xyz z F F y z x yz z F F x z z y z x --=-=∂∂-=-=∂∂222，．法2：方程21z y xz -=两边对x 求导，有20z zyzz x x x∂∂--=∂∂，得x yz z x z -=∂∂2，方程21z y xz -=两边对y 求导，有022=∂∂-+∂∂y z x z y z yz ，得xyz z y z --=∂∂22．（以下都按方法2作）（2）方程xyz z y x 2222=-+两边同时对x 求导，有xzxy yz x z zx ∂∂+=∂∂-2222，得 xyz yzx x z +-=∂∂，方程xyz z y x 2222=-+两边同时对y 求导，有yzxy xz y z zy ∂∂+=∂∂-2222，得 xy z xz y y z +-=∂∂（或由变量y x 、的对称性，得xyz xzy y z +-=∂∂）．（3）方程22)sin(xyz xyz =两边对x 求导，有xz xyz yz x z xyz yz xyz ∂∂+=∂∂+⋅2)2()cos(222，即0)2](1)[cos(22=∂∂+-x z xyzyz xyz ，而01)cos(2≠-xyz ，所以022=∂∂+xzxyz yz ，得x z xyz yz x z 222-=-=∂∂，由变量y x 、对称性有yzy z 2-=∂∂．（4）方程yzz x ln =改写为)ln (ln y z z x -=，方程)ln (ln y z z x -=两边对x 求导，有x zz x x z z z y z x z ∂∂+=∂∂+∂∂=)1(1ln 1，得zx z x z +=∂∂，方程)ln (ln y z z x -=两边对y 求导，有)11(ln 0y y z z z y z y z -∂∂+∂∂=，得)(2z x y z y z +=∂∂． 5.设04222=-++z z y x ，求22xz∂∂.解：令,4),,(222z z y x z y x F -++=则 ,2x F x = ,42-=z F z,2zx F F x z z x -=-=∂∂222(2)(2)z z xz x x z ∂-+∂∂=∂- 2)2(2)2(z z xx z --⋅+-=.)2()2(322z x z -+-=6.若函数),(z y x x =，),(z x y y =，),(y x z z =都是由方程0),,(=z y x F 确定的隐函数，其中),,(z y x F 有一阶连续非零的偏导数，证明1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xzz y y x ．证：因为zx y z x y F F x zF F z y F F y x -=∂∂-=∂∂-=∂∂、、，所以1)()()(-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x z z y y x ． 7.若z 是,x y 的函数，并由 222()zx y z yf y ++=确定，求,z z x y∂∂∂∂.解：令 222(,,)()z F x y z x y z yf y =++-22()+()12()2()x y z F x z z zF y f f y y y z zF z yf z f y y y='=-''=-=-，，，因此，2212()()2x zF z x x z z x F z yf f zy y y∂=-=-=∂''-⋅-，2()()()2()().1()()2y zz z z z z zy f yf y f f F z y y y y y y z z y F z yf f zy y y ''----+∂=-=-=∂''-22-习题9-5（B ）1.设函数xyz u e =，而函数)(x y y =、)(x z z =分别由方程xyy e =及z xz e =确定，求全导数xud d ．解：方程xyy e =两边同时对x 求导，有)d d ()d d (e d d xy x y y x y x y x y xy+=+=，得xy y x y -=1d d 2，方程z xz e =两边同时对x 求导，有x z xz x z x z xz z d d d d e d d ==+，得xxz zx z -=d d ，所以 xxz z xy xy y xz yz x z z u x y y u x u x u xyz xyzxyz -+-+=∂∂+∂∂+∂∂=e 1e e d d d d d d 2 )11(e2-+-+=z yzxy z xy yz xyz．2．设函数32yz x u =，而),(y x z z =由方程xyz z y x 3222=++确定，求)1,1,1(xu ∂∂．解：方程xyz z y x 3222=++两边同时对x 求导，有)(322xzxy yz x z zx ∂∂+=∂∂+，用1=x 、11==z y 、代入，有 (1,1,1)(1,1,1)223(1)zz xx∂∂+=+∂∂，得1)1,1,1(-=∂∂xz ．于是x z yz x xyz x u ∂∂+=∂∂22232，所以13232)1,1,1()1,1,1(-=-=∂∂+=∂∂xzxu ．3．设),(xyz z y x f z ++=，求x z ∂∂，y x ∂∂，zy ∂∂. 解：令,z y x u ++= ,xyz v = 则 ),,(v u f z = 把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得xz∂∂ )1(x z f u ∂∂+⋅= ),(x z xy yz f v ∂∂+⋅+整理得xz ∂∂ ,1v u vu xyf f yzf f --+=把x 看成y z ,的函数对y 求偏导数得)1(0+∂∂⋅=yx f u ),(y xyz xz f v ∂∂+⋅+整理得yx ∂∂ ,v u vuyzf f xzf f ++-= 把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得)1(1+∂∂⋅=z y f u ),(zyxz xy f v ∂∂+⋅+ 整理得zy ∂∂ .1v u vu xzf f xyf f +--=4.若函数),(y x z z =由方程133=-xyz z 确定，求yx z∂∂∂2．解：方程133=-xyz z 两边对x 求导，有0)(332=∂∂+-∂∂xz xy yz x z z，得xy z yz x z -=∂∂2，由变量y x 、的对称性，得xyz xzy z -=∂∂2．法１：等式0)(2=∂∂+-∂∂xzxy yz x z z两边同时对y 求导，有 0)(2222=∂∂∂+∂∂+∂∂+-∂∂∂+∂∂∂∂yx z xy x z x y z y z y x z z x z y z z，即2222242222222)()2()(2)(xy z y x xyz z z xy z xyz z xy z yz x xy z xz y z y x z xy z ---=---+-+=∂∂∂- 所以=∂∂∂y x z 2322224)()2(xy z y x xyz z z ---．法２：)(22xyz yz y y x z -∂∂=∂∂∂ 322224222)()2()()2())((xy z y x xyz z z xy z x yz z yz xy z y z y z ---=--∂∂--∂∂+=．5.设 (,)F u v 具有连续的偏导数，方程 [(),()]0F a x z b y z --=（其中,a b 是非零常数）确定z 是,x y 的隐函数，且0aFu bFv +≠，求z zx y∂∂+∂∂. 解：令 (),()u a x z v b y z =-=-因此,x u u z u v u vF aF aF zx F aF bF aF bF ∂=-=-=∂--+y v v z u v u vF bF bF zy F aF bF aF bF ∂=-=-=∂--+，1u v u v u vaF bF z z x y aF bF aF bF ∂∂+=+=∂∂++. 6. 求由下列方程组所确定函数的导数或偏导数：（1）⎩⎨⎧=++=++，，41222z y x z y x 求x y d d 和xzd d ．（2）⎩⎨⎧-=+=，，v u y v u x uu cos e sin e 求x v y u x u ∂∂∂∂∂∂、、及y v∂∂．解：（1）方程组⎩⎨⎧=++=++41222z y x z y x ，两边同时对x 求导，有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++，，0d d 2d d 220d d d d 1x z z x y y x x zx y 消去xz d d ，有0)d d 1(d d =+-+x y z x y y x ，得z y x z x y --=d d ，而z y yx x y x z --=--=d d 1d d ．（2）方程组⎩⎨⎧-=+=vu y v u x uu cos e sin e ，两边同时对x 求导，有⎪⎩⎪⎨⎧∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=)2(.sin cos e 0)1(cos sin e 1x vv u v x u x u x v v u v x u x u u u ，（1）sin v ⨯-（2）cos v ⨯，有xux u v v v u∂∂+∂∂-=)cos (sin e sin ，得)cos (sin e 1sin v v vx u u -+=∂∂，再代入到（2）之中得)]cos (sin e 1[e cos v v u v x v uu -+-=∂∂．方程组⎩⎨⎧-=+=v u y v u x u u cos e sin e ，两边同时对y 求导，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=.sin cos e 1cos sin e 0y vv u v y u y u y v v u v y u y u u u ，与前面解法类似，得)cos (sin e 1cos v v vy u u -+-=∂∂，)]cos (sin e 1[e in v v u v s y v u u -++=∂∂．习题9-6（A ）1.求下列函数的极值：（1）222),(y x x y x f --=；（2）x y x y x y x f 936),(2233+++-=；（3）)2(e ),(2y y x y x f x++=；（4）2/322)(1),(y x y x f +-=．解：（1）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎩⎨⎧=-==-=，，，，02)(022)(y y x f x y x f y x 得唯一驻点)01(，．2)01(0)01(02)01(-====<-==，、，、，yy xy xx f C f B f A ，042>=-B AC ，根据二元函数极值的充分条件，点)01(，是函数的极大值点，极大值为1)0,1(=f ，该函数无极小值．（2）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++=，，，，063)(09123)(22y y y x f x x y x f y x 即⎩⎨⎧=-=++，，0)2(0)3)(1(y y x x 得函数的所有驻点是)23()03()21()01(4321，、，、，、，----P P P P ． 66)(0)(126)(+-====+==y y x f C y x f B x y x f A yy xy xx ，、，、，，对上述诸点列表判定：所以函数的极大值为4)2,3(=-f ，极小值为4)0,1(-=-f ．（3）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+==+++=，，，，0)22(e )(0)21(e )(2y y x f y y x y x f xyx x 得唯一驻点(01)-，．x yy x xy x xx y x f y y x f y y x y x f e 2)()22(e )()22(e )(2=+=+++=，、，、，， 01>=A 、0=B 、2=C ，022>=-B AC ，根据二元函数极值的充分条件，点)10(-，是函数的极小值点，极小值1)1,0(-=-f ，该函数无极大值．（4）定义域为全平面，函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+-=，，，，03)(03)(2222y x y y x f y x x y x f y x 得唯一驻点)00(，．由于在)00(，点处函数的二阶偏导数不存在，不能用定理8.2判定，为此根据极值的定义，当022≠+y x （即非)00(，点）时)00(1)(1),(2/322，f y x y x f =<+-=，所以点)00(，是该函数的极大值点，极大值为1)0,0(=f ，该函数无极小值． 2.求函数 5020(0,0)z xy x y x y=++>> 的极值．解：由 22500200z y xx z x yy ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=∂⎪⎩，解出 52.x y ⎧⎨=⎩＝，222232310040, 1, z z z x y x x y y∂∂∂===∂∂∂∂ 在点(5,2)处，233100404130, 0552AC B A -=⋅-=>=>所以函数在(5,2)处由极小值 (5.2)30z=.3.求曲面 21 (0)z xy z -=>上到原点距离最近的点．解：设 222F,,,(1)x y z x y z z xy λλ+++--2()=，则 2202022010Fx y x F y x y F z z z z xy λλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎪∂⎨⎪∂=+=⎪∂⎪⎪--=⎩，解出 0011.x y z λ=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩，，，因为(0,0,1)是 2222d x y z =++在0z >时的唯一驻点，由题意可知在0z >的曲面上存在与原点距离最小的点，所以(0,0,1)即为所求的点． 4. 将正数12分成三个正数z y x ,,之和使得z y x u 23=为最大. 解令 )12(),,(23-+++=z y x z y x z y x F λ,则223323020012x y z F x y z F x yz F x y x y z λλλ'⎧=+=⎪'=+=⎪⎨'=+=⎪⎪++=⎩，，，，解得唯一驻点)2,4,6(，故最大值为.691224623max =⋅⋅=u5. 用面积为12（m 2）铁板做一个长方体无盖水箱，问如何设计容积最大？解设水箱的长、宽、高分别为z y x 、、，体积为V ，则目标函数为xyz V =（，0>x ，0>y 0>z ），附加条件是1222=++yz xz xy ．设)1222()(-+++=yz xz xy xyz z y x L λ，，（000>>>z y x ，，），由(2)0(2)02()02212x yz L yz y z L xz x z L xy x y xy xz yz λλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪++=⎩，，，，得唯一可能极值点12===z y x 、，根据实际意义，当长方体表面积一定是其体积有最大值，所以当长、宽都为2（m ），高为1（m ）时无盖长方体水箱容积最大(此时体积为4（m 3）)． 6.在斜边长为l 的直角三角形中，求周长最大的三角形及其周长．解：设两直角边长分别为y x 、，三角形周长为L ，则目标函数是l y x L ++=（00>>y x ，），附加条件为222l y x =+．设)()(222l y x l y x y x F -++++=λ，，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==+=，，，222021021l y x y F x F y x λλ在00>>y x ，时得唯一可能极值点2l y x ==，由实际意义，斜边长为一定的直角三角形中，周长有最大值，所以当两直角边长都为2l （即等腰直角三角形）时，其周长最大，且最大周长为l )21(+．7.有一宽为24cm 的长方形铁板，把它折起来做成一断面为等腰梯形的水槽．问怎么折才能使断面的面积最大．解设折起来的边长为xcm ，倾角为α（图8-17），那么梯形的下底长为242x -，上底长为2422cos x x α-+，高为sin x α，所以断面的面积为1[(2422cos )242]sin 2=-++-⋅A x x x x αα，即2224sin 2sin cos sin (012,0)2A x x x x πααααα=-+<<<≤.为求其最大值，我们先来解方程组222224sin 4sin 2sin cos 0,24cos 2cos +(sin cos )0.x A x x A x x x ααααααααα=-+=⎧⎨=--=⎩ 由于sin 0,0x α≠≠，将上述方程组两边约分，得122cos 0,24cos 2cos cos 20.=-+=⎧⎨=-+=⎩x A x x A x x ααααα 解这个方程组，得,8().3x cm πα==根据题意，断面面积的最大值一定存在，又由A 的定义，0,12;0.x α≠≠因此最大值点只可能在区域的内部或开边界2πα=上取到．但当2πα=时，2242A x x =-的最大值为72．因此，该函数的最大值只能在区域的内点处取得，而它只有一个稳定点，因此可以断定(8,)=483723A π>是其最大值．即将铁板折起8cm ，并使其与水平线成3π角时所得断面面积最大．24242x-ax a。

高等数学课后习题答案--第九章

9. 设 x n ＞0，
10. 讨论下列级数的收敛性(包括条件收敛与绝对收敛)
182
⑴ ⑶ ⑸ ⑺ ⑼
x sin ; n n =1 ∞ n (−1) n −1 n −1 ; ∑ 3 n =1 n +1 ∞ (−1) ( x > 0 ); ∑ n =1 n + x
∑ (−1)
∞
n +1
⑵ ⑷ ⑹ ⑻ ⑽
180
(4) (6)
∑
∞
∞
n =1 ∞
∑
n =1
ln n ln n 1 ln n 1 n 1 , = = 3 . 收敛; < 2 2 n n n n n n n2 1 1 1 , < , 收敛; n ln (n + 2) ln(n + 2) 2
n
(5)
收敛;
(7) (8) (13) (14)
∑ (
n =1
n −1
)
n
发散
由于 lim (10
a −1
1 n
n →∞
= ln a , 而 n n − 1 > n a − 1 ;
(11)
发散;
∑
n =1
∞
∞
∑
n =1
( n + 1 − n − 1 ), ( n + 1 − (2n − n + 1 − n − 1) = (n −
2 2 2 2 2
(9) 收敛;
收敛;
5.利用级数收敛的必要条件，证明： nn (1) lim = 0， (2) n →∞ ( n !) 2
∞
n →∞
lim
( 2 n) ! = 0. 2 n ( n +1)

上海大学高等数学教程课后习题答案(第九章)

《高等数学教程》第九章向量代数与空间解析几何习题参考答案9－1（A ）4．;342,324m n CD m n BC-=-=5．;}116,117,116{}116,117,116{---或6．－2 ;7．13, 7 j ;8．(1) 垂直于 x 轴，平行于 yoz 坐标面;(2) 与 y 轴共线，方向与 y 轴的正向相反，垂直于 zox 坐标面;(3) 平行于 z 轴，垂直于 xoy 坐标面。

9．模：2; 方向余弦：21,22,21--;10．434ππγ或=;11．31cos ,31cos ,31cos =-=-=γβα;12．m = 4 , n = 0 .9－1（B ）1． ;0,22,221,0,0或-3． }5,4,6{-B , }10,6,9{-C , }7,1,7{--=CA4．(1) 在一直线上, (2) 不在一直线上;6． 2 .9－2（A ）1．(1) 28 , (2) 52 ;3．15 , 593;4．}4,2,4{--=b ;5．m = 4 , n = 0 ;6．;}2,2,3{171}2,2,3{171-----或7．12 , 219;8．5 ;9．,1548)^,(sin =b a ,7753)^,(cos =b a(1) }2,0,1{-, (2) }2,10,16{-, (3) 0 , (4) }24,8,0{--;10．(1) 24, (2) 60 ;11．(1) －3, (2) 3, (3) 0 ;13．是14．20 , 619;9－2（B ）1．(1) 在一直线上, (2) 不在一直线上;2．(1) 至 (8) 全错;5．1328-;6．;,,,,,共线与c b d c d b d a c a b a ⊥⊥⊥⊥⊥7．;共线必须与b a8．3π;9．)68(51)68(51k j k j ---或;10．(1) 2-=λ, (2) 1002,99821=-=λλ;11．23-.9－3（A ）2．04573=-+-z y x ;3．0473=+--z y x ;4．012634=+-+z y x ;5．023=--z y x ;6．049263=-+-z y x ;7．010377=--+z y x ;8．029)3(,5)2(,043)1(=---==+z y y y x ;9．1 ;10．32,32,31;11．270)3(,1)2(,2)1(±===k k k ;12．(1) 18,32=-=l m , (2) 6=l ;9－3（B ）1．12=++z y x ;2．02=--z y x ;3．1522=-+z y x ;4．03326=-+±z y x ;5．)54,0,0(,)2,0,0(;6．032=-+-z y x ;7．312228±=++z y x ;9－4（A ）1．112243--=-+=-z y x ;2．0270112520255612523=+--=++-z y x z y x 及;3．311121-=-=--z y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=tz t y tx 31121 ;4．13422zy x =-=--;5．0592298=---z y x ;7．341111;8．4273;9．D = －6 ;9－4（B ）1．(1) 平行, (2) 垂直, (3) 直线在平面上（题目中平面方程应为 3=++z y x ）;2．0=ϕ;3．)32,32,35(-;5．⎩⎨⎧=-+-=--+0140117373117z y x z y x ;6．012=++y x ;7．2849161-==+z y x ;8．,1=λ ⎩⎨⎧=-=-+-0027z x z y x ;10．012720=-++z y x ;11．564922-=-=-z y x ;12．0163401022=-+=-++z x z y x 或;13．03=---z y x ;14．332;15．⎩⎨⎧=++-=-++0893012572z y x z y x ;16．不相交, 29311=d ;9－5（A ）1．9116)34()1()32(222=+++++z y x , 它表示以)34,1,32(---为球心, 2932为半径的球面。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高等数学院系_______学号_______班级_______姓名_________得分_______总分题号选择题填空题计算题证明题其它题型题分20 20 20 20 20 核分人得分复查人一、选择题（共 20 小题，20 分）1、设Ω是由z≥及x2+y2+z2≤1所确定的区域，用不等号表达I1，I2，I3三者大小关系是A. I1>I2>I3; B. I1>I3>I2; C. I2>I1>I3; D. I3>I2>I1.答( )2、设f(x,y)为连续函数，则积分可交换积分次序为答( )3、设Ω是由曲面z=x2+y2,y=x,y=0,z=1所围第一卦限部分的有界闭区域，且f(x,y,z)在Ω上连续，则等于(A) (B)(C) (D)答( ) 4、设u=f(t)是(－∞,+∞)上严格单调减少的奇函数，Ω是立方体：|x|≤1;|y|≤1;|z|≤1. I=a,b,c为常数，则(A) I>0 (B) I<0(C) I=0 (D) I的符号由a,b,c确定答( ) 5、设Ω为正方体0≤x≤1;0≤y≤1;0≤z≤1.f(x,y,z)为Ω上有界函数。

若，则(A) f(x,y,z)在Ω上可积(B) f(x,y,z)在Ω上不一定可积(C) 因为f有界，所以I=0 (D) f(x,y,z)在Ω上必不可积答( ) 6、由x2+y2+z2≤2z,z≤x2+y2所确定的立体的体积是(A) (B)(C) (D)答( )7、设Ω为球体x2+y2+z2≤1,f(x,y,z)在Ω上连续，I=x2yzf(x,y2,z3),则I=(A) 4x2yzf(x,y2z3)d v(B) 4x2yzf(x,y2,z3)d v(C) 2x2yzf(x,y2,z3)d v(D) 0答( )8、函数f(x,y)在有界闭域D上有界是二重积分存在的(A)充分必要条件；(B)充分条件，但非必要条件；(C)必要条件，但非充分条件；(D)既非分条件，也非必要条件。

答( ) 9、设Ω是由3x2+y2=z,z=1－x2所围的有界闭区域，且f(x,y,z)在Ω上连续，则等于(A) (B)(C) (D)答( )10、设f(x,y)是连续函数，交换二次积分的积分次序后的结果为答( ) 11、设Ω1,Ω2是空间有界闭区域，Ω3=Ω1∪Ω2,Ω4=Ω1∩Ω2，f(x,y,z)在Ω3上可积，则的充要条件是(A) f(x,y,z)在Ω4上是奇函数(B) f(x,y,z)≡0, (x,y,z)∈Ω4(C) Ω4=∅空集(D)答( )12、设Ω1:x2+y2+z2≤R2;z≥0.Ω2:x2+y2+z2≤R2;x≥0;y≥0;z≥0.则(A) z99d v =4x99d v.(B) y99d v =4z99d v .(C) x99d v =4y99d v.(D) (xyz)99d v =4(xyz)99d v.答( )13、设Ω为正方体0≤x≤1;0≤y≤1;0≤z≤1.f(x,y,z)在Ω上可积，试问下面各式中哪一式为f(x,y,z)在Ω上的三重积分的值。

(A) (B)n i nfininin n→∞=⋅∑lim(,,)11(C) (D)答( ) 14、设，则I满足答( )15、函数f(x,y)在有界闭域D上连续是二重积分存在的(A)充分必要条件；(B)充分条件，但非必要条件；(C)必要条件，但非充分条件；(D)既非充分条件，又非必要条件。

答( ) 16、若区域D为|x|≤1,|y|≤1,则(A) e; (B) e－1; (C) 0; (D)π.答( )17、二重积分(其中D：0≤y≤x2,0≤x≤1)的值为答( )18、设有界闭域D1与D2关于oy轴对称，且D1∩D2= ,f(x,y)是定义在D1∪D2上的连续函数，则二重积分答( ) 19、设Ω为单位球体x2+y2+z2≤1,Ω1是Ω位于z≥0部分的半球体，I=(x+y+z)f(x2+y2+z2)d v,则(A) I>0 (B) I<0(C) I=0 (D) I=2(x+y+z)f(x2+y2+z2)d v答( )20、设Ω为一空间有界闭区域，f(x,y,z)是一全空间的连续函数，由中值定理而V为Ω的体积，则：(A) 若f(x,y,z)分别关于x,y,z为奇函数时f(ξ,η,ζ)=0(B) 必f(ξ,η,ζ)≠0(C) 若Ω为球体x2+y2+z2≤1时f(ξ,η,ζ)=f(0,0,0)(D) f(ξ,η,ζ)的正负与x,y,z的奇偶性无必然联系答( )二、填空题（共 20 小题，20 分）1、根据二重积分的几何意义=___________. 其中D：x2+y2≤1.2、设Ω是一空间有界闭区域，其上各点体密度为该点到平面Ax+By+Cz=D的距离平方。

则Ω质量的三重积分公式为________________.3、设D：x2+y2≤2x,由二重积分的几何意义知=________.4、设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，且f(x,y)＞0,则的几何意义是__________________.5、二次积分f(x,y)d y在极坐标系下先对r积分的二次积分为____________.6、设积分区域D的面积为S,(r,e)为D中点的极坐标，则_________.7、根据二重积分的几何意义其中D：x2+y2≤a2,y≥0,a＞0. 8、设函数f(x,y)在有界闭区域D上有界，把D任意分成几个小区域Δσi(i=1,2,…,n)，在每一个小区域Δσi上任取一点(ξi,ηi),如果极限存在(其中入是___________________)，则称此极限值为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作9、设积分区域D的面积为S，则10、设f(t)为连续函数，则由平面z=0，柱面x2+y2=1和曲面z=[f(xy)]2所围立体的体积可用二重积分表示为___________________________________________.11、设f(x,y,z)在有界闭区域Ω上可积，Ω=Ω1∪Ω2,，则I=f(x,y,z)d v=f(x,y,z)d v+________________________________ _____。

12、设Ω为空间有界闭区域，其上各点的体密度为该点到平面Ax+By+Cz+D=0的距离。

则Ω关于直线的转动惯量的三重积分公式为_________________.13、设D：x2+y2≤4,y≥0,则二重积分14、设Ω1:x2+y2+z2≤R2,Ω2:x2+y2+z2≤R2;x≥0;y≥0;z≥0.u=f(t)是(－∞,+∞)上的偶函数，且在(0，+∞)上严格单调增加，则(A) xf(x)d v=4xf(x)d v(B) f(x+z)dv=4f(x+z)dv(C) f(x+y)d v=4f(x+y)d v(D) f(xyz)d v=4f(xyz)d v答（）15、二次积分f(x,y)d y在极坐标系下先对r积分的二次积分为___________.16、=___________________。

17、设平面薄片占有平面区域D，其上点(x,y)处的面密度为μ(x,y)，如果μ(x,y)在D 上连续，则薄片的质量m=__________________.18、设区域D是x2+y2≤1与x2+y2≤2x的公共部分，试写出在极坐标系下先对r积分的累次积分_________________.19、设Ω为一有界闭区域，其上各点的体密度为ρ(x ,y ,z ).设M 为其质量，而( x ,y , z )为其重心，Ω关于xoy 平面的静矩定义为：M xy = x M , M xy 的三重积分计算式为________________.20、设函数f (x ,y )在有界闭区域D 上有界，把D 任意分成n 个小区域Δσi (i =1,2,…,n ),在每一个小区域Δσi 任意选取一点(ξi ,ηi ),如果极限(其中入是Δσi (i =1,2,…,n )的最大直径)存在，则称此极限值为______________的二重积分。

三、计算题（共 20 小题，20 分）1、计算二重积分其中2、设Ω是由x =0,y =0,z =0,x =1－y 2及所围的有界闭区域。

计算I =.3、设D 是由直线x +y =a ,x +y =b ,y =αx ,y =βx 所围的有界闭区域(0<a <b ;0<α<β),试计算ex y x y D ()d d .+⎰⎰24、设Ω是由x 2+y 2=R 2;z =0;z =1;y =x ;y =所围恰好位于第一卦限部分的一立体。

试求积分I =. 5、设Ω是由曲面x 2+y 2=1,z =0,z =1所围的有界闭区域，计算.6、设Ω是由bz ≤x 2+y 2+z 2≤az (a >b >0)所确定的闭区域。

试计算7、计算二重积分其中D ：0≤y ≤sin x , . 8、计算二重积分其中D 是由抛物线y 2=2px 和直线x =p (p >0)所围成的区域。

9、设Ω是由曲面z =x 2+y 2,z =2(x 2+y 2),xy =1,xy =2,y =2x 及x =2y 所围位于x ≥0及y ≥0 部分的闭区域。

试计算I =10、计算三重积分I =，其中Ω是由所围位于部分的立体11、设Ω是由a 2≤x 2+y 2≤2a 2 (a >0)，y ≥0，z ≤0以及所确定的闭区域。

试计算12、计算二重积分其中D：x2+y2≤1.13、由二重积分的几何意义，求14、计算二重积分其中积分区域D是x2+y2≤a2(a>0).15、设Ω是由以及0≤z≤sin(x+y)所确定的立体。

试计算16、计算二次积分17、计算二重积分其中18、计算二重积分其中D：x≤y≤,0≤x≤1.19、设Ω是由,y=0,z=0及所围的有界闭区域。

试计算.20、计算二重积分其中D是由直线x=－2,y=0,y=2及左半圆x=所围成的区域。

四、证明题（共 20 小题，20 分）1、试证：在平面薄片关于所有平行于oy轴的轴的转动惯量中，对于穿过重心的轴所得的转动惯量最小。

2、设f(t)是连续函数，证明3、锥面x2+y2－z2=0将闭区域x2+y2+z2≤2az(a>0)分割成两部分，试证其两部分体积的大小之比为3：1.4、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，且D可以分为两个闭域D1和D2，证明5、设f (u )为可微函数，且f (0)=0,证明6、设函数f (x ,y )在有界闭域D 上连续，且M ，m 分别是f (x ,y )在D 上的最大值与最小值，证明：其中σ是D 的面积。