八年级数学经典几何专题练习1

专题1

1.如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为______．

如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD ≤OE+DE ，

∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，

此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=1

2AB=1。

DE=，∴OD 的最大值为：

2.如图，已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，延长AB 至点E ，使BE=AB ，连接CE ．

（1）求证：四边形BECD 是平行四边形；

（2）若∠E=60°，

AC=求菱形ABCD 的面积．

试题解析：（1）∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=CD ，AB ∥CD.；

又∵BE=AB ， ∴BE=CD.

∵BE ∥CD, ∴四边形BECD 是平行四边形.

∵四边形BECD 是平行四边形， ∴BD ∥CE.∴∠ABO=∠E=60°. 又∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC 丄BD,OA=OC. ∴∠BOA=90°， ∴∠BAO=30°.

∵

AC= ∴

OA=OC=

∴OB=OD=2. ∴BD=4.

∴菱形ABCD 的面积

=11422AC BD ??=?=

2.如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将该矩形沿AE 折叠，使点D 落在边BC 上的点F 处，过点F 作分、FG ∥CD ，交AE 于点G 连接DG ．

（1）求证：四边形DEFG 为菱形；

（2）若CD=8，CF=4，求DE CE

的值．

【答案】

（1）证明见解析；（2）DE CE =53

【解析】

（1）证明：由折叠的性质可知：DG=FG ，ED=EF ，∠1=∠2，

∵FG ∥CD ，

∴∠2=∠3，

∴FG=FE ，

∴DG=GF=EF=DE ，

∴四边形DEFG 为菱形；

（2）解：设DE=x ，根据折叠的性质，EF=DE=x ，EC=8﹣x ，

在Rt △EFC 中，FC2+EC2=EF2，

即42+（8﹣x ）2=x2，

解得：x=5，CE=8﹣x=3， ∴DE CE =53

．

3.如图所示，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC ．CD 上滑动，且E 、F 不与B ．C ．D 重合．

（1）证明不论E 、F 在BC ．CD 上如何滑动，总有BE=CF ；

（2）当点E 、F 在BC ．CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

解：（1）证明：如图，连接AC ，∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD=120°，∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠FAC 。∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。∴△ABC 和△ACD 为等边三角形。∴∠ACF=60°，AC=AB 。∴∠ABE=∠AFC 。∴在△ABE 和△ACF 中，∵∠BAE=∠FAC ，AB=AC ，∠ABE=∠AFC ，∴△ABE ≌△ACF （ASA ）。∴BE=CF 。

（2）四边形AECF 的面积不变，△CEF 的面积发生变化。理由如下：由（1）得△ABE ≌△ACF ，则S △ABE=S △ACF 。∴S 四边形AECF=S △AEC+S △ACF=S △AEC+S △ABE=S △ABC ，是定值。作AH ⊥BC 于H 点，则BH=2，

AECF ABC 11S S BC AH BC 22?==??=四形边。由“垂线段最短”可知：当正

三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短．故△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形AEF 的面积会最小，

又S △CEF=S 四边形AECF ﹣S △AEF ，则此时△CEF 的面积就会最大．∴S △CEF=S 四边

形AECF ﹣S △AEF 12=?=。∴△CEF 的面积的最大值是

【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。

4.如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．

（1）探究：线段OE 与OF 的数量关系并加以证明； （2）当点O 运动到何处，且△ABC 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？

（3）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．

解：（1）OE=OF ．理由如下：∵CE 是∠ACB 的角平分线，∴∠ACE=∠BCE ，

又∵MN ∥BC ，∴∠NEC=∠ECB ，∴∠NEC=∠ACE ，∴OE=OC ，∵OF 是∠BCA 的外角平分线，

∴∠OCF=∠FCD ，又∵MN ∥BC ，∴∠OFC=∠ECD ，∴∠OFC=∠COF ，∴OF=OC ，∴OE=OF ；

（2）当点O 运动到AC 的中点，且△ABC 满足∠ACB 为直角的直角三角形时，四边形AECF 是正方形．理由如下：

∵当点O 运动到AC 的中点时，AO=CO ，又∵EO=FO ，∴四边形AECF 是平行四边形， ∵FO=CO ，∴AO=CO=EO=FO ，∴AO+CO=EO+FO ，即AC=EF ，∴四边形AECF 是矩形． 已知MN ∥BC ，当∠ACB=90°，则∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，∴AC ⊥EF ，

∴四边形AECF 是正方形；

（3）不可能．理由如下：

如图，∵CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，∴∠ECF=12∠ACB+12∠ACD=1

2（∠ACB+∠ACD ）=90°，

若四边形BCFE 是菱形，则BF ⊥EC ，

但在△GFC 中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．

故答案为不可能．

专题2

1.赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮同学随机地在大正方形及其内部区域投针，若直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是____

【解析】

根据题意分析可得：正方形ABCD边长为，故面积为5；阴影部分边长为2-1=1，面积为1；则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是即两部分面积的比值为1/5.

2.如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．

（1）求证：BE=BF；

（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．

【答案】

（1）见解析（2）BE=24/5

【解析】

本题主要考查菱形的性质和三角形全等的证明，同时还考查了菱形面积的两种求法．

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=CB，∠A=∠C，

∵BE⊥AD、BF⊥CD，

∴∠AEB=∠CFB=90°，

在△ABE和△CBF中，

∴△ABE≌△CBF（AAS），

∴BE=BF．

（2）如图，

∵对角线AC=8，BD=6，

∴对角线的一半分别为4、3，

∴菱形的边长为，

菱形的面积=5BE=1/2 ×8×6，

解得BE=24/5．

3如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0

(1)求证：AE＝DF；

(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由

解：(1)在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，∴DF＝2t，

又∵AE＝2t，∴AE＝DF.

(2)能．理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.

又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形．

当AE＝AD时，四边形AEFD是菱形，即60－4t＝2t.解得t＝10s，

∴当t＝10s时，四边形AEFD为菱形．

(3)①当∠DEF＝90°时，由(2)知EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°.∵∠A＝60°，

∴∠AED＝300.∴AD=t,又AD＝60－4t，即60－4t＝t，解得t＝12s.

②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形．在Rt△AED中，∠A＝60°，则∠ADE＝30°.∴AD＝2AE，即60－4t＝4t，解得t＝15/2s.

③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．

综上所述，当t＝15/2s或t＝12s时，△DEF为直角三角形．

4.如图，直线l1的解析表达式为：y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．

（1）求直线l2的解析表达式；

（2）求△ADC的面积；

（3）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求出点P 的坐标；

（4）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：一次函数综合题。

专题：综合题。

分析：（1）结合图形可知点B和点A在坐标，故设l2的解析式为y=kx+b，由图联立方程组求出k，b的值；

（2）已知l1的解析式，令y=0求出x的值即可得出点D在坐标；联立两直线方程组，求出交点C的坐标，进而可求出S△ADC；

（3）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，ADC高就是C到AD的距离；（4）存在；根据平行四边形的性质，可知一定存在4个这样的点，规律为H、C坐标之和等于A、D坐标之和，设出代入即可得出H的坐标．

解答：解：（1）设直线l2的解析表达式为y=kx+b，

由图象知：x=4，y=0；

x=3，，

∴，

∴，

∴直线l2的解析表达式为；

（2）由y=﹣3x+3，令y=0，得﹣3x+3=0，

∴x=1，

∴D（1，0）；

由，

解得，

∴C（2，﹣3），

∵AD=3，

∴S△ADC=×3×|﹣3|=；

（3）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，

ADC高就是C到AD的距离，即C纵坐标的绝对值=|﹣3|=3，

则P到AB距离=3，

∴P纵坐标的绝对值=3，点P不是点C，

∴点P纵坐标是3，

∵y=1.5x﹣6，y=3，

∴1.5x﹣6=3

x=6，

所以点P的坐标为（6，3）；

（4）存在；

（3，3）（5，﹣3）（﹣1，﹣3）

点评：本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算以及平行四边形的性质等等有关知识，有一定的综合性，难度中等偏上．

5.已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动．当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动．

（1）求B点坐标；

（2）设运动时间为t秒；

①当t为何值时，四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半；

②当t为何值时，四边形OAMN的面积最小，并求出最小面积；

③若另有一动点P，在点M、N运动的同时，也从点A出发沿AO运动．在②的条件下，PM+PN的长度也刚好最小，求动点P的速度．

考点：一次函数综合题；勾股定理；轴对称-最短路线问题。

专题：动点型；待定系数法。

分析：（1）由题意可以先构造矩形OABD，然后根据勾股定理进行求解；

（2）是动点型的题要设好未知量：

①AM=t，ON=OC﹣CN=22﹣2t，根据四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半，列出等式求出t值；

②设四边形OAMN的面积为S，用t表示出四边形OAMN的面积，根据二次函数的性质求出最值；

③由题意取N点关于y轴的对称点N′，连接MN′交AO于点P，此时PM+PN=PM+PN′=MN 长度最小，表示出点M，N，N′的坐标，设直线MN′的函数关系式为y=kx+b，最后待定系数法进行求解．

解答：解：（1）作BD⊥OC于D，

则四边形OABD是矩形，

∴OD=AB=10，

∴CD=OC﹣OD=12，

∴OA=BD==9，

∴B（10，9）；

（2）①由题意知：AM=t，ON=OC﹣CN=22﹣2t，

∵四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半，

∴，

∴t=6，

②设四边形OAMN的面积为S，则，

∵0≤t≤10，且s随t的增大面减小，

∴当t=10时，s最小，最小面积为54．

③如备用图，取N点关于y轴的对称点N′，连接MN′交AO于点P，

此时PM+PN=PM+PN′=MN长度最小．

当t=10时，AM=t=10=AB，ON=22﹣2t=2，

∴M（10，9），N（2，0），

∴N′（﹣2，0）；

设直线MN′的函数关系式为y=kx+b，则，

解得，

∴P（0，），

∴AP=OA﹣OP=，

∴动点P的速度为个单位长度/秒．

点评：此题是一道综合题，难度比较大，考查了勾股定理的应用和待定系数法求函数的解析式，动点型的题是中考的热点，平时要多加练习，注意熟悉这方面的题型．