博迪《投资学》笔记及习题(债券资产组合管理)【圣才出品】

第16章债券资产组合管理

16.1 复习笔记

1．利率风险

（1）利率敏感性

债券价格对市场利率变化的敏感性具有如下六条性质：

①债券价格与收益率成反比。

②债券的到期收益率升高导致其价格变化幅度小于等规模的收益率下降导致其价格变化的幅度。

③长期债券价格对利率变化的敏感性比短期债券更高。

④当债券期限增加时，债券价格对收益率变化的敏感性增加，但增速递减。换句话说，利率风险变动小于债券期限变动。

⑤利率风险与债券票面利率成反比。低票面利率债券的价格比高票面利率债券的价格对利率变化更敏感。

⑥债券价格对其收益变化的敏感性与当期出售债券的到期收益率成反比。

前五条性质曾被马尔基尔论证，被称为马尔基尔债券定价关系。最后一条性质被霍默和利博维茨论证。期限是利率风险的主要决定因素。但是期限本身不足以测度利率的敏感性。

（2）久期

①久期计算公式

债券的久期（Duration）是用麦考利久期测度的，根据债券的每次息票利息或本金支

付时间的加权平均来计算，其权重与支付的现值成比例。

定义权重为w t，其与时间t时的现金流（用CF t表示）有如下关系：

w t＝[CF t/（1＋y）t]/债券价格

式中，y为债券的到期收益率。等式右边的分子是时间t时发生的现金流的现值，分母是债券所有支付的现值总和。权重之和为1，因为按到期收益率折现的现金流之和等于债券价格。进而计算各次支付的时间的加权平均值，得到了麦考利久期公式：

久期之所以是固定收益投资组合的关键概念至少有三个原因：

a．它是资产组合的有效平均期限的简单归纳统计；

b．它已经被证明是资产组合规避利率风险的一种基本工具；

c．久期是资产组合利率敏感性的一种测度。

②修正久期

修正久期定义为D*＝D/（1＋y）。由于Δ（1＋y）＝Δy，得到：

ΔP/P＝－D*Δy（16-1）

债券价格的变化率正好是修正久期和债券到期收益率变化的乘积。因为债券价格的变化率与修正久期成比例，所以修正久期可以用来测度债券在利率变化时的风险敞口。

③久期法则

债券价格对市场利率变化的敏感性受到三个方面因素的影响：到期时间、票面利率和到期收益率。久期法则如下：

a．零息票债券的久期等于它的到期时间。

b．到期时间不变时，债券的久期随着息票利率的降低而延长。

c．当息票利率不变时，债券的久期通常随债券到期时间的增长而增长。

d．在其他因素都不变，债券的到期收益率较低时，息票债券的久期较长。

e．终身年金的久期为：

终身年金的久期＝（1＋y）/y

f．稳定年金的久期为：

稳定年金的久期＝（1＋y）/y－T/[（1＋y）T－1]

其中，T为支付的次数；y是每个支付期的年金收益率。

g．息票债券的久期为：

息票债券的久期＝（1＋y）/y－[（1＋y）＋T（c－y）]/{c[（1＋y）T－1]＋y}

其中，c为每个支付期的息票利率；T为支付次数；y为每个支付期的债券收益。

h．由于息票债券是以面值出售的，计算息票债券久期的法则可以简化为：

2．凸性

（1）凸性的计算

对于债券收益率发生的较小变化，久期法则可以给出良好近似的值。但是，对于较大的变化，它给出的数值就不太精确。债券价格-收益率关系的曲率称为凸性。凸性可以大幅度改进久期近似值的准确性。

考虑凸性时，式（16-1）可以修正为：

ΔP/P＝－D*Δy＋（1/2）×凸性×（Δy）2

等式右边的第一项与久期法则相同。第二项是对凸性的修正。如果债券的凸性是正的，

不管收益率是涨还是跌，第二项都是正的。这说明当收益率变化时，久期法则总是会低估债券的新价值。

凸性的计算公式为：

式中，CF t是在日期t支付给债券持有人的现金流；CF t代表到期前的利息支付或是在到期日最后利息加上面值。

凸性一般被认为是一个备受欢迎的特性。曲率大的债券价格在收益率下降时的价格上升大于在收益率上涨时的价格下跌。对凸性较大的债券而言，投资者必须付出更高的价格，并接受更低的到期收益。

（2）可赎回债券的凸性与有效久期

由于可赎回债券的价格始终低于赎回价格，当利率降低时，债券价格被限制在赎回价格以下，在低利率附近产生负凸性的曲线。负凸性的存在使得等式右侧第二项一定为负，这说明债券价格的实际表现不及久期近似值的预测。

由于赎回选择权的存在，可赎回债券的麦考利久期难以准确计算。通常选择计算内含期权债券的有效久期，其定义为债券价格变化率与市场利率变化量之比：

有效久期＝－（ΔP/P）/Δr

该公式与修正久期式的区别为：

①计算有效久期时没有用债券自身的到期收益率变化，实际上计算了利率期限结构变化引起的价格变化。

②有效久期公式依靠一种解决嵌入期权的定价方式。相反，麦考利久期和修正久期都可根据确定的现金流和到期收益率直接求出。

（3）久期和抵押贷款支持证券凸性

实际上，抵押贷款支持证券市场是赎回规定发挥重要性的最大市场。抵押贷款支持证券在低利率时表现出负凸性，但它隐含的赎回价格（贷款本金余额）不是一个在其价值不可突破的上限。

3．消极债券管理

消极债券管理者通常使用两种管理策略：一种是指数策略，让管理的资产组合重复一个已有指数的业绩；另一种策略是免疫策略，广泛应用于金融机构，用来规避金融头寸的利率波动风险。

（1）债券指数基金

债券市场指数与股票市场指数相似，是一个反映一种指数成分的资产组合，但是这种指数测度了大市。

债券市场有三个主要指数：巴克莱资本美国综合债券指数（之前为雷曼综合债券指数）、所罗门大市投资分级指数和美林国内标准指数。这三个指数都是总收益的市值加权平均指数。这三种指数包括政府债券、公司债券、抵押支持债券和扬基债券。

在实践中，完全复制大债券指数是不可行的。作为替代，常使用分层取样和分格方式。分格方式的步骤如下：

①债券市场被划分为若干个类别；

②计算并报告每一单元债券的市值占全部债券市值的百分比；

③资产组合管理人将建立一个债券资产组合，该资产组合中每一单元债券所占的比例与该单元在各单元的全部债券中所占的比例相匹配。

（2）免疫

免疫策略是消极管理固定收益资产组合的特征，这一策略试图让个人或公司免除利率波动的风险。该方式或者对资产组合净值或者对资产组合的未来累计值进行利率风险免疫。

计划对全部资金的免疫是通过匹配资产与负债的久期来完成的。随着时间的推移和利率的变化，为了保持免疫的头寸必须对资产组合按期进行再平衡。传统的免疫也取决于平缓的收益率曲线的平行移动。但是这个假定是不现实的，因此，免疫通常不能做到完全彻底。为了减轻问题的严重程度，可以运用多因素久期模型，它允许收益率曲线的形状有所变化。

久期匹配平衡了利息支付累计值（再投资利率风险）和债券销售价值（价格风险）之间的差异。图16-1描述了这种情况：

图16-1 投资基金的增长

注：实线代表在初始利率时资产组合价值的增长。在时间t*，如果利率上升，资产组合值开始会下降，但随后如虚线所示以较快的速度增长，在时间D（久期），两条线相交。

当利率和资产久期变化时，管理者必须不断地再平衡固定收益资产组合以使得资产和债