两类含幺幂等元半环簇

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离散数学--第十章群，环，域

离散数学--第⼗章群，环，域群基本定义设V=<S, ∘ >是代数系统，∘为⼆元运算，如果∘运算是可结合的，则称V为半群（代数系统的前提不要忘，详情可看第九章）如果半群中有单位元==> 含⼳半群|独异点含⼳半群还有逆元==>群通常记作G群中的⼆元运算可交换==>交换群|阿贝尔群Klein四元群特征：1. 满⾜交换律2. 每个元素都是⾃⼰的逆元3. a, b, c中任何两个元素运算结果都等于剩下的第三个元素平凡群只有单位元有限群群中元素有限⼦群如果把群看成集合，⼦群就是⼦集中能满⾜群定义的⼀个集合（可以有多个集合）群是代数系统，最基本要满⾜封闭性！真⼦群就类似真⼦集⼦群判定定理：设G为群，H是G的⾮空⼦集. H是G的⼦群当且仅当∀a,b∈H 有ab−1∈H（感觉很懵逼）证必要性显然. 只证充分性. 因为H⾮空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa−1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea−1∈H，即a−1∈H. 任取a,b∈H，知b−1∈H. 再利⽤给定条件得a(b−1)−1∈H，即 ab∈H. 综合上述，可知H是G的⼦群.⽣成⼦群：设G为群，a∈G，令H={a k| k∈Z}，则H是G的⼦群，称为由 a ⽣成的⼦群，记作<a>例如：Klein四元群 G = {e,a,b,c}的所有⽣成⼦群是：<e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}.则偏序集< L(G), ⊆ >称为G的⼦群格就相当于⼦群先变成偏序集然后就满⾜了格的定义？因为是⼦群所以叫⼦群格？右（左）陪集设H是G的⼦群，a∈G.令Ha={ha | h∈H}称Ha是⼦群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素.相当于右（左）乘a所得的集合？循环群设G是群，若在G中存在⼀个元素a,使得G中的任意元素都是a的幂，则称该群为循环群，元素a为循环群G的⽣成元。

一、项目名称半环代数理论的若干研究二、主要完成人情况

第一完成单位
西北大学
第二完成单位
惠州学院
第三完成单位
西安外国语大学
五、完成单位合作关系说明：该项目是由西北大学，惠州学院和西安外国语大学在 2002.01.01 至 2016.06.01 期间合作完成的。合作内容主要为半环簇，矩阵半环和自动机理论。期间，西北大学主要负责半环簇的研究，惠州学院主要负责矩阵半环的研究，西安外国语大学主要负责自动机理论的研究。六、项目简介：本项目属基础研究类。项目组长期从事基础数学的教学与研究。近 20 余年来，由于半环的代数理论在数学的内外部有做广泛的应用，它在全球范围内受到了高度的重视与积极的研究。我们紧跟国际研究
1
赵宪钟
无
教授
西北大学
西北大学
2
邵勇
副院长
教授
西北大学
西北大学
3
任苗苗
无
讲师
西北大学
西北大学
4
陈益智
副院长
副教授
惠州学院
惠州学院
5
田径
无ห้องสมุดไป่ตู้
讲师
西安外国语大学
西安外国语大学
三、完成人合作关系说明：赵宪钟和邵勇在 2005.09 至 2016.06 之间合作撰写一篇论文，见主要论著 15；赵宪钟和陈益智在 2008.09 至 2016.06 之间合作撰写三篇论文，见主要论著 12，14，17；赵宪钟和田径在 2007.09 至 2016.06 之间合作撰写两篇论文，见主要论著 13,18；赵宪钟和任苗苗在 2012.09 至 2016.06 之间合作撰写两篇论文，见主要论著 19， 20。
一、项目名称：半环代数理论的若干研究二、主要完成人情况：排姓名名职务职称工作单位完成单位对本项目主要学术和技术创造性贡献

一类幂等半环对分配格的刻画

Ａｂｔａｔｓｒｃ：Ａｌｓｆｉｅｏｅｔｓｍｉｉｇｉｈｃｎｂｈｗｅｉｔｉｕｉｅｌｔｉｅｉｅｃａｓｏｍｐｔｎｅｒｎｓｗｈｃａｅｓｏｄｄｓｒｂｔｖａｔｃ，．，ｄ．
中图分类号：Ｏ１３５文献标识码：Ａ
ＤｉｔｉｕｉｅＬａｔｃａａｔｒｚｄｂａｓｏｄｍｐｔｎｅｉｉｇｓｒｂｔｖｔｉｅＣｈｒｃｅｉｅｙａＣｌｓｆＩｅｏｅｔＳｍｒｎｓ
ＺＨＵａｍｉＴｉｎ－ｎ
上的最小分配格同余。文献Ｅ］ｚ推广了文献［］１中
的工作，究了与其对应的幂等元半环簇。研Ｄ，称其成员为乘法带半环，是满足恒等式ｚ＋它ｘｘｙ￣ｘ，ｘｘ ≈ｚ的幂等元半环的全体，明ｙ＋ｚ证了半环ＳＥ良。当且仅当Ｇｒｅ一Ｄｅｎ关系是Ｓ上的最小分配格同余。文献［］究了进一步乘法带３研半环的性质和结构。在以上关于两类幂等元半环簇。和交。的研究中，Ｇｅｎ在其中扮演ＤＤｒｅ一
ｔｎｉ．Ｗｅｌｒｖｄ ∈ § Ｓｉｍｕｉｌａｖａｄｓｍｒｇｄｎｙｆｉｒ — ｏｓｐｏｅａｏＳ，ｌｐｃｔｅｎｉｎｓｆｎｌｉＳｉｄｔｂｓｔｉｉｂｅｉｉａｏｓｓｉ
ｕｉｅｌｔｉｅＴｈｈｒｃｅｉａｉｎｆｒｓｒｃｕｅｏｉｔｉｕｉｅｌｔｉｅｉｏｔｉｅ．ｔｖａｔｃ．ｅｃａａｔｒｚｔｏｔｕｔｒｆｄｓｒｂｔａｔｃＳｂａｎｄｏｖＫｅｒｓｙｗｏｄ：ｍｕｔｐｉａｉｅｂｎｅｒｎｓｄｉｖｅｌｔｉｅｉｔｉｕｉｅｌｔｉｅｌｉｌｔｖａｄｓｍｉｉｇ；ａｄｔｅｓｍｉｔ；ｄｓｒｂｔｖａｔｃｉａｃｃ

离散数学半群与含幺半群(独异点)

例： < R, • >是半群，<{2,4}, •}是否是半群？ < (0,1), •>是否是半群？
∵区间 (0,1) R，且•在(0,1)上封闭可结合， ∴< (0,1), •>是<R, •>的子半群
3
定理2：<S,*>是半群，若S是有限集,则必有aS，使a*a=a。
证明：对 bS ∵<S,*>是半群，*在S上封闭，∴b*b S 记 b2=b*b，则 b2*b=(b*b)*b=b*(b*b)=b*b2 记 b3=b2*b=b*b2 则b3*b=b2*b*b=b*((b*b)*b)=b*(b2*b)=b*b3
主要内容 1 代数系统的基本概念 2 半群与含幺半群（独异点） 3 群（阿贝尔群与循环群） 4 陪集与拉格朗日定理 5 同态与同构 6 环与域
1
定义1：<S,*>是一个代数系统，S为非空集合，*是定义在S上的二元运算：
• *是封闭的， <S,*>称为广群； • *可结合的广群称为半群； • 含有幺元的半群，称为独异点（含幺半群）； • * 可交换的半群，称为交换半群。
定义3：<G,*>是群，若G是有限集，称<G,*>是有限群； G中元素的个数称为该有限群的阶数，记为 | G |；若G无限，则<G,*>称为无限群。
定义4：<G,*>是群，a是G中任意元素，nN，定义元素a的幂为： a，……， an+1 = an * a，定义：a-n = ( a-1) n (其中a-1是a的逆元)
∴x = b ，即元素 b 必满足 b * b = b
7
作业
• P190 （5）
8

清华离散数学(第2版)：14.3.1-2

13
群中的术语(续群中的术语续)
定义14.16 设G是群,x∈G,n∈Z,则 x 的 n 次幂 xn 定是群, ∈ , ∈ , 定义是群义为
n=0 e xn = xn1 x n > 0 ( x1 )m m = n, n < 0
n∈Z
实例在<Z3,⊕ >中有 23=(21)3=13=1⊕1⊕1=0 ⊕ 中有 ⊕ ⊕ 在 <Z,+> 中有 (2)3=23=2+2+2=6
8
实例
其中为矩阵乘法为矩阵乘法, 设半群 V1=<S,>,独异点 V2=<S,,e>. 其中为矩阵乘法, , e 为2阶单位矩阵且阶单位矩阵, 阶单位矩阵
a 0 | a, d ∈ R S = 0 d
a 0 a 0 f 0 d = 0 0
( x1 x 2 ... x n ) 1 = x n x n1 ... x 2 x1
1
1
1
1
等式(5)只对交换群成立如果G是非交换群是非交换群, 等式只对交换群成立. 如果是非交换群,那么只对交换群成立
( xy ) = ( xy )( xy )...( xy )
n n个
17
群的性质---群方程存在唯一解群的性质群方程存在唯一解
3
实例
是半群, 是普通例1 (1) <Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>是半群,+是普通是半群加法, 其中除<Z 外都是独异点. 加法其中除 +,+>外都是独异点外都是独异点 (2) 设n是大于的正整数是大于1的正整数是大于的正整数,<Mn(R),+>和<Mn(R),>都是半群和都是半群和独异点,其中+和分别表示矩阵加法和矩阵乘法分别表示矩阵加法和矩阵乘法. 和独异点,其中和分别表示矩阵加法和矩阵乘法 (3) <P(B),⊕>为半群,也是独异点,其中⊕为集合的对称为半群, ⊕ 为半群也是独异点,其中⊕ 差运算. 差运算 (4) <Zn, ⊕>为半群,也是独异点,其中 n={0,1, … , n1}, 为半群, 为半群也是独异点,其中Z , 为模n加法加法. ⊕为模加法 (5) <AA,>为半群,也是独异点,其中为函数的复合运算为半群, 为半群也是独异点,其中为函数的复合运算. (6) <R*,>为半群,其中为非零实数集合,运算定义为半群, 为非零实数集合, 为半群其中R*为非零实数集合如下:x, y∈R*, xy = y. ∈ 4

第10章群、环和域

第2部分代数系统
定理10.2.2 设<G,*>是群，对于a, bG，必存在惟一的 xG，使得a∗x=b。定理10.2.3 设<G,*>是群，对于任意的a,b,cG，如果有 a∗b=a∗c或者b∗a=c∗a，则必有b=c。
证明：设a的逆元是a–1，令x= a –1∗b，则 a∗x=a∗(a –1∗b)=(a∗a –1)∗b=e∗b=b 若另有一解x1，满足a∗x1=b，则a –1∗(a∗x1)=a –1∗b 即x1=a –1∗b=x。
x
第2部分代数系统
表10.1 证明：由表10.1可以看出，*运算是封闭的和可结合的，在G中有关 * e a b c 于*的单位元e。 G中每个元素都是 e e a b c –1=e，a–1=a，b–1=b，自己的逆元，即e a a e c b c–1=c。所以G,*是群。 b b c e a 例中的群G,*叫做Klein 四元 c c b a e 群，简称四元群。Klein 四元群有以下4个特点： ⑴ e为G中的单位元。 ⑵ *运算是可交换的。 ⑶ G中每个元素的逆元都是自己。 ⑷ a,b,c三个元素中任何两个元素的*运算结果都等于第三个元素。由于群G中有幺元且每一个元素都有逆元，所以可以定义G中元素的0次幂和负整数次幂。定义x0=e，xG，nI+ ，定义x–n＝(x–1)n
第2部分代数系统
定理10.1.4 设G,*是独异点，则在*的运算表中任何两行两列都不相同。
证明：先证明任何两列不相同。设运算*的单位元是eG，xG，yG，x≠y 因为e*x=x， e*y=y，所以e*x≠e*y，这说明e所在行的元素是两两互不相同的且都是G的元素。故在*的运算表中任何两列是不相同的，至少e所在行互不相同。类似地可证任何两行是不相同的。前面说过，<Nk,＋ k>和<Nk,×k>是半群。根据表6.1和表 6.2，N4 上的模4加法＋ 4 有单位元0，N4 上的模4乘法×4 有单位元1，所以<N4,＋ 4>和<N4,×4>都是独异点。在＋ 4 和×4 运算表中任何两行两列都不相同。定理10.1.5设<G,*>是独异点，a,bG且a, b均有逆元，则

第九章半群与群(Semigroups and Groups)

第九章半群与群（Semigroups and Groups）本章讨论含一个二元运算的特殊的代数系统――半群与群。

群论近世代数中发展最早、内容最丰富、应用最广泛的部分，也是建立其他代数系统的基础。

群论在自动机政论、形式语言，语法分析快速加法器设计、纠错码制定等方面均有卓有成效的应用。

2－1 半群与含幺半群定义2－1.1 满足结合律的代数系统U=<S,*>称为半群。

例2－1.1 <N,+>,<N,×>,<2I+,+>和<2I+,×>都是半群。

例2－1.2 <Nm ,+m>和<Nm,×m>都是半群。

例2－1.3 <M2(I),+>和<M2(I),·>都是半群。

定义2－1.2含幺元e的半群U=<S,*>称为含幺半群，常记作U=<S,*,e>。

在例2－1.1～例2－1.3中，除<2I+,+>和<2I+,×>外都是含幺半群。

例2－1.4 设S是任意非空集合，则<p(S),∪>和<p(S),∩>都是含幺半群。

例2－1.5在形式语言中，我们常称非空有限字符集合为字母表。

字母表中字符的n 重序元称为字符串，由m个字符所组成的字符串称为长度为m的字符串。

长度为0的字符串称为空串，用来表示。

如对V={a,b}, =aa和β=ab都是长度为2的字符串；γ=aab 和δ=bab都是长度为3的字符串。

我们用*来表示两个字符串的邻接运算，如,α*δ=aabab,α*γ=aaaab。

设用V*表示字母表V的所有有限长度字符串的集合，而用V+表示V*-{ }，则显然<V+,*>是半群，<V+,*, >是含幺半群。

定义2－1.3对运算满足交换律的半群（含幺半群）称为交换半群（交换含幺半群）。

第11章环的定义及性质

i1j1
精选可编辑ppt
8
近世代数
实例
例2 在环中计算(a+b)3, (ab)2 . 解: (a+b)3 = (a+b)(a+b)(a+b)
= (a2+ba+ab+b2)(a+b) = a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3 (ab)2 = (ab)(ab) = a2baab+b2
对于任意的 [i], [j]∈Zp, [i] ≠ [0]有 [i] [j] = [0] p 整除 ij p| j [j] =[0]
所以 Zp 中无零因子.
注意：若 p不为素数，则Zp肯定不是域.
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16
近世代数
域中除法及其性质
在域F中可以引入除法，如果a,b ∈F， a ≠ 0，则b被a除记为b/a，且b/a=a-1b.
(3) 设nZ, n2, 则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和
无零因子环，也不是整环.
(4) (Z6,,)构成环，它是交换环, 含幺环, 但不是无零因子环和整环. [2][3]=[3][2]=[0]，[2]和[3]是零
因子.
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近世代数
有以下性质：
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17
近世代数
练习1
1. 在整数环中定义∗和◇两个运算, a,b∈Z 有 a∗b = a+b1, a◇b = a+bab.
证明(Z, ∗,◇)构成环.
证 a,b∈Z有a∗b, a◇b∈Z, 两个运算封闭. 任取a,b,c∈Z (a∗b)∗c = (a+b1)∗c = (a+b1)+c1 = a+b+c2 a∗(b∗c) = a∗(b+c1) = a+(b+c1)1 = a+b+c2 (a◇b)◇c = (a+bab)◇c = a+b+c (ab+ac+bc)+abc a◇(b◇c) = a◇(b+cbc) = a+b+c (ab+ac+bc)+abc

第七章群论基础_12163

则生成元集{ f, f0 }, { f, f1}, e为单位元， < e > ={ e }, < f > ={ e, f }, < f0 > ={ f0}, < f1 > ={ f1}, < e, f > ={ e, f }, < e, f0 > ={ e, f0}, < e, f1 > ={ e, f1}, < f, f0 > ={ e, f, f0, f1}, < f, f1 > ={ e, f, f0, f1}, < f0, f1 > ={ f0, f1}
例7.1.2 设( S,◦)为半群，其中S ={a, b, c, d}，二元运算◦由下面的运算表给出：试求该半群的生成元集。
单位元是d, < a >={a, d}, < b >={ b }, < c >={ c }, < d >={ d }； <a, b>={a, b, c, d}, <a, c>={a, b, c, d}, <a, d>={a, d}, <b, c>={b, c},<c, d>={c, d} 故{a, b}, {a, c}都是S的生成元集。
• T 能构成含幺半群( S,◦,e )的含幺子半群的充分必要条件是T 对于二元运算是封闭的，且 e ∊T 。例. 设S ={a, b}，二元运算◦由运算表给出，则( S,◦, a )是含幺半群，并且有含幺半群( {a},◦, a )是 S 的含幺子半群, 含幺半群( {b},◦, b )是 S 的子半群，但不是 S 的含幺子半群。
设 | S | n, 取 x S , 则 x i S , i 1, 2, 3, m l 于是有x x , 1 m l n 1。记 p l m 1, 则必有kp m , 且 x m x p m x p x m ,故 kp kp m m kp m p m ( k 1) p m m x x x x (x x ) x x ( k 1) p m p m ( k 2) p m m x (x x ) x x x ( k k ) p m x m x ( k k ) p x kp x kp， x kp是幂等元。即

一类对合幂等元半环的刻画

一类对合幂等元半环的刻画
王红喜
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2017(000)005
【摘要】本文研究了满足恒等式x＋xy＋x≈y＋yx＋y≈y＋x,x＋xy≈xy＋y≈xy的对合幂等元半环簇的一个子簇,讨论了该簇中成员的一些性质,最后,给出了这类对合幂等元半环的几个等价刻画.
【总页数】1页(P155-155)
【作者】王红喜
【作者单位】陕西职业技术学院,陕西西安710100
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.一类广义正则半环上的半环同余的刻画
2.一类幂等元半环的刻画
3.一类幂等元半环的Green-(D)刻画
4.对合乘法幂等元半环
5.一类对合幂等元半环
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２００８年６月１９日收到
陕西省教育厅自然科学专项基金（７Ｋ１）０Ｊ４３资助
第一作者简介：刘伟（９２）男，１８一，陕西西安，硕士，研究方向：
半环理论及其应用。
如：表示含幺元素的幂等元半环的全体组成的簇。，，
维普资讯
２０ＳｉｅｈＥｇｇ０８ｃ．Ｔｃ．ｎｎ．
两类含幺幂等元半环簇
刘伟王建平段海婷
（北大学数学系，安７０２长安大学理学院，安７０６）西西１１７；西１０４
摘
要研究了两类含幺幂等元半环簇中成员的一些性质，出了其中成员的等价刻画，给并讨论了其中成员的结构。得到了
１期９
刘
伟，：等两类含幺幂等元半环簇
现在考虑上述三类簇中含幺元素的成员的全体组成的簇及相应的恒等式：
Ｎ１ｅ＋：＋￣，－ｅ－
（ｉ）ｉＳ∈（）甘在Ｊ上 ≤．Ｒ１ｓ
＋。
由厶中两类子簇的定义及定理１即可得证。若Ｓ∈Ｉ，则（表示．上的加法（法）群）ｓ乘半
＋
，
幂等元分配半环是满足附加条件
（，，Ｓ口＋ｃ０＋）口＋）６＋ｒ＝Ｖ０ｂｃ∈ ）ｂ＝（６（ｃ和ｃ上
称其成员为加法带半环，们是满足恒等式它＋的幂等元半环的全体。
＋ｙ＋＋ —
（１＋ｅｅＲｏ：ｏ）＋
＋
上的Ｇｅｎｓ关系，义如下：ｒｅ ’ 定
＋
（１ｅ＋ｅＲｏ：＋Ｏ） ≈ｅ
（， ∈｜Ｖｏｂｓ）０．口＋ｂ，口＝ｂｃｂ车＝口ｂ＋；
构。本文将研究尺，Ｄ中成员在含有幺元素时Ｒ。的性质、价刻画和结构。有关半群和范代数的概等念和结果可参考文献］。
幂等元半环Ｓ∈ ，称为含幺幂等元半环是指：存
例如：设是带簇的子簇矩形带簇，Ｒ（表则）示加法（乘法）是矩形带的幂等元半环的全体。若，，。表示半环类｛ ∈，Ｉｐ∈ ，Ｓ了
，（＋）。Ｙ＋Ｙ一
的半环。即（，和（，都是带。幂等元半环簇Ｊ＋）Ｓ）ｓ
记为Ｉ。
许多文献致力于幂等元半环的研究。，ｅ，。ＳｎＧｏ和Ｓｕ４首先研究了幂等元半环簇的子簇ｕｈｍｌ
维普资讯
第８卷
第１９期
２００８年ｌ０月
科
学
技
术
与
工
程
⑥
Ｖｏ．Ｎ．９１８ｏ１
Ｏｃ．０８ｔ２ｏ
１７ —８９２０）９５５ —５６１１１（０８１—３６０
ＳｉｎｅＴｅｈｏｏｙａｄＥｎｉｅｒｎｃｅｃｃｎｌｇｎｇｎｅｉｇ
，＋Ｙ —
了其中成员的等价刻画，并讨论了其中成员的结
● Ｊ－
Ｙ＋＋一，的幂等元分配半环的全体，为Ｄ。记若为带簇的子簇，用（，表示加法（Ｉ）乘法）带属于的幂等元半环的全体。
４－ ’
国家自然科学基金（０７１２、１４１１）
在ｅ ∈Ｓ且满足：任意口∈Ｓｏ＝ｅ＝口即（，・对，，Ｇ，Ｓ）ｅｔ
是幺半群。称ｅ为幂等元半环５的幺元素。
若ＳＩ称为含幺幂等元半环是指： ∈，存在ｅ ∈
Ｓ且满足：任意口∈Ｓｏ＝ｅ对，ｅ０＝ｏ即（，・）幺，，｜ｓ是半群。此时称ｅ幂等元半环．幺元素。设为为ｓ的簇，把中所有含幺元素的成员的簇记为。例
Ｍａ’ｅｌｃｖ积。
以下给出与本文相关的三类簇的记号及满足的恒等式：
Ⅳ：＋ｘｘ＋ｙ ≈
Ｒ：ｙ＋ｏｘｘＤ
＋
＋ｘｘｙ
幂等元半环是指满足附加条件
（， ∈ＳＧ＋口＝００Ｖｂ）／，０＝
Ｒｏ（＋ＹＹ＋Ｄ：）
加条件：（ｉ）Ｓ＋）（，是半群；（，和Ｓ・）（ｉ（，， ∈Ｓ（ｉ）Ｖ０ｂｃ）口＋ｂｃｃｃ和ｃ０＋）＝０＋６（５
６）＝Ｃａ＋ｃ。６
ＣｎＳ）／ｏ（）ｓｐ∈Ｗ，（ｓｐ ∈Ｖ，为＋０ｂ）ｃ）
文献［Ｏ运用了偏序关系、ｒｅｓ系等方法研１］Ｇｅｎ’ 关究了幂等元半环子簇 Ⅳ 的子簇Ｒｏ的性质，给出Ｄ
的幂等元半环。幂等元分配半环簇记为ＩＤ。分配格簇是指满足附加恒等式
Ｊ－ ’
这两类子簇中成员的一些结果。
关键词
幂等元半环
分配格
Ｍａ’ｅｌｃｖ积文献标志码Ａ
簇
中图法分类号０７．９１５２；
半环（，＋，）指非空集合｜上装有两种二ｓ。是Ｓ元运算“＋” “ ” （，）和。的２２型代数，满足如下附且