离散数学第五章第一节
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离散数学关系-PPT
离散数学关系
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
返回第5、3节目录
五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
返回第5、3节目录
六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
返回总目录
一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
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五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
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一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
离散数学第5章一阶逻辑
xA( x ) A(c )
该式成立的条件是：
（1） c 是使 A 为真的特定的个体常项 .
（2） c 不在 A(x)中出现.
（3） A(x)中除自由出现的 x 外，还有其他自由出现的个
体变项，此规则不能使用 .
4. 存在量词消去规则（简记为 EI 规则或 EI）
xA( x ) A(c )
公式的前束范式定理51前束范式存在定理一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式例4求下列公式的前束范式1??xmxfx解??xmxfx??x?mx?fx量词否定等值式??xmx?fx后两步结果都是前束范式说明公式的前束范式不惟一2?xfx??xgx解?xfx??xgx??xfx?x?gx量词否定等值式??xfx?gx量词分配等值式或?xfx??xgx??xfx?x?gx量词否定等值式??xfx?y?gy换名规则??x?yfx?gy辖域收缩扩张规则3?xfx?ygxy?hy或??xfx?ygzy?hy代替规则??x?yfxgzy?hy解?xfx?ygxy?hy??zfz?ygxy?hy换名规则??z?yfzgxy?hy辖域收缩扩张规则第三节一阶逻辑的推理理论推理的形式结构1
第一组 命题逻辑中16组基本等值式的代换实例
例如，xF(x)xF(x),
xF(x)yG(y) xF(x)yG(y) 等
第二组
(1) 消去量词等值式 设D ={a1, a2, … , an} ① xA(x) A(a1)A(a2)…A(an) ② xA(x) A(a1)A(a2)…A(an)
3. 代替规则 设A为一公式，将A中某个个体变项的所有 自由出现用A中未曾出现过的个体变项符号代 替，其余部分不变，设所得公式为A，则 AA.
例1 将下面命题用两种形式符号化, 并证明两者等值: (1) 没有不犯错误的人 解 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误. x(F(x)G(x)) 或 x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) 量词否定等值式 置换 置换
离散数学第五章
• 二元运算的性质
1.算律: 设 为S上的二元运算, (1)如果对于任意的x,y∈S,有x y=y x, 则称运算在S上满足交换律.
(2)如果对于任意的x,y,z∈S有 (x y) z=x (y z),则称运算在S上满足结 合律. (3)如果对于任意的x∈S有x x=x,则称 运算在S上满足幂等律.
4.群的性质 (1)群的幂运算规则 设G为群,则G中的幂运算满足： 1) a∈G,(a-1)-1=a. 2) a,b∈G,(ab)-1=b-1a-1. 3) a∈G,anam=an+m,n,m∈Z. 4) a∈G,(an)m=anm,n,m∈Z. 5)若G为交换群,则(ab)n=anbn.
设 和 为S上两个不同的二元运算,
(1)如果对于任意的x,y,z∈S有(x y) z= (x z) (y z)和z (x y)=(z x) (z y),则称 运 算对 运算满足分配律.
(2)如果 和 都可交换,并且对于任意的 x,y∈S有x (x y)=x和x (x y)=x,则称 和 运算满足吸收律.
(5) S为任意集合,则∪、∩、－、 为S 的幂集P(S)上的二元运算,这里∪和∩是初级 并和初级交.
(6) S为集合, SS为S上的所有函数的集合, 则函数的集合运算 为SS上的二元运算.
• 一元运算
1. 定义: 设S为集合,函数f：S→S称为S上的一 个一元运算,简称为一元运算. 2. 例: (1) 求一个数的相反数是整数集合Z,有理数集 合Q和实数集合R上的一元运算. (2) 求一个数的倒数是非零有理数集合Q*,非 零实数集合R*上的一元运算.
3.真子代数 任何代数系统V=<S,f1,f2,…,fk>,其子代数一定 存在. 最大的子代数就是V本身. 如果令V中所有代数常数构成的集合是B,且 B对V中所有的运算都是封闭的,则B就构成 了V的最小的子代数. 这种最大和最小的子代数称为V的平凡的子 代数. 若B是S的真子集,则B构成的子代数称为V的 真子代数.
离散数学课件(第5章)
的概率。
02
条件概率的性质
条件概率具有可交换性、可结合性、可分解性和归一性等性质。
03
条件概率的计算公式
条件概率的计算公式为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(A∩B)表示事件A
和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
独立性
事件的独立性
如果两个事件之间没有相互影响， 即一个事件的发生不影响另一个 事件的发生，则这两个事件是独
要点二
详细描述
关系的并运算是指两个关系的并集，表示两个关系中都存 在的关联；关系的交运算是指两个关系的交集，表示同时 存在于两个关系的关联；关系的差运算是指两个关系的差 集，表示存在于一个关系但不存在的关联；关系的逆运算 是指一个关系的逆关系，表示元素之间的关联方向相反。 这些运算可以用来对关系进行操作和变换，以得到所需的 关系。
路径与回路
总结词
路径是指一系列节点和边的有序集合，而回 路是指路径中至少有一条边是有向的。
详细描述
路径是指从图中的一个节点出发，经过一系 列的边和节点，最后回到起始节点或有终止 节点的一条路径。在路径中，所有的边都是 无向的。而回路则是指至少有一条边是有向 的路径，即起点和终点相同的路径。在图论 中，回路的概念非常重要，因为许多问题可
立的。
独立性的性质
独立性具有传递性、对称性和可 分解性等性质。
独立性的计算公式
如果事件A和事件B是独立的，则 P(A∩B)=P(A)P(B)，即两个独立 事件的概率乘积等于它们各自的
概率。
05
离散随机过程
随机变量
定义
分类
随机变量是定义在样本空间上的可测函数 ，它将样本点映射到实数轴上。
离散随机变量和连续随机变量。
离散数学第五章习题答案
离散数学第五章习题答案题目1: 定义一个关系R在集合A上，如果对于所有的a, b, c属于A，满足以下条件：- 如果(a, b)属于R，则(b, a)属于R。
- 如果(a, b)属于R且(b, c)属于R，则(a, c)属于R。
证明R是传递的。
答案：根据题目给出的条件，R是对称的和传递的。
首先，对称性意味着如果(a, b)属于R，那么(b, a)也必须属于R。
其次，传递性意味着如果(a, b)和(b, c)都属于R，那么(a, c)也必须属于R。
结合这两个性质，我们可以得出结论：对于任意的a, b, c属于A，如果(a, b)和(b, c)都属于R，那么(a, c)也属于R，从而证明了R的传递性。
题目2: 给定一个函数f: A → B，如果对于A中的每个元素a，都有唯一的b属于B使得f(a) = b，那么称f为单射（或一一映射）。
证明如果函数f是单射，那么它的逆函数f^-1也是单射。
答案：要证明f^-1是单射，我们需要证明对于B中的任意两个元素b1和b2，如果f^-1(b1) = f^-1(b2)，则b1 = b2。
假设f^-1(b1) = a且f^-1(b2) = a'，其中a, a'属于A。
由于f是单射，我们知道f(a) = b1且f(a') = b2。
根据f^-1的定义，我们有b1 = f(a) = f(a') = b2。
因此，如果f^-1(b1) = f^-1(b2)，则b1必须等于b2，这证明了f^-1是单射。
题目3: 证明一个函数f: A → B是满射（或到上映射）当且仅当对于B中的每个元素b，都存在A中的元素a使得f(a) = b。
答案：首先，我们证明如果f是满射，那么对于B中的每个元素b，都存在A 中的元素a使得f(a) = b。
假设f是满射，这意味着B中的每个元素都是A中某个元素的像。
因此，对于B中的任意元素b，我们可以找到一个a属于A，使得f(a) = b。
离散数学第五章 函数
f -1({0})={0, 1}, f -1({1})={2, 3}, f -1(Ø)= Ø
像与逆像: 映射的“提升”
设U和V是两个集合， f : U→V 是从U到V的一个函数， ρ(U)是U的幂集，ρ(V)是V的幂集。
像与逆像将从U到V的一个映射 f : U→V “提升” 为从U的幂集 ρ(U) 到V的幂集 ρ(V) 的映射
集合 A 在函数 f 下的 像 f (A)
U
f
V
A
f(A)
集合 B 在函数 f 下的 逆像 f -1(B)
U
f
V
-1
f (B)
B
例5.1.3 设 A={a, b, c, d, e} , B={1, 2, 3, 4} , φ: A→B, φ的定义如图所示。则
φ({a, b, c})={1, 2}
例：设 U={1,2,3,4}，V={1,2,…,16}，关系 f1={ <1,1>, <2,4>, <3,9>, <4,16> }， f2={ <1,1>, <2,3>, <4,4> }， f3={ <1,1>, <1,2>, <2,15>, <3,16>, <4,1> }，
试判断哪些是函数？
解：f1 是，且 f1(a)=a2。 f2 不是，因为f2(3)=? f3 不是，因为两个f3(1)。
n×n×…×n = nm
m
映射：递归定义
例5.1.8 (1) 阶乘 n! f: N→N, f(0)=1, f(n+1)=f(n)(n+1), n∈N。
（但需要检查，是否都有射，是否没有一射多）
像与逆像: 映射的“提升”
设U和V是两个集合， f : U→V 是从U到V的一个函数， ρ(U)是U的幂集，ρ(V)是V的幂集。
像与逆像将从U到V的一个映射 f : U→V “提升” 为从U的幂集 ρ(U) 到V的幂集 ρ(V) 的映射
集合 A 在函数 f 下的 像 f (A)
U
f
V
A
f(A)
集合 B 在函数 f 下的 逆像 f -1(B)
U
f
V
-1
f (B)
B
例5.1.3 设 A={a, b, c, d, e} , B={1, 2, 3, 4} , φ: A→B, φ的定义如图所示。则
φ({a, b, c})={1, 2}
例：设 U={1,2,3,4}，V={1,2,…,16}，关系 f1={ <1,1>, <2,4>, <3,9>, <4,16> }， f2={ <1,1>, <2,3>, <4,4> }， f3={ <1,1>, <1,2>, <2,15>, <3,16>, <4,1> }，
试判断哪些是函数？
解：f1 是，且 f1(a)=a2。 f2 不是，因为f2(3)=? f3 不是，因为两个f3(1)。
n×n×…×n = nm
m
映射：递归定义
例5.1.8 (1) 阶乘 n! f: N→N, f(0)=1, f(n+1)=f(n)(n+1), n∈N。
（但需要检查，是否都有射，是否没有一射多）
离散数学代数结构
第一节 代数结构的定义
2020年11月5日星期四
代数结构的定义 一个代数结构< S, f1, f2, …, fm >通常由两个部分组成：
一个集合S ，叫做代数的载体； 定义在载体上的运算（operator） f1, f2, …, fm
代数结构
2020年11月5日星期四
一个集合，叫做代数的载体 载体，是我们将要处理的数学目标的集合 如整数集合、实数集合、符号集合等 一般不讨论载体是空集合的代数结构
例5.1.2： 代数结构 < N, ×>与< Z, - > 具有相同的构成成分 因为它们都有一个二元运算 代数结构 < {F, T}, ∧, ∨> 与 < P(S), , >具有相同 的构成成分，它们都具有两个二元运算
子代数
2020年11月5日星期四
子代数 设< S, f1, f2, …, fm >是一个代数结构
⊙0 1 000 101
这种表称为运算表或复合表，它由 运算符、行表头元素、列表头元素 和复合元素组成。
运算⊙具有封闭性：运算表中的每个元素都属于S
结合律
2020年11月5日星期四
一、结合律
设有代数结构< S, ⊙ >，若 (x)(y)(z)(x,y,z S (x⊙y)⊙z=x⊙(y⊙z)) 则称运算⊙满足结合律，或⊙是可结合的
代数结构
2020年11月5日星期四
代数结构 有时还在代数结构的表示中加入特异元素k，记做 < S, f1, f2, …, fm , k > 载体中的特异元素，也叫做代数常数 有些运算存在么元和零元，它们在运算中起着特殊的作用
代数结构示例
2020年11月5日星期四
离散数学 离散数学课件-资格考试-
例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) ( p q) r (2) (p p) (q q) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 1 若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 2 若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 3 若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
第二章 命题逻辑等值演算
2.1等值式
定义2.1设A,B是两个命题公式，若A，B构成的等价 式A B为重言式，则称A与B等值，记为A B。
例2.1判断下面两个公式是否等值：
(p q),
pq
例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p (q r) 与 (p q) r （2） ( p q) r与 (p q) r
3 下午马芳或去看电影或去游泳。她没去 看电影，所以去游泳了。
4 若气温超过30。 C，则王小燕必去游泳。 若她去游泳，她就不去看电影了，所以王小 燕没去看电影，下午
气温超过了30。 C。
3.2自然推理系统
定义3.2 一个形式系统I由下面四个部分组成：
（1）非空的字母表集，记作A（I）。 （2）A（I）中符号构成的公式集，记作E （I）。
3 E（I）中一些特殊的公式组成的公理集， 记作AX（I）。 4 推理规则集，记作R（I）。
定义3.3自然推理系统P定义如下： 1。字母表
（1）命题变项符号：p，q，r，…pi,qi,ri … 2 联结词符号： ， ， ， ， 。 3 号与逗号（），。 2。合式公式。
3。推理规则 1 前提引入规则 2 结论引入规则 3 置换规则 4 假言推理规则 5 附加规则
定理2.1 （1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含 某个命题变项及它的否定式。 （2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题 变项及它的否定式。
离散数学-耿素云PPT(第5版)5.1
图论
1
图论部分
第5章 第6章 第7章
图的基本概念 特殊的图 树
2
第5章 图的基本概念
5.1 无向图及有向图
5.2 通路, 回路和图的连通性
5.3 图的矩阵表示
5.4 最短路径, 关键路径和着色
3
5.1 无向图及有向图
无向图与有向图 顶点的度数 握手定理 简单图 完全图 子图 补图
10
例
例 d+(a)=4, d-(a)=1, d(a)=5, d+(b)=0, d-(b)=3, d(b)=3, +(D)=4, +(D)=0, (D)=3, (D)=1, (D)=5, (D)=3.
11
图论基本定理——握手定理
定理 任意无向图和有向图的所有顶点度数之和都等 于边数的2倍, 并且有向图的所有顶点入度之和等 于出度之和等于边数. 证 G中每条边（包括环）均有两个端点，所以在计 算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供2m度. 有向图的每条边提供一个入度 和一个出度, 故所有顶点入度之和等于出度之和等 于边数. 推论 任意无向图和有向图的奇度顶点个数必为偶数.
4
无向图
多重集合: 元素可以重复出现的集合 无序积: AB={(x,y) | xAyB} 定义 无向图G=<V,E>, 其中 (1) 顶点集V是非空有穷集合, 其元素称为顶点 (2) 边集E为VV的多重子集， 其元素称为无向边，简称边. 例如, G=<V,E>, 其中 V={v1, v2, …,v5}, E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}
1
图论部分
第5章 第6章 第7章
图的基本概念 特殊的图 树
2
第5章 图的基本概念
5.1 无向图及有向图
5.2 通路, 回路和图的连通性
5.3 图的矩阵表示
5.4 最短路径, 关键路径和着色
3
5.1 无向图及有向图
无向图与有向图 顶点的度数 握手定理 简单图 完全图 子图 补图
10
例
例 d+(a)=4, d-(a)=1, d(a)=5, d+(b)=0, d-(b)=3, d(b)=3, +(D)=4, +(D)=0, (D)=3, (D)=1, (D)=5, (D)=3.
11
图论基本定理——握手定理
定理 任意无向图和有向图的所有顶点度数之和都等 于边数的2倍, 并且有向图的所有顶点入度之和等 于出度之和等于边数. 证 G中每条边（包括环）均有两个端点，所以在计 算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供2m度. 有向图的每条边提供一个入度 和一个出度, 故所有顶点入度之和等于出度之和等 于边数. 推论 任意无向图和有向图的奇度顶点个数必为偶数.
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无向图
多重集合: 元素可以重复出现的集合 无序积: AB={(x,y) | xAyB} 定义 无向图G=<V,E>, 其中 (1) 顶点集V是非空有穷集合, 其元素称为顶点 (2) 边集E为VV的多重子集， 其元素称为无向边，简称边. 例如, G=<V,E>, 其中 V={v1, v2, …,v5}, E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}
离散数学讲解第五章PPT课件
17
又例如 (a2)3 a6 因为 (a2)3(a (2)1)3(a2)1(a2)1(a2)1
(aa)1(aa)1(aa)1
根据结合(a律 a )(a 1a1)(a1a1)(aa)e 所以 (a a)1 a1a1 因此 (a2) 3 (a1a1)(a1a1)(a1a1)
a 1a 1 a1a1a1a1 (a 1)6 a 6
2021/4/8
7
定理5-2：设h是从代数系统V1＝ <S;*>到V2＝ <S;>的 满同态，其中运算*和都是二元运算，则 （1）若V1是半群，则V2也是半群； （2）若V1是独异点，则V2也是独异点。
2021/4/8
8
四、有限独异点的幂等元 设<S;*>是生成元为g的有限循环独异点，考虑无限序列： e，g，g2，g3，.... ，gn-1，gn，gn+1，......
证明：对任意的a∈S，令Sa＝{ a0,a1,a2,...,an,...} 因为S有限，而SaS，所以Sa也有限。 可以验证<S; * >是一具有生成元a的有限循环独异点。 因此，至少有一幂等元akl，这里的k和l如前定义。 记j＝kl，即aj是幂等元。 注：这里j≥1，有可能aj=e
2021/4/8
（1）令FA={f|f:AA},则<FA;>是一个群。 (N)
（2）令EA = {f|f:AA是双射}, 则<EA;>是一个群。 (Y )
（3）EA 定义同上，<EA;>是一个交换群。 (N)
（4）EA 定义同上，<EA;>是一个循环群。 (N )
2021/4/8
25
5.3 群的性质
一、关于相约性 定理5-6 设<G;*>是一个群，则对任意的a,b G， （1）存在唯一的元素xG，使a*x=b； （2）存在唯一的元素yG，使y*a=b。
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练习 指出幂集P(S)上，运算和运算的幺元。 解： 运算的幺元是，运算的幺元是S
9
4、二元运算的特异元素（2）
定理1 设为A上的二元运算，el,er分别为运算的左幺元 和右幺元，则el=er=e，且e为A上关于运算的唯一的幺元。 证：因（er为右幺元）el= eler = er（el为左幺元） 所以 el＝er。令el＝er=e，则e是A中的幺元。
定义7 设和*是A上两个可交换的二元运算，如果对于任 意的x,yA都有
x*(xy)＝x； x(x*y)＝x 则称和*满足吸收律。
例如幂集P(A)上的和运算满足吸收律。
7
3、二元运算的性质（3）
定义8 设为A上的二元运算，如果对于任意的xA都有 xx=x，则称该运算适合等幂律。
例如，任何集合A上的并和交运算适合等幂律。
5
3、二元运算的性质（1）
定义3 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对任意 x,yA，都有x*yA，则称运算*在A上封闭。
定义4 设*为A上的二元运算 ，如果对任意 x,yA,都有 x*y=y*x，则称二元运算*在A上是可交换的。
例如，实数集合上的加法和乘法是可交换的 ，但减法 不可交换。幂集P(A)上的、、都是可交换的，但是 相对补运算不可交换。 定义5 设*为A上的二元运算，如果对于任意的x,y,zA 都有(x*y)*z=x*(y*z)，则称运算*在A上是可结合的。
第五章 代数系统
人们在研究现实世界中的现象或过程时，常常要将它 们抽象为一定的数学模型。选择适当的数学结构在建立 数学模型中占有重要的地位。
本章讨论的代数系统是集合S上定义了关系R而形成的 简单关系结构<S,R>的推广。它首先把关系R限制为集合 S上的一个函数f，进而再推广到S上两个(或更多个)函 数f,g所形成的结构<S,f,g>。考察这些函数f,g在S上的 运算性质和联系，就形成了各类代数系统。
1
第五章 目录
第5-1讲 代数系统的概念 第5-2讲 半群和群 第5-3讲 阿贝尔群和循环群 第5-4讲 陪集与拉格郎日定理 第5-5讲 同态与同构 第5-6讲 环和域简介
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第5-1讲 代数系统
1. n元运算 2.代数系统的概念 3.二元运算的性质 4.二元运算的特异元素 5. 课堂练习 6. 第5-1讲 作业
例1 设S={1,2,3,4},定义S上的二元运算如下： xy=(xy)mod5, x,yS
则<S, >构成一个代数系统。运算还可用表格的形式 来定义，称为运算表：
从表中可以看出，运算在S上是封闭 的，且满足交换律和结合律。有类 似性质的代数系统如<I,+>, <I,*>, <(S),>等，这里I表示整数集合， (S)表示集合S的幂集。而+、*表示 通常的加、乘运算。 表示并运算。
定理3 设为A上的二元运算，e和θ分别为运算的幺元和 零元，如果A至少有两个元素，则eθ。 证：用反证法。假设e=θ，则对xA有x=xe=xθ=θ,此式 说明A中只有唯一的元素θ,与A中至少含有两个元素矛盾。
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4、二元运算的特异元素（5）
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1、n元运算
为定义代数系统，先引入运算的概念。
定义1 对集合A，一个从An到B的映射，称为集合A上的 一个n元运算。如果BA，则称该运算是封闭的。
例如f：NNN，f(<x,y>)=x＋y（这里＋表示普通的加法运算） 就是自然数集合N上的二元运算。而普通的减法不是自然数集合N上 的二元运算，因为两个自然数相减可能得负数，而负数不是自然数。 这时称N对减法运算不封闭。
如果s中的某些x满足xx=x，则称x为运算的等幂元。 例如，普通数的加法和乘法不适合等幂律，但0是加法的 幂等元，0和1是乘法的等幂元。
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4、二元运算的特异元素（1）
定义9 设为A上的二元运算，如果存在el(er)A,使得对 任意xA都有
elx=x（xer=x） 则称el(er)是A中关于运算的一个左幺元（右幺元）。若 eA关于运算既是左幺元又是右幺元，则称e为A上关于 运算的幺元。 在自然数集N上，0是加法的幺元，1是乘法的幺元。
例如普通的加法和乘法在自然数集N、整数集Z、有理 数集Q、实数集R和复数集C上都是可结合的。
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3、二元运算的性质（2）
定义6 设和*是集合A上的两个二元运算，如果对任意的 x,y,zA,有
x*(yz)=(x*y)(x*z) (yz)*x=(y*x)(z*x) 则称运算*对是可分配的。 例如，实数集R上的乘法对加法是可分配的，而在幂集 P（S）上和是互相可分配的。
验证一个运算是否为集合A上的n元运算主要考虑两点： （1）A中任意n个元素都可以进行这种运算，且运算的结果是唯一 的。 （2）A中任意n个元素的运算结果都属于A，即A对该运算是封闭的。
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2、代数系统的概念
定义2 一个非空集合A及定义在A上的k个运算f1， f2， ... fk所组成的系统就称为一个代数系统，。记 作<A， f1，f2， ... fk >。
假设e’是A中的另一个幺元，则有e‘＝ee’＝e，所以e是 A中关于运算的唯的幺元。
练 习 设 S={,,,} ， * 运 算 由下表定义,指出*运算是否 有左右幺元? 解： 和都是S中关于*运算 的左幺元, *运算没有右幺元。
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4、二元运算的特异元素（3）
定义10 设为A上的二元运算，若存在元素θl（θr）A 使得对于任意xA有
定理2 设为A上的二元运算，θl和θr分别为运算的左 零元和右零元，则有θl=θr=θ，且θ是A上关于运算的 唯一零元。 证：设θl和θr分别为运算的左零元和右零元，所以
θl=θlθr=θr 令θl=θr=θ，则θ是A上关于运算的零元。
假设θ'也是A中的零元，则有θ'＝θθ'＝θ，所以 θ是A中关于运算的唯一的零元。
θlx=θl (x θr =θr) 则称θl（θr）是A上关于运算的左零元（右零元）。若 θA关于运算既是左零元又是右零元，则称θ为S上关 于运算的零元。 例如自然数集合上0是普通乘法的零元，而加法没有零元。
练习 指出幂集P(S)上，运算和运算的零元。 解： 运算的零元是S，运算的零元是。
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4、二元运算的特异元素（4）
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4、二元运算的特异元素（2）
定理1 设为A上的二元运算，el,er分别为运算的左幺元 和右幺元，则el=er=e，且e为A上关于运算的唯一的幺元。 证：因（er为右幺元）el= eler = er（el为左幺元） 所以 el＝er。令el＝er=e，则e是A中的幺元。
定义7 设和*是A上两个可交换的二元运算，如果对于任 意的x,yA都有
x*(xy)＝x； x(x*y)＝x 则称和*满足吸收律。
例如幂集P(A)上的和运算满足吸收律。
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3、二元运算的性质（3）
定义8 设为A上的二元运算，如果对于任意的xA都有 xx=x，则称该运算适合等幂律。
例如，任何集合A上的并和交运算适合等幂律。
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3、二元运算的性质（1）
定义3 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对任意 x,yA，都有x*yA，则称运算*在A上封闭。
定义4 设*为A上的二元运算 ，如果对任意 x,yA,都有 x*y=y*x，则称二元运算*在A上是可交换的。
例如，实数集合上的加法和乘法是可交换的 ，但减法 不可交换。幂集P(A)上的、、都是可交换的，但是 相对补运算不可交换。 定义5 设*为A上的二元运算，如果对于任意的x,y,zA 都有(x*y)*z=x*(y*z)，则称运算*在A上是可结合的。
第五章 代数系统
人们在研究现实世界中的现象或过程时，常常要将它 们抽象为一定的数学模型。选择适当的数学结构在建立 数学模型中占有重要的地位。
本章讨论的代数系统是集合S上定义了关系R而形成的 简单关系结构<S,R>的推广。它首先把关系R限制为集合 S上的一个函数f，进而再推广到S上两个(或更多个)函 数f,g所形成的结构<S,f,g>。考察这些函数f,g在S上的 运算性质和联系，就形成了各类代数系统。
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第五章 目录
第5-1讲 代数系统的概念 第5-2讲 半群和群 第5-3讲 阿贝尔群和循环群 第5-4讲 陪集与拉格郎日定理 第5-5讲 同态与同构 第5-6讲 环和域简介
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第5-1讲 代数系统
1. n元运算 2.代数系统的概念 3.二元运算的性质 4.二元运算的特异元素 5. 课堂练习 6. 第5-1讲 作业
例1 设S={1,2,3,4},定义S上的二元运算如下： xy=(xy)mod5, x,yS
则<S, >构成一个代数系统。运算还可用表格的形式 来定义，称为运算表：
从表中可以看出，运算在S上是封闭 的，且满足交换律和结合律。有类 似性质的代数系统如<I,+>, <I,*>, <(S),>等，这里I表示整数集合， (S)表示集合S的幂集。而+、*表示 通常的加、乘运算。 表示并运算。
定理3 设为A上的二元运算，e和θ分别为运算的幺元和 零元，如果A至少有两个元素，则eθ。 证：用反证法。假设e=θ，则对xA有x=xe=xθ=θ,此式 说明A中只有唯一的元素θ,与A中至少含有两个元素矛盾。
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4、二元运算的特异元素（5）
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1、n元运算
为定义代数系统，先引入运算的概念。
定义1 对集合A，一个从An到B的映射，称为集合A上的 一个n元运算。如果BA，则称该运算是封闭的。
例如f：NNN，f(<x,y>)=x＋y（这里＋表示普通的加法运算） 就是自然数集合N上的二元运算。而普通的减法不是自然数集合N上 的二元运算，因为两个自然数相减可能得负数，而负数不是自然数。 这时称N对减法运算不封闭。
如果s中的某些x满足xx=x，则称x为运算的等幂元。 例如，普通数的加法和乘法不适合等幂律，但0是加法的 幂等元，0和1是乘法的等幂元。
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4、二元运算的特异元素（1）
定义9 设为A上的二元运算，如果存在el(er)A,使得对 任意xA都有
elx=x（xer=x） 则称el(er)是A中关于运算的一个左幺元（右幺元）。若 eA关于运算既是左幺元又是右幺元，则称e为A上关于 运算的幺元。 在自然数集N上，0是加法的幺元，1是乘法的幺元。
例如普通的加法和乘法在自然数集N、整数集Z、有理 数集Q、实数集R和复数集C上都是可结合的。
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3、二元运算的性质（2）
定义6 设和*是集合A上的两个二元运算，如果对任意的 x,y,zA,有
x*(yz)=(x*y)(x*z) (yz)*x=(y*x)(z*x) 则称运算*对是可分配的。 例如，实数集R上的乘法对加法是可分配的，而在幂集 P（S）上和是互相可分配的。
验证一个运算是否为集合A上的n元运算主要考虑两点： （1）A中任意n个元素都可以进行这种运算，且运算的结果是唯一 的。 （2）A中任意n个元素的运算结果都属于A，即A对该运算是封闭的。
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2、代数系统的概念
定义2 一个非空集合A及定义在A上的k个运算f1， f2， ... fk所组成的系统就称为一个代数系统，。记 作<A， f1，f2， ... fk >。
假设e’是A中的另一个幺元，则有e‘＝ee’＝e，所以e是 A中关于运算的唯的幺元。
练 习 设 S={,,,} ， * 运 算 由下表定义,指出*运算是否 有左右幺元? 解： 和都是S中关于*运算 的左幺元, *运算没有右幺元。
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4、二元运算的特异元素（3）
定义10 设为A上的二元运算，若存在元素θl（θr）A 使得对于任意xA有
定理2 设为A上的二元运算，θl和θr分别为运算的左 零元和右零元，则有θl=θr=θ，且θ是A上关于运算的 唯一零元。 证：设θl和θr分别为运算的左零元和右零元，所以
θl=θlθr=θr 令θl=θr=θ，则θ是A上关于运算的零元。
假设θ'也是A中的零元，则有θ'＝θθ'＝θ，所以 θ是A中关于运算的唯一的零元。
θlx=θl (x θr =θr) 则称θl（θr）是A上关于运算的左零元（右零元）。若 θA关于运算既是左零元又是右零元，则称θ为S上关 于运算的零元。 例如自然数集合上0是普通乘法的零元，而加法没有零元。
练习 指出幂集P(S)上，运算和运算的零元。 解： 运算的零元是S，运算的零元是。
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4、二元运算的特异元素（4）