离散数学第五章
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离散数学第五章
作业：P178 (2)；P185 (1), (2)
5.3 半群和独异点
一、半群
1、定义
①具有运算封闭性的代数系统A=〈s，*〉 称为 广群，满足运算封闭、结合律的代数 系统 A=＜s，*＞，称为半群，这里*是二 元运算。 ②存在么元的半群称为独异点，也称含么 半群， 单位半群，单元半群。
5.3 半群和独异点
二、么元（单位元）和零元
例：代数A=〈{a，b，c}， ○ 〉用下表定义： ○ a b c 特殊元: b是左么元，无右么元; a是右零元，b是右零元， 无左零元; 运算:既不满足结合律，也不满足交换律。 a a a a b b b b c b c a
二、么元（单位元）和零元
例: a）〈I，x〉， I为整数集
5.2 运算及其性质
5.吸收律：设<A，*，△>，若x，y，z∈A有: x*(x △z)=x 称运算*满足吸收律; x △(x * y) =x； 运算 △满足吸收律
例:N为自然数集,x,y∈N，x*y=max{x，y},
x△y=min{x，y}
试证：*，△满足吸收律 证明：x，y∈N， x*（x△y）=max{x，min{x，y}}=x ∴*满足吸收律 x x≥y x<y x≥y =x =x
则么元为1，零元为0
b）〈（s）,∪,∩〉 对运算∪，是么元， s是零元，
对运算∩，s是么元 ，是零元。 c）〈N，+〉 有么元0，无零元。
二、么元（单位元）和零元
2、性质
性质1: 设*是s上的二元运算，满足结合律，具 有左么元el，右么元er，则el=er=e 证明： er = el* er = e
闭否，<A，+>，<A，/>呢？ 解：2r，2s∈A， 2r x 2s=2r+s∈A （r+s∈Ｎ）
《离散数学》第五章
⊕4b）⊕4c=
a
c)， 满足结合律。 ⊕4(b ⊕4c)，即⊕4满足结合律。
0是单位元，0的逆元是 ，1和3互为逆元，2的逆 是单位元， 的逆元是 的逆元是0， 和 互为逆元 互为逆元， 的逆 是单位元 元是2。 是一个群。 元是 。 <Z4； 4>是一个群。 ⊕ 是一个群
14
定义5-8:如果群 如果群<G; * >的运算 是可交换的，则称该群为 的运算*是可交换的 定义 的运算 是可交换的，
5
三、 子半群和子独异点
定义5-5 定义
<S； >的子代数，则称<T； >是<S； >的子半群。 ； 的子代数，则称 ； 是 ； 的子半群。 的子代数 的子半群
∗
设<S； >是一个半群 ，若 <T； ； 是一个半群 ； ∗
∗
例6
= {2n | n ∈ N} N3 = {3n | n ∈ N}, N4 = {4n | n ∈ N}, L
交换群或阿贝尔群。 交换群或阿贝尔群。
15
二、循环群
1．群中元素的幂 对于任意a∈ ， 对于任意 ∈G， a0=e,
anƮ=e, ( a−1)n+1 = (a−1)n ∗ a−1 (n=0,1,2,…) （*） ） 引进记号 a−n = (a−1)n = a−1 ∗ a−1 ∗ ⋅ ⋅ ⋅ ∗ a−1 ( n个a-1 ) 个 因此（ 因此（ ）式可表示为 (a −1 )0 = e, a−n−1 = a−n * a−1 对于任意整数
1
5.1 半群和独异点 一、半群 半群 定义5-1 定义
二元运算， 二元运算，如果 是半群。 是半群。∗ > < s; 是一个非空集合， 设S是一个非空集合， 是S上的一个 是一个非空集合 上的一个 是可 结 合 的 , 则 称 代 数 系 统
离散数学第五章
• 二元运算的性质
1.算律: 设 为S上的二元运算, (1)如果对于任意的x,y∈S,有x y=y x, 则称运算在S上满足交换律.
(2)如果对于任意的x,y,z∈S有 (x y) z=x (y z),则称运算在S上满足结 合律. (3)如果对于任意的x∈S有x x=x,则称 运算在S上满足幂等律.
4.群的性质 (1)群的幂运算规则 设G为群,则G中的幂运算满足： 1) a∈G,(a-1)-1=a. 2) a,b∈G,(ab)-1=b-1a-1. 3) a∈G,anam=an+m,n,m∈Z. 4) a∈G,(an)m=anm,n,m∈Z. 5)若G为交换群,则(ab)n=anbn.
设 和 为S上两个不同的二元运算,
(1)如果对于任意的x,y,z∈S有(x y) z= (x z) (y z)和z (x y)=(z x) (z y),则称 运 算对 运算满足分配律.
(2)如果 和 都可交换,并且对于任意的 x,y∈S有x (x y)=x和x (x y)=x,则称 和 运算满足吸收律.
(5) S为任意集合,则∪、∩、－、 为S 的幂集P(S)上的二元运算,这里∪和∩是初级 并和初级交.
(6) S为集合, SS为S上的所有函数的集合, 则函数的集合运算 为SS上的二元运算.
• 一元运算
1. 定义: 设S为集合,函数f：S→S称为S上的一 个一元运算,简称为一元运算. 2. 例: (1) 求一个数的相反数是整数集合Z,有理数集 合Q和实数集合R上的一元运算. (2) 求一个数的倒数是非零有理数集合Q*,非 零实数集合R*上的一元运算.
3.真子代数 任何代数系统V=<S,f1,f2,…,fk>,其子代数一定 存在. 最大的子代数就是V本身. 如果令V中所有代数常数构成的集合是B,且 B对V中所有的运算都是封闭的,则B就构成 了V的最小的子代数. 这种最大和最小的子代数称为V的平凡的子 代数. 若B是S的真子集,则B构成的子代数称为V的 真子代数.
离散数学课件(第5章)
的概率。
02
条件概率的性质
条件概率具有可交换性、可结合性、可分解性和归一性等性质。
03
条件概率的计算公式
条件概率的计算公式为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(A∩B)表示事件A
和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
独立性
事件的独立性
如果两个事件之间没有相互影响， 即一个事件的发生不影响另一个 事件的发生，则这两个事件是独
要点二
详细描述
关系的并运算是指两个关系的并集，表示两个关系中都存 在的关联；关系的交运算是指两个关系的交集，表示同时 存在于两个关系的关联；关系的差运算是指两个关系的差 集，表示存在于一个关系但不存在的关联；关系的逆运算 是指一个关系的逆关系，表示元素之间的关联方向相反。 这些运算可以用来对关系进行操作和变换，以得到所需的 关系。
路径与回路
总结词
路径是指一系列节点和边的有序集合，而回 路是指路径中至少有一条边是有向的。
详细描述
路径是指从图中的一个节点出发，经过一系 列的边和节点，最后回到起始节点或有终止 节点的一条路径。在路径中，所有的边都是 无向的。而回路则是指至少有一条边是有向 的路径，即起点和终点相同的路径。在图论 中，回路的概念非常重要，因为许多问题可
立的。
独立性的性质
独立性具有传递性、对称性和可 分解性等性质。
独立性的计算公式
如果事件A和事件B是独立的，则 P(A∩B)=P(A)P(B)，即两个独立 事件的概率乘积等于它们各自的
概率。
05
离散随机过程
随机变量
定义
分类
随机变量是定义在样本空间上的可测函数 ，它将样本点映射到实数轴上。
离散随机变量和连续随机变量。
离散数学 第五章的课件
xF(x,y,z)yG(x,y,z)
tF(t,y,z)yG(x,y,z) tF(t,y,z)wG(x,w,z)
个体变项符号，其余部分不 变
（换名规则） （换名规则）
或者
xF(x,y,z)yG(x,y,z) xF(x,t,z)yG(x,y,z) xF(x,t,z)yG(w,y,z) （代替规则） （代替规则）
10
实例
例5.4 给定解释I如下： （a）个体域 D＝{2,3}. （b）D中特定元素 a =2 （c）D上的特定函数 f (x) ： f (2) =3, f (3)=2 . （d）D上的特定谓词 F (x) ： F (2)=0, F (3)=1; G (x,y)： G (2,2)= G(2,3)= G(3,2)=1，G(3,3)=0； L (x,y)： L (2,2)= L (3,3)=1， L (2,3)= L(3,2)=0； 求下列各式在I下的真值。 (2) x(F(f(x))∧G(x,f(x))) (F(f(2))∧G(2,f(2)))∨(F(f(3))∧G(3,f(3))) (F(3)∧G(2,3))∨(F(2)∧G(3,2)) (1∧1)∨(0∧1) 1
注意:(3)(4)说明量词的顺序不能随便颠倒
13
实例
例5.5 证明下列等值式。 (1) x(M(x)∧F(x)) x(M(x)→F(x)) (2) x(F(x)→G(x)) x(F(x)∧G(x)) (3) xy(F(x)∧G(y)→H(x,y)) xy(F(x)∧G(y)∧H(x,y)) (4) xy(F(x)∧G(y)∧L(x,y)) xy(F(x)∧G(y)→L(x,y))
或
x(F(x,y) yG(x,y,z)) x(F(x,y) tG(x,t,z))
离散数学第五章习题答案
离散数学第五章习题答案题目1: 定义一个关系R在集合A上，如果对于所有的a, b, c属于A，满足以下条件：- 如果(a, b)属于R，则(b, a)属于R。
- 如果(a, b)属于R且(b, c)属于R，则(a, c)属于R。
证明R是传递的。
答案：根据题目给出的条件，R是对称的和传递的。
首先，对称性意味着如果(a, b)属于R，那么(b, a)也必须属于R。
其次，传递性意味着如果(a, b)和(b, c)都属于R，那么(a, c)也必须属于R。
结合这两个性质，我们可以得出结论：对于任意的a, b, c属于A，如果(a, b)和(b, c)都属于R，那么(a, c)也属于R，从而证明了R的传递性。
题目2: 给定一个函数f: A → B，如果对于A中的每个元素a，都有唯一的b属于B使得f(a) = b，那么称f为单射（或一一映射）。
证明如果函数f是单射，那么它的逆函数f^-1也是单射。
答案：要证明f^-1是单射，我们需要证明对于B中的任意两个元素b1和b2，如果f^-1(b1) = f^-1(b2)，则b1 = b2。
假设f^-1(b1) = a且f^-1(b2) = a'，其中a, a'属于A。
由于f是单射，我们知道f(a) = b1且f(a') = b2。
根据f^-1的定义，我们有b1 = f(a) = f(a') = b2。
因此，如果f^-1(b1) = f^-1(b2)，则b1必须等于b2，这证明了f^-1是单射。
题目3: 证明一个函数f: A → B是满射（或到上映射）当且仅当对于B中的每个元素b，都存在A中的元素a使得f(a) = b。
答案：首先，我们证明如果f是满射，那么对于B中的每个元素b，都存在A 中的元素a使得f(a) = b。
假设f是满射，这意味着B中的每个元素都是A中某个元素的像。
因此，对于B中的任意元素b，我们可以找到一个a属于A，使得f(a) = b。
离散数学 第五章 无限集合
那么Fk包括所有这样的函数, 其象是包含在B的枚举的前k个元素
组成的集合中; |Fk|=kn。 因为A是有限的, 对每一函数f:A→B存在某
m∈N, 如果取k＞m, 那么f∈Fk; 所以
。 但每一集合Fk
是有限的因而BA是可数的。证毕。
5.1.3 基数c
不是所有无限集都是可数无限的, 下一定理说明需要新的无 限集基数。
。
(b) 设Σ={a,b}, S是Σ上以a带头的有限串集合, 考虑S的基数。 因为
f: Σ*→S, f(x)=ax
是一个双射函数。所以, |S|=|Σ*|=
。
第一个定理叫做三歧性定律。
定理5.2-2(Zermelo) 成立:
A和B是集合,那么下述情况恰有一个
N所
属等价类的名称。
(ii) 要证明一个集合S有基数α, 只需选基数为α的任意集合S′, 证明从S到S′或从S′到S存在一双射函数。选取集合S′的原则是使 证明尽可能容易。
例1 (a) 设E是正偶数集合, 考虑E的基数。因为
f: I+→E, f(x)=2x
是从I+到E的双射函数, 所以, |E|=|I+|=
(b) ｜(0,1)｜=｜［0,1］｜。这两个集合的不同仅在于区间 的两端点; 为了构造从［0,1］到(0,1)的一个双射函数, 我们必须 在(0,1)中找出0和1的象而保持映射是满射的。定义集合A是
, 定义映射f如下:
图 5.1-4
(c) ｜R｜=c。 我们定义一个从(0,1)到R的双射函数如下:
是Ai的枚举; 如果Ai是有限的我们用无限重复枚举。如果Ai= ,
我们置第i行等于第i-1行。这样, 数组包含所有A的元素而无其它
元素。A元素的一个枚举由图5.1-3中的有向路径指定。 从定理
离散数学第五章 函数
f -1({0})={0, 1}, f -1({1})={2, 3}, f -1(Ø)= Ø
像与逆像: 映射的“提升”
设U和V是两个集合， f : U→V 是从U到V的一个函数， ρ(U)是U的幂集，ρ(V)是V的幂集。
像与逆像将从U到V的一个映射 f : U→V “提升” 为从U的幂集 ρ(U) 到V的幂集 ρ(V) 的映射
集合 A 在函数 f 下的 像 f (A)
U
f
V
A
f(A)
集合 B 在函数 f 下的 逆像 f -1(B)
U
f
V
-1
f (B)
B
例5.1.3 设 A={a, b, c, d, e} , B={1, 2, 3, 4} , φ: A→B, φ的定义如图所示。则
φ({a, b, c})={1, 2}
例：设 U={1,2,3,4}，V={1,2,…,16}，关系 f1={ <1,1>, <2,4>, <3,9>, <4,16> }， f2={ <1,1>, <2,3>, <4,4> }， f3={ <1,1>, <1,2>, <2,15>, <3,16>, <4,1> }，
试判断哪些是函数？
解：f1 是，且 f1(a)=a2。 f2 不是，因为f2(3)=? f3 不是，因为两个f3(1)。
n×n×…×n = nm
m
映射：递归定义
例5.1.8 (1) 阶乘 n! f: N→N, f(0)=1, f(n+1)=f(n)(n+1), n∈N。
（但需要检查，是否都有射，是否没有一射多）
像与逆像: 映射的“提升”
设U和V是两个集合， f : U→V 是从U到V的一个函数， ρ(U)是U的幂集，ρ(V)是V的幂集。
像与逆像将从U到V的一个映射 f : U→V “提升” 为从U的幂集 ρ(U) 到V的幂集 ρ(V) 的映射
集合 A 在函数 f 下的 像 f (A)
U
f
V
A
f(A)
集合 B 在函数 f 下的 逆像 f -1(B)
U
f
V
-1
f (B)
B
例5.1.3 设 A={a, b, c, d, e} , B={1, 2, 3, 4} , φ: A→B, φ的定义如图所示。则
φ({a, b, c})={1, 2}
例：设 U={1,2,3,4}，V={1,2,…,16}，关系 f1={ <1,1>, <2,4>, <3,9>, <4,16> }， f2={ <1,1>, <2,3>, <4,4> }， f3={ <1,1>, <1,2>, <2,15>, <3,16>, <4,1> }，
试判断哪些是函数？
解：f1 是，且 f1(a)=a2。 f2 不是，因为f2(3)=? f3 不是，因为两个f3(1)。
n×n×…×n = nm
m
映射：递归定义
例5.1.8 (1) 阶乘 n! f: N→N, f(0)=1, f(n+1)=f(n)(n+1), n∈N。
（但需要检查，是否都有射，是否没有一射多）
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这是函数 (2)g { x, y | x, y R x y2}
这不是函数
2．函数相等
《定义》：给定函数f:A→B和g:C→D，如果A=C，B=D，
并对所有的 x A 或 x C 都有f(x)=g(x)，则称
函数f和g是相等的 。
２．函数的构成
例：设X={a,b,c}，Y={0,1}，则
X Y { a,0 a,1 b,0 b,1 c,0 c,1 }
X Y 中，有 26 64 个子集。
每个子集对应一个二元关系，因此在集合X → Y上 可以产生64个二元关系。
但在64个关系中只有8个二元关系符合函数的定义。
这8个函数为：
abc f0 { a,0 b,0 c,0 } 000
f g
∴函数的复合运算不满足交换律。
《定理》：函数的复合运算是可结合的，即如果f,g,h均 为函数，则有：
h (g f ) (h g) f
证明： ∵二元关系的复合是满足结合律的，而函数 也是
一种二元关系，∴函数的复合也是满足结合律 。
例：I是整数集合，f：I→I定义成f(i)=2i+1，求复合函数 f 3 (i)
§ 3 函数的复合和逆函数
设 x, y R ，则 y, x R~
现在讨论函数能否像二元关系那样得到逆函数呢？
例：定义一函数 f如右图所示
(1) ~f 的定义域不是Y，而是Y的子集 (2) ~f 不满足函数定义中值是唯一的条件
~f 是一种二元关系，而不是函数
（3）只有双射函数存在逆函数.
为了和逆关系相区别，函数f的 “逆函数” 用 f 1 来表示
又∵g为入射函数,且 f (xi ) f (x j )
g( f (xi )) g( f (x j )) 即 g f (xi ) g f (x j )
xi , x j 是任意的，
g f 也是入射函数。
可用同样的方法证明（1）和（3）
例：设 I 是负整数集合，定义二个双射函数f和g，
§3 函数的复合和逆函数
§1 函数的概念
１．函数的定义 《定义》设A和B是任意两个集合，f是 A→B的一个二
元关系，若对于任意x∈A，集合B都存在 唯一的 元
素y ， 使得<x,y>∈ f ，则称二元关系f为函数（映
射）,并记为：f：A→B。
讨论定义： （1）若<x,y>∈ f，则称x为自变量，y称作函数f在x点处 的值。也可用y=f(x)表示<x,y>∈ f。 （2）二元关系f为集合A→B上的函数，则
《定义》：设 f : X Y 是一双射函数，称 f 1 : Y X
为f的逆函数。
《定理》：如果f: X→Y是双射函数，则 ： 也为双射函数。
f 1 : Y X
《定义》：设f: X→Y和g:W→Z是二个函数，若 f (X ) W 则：
g f { x, z | x X z Z y( y Y y f (x) z g( y))} 称g在函数f的左边可复合。
例：sin(cos x)，先求cos x，然后求sin(cos x)
讨论定义： 两个函数的复合可以形成一个新的函数。
例：设X={1,2,3}, Y={p,q}, Z={a,b} f: X→Y={<1,p><2,p><3,q>} g:Y→Z={<p,b><q,b>}
则： g f { 1,b 2,b 3,b } g f 是X→Z的函数
入射函数满足： (1)|X|≤|Y| (2) Rf⊆Y
《定义》：给定函数f: X→Y，如果f既是满射函数， 又是入射函数，则称f为双射函数。
双射函数满足： (1)|X|=|Y| (2) Rf=Y
例：在全班同学的集合中，设：X={学号}，Y={姓名} 则：f: X→Y是一双射函数（学号和姓名的关系）
函数f的定义域为： dom f A
（3）对任意 x A ，其函数值f(x)是唯一的
（4）函数f 的值域： ranf B
例：判定下列关系是否为函数
Df X
Rf Y
是函数
Df X
不是函数
值不是唯一的 不是函数
例：设X=Y=R（实数） (1) f { x, y | x, y R y x2}
| Y||X | nm
§2 特殊函数
1.几种特殊函数 《定义》：给定函数f: X→Y，如果值域 Rf=Y
则称f为满射函数。
满射函数一定有： (1)|X|≥|Y| (2) Rf=Y
《定义》：给定f: X→Y，如果有 x1 x2 f (x1) f (x2 )
或者：f (x1) f (x2 ) x1 x2 则称f是入射函数。
f : I I f(x)= - x ={<-1,1><-2,2>…}， g : I N g(x)= x-1={<1,0><2,1>…}，
g f : I N g( f (x)) ((x) 1) { 1,0 2,1 }
《定理》：设f: X→Y，g:Y→Z， g f 是一合成函数，则：
(1)如果f和g都是满射函数，则 g f 也是满射函数； (2)如果f和g都是入射函数，则 g f 也是入射函数； (3)如果f和g都是双射函数，则 g f 也是双射函数。
证明：（2）设任一 xi , x j X xi x j ∵f为入射函数，∴ f (xi ) f (x j )
f2 0a1b0c abc
f4 100 abc
f6 110
abc f1 001
abc f3 011
abc f5 101
abc f7 111
讨论： （1）设|X|=m，|Y|=n，则函数f: X→Y中都是m个序偶的集
合；（即序偶个数=定义域的基数）
（2）X中每一个元素所对应的象点f(x)可能是Y中n个， 则从集合X-Y的所有函数个数为：
解： f 3 (i) f ( f f (i)) f f (2i 1) f (2(2i 1) 1)
2(2(2i 1) 1) 1 8i 6 1 8i 7
f 3 (i) f ( f 2 (i)) 2 f 2 (i) 1 2(2 f (i) 1) 1
2(2(2i 1) 1) 1 8i 6 1 8i 7
这不是函数
2．函数相等
《定义》：给定函数f:A→B和g:C→D，如果A=C，B=D，
并对所有的 x A 或 x C 都有f(x)=g(x)，则称
函数f和g是相等的 。
２．函数的构成
例：设X={a,b,c}，Y={0,1}，则
X Y { a,0 a,1 b,0 b,1 c,0 c,1 }
X Y 中，有 26 64 个子集。
每个子集对应一个二元关系，因此在集合X → Y上 可以产生64个二元关系。
但在64个关系中只有8个二元关系符合函数的定义。
这8个函数为：
abc f0 { a,0 b,0 c,0 } 000
f g
∴函数的复合运算不满足交换律。
《定理》：函数的复合运算是可结合的，即如果f,g,h均 为函数，则有：
h (g f ) (h g) f
证明： ∵二元关系的复合是满足结合律的，而函数 也是
一种二元关系，∴函数的复合也是满足结合律 。
例：I是整数集合，f：I→I定义成f(i)=2i+1，求复合函数 f 3 (i)
§ 3 函数的复合和逆函数
设 x, y R ，则 y, x R~
现在讨论函数能否像二元关系那样得到逆函数呢？
例：定义一函数 f如右图所示
(1) ~f 的定义域不是Y，而是Y的子集 (2) ~f 不满足函数定义中值是唯一的条件
~f 是一种二元关系，而不是函数
（3）只有双射函数存在逆函数.
为了和逆关系相区别，函数f的 “逆函数” 用 f 1 来表示
又∵g为入射函数,且 f (xi ) f (x j )
g( f (xi )) g( f (x j )) 即 g f (xi ) g f (x j )
xi , x j 是任意的，
g f 也是入射函数。
可用同样的方法证明（1）和（3）
例：设 I 是负整数集合，定义二个双射函数f和g，
§3 函数的复合和逆函数
§1 函数的概念
１．函数的定义 《定义》设A和B是任意两个集合，f是 A→B的一个二
元关系，若对于任意x∈A，集合B都存在 唯一的 元
素y ， 使得<x,y>∈ f ，则称二元关系f为函数（映
射）,并记为：f：A→B。
讨论定义： （1）若<x,y>∈ f，则称x为自变量，y称作函数f在x点处 的值。也可用y=f(x)表示<x,y>∈ f。 （2）二元关系f为集合A→B上的函数，则
《定义》：设 f : X Y 是一双射函数，称 f 1 : Y X
为f的逆函数。
《定理》：如果f: X→Y是双射函数，则 ： 也为双射函数。
f 1 : Y X
《定义》：设f: X→Y和g:W→Z是二个函数，若 f (X ) W 则：
g f { x, z | x X z Z y( y Y y f (x) z g( y))} 称g在函数f的左边可复合。
例：sin(cos x)，先求cos x，然后求sin(cos x)
讨论定义： 两个函数的复合可以形成一个新的函数。
例：设X={1,2,3}, Y={p,q}, Z={a,b} f: X→Y={<1,p><2,p><3,q>} g:Y→Z={<p,b><q,b>}
则： g f { 1,b 2,b 3,b } g f 是X→Z的函数
入射函数满足： (1)|X|≤|Y| (2) Rf⊆Y
《定义》：给定函数f: X→Y，如果f既是满射函数， 又是入射函数，则称f为双射函数。
双射函数满足： (1)|X|=|Y| (2) Rf=Y
例：在全班同学的集合中，设：X={学号}，Y={姓名} 则：f: X→Y是一双射函数（学号和姓名的关系）
函数f的定义域为： dom f A
（3）对任意 x A ，其函数值f(x)是唯一的
（4）函数f 的值域： ranf B
例：判定下列关系是否为函数
Df X
Rf Y
是函数
Df X
不是函数
值不是唯一的 不是函数
例：设X=Y=R（实数） (1) f { x, y | x, y R y x2}
| Y||X | nm
§2 特殊函数
1.几种特殊函数 《定义》：给定函数f: X→Y，如果值域 Rf=Y
则称f为满射函数。
满射函数一定有： (1)|X|≥|Y| (2) Rf=Y
《定义》：给定f: X→Y，如果有 x1 x2 f (x1) f (x2 )
或者：f (x1) f (x2 ) x1 x2 则称f是入射函数。
f : I I f(x)= - x ={<-1,1><-2,2>…}， g : I N g(x)= x-1={<1,0><2,1>…}，
g f : I N g( f (x)) ((x) 1) { 1,0 2,1 }
《定理》：设f: X→Y，g:Y→Z， g f 是一合成函数，则：
(1)如果f和g都是满射函数，则 g f 也是满射函数； (2)如果f和g都是入射函数，则 g f 也是入射函数； (3)如果f和g都是双射函数，则 g f 也是双射函数。
证明：（2）设任一 xi , x j X xi x j ∵f为入射函数，∴ f (xi ) f (x j )
f2 0a1b0c abc
f4 100 abc
f6 110
abc f1 001
abc f3 011
abc f5 101
abc f7 111
讨论： （1）设|X|=m，|Y|=n，则函数f: X→Y中都是m个序偶的集
合；（即序偶个数=定义域的基数）
（2）X中每一个元素所对应的象点f(x)可能是Y中n个， 则从集合X-Y的所有函数个数为：
解： f 3 (i) f ( f f (i)) f f (2i 1) f (2(2i 1) 1)
2(2(2i 1) 1) 1 8i 6 1 8i 7
f 3 (i) f ( f 2 (i)) 2 f 2 (i) 1 2(2 f (i) 1) 1
2(2(2i 1) 1) 1 8i 6 1 8i 7