定积分计算题
定积分定义计算例题
定积分定义计算例题定积分是高中数学中比较重要的一个概念，也是数学中的一个重要工具。
下面是一些定积分的定义和计算例题：1. 定积分的定义：定积分是指在一定区间内，曲线和坐标轴之间的面积。
表示为：$int_a^bf(x)dx$。
其中，$a$和$b$是积分区间的两个端点，$f(x)$是被积函数。
2. 定积分的计算方法：(1) 划分区间：将积分区间分成若干个小区间。
(2) 求出每个小区间的面积：用等式$S=frac{1}{2}(y_1+y_2)(x_2-x_1)$求出每个小区间的面积。
(3) 将每个小区间的面积相加：$int_a^bf(x)dx=sum_{i=1}^nfrac{1}{2}(y_i+y_{i+1})(x_{i+1}-x _i)$。
3. 计算例题：例1：计算$int_0^{pi/2}sin x dx$。
解：因为$sin x$在区间$[0,pi/2]$上单调递增，所以可以将积分区间划分成若干个小区间。
设划分的小区间为$[x_i,x_{i+1}]$，则$x_i=ifrac{pi}{10}$，$x_{i+1}=(i+1)frac{pi}{10}$。
每个小区间的面积为：$frac{1}{2}(sin x_i+sin x_{i+1})cdotfrac{pi}{10}$将每个小区间的面积相加，得到：$int_0^{pi/2}sin x dxapproxsum_{i=0}^9frac{1}{2}(sinx_i+sin x_{i+1})cdotfrac{pi}{10}approx1$例2：计算$int_0^1frac{1}{1+x^2}dx$。
解：因为$frac{1}{1+x^2}$在区间$[0,1]$上单调递减，所以可以将积分区间划分成若干个小区间。
设划分的小区间为$[x_i,x_{i+1}]$，则$x_i=icdot0.1$，$x_{i+1}=(i+1)cdot0.1$。
每个小区间的面积为：$frac{1}{2}left(frac{1}{1+x_i^2}+frac{1}{1+x_{i+1}^2}right) cdot0.1$将每个小区间的面积相加，得到：$int_0^1frac{1}{1+x^2}dxapproxsum_{i=0}^9frac{1}{2}left(fra c{1}{1+x_i^2}+frac{1}{1+x_{i+1}^2}right)cdot0.1approx0.78$。
高中数学定积分计算习题
定积分的计算班级 姓名一、利用几何意义求下列定积分 （1）dx x ⎰11-2-1 (2)dx x ⎰22-4（3）dx x ⎰22-2x （4）()dx x x ⎰-24二、定积分计算 （1）()dx ⎰107-2x （2）()d x ⎰+21x2x 32（3）dx ⎰31x 3（4）dx x ⎰ππ-sin （5）dx x ⎰e 1ln （6）dx ⎰+1x 112（7）()d x x x⎰+-10232 （8）()dx 2311-x ⎰ （9）dx ⎰+11-2x x 2）（（10）()d x x ⎰+212x1x （11）()d x x x ⎰-+11-352x （12）()d xe e x x ⎰+ln2x -e（13）dx x ⎰+ππ--cosx sin ）（ （14）dx ⎰e1x 2（15）dx x ⎰21-x sin -2e ）（（16）dx ⎰++21-3x1x x 2 （17）dx ⎰21x13 （18）()dx 22-1x ⎰+三、定积分求面积、体积1求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积。
2．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．3．求由曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积4.如图求由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的图形的面积．5、求函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积。
6．将由曲线y ＝x 2，y ＝x 3所围成平面图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。
7．将由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。
8.由曲线y ＝x 与直线x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。
定积分试题及答案大学
定积分试题及答案大学一、选择题1. 定积分的几何意义是表示曲线与x轴之间的有向面积。
（）A. 正确B. 错误答案：A2. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分∫[a,b]f(x)dx的值是唯一的。
（）A. 正确B. 错误答案：A3. 定积分∫[a,b]kf(x)dx=k∫[a,b]f(x)dx，其中k为常数。
（）A. 正确B. 错误答案：A二、填空题1. 设f(x)=x^2，计算定积分∫[0,1]x^2dx的值为____。
答案：1/32. 若∫[0,1]f(x)dx=2，则∫[0,2]f(x)dx=____。
答案：43. 设f(x)=2x，求定积分∫[1,2]2xdx的值为____。
答案：4三、解答题1. 计算定积分∫[0,π]sin(x)dx。
解：根据定积分的计算公式，我们有∫[0,π]sin(x)dx = [-cos(x)] | [0,π] = -cos(π) - (-cos(0)) = 2。
2. 设f(x)=x^3+3x^2+2x-1，求定积分∫[-1,1]f(x)dx。
解：首先计算不定积分F(x)=∫f(x)dx，得到F(x)=x^4/4+x^3+x^2-x+C。
然后计算定积分∫[-1,1]f(x)dx = F(1)-F(-1) = [(1)^4/4+(1)^3+(1)^2-1] - [(-1)^4/4+(-1)^3+(-1)^2-(-1)]= (1/4+1+1-1) - (1/4-1+1+1) = 0。
3. 求曲线y=x^2与x轴及直线x=1，x=2所围成的面积。
解：根据定积分的几何意义，所求面积为S = ∫[1,2]x^2dx = [x^3/3] | [1,2] = (2^3/3) - (1^3/3) = 7/3。
高三数学积分计算练习题及答案
高三数学积分计算练习题及答案一、选择题1. 设函数f(x)在区间[0, 2]上连续，下列函数与f(x)定积分相等的是：（）。
(A) 定积分∫[1, 2] f(2x) dx(B) 定积分∫[0, 1] f(x^2) dx(C) 定积分∫[0, 1] f(1-x) dx(D) 定积分∫[2, 4] f(x/2) dx2. 函数y = f(x)在区间[0, 2]上连续，曲线的长度L为：（）。
(A) 定积分∫[0, 2] √(1+(f'(x))^2) dx(B) 定积分∫[0, 2] √(1+(f(x))^2) dx(C) 定积分∫[0, 2] √(x^2+(f'(x))^2) dx(D) 定积分∫[0, 2] √(1+(f''(x))^2) dx3. 设函数f(x)在区间[0, 1]上连续，那么下列哪个等式成立？（）。
(A) 定积分∫[0, 1] f(x) dx = ∫[0, 1] f(1-x) dx(B) 定积分∫[0, 1] f(x) dx = ∫[0, 1] f(x+1) dx(C) 定积分∫[0, 1] f(x) dx = ∫[0, 1/2] f(2x) dx + ∫[1/2, 1] f(2x-1) dx(D) 定积分∫[0, 1] f(x) dx = ∫[0, 1] f(2-x) dx4. 函数f(x)在区间[0, 1]上连续，且f(x) > 0，那么下列哪个积分值最大？（）。
(A) 定积分∫[0, 1] f(x) dx(B) 定积分∫[0, 1] f(x)^2 dx(C) 定积分∫[0, 1] 1/f(x) dx(D) 定积分∫[0, 1] e^f(x) dx二、计算题1. 计算定积分∫[0, 1] [x^2 + 2x + 1] dx。
解：∫[0, 1] [x^2 + 2x + 1] dx = ∫[0, 1] x^2 dx + ∫[0, 1] 2x dx + ∫[0, 1] 1 dx = [x^3/3]∣₀¹ + [x^2]∣₀¹ + [x]∣₀¹= 1/3 + 2 + 1所以，定积分∫[0, 1] [x^2 + 2x + 1] dx = 2 1/3。
定积分典型例题及习题答案
04 定积分习题答案及解析
习题一答案及解析
要点一
答案
$frac{1}{2}$
要点二
解析
根据定积分的几何意义，该积分表示一个半圆的面积，半径 为1，因此结果为半圆的面积，即$frac{1}{2}$。
习题二答案及解析
答案：$0$
解析：由于函数$f(x) = x$在区间$[-1, 1]$上为奇函数，根据定积分的性质，奇函数在对称区间上的积 分为0。
定积分的分部积分法
总结词
分Hale Waihona Puke 积分法是一种通过将两个函数的乘积进行求导来计算定积分的方法。
详细描述
分部积分法是通过将两个函数的乘积进行求导来找到一个函数的定积分。具体来说，对于两 个函数u(x)和v'(x)，其乘积的导数为u'v+uv'，其中u'表示u对x的导数。分部积分法可以表示 为∫bau(x)v'(x)dx=∫bau'(x)v(x)dx+∫bau(x)v(x)dx，其中u'(x)和u(x)分别是u对x的导数和函
定积分典型例题及习题答案
目录
• 定积分的基本概念 • 定积分的计算方法 • 定积分典型例题解析 • 定积分习题答案及解析
01 定积分的基本概念
定积分的定义
总结词
定积分的定义是通过对函数进行分割、 近似、求和、取极限等步骤来得到的。
详细描述
定积分定义为对于一个给定的函数f(x)，选择一 个区间[a,b]，并将其分割为n个小区间，在每 个小区间上选择一个代表点，并求出函数在这 些点的近似值，然后将这些近似值进行求和， 最后取这个和的极限。
数值。通过分部积分法，可以将复杂的定积分转换为更简单的形式进行计算。
定积分求体积练习题
定积分求体积练习题在微积分学中，定积分是一个重要的概念。
它可以被用于计算曲线下的面积，以及三维空间中的体积。
本文将通过一些定积分求体积的练习题，来帮助读者更好地理解和运用这一概念。
第一个练习题是求取由曲线 $y=x^2$ 和直线 $y=4$ 所围成的区域沿$x$ 轴的旋转体的体积。
要解决这个问题，我们可以首先确定旋转体的上下界，并找出面积函数的方程。
在这个例子中，上下界分别是曲线$y=x^2$ 和直线 $y=4$。
因此，我们可以得到面积函数的方程为$A(x)=4-x^2$。
接下来，我们需要计算旋转体的体积。
根据定积分的定义，我们可以得到这个体积为：$$V=\int_{-2}^{2} A(x)dx$$通过求解上述积分，我们可以得到旋转体的体积为$\frac{64}{3}$。
第二个练习题是求取由曲线 $y=\sqrt{x}$ 和直线 $y=0$ 所围成的区域沿$y$ 轴的旋转体的体积。
同样地，我们需要确定旋转体的上下界，并找出面积函数的方程。
在这个例子中，上下界分别是曲线$y=\sqrt{x}$ 和直线 $y=0$。
因此，面积函数的方程为 $A(y)=\pi y^2$。
接下来，我们需要计算旋转体的体积。
根据定积分的定义，我们可以得到这个体积为：$$V=\int_{0}^{1} A(y)dy$$通过求解上述积分，我们可以得到旋转体的体积为$\frac{\pi}{3}$。
通过这两个例子，我们可以看到定积分求体积的方法可以被广泛应用于各种曲线图形的计算中。
只需要确定旋转体的上下界，并找出面积函数的方程，就可以通过定积分来确定体积。
除了以上的两个练习题，还有许多其他形式的定积分求体积的题目可以练习和探索。
例如，可以考虑由曲线 $y=e^x$ 和直线 $y=1$ 所围成的区域沿 $x$ 轴的旋转体的体积，或者由曲线 $y=\sqrt{1-x^2}$ 和直线 $y=0$ 所围成的区域沿 $y$ 轴的旋转体的体积等等。
定积分例题
定积分例题例1、计算dx x ⎰π20sin分析：可利用积分的可加性将绝对值去掉解：dx x ⎰π20sin ππππππ2020cos cos )sin (sin x x dx x xdx +-=-+=⎰⎰ 4)]1(1[)11(=--+---= 例2、计算dx xxe⎰12ln 解：dx x x e ⎰12ln 31ln 31ln ln 1312===⎰ee x x xd例3、计算下列定积分1、dx xe x⎰2022、⎰e xdx x 1ln分析：利用分部积分法，定积分的分部积分公式是⎰⎰-=baba bavdu uv udv ，它与不定积分的区别在于每一项都带有积分上、下限。
解：1、dx xe x ⎰202)(2222202202dx e xe x x x ⎰⎰-==4)44(444202=--=-=e e e e x2、⎰exdx x 1ln )ln ln (21ln 21121212x d x x x xdx e e e ⎰⎰-==)1(4121412121212212212--=-=-=⎰e e x e xdx e ee)1(41414122+=+=e e 例4、计算下列无穷限积分：1、dx e x ⎰+∞-03； 2、dx xx e⎰+∞ln 1分析：由定义知，⎰⎰+∞→+∞=ba b a dx x f dx x f )(lim )(，对于无穷限积分⎰+∞adx x f )(的求解步骤为①求常义积分)()()(a F b F dx x f ba-=⎰；②计算极限)]()([lim a F b F b -+∞→ 解：1、dx e x⎰+∞-03)31(lim lim 0303bx b bxb e dx e-+∞→-+∞→-==⎰31)1(lim 313=--=-+∞→b b e 2、dx xx e⎰+∞ln 1+∞===+∞→+∞→⎰be b b e b x x d x ln ln lim ln ln 1lim 说明此无穷积分dx xx e⎰+∞ln 1是发散的 例5、设)(x f ''在],[b a 上连续，证明：)]()([)]()([)(a f a f a b f b f b dx x f x ba-'--'=''⎰分析：利用定积分的分部积分公式证明 证明：⎰⎰⎰'-'='=''ba ba ba b a dx x f x f x x f xd dx x f x )()()()( ba x f a f ab f b )()()(-'-'= )]()([)]()([a f a f a b f b f b -'--'=。
定积分的换元法例题
定积分的换元法例题
以下是一道以换元法来计算积分的题目：
已知一个积分为x，现要求将其转换为元，请问可以得到多少元？
首先，换元法是一种用来计算积分转换为元的常用方法。
它的原
理是：把积分按一定比例换成元。
下面给出具体计算方式：
1.将所有积分数按1:1的比例转换成元，即1积分可以转换成1元，则一个x积分可以换成x元。
2.如果积分以10的整数倍换元，即10积分可以换成1元，则一
个x积分可以换成x/10元。
3.如果积分转换以100的整数倍换元，则一个x积分可以换成
x/100元。
4.如果积分转换以1000的整数倍换元，则一个x积分可以换成
x/1000元。
以上就是换元法的计算方式，如此一来，就可以计算出x积分具
体可以换多少元了。
例如x=1000，则1000积分可以换成1000/1000 = 1元。
如果x=3000，则3000积分可以换成3000/1000 = 3元。
如果x=10500，则10500积分可以换成10500/1000=10.5元。
总之，以上就是通过换元法来计算积分转换为元的简单方法，它可以让我们更清楚地知道积分转换为元可以得到多少元，便于我们更加妥善地安排自己的财务。
定积分专项习题
第五章 定积分(A)1．利用定积分定义计算由抛物线12+=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所围成的图形的面积。
2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ⎰=112)1x d x 41)212π=-⎰dx x⎰-=ππ0s i n )3x d x ⎰⎰-=2220cos 2cos )4πππxdx xdx3．估计下列各积分的值 ⎰331a r c t a n )1x d x x dx exx ⎰-022)24．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ⎰21ln )1xdx 与dx x ⎰212)(ln dx e x ⎰10)2与⎰+1)1(dx x5．计算下列各导数dt t dx d x ⎰+2021)1 ⎰+3241)2x x t dt dx d⎰xxdt t dx d cos sin 2)cos()3π6．计算下列极限xdt t xx ⎰→020cos lim)1 xdt t xx cos 1)sin 1ln(lim)20-+⎰→2220)1(lim)3x xt x xedt e t ⎰+→7．当x 为何值时，函数⎰-=xt dt tex I 02)(有极值？8．计算下列各积分 dx xx )1()12142⎰+dx x x )1()294+⎰⎰--21212)1()3x dx ⎰+ax a dx3022)4⎰---+211)5e x dx⎰π20sin )6dx xdx x x ⎰-π3sin sin )7⎰2)()8dx x f ，其中⎪⎩⎪⎨⎧+=2211)(x x x f11>≤x x9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题：⎰-=ππ0c o s )1k x d x πππ=⎰-kxdx 2cos )2⎰-=⋅ππ0s i n c o s )3l x d x kx ⎰-=ππ0sin sin )4lxdx kx10.计算下列定积分 ⎰-πθθ03)s i n 1()1d ⎰262cos )2ππududx xx ⎰-121221)3 dx x a x a 2202)4-⎰ ⎰+31221)5xxdx dx x ⎰-2132)1(1)6⎰-2221)7x x dx ⎰--1145)8xxdx⎰-axa x d x 20223)9 dt tet ⎰-1022)10⎰-++02222)11x x dx⎰-222cos cos )12ππxdx x⎰--223c o s c o s )13ππdx x x ⎰-++2221)(cos )14xdxx x x ⎰+π2c o s 1)15dx x11.利用函数的奇偶性计算下列积分⎰-224c o s 4)1ππθθd dx xx ⎰--2121221)(arcsin )2dx x x xx ⎰-++55242312sin )312．设f （x ）在[]b a ,上连续，证明：⎰⎰-+=babadx x b a f dx x f )()(13．证明：)0(1111212>+=+⎰⎰x x dx x dx xx14．计算下列定积分⎰-10)1dx xe x⎰342sin )2ππdx x xdx xx⎰41ln )3 ⎰10arctan )4xdx x⎰202c o s )5πx d x e x dx x x ⎰π2)sin ()6⎰edx x 1)sin(ln )7 dx x ee⎰1ln )815.判定下列反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值。
定积分试题及答案大学
定积分试题及答案大学试题一：设函数\( f(x) = 2x - 1 \)，求在区间[1, 3]上的定积分，并求出该定积分的几何意义。
解：首先，我们需要找到函数\( f(x) \)的原函数，即不定积分。
对于\( f(x) = 2x - 1 \)，其不定积分为：\[ F(x) = \int (2x - 1)dx = x^2 - x + C \]其中\( C \)为积分常数。
接下来，我们计算区间[1, 3]上的定积分：\[ \int_{1}^{3} (2x - 1)dx = F(3) - F(1) = (3^2 - 3) - (1^2 - 1) = 9 - 3 - 1 + 1 = 6 \]几何意义：定积分\( \int_{1}^{3} (2x - 1)dx \)表示的是函数\( y = 2x - 1 \)与x轴在区间[1, 3]之间所围成的曲边梯形的面积，其面积为6平方单位。
试题二：计算定积分\( \int_{0}^{2} \frac{1}{1 + x^2} dx \)。
解：该定积分可以通过反正切函数的积分公式来解决：\[ \int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan(x) + C \]其中\( C \)为积分常数。
计算定积分：\[ \int_{0}^{2} \frac{1}{1 + x^2} dx = \left[ \arctan(x)\right]_{0}^{2} = \arctan(2) - \arctan(0) \]由于\( \arctan(0) = 0 \)，我们有：\[ \int_{0}^{2} \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan(2) \]试题三：设\( y = x^3 \)，求在区间[-1, 1]上的定积分，并解释其几何意义。
解：首先，我们计算不定积分：\[ \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C \]其中\( C \)为积分常数。
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例2．计算下列定积分
（1）20(1)xxdx； （2）2211()xedxx （3）20sinxdx
5．42xedx的值等于 （ ）
42()Aee (B) 42ee (C) 422ee (D) 422ee
9.计算由曲线36yxx和2yx所围成的图形的面积.
复合函数的导数
1.C 2.B 3.B 4.A 5.A 6.A 7.y=u3,u=1+sin3x 8.－3
9.y′=21sin4x+2xcos4x 10.)32cos()32sin(xx 11.xxx1sin1cos122
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（）
y=(x2－3x+2)2sin3x