高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第4讲 合情推理与演绎推理课件 文 北师大版

(2)(2016·青岛模拟 )某种平面分形图如图所示，一级分形图是 由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为 120°；二 级 分形 图是 在一 级分 形图 的每 条线 段末 端出发 再生 成两条 长 度 为 原 来1 的 线 段 ， 且这 两 条 线 段与 原 线 段两 两 夹 角 为
3 120°，…，依此规律得到 n 级分形图．
c3＝b2＋2
a2＝b2＋ 2
a1，
b3＋
c3＝
2a1，
所以 a1<b3<c2，b2<c3<a1，
所以 c1<b2<c3<a1<b3<c2<b1.
由归纳知，n 越大，两边 cn，bn 越靠近 a1 且 cn＋bn＝2a1，
此时面积 Sn越来越大，当且仅当 cn＝bn＝a1 时△AnBnCn 的
2.(2016·杭州模拟)已知命题：“若数列{an}是等
比数列，且 an＞0，则数列 bn＝n a1a2…an(n∈N*)也是等比 数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么
性质？并证明你的结论．
解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：
若数列{an}是等差数列，
则数列
bn＝a1＋
类比推理的分类 (1)类比 定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试 题时，可以借助原 定义来求解； (2)类比 性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质 入手，提出类比推理 型问题，求解时要认真分析两者之间的 联系与区别，深入 思考两者的转化过程是求解的关键； (3)类比 方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以 把 这种 方法 类比 应用 到其 他问 题的 求解 中，注 意知 识的迁 移.
交汇创新——例析归纳推理中的创新问题
设△AnBnCn 的三边长分别为 an，bn，cn，△AnBnCn 的面积为 Sn，n＝1，2，3，….若 b1>c1，b1＋c1＝2a1，an＋1 ＝an，bn＋1＝cn＋2 an，cn＋1＝bn＋2 an，则( B ) A． {Sn}为递减数 列 B． { Sn}为 递增数列 C． {S2 n－1 }为递增数列， {S2n}为递减数列 D． {S2 n－1 }为递减数列， {S2n}为递增数列
若 f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则 f2 014(x)的表达式 为___f_2 _01_4_(x_)_＝__1_＋__2x_0_1_4_x___．
(2)(2016·山东省滕州第二中学模拟)在△ABC 中，不等式A1＋B1
＋C1≥π9 成立；在凸四边形 ABCD 中，不等式A1＋B1＋C1＋D1 ≥
(2)由
(1)可知nS＋n＋
1＝ 1
4·nS－n－
1 (n≥ 1
2)，
所以
Sn＋
1＝
4(n＋
1)·nS－n－ 11＝
n－1＋ 4· n－1
2·Sn－
1＝
4an(n≥
2)．(大
前提)
又因为 a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提) 所以对于任意正整数 n，都有 Sn＋1＝4an.(结论)
3.已知函数 y＝f(x)满足：对任意 a，b∈R，a≠ b，都有 af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为 R 上的单 调增函数．
证明： 设 x1，x2∈R，取 x1<x2， 则由题意得 x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)， 所以 x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0， [f(x2)－ f(x1 )](x2－ x1)>0， 因为 x1<x2， 所以 f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)． 所以 y＝f(x)为 R 上的单调增函数．
4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1∶2，则它们
的面积比为 1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱 长的比为 1∶2，则它们的体积比为_1__∶__8___．
1
解析：VV12＝313SS12hh12＝SS12
·hh12＝14×12＝
1. 8
考点一 归纳推理(高频考点) 归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题或填空 题，难度稍大，属中高档题． 高考对归纳推理的考查常有以下三个命题角度： (1)数值的归纳； (2)代数式的归纳； (3)图形的归纳．
C D E 3π 3π
A1 A2
An
n2 （ n－ 2）π
(n∈ N*， n≥ 3)．
考点二 类比推理
(2016·西安模拟)设△ABC 的三边长分别为 a、b、
c，△ABC
的面积为
S，内切圆半径为
r，则
r＝a＋2bS＋
；类 c
比这个结论可知：四面体 S-ABC 的四个面的面积分别为 S1、
S2、S3、S4，内切球的半径为 R，四面体 S-ABC 的体积为 V，
(1)(2015·高考陕西卷)观察下列等式： 1－1＝1，
22 1－1＋1－1＝1＋1，
23434 1－1＋1－1＋1－1＝1＋1＋1，
23456456 …， 据此规律，第 n 个等式可为
_1_－__12_＋__13_－__14_＋__…__＋__2_n_1－__1_－__2_1n_＝__n_＋_1_1_＋__n__＋1__2_＋__…__＋__21n____．
常见的归纳推理及求解策略 (1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需 要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要 联系相关的知识，如等差数列、等比数列等． (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．解 决的关键是抓住相邻图形之间的关系.
1.(1)(2014·高考陕西卷)已知 f(x)＝1＋x x，x≥0，
则 R＝( C )
V
A. S1
＋S2＋
S3
＋S4
3V
C. S1
＋S2＋
S3
＋S4
2V B.S1＋S2＋ S3＋S4
4V D. S1 ＋S2＋ S3 ＋S4
[解析]设四面体的内切球球心为 O，那么由 V＝VO­ABC＋
VO­SAB＋VO­SAC＋VO­SBC，即 V＝13S1R＋13S2R＋13S3R＋13S4R， 可得 R＝S1＋S23＋VS理三段论可知，①是大前提，②是小前提， ③是结论．
3．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2 时，an＝an－1＋2n－1，依
次计算 a2，a3，a4 后，猜想 an 的表达式是( C )
A．an＝3n－1
B．an＝4n－3
C．an＝n2
D．an＝3n－1
解析：由 a1＝1，an＝an－1＋2n－1，则 a2 ＝ a1＋ 2× 2－ 1＝ 4； a3 ＝ a2＋ 2× 3－ 1＝ 9； a4 ＝ a3＋ 2× 4－ 1＝ 16； 所以 an＝n2.
第六章 不等式、推理与证明
第4讲 合情推理与演绎推理
1．推理 (1)定义：是根据一个或几个已知的__判__断____来确定一个新的 __判__断____的思维过程．
__合__情__推__理____ (2)分类：推理__演__绎__推__理__________
2．合情推理
归纳推理
类比推理
由于两类不同对象具有某些
a2＋ n
…＋
an(n∈
N*)也是等差数列．
证明如下：设等差数列{an}的公差为 d， 则 bn＝a1＋a2＋n …＋an＝na1＋n（nn－2 1）d ＝a1＋d2(n－1)， 所以数列{bn}是以 a1 为首项，d2为公差的等差数列．
考点三 演绎推理
数列{an}的前 n 项和记为 Sn，已知 a1＝1，an＋1＝
[解析] 在△A1B1C1 中，b1>c1，b1＋c1＝2a1，
所以 b1>a1>c1.
在△ A2 B2C2
中
，
a2＝
a1，
b2＝c1
＋ 2
a1，
c2＝b1＋2
a1，
b2＋
c2＝
2a1，
所以 c1<b2<a1<c2<b1.
在△A3B3C3 中，a3＝a2＝a1，
b3＝c2＋2
a2＝c2＋ 2
a1，
根据一类事物中部分事物具
定 有某种属性，推断该类事物 __类__似__的特征，在此基础上，
根据一类对象的其他特征，
义
中__每__一__个___事物都有这种属 性的推理方式
推断另一类对象也具有_类__似
的其他特征的推理过程
特 由__部__分____到__整__体____、由 由__特__殊__到_特__殊___ 点 __个__别____到___一__般___的推理 的推理
16 2π
成立；在凸五边形
ABCDE
中，不等式A1＋B1＋C1＋D1 ＋E1≥
25 3π
成立，…，依此类推，在凸
n
边形
A1A2…An
中，不等式A11
＋A12＋…＋A1n≥__（__n_－_n_22_）__π__(_n_∈__N_*_，__n_≥__3_)__成立．
x
解
析
：
(1)f1(x)
＝
x 1＋
③结论：根据一般原理，对特__殊__情___况_做出的判断.
1．辨明两个易误点 (1)演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数 学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性． (2)合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依 据．
2．把握合情推理与 演绎推理的三个特点 (1)合情 推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一 定正确，其结论的 正确性是需要证明的． (2)在进 行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面 现象所迷惑；否则 只抓住一点表面现象甚至假象就去类 比， 就会犯机械类比的 错误． (3)应用 三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么 是小前提，如果大前 提与推理形式是正确的，结论必定是正 确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确 的，所得结论 也是错误的．