必修5第二章数列4等比数列
人教版高中数学必修五学案 §2.4 等比数列(一)
§2.4 等比数列(一)学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念并会简单应用(重点)；2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式，了解其推导过程(重、难点).知识点1等比数列的定义及通项公式【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列的公比可以为任意实数.()(2)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列.()(3)常数列既是等差数列又是等比数列.()提示(1)公比不可以为0.(2)应为同一个常数.(3)0数列除外.答案(1)×(2)×(3)×知识点2等比中项的概念如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝±ab.【预习评价】1.已知等比数列{a n}中，a1＝1，a3＝9，则a2＝________.解析∵a3＝a1·q2.∴9＝q 2，∴q ＝±3，∴a 2＝a 1q ＝±3.答案 ±32.3与27的等比中项是________.解析 由于G 2＝3×27＝81，故G ＝±9.答案 ±9题型一 等比数列通项公式的应用【例1】 在等比数列{a n }中，(1)已知a 3＝9，a 6＝243，求a 5；(2)已知a 1＝98，a n ＝13，q ＝23，求n .解 (1)法一 由a 3＝9，a 6＝243，得a 1q 2＝9，a 1q 5＝243.∴q 3＝2439＝27，∴q ＝3.∴a 1＝1.∴a 5＝a 1q 4＝1×34＝81.法二 ∵a 6＝a 3q 3，∴q 3＝a 6a 3＝2439＝27，∴q ＝3. ∴a 5＝a 3q 2＝9×32＝81.(2)∵a 1＝98，q ＝23，a n ＝13，∴13＝98×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝827＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233. ∴n －1＝3，∴n ＝4.规律方法等比数列的通项公式及变形的应用1.在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式a n＝a1q n－1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项.2.在已知等比数列中任意两项的前提下，利用a n＝a m q n－m(q≠0)也可求出等比数列中的任意一项.【训练1】在等比数列{a n}中.(1)已知a n＝128，a1＝4，q＝2，求n；(2)已知a n＝625，n＝4，q＝5，求a1；(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式.解(1)∵a n＝a1·q n－1，∴4·2n－1＝128，∴2n－1＝32，∴n－1＝5，n＝6.(2)a1＝a nq n－1＝62554－1＝5，故a1＝5.(3)a3＝a1·q2，即8＝2q2，∴q2＝4，∴q＝±2.当q＝2时，a n＝a1q n－1＝2·2n－1＝2n，当q＝－2时，a n＝a1q n－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n，∴数列{a n}的公比为2或－2，对应的通项公式分别为a n＝2n或a n＝(－1)n－12n.题型二等比中项及其应用【例2】已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项. 解设该等比数列的公比为q，首项为a1，∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168，a 1q －a 1q 4＝42，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ＋q 2）＝168，a 1q （1－q 3）＝42.∵1－q 3＝(1－q )(1＋q ＋q 2).上述两式相除，得q (1－q )＝14⇒q ＝12.∴a 1＝42q －q 4＝4212－⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝96. 若G 是a 5，a 7的等比中项，则应有G 2＝a 5·a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962·⎝ ⎛⎭⎪⎫1210＝9. ∴a 5，a 7的等比中项是±3.规律方法 (1)首项a 1和q 是构成等差数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法.(2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项.【训练2】 已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，求a 2－a 1b 2的值. 解 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2.若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2＜0.∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.【例3】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *).(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列.(1)解 由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)， ∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.(2)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12.又a 1＝－12， 所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列.【迁移1】 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝a n ＋1(n ∈N *).(1)求证：{b n }是等比数列；(2)求{a n }的通项公式.(1)证明 令a n ＋1＋k ＝2(a n ＋k )，即a n ＋1＝2a n ＋k ，与a n ＋1＝2a n ＋1比较得k ＝1.又a 1＋1＝2，b n ＝a n ＋1，故数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列.(2)解 法一 由(1)知，a n ＋1＝2·2n －1，∴a n ＝2n －1.法二 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＝2a n －1＋1(n ≥2).∴a n ＋1－a n ＝2(a n －a n －1).∴{a n ＋1－a n }为等比数列，其中首项为a 2－a 1＝2a 1＋1－a 1＝a 1＋1＝2，公比q ＝2.则a n ＋1－a n ＝2·2n －1＝2n .∴2a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝2n －1.【迁移2】 已知数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，求a n . 解 令a n ＋1－A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n －A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， 则a n ＋1＝13a n ＋A 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1. 由已知条件知A 3＝1，得A ＝3，所以a n ＋1－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 又a 1－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝－23≠0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 是首项为－23，公比为13的等比数列. 于是a n －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1， 故a n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n . 规律方法 判断一个数列是否是等比数列的常用方法(1)定义法：若数列{a n }满足a n ＋1a n ＝q (q 为常数且不为零)或a n a n －1＝q (n ≥2，q 为常数且不为零)，则数列{a n }是等比数列.(2)通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)，则数列{a n }是等比数列.(3)等比中项法：若a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *且a n ≠0)，则数列{a n }为等比数列.(4)构造法：在条件中出现a n ＋1＝ka n ＋b 关系时，往往构造数列，方法是把a n ＋1＋x ＝k (a n ＋x )与a n ＋1＝ka n ＋b 对照，求出x 即可.课堂达标1.在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3等于( )A.16B.16或－16C.32D.32或－32 解析 由a 4＝a 1q 3，得q 3＝8，即q ＝2，所以a 3＝a 4q ＝32.答案 C2.已知a 是1，2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( )A.6B.－6C.±6D.±12解析 ∵a ＝1＋22＝32，b 2＝(－1)(－16)＝16，b ＝±4，∴ab ＝±6.答案 C3.45和80的等比中项为________.解析 设45和80的等比中项为G ，则G 2＝45×80，∴G ＝±60.答案 －60或604.已知数列{a n }是等比数列，且a 1＝18，a 4＝－1，则数列{a n }的公比q 为________.解析 q 3＝a 4a 1＝－8，所以q ＝－2. 答案 －25.已知a n ＝2n ＋3n ，判断数列{a n }是不是等比数列？解 不是等比数列.∵a 1＝21＋31＝5，a 2＝22＋32＝13，a 3＝23＋33＝35，∴a 1a 3≠a 22，∴数列{a n }不是等比数列.课堂小结1.等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数). (2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *).2.两个同号的实数a 、b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方.3.等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量.。
2020年年数学人教A版必修五优化课件第二章等比数列的前n项和公式的性质及应用
对等比数列求和的项数用错致误 [典例] 在等比数列{an}中，公比 q＝2，前 87 项和 S87＝140，则 a3 ＋a6＋a9＋…＋a87＝________.
[ 解 析 ] 法 一 ： a3 ＋ a6 ＋ a9 ＋ … ＋ a87 ＝ a3(1＋ q3 ＋ q6 ＋ … ＋ q84) ＝ a1q2·1－1－qq3329＝1＋qq2＋q2·a111－－qq87＝47×140＝80.
在与等比数列的和有关的问题中，合理应用和的性质，可以简化运算， 本题的法四运用了当 q≠－1 时，数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍 成等比数列，公比为 qm；法二运用了等比数列的性质：Sm＋n＝Sn＋ qnSm；法三运用了等比数列的性质：当 q≠±1 时，1－Smqm＝1－Snqn.
列的性质的由来． 并能应用．
2．理解等比数列的性质并能应用． 难点：掌握等比数列的性质
3．掌握等比数列的性质并能综合应 并能综合应用.
用.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
1．等比数列的项与序号的关系以及性质
设等比数列{an}的公比为 q. (1)两项关系：an＝ am·qn－m (m，n∈N*)． (2)多项关系：若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 aman＝ apaq . (3)若 m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，am，an，ap 成等比数列．
2．等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an＝a2·an－1 ＝ak·__a_n_－_k＋_1_
＝a2 n+1 (n 为正奇数)．
2
必修5-等比数列的概念及通项公式(实用)
是,公比 q=3
1 是,公比 q= 2
5，5，5，5，5，5，… 1，-1，1，-1，1，… 1，0，1，0，1，… 0，0，0，0，0，…
是,公比 q=1 是,公 比q= -1 不是等比数列
不是等比数列
1, x , x , x , x , ( x 0)
2 3 4
是,公比 q= x
公比q是每一项（第2项起）与它的前一项的比；防止把被除数 与除数弄颠倒；公比可以是正数，负数，可以是1，但不可以为0
等差数列通项公式的推导: （不完全归纳）
a3 a2 d a1 2d
a4 a3 d a1 3d
方法:(累加法)
an an1 d
a n a1 (n 1)d, n N
a2 a1 d a3 a 2 d a 4 a3 d … … an1 an2 d
公式强化 例1：在等比数列{an}中：
(1)已知a1 2, q 3, an 162, 求n;
4
3 1 (2)已知a1 3, q ，求a5； 2 16 1 1 (3)已知a9 , q , 求a1； 36 729 9 3 (4)已知a1 2, a5 8, 求q 2
其数学表达式
an 0
或
an q(n 2) an1
an1 * q(n N ) an
(判断一个数列是否为等比数列的依据)
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 1，3，9，27，81，…
1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16
( n, m N )
*
生活 应用
人教A版高中数学必修五2.4《等比数列(二)》
答案：1510
要点阐释
1．等比数列的性质 (1)在等比数列中，我们随意取出连续的三项以上的数， 把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列． (2)在等比数列中，我们任取“间隔相同”的三项以上的数， 把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列，如：等比 数列a1，a2，a3，… ，an，….那么a2，a5，a8，a11，a14，…； a3，a5，a7，a9，a11…各自仍构成等比数列．
已知等比数列an
满足
an＞0，n＝1,2，…，
且 a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当 n≥1 时，log2a1＋log2a3＋…
＋log2a2n－1＝
()
A．(n－1)2
B．n2
C．(n＋1)2
D．n(2n－1)
错解：易得 an＝2n，且 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1 ＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1) ＝1＋3＋ …＋(2n－1)＝1＋22n－1(2n－1) ＝n(2n－1)．从而错选 D 错因分析：对等差数列1,3，…，2n－1的项数没 数清．
即aa1122－＋22aa11aa55＋＋aa5522＝＝330422，， 两式相减得 a1a5＝64，即 a32＝64， 又 a5＞a1，故 a3＝8. 答案：A
2．在等
比数列an
中，
a8
是
a4
与________的等比中项
A．a9
B．a10
C．a11
() D．a12
高中数学必修5课件：第2章2-5-1等比数列的前n项和
数学 必修5
第二章 数列
4．在等比数列{an}中，a3－a1＝8，a6－a4＝216，Sn＝40. 求公比q，a1及n.
解析： 显然公比q≠1，由已知可得：
a1q2－a1＝8， aa11q115－－－qaq1nq＝3＝4201，6，
a1＝1， 解得q＝3，
n＝4.
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第二章 数列
等比数列前n项和的基本运算
第二章 数列
新课引入
一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人会不愿意，哪知富 人一口应承了下来，但提出了如下条件：在 30 天中，每天借给穷 人 10 万元．借钱第一天，穷人还 1 分钱，第二天，还 2 分钱，以 后每天所还的钱数都是前一天的 2 倍，30 天后，互不相欠．穷人 听后觉得很划算，本想一口气定下来，但又想到富人平时是吝啬 出了名的，怕上当受骗，所以很为难．本节课我们来想个办法帮 助这个穷人.
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第二章 数列
(2)由题意知：SS奇 奇＋ －SS偶 偶＝ ＝－ 802，40， ∴SS奇 偶＝ ＝－ －8106， 0. ∴公比q＝SS偶 奇＝－－18600＝2.
答案： (1)28
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第二章 数列
用错位相减法求数列的和
求和Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn.
[思路点拨]
[规范解答] (1)当x＝0时，Sn＝0.
∴aa111111－ －－ －qqqq36＝ ＝7262， 3.
① ②
②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2.
将q＝2代入①中得a1＝12， ∴an＝a1qn－1＝12·2n－1＝2n－2，即an＝2n－2.
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第二章 数列
(3)由Sn＝
a11－qn 1－q
新课标人教A版数学必修5全部课件：等比数列
n 1
x 1 n ( ) 2
n 1
an 5 1
n 1
5
a n ( 1)
n 1
等比数列的图象1
20 18 16 14 12 10 8
6 4 2 0
● ●
（1）数列：1，2，4，8，16，…
●
an 2
n 1
等比数列的有关概念
观察数列，共同特点是： (1) 2，4，8，16，32，64.
(2)
公比 q=2 递增数列
1，3，9，27，81，243，… 公比 q=3 递增数列
公比 d= x 公比 q= 递减数列
(5) (6)
5，5，5，5，5，5，… 1，-1，1，-1，1，…
公比 q=1 非零常数列 公 比q= -1 摆动数列
答：上述电讯产品平均每次降价的百分率大约是31%.
等比数列的通项公式练习1
求下列等比数列的第4，5项： （1） 5，-15，45，… （2）1.2，2.4，4.8，…
例3、求下列各等比数列的通项公式： 1、 a1 = 2, a 3 = 8
2、 a1=5, 且 2 an+1 = 3 an
3、 a1=5, 且
例4、已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号， 求证： 证：由题设：b2=ac 得： 也成 GP。
也成GP
答：到第5代大约可以得到这种新品种的种子
粒.
等比数列的通项公式例题2
例2 、 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，
求它的第1项与第2项.
答：这个数列的第1项与第2项分别是
例3 某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降价，单 价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平均每次降价 的百分率大约是多少（精确到1%）？ 解： 设平均每次降价的百分率是x， 由已知条件，有
高中数学必修5：数列
必修Ⅴ 数列一、数列的概念1、数列：数列与函数的关系： 数列的通项公式： 数列的递推公式： 数列的前n 项和=n S 通项n a 与n S 的关系：=n a2、由递推公式求通项公式的常见方法：①形如：d a a n n =--1（为常数）p a a n n =-1（为常数），用 求通项公式 ②形如：()n f a a n n =--1，()n g a a n n =-1，用 求通项公式 ③形如：q pa a n n +=-1 ()0,1,0≠≠≠q p p ，用 求通项公式 ④形如qpa a a n n n +=--11 ()0,0≠≠q p ，用 求通项公式 3、数列求和的常见方法①倒序求和：通项满足 时，用此方法求和 ②分组求和：通项满足 时，用此方法求和 ③错位相减法：通项满足 时，用此方法求和 ④裂项求和：通项满足 时，用此方法求和 ⑤并项求和：通项满足 时，用此方法求和4、判断数列单调性的方法：①利用数列的单调性：若01>-+n n a a ()*N n ∈，数列 ；若01<-+n n a a ()*N n ∈，数列 ②利用数列是一个特殊的函数，以及相应函数的单调性，确定数列的单调性。
二、等差数列1、等差数列的定义：2、等差数列的通项公式：=n a从函数角度理解等差数列的通项n a 是关于n 的3、等差数列的性质：①序号差的关系：=-m n a a ②序号和的关系：若s r n m +=+，则4、等差数列的前n 项和：=n S =从函数角度理解等差数列的前n 项和n S 是关于n 的等差数列的前n 项和n S 的性质：①一般地：k S ，k S 2，k S 3仍然成 ，公差为②n S 可以转化成最中间一项或两项的和 n a a S n n ⋅+=21 若n 为偶数()k n 2=时=n S ，若n 为奇数()12-=k n 时=n S 等差数列的前n 项和n S 最值的求法：①利用n S 是关于n 的二次型函数求最值，注意函数的定义域∈n②分析等差数列前有限项的正负，求n S 的最值：若前有限项为正数项，可以求n S 的 值，若前有限项为负数项，可以求n S 的 值5、等差中项的定义：若A 为a 与b 的等差中项，则=A三、等比数列1、等比数列的定义：2、等比数列的通项公式：=n a从函数角度理解等差数列的通项n a 是关于n 的3、等比数列的性质： ①序号差的关系：=mn a a ②序号和的关系：若s r n m +=+，则 4、等比数列的前n 项和：1≠q 时，=n S = ，1=q 时，=n S 等比数列的前n 项和n S 的性质：一般地：若0≠k S k S ，k S 2，k S 3仍然成 ，公比为5、等比中项的定义：若G 为a 与b 的等比中项，则=G。
必修5-2-8教学案等比数列(4)
一、复习回顾：
等比数列 中
1.定义式： ＝q(q≠0，n≥2)
2.通项公式：an＝=(a1,q≠0)
3.若m＋n＝p＋q，则
4.Sn＝＝(q≠1)
Sn＝na1，(q＝1)
5.an＝Sn－Sn－1(n≥2)，a1＝S1(n＝1)
二、练一练：
1.已知｛an是公比为 的等比数列｝，若a1+a4+a7+…+a97=100,则a3+a6+a9+…+a99的值为
课题
等比数列的前n项和(二)
编号
9
学习目标
会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题．提高分析、解决问题能力．
教学重点、难点
重点：进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式
难点：灵活使用有关知识解决问题
教学方法
讲练集合引导探究
学习要点及自主学习导引
2、已知 ，则 =
3.已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数.
典例探究
例1、设数列 为 , , 求此数列前 项的和
例2、已知等差数列{ }的第二项为8，前十项的和为185，从数列{ }
中，依次取出第2项、第4项、第8项、……、第 项按原来的顺序排
成一个新数列{ }，求数列{ }的通项公式和前项和公式 ．
例3、在数列 中， 求数列 的前
n项和Sn.
例4、顾客采用分期付款的方式购买一件 元的商品，在购买一个月后第一次付款，且每月等额付款一次，在购买后的第 个月将货款全部付清，月利率 ，按复利计算，该顾客每月应付款多少元？（参考数据： ）
人教课标版高中数学必修5《第二章数列》知识概述
1．本章是通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列──等差数列、等比数列的通项公式及前n项求和公式的研究的。
教科书首先通过三角形数、正方形数的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍了数列的几种简单表示法（列表、图象、通项公式）。
作为最基本的递推关系──等差数列，是从现实生活中的一些实例引入的，然后由定义入手，探索发现等差数列的通项公式。
等差数列的前n项和公式是通过的高斯算法推广到一般等差数列的前n项和的算法。
与等差数列呈现方式类似，等比数列的定义是通过细胞分裂个数、计算机病毒感染、银行中的福利，以及我国古代关于“一尺之棰，日取其半，万世不竭”问题的研究探索发现得出的，然后类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式，接着通过实例引入等比数列的前n项求和，并用错位相减法探索发现等比数列前n项求和公式。
最后，通过“九连环”问题的阅读与思考以及“购房中的数学”的探究与发现，进一步感受数列与现实生活中的联系和具体应用。
2．人们对数列的研究有的源于现实生产、生活的需要，有的出自对数的喜爱。
教科书从三角形数、正方形数入手，指出数列实际就是按照一定顺序排列着的一列数。
随后，又从函数的角度，将数列看成是定义在正整数集或其有限子集上的函数。
通过数列的列表、图象、通项公式的简单表示法，进一步体会数列是型，借助数列的相关知识解决问题的思想。
三、编写中考虑的几个问题1．体现“现实问题情境——数学模型——应用于现实问题”的特点数列作为一种特殊函数，是反映自然规律的基本数学模型。
教科书通过日常生活中大量实际问题（存款利息、放射性物质的衰变等）的分析，建立起等差数列与等比数列这两种数列模型。
通过探索和掌握等差数列与等比数列的一些基本数量关系，进一步感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决了一些实际问题。
教科书的这一编写特点，可由下面图示清楚表明：数列：三角形数、正方形数数列概念数列的三种表示回归到实际问题（希尔宾斯基三角形、斐波那契数列、银行存款等）等差数列：4个生活实例等差数列概念等差数列通项公式等差数列基本数量关系的探究（出租车收费问题等）前100个自然数的高斯求解等差数列的前n项和公式等差数列数量关系的探究及实际应用（校园网问题）等比数列：细胞分裂、古代“一尺之棰”问题、计算机病毒、银行复利的实例等比数列概念等比数列的通项公式等比数列基本数量关系的探究及实际应用（放射性物质衰变、程序框图等）诺贝尔奖金发放金额问题等比数列前n项和公式等比数列基本数量关系探究及实际应用（商场计算机销售问题、九连环的智力游戏、购房中的数学等）教科书的这种内容呈现方式，一方面可以使学生感受数列是反映现实生活的数学模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学不仅仅是形式的演绎推导，数学是丰富多彩而不是枯燥无味的；另一方面，这种通过具体问题的探索和分析建立数学模型、以及应用于解决实际问题的过程，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断，提高数学地提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础。
高中数学等差、等比数列的通项及求和公式课件人教必修5
(1)公式对任何数列都适用；
(2)n＝1的情形要单独讨论.
2.已知等比数列{an}的公比为q，前n项的和为Sn，且S3，S9，
S6成等差数列. (1)求q3的值；
(2)求证a2，a8，a5成等差数列.
【解题回顾】本题方法较多，用等比数列Sn公式时一定要注 意讨论q.
3.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇 数项和之比为32∶27，求公差d.
A.18
B.36
C.54
D.72
3.设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.若{Sn}是 等差数列，则q=__1_
4.等比数列{an}前n项的乘积为Tn，若Tn=1，T2n=2，则T3n的 值为( D )
(A)3
(B)4
(C)7
(D)8
5.在等差数列{an}中，a2+a4=p，a3+a5=q．则其前6项的和S6 为( B )
第2课时 等差、等比数列的通 项及求和公式
要点·疑点·考点 课前热身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误解分析
要点·疑点·考点
1.等差数列前n项和 Sna 1 2 a nnn1 an n 2 1 d
等比数列前n项和 Sn na1a11qn
1q
q 1 q 1
2.如果某个数列前n项和为Sn，则
an
SS1n
Sn1
n1 n2
3.在等差(比)数列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n… 成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和.
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1.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应 年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数 填入表中空白( )内.
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等比数列(一)
学习目标
1、正确叙述等比数列的定义,准确表述公比的意义。
2、理解通项公式的推导过程,并会用此公式解题,并能用方程的思想,根据条件解决有关问题。
学习重点:对等比数列的理解及通项公式的应用。 难点:正确运用等比数列的通项公式。
学习过程
一、导入
观察下面的数列说出各自的特点。
① 1,2,4,8,……,2 63 ② 5,25,125,625,……
③ 1,－21,41,－81,…… ④ 31,91,271,811,……
二、新课
1、定义:①语言描述
②式子描述:Ⅰ、12aa＝23aa＝34aa＝45aa＝……＝nnaa1＝……＝ q
Ⅱ、21aaq,32aaq,43aaq,54aaq,……,1nnaaq,
2、通项公式:11nnaaq
推导:
3、通项公式的应用:
例1:等比数列{na}中,①na＝1104n,求1a及q。 ②2nna ；求1a及q。
例2:①等比数列{na }中,已知3a＝ 45,q ＝－3,求5a
②一个等比数列的第三项与第四项分别是12与18,求它的第一项和第二项。
解:① ②
例3:某中细菌在培养过程中,每20分中分裂一次,(一次分裂为2个)经过331小时,这种细菌由1个
可繁殖几个？
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作业:
1、下列各选项中,不是一个等比数列的前三项的是( )
A、2、4、8； B、–2、–4、–8 ； C、–2、4、–8 D、 2、–4、8
2、在等比数列{}na中,已知127a,公比13q,那么6a的值是( )
A、13 B、13 C、19 D、19
3、28是等比数列42,4,22,中的第( )项
A、10； B、11 ； C、12 D、 13
4、在等比数列{}na中,已知首项为98,末项为13,公比为23,则此等比数列的项数是( )
A、6； B、5 ； C、4 D、3
5、等比数列,22,33,xxx中的第4项为( )
A、272 B、272 C、27 D、27
6、在等比数列{}na中①2418,8 aa，则 1_____,_____aq
②、574,6 aa，则 9_____a
③514215,6 aaaa，则 3_____a
7、在8与5832之间插入5个数,使它们组成以8为首项的等比数列,则这个数列的第5项
是 。
8、某林场计划第一年造林15公顷,以后每一年比前一年多造林20%,第五年造林 公顷。
(结果保留到个位)
9、在等比数列{}na中,已知1411,216aa,则该数列的通项公式是
10、在等比数列{}na中,已知1231237,8aaaaaa,求na
11、成等差数列的三个数的和等于15,如果这三个数分别加上1,3,9就成等比数列,求这三个数。
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等比数列(二)
学习目标
1、 理解等比中项的概念。等比数列的一些简单性质,及性质的应用。
学习重点:等比中项的概念。等比数列的一些简单性质；难点:等比数列解题中的合理设元。
学习过程
一、导入新课
[复习提问] 等比数列定义是什么？通项公式是什么？
1、 由一个等比数列的任意两项ka是ma否可以确定这个等比数列的通项公式？为什么？
二、新课
1、等比中项
(1)、等比中项的定义是什么？
(2)、设{na}是等比数列,则 ①当1a＝1,3a＝3时,5a＝
②当1a＝1,7a＝3时,4a＝ ③当2a＝－4,10a＝－9时,6a＝
2、等比数列的性质
问题1、等比数列{na }中,去掉前面m项,剩余的部分: 1ma,2ma,3ma,…na,……组成的数列是
否仍是等比数列？
问题2、在等比数列{na }中,公比为q下标成等差数列的项构成的数列是等比数列吗？若是,其公
比是？
问题如果{na}是等比数列,且m＋n＝ p＋q,那么ma、na与 pa、qa之间的关系如何？
问题4、如果{na }、{b n }是项数相同的等比数列,那么{ na·nb }仍是等比数列吗？若c是不为
0的常数,那么{c·na }仍是等比数列吗？
3、应用举例
例1、三数成等比数列,其和为－3,其积为8,求此三数。
例2、正数等比数列{na},56aa＝81,求313233310loglogloglogaaaa的值。
例3、正数等比数列{na}中,243546225aaaaaa,求35aa
例4、在3与9之间插入两个正数,使得前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,求这两个正数
的和。
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作业:
1、下列四个命题:①若a , b , c成等差数列,则2bac；②若a , b , c成等比数列,则2bac
③若2bac,则a , b , c成等差数列；④若2bac,则a , b , c成等比数列,其中真命题的个数
是( )
A、1 B、2 C、3 D、4
2、已知等比数列{na}中,12314151024,aaaaa则5811( )aaa
A、16 B、4 C、32 D、256
3、已知121,,,4aa成等差数列,1231,,,,4bbb成等比数列,则212aab等于( )
A、12 B、12 C、12或12 D、12或14
4、已知等比数列{na}中,,9101920 (0) , aaaaaab,则99100( )aa
A、98ba B、9ba C、109ba D、10ba
5、设2 a＝3,2 b＝6,2 c＝12则数列a ,b , c( )
A、是等差数列但不是等比数列 B、是等比数列但不是等差数列
C、既是等差数列又是等比数列 D、既不是等差数列又不是等比数列
6、已知等比数列{na }中,3a ＝2,9a＝8,那么6a＝
7、b2＝ac是a、b、c成等比数列的 条件。
变:① b＝±ac是a、b、c成等比数列的 条件。
② b＝ac是a、b、c成等比数列的 条件。
8、735与735的等比中项是
9、在等比数列{na }中,1234324 , 36,aaaa则56_______aa
10、若a、b、c成等比数列,则函数2()fxaxbxc的图象与x轴的交点个数
11、已知各项都是正数的等比数列{na }的公比1q且356,,aaa成等差数列,求3546aaaa的值。
12、有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,且第一个数与第四个数的和等于16,
第二个数与第三个数的和是12,求这四个数。