导数的几何意义的应用
第7题 导数的几何意义及应用-2021年高考数学真题逐题揭秘与以例及类(新高考全国Ⅰ卷)(解析版)
第7题 导数的几何意义及应用一、原题呈现【原题】若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线,则（ ） A. e b a < B. e a b < C. 0e b a << D. 0e a b <<【答案】D 【解析】解法一：设过点(),a b 的切线与曲线e x y =切于(),e tP t ,对函数e x y =求导得e x y '=,所以曲线e x y =在点P 处的切线方程为()e e t t y x t -=-,即()e 1e t t y x t =+-,由题意可知,点(),a b 在直线()e 1et ty x t =+-上,所以()()e 1e 1e tttb a t a t =+-=+-,过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线,则方程()1etb a t =+-有两个不同实根,令()()1e t f t a t =+-,则()()e tf t a t '=-.当t a <时,()0f t '>,此时函数()f t 单调递增,且()0f t >,当t a >时,()0f t '<,此时函数()f t 单调递减,所以,()()max e af t f a ==,如图所示,当直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点时,当0e a b <<时,直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选D.解法二：画出函数曲线e x y =的图象如图所示,根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0e a b <<.故选D.【就题论题】本题主要考查利用导数的几何意义研究确定的切线,注意等价转化思想的应用：切线有两条→切点(),ett 有2个t −−−−−−→整理出关于的方程关于t 的方程()1e t b a t =+-有2个不同实根→直线y b =与()()1e t f t a t =+-有2个交点.另外由解法二可知：点(),a b 在曲线下方且在x 轴上方时符合条件的切线有2条；点(),a b 在曲线上或在x 轴上或在x 轴下方时符合条件的切线有1条；点(),a b 在曲线上方时符合条件的切线不存在；若把题中的切线换成3y x =,点(),a b 位置与切线条数有何关系,有兴趣的同学可以探讨一下.二、考题揭秘【命题意图】本题考查导数几何意义的应用,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等.【考情分析】导数的几何意义是高考的一个高频考点,考查热点主要有：求曲线在某点处的切线；求两条曲线的公切线；确定满足条件的曲线的条数. 【得分秘籍】(1) 导数的几何意义是研究曲线的切线的基石,函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率．也就是说,曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是()0f x '.求以曲线上的点(x 0,f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0),并化简．(2) 研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线. (3) 求曲线切线的条数一般是设出切点()(),t f t ,由已知条件整理出关于t 的方程,把切线条数问题转化为关于t 的方程的实根个数问题. 【易错警示】(1) 求导出错,如一下几个函数的导数比较容易出错：()211cos sin ,x x x x ''⎛⎫'==-=- ⎪⎝⎭； (2)混淆在某点处的切线与过某点的切线,注意求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x 0,y 0),解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f （x 0），y 1－y 0x 1－x 0＝f ′（x 0），得切点(x 0,y 0),进而确定切线方程． (3)对曲线的切线理解失误,如误认为曲线的切线与曲线只有1个公共点,又如误认为0x =不是曲线3y x =在0x =处的切线方程.三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷） 单选题1．（2021广东省肇庆市高三二模）曲线()1ln f x x x=-在()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．230x y --= B ．210x y --= C ．230x y +-=D ．210x y +-=【答案】A 【解析】()211x f x x=+',()11f =-,()12f '=,故切线方程为()()121y x --=-,即230x y --=. 故选A.2．（2021湖南省部分学校高三下学期联考）函数32()71f x x x =-+的图象在点(4,(4))f 处的切线斜率为（ ） A ．8- B ．7- C ．6- D ．5-【答案】A【解析】因为()2314f x x x '=-,所以所求切线的斜率为()43161448f '=⨯-⨯=-.故选A3．（2021山东省滨州市高三二模）设曲线2ax y e =(e =2.718…为自然对数的底数)在点()0,1处的切线及直线210x y --=和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆,则a =（ ）A ．1-B ．14-C ．14D ．1【答案】B【解析】由题意,函数()2axf x e=,可得()22axf x ae'=,则()02f a '=,即曲线2ax y e =在点()0,1处的切线的斜率为2k a =,所以切线方程为12y ax -=,即21y ax =+,要使得切线与直线210x y --=和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆,则满足两直线垂直,即221a ⨯=-,解得14a =-.故选B. 4．（2021江苏省盐城市高三5月第三次模拟）韦达是法国杰出的数学家,其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系,如：设一元三次方程)(3200ax bx cx d a +++=≠的3个实数根为1x ,2x ,3x ,则123b x x x a ++=-,122331c x x x x x x a++=,123d x x x a =-.已知函数)(321f x x x =-+,直线l 与)(f x 的图象相切于点)()(11,P x f x ,且交)(f x 的图象于另一点)()(22,Q x f x ,则（ ） A ．1220x x -= B ．12210x x --= C ．12210x x ++= D ．1220x x +=【答案】D【解析】)(261f x x ='-,211()61k f x x '∴==-,又直线过点)()(22,Q x f x ,332221211221212121()()222()1f x f x x x x x k x x x x x x x x --+-∴===++---222212112()161x x x x x ∴++-=-,化简得22212120x x x x +-=,即2121(2)()0x x x x +-=,12x x ≠,2120x x ∴+=,故选D5．（2021湖南省永州市高三下学期二模）曲线()2ln f x x =在x t =处的切线l 过原点,则l 的方程是（ ） A ．20x ey -= B ．20x ey += C ．20ex y -= D ．20ex y +=【答案】A【解析】曲线()2ln f x x =,2()f x x'=,切点为(),2ln t t ,所以切线l 的斜率(2)k f t t '==,又直线l 过原点,所以0220lnt k t t -==-,得1lnt =,t e =．所以2k e=,故切线l 的方程为()22y x e e -=-即20x ey -=．故选A ．6．（2021广东省肇庆市高三下学期5月模拟）函数1()cos f x x x=-的图像的切线斜率可能为（ ） A ．13-B ．2-C ．53-D ．4-【答案】A【解析】由1()cos f x x x=-,得'21()sin f x x x =-+,因为210x >,sin [1,1]x ∈-,所以'()1f x >-,所以函数1()cos f x x x=-的图像的切线斜率大于1-,故选A7．（2021河北省衡水中学高三第一次联考）已知M 为抛物线2:4C x y =上一点,C 在点M 处的切线11:2l y x a =+交C 的准线于点P ,过点P 向C 再作另一条切线2l ,则2l 的方程为（ ） A ．1124y x =-- B ．122y x =-+ C ．24y x =-+ D ．24y x =--【答案】D【解析】设()00,M x y ,由题意知,214y x =,则12y x '=,C 在点M 处的切线11:2l y x a =+,所以001122x x y x =='=,所以01x = ,则11,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,将11,4M ⎛⎫⎪⎝⎭代入11:2l y x a =+的方程可得14a =-,即111:24l y x =-,抛物线2:4C x y =的准线方程为：1y =- ,则3,12P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.设2l 与曲线C 的切点为()00,N x y ,则20000011(1)433222x x y x x +--==⎛⎫+-- ⎪⎝⎭,解得04x =-或01x =（舍去）, 则(4,4)N -,所以2l 的方程为24y x =--.故选D8．（2021湖南省衡阳市高三下学期联考）若函数()()210f x ax a =->与()1ln g x x =-的图象存在公切线,则实数a 的最小值为（ ） A ．12eB ．21eC ．2eD ．1【解析】法一：设公切线与()f x ,()g x 图象分别切于点()()1122,,A B x y x y ，, 则()f x 图象在A 处的切线方程为：()()211112y ax ax x x --=--,即21121y ax x ax =-++,同理：()g x 图象在B 处的切线方程为：()()22211ln y x x x x --=--, 即2212ln y x x x =-+-,由上述两直线重合,122121212ln ax x ax x⎧=⎪⎨⎪+=-⎩消元1x 可得,()22211ln 4x x a =-,令()()()21ln 0h x x x x =->,则()()12ln h x x '=-,当(x ∈时,()0h x '>,当)x ∈+∞时,()0h x '<,所以()h x 在(单调递增,在)+∞单调递减,则()max 142e h x h a≤==,解得12a e≥, 方法二：在同一坐标系中作出()f x ,()g x 的图象如图所示：由图象知：()f x ,()g x 分别为上凸和下凸函数,要使()f x ,()g x 存在公切线, 只须()()f x g x ≤在()0,∞+上恒成立即可,即2ln xa x≥在()0,∞+上恒成立 令()2ln x h x x =,求导得()312ln xh x x-'=,当(x ∈时,()0h x '>,当)x ∈+∞时,()0h x '<,所以当x =,()h x 取得最大值为12e ,所以12a e≥故选A 9．（2021江苏省南通等七市2021届高三下学期2月调研）已知曲线ln y x =在()11,A x y ,()22,B x y ,两点处的切线分别与曲线x y e =相切于()33,C x y ,()44,D x y ,则1234x x y y +的值为（ ）A ．1B ．2C ．52D ．174【答案】B【解析】由题设有33111311ln 1x x e x x e x x x ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩,化简可得111311ln 1x x x x x -=-即31111ln ln x x x x x =+-=-, 整理得到1111ln 1x x x +=-,同理2221ln 1x x x +=-,不妨设12x x <,令12ln ln 111x y x x x x +=-=----,因为当()0,1x ∈时,2ln ,1y x y x ==--均为增函数,故1ln 1x y x x +=--为增函数, 同理当()1,x ∈+∞时,故1ln 1x y x x +=--为增函数,故12,x x 分别为1ln 1x y x x +=--在()0,1、()1,+∞上的唯一解,又1111111111lnln ,111x x x x x x ++=-=---,故111111ln 11x x x +=-, 故11x 为1ln 1x y x x +=--在()1,+∞的解,故211x x =即121=x x . 所以34123412121212x x x x y y x x ex x x x ++=+=+=,故选B. 10．（2021江苏省苏州市常熟市高三抽测）已知两曲线()2sin f x x =,()cos g x a x =,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭相交于点P ,若两曲线在点P 处的切线互相垂直,则实数a 的值为（ ） A ．2 BC ．2± D．±【答案】B【解析】设切点(P m ,)(0)2n m π<<,由()2sin f x x =的导数()2cos f x x '=,()cos g x a x =的导数()sin g x a x '=-, 可得2cos (sin )1m a m ⋅-=-,所以1sin cos 2m m a=, 又2sin cos m a m =, 即sin tan (0)cos 2m am a m ==>,则2222sin cos tan 12sin cos 1214a m m m m m a sin m cos m tan m a====+++,即为2314a =,解得3a =,故选B11．（2021山东省高考考前热身押题）若x ,y R ∈,0x >,求()()2224ln 21x y x x y -+---的最小值为（ ） ABC ．165D【答案】C【解析】问题可以转化为：()2,4ln A x x x-是函数24ln y x x =-图象上的点,(),21B y y +是函数21y x =+上的点,()()22224ln 21AB x y x x y =-+---.当与直线21y x =+平行且与()f x 的图象相切时,切点到直线21y x =+的距离为AB 的最小值.()2422,20,1f x x x x x x=-=+-==',舍去负值, 又()11f =-,所以()1,1M -到直线21y x =+的距离即为AB 的最小值.min AB =,2min 165AB =.故选C.12．（2021河北省邢台市高考模拟）若曲线()11xmy xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线,则m 的取值范围为（ ） A ．427,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．427,0e -⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．427,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．4271,e ⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】A【解析】∵曲线()11xmy xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线, ∴函数()11xmy xe x x =+<-+的导函数存在两个不同的零点, 又()()'2101x my x e x =+-=+,即()31xm x e =+在(),1-∞-上有两个不同的解,设()()()311x f x x e x =+<-,()()()2'14xf x x e x =++,当4x <-时,()'0fx <；当41x -≤<-时,()'0f x >,所以()()4min 274f x f e =-=-, 又当x →-∞时,()0f x →,当1x →-时,()0f x →, 故427,0m e ⎛⎫∈-⎪⎝⎭.故选A. 13．（2021福建省龙岩市高三三模）若直线y kx b =+是曲线2x y e -=的切线,也是曲线1x y e =-的切线,则k b +=（ ）A ．ln22- B ．1ln22- C ．ln212- D ．ln22【答案】D【解析】设曲线2x y e -=上的点11(,)P x y ,2x y e -'=,121x k e -=； 曲线1x y e =-上的点22(,)Q x y ,e x y '=,22xk e =；11122211x x x l y e x e x e ---∴=+-：,222221x x x l y e x e x e ∴=+--：121122222121x x x x x x e e e x e e x e ---⎧=∴⎨-=--⎩,2ln 2x ∴=-, 2222111ln 21(ln 2)2222x x x k b e e x e ∴+=+-+=+--=．故选D ． 二、多选题14．（2021广东省深圳市高三下学期二模）设函数()xf x e ex =-和()()()21ln 122g x x kx k x k =-+-+∈R ,其中e 是自然对数的底数()2.71828e =,则下列结论正确的为（ ）A ．()f x 的图象与x 轴相切B ．存在实数0k <,使得()g x 的图象与x 轴相切C ．若12k =,则方程()()f x g x =有唯一实数解 D ．若()g x 有两个零点,则k 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】()x f x e e '=-,若()f x 的图象与x 轴相切,则()01xf x e e x '=-=⇒=,又(1)0f =,则切点坐标为(1,0),满足条件,故A 正确；()()212(12)1(1)(12)212kx k x x kx g x kx k x x x-+-++-'=-+-==,()0x >, 当0k <时,易知()0g x '>恒成立,不存在为0的解,故不存在实数0k <,使得()g x 的图象与x 轴相切,B 错误； 由上所述,()f x 在(0,1)x ∈上单减,(1,)x ∈+∞上单增,则()(1)0f x f ≥=； 若12k =,()211ln 22g x x x =-+,()(1)(1)x x g x x+-'=,()g x 在(0,1)x ∈上单增,(1,)x ∈+∞上单减,()(1)0g x g ≤=,故方程()()f x g x =有唯一实数解1x =,故C 正确；()(1)(12)x kx g x x+-'=,()0x >,当0k ≤时,()0g x '>恒成立,()g x 单增,不存在2个零点,故舍去； 当0k >时,()g x 在1(0,)2k 上单增,在1(,)2k+∞上单减,且0x →时,()g x →-∞,x →+∞时,()g x →-∞,故若()g x 有两个零点,则应使最大值102g k ⎛⎫>⎪⎝⎭, 即()21111111ln ()12ln 202222242g k k k k k k k k ⎛⎫=-+-+=-->⎪⎝⎭, 令11()ln 242h k k k =--,易知()h k 单调递减,且1()02h =, 因此()0h k >的解集为1(0,)2k ∈,D 正确；故选ACD15．（2021河北省邯郸市高三三模）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法——牛顿迭代平法,做法如下：如图,设r 是()0f x =的根,选取0x 作为r 的初始近似值,过点()()00,x f x 作曲线()y f x =的切线()()()000:'l y f x f x x x -=-,则l 与x 轴的交点的横坐标()()()()01000'0'f x x x f x f x =-≠,称1x 是r的一次近似值；过点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线,则该切线与x 轴的交点的横坐标为x 2,称x 2是r 的二次近似值；重复以上过程,得r 的近似值序列,其中()()()()1'0'n n n n n f x x x f x f x +=-≠,称1n x +是r 的n +1次近似值,这种求方程()0f x =近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程22x =的近似解,则（ ）A ．若取初始近似值为1,则该方程解的二次近似值为1712 B ．若取初始近似值为2,则该方程解的二次近似值为1712C ．()()()()()()()()0123400123''''f x f x f x f x x x f x f x f x f x =----D ．()()()()()()()()0123400123''''f x f x f x f x x x f x f x f x f x =-+-+【答案】ABC【解析】构造函数2()2f x x =-,则'()2f x x =,取初始近似值01x =,则()()01001231'212f x x x f x -=-=-=⨯,()()12119231743'21222f x x x f x -=-=-=⨯,则A 正确；取初始近似值02x =,则()()0100423222'2f x x x f x -=-=-=⨯,()()12119231743'21222f x x x f x -=-=-=⨯,则B 正确；根据题意,可知()()0100'f x x x f x =-,()()1211'f x x x f x =-,()()2322'f x x x f x =-,()()3433'f x x x f x =-,上述四式相加,得()()()()()()()()0123400123''''f x f x f x f x x x f x f x f x f x =----,则D 不正确,C 正确,故选ABC.16．（2021河北省唐山市高三下学期第二次模拟）若直线y ax =与曲线()x f x e =相交于不同两点()11,A x y ,()22,B x y ,曲线()x f x e =在A ,B 点处切线交于点()00,M x y ,则（ ）A ．a e >B ．1201x x x +-=C ．2AM BM AB k k k +>D ．存在a ,使得135AMB ∠=︒【答案】ABC【解析】对于A ：当0a ≤时,直线y ax =与曲线()x f x e =没有两个不同交点,所以>0a ,如图1所示, 当直线y ax =与曲线()x f x e =相切时,设切点为()(),P t f t ,则'()x f x e =,所以切线方程为：()t ty e e x t -=-,代入点()00，解得1t =,此时a e =,所以直线y ex =与曲线()x f x e =相切,所以当a e >时直线y ax =与曲线()x f x e =有两个不同的交点, 当0a e <<时,直线y ax =与曲线()x f x e =没有交点,故A 正确； 对于B ：由已知得11x ax e =,22xax e =,不妨设12x x <,则1201x x <<<,又()x f x e =在点A 处的切线方程为：()111+xxy e x x e =-,在点B 处的切线方程为()222+x xy ex x e =-,两式相减得()()121212+1+0x xx x e e x x ex e --=,将11x ax e =,22x ax e =代入得()()()()121122+1+0x x ax ax x x x a a --⋅⋅=,因为()120a x x -≠,所以121x x x +-=,即1201x x x +-=,故B 正确；对于C ：要证2AM BM AB k k k +>,即证12+>2x x e e a ,即证12+>2a ax x a ,因为>a e ,所以需证12+>2x x .令xax e =,则x e a x =,令()x e g x x =,则点A 、B 是y a =与e xy x=的两个交点,令()()()()201G x g x g x x =--<<,所以()()()2'2212x x e x x x e G x -⎛⎫=-- ⎝-⎪⎪⎭,令()()2>0x e x h x x =,则()()'32x e x h x x -=,所以当()0,2x ∈时,()'0h x <,()h x 单调递减,而01x <<,0122x x <<<-<,所以 ()()>2h x h x -,所以01x <<时,()'0G x <,所以()G x 单调递减,所以()()>10G x G =,即()()112>0g x g x --,又()()12g x g x a ==,所以()()21>2g x g x -, 而()()2'1x x g e xx -=,所以当>1x 时,()'>0g x ,()g x 单调递增,又2>1x ,12>1x -,所以21>2x x -,即12+>2x x ,故C 正确；对于D ：设直线AM 交x 轴于C ,直线BM 交x 轴于点D ,作ME x ⊥轴于点E ．若135AMB ∠=︒,则45AMD ∠=,即45MDE MCD ∠-∠=,所以()tan tan tan 11tan tan 1BM AM AM BMk k MDE MCDMDE MCD +MDE MCD +k k -∠-∠∠-∠===∠⨯∠⨯,化简得1BM AM AM BM k k +k k -=⨯,即21121211x x x x x +x e e e e ++e -=⨯=,所以21121ax ax +ax ax -=⨯,即()21121a x x x x --=,令2112m x x x x =--,则()()211212111m x x x x x x ++=--=--,又1201x x <<<,所以()()2112121111m x x x x x x ++>=--=--,而a e >,所以方程()21121a x x x x --=无解,所以不存在a ,使得135AMB ∠=︒,故D 不正确, 故选ABC ．三、填空题17．（2021山东省百所名校高三下学期4份联考）已知函数()3xf x e mx =-,曲线()y f x =在不同的三点()()11,x f x ,()()22,x f x ,()()33,x f x 处的切线均平行于x 轴,则m 的取值范围是______．【答案】2e ,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】因为函数()3xf x e mx =-,所以()23xf x e mx '=-,又曲线()y f x =在不同的三点()()11,x f x ,()()22,x f x ,()()33,x f x 处的切线均平行于x 轴,所以230xe mx -=有3个不同的解,即23xe m x=,令()2xe g x x =,则()()32x e x g x x-'=,当()0g x '>时,0x <或2x >；当()0g x '<时,02x <<,所以()g x 在2x =时有极小值为()24xe g =,结合函数()2x e g x x =图象可知,234e m >,即212e m >．18.（2021江苏省南京市高三下学期5月第三次模拟）已知直线y kx b =+与曲线2cos y x x =+相切,则2k b π+的最大值为______. 【答案】24π 【解析】由2cos y x x =+得：2sin y x x '=-,设直线y kx b =+与曲线2cos y x x =+相切与点()2000,cos x x x +,则002sin k x x =-,又2000cos x x kx b +=+,则20000cos sin b x x x x =-+,()20000002sin cos sin 22k b x x x x x x ππ∴+=-+-+200000sin cos 2x x x x x ππ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭,令()2sin cos 2f x x x x x x ππ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭,()sin cos sin 22cos 22f x x x x x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫'∴=++---=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()cos 22x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,1cos 1x -≤≤,cos 20x ∴-<,∴当,2x π⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '>；当,2x π⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '<；()f x ∴在,2π⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增,在,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减,()222maxcos 22244f x f πππππ⎛⎫∴==+-=⎪⎝⎭,即2k b π+的最大值为24π. 四、解答题18．（2021广东省惠州市高三调研）已知实数0a >,函数()22ln f x a x a x x=++,(0,10)x ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点,曲线()y f x =在点11(,())P x f x ､22(,())Q x f x (12x x <)处的切线分别为12l l ，,且12l l ，在y 轴上的截距分别为1b ､2b ．若12l l //,求12b b -的取值范围． 【解析】（1）()()()()222212010ax ax a f x a x x x x+-'=-++=<<. 0a >,010x <<, 20ax ∴+>.①当110a ≥,即当10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,()0f x '<, ()f x ∴在()0,10上单调递减；②当1010a <<,即1,10a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时, 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<； 当1,10x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,()0f x '>,()f x ∴在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,10a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.综上所述：当10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,()f x 在()0,10上单调递减； 当1,10a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,10a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.（2）1x =是()f x 的极值点,()10f '∴=,即()()210a a +-=, 解得：1a =或2a =-（舍）, 此时()2ln f x x x x =++, ()2211f x x x'=-++.1l ∴方程为：()1112111221ln 1y x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-++=-++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 令0x =,得：1114ln 1b x x =+-； 同理可得：2224ln 1b x x =+-. 12//l l ,221122212111x x x x ∴-++=-++, 整理得：()12122x x x x =+,12122x x x ∴=-, 又12010x x <<<,则1112102x x x <<-, 解得：1542x <<, ()1212211111211221222221244ln ln ln 1x x x x x x x x xb b x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭∴-=+=+=+++.令12x t x =, 则1111211,1224x x t x x -⎛⎫=⋅=-∈ ⎪⎝⎭, 设()()21ln 1t g t t t-=++, ()()()()222141011t g t t t t t -'∴=-+=>++, ()g t ∴在1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,又()10g =,16ln 445g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()6ln 4,05g t ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭,即12b b -的取值范围为6ln 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.。
导数的几何意义是什么
导数的几何意义是什么导数作为微积分中的重要概念，不仅在数学理论研究中有着重要地位，还在实际问题的求解中起到了至关重要的作用。
导数的几何意义是指在几何上，导数代表了函数曲线在某一点处的切线斜率。
它使我们能够通过函数图像来理解函数的变化规律及其在特定点的切线性质。
本文将重点论述导数的几何意义以及相应的应用。
一、导数的定义及计算在开始讨论导数的几何意义之前，我们首先来回顾一下导数的定义及计算方法。
对于函数y=f(x)，在点x处的导数可以通过下式计算得出：f'(x) = lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h]根据这一定义，我们可以求得函数在任意一点处的导数值。
导数的计算可以采用一些常用的方法，如基本函数求导法则、链式法则、乘积法则和商法则等。
二、导数的几何意义1. 切线斜率导数的最直观的几何意义就是切线斜率。
当我们计算出函数在某一点的导数后，这个导数值便代表了函数曲线在该点处的切线斜率。
对于一个凸函数而言，导数可以告诉我们曲线在该点是上升还是下降，以及上升或下降的速度有多快。
2. 极值点导数在几何中还有一个重要的意义是寻找函数的极值点。
当函数在某一点的导数为0时，这一点可能是函数的极大值点或极小值点。
通过求导，我们可以找到函数在哪些点处可能存在极值，并进一步帮助我们寻找函数图像上的极值点，从而得出函数的极值。
3. 凹凸性函数图像的凹凸性也可以通过导数来判断。
当函数的导数在某一区间内始终大于0时，函数图像在该区间内是上凸的；而当导数在某一区间内始终小于0时，函数图像在该区间内是下凸的。
这种通过导数判断凹凸性的方法在优化问题中具有重要应用。
三、导数的应用导数的几何意义不仅在数学理论研究中起到关键作用，也在实际问题的求解中发挥了巨大的作用。
1. 最优化问题在经济学、物理学等领域中，最优化问题是非常常见的。
通过求解函数的导数，我们可以确定函数的最大值和最小值，从而帮助解决各种最优化问题。
一元函数的导数的几何意义及应用(学生版)
一元函数的导数及其应用(一) ---一元函数的导数的几何意义及应用一、知识要点：（一）一元函数的导数的几何意义:函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ，处的切线的斜率．（二）切线方程的计算： 1.在某点处的切线方程的计算：函数()y f x =在点00(())A x f x ，处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，抓住关键000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩． 2.过某点的切线方程的计算：设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-， 又因为切线方程过点()A m n ，，所以000()()n y f x m x '-=-，然后解出0x 的值（0x 有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． （三）利用导数的几何意义求参数的基本方法：利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围．（四）利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：1.函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．2.切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．3.曲线()y f x ＝“在”点00(,)P x y 处的切线与“过”点00(,)P x y 的切线的区别：曲线()y f x ＝在点00(,)P x y 处的切线是指点P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为()0k f x '＝，是唯一的一条切线；曲线()y f x ＝过点00(,)P x y 的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．（五）求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点1.注意曲线上横坐标的取值范围；2.谨记切点既在切线上又在曲线上。
导数的几何意义
导数的几何意义导数是微积分中的一个重要概念，它表示了函数的变化率。
导数的几何意义可以从两个方面来理解：一是导数代表的是函数曲线在其中一点的切线斜率，二是导数代表的是函数曲线在其中一点的局部线性逼近。
首先，我们来看导数代表的是函数曲线在其中一点的切线斜率。
对于一条曲线上的任意一点P(x,y)，求该点处的导数，即可得到曲线在该点的切线斜率。
具体来说，如果一个函数f(x)在特定点x0处可导，那么它在该点的导数f'(x0)就是该点处曲线的切线斜率。
换言之，导数给出了函数在任意一点的变化速率。
对于单调递增的函数而言，导数始终为正；而对于单调递减的函数而言，导数始终为负。
当导数为零时，函数在该点处可能存在极值。
其次，导数代表的是函数曲线在其中一点的局部线性逼近。
这可以通过导数定义中的极限来理解。
如果在其中一点x0处，函数f(x)的导数存在，那么可以用一个线性函数y=kx+b来近似描述原函数在该点的附近情况。
其中k为导数f'(x0)，b为函数曲线在该点处的切线与y轴的交点（截距）。
这个线性函数就称为原函数在x0附近的局部线性逼近。
这种线性逼近的好处是使得函数在其中一点的局部性质更加直观可见。
通过这两个几何意义的理解，我们可以得出导数在几何上的重要性。
首先，导数可以帮助我们了解函数在特定点的斜率，从而判断函数局部的增减变化规律，甚至找到函数的极值点，这对于解决很多实际问题具有重要意义。
其次，导数能够提供函数在其中一点附近的线性逼近，使得我们能够直观地了解函数的局部情况，进而推断函数在整个定义域上的特性。
这对于研究函数的全局性质也是至关重要的。
除了以上的几何意义，导数还有一些重要的应用。
例如，在物理学中，速度的导数就是加速度，加速度的导数就是速度的变化率。
在经济学中，导数可以表示商品的边际效用，即单位商品消费增加所带来的满足感的变化。
在工程学中，导数可以用来优化控制系统设计，通过最小化出错率来提高系统的性能。
导数与微分的几何意义和应用
在几何意义上，微分可以看作是函数图像上一点处的切线，它与x轴之间的夹角，表示函数在该点的变化方向和 变化速率。
微分的应用非常广泛，例如在物理学、工程学、经济学等领域中，可以用微分来描述各种物理量、经济指标等的 局部变化情况。
然后利用积分 计算曲线的长
度
结论：导数在 曲线长度计算 中具有重要应 用，能够方便 快捷地求解曲
线的长度
近似计算的概念和意义 微分在近似计算中的具体应用 近似计算的误差分析 微分近似计算在物理和工程中的应用实例
微分用于估计函数误差的大小
利用微分分析误差传播的情况
添加标题
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利用微分计算近似值时的误差范围
导数定义：函数在某一点处的导数表示该点附近函数值的平均变化率 导数几何意义：在二维坐标系中，函数在某一点的导数值等于该点切线的斜率 导数应用：研究函数的单调性、极值和最值等性质，以及优化问题中的最优化解 导数与微分的关系：导数是微分在局部上的表现形式，微分是导数在整体上的表现形式
拐点是函数图像上凹凸性改 变的点
导数与微分的应用
导数用于判断函 数的单调性
导数用于求函数 的极值
导数用于解决生 活中的优化问题
导数在经济学中 的应用
曲线长度计算 公式：L =
∫√(x'² + y'²) dx
导数在曲线长度 计算中的应用： 利用导数求出曲 线的切线斜率， 再通过积分计算
曲线的长度
举例说明：对 于给定的曲线， 求出其导函数，
切线斜率：微分表示函数图 像上某点的切线斜率
导数与切线斜率的关系：导 数即为切线斜率
隐函数求导的几何意义与应用
隐函数求导的几何意义与应用隐函数是一种通过等式来定义的函数，其中自变量和因变量之间的关系不是显式地表达出来的。
在数学中，隐函数存在于许多问题中，并且经常需要求取其导数。
隐函数求导在解析几何学、物理学以及工程学等领域中有着重要的几何意义和广泛的应用。
本文将探讨隐函数求导的几何意义以及一些实际应用。
一、隐函数求导的几何意义隐函数求导的几何意义在于揭示了曲线或曲面的切线和法线的性质，以及曲线或曲面上某一点的局部几何特性。
通过对隐函数求导，我们可以了解到曲线的斜率、曲率以及曲面上的切平面和法线。
1. 曲线的切线和斜率对于给定的隐函数，若能求得其导数，即可获得曲线上任一点的切线斜率。
设隐函数为 F(x, y) = 0，其中 y 是 x 的函数。
根据隐函数定理，如果 F(x, y) 在某一点 (a, b) 处连续且具有连续偏导数，且偏导数不同时都不为零，那么在点 (a, b) 处必然存在一条唯一的切线。
这条切线的斜率可以通过对隐函数隐含地对 x 求导而得到。
2. 曲线的曲率除了切线的斜率，我们还可以通过隐函数的二阶导数来求取曲线的曲率。
曲率可以用来衡量曲线的弯曲程度。
通过对隐函数的一阶和二阶求导，我们可以得到曲线上任一点的曲率。
曲率的计算可以帮助我们分析曲线的几何形状，并研究曲线的特性。
3. 曲面的切平面和法线对于二元隐函数 F(x, y, z) = 0，其中 z 是 x 和 y 的函数，我们可以通过隐函数求导来求取曲面上任一点的切平面和法线。
与曲线类似，隐函数的一阶偏导数可以给出切平面的方程，而法线则是切平面的垂线。
二、隐函数求导的应用隐函数求导在许多实际问题中具有重要的应用。
以下是几个常见的应用例子：1. 几何分析通过隐函数求导，我们可以分析曲线和曲面的几何性质。
例如，在解析几何中，通过对平面曲线的隐函数求导，可以求取切线的斜率，从而揭示曲线的切线方向和斜率变化。
一些特殊曲线的求导结果，如圆的导数等，可以帮助我们研究曲线的性质和特征。
数学论文导数及应用范文
数学论文导数及应用范文导数的几何意义伴随着导数进入高中数学教材后，给函数图象及性质的研究开辟了一条新的途径.下面是店铺为你整理的数学论文导数及应用，一起来看看吧。
数学论文导数及应用篇一一. 利用导数的几何意义求光滑曲线切线的斜率函数y=f(x)在点的导数表示曲线y=f(x)在点处切线的斜率,这就是导数的几何意义。
我们通过例题看一下,如何利用导数的几何意义求光滑曲线切线的斜率。
例题1 求曲线y=x2在点(1,1)处切线的方程。
解:由导函数定义应用点斜式方程,可得曲线在(1,1)处的切线方程:y-1=2(x-1)即2x-y-1=0 .二. 利用导数的物理意义求瞬时速度、加速度、电流强度等。
导数的物理意义没有统一的解释,对于不同的物理量,导数有不同的物理意义。
例如,变速直线运动路程函数S对时间t的导数就是瞬时速度;瞬时速度V对时间t的导数就是加速度;通过导体某截面的电量Q对时间t的导数就是电流强度。
下面我们看一个具体的例题。
例题2 已知物体的运动规律为s=t3(米) ,求这个物体在t=2秒时的速度。
解:有导函数的定义有运动物体运动路程对时间的物理意义可知将t=2,带入上式,得三. 利用导数的符号判别函数在某一区间的单调性及利用导数证明不等式导数是对函数的图像与性质的总结与拓展,导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具,广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。
具体例题如下:例题3 讨论函数的单调性。
解: ,当x>0时, >0 ;当x<0时, <0 .函数的定义域为 ,因为在内 <0,所以函数在上单调减少;因为在内 >0,所以函数在上单调增加。
例题4 证明当x>0时,解:设则 , 在x=0时为零,在内均大于零,故函数在上单调增加,对于任何x>0,有 .即所以四. 利用导数研究函数的极值根据导数在驻点两侧的符号,可以判断函数在该驻点是极大值还是极小值。
导数的几何意义及导数公式
导数的几何意义及导数公式导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在特定点的变化率。
导数的几何意义是描述函数曲线在其中一点的切线的斜率。
本文将详细介绍导数的几何意义以及导数的计算公式。
一、导数的几何意义在几何中，我们知道曲线上每一点的切线可以用斜率来描述。
而导数就是函数在其中一点的切线的斜率，它告诉我们函数在该点的变化情况。
导数的几何意义可以通过以下两个方面来理解：1.切线的斜率导数是切线的斜率，它表示函数在特定点上的变化速率。
如果导数是正数，那么函数在该点上是递增的；如果导数是负数，那么函数在该点上是递减的。
导数的绝对值越大，曲线在该点附近的变化速率越大；导数的绝对值越小，曲线在该点附近的变化速率越小。
2.切线的方向导数不仅告诉我们切线的斜率，还告诉我们切线的方向。
如果导数是正数，那么切线是向上倾斜的；如果导数是负数，那么切线是向下倾斜的。
导数等于零表示切线是水平的，也就是曲线上的极值点。
通过以上两个方面，我们可以通过导数来近似描述函数在任意点的行为，从而更好地理解函数的性质。
二、导数的计算公式导数的计算公式是一系列可以计算导数的规则。
下面是一些常见的导数计算公式：1.常数规则如果f(x)=c，其中c是常数，那么f'(x)=0。
这是因为常数的导数为零，表示该常数没有变化。
2.幂规则如果f(x) = x^n，其中n是整数，那么f'(x) = nx^(n-1)。
这是指数函数的导数公式。
3.常见函数的导数公式- 如果f(x) = sin(x)，那么f'(x) = cos(x)。
- 如果f(x) = cos(x)，那么f'(x) = -sin(x)。
- 如果f(x) = tan(x)，那么f'(x) = sec^2(x)。
-如果f(x)=e^x，那么f'(x)=e^x。
- 如果f(x) = ln(x)，那么f'(x) = 1/x。
4.和、差的导数规则如果f(x)和g(x)是可导函数，那么(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
第五章 一元函数的导数及其应用(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背知识手册(新教材)
第五章一元函数的导数及其应用（公式、定理、结论图表）一.导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f x x y x ∆-∆+='=='→∆)()(lim)(|00000二.导数的几何意义函数()f x 在0x 处导数的几何意义，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。
于是相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-。
注意两种情况：1.曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线：性质：()0k f x '=切线。
相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-2.曲线()y f x =过点()00,P x y 处切线：先设切点，切点为(,)Q a b ,则斜率k='()f a ，切点(,)Q a b 在曲线()y f x =上，切点(,)Q a b 在切线()()00y y f a x x '-=-上，切点(,)Q a b 坐标代入方程得关于a,b 的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k='()f a ，确定切线方程。
三.常见函数的导数公式:①'0C =；②'1()n n x nx -=；③'(sin )cos x x =；④'(cos )sin x x =-；⑤'()ln x x a a a =；⑥x x e e =')(；⑦'1(log )ln a x x a =；⑧xx 1)(ln '=。
四.导数的四则运算和复合函数的求导法则：（1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±(2))()()()(])()(['+'='x g x f x g x f x g x f （3）2)()()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（4）'⋅'='x u u f x u f ))((五.导数的应用：1.利用导数判断函数单调性：设函数()y f x =在某个区间内可导，①'()0f x >⇒()f x 该区间内为增函数；②'()0f x <⇒()f x 该区间内为减函数；注意：当'()f x 在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍是递增（或递减）的。
高中数学完整讲义——导数及其应用1.导数的概念与几何意义
1思维的发掘 能力的飞跃1．函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-，10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x ∆≠时，商00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）的平均变化率．注：这里x ∆，y ∆可为正值，也可为负值．但0x ∆≠，y ∆可以为0．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．“当x ∆趋近于零时，00()()f x x f x x+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆”或“0000()()lim ()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆”．3．可导与导函数：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．4．导数的几何意义：设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是知识内容板块一.导数的概念 与几何意义x 0xyxOD CB A2 思维的发掘 能力的飞跃00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即000()()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆切线AD 的斜率． 由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．题型一：极限与导数【例1】 正三棱锥相邻两侧面所成的角为α，则α的取值范围是（ ）A ．(0180)︒︒，B ．(060)︒︒，C ．(6090)︒︒，D ．(60180)︒︒，【例2】 在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ）A ．2ππn n -⎛⎫⎪⎝⎭， B ．1ππn n -⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．π02⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．21ππn n nn --⎛⎫ ⎪⎝⎭，【例3】 对于任意π02ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有（ ）A ．sin(sin )cos cos(cos )ϕϕϕ<<B ．sin(sin )cos cos(cos )ϕϕϕ>>C ．sin(cos )cos cos(sin )ϕϕϕ<<D ．sin(sin )cos cos(sin )ϕϕϕ<<【例4】 若0()lim1x f x x →=，则0(2)lim x f x x→=________．【例5】 若1(1)lim11x f x x →-=-，则1(22)lim 1x f x x →-=-_______．【例6】 设()f x 在0x 可导，则()()0003limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆等于（ ）A ．()02f x 'B ．()0f x 'C ．()03f x 'D ．()04f x '【例7】 若000(2)()lim13x f x x f x x ∆→+∆-=∆，则0()f x '等于（ ）A ．23B ．32C ．3D ．2【例8】 设()f x 在x 处可导，a b ，为非零常数，则0()()lim x f x a x f x b x x∆→+∆--∆=∆（ ）． A ．()f x ' B ．()()a b f x '+ C ．()()a b f x '- D ．()f x '【例9】 设(3)4f '=，则0(3)(3)lim2h f h f h →--=（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．1【例10】 若()2f a '=，则当h 无限趋近于0时，()()2f a h f a h--=______．典例分析3思维的发掘 能力的飞跃【例11】 已知函数2()8f x x x =+，则0(12)(1)limx f x f x∆→-∆-∆的值为 ．【例12】 已知1()f x x =，则0(2)(2)lim x f x f x∆→+∆-∆的值是（ ）A ．14-B ．2C ．14D ．2-【例13】 若2(1)(1)2f x f x x +-=+，则(1)f '=_______．【例14】 已知函数()f x 在0x x =处可导，则22000[()][()]lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．0()f x 'B ．0()f xC ．20[()]f x 'D ．002()()f x f x '【例15】 计算32lim 43n n n →∞-=+________．【例16】 222lim 23n n nn →∞+=-_______．【例17】 将直线2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（*n ∈N ，2n ≥）x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为n S ，则lim n n S →∞= ．【例18】 2111lim 1333n n →∞⎛⎫++++= ⎪⎝⎭L （ ） A ．53 B ．32C ．2D ．不存在【例19】 如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去．设n S 为前n 个圆的面积之和，则lim n n S →∞=（ ）A ．22πrB ．28π3r C ．24πr D ．26πr【例20】 22112lim 3243x x x x x →⎛⎫-= ⎪-+-+⎝⎭______．【例21】 若1()n n n a n =+-，则常数a =_______．【例22】 πx x →=-_____．r O4 思维的发掘 能力的飞跃【例23】 2123limn nn→∞++++=L _________【例24】 012lim (2)x x x x →⎛⎫-= ⎪+⎝⎭________．【例25】 211lim 34x x x x →-=+-__________．【例26】 2241lim 42x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝⎭（ ） A ．1- B ．14- C ．14D ．1【例27】 1x x x x→-= ．【例28】 设函数12()sin sin 2sin n f x a x a x a nx =+++L ，其中12n a a a n +∈∈R N L ，，，，，已知对一切x ∈R ，有()sin f x x ≤和0sin lim 1x xx→=，求证：1221n a a na +++L ≤．【例29】 如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．【例30】 如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为()04，，()20，，()64，，则((0))f f = ；0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆ ．（用数字作答）【例31】 下列哪个图象表示的函数在1x =点处是可导的（ ）1234654321BCAOyx1234654321BCAOyxB.A.xyO 1x yO1x yO 11O yx5思维的发掘 能力的飞跃【例32】 函数2()21f x x =+在闭区间[11]x +∆，内的平均变化率为（ ）A ．12x +∆B ．2x +∆C ．32x +∆D ．42x +∆【例33】 求函数21y x =+0x 到0x x +∆之间的平均变化率．【例34】 若函数2()f x x=，则当1x =-时，函数的瞬时变化率为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【例35】 求函数2()f x x x =-+在1x =-附近的平均变化率，在1x =-处的瞬时变化率与导数．【例36】 求函数3()2f x x x =-在1x =附近的平均变化率，在1x =处的瞬时变化率与导数．【例37】 已知某物体的运动方程是3199s t t =+，则当3t =s 时的瞬时速度是_______．【例38】 已知某物体的运动方程是22232t s t t-=+，则3t =时的瞬时速度是_______．【例39】 已知物体的运动方程是23s t t=+，则物体在时刻4t =时的速度v =____，加速度a = ．【例40】 物体运动方程为4134s t =-，则2t =时瞬时速度为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【例41】 一质点做直线运动，由始点起经过t s 后的距离为43214164s t t t =-+，则速度为零的时刻是（ ）A ．4s 末B ．8s 末C ．0s 与8s 末D ．0s ，4s ，8s 末【例42】 如果某物体做运动方程为22(1)s t =-的直线运动（s 的单位为m ，t 的单位为s ），那么其在1.2s 末的瞬时速度为（ ）A ．0.88-m/sB ．0.88m/sC ． 4.8-m/sD ．4.8m/s【例43】 求y x =在0x x =处的导数．题型二：导数的几何意义【例44】 已知曲线1y x x =+上一点522A ⎛⎫⎪⎝⎭，，用斜率定义求： ⑴ 过点A 的切线的斜率；⑴ 过点A 的切线方程．6 思维的发掘 能力的飞跃【例45】 已知曲线1y x x=上一点(12)A ，，用斜率定义求： ⑴过点A 的切线的斜率；⑴过点A 的切线方程．【例46】 函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<【例47】 求函数()af x ax x=+(0)a ≠的图象上过点A 2(1)a a +，的切线方程．【例48】 曲线321y x x =+-在点(11)P --，处的切线方程是（ ）A ．1y x =-B ．2y x =-C ．y x =D ．1y x =+【例49】 求曲线1y x=在点(11)，的切线1l 方程，与过点(20)-，的切线2l 的方程．【例50】 函数1y x =-在点122⎛⎫- ⎪⎝⎭，处的切线方程为（ ） A ．4y x = B ．44y x =- C ．4(1)y x =+ D ．24y x =+【例51】 已知曲线214y x =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为_______．【例52】 曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒【例53】 过点(11)，作曲线3y x =的切线，则切线方程为__________．【例54】 曲线2xy x =-在点(11)-，处的切线方程为__ ．【例55】 若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于（ ）A 336 B ．336 C ．23 D ．23或0O yx3217思维的发掘 能力的飞跃【例56】 设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．2-【例57】 设曲线2y ax =在点(1)a ，处的切线与直线260x y --=平行，则a =（ ）A ．1B ．12C ．12- D ．1-【例58】 若曲线4y x =的一条切线l 与直线48y x =+平行，则l 的方程为______________．【例59】 若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=【例60】 设P 为曲线C ：21y x x =-+上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[13]，，则点P 纵坐标的取值范围是_______．【例61】 设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ）A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【例62】 曲线21xy x =-在点()11，处的切线方程为（ ） A ．20x y --= B ．20x y +-= C ．450x y +-= D ．450x y --=【例63】 设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1(1))g ，处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1(1))f ，处切线的斜率为（ ）A ．4B ．14-C ．2D ．12-【例64】 设()f x 是偶函数．若曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线的斜率为1，则该曲线在点()()11f --，处的切线的斜率为 ．【例65】 函数sin y x =的图象上一点π33⎛ ⎝⎭，处的切线的斜率为（ ） A ．1 B 3 C ．22D ．12【例66】 曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是（ ）A 5B ．25C ．35D ．0【例67】 在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ．8 思维的发掘 能力的飞跃【例68】 抛物线2y x bx c =++在点(1,2)处的切线与其平行线0bx y c ++=间的距离为________．【例69】 若0y =是曲线3y x bx c =++的一条切线，则32()()32b c+=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【例70】 函数2(0)y x x =>的图像在点()2k k a a ，处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，若116a =，则135a a a ++的值是 ．【例71】 已知点P 在曲线4e 1x y =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A ．π04⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B ．ππ42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．π3π24⎛⎤⎥⎝⎦，D ．3ππ4⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【例72】 曲线2xy x =+在点(11)--，处的切线方程为（ ） A ．21y x =+ B ．21y x =- C ．23y x =--D ．22y x =--【例73】 若曲线12y x-=在点12a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =（ ）A ．64B ．32C ．16D ．8【例74】 函数()ln f x x =的图象在点()e ,(e)f 处的切线方程是 ．【例75】 设曲线()1*n y x n +=∈N 在点(11)，处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则12n x x x ⋅L 等于（ ）A ．1nB ．11n + C ．1n n + D ．1【例76】 直线1y kx =-与曲线ln y x =相切，则k =（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．1±【例77】 已知直线1y x =+与曲线()ln y x a =+相切，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【例78】 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为____ ．【例79】 若存在过点(10)，的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于（ ） A ．1-或2564- B ．1-或214 C ．74-或2564- D ．74-或7【例80】 已知函数21()()5g x f x x =+的图象在P 点处的切线方程为8y x =-+，又P 点的横坐标为5，9思维的发掘 能力的飞跃则(5)(5)f f '+=________．【例81】 设曲线1cos sin x y x +=在点π12⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与直线10x ay -+=平行，则实数a 等于（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2【例82】 已知函数()log a f x x =和()2log (22)(01)a g x x t a a t =+->≠∈R ，，的图象在2x =处的切线互相平行，则t =_______．【例83】 ⑴曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是____．⑴曲线32242y x x x =--+过点(13)-，的切线方程是_________．【例84】 已知曲线31433y x =+，则过点(24)P ，的切线方程是_______．【例85】 已知曲线s ：33y x x =-及点(22)P -，，则过点P 可向s 引切线的条数为_____．【例86】 曲线1y x=和2y x =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是______．【例87】 曲线12e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．29e 2B ．24eC ．22eD ．2e【例88】 曲线3y x =在点3()(0)a a a ≠，处的切线与x 轴、直线x a =所围成的三角形的面积为16，则a = ．【例89】 曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）A ．19B ． 29C ．13D ．23【例90】 求曲线221y x =-的斜率等于4的切线方程．【例91】 若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________．【例92】 曲线cos y x =在点π24P ⎛ ⎝⎭，处的切线方程是 ．【例93】 函数cos2y x =在点π04⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线方程是（ ） A ．42π0x y ++= B ．42π0x y -+= C ．42π0x y --= D ．42π0x y +-=【例94】 已知函数()f x 在R 上满足()()22288f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程是（ ）A ．21y x =-B ．y x =C ．32y x =-D ．23y x =-+3()ln f x ax x =+y a10思维的发掘 能力的飞跃【例95】 已知曲线C ：4323294y x x x =--+，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程．【例96】 已知抛物线2y ax bx c =++通过点(11)P ，，且在点(21)Q -，处与直线3y x =-相切，求实数a 、b 、c 的值．【例97】 曲线(1)(2)y x x x =+-有两条平行于直线y x =的切线，求此二切线之间的距离．【例98】 已知曲线32()21f x x x =-+，求经过点(21)P ，且与曲线()f x 相切的直线l 的方程．【例99】 已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行直线410x y --=，且点0P 在第三象限，⑴求0P 的坐标；⑴若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程．【例100】 已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++()a b ∈R ，．若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求a ，b 的值．【例101】 已知函数xx e a e x f -⋅+=)(（a ∈R ）的导函数是)(x f '，且)(x f '是奇函数，若曲线)(x f y =的一条切线的斜率是23，则切点的横坐标为（ ） A ．ln 2 B ．2ln - C ．22ln D ．22ln -【例102】 已知函数32()c f x x bx x d =+++的图象过点(02)P ，，且在点(1(1))M f --，处的切线方程为670x y -+=．求函数()y f x =的解析式．【例103】 已知直线1l 为曲线22y x x =+-在点(10)，处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且12l l ⊥，⑴求直线2l 的方程；⑴求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积．【例104】 设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为74120x y --=．⑴求()y f x =的解析式； ⑴证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【例105】 设函数1()()f x ax a b x b=+∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为3y =． ⑴求()y f x =的解析式；⑴证明：曲线()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；⑴证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值．【例106】 已知抛物线1C ：22y x x =+和2C ：2y x a =-+，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段． ⑴则a 取什么值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程． ⑴若1C 和2C 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．高中数学讲义 11思维的发掘 能力的飞跃【例107】 设0t ≠，点(0)P t ，是函数3()f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．试用t 表示a b c ，，．【例108】 已知曲线1C ：2y x =与2C ：2(2)y x =--，直线l 与12C C ，都相切，求直线l 的方程．【例109】 已知函数3()f x x x =-．⑴求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程； ⑴求曲线()y f x =过点(26)P --，的切线的方程． ⑴设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<． ⑴求过任一点()N a b ，能作的曲线3()f x x x =-的切线的条数．【例110】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0)C c ，任作一直线，与抛物线2y x =相交于A B ，两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于点P Q ，， ⑴若2OA OB ⋅=u u u r u u u r ，求c 的值；⑴若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线； ⑴试问⑴的逆命题是否成立？请说明理由．【例111】 证明如下命题：命题：设(0)C c ，是y 轴正半轴上的一动点，过C 的动直线与抛物线22(0)x py p =>交于A B ，两点，则过A B ，的抛物线的两切线的交点的轨迹方程为y c =-，且轨迹上任一点的横坐标一定是该点对应的切点弦AB 中点的横坐标．【例112】 设Q 为直线(0)y c c =-<上任意一点，过Q 作抛物线22x py =(0)p >的两条切线，切点分别为A B ，， 求证：直线AB 必过定点(0)C c ，，且线段AB 的中点的横坐标一定对应于Q 点的横坐标．【例113】 已知函数()2ln f x x x =-．⑴写出函数()f x 的定义域，并求其单调区间； ⑴已知曲线()y f x =在点()()00x f x ，处的切线是2y kx =-，求k 的值．l yx QP OCBA高中数学讲义 12 思维的发掘 能力的飞跃 【例114】 求曲线12y x =+上的点到直线10x y ++=的距离的最小值．。
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《导数的几何意义的应用》教学设计 [教材分析] 导数是高中数学学习的重要内容，复习中应重点关注导数的应用，纵观各地的高考试卷，大多数以一个大题的形式考察这部分内容，内容主要是与单调性、最值、切线这三方面有关。而其中的切线方面的求法涉及到导数的几何意义的应用，学好了它对其数学知识的学习及贯穿运用有很大的帮助，因此在复习时，有必要再对其进行专题复习。 [学生分析] 学生虽然已经学完了导数，也对导数的几何意义有了一定的认识，但由于学生容易忽略对点与曲线位置关系的判断，并对点在曲线外的求解方法还不能熟练掌握。因此有必要对此内容进行专题训练使学生能更好地掌握。 [教学目标] 1.知识与技能：会用导数的几何意义解决数学问题。 2..方法与过程：通过探究导数的几何意义的应用，培养学生自主探究和解决问题的能力，锻炼学生的思维品质。 3.情感与态度：由导数的几何意义引入问题，利用探究题、开放性题深化了对该知识的理解，借助于多媒体教学手段，给学生提供了思维的直观想象。通过学生主动参与，体验导数的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，给学生创造成功的机会，使他们爱学、会学、学会。 [教学重点] 利用导数的几何意义解决数学问题。 [教学难点] 过曲线外一点求曲线的切线方程。 [教学准备] 多媒体辅助教学（利用实物投影进行教学） [教学方法] 启发探究式（教师设问引导，学生自主探究，合作解决）
[教学过程] 一、复习导入，构建知识网络：
判断函数的单调性 导函数 导数的运算 导数的应用 判断函数的极大（小）值 求函数的最大（小）值
生活中的优化问题
求简单函数的导数
导数的几何意义 导数的定义 求过曲线上一点 的切线方程 导入：本节课重点复习——导数的几何意义的应用 设计意图：由于学生回忆以往知识，用实物投影仪以框图的形式给出，让学生对导数有一个全面的了解，形成脑图。引导学生从“整体”到“局部”再到“整体”的认知规律，是高三专题课“整体化”的教学思想的体现。 二、探索研究，引导归纳 活动一：探究求曲线上一点的切线方程的方法
尝试题： 课本P123例3：已知曲线y=31x3 上一点 p(2,38)，求点p处的切线方程。 分析：关键求切线的斜率)2(fk。
解法：由导数的几何意义得y＇=x2， 则2|xy=22=4。 所以，在点p处的切线方程是y-38=4(x-2) ，即12 x-3y-16=0。 设计意图：通过课本中的例题创造导数几何意义的应用的环境 ，为探究题作铺垫。 活动二：探究过曲线外一点求曲线方程的方法。 探究题：求曲线 C:y=x3-3x过点 P(0,16)的切线方程。 分析：要注意到该点在曲线外，解此题的关键是将该问题转化为点在曲线上的问题。 解法一：点斜式（常规法） 设过点A(0,16)且与曲线y=x3-3x相切的切点的坐标为（x0,y0），
由导数的几何意义得：y=3x2-3得k=f(x0)=3x02-3， 由直线方程的点斜式得 y-16=(3x02-3)（x-0）又（x0,y0）在其上y0=x03-3x0 。 所以 x03-3x0=3x03-3x0=16， 2x03=-16 ， x0=-2 ， 故所求切线方程为9x-y+16=0。 解法二：两点斜率（公式法） 设切点坐标为（x0,y0）则0016xy=3x02-3，又 y0=x03-3x0 ， 所以 x03-3x0-16=3x03-3x0 ， 解得x0=-2。 故所求切线的方程为9x-y+16=0。
设计意图 ：探究题旨在给不同层次的学生留有学习的空间，培养独立思考，善于思考的好习惯。 三．拓展探索，开放思维 开放题：求曲线y=4x2上的点到直线y=2x-1的距离的最小值。 分析:法一：将问题转化为求曲线上哪一点处的导数值为2。 法二：将问题转化为直线与圆锥曲线的位置关系的判断以及求解问题。 法三：将问题转化为求二次函数最值问题。 解法一（导数法）：设点（x0,y0）即（x0,4y0）到直线y=2x-1的距离最小，亦即该点处的导数值为2。
所以，y|x=x0=8x0=2,所以x0=41 ， y0=4x02=4×161=41。
又（41，41）到直线y=2x-1的距离d=5|141412|=5203。 解法二（判别式法）：设过曲线y=4x2上的点且与直线y=2x-1平行的曲线的切线方程为y=2x+b(或设与直线y=2x-1平行的曲线的切线方程为y=2x+b)，
由bxyxy224 得4x2-2 x-b=0由该直线与曲线相切得△=0， 即△=（-2）2-4×4×（-b）=0， 4+16b=0， 16b=-4， b=-41，
故切线方程为2x-y-41=0 此直线与直线2x-y-1=0间的距离为d=5203。 解法三（公式法）：设曲线y=4x2上点（x0,y0）到直线y=2x-1的距离为d，则由
到直线的距离公式有d=5|43414|5|124|5|12|202000xxxyx， 当x0=41时，dmin=5203。 设计意图：此开放性题借助数形结合，提供思维想象载体，使问题更直观，利用转化思想通过不同的角度和途径解决一个共同的研究，旨在促进前后知识的融会贯通，发散学生的思维，培养学生良好的思维品质由师生共同完成。 四、总结转新 先由学生概括总结本节课的主要内容，然后教师补充。 1.利用导数的几何意义，求过一点的曲线的切线方程时，首先要判断点与切线的位置关系，当点不在曲线上时，要注意转化为总在曲线上的求解。 2.在解灵活性较强的问题时，要注意选择适当、最优方法来解决以便于取得最佳效果。 3.导数时高考考查内容，同学们要引起足够的重视。
设计意图：使知识条理化、系统化。 五、布置作业 1.求曲线C：y=x2+x过点p(1,1)点的切线方程。 2.（04 天津）已知函数f(x)=ax3+bx2-3x 在x=1处取得极值。 （1）讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值。 （2）过点A(0,16)作曲线y=f(x)切线，求此切线方程。
设计意图：巩固和发展所学知识。 六、板书设计
七、教学反思（略） 导数的几何意义的应用
求点在曲线上的切线方程 点在曲线外的切线方程 尝试题 开放性题 探究题 《导数的应用》教学案例 [摘要] 导数是高中数学学习的内容，复习中应重点关注导数的应用，纵观近年来各地的高考试题，大多数以一个大题的形式考察这部分内容，内容主要与单调性、最值、切线这三个方面有关。本文通过一个“求过一点的曲线的切线方程”的问题，学生围绕这个问题，自主学习、合作探究、亲自尝试接受问题的挑战，充分展示自己的观点和见解，提高学生利用以学知识去主动获取知识的能力。组织学生参与“提出问题——辨析问题——探索解决——总结归纳——拓展升华”的学习活动过程，利用多媒体演示、变式练习等激发学生的学习兴趣和求知欲望，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神，有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识和实践能力。 [关键句] 教学案例 导数 应用 自学预习 实践能力 多媒体 变式训练 开放性题 一、 案例 1. 提出问题，诱发思考 [师] 同学们好，今天我们接着学习《导数的应用》，首先尝试练习这道题：求曲线C：y=x2+x过P（1,1）点的切线方程。哪位同学上台板演呢？ （一个学生上台板演，学生动手求解，求解中允许与周围同学讨论，几分钟后）。 2. 问题辨析，唤起回忆。 [师] 大家解出来了么？解出来的同学请看黑板，是否和这位同学意见一样。 [生] 我和他的想法不一样，我认为点p不在该曲线C上,所以不能用过曲线上一点的切线方程的求法来解。 [师] 很好，请同学们看大屏幕。 （用多媒体演示点与曲线的位置关系的情形） [师] 那你是怎么解的？ [生] 我思考了半天，但没有解出来。 [师] 你刚才的思路很好，是否能把此问题转化为“求曲线上一点的切线方程的方法来求解呢？”请大家认真观察图像。 （用多媒体演示点从曲线上到曲线外的过程） 3. 探索解决，分组探究。 [师] 请同学们分组探究一下该问题（学生按小组开始交流讨论，共同探究，过几分钟后） [师] 哪位同学上台来修改（两个学生主动上台板演，教师在巡视中发现，教师的提示起到了重要的作用，台上这两位学生求解过程如下：） [生1] 设切点为(x1,y1),因为y=2x+1,所以切线斜率为k=y|x=x1=2x1+1 故切线方程为y-y1=(2x1=1)（x-x1）.则1-（x12+x1）=(2x1+1)(1-x1) 解得， x1=0或x1=2 故所求方程为y=x及y=5x-4
[生2] 设切点为（x0,y0）,因为y=2x+1，所以切线斜率为k=y|x=x0=2x0+1
又因为过点（x0,y0），与（1，1）两点的斜率k=1100xy,所以2x0+1=1100xy 整理得2x02-x0=y0,又由y0=x02+ x0得2x02-x0= x02+ x0,解得 x0=0或x0=2 ，故所求切线方程为y=x或y=5x-4 。 （教师让这两个同学把各自的求解思路作汇报后，作出点评 4.总结归纳，巩固加深 [师] 在解此类题时，应先判断该点是否在曲线上，若点不在曲线上则转化为在曲线上的问题来解决，本题可用常规法解，也可用公式法求解。 下面请同学们试做这道变式训练题， 求曲线C: y=x3-3x,过p(0,16)点的切线方程 （学生动手解答，教师巡回指导，过几分钟后） [师] 哪位同学上台展示一下你的思路和过程？ （一个同学上台讲解） [生甲]由题可判断P点不在曲线C上，若设切点为（x0,y0）,由导数的几何意义得切线斜率k=3x02-3,又由直线方程的点斜式得，切线方程为y-16=(3x02-3)(x-0) 因为（x0,y0）在该曲线上，所以y0=x03-3x0,于是得 x03-3x0= (3x02-3)x0=16,解得x0=-2,进而求出所求切线方程为9x-y+16=0 [师] 非常好，同学们还有其它解法吗？ （另一个同学主动上台）
[生乙] 因为点p不在曲线C上，可设切点为（x0,y0），由y=3x2-3,得斜率k=3x02-3,
又过两点的斜率公式得k=0160xy所以0160xy= 3x02-3，所以x03-3x0-16=3x03-3x0. 解得x0=-2, 故所求切线方程为9x-y+16=0 [师] 真棒，大家掌声鼓励一下这两位同学 （教室里一片掌声） 5拓展延伸，升华提高 [师] 下面请同学们再练习一道开放性题：求曲线y=4x2 上的点到直线y=2x-1 的距离的最小值。请同学们分组讨论，相互交流