高二数学复习 课时提升作业(三十四) 6.3《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》文 新人教A版
高考数学一轮复习第六章不等式6.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题
【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习第六章不等式 6.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念【知识拓展】1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．2．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有(1)当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； (2)当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． 3．最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( √ )(3)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × )(4)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( √ )1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3)答案 C解析 把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.2．(教材改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )答案 C解析 用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为C.3．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( ) A ．3 B.52C ．2D ．2 2 答案 C解析 因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直， 所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)，故|AB |＝2，|AC |＝22， 其面积为12×|AB |×|AC |＝2.4．(2015·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．0B ．1 C.32 D ．2答案 D解析 可行域如图所示．目标函数化为y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (0,1)时，z 取得最大值2.5．(教材改编)投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0解析 用表格列出各数据所以不难看出，x ≥0，y ≥0,200x ＋300y ≤1 400,200x ＋100y ≤900.题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 命题点1 不含参数的平面区域问题例1 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23C.43D.34 答案 (1)C (2)C解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有C 符合题意．(2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A (0，43)，B (1,1)，C (0,4)，则△ABC的面积为12×1×83＝43.故选C.命题点2 含参数的平面区域问题例2 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是_________________________________________________________________． 答案 73解析 不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43， 所以k ＝73.思维升华 (1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为( ) A ．(0,3] B ．[－1,1] C ．(－∞，3]D ．[3，＋∞)(2)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2 答案 (1)D (2)A解析 (1)直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1,2)时，k 最小，此时k CM ＝2－－1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．故选D.(2)由于x ＝1与x ＋y －4＝0不可能垂直，所以只有可能x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直或x ＝1与kx －y ＝0垂直．①当x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直时，k ＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求． ②当x ＝1与kx －y ＝0垂直时，k ＝0，检验不符合要求． 题型二 求目标函数的最值问题 命题点1 求线性目标函数的最值例3 (2014·广东)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 B解析 画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，∴A (－1，－1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6.命题点2 求非线性目标函数的最值例4 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2.(1)若z ＝yx，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此y x的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)，∴k OB ＝21＝2，即z min ＝2，∴z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的值最小为|OA |2(取不到)，最大值为|OB |2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)，∴|OA |2＝(02＋12)2＝1，|OB |2＝(12＋22)2＝5， ∴z 的取值范围是(1,5]． 引申探究 1．若z ＝y －1x －1，求z 的取值范围． 解 z ＝y －1x －1可以看作过点P (1,1)及(x ，y )两点的直线的斜率． ∴z 的取值范围是(－∞，0)．2．若z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3.求z 的最大值、最小值． 解 z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1,1)与Q (x ，y )的距离的平方|PQ |2，|PQ |2max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，|PQ |2min ＝(|1－1＋1|12＋－2)2＝12， ∴z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.命题点3 求线性规划的参数例5 已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a＝________. 答案 12解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a x －，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值． (2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有：①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，x －a2＋y －b2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；②y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －bx －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足条件．(1)(2015·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3(2)(2014·安徽)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1答案 (1)B (2)D解析 (1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．易知A (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1,1)．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在O (0,0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D 选项；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2,0)处取得最大值， ∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选B.(2)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 题型三 线性规划的实际应用例6 某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． 思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答．(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元答案 D解析 设每天甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3)．则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．7．含参数的线性规划问题的易错点典例 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.易错分析 题目给出的区域边界“两静一动”，可先画出已知边界表示的区域，分析动直线的位置时容易出错，没有抓住直线x ＋y ＝m 和直线y ＝－x 平行这个特点；另外在寻找最优点时也容易找错区域的顶点．解析 显然，当m <2时，不等式组表示的平面区域是空集；当m ＝2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A (1,1)．此时z min ＝1－1＝0≠－1. 显然都不符合题意．故必有m >2，此时不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m所表示的平面区域如图所示，平面区域为一个三角形区域， 其顶点为A (1,1)，B (m －1,1)，C (m ＋13，2m －13)．由图可知，当直线y ＝x －z 经过点C 时，z 取得最小值， 最小值为m ＋13－2m －13＝2－m3.由题意，得2－m3＝－1，解得m ＝5.答案 5温馨提醒 (1)当约束条件含有参数时，要注意根据题目条件，画出符合条件的可行域．本题因含有变化的参数，可能导致可行域画不出来． (2)应注意直线y ＝x －z 经过的特殊点．[方法与技巧]1．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．2．求最值：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b ，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得． 3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．4．利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题． [失误与防范]1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距z b取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距zb取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值．A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 答案 B解析 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且其斜率k ＝－2<k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)．2．若函数y ＝log 2x 的图象上存在点(x ，y )，满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥m ，则实数m 的最大值为( ) A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 B解析 如图，作出不等式组表示的可行域，当函数y ＝log 2x 的图象过点(2,1)时，实数m 有最大值1.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 B解析 由线性约束条件画出可行域(如图所示)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距，要使z最小，需使12z 最小，易知当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (1,1)时，z 最小，最小值为3，故选B.4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞B ．(0,1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 答案 D解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( ) A ．1 800元 B ．2 400元 C ．2 800元 D ．3 100元答案 C解析 设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，则根据题意得x 、y 的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.设获利z 元，则z ＝300x ＋400y . 画出可行域如图．画直线l ：300x ＋400y ＝0，即3x ＋4y ＝0. 平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时， 目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4,4)，∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)．故选C.6．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．－2B ．－12C.12D ．2答案 B解析 当z ＝y －x 取得最小值－4时，直线y －x ＝－4与x 轴相交于点C (4,0)，所以直线kx －y ＋2＝0一定过点C (4,0)，所以4k －0＋2＝0，即k ＝－12.经验证，符合题意．7．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x的最小值是( ) A ．－2 B ．2 C ．－1 D ．1 答案 D解析 作出不等式组对应的平面区域如图，ω＝y ＋1x的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点D (1,0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－00－1＝1.故选D.8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．[53，5]B ．[0,5]C ．[53，5)D ．[－53，5)答案 D解析 画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是[－53，5)．9．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如表：某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)． 答案 15 解析设购买铁矿石A 、B 分别为x 万吨，y 万吨，购买铁矿石的费用为z (百万元)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝3x ＋6y ，由⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ＝1.9，x ＋0.5y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.记P (1,2)，画出可行域可知，当目标函数z ＝3x ＋6y 过点P (1,2)时，z 取到最小值15.10．若点P (x ，y )满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的最小值是________；u ＝y ＋1x －1的取值范围是__________． 答案 －2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7，－13 解析 作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，y ≥0表示的可行域如下图阴影部分所示：平移直线x －y ＝0，易知当目标直线z ＝x －y 经过可行域内的点M (－2,0)时，z ＝x －y 取得最小值，且z min ＝－2；u ＝y ＋1x －1表示可行域内的点(x ，y )与点P (1，－1)组成的直线的斜率，观察图象可知，u ＝y ＋1x －1∈[k PN ，k PM ]，又k PM ＝0－－－2－1＝－13，k PN ＝43－－23－1＝－7，故u ＝y ＋1x －1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7，－13. B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)11．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域内的动点，Q是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →＋OQ →|的最小值为( ) A.55 B.23C.22D ．1答案 A解析 在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →，则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →| ＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA →|，其中P ′，B 分别为点P ，A 在直线2x ＋y ＝0上的投影，如图．因为|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55，因此|OP →＋OQ →|min ＝55，故选A.12．设平面点集A ＝{(x ，y )|(y －x )·(y －1x)≥0}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为( )A.3π4 B.3π5 C.4π7 D.π2答案 D解析 平面点集A 表示的平面区域就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≥0，y －1x≥0与⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤0，y －1x≤0表示的两块平面区域，而平面点集B 表示的平面区域为以点(1,1)为圆心， 以1为半径的圆及圆的内部， 作出它们表示的平面区域如图所示，图中的阴影部分就是A ∩B 所表示的平面图形． 由于圆和曲线y ＝1x关于直线y ＝x 对称，因此，阴影部分所表示的图形面积为圆面积的12，即为π2，故选D.13．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－2x ，y ≥x ，y ＋x ≤4，则z ＝y －4|x |的取值范围是( )A ．[－8，－6]B ．[－8,4]C ．[－8,0]D ．[－6,0]答案 B解析 满足不等式组的可行域如图所示，由题意可知A (2,2)，B (－4,8)，O (0，0)，由直线x ＋y ＝4与y 轴交点坐标为(0,4)，当x ≥0时，z ＝y －4x ，显然经过点(0,4)时z 取最大值4，经过点A 时z 取最小值－6；当x <0时，z ＝y ＋4x ，显然动直线经过点(0,4)时z 取得最大值4，经过点B 时z 取得最小值－8，所以z ＝y －4|x |的取值范围是[－8,4]，故选B.14．如果实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤3，则yx 的取值范围是________，z ＝y x ＋x y的最大值为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2 103解析 作出可行域(如图)，y x 表示可行域内的点P (x ，y )与原点连线的斜率，令t ＝y x，即y ＝tx ，由图可知，当直线y ＝tx 经过点A (3,1)时，t 最小，即y x 最小，且最小值为13，当直线y＝tx 与y ＝2x 重合时，t 最大，即y x 最大，故最大值为2，所以y x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2；t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，易知函数z ＝t ＋1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上递减，在[1,2]上递增．当t ＝13时，z ＝103；当t ＝2时，z ＝52.故z ＝y x ＋x y 的最大值为103.15．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.16．(2015·浙江)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________． 答案 3解析 满足x 2＋y 2≤1的实数x ，y 表示的点(x ，y )构成的区域是单位圆及其内部．f (x ，y )＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |＝|2x ＋y －2|＋6－x －3y＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x －2y ，y ≥－2x ＋2，8－3x －4y ，y <－2x ＋2.直线y ＝－2x ＋2与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，如图所示，易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45.设z 1＝4＋x －2y ，z 2＝8－3x －4y ，分别作直线y ＝12x和y ＝－34x 并平移，则z 1＝4＋x －2y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，z 2＝8－3x －4y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，所以|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是3.。
高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第34讲
第34讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)__不包括__边界直线，把边界直线画成虚线；不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)__包括__边界直线，把边界直线画成实线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，如果其坐标满足Ax＋By＋C＞0，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足__Ax＋By＋C<0__.(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C 的__符号__就可以判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各不等式所表示的平面区域的__公共部分__.2．线性规划中的基本概念1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( × ) (3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( √ )(4)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × )解析 (1)错误．当B <0时，不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域在直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方．(2)错误．当二元一次不等式组中的不等式所表示的区域没有公共部分时，就无法表示平面上的一个区域．(3)正确．当线性目标函数转化成的直线和某个边界重合时，最优解无穷多． (4)错误．目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z b是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距． 2．点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则( B ) A ．a ＜－7或a ＞24 B ．－7＜a ＜24 C ．a ＝－7或a ＝24D ．以上都不对解析 依题意，(9－2＋a )(－12－12＋a )<0，解得－7<a <24.3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( C )A ．32 B ．23 C ．43D ．34解析 不等式组表示的平面区域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4，得交点A 的坐标为(1,1)．又B ，C 两点的坐标分别为(0,4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.故S △ABC ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－43×1＝43.4．(2017·山东卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为( D )A ．1B ．3C ．5D ．9解析 画出可行域如图中阴影部分所示，令z ＝x ＋2y ，平移直线x ＋2y ＝0，可知当z ＝x ＋2y 过点C (3,3)时，目标函数取得最大值，即z max ＝3＋2×3＝9，故选D ．5．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，目标函数z ＝y －ax (a ∈R )．若z取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是__(1，＋∞)__.解析 如图，依题意，直线x ＋y －4＝0与x －y ＋2＝0交于A (1,3)，此时目标函数取最大值，故a >1.一 二元一次不等式(组)表示的平面区域确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．若直线不过原点，特殊点一般取(0,0)点．(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线．【例1】 (1)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为( A )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －2y ＋2≤0C ．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y ＋2≥0D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＞0，x －2y ＋2＞0(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m的值为( B )A ．－3B ．1C ．43D ．3解析 (1)两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方， 可知x －2y ＋2≥0，又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域．(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2,0)，B (1－m,1＋m )，C ⎝⎛⎭⎪⎫2－4m 3，2＋2m 3，D (－2m,0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC＝12||AD ·||y B －y C ＝12(2＋2m )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m －2＋2m 3 ＝(1＋m )⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43. 解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．二 线性目标函数的最值问题(1)求线性目标函数的最值．线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值．(2)由目标函数的最值求参数．求解线性规划中含参问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．(3)利用可行域及最优解求参数及其范围．利用约束条件作出可行域，通过分析可行域及目标函数确定最优解的点，再利用已知可求参数的值或范围．【例2】 (1)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y的最小值为( B )A ．－4B ．6C ．10D ．17(2)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( D )A ．12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1解析 (1)由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分)．当直线2x ＋5y －z ＝0过点A (3,0)时，z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B ． (2)作出可行域(如图所示的△ABC 及其内部)．由题设z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数取最大值时对应的直线与可行域某一边界重合．又k AB ＝－1，k AC ＝2，k BC ＝12，∴a ＝－1或a ＝2或a ＝12，验证：a ＝－1或a ＝2时，满足题意；a ＝12时，不满足题意，故选D ．三 非线性目标函数的最值问题非线性目标函数常见类型的几何意义(1)(x －a )2＋(y －b )2为点(x ，y )与点(a ，b )距离的平方． (2)y －bx －a为点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)|Ax ＋By ＋C |是点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍．【例3】 设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值； (2)求v ＝yx －5的最大值与最小值；(3)求z ＝|2x ＋y ＋4|的最大值与最小值． 解析 画出满足条件的可行域，如图所示．(1)x 2＋y 2＝u 表示一组同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点x 2＋y 2的值都相等，由图象可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆O 过C 点时，u 最大，过点(0,0)时，u 最小．又C (3,8)，所以u max ＝73，u min ＝0.(2)v ＝yx －5表示可行域内的点P (x ，y )到定点D (5,0)的斜率，由图象可知，k BD 最大，k CD 最小．又因为C (3,8)，B (3，－3)， 所以v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4.(3)因为z ＝|2x ＋y ＋4|＝5·|2x ＋y ＋4|5表示可行域内点P (x ，y )到直线2x ＋y ＋4＝0的距离的5倍，由图象知A 到直线2x ＋y ＋4＝0的距离最小，C 到直线2x ＋y ＋4＝0的距离最大．又因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52，C (3,8)，故当x ＝－52，y ＝52时，z min ＝5·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋52＋45＝32. 当x ＝3，y ＝8时，z max ＝5·|2×3＋8＋4|5＝18.四 线性规划的实际应用解线性规划应用题的一般步骤第一步：分析题意，设出未知量； 第二步：列出线性约束条件和目标函数； 第三步：作出可行域并利用数形结合求解； 第四步：将数学问题的答案还原为实际问题的答案．【例4】 (2016·天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示.现有A 种原料200吨，肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解析 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x＋z 3，这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线，z 3为直线在y 轴上的截距，当z 3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.故生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．1．(2017·浙江卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( D )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)解析 画出可行域如图阴影部分所示，平移直线x ＋2y ＝0，可知，直线z ＝x ＋2y 过点(2,1)时取得最小值4，无最大值，故选D ．2．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －a ≥0，目标函数t ＝x －2y 的最大值为2，则实数a 的值是( D )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析 可行域为△ABC 及其内部，如图所示．由图可知，当目标函数t ＝x －2y 过点A 时有最大值，由直线x －2y ＝2与直线x －2＝0的交点坐标为(2,0)，代入直线x ＋2y －a ＝0，得a ＝2，故选D ．3．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，则k ＝yx ＋1的最大值为( C )A ．12 B ．32 C ．1D ．14解析 如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1表示的平面区域为△AOB 的边界及其内部区域，k ＝y x ＋1＝y －0x －(－1)表示点(x ，y )和(－1,0)的连线的斜率． 由图知，点(0,1)和点(－1,0)连线的斜率最大，所以k max ＝1－00－(－1)＝1，故选C ．4．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为__216_000__元．解析 设生产产品A x 件，生产产品B y 件，利润之和为z 元，则z ＝2 100x ＋900y . 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ，y ∈N ，作出可行域(如图)．由⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝60，y ＝100.当直线 2 100x ＋900y －z ＝0过点M (60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000.故所求的最大值为216 000元．易错点 不能准确确定最优解的位置错因分析：“截距型”最优解问题一是要弄清z 与截距的关系，二是要看与目标函数相应的直线的斜率的正负以及与可行域边界直线斜率的大小关系．【例1】 已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的值最大为12，则2a ＋3b的最小值为________.解析 画出可行域，如图中阴影部分所示．由z ＝ax ＋by 得，y ＝－ab x ＋z b.∵－a b＜0，∴一定是过点A 时z 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6＝0，x －y ＋2＝0得A (4,6)，∴z max ＝4a ＋6b ＝12，∴a 3＋b2＝1.∴2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋b 2＝23＋32＋b a ＋a b ≥23＋32＋2＝256(当且仅当a ＝b ＝65时，取等号)． ∴2a ＋3b 的最小值为256. 答案 256【跟踪训练1】 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，x ＋y ≥3，若目标函数z ＝x ＋ky (k >0)的最小值为13，则实数k ＝( C )A ．7B ．5或13C ．5或294D ．13解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，x ＋y ≥3，表示的平面区域，如图所示，可知z ＝x ＋ky (k >0)过点A ⎝⎛⎭⎪⎫12，52或B ⎝⎛⎭⎪⎫75，85时取得最小值，所以12＋52k ＝13或75＋85k ＝13，解得k ＝5或294.课时达标 第34讲[解密考纲]考查线性规划以选择题或填空题的形式出现． 一、选择题1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝4x ＋y 的最大值为( B )A ．10B ．8C ．2D ．0解析 画出可行域，根据图形可知，当目标函数的图象经过点A (2,0)时，z ＝4x ＋y 取得最大值8.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( A )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C ．[－1,6]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图可知，当直线z ＝3x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值6，过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，z 取得最小值－32，故选A ．3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤1，x ＋y ≥2，y ≤2，则目标函数z ＝x 2＋y 2的取值范围为( C )A ．[2,8]B ．[4,13]C ．[2,13]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，13解析 作出可行域，如图中阴影部分，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方，从而可得z min ＝|OA |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|0＋0－2|12＋122＝2，z max ＝|OB |2＝32＋22＝13.故z ∈[2,13]．4．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－2，则k ＝( B )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析 当k ≥0时，直线z ＝y －x 不存在最小值，∴k ＜0.当k ＜0时，当有且仅当直线z ＝y －x 经过kx －y ＋2＝0与x 轴的交点，(－2k，0)时，z 取得最小值－2，∴－2＝2k，即k ＝－1.5．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a ＝( A )A ．3B ．6C ．5D ．4解析 先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0对应的区域，如图．因为直线ax －y ＋1＝0过定点(0,1)，且不等式ax －y ＋1≥0表示的区域在直线ax －y ＋1＝0的下方，所以△ABC 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0对应的平面区域．因为A 到直线BC 的距离为1，所以S △ABC ＝12×1×BC ＝2，所以BC ＝4.当x ＝1时，y C ＝1＋a ，所以y C ＝1＋a ＝4， 解得a ＝3.6．设实数x, y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则z ＝y x ＋xy的取值范围是( D )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，103B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，52C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影所示．解方程组得可行域的顶点分别为A (3,1)，B (1,2)，C (4,2)．由于y x表示可行域内的点(x ，y )与原点(0,0)的连线的斜率，则k OA ＝13，k OB ＝2，k OC ＝12，所示y x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2.结合对勾函数的图象，得z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103，故选D ．二、填空题7．(2016·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为__3__.解析 由约束条件画出可行域，如图．y x 的几何意义是可行域内的点(x ，y )与原点连线的斜率，所以yx的最大值即为直线OA 的斜率，又由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋y －4＝0得点A 的坐标为(1,3)，于是⎝ ⎛⎭⎪⎫y xmax ＝k OA ＝3.8．已知实数x ，y 满足x 2＋(y －2)2＝1，则ω＝x ＋3yx 2＋y 2的取值范围是__[1,2]__. 解析 设P (x ，y )，M (1，3)，则cos 〈OP →，OM →〉＝x ＋3y 2x 2＋y2＝ω2，过原点O 作⊙C 的切线OA ，OB ，切点为A ，B ，易知：∠MOx ＝∠AOx ＝60°，∠BOx ＝120°， ∴0°≤〈OP →，OM →〉≤60°，∴12≤cos〈OP →，OM →〉≤1，∴1≤ω≤2. 9．已知a >0，实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 的值为__12__.解析 由题意得直线y ＝a (x －3)过x ＝1与2x ＋y ＝1的交点(1，－1)，因此a 的值为12.三、解答题10．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)，如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围． 解析 (1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)依题意[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]<0， 即(14－a )(－18－a )<0，解得－18<a <14.故a 的取值范围是(－18,14)．11．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围． 解析 可行域如图阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．(1)设P (x ，y )，则z ＝y x ＝y －0x －0＝k PO ，由图知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2＝|PO |2，∵|OC |2＝2，|OB |2＝29， ∴由图得2≤z ≤29，即z ∈[2,29]．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8.∴16≤z ≤64，即z ∈[16,64]．12．某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次．A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解析 设A 型，B 型车分别为x ，y 辆， 相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y . 由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线1 600x ＋2 400y ＝z 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆，B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．。
2019版高考数学理一轮课时达标34二元一次不等式组与简
课时达标 第34讲[解密考纲]考查线性规划以选择题或填空题的形式出现． 一、选择题1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝4x ＋y 的最大值为( B )A ．10B ．8C ．2D ．0解析 画出可行域，根据图形可知，当目标函数的图象经过点A (2,0)时，z ＝4x ＋y 取得最大值8.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( A )A ．⎣⎡⎦⎤－32，6 B ．⎣⎡⎦⎤－32，－1 C ．[－1,6]D ．⎣⎡⎦⎤－6，32 解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图可知，当直线z ＝3x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值6，过点B ⎝⎛⎭⎫12，3时，z 取得最小值－32，故选A ．3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤1，x ＋y ≥2，y ≤2，则目标函数z ＝x 2＋y 2的取值范围为( C )A ．[2,8]B ．[4,13]C ．[2,13]D ．⎣⎡⎦⎤52，13解析 作出可行域，如图中阴影部分，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方，从而可得z min ＝|OA |2＝⎝⎛⎭⎪⎫|0＋0－2|12＋122＝2，z max ＝|OB |2＝32＋22＝13.故z ∈[2,13]．4．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－2，则k ＝( B )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析 当k ≥0时，直线z ＝y －x 不存在最小值，∴k ＜0.当k ＜0时，当有且仅当直线z ＝y －x 经过kx －y ＋2＝0与x 轴的交点，(－2k ，0)时，z 取得最小值－2，∴－2＝2k，即k ＝－1.5．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a ＝( A )A ．3B ．6C ．5D ．4解析 先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0对应的区域，如图．因为直线ax －y ＋1＝0过定点(0,1)，且不等式ax －y ＋1≥0表示的区域在直线ax －y ＋1＝0的下方，所以△ABC 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0对应的平面区域．因为A 到直线BC 的距离为1，所以S △ABC ＝12×1×BC ＝2，所以BC ＝4.当x ＝1时，y C ＝1＋a ，所以y C ＝1＋a ＝4， 解得a ＝3.6．设实数x, y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则z ＝y x ＋xy的取值范围是( D )A ．⎣⎡⎦⎤13，103 B ．⎣⎡⎦⎤13，52 C ．⎣⎡⎦⎤2，52 D ．⎣⎡⎦⎤2，103 解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影所示．解方程组得可行域的顶点分别为A (3,1)，B (1,2)，C (4,2)．由于yx 表示可行域内的点(x ，y )与原点(0,0)的连线的斜率，则k OA＝13，k OB ＝2，k OC ＝12，所示y x ∈⎣⎡⎦⎤13，2.结合对勾函数的图象，得z ∈⎣⎡⎦⎤2，103，故选D ．二、填空题7．(2016·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为__3__. 解析 由约束条件画出可行域，如图．y x 的几何意义是可行域内的点(x ，y )与原点连线的斜率，所以yx的最大值即为直线OA 的斜率，又由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋y －4＝0得点A 的坐标为(1,3)，于是⎝⎛⎭⎫y x max ＝k OA ＝3. 8．已知实数x ，y 满足x 2＋(y －2)2＝1，则ω＝x ＋3y x 2＋y 2的取值范围是__[1,2]__.解析 设P (x ，y )，M (1，3)，则cos 〈OP →，OM →〉＝x ＋3y 2x 2＋y 2＝ω2，过原点O 作⊙C 的切线OA ，OB ，切点为A ，B ，易知：∠MOx ＝∠AOx ＝60°，∠BOx ＝120°， ∴0°≤〈OP →，OM →〉≤60°，∴12≤cos 〈OP →，OM →〉≤1，∴1≤ω≤2. 9．已知a >0，实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a的值为__12__.解析 由题意得直线y ＝a (x －3)过x ＝1与2x ＋y ＝1的交点(1，－1)，因此a 的值为12.三、解答题10．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)，如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围． 解析 (1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)依题意[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]<0， 即(14－a )(－18－a )<0，解得－18<a <14.故a 的取值范围是(－18,14)．11．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围． 解析 可行域如图阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0， 解得A ⎝⎛⎭⎫1，225. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)设P (x ，y )，则z ＝y x ＝y －0x －0＝k PO ，由图知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2＝|PO |2，∵|OC |2＝2，|OB |2＝29， ∴由图得2≤z ≤29，即z ∈[2,29]．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8. ∴16≤z ≤64，即z ∈[16,64]．12．某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次．A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解析 设A 型，B 型车分别为x ，y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y . 由题意，得x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线1 600x ＋2 400y ＝z 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z 2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆，B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．。
201x版高考数学总复习第六章不等式推理与证明6.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题文
2．已知约束条件 xx≥ ＋1y－，4≤0， kx－y≤0
区域，则实数 k 的值为( ) A．1 B．－1 C．0 D．－2
表示面积为 1 的直角三角形
解析：先作出不等式组xx≥＋1y≤，4 对应的平面区域，如图： 要使阴影部分为直角三角形， 当 k＝0 时，此三角形的面积为 12×3×＝92≠1，所以不成立． 答案：A
y≥0
表示的可行域如图阴影部分
所示．
由 z＝3x－4y 得 y＝34x－14z.
平移直线 y＝34x，易知经过点 A 时，
z 有最小值．
由xx－ ＋yy＝ －02， ＝0 得xy＝＝11，，
∴ A(1,1)．
∴ zmin＝3－4＝－1.
考向一 二元一次不等式(组)表示平面区域 [自主练透型]
x＋y－1≥0 1．(2018·济南一模)设不等式组x－y＋1≥0
[知识重温]
一、必记 6●个知识点 1．二元一次不等式表示平面区域 在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线 Ax＋By＋C＝0 分成三类： (1)满足 Ax＋By＋C＝0 的点； (2)满足 Ax＋By＋C>0 的点； (3)满足 Ax＋By＋C<0 的点．
2．二元一次不等式表示平面区域的判断方法 直线 l：Ax＋By＋C＝0 把坐标平面内不在直线 l 上的点分为两 部分，当点在直线 l 的同一侧时，点的坐标使式子 Ax＋By＋C 的值 具有相同的符号，当点在直线 l 的两侧时，点的坐标使 Ax＋By＋C 的值具有相反的符号．
2 ． (2017·新 课 标 全 国 卷 Ⅰ) 设 x ， y 满 足 约 束 条 件
x2＋x＋2yy≤ ≥1－，1， x－y≤0，
2019年高考数学(理)一轮复习达标测试(三十四) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题习题及答案
课时达标检测（三十四） 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题1．下面给出的四个点中，位于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1<0，x －y ＋1>0表示的平面区域内的点是( )A ．(0,2)B ．(－2,0)C ．(0，－2)D ．(2,0)解析：选C 将四个点的坐标分别代入不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1<0，x －y ＋1>0验证可知，满足条件的只有(0，－2)．2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23C.43D.34解析：选C 平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，43，|BC |＝4－43＝83.∴S △ABC ＝12×83×1＝43.3．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．0B ．1 C.32 D ．2解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．作直线x ＋2y ＝0并上下平移，易知当直线过点A (0,1)时，z ＝x ＋2y 取最大值，即z max ＝0＋2×1＝2.4．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为( )A ．1 B.92C ．5D ．9解析：选B 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由题意可知点P (－2，－3)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32，所以(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝92，故选B.5．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函z＝3x －y 的最大值为________．解析：根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4.答案：4一、选择题1．若x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ＋3≥0，y ≥－1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．11B ．－11C ．13D ．－13解析：选A 将z ＝3x ＋y 为y ＝－3x ＋z ，作出可行域如图阴影部分所示，易知当直线y ＝－3x ＋z 经过点D 时，z 取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，y ＝－1，得D (4，－1)，此时z max ＝4×3－1＝11，故选A.2．(2017·河南八市高三质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，－2x ＋y ＋c ≥0，目标函z ＝6x ＋2y 的最小值是10，则z 的最大值是( )A ．20B ．22C ．24D ．26 解析：选A 由z ＝6x ＋2y ，得y ＝－3x ＋z2，作出不等式组所表示可行域的大致图形如图中阴影部分所示，由图可知当直线y ＝－3x ＋z2经过点C 时，直线的纵截距最小，即z ＝6x ＋2y 取得最小值10，由⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋2y ＝10，x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，即C (2，－1)，将其代入直线方程－2x ＋y ＋c ＝0，得c ＝5，即直线方程为－2x ＋y ＋5＝0，平移直线3x ＋y ＝0，当直线经过点D 时，直线的纵截距最大，此时z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＋5＝0，x ＋y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即D (3,1)，将点D 的坐标代入目标函z ＝6x ＋2y ，得z max ＝6×3＋2＝20，故选A.3．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12解析：选 D作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0的可行域．当k ≥0时，如图(1)所示，此时可行域为x 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值．当k <－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．当－1<k <0时，如图(2)所示，此时可行域为点A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＝－4，即k ＝－12.故选D.4．(2017·安徽江南十校联考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ． B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2 C ．D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析：选B 作出可行域如图所示，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2x －2z＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.5．(2016·浙江高考)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6解析：选C 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC为矩形，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0得C (2，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得D (－1,1)．所以|AB |＝|CD |＝＋2＋－2－2＝3 2.故选C.6．(2017·山东济南三校联考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(1,1)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A ．(0,2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12解析：选 B 约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：ax ＋y ＝0，过点(1,1)作l 的平行线l ′，要满足题意，则直线l ′的斜率介于直线x ＋2y －3＝0与直线y ＝1的斜率之间，因此，－12<－a <0，即0<a <12.故选B.二、填空题7．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实m 的最大值为________．解析：约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m表示的可行域如图中阴影部分所示．当直线x ＝m 从如图所示的实线位置运动到过A 点的虚线位置时，m 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，y ＝2x得A 点坐标为(1,2)，∴m 的最大值是1.答案：18．已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是________．解析：画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，59．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0，则x ＋y －6x －4的取值范围是________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0表示的平面区域如图所示，因为x ＋y －6x －4＝x －4＋y －2x －4＝1＋y －2x －4，而y －2x －4表示平面区域内的点与点A (4,2)连线的斜率，由图知斜率的最小值为0，最大值为k AB ＝－4－2－3－4＝67，所以1＋y －2x －4的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，137，即x ＋y －6x －4的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，137.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，13710．实x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7,9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.答案：21 三、解答题11．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3，4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，可知z ＝12x －y ＋12过A (3,4)时取最小值－2，过C (1,0)时取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a ＜2.故所求a 的取值范围为(－4,2)． 12．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个x 与骑兵个y 表示每天的利润w (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个为100－x －y ， 所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋－x －y ，100－x －y ≥0，x ，y ∈N.整得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ，y ∈N.目标函为w ＝2x ＋3y ＋300.作出可行域如图所示：初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线，易知直线经过点A 时，w 有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝50，y ＝50.所以最优解为A (50,50)，此时w max ＝550元．所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．。
(完整版)高二数学二元一次不等式组与简单的线性规划问题
高二数学二元一次不等式组与简单的线性规划问题(20121018)一、教学目标1．掌握二元一次不等式（组）表示的平面区域的确定方法。
2．对线性目标函数By Ax z +=中B 的符号一定要注意：当0>B 时，当直线过可行域且在y 轴截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当0<B 时，当直线过可行域且在y 轴截距最大时，z 值最小，在y 轴截距最小时，z 值最大。
3．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点。
4．由于最优解是通过图形来观察的，故作图要准确，否则观察的结果可能有误。
二、考纲要求：①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． ③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 三、学习内容1、概念引入（1）若23z x y =+，式中变量x 、y 满足上面不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0682y x y x y x ，则不等式组叫做变量x 、y 的约束条件 ，23z x y =+叫做目标函数；又因为这里的是关于变量x 、y 的一次解析式，所以又称为线性目标函数。
（2）满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域； （3）其中使目标函数取得最大值的可行解（4，2）叫做最优解 2．线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.3．线性规划问题应用题的求解步骤：（1）先设出决策变量，找出约束条件和线性目标函数； （2）作出相应的图象（注意特殊点与边界）（3）利用图象，在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大（小）值；在求线性目标函数ny mx z +=的最大（小）时，直线0=+ny mx 往右（左）平移则值随之增大（小），这样就可以在可行域中确定最优解。
四、例题探索例1 探究如何求最值已知实数,x y 满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，求2z x y =+的最大值。
高考数学一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6.3
「基础小题练一练」 1．下列命题中正确的是( ) A．点(0,1)在区域 x－y＋1＞0 内 B．点(0,0)在区域 x＋y＋1＜0 内 C．点(1,0)在区域 y≥2x 内 D．点(0,0)在区域 x＋y≥0 内 解析：将(0,0)代入 x＋y≥0，成立．故选 D. 答案：D
2．在平面直角坐标系 xOy 中，不等式组1－≤1x≤＋xy－≤y3≤，1 表示图形的面积等于
() A．1
B．2
C．3
D．4
解析：不等式组对应的平面区域如图，即对应的区域为正方形 ABCD，其中 A(0,1)， D(1,0)，边长 AD＝ 2，则正方形的面积 S＝ 2× 2＝2.
答案：B
2x＋3y－3≤0， 3．(2017 年全国卷Ⅱ)设 x，y 满足约束条件2x－3y＋3≥0，
y＋3≥0，
答案：D
3
考点疑难突破
二元一次不等式(组)表示平面区域
[题 组 训 练]
x≥1， 1．已知约束条件x＋y－4≤0，
kx－y≤0
表示面积为 1 的直角三角形区域，则实数 k 的
值为( ) A．1
B．－1
C．0
D．－2
解析：先作出不等式组
x≥1， x＋y≤4
对应的平面区域，如图．
要使阴影部分为直角三角形，
答案：C
x≥0， 3．(2017 届广州五校联考)设不等式组x＋2y≥4，
2x＋y≤4
所表示的平面区域为 D，则
区域 D 的面积为________．
解析：如图，画出可行域．易得 A43，43，B(0,2)，C(0,4)， ∴可行域 D 的面积为12×2×43＝43. 答案：34
确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法 (1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若 满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否 则就对应与特殊点异侧的平面区域． (2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点 常取原点．
2020年高考理科数学复习第34讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
第34讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)__不包括__边界直线，把边界直线画成虚线；不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)__包括__边界直线，把边界直线画成实线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，如果其坐标满足Ax＋By＋C＞0，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足__Ax＋By＋C<0__.(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C 的__符号__就可以判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各不等式所表示的平面区域的__公共部分__.2．线性规划中的基本概念1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( × ) (3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( √ )(4)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × )解析 (1)错误．当B <0时，不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域在直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方．(2)错误．当二元一次不等式组中的不等式所表示的区域没有公共部分时，就无法表示平面上的一个区域．(3)正确．当线性目标函数转化成的直线和某个边界重合时，最优解无穷多． (4)错误．目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，zb 是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．2．点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则( B ) A ．a ＜－7或a ＞24 B ．－7＜a ＜24 C ．a ＝－7或a ＝24D ．以上都不对解析 依题意，(9－2＋a )(－12－12＋a )<0，解得－7<a <24. 3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( C )A ．32B ．23C ．43D ．34解析 不等式组表示的平面区域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4，得交点A 的坐标为(1,1)．又B ，C 两点的坐标分别为(0,4)，⎝⎛⎭⎫0，43.故S △ABC ＝12×⎝⎛⎭⎫4－43×1＝43.4．(2017·山东卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为( D )A ．1B ．3C ．5D ．9解析 画出可行域如图中阴影部分所示，令z ＝x ＋2y ，平移直线x ＋2y ＝0，可知当z ＝x ＋2y 过点C (3,3)时，目标函数取得最大值，即z max ＝3＋2×3＝9，故选D ．5．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，目标函数z ＝y －ax (a ∈R )．若z 取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是__(1，＋∞)__.解析 如图，依题意，直线x ＋y －4＝0与x －y ＋2＝0交于A (1,3)，此时目标函数取最大值，故a >1.一 二元一次不等式(组)表示的平面区域确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．若直线不过原点，特殊点一般取(0,0)点．(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线．【例1】 (1)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为( A )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －2y ＋2≤0C ．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y ＋2≥0D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＞0，x －2y ＋2＞0(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( B )A ．－3B ．1C ．43D ．3解析 (1)两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方， 可知x －2y ＋2≥0，又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． (2)作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2,0)，B (1－m,1＋m )，C ⎝⎛⎭⎫2－4m 3，2＋2m 3，D (－2m,0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12||AD ·||y B －y C ＝12(2＋2m )⎝⎛⎭⎫1＋m －2＋2m 3 ＝(1＋m )⎝⎛⎭⎫1＋m －23＝43.解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．二 线性目标函数的最值问题(1)求线性目标函数的最值．线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值．(2)由目标函数的最值求参数．求解线性规划中含参问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．(3)利用可行域及最优解求参数及其范围．利用约束条件作出可行域，通过分析可行域及目标函数确定最优解的点，再利用已知可求参数的值或范围．【例2】 (1)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( B )A ．－4B ．6C ．10D ．17(2)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( D )A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－1解析 (1)由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分)．当直线2x ＋5y －z ＝0过点A (3,0)时，z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B ． (2)作出可行域(如图所示的△ABC 及其内部)．由题设z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数取最大值时对应的直线与可行域某一边界重合．又k AB ＝－1，k AC ＝2，k BC ＝12，∴a ＝－1或a ＝2或a ＝12，验证：a ＝－1或a ＝2时，满足题意；a ＝12时，不满足题意，故选D ．三 非线性目标函数的最值问题非线性目标函数常见类型的几何意义(1)(x －a )2＋(y －b )2为点(x ，y )与点(a ，b )距离的平方． (2)y －b x －a为点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)|Ax ＋By ＋C |是点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍． 【例3】 设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值； (2)求v ＝yx －5的最大值与最小值； (3)求z ＝|2x ＋y ＋4|的最大值与最小值． 解析 画出满足条件的可行域，如图所示．(1)x 2＋y 2＝u 表示一组同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点x 2＋y 2的值都相等，由图象可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆O 过C 点时，u 最大，过点(0,0)时，u 最小．又C (3,8)，所以u max ＝73，u min ＝0.(2)v ＝yx －5表示可行域内的点P (x ，y )到定点D (5,0)的斜率，由图象可知，k BD 最大，k CD最小．又因为C (3,8)，B (3，－3)， 所以v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4.(3)因为z ＝|2x ＋y ＋4|＝5·|2x ＋y ＋4|5表示可行域内点P (x ，y )到直线2x ＋y ＋4＝0的距离的5倍，由图象知A 到直线2x ＋y ＋4＝0的距离最小，C 到直线2x ＋y ＋4＝0的距离最大．又因为A ⎝⎛⎭⎫－52，52，C (3,8)， 故当x ＝－52，y ＝52时，z min ＝5·⎪⎪⎪⎪2×⎝⎛⎭⎫－52＋52＋45＝32. 当x ＝3，y ＝8时，z max ＝5·|2×3＋8＋4|5＝18.四 线性规划的实际应用解线性规划应用题的一般步骤第一步：分析题意，设出未知量； 第二步：列出线性约束条件和目标函数； 第三步：作出可行域并利用数形结合求解； 第四步：将数学问题的答案还原为实际问题的答案．【例4】 (2016·天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示.现有A 种原料200吨，肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解析 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z3，这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线，z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.故生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．1．(2017·浙江卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( D )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)解析 画出可行域如图阴影部分所示，平移直线x ＋2y ＝0，可知，直线z ＝x ＋2y 过点(2,1)时取得最小值4，无最大值，故选D ．2．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －a ≥0，目标函数t ＝x －2y 的最大值为2，则实数a 的值是( D )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析 可行域为△ABC 及其内部，如图所示．由图可知，当目标函数t ＝x －2y 过点A 时有最大值，由直线x －2y ＝2与直线x －2＝0的交点坐标为(2,0)，代入直线x ＋2y －a ＝0，得a ＝2，故选D ．3．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，则k ＝yx ＋1的最大值为( C ) A ．12B ．32C ．1D ．14解析 如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1表示的平面区域为△AOB 的边界及其内部区域，k ＝yx ＋1＝y －0x －(－1)表示点(x ，y )和(－1,0)的连线的斜率． 由图知，点(0,1)和点(－1,0)连线的斜率最大，所以k max ＝1－00－(－1)＝1，故选C ．4．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为__216_000__元．解析 设生产产品A x 件，生产产品B y 件，利润之和为z 元，则z ＝2 100x ＋900y .根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ，y ∈N ，作出可行域(如图)．由⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝60，y ＝100. 当直线2 100x ＋900y －z ＝0过点M (60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000.故所求的最大值为216 000元．易错点 不能准确确定最优解的位置错因分析：“截距型”最优解问题一是要弄清z 与截距的关系，二是要看与目标函数相应的直线的斜率的正负以及与可行域边界直线斜率的大小关系．【例1】 已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的值最大为12，则2a ＋3b的最小值为________.解析 画出可行域，如图中阴影部分所示．由z ＝ax ＋by 得，y ＝－a b x ＋zb.∵－ab＜0，∴一定是过点A 时z 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6＝0，x －y ＋2＝0得A (4,6)， ∴z max ＝4a ＋6b ＝12，∴a 3＋b 2＝1.∴2a ＋3b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ⎝⎛⎭⎫a 3＋b 2＝23＋32＋b a ＋a b ≥23＋32＋2＝256(当且仅当a ＝b ＝65时，取等号)． ∴2a ＋3b 的最小值为256. 答案256【跟踪训练1】 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，x ＋y ≥3，若目标函数z ＝x ＋ky (k >0)的最小值为13，则实数k ＝( C )A ．7B ．5或13C ．5或294D ．13解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，x ＋y ≥3，表示的平面区域，如图所示，可知z ＝x ＋ky (k >0)过点A ⎝⎛⎭⎫12，52或B ⎝⎛⎭⎫75，85时取得最小值，所以12＋52k ＝13或75＋85k ＝13，解得k ＝5或294.课时达标 第34讲[解密考纲]考查线性规划以选择题或填空题的形式出现． 一、选择题1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝4x ＋y 的最大值为( B )A ．10B ．8C ．2D ．0解析 画出可行域，根据图形可知，当目标函数的图象经过点A (2,0)时，z ＝4x ＋y 取得最大值8.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( A )A ．⎣⎡⎦⎤－32，6 B ．⎣⎡⎦⎤－32，－1 C ．[－1,6]D ．⎣⎡⎦⎤－6，32 解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图可知，当直线z ＝3x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值6，过点B ⎝⎛⎭⎫12，3时，z 取得最小值－32，故选A ．3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤1，x ＋y ≥2，y ≤2，则目标函数z ＝x 2＋y 2的取值范围为( C )A ．[2,8]B ．[4,13]C ．[2,13]D ．⎣⎡⎦⎤52，13 解析 作出可行域，如图中阴影部分，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方，从而可得z min ＝|OA |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|0＋0－2|12＋122＝2，z max ＝|OB |2＝32＋22＝13.故z ∈[2,13]．4．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－2，则k ＝( B )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析 当k ≥0时，直线z ＝y －x 不存在最小值，∴k ＜0.当k ＜0时，当有且仅当直线z ＝y －x 经过kx －y ＋2＝0与x 轴的交点，(－2k ，0)时，z 取得最小值－2，∴－2＝2k，即k ＝－1.5．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a ＝( A )A ．3B ．6C ．5D ．4解析 先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0对应的区域，如图．因为直线ax －y ＋1＝0过定点(0,1)，且不等式ax －y ＋1≥0表示的区域在直线ax －y ＋1＝0的下方，所以△ABC 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0对应的平面区域．因为A 到直线BC 的距离为1，所以S △ABC ＝12×1×BC ＝2，所以BC ＝4.当x ＝1时，y C ＝1＋a ，所以y C ＝1＋a ＝4， 解得a ＝3.6．设实数x, y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则z ＝y x ＋xy的取值范围是( D )A ．⎣⎡⎦⎤13，103 B ．⎣⎡⎦⎤13，52 C ．⎣⎡⎦⎤2，52 D ．⎣⎡⎦⎤2，103 解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影所示．解方程组得可行域的顶点分别为A (3,1)，B (1,2)，C (4,2)．由于yx 表示可行域内的点(x ，y )与原点(0,0)的连线的斜率，则k OA＝13，k OB ＝2，k OC ＝12，所示y x ∈⎣⎡⎦⎤13，2.结合对勾函数的图象，得z ∈⎣⎡⎦⎤2，103，故选D ．二、填空题7．(2016·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为__3__. 解析 由约束条件画出可行域，如图．y x 的几何意义是可行域内的点(x ，y )与原点连线的斜率，所以yx的最大值即为直线OA 的斜率，又由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋y －4＝0得点A 的坐标为(1,3)，于是⎝⎛⎭⎫y x max ＝k OA ＝3. 8．已知实数x ，y 满足x 2＋(y －2)2＝1，则ω＝x ＋3y x 2＋y 2的取值范围是__[1,2]__.解析 设P (x ，y )，M (1，3)，则cos 〈OP →，OM →〉＝x ＋3y 2x 2＋y 2＝ω2，过原点O 作⊙C 的切线OA ，OB ，切点为A ，B ，易知：∠MOx ＝∠AOx ＝60°，∠BOx ＝120°， ∴0°≤〈OP →，OM →〉≤60°，∴12≤cos 〈OP →，OM →〉≤1，∴1≤ω≤2. 9．已知a >0，实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a的值为__12__.解析 由题意得直线y ＝a (x －3)过x ＝1与2x ＋y ＝1的交点(1，－1)，因此a 的值为12.三、解答题10．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)，如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围． 解析 (1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)依题意[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]<0， 即(14－a )(－18－a )<0，解得－18<a <14.故a 的取值范围是(－18,14)． 11．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围． 解析 可行域如图阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0， 解得A ⎝⎛⎭⎫1，225. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)设P (x ，y )，则z ＝y x ＝y －0x －0＝k PO ，由图知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2＝|PO |2，∵|OC |2＝2，|OB |2＝29， ∴由图得2≤z ≤29，即z ∈[2,29]．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8. ∴16≤z ≤64，即z ∈[16,64]．12．某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次．A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解析 设A 型，B 型车分别为x ，y 辆， 相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y . 由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线1 600x＋2 400y＝z经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋2 400y在y轴上的截距z2 400最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆，B型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．。
高中数学 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题PPT课件
情
【答案】 C
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
自 主 落
x≥1， 4．在平面直角坐标系中，不等式组 x＋y≤0， 表示
高 考 体 验
实 ·
x－y－4≤0
· 明
固 基
的平面区域的面积是________．
考 情
础
【解析】 不等式组表示的
区域如图中的阴影部分所示，
典
例
课
探 究
· 提 知
(x，y)与点(a，b)连线的斜率； （x－a）2＋（y－b）2 表示
业
知 能
点(x，y)与点(a，b)的距离．
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
高
自
考
主
体
落 实
(2012·课标全国卷)已知正三角形ABC的顶点A(1，1)，
验 ·
·
固 B(1，3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则
体 验
实
·
· 固
【答案】 B
明 考
基
情
础
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
高
自
考
主
体
落
验
实 ·
(2012·安徽高考改编)已知实数x，y满足约束条件
· 明
固 基
x≥0，
础
考 情
x＋2y≥3，
2x＋y≤3.
(1)求z＝x－y的最小值和最大值；
近年高考数学大复习 第六章 不等式、推理与证明 课时跟踪检测(三十四)二元一次不等式(组)及简单的
2018高考数学大一轮复习第六章不等式、推理与证明课时跟踪检测（三十四）二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题练习文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018高考数学大一轮复习第六章不等式、推理与证明课时跟踪检测（三十四）二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题练习文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018高考数学大一轮复习第六章不等式、推理与证明课时跟踪检测（三十四）二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题练习文的全部内容。
课时跟踪检测 (三十四）二元一次不等式（组)及简单的线性规划问题一抓基础,多练小题做到眼疾手快1．不等式组错误!所表示的平面区域的面积等于（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析:选C 平面区域如图所示．解错误!得A(1，1），易得B（0,4）,C错误!,|BC｜＝4－错误!＝错误!．所以S△ABC＝错误!×错误!×1＝错误!．2．不等式（x－2y＋1）(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是（)解析：选C (x－2y＋1）（x＋y－3）≤0⇔错误!或错误!画出图形可知选C．3．(2016·四川德阳月考)设变量x，y满足错误!则目标函数z＝2x＋3y的最大值为（) A．7 B．8C．22 D．23解析：选D由约束条件错误!作出可行域如图中阴影部分,由错误!解得错误!则B(4，5），将目标函数z＝2x＋3y变形为y＝－错误!x＋错误!．由图可知，当直线y＝－23x＋错误!过B时，直线在y轴上的截距最大，此时z取最大值,为2×4＋3×5＝23．4．点(－2,t）在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是________．解析：因为直线2x－3y＋6＝0的上方区域可以用不等式2x－3y＋6＜0表示，所以由点（－2,t）在直线2x－3y＋6＝0的上方得－4－3t＋6＜0，解得t＞错误!．答案：错误!5．(2017·昆明七校调研）已知实数x，y满足错误!则z＝x＋3y的最小值为________．解析：依题意,在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x ＋3y＝0，如图，平移直线y＝－错误!,当直线经过点(4，－4)时,在y轴上的截距达到最小，此时z＝x＋3y取得最小值4＋3×(－4）＝－8．答案:－8二保高考，全练题型做到高考达标1．（2015·福建高考）若变量x，y满足约束条件错误!则z＝2x－y的最小值等于( ）A．－错误!B．－2C．－错误!D．2解析:选A 作可行域如图，由图可知，当直线z＝2x－y过点A时，z值最小．由错误!得点A错误!，z min ＝2×(－1）－12＝－错误!．2．设动点P(x，y)在区域Ω：错误!上,过点P任作直线l,设直线l与区域Ω的公共部分为线段AB，则以AB为直径的圆的面积的最大值为（)A．π B．2πC．3π D．4π解析：选D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知,以AB为直径的圆的面积的最大值S＝π×错误!2＝4π．3．（2016·浙江高考)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域错误!中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB,则|AB｜＝（）A．2 2 B．4C．3 2 D．6解析：选 C 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C,D分别作直线x＋y－2＝0的垂线,垂足分别为A，B，则四边形ABDC为矩形，由错误!得C(2，－2）．由｛x－3y＋4＝0，，x＋y＝0得D(－1,1）．所以|AB｜＝|CD｜＝错误!＝3错误!．故选C．4．（2017·湖南东部六校联考)实数x,y满足错误!（a＜1)，且z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，则a的值是( ）A．211B．错误!C．错误!D．错误!解析：选B 如图所示，平移直线2x＋y＝0，可知在点A(a，a）处z取最小值，即zmin＝3a，在点B(1，1）处z取最大值，即z max＝3，所以12a＝3，即a＝错误!．5．某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表每亩年产量每亩年种植成本每吨售价黄瓜4吨1．2万元0．55万元韭菜6吨0．9万元0．3万元面积（单位：亩)分别为( ）A．50,0 B．30，20C．20,30 D．0,50解析:选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x,y亩,则总利润z＝4×0．55x＋6×0．3y－1．2x－0．9y＝x＋0．9y．此时x,y满足条件错误!画出可行域如图,得最优解为A（30,20)．6．若不等式组错误!表示的区域为一个三角形，则实数a的取值范围为________．解析：不等式组错误!表示的区域如图所示．易求得A（2,5)．画出直线l：x＋y＝a．由题意及图可得a＜7．答案：(－∞，7)7．(2017·河南六市联考)已知实数x，y满足错误!如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m＝________．解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：y＝x，平移l可知，当直线l经过A时符合题意，由错误!解得错误!又A(2，3)在直线x＋y＝m上，∴m＝5．答案:58．(2017·西安质检）若变量x，y满足错误!则2x＋y的取值范围为________．解析:作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x＋y＝0，经过点（1,0)时，2x＋y取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1，0)时，2x＋y取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x＋y的取值范围为[－2，2］．答案:[－2,2］9．已知D是以点A（4，1),B（－1,－6），C（－3,2)为顶点的三角形区域（包括边界与内部）．如图所示．(1)写出表示区域D的不等式组．（2)设点B(－1，－6),C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．解：(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0,x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0．原点（0,0）在区域D内,故表示区域D的不等式组为错误!(2）根据题意有[4×(－1）－3×（－6）－a］［4×（－3)－3×2－a］＜0，即（14－a)(－18－a)＜0，解得－18＜a＜14．故a的取值范围是(－18,14)．10．若x,y满足约束条件错误!（1）求目标函数z＝错误!x－y＋错误!的最值；(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，求a的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A（3，4）,B（0，1)，C（1，0）．平移初始直线错误!x－y＋错误!＝0,过A(3，4）取最小值－2,过C(1,0）取最大值1．所以z的最大值为1,最小值为－2．(2）直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－错误!＜2，解得－4＜a＜2．故所求a的取值范围为(－4，2)．三上台阶,自主选做志在冲刺名校1．(2016·通化一模）设x,y满足约束条件错误!若z＝错误!的最小值为错误!,则a的值为________．解析:∵错误!＝1＋错误!,而错误!表示过点（x，y）与（－1,－1)连线的斜率，易知a〉0，作出可行域如图所示,由题意知错误!的最小值是错误!，即错误!min＝错误!＝错误!＝错误!⇒a＝1．答案：12．（2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ,B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料 肥料ABC甲 4 8 3 乙5510现有A 种原料200吨，B 料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元．分别用x ,y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．（1）用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润． 解：(1）由已知，x ，y 满足的数学关系式为错误! 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分．(2)设利润为z 万元,则目标函数为z ＝2x ＋3y ．考虑z ＝2x ＋3y ,将它变形为y ＝－23x ＋错误!，它的图象是斜率为－错误!，随z 变化的一族平行直线，错误!为直线在y轴上的截距，当错误!取最大值时，z的值最大．根据x，y满足的约束条件，由图②可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距错误!最大,即z最大．解方程组错误!得点M的坐标为(20,24），所以z max＝2×20＋3×24＝112．答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。
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课时提升作业(三十四) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.已知点(-3,-1)和点(4,-6)在直线3x-2y-a=0的两侧,则a的取值范围为 ( ) A.(-24,7) B.(-7,24) C.(-∞,-7)∪(24,+∞) D.(-∞,-24)∪(7,+∞) 【解析】选B.根据题意知(-9+2-a)·(12+12-a)<0,即(a+7)(a-24)<0, 解得-72.(2015·东莞模拟)若2m+2n<4,则点(m,n)必在( ) A.直线x+y-2=0的左下方 B.直线x+y-2=0的右上方 C.直线x+2y-2=0的右上方 D.直线x+2y-2=0的左下方
【解析】选A.因为2m+2n≥2·, 所以4>2,即2m+n<4, 所以m+n<2,即m+n-2<0, 所以点(m,n)必在直线x+y-2=0的左下方.
3.(2015·岳阳模拟)若实数x,y满足则S=2x+y-1的最大值为( ) A.6 B.4 C.3 D.2 【解析】选A.作出的可行域将S=2x+y-1变形为y=-2x+S+1,作直线y=-2x平移至点A(2,3)时,S最大,将x=2,y=3代入S=2x+y-1得S=6. 4.(2015·天津模拟)设变量x,y满足约束条件:则z=x-3y的最小值是( ) A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 【解析】选D.根据题意,画出可行域与目标函数线如图所示,
由图可知目标函数在点(-2,2)处取最小值-8.故选D. 5.(2015·惠州模拟)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=( ) A. B. C.1 D.2 【解题提示】根据线性约束条件画出可行域,再利用目标函数所表示的几何意义求出a的值. 【解析】选B.由已知约束条件,作出可行域如图中△ABC内部及边界部分, 由目标函数z=2x+y的几何意义为直线l:y=-2x+z在y轴上的截距,知当直线l过可行域内的点B(1,-2a)时,目标函数z=2x+y的最小值为1,则2-2a=1,a=. 故选B. 二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2015·抚顺模拟)若点(x,y)在不等式组表示的平面区域内运动,则t=x-y的取值范围是 . 【解析】先根据约束条件画出可行域,
由得B(2,0), 由得A(0,1), 当直线t=x-y过点A(0,1)时,t最小,t最小是-1, 当直线t=x-y过点B(2,0)时,t最大,t最大是2, 则t=x-y的取值范围是[-1,2]. 答案:[-1,2]
7.(2015·衡阳模拟)已知点P(t,2)在不等式组所表示的平面区域内运动,l为过点P和坐标原点O的直线,则l的斜率的取值范围为 . 【解析】由不等式组
可得所表示的可行域, 由图可知:当取点P(1,2)时, 直线l的斜率取得最大值,k==2. 当取点P(2,2)时, 直线l的斜率取得最小值,k==1,故k∈[1,2]. 答案:[1,2]
8.已知实数x,y满足若z=y-ax取得最大值时的最优解(x,y)有无数个,则a= . 【解析】依题意,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域,如图所示.要使z=y-ax取得最大值时的最优解(x,y)有无数个,则直线z=y-ax必平行于直线y-x+1=0,于是有a=1. 答案:1 【误区警示】此题经常出现两种情况:一是找不到解题的思路;二是最优解有无数个,说明目标函数对应的直线和边界平行,容易把边界判断错误导致结果不对. 【加固训练】1.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元.那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? 【解析】设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z元, 则依题意得:z=2.5x+4y,且x,y满足 x0,y0,12x8y64,6x6y42,6x10y54,即x0,y0,3x2y16,xy7,3x5y27.
作出可行域如图,利用平移法可知z的最小值一定在A,B,C,D四点处的某一点处取得. z在可行域的四个顶点A(9,0),B(4,3),C(2,5),D(0,8)处的值分别是 zA=2.5×9+4×0=22.5, zB=2.5×4+4×3=22, zC=2.5×2+4×5=25, zD=2.5×0+4×8=32. 比较之,zB最小,因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求. 【一题多解】本题还可以使用以下解法: 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z元, z=2.5x+4y,且x,y满足 x0,y0,12x8y64,6x6y42,6x10y54,即x0,y0,3x2y16,xy7,3x5y27.
让目标函数表示的直线2.5x+4y=z在可行域上平移, 由此可知z=2.5x+4y在(4,3)处取得最小值. 因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求. 2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的一个零点为x=1,另外两个零点可分别作为一个椭圆、一个双曲线的离心率. (1)求a+b+c. (2)求的取值范围. 【解析】(1)因为f(1)=0,所以a+b+c=-1. (2)因为c=-1-a-b, 所以f(x)=x3+ax2+bx-1-a-b =(x-1)[x2+(a+1)x+a+b+1], 从而另两个零点为方程x2+(a+1)x+a+b+1=0的两根,且一根大于1,一根大于零小于1, 设g(x)=x2+(a+1)x+a+b+1,
由根的分布知识画图可得g00,g10,
即ab10,2ab30, 作出可行域如图所示. 而=表示可行域中的点(a,b)与原点连线的斜率k,直线OA的斜率k1=-,直线2a+b+3=0的斜率k2=-2, 所以k∈（-2,-）,即∈（-2,-）. 【方法技巧】线性规划和其他知识的结合 此题利用函数的零点,椭圆和双曲线的离心率来得到a,b的不等关系,构造约束条件,再结合的几何意义求得的范围.
3.若x2y50,{x,y|3x0,}xy0⊆{(x,y)|x2+y2≤m2(m>0)},求实数m的范围.
【解析】设A=x2y50,{x,y|3x0,}xy0, B={(x,y)|x2+y2≤m2(m>0)}, 则集合A表示的区域为图中阴影部分,集合B表示以坐标原点为圆心,m为半径的圆及其内部,由A⊆B得,m≥|PO|,
由x2y50,3x0, 解得x3,y4,即P(3,4), 所以|PO|=5,即m≥5. (20分钟 40分) 1.(5分)(2014·山东高考)已知x,y满足约束条件当目标函数
z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时,a2+b2的最小值为( ) A.5 B.4 C. D.2 【解析】选B.解方程组求得交点为,则2a+b=2,a2+b2的最小值即为在直线2a+b=2上找一点,使得它到原点的距离的平方最小.即求点到直线2a+b=2的距离的平方为=22=4.
2.(5分)(2013·北京高考)设D为不等式组表示的平面区域,区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为 . 【解析】不等式组表示的平面区域如图所示,可得点(1,0)到区域D上点的最小距离即是点(1,0)
到直线2x-y=0的距离,d==. 答案: 3.(5分)已知点P(x,y)满足x4y30,3x5y25,x10,定点为A(2,0),则||sin∠AOP(O为坐标原点)的最大值为 . 【解析】可行域如图阴影部分所示,
A(2,0)在x正半轴上, 所以||sin∠AOP即为P点纵坐标. 当P位于点B时,其纵坐标取得最大值. 答案:
4.(12分)设不等式组确定的平面区域为U,确定的平面区域为V. (1)定义坐标为整数的点为“整点”.在区域U内任取一整点Q,求该点在区域V的概率. (2)在区域U内任取一点M,求该点在区域V的概率. 【解题提示】(1)由题意知本题是一个古典概型,用列举法求出平面区域U的整点的个数,平面区域U,V的公共部分的整点个数,即可求出该点在区域V的概率. (2)由题意知,该题是一个几何概型,利用所给的约束条件确定面积,利用面积之比得到概率.