串联倒摆的空气弹簧隔振器水平动力学分析

串联倒摆的空气弹簧隔振器水平动力学分析喻强; 徐登峰; 朱煜; 管高峰; 李强【期刊名称】《《振动与冲击》》【年(卷),期】2019(038)014【总页数】5页(P176-180)【关键词】倒摆; 空气弹簧; 水平方向; 动力学分析; 固有频率【作者】喻强; 徐登峰; 朱煜; 管高峰; 李强【作者单位】电子科技大学机械与电气工程学院成都611731; 清华大学机械工程系北京100084; 武昌理工学院信息工程学院武汉430223【正文语种】中文【中图分类】TB535+.1倒立的摆动装置(倒摆)不仅结构简单、成本低廉，而且还是一种负刚度系统。

1965年，Blitzer[1]和Phelps等[2]分别利用牛顿力学法和拉格朗日方程法建立了比较完整的倒摆运动方程。

1993年和1994年，Pinoli等[3]和Saulson等[4]分别开始提出可将倒摆用于水平隔振装置中。

之后的诸多学者[5-8]相继将倒摆联合空气弹簧、铍青铜片、金属弹簧、高强度挠性关节、复合摆等一起使用，用于各种精密超精密加工测量、光学实验装置、生物基因操作装备和高端物理/化学实验等领域中隔离水平方向有害振动。

空气弹簧具有低刚度和大承载能力的特点。

1847年，John[9]首先提出了空气弹簧结构，并成功地应用在车辆悬挂系统中，其后便在地铁、工业和军事等领域得到了越来越广泛的应用。

1961年，Harris等[10]给出了空气弹簧传递率线性模型。

1998年， Erin等[11]基于理想气体状态方程和实验测试数据，给出了改进的空气弹簧线性分析模型。

2011年，Pu等[12]通过测试空气弹簧刚度与理论推导结果之间的差异，建立了阻尼可调的空气弹簧刚度与阻尼模型。

空气弹簧具有较低的垂直刚度和较大的水平刚度，倒摆具有较低的水平刚度和较大的垂直刚度，二者串联使用不仅解决了倒摆单独使用时极不稳定的问题，还使串联倒摆的空气弹簧隔振器垂直和水平方向同时实现了低刚度。

国外的Nikon[13]和ASML[14]等公司，国内的哈尔滨工业大学[15]、上海大学[16]和江西连胜[17]等高校和公司相继设计出各种串联倒摆的空气弹簧精密隔振机构，并申请了相关专利保护。

蒲华燕[18]考虑了倒摆摆杆柔性的影响，得到了隔振机构的水平刚度，但其未考虑空气弹簧的影响。

董卡卡等[19]建立了等效动力学模型，通过实验和参数辨识的方法获得了水平刚度和固有频率等参数。

朱煜等[20]对串联倒摆的空气弹簧隔振器中倒摆的稳定性进行了全面的分析，并确定了影响倒摆稳定性的主要结构参数。

此前，作者已在本杂志发表文献《串联倒摆的空气弹簧隔振器中倒摆的稳定性分析》，本文在该文献研究的基础上，继续以串联倒摆的空气弹簧隔振器为研究对象，综合考虑了空气弹簧内部压缩空气压强大小和空气弹簧水平刚度大小对隔振器固有频率的影响，通过动力学分析建立倒摆转动的运动微分方程，得到了水平方向固有频率表达式。

另外，通过相关实验对该表达式进行了初步验证。

最后，通过数值仿真分析为隔振器的进一步参数优化设计提供理论指导。

1 理论分析串联倒摆的空气弹簧隔振器示意图如图1所示。

其中，倒摆主要由负载、摆杆、上活塞和下活塞等组成，空气弹簧主要由压环、橡胶模片、腔室和压缩空气等组成。

外界振动作用下，倒摆会发生偏转，然后在弹性恢复力的作用下逐渐回复到原来的初始位置。

该恢复力主要与空气弹簧本身水平刚度大小和负载重力大小有关，而空气弹簧水平刚度又与空气弹簧内部压缩空气的压强大小有关。

图1 串联倒摆的空气弹簧隔振器示意图Fig.1 Air spring vibration isolator in series with inverted pendulum因此，本章节将先计算空气弹簧内部压缩空气的压强大小。

然后，再计算空气弹簧的水平刚度大小。

最后，通过串联倒摆的空气弹簧隔振器水平方向动力学分析，得到了水平方向固有频率表达式。

1.1 空气弹簧内部压缩空气压强的计算橡胶膜片与负载受力示意图如图2所示，橡胶膜片的厚度忽略不计, 上活塞直径为2R。

为方便计算，近似理想化认为橡胶膜片在压环和上活塞之间环形鼓起部分的断面是简单的圆弧，其直径为2r。

空气弹簧内部压缩空气压强为P1，外部标准大气压强为P0。

鼓起橡胶膜片部分受到空气弹簧内部压缩空气垂直向上的拉力F1、橡胶膜片外圈受到压环垂直向下的拉力F0，橡胶膜片内圈受到上活塞垂直向下的拉力F0。

中间上活塞受到负载垂直向下重力mg(包括上活塞、下活塞和摆杆等重力)、鼓起橡胶膜片部分垂直向上的拉力F ′0和空气弹簧内部压缩空气垂直向上的拉力F2。

图2 橡胶膜片与负载受力示意图Fig.2 The force of the elastomer diaphragm and the load鼓起橡胶膜片部分受到空气弹簧内部压缩空气垂直向上的拉力F1的大小为F1=4π(Rr+r2)(P1-P0)(1)则F0和F0′的大小为(2)中间上活塞受到空气弹簧内部压缩空气垂直向上的拉力F2的大小为F2=πR2(P1-P0)(3)由上活塞的受力分析可知(4)将式(2)和式(3)代入式(4)中，可得空气弹簧内部压缩空气压强P1的大小为(5)1.2 空气弹簧水平刚度的计算空气弹簧的水平方向运动如图3所示，当水平方向产生x的位移时，上活塞和橡胶膜片从图中虚线所示的初始位置运动到实线所示的实际位置。

此时，左侧橡胶膜片与上活塞的接触面积变小，右侧橡胶膜片与上活塞的接触面积变大，在空气弹簧内部压缩空气的作用下，上活塞(包括摆杆和负载等)会受到恢复力F作用而回复到原来的初始平衡位置。

如图3所示，设橡胶膜片与上活塞左侧最短接触长度为l，橡胶膜片与上活塞右侧最长接触长度为L，橡胶膜片中帘布的存在使上活塞四周鼓起圆弧部分的长度无法被拉伸或压缩而改变，则有(6)进一步整理计算可得(7)图3 空气弹簧的水平方向运动Fig.3 Horizontal motion of air spring上活塞与两侧橡胶模片接触的面积差是产生恢复力F的主要原因。

微幅振动时，水平位移x很小，近似认为空气弹簧内部容积和压强不变，上述面积差向一侧的投影面即为一个长轴为2R，短轴为(L-l)的椭圆。

根据该椭圆的面积和空气弹簧内部压缩空气压强的大小，可直接计算出水平恢复力F的大小(8)则空气弹簧水平刚度k(忽略了橡胶膜片本身的水平刚度)的大小为(9)1.3 水平方向动力学分析串联倒摆的空气弹簧隔振器阻尼很小，近似认为是无阻尼振动系统。

将图1所示的示意图简化为图4所示的等效模型，负载等效为一个实心小球，摆杆等效为一根无质量细长刚性杆，空气弹簧等效为一个水平弹簧。

其中，m为负载总大小，k 为空气弹簧的水平刚度，h为倒摆摆杆的有效摆长，H为负载质心的高度。

当倒摆偏转一个角位移θ时，空气弹簧的恢复力为khsin θ，方向水平向左，重力mg的方向垂直向下，则摆杆转动的运动微分方程为(10)微幅振动时，θ很小，近似有sin θ≈θ和cos θ≈1，进一步简化式(10)可得图4 串联倒摆的空气弹簧隔振器等效模型Fig.4 Equivalent model of air spring vibration isolator in series with inverted pendulum(11)当(kh2-mgH)>0 时，系统是稳态振动，其固有频率fn的表达式为(12)最后，将式(5)空气弹簧内部压缩空气压强P1代入式(9)空气弹簧水平刚度k中，再将k的计算结果代入式(12)中，可进一步得到串联倒摆的空气弹簧隔振器水平方向固有频率fn的表达式为(13)2 实验验证由6个自主研制的串联倒摆的空气弹簧隔振器组成的被动隔振系统作为实验对象，如图5(a)所示。

由中国地震局工程力学研究所研制的991B型拾振器采集地面和负载表面实时振动数据，如图5(b)所示。

由北京东方振动和噪声技术研究所研制的INV3060T动态数据分析系统对测试的数据进行实时分析得到隔振系统传递率曲线，如图5(c)所示。

图5 实验设备Fig.5 Experimental equipment实验所用的隔振器各参数名称和参数值如表1所示，将表中各参数值代入固有频率计算式(13)中，可得固有频率fn为fn=1.040 8 Hz(14)表1 串联倒摆的空气弹簧隔振器各参数值 Tab.1 Parameters of air spring vibration isolator in series with inverted pendulum参数数值上活塞的半径R/mm103橡胶膜片鼓起圆弧的半径r/mm3倒摆摆杆的有效摆长h/mm550负载质心的高度H/mm700负载的总质量m/kg1 200标准大气压P0/Pa1.013×105重力加速度g/(m·s-2)9.8利用拾振器和动态数据分析系统测试得到的隔振传递率曲线如图6所示，实测固有频率f为1.25 Hz。

本文所提出的水平方向固有频率fn计算结果与实测结果f的误差εn为16.7%，初步验证了通过水平方向动力学分析所得串联倒摆的空气弹簧隔振器水平方向固有频率计算公式误差较小。

图6 实测传递率曲线Fig.6 Measured transmissibility curve3 仿真分析与参数优化从固有频率fn表达式(13)中可以看出，其大小主要与上活塞半径R、橡胶膜片鼓起圆弧半径r、倒摆摆杆有效摆长h、负载质心高度H和负载总质量m有关。

针对图5和表1所示的隔振器算例，逐一仿真分析上述五个参数的变化对固有频率的影响，并在此基础上初步给出一些可行的参数优化设计。

仿真分析结果如图7所示，其中：(1) 随着上活塞半径R的增加，固有频率fn不断降低，但当R增加到150 mm以后时，fn降低的幅度很小。

因此，存在一个较优的上活塞半径的值，适当增加上活塞半径R至该值可以降低固有频率，获得更好的隔振性能。

(2) 随着橡胶膜片鼓起圆弧半径r的增加，固有频率fn有所降低，但降低的幅度很小，仅在10%以内。

因此，尝试通过优化橡胶膜片鼓起圆弧半径r来降低固有频率，获得更好的隔振性能，其效果有限。

图7 五个参数的变化对固有频率的影响Fig.7 The influence of the five parameters on the fn(3) 随着倒摆摆杆有效摆长h的减小，固有频率fn有所降低，但降低的幅度也很小，仅在10%以内。

因此，尝试通过优化倒摆摆杆有效摆长h来降低固有频率，获得更好的隔振性能，其效果有限。

(4) 随着负载质心高度H的增加，固有频率fn有所降低，但增加H会使整体隔振机构重心过高，影响稳定性。

因此，尝试通过优化负载质心高度H来降低固有频率，获得更好的隔振性能，其效果有限。