清华概率统计课件(第二章 事件的概率)
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概率论与数理统计课件第2章
2
2.2.1 随机变量 • 注意： 注意：
（1）随机变量定义于抽象的样本空间上，不是普 ）随机变量定义于抽象的样本空间上， 通的实函数。 通的实函数。 （2）随机事件可以通过随机变量的各种取值状态 ）随机事件可以通过随机变量的各种取值状态 取值范围来表示 来表示。 和取值范围来表示。
3
2.1.2 随机变量的分布函数 • 既然随机事件可以通过随机变量的各种取值状态和取值 范围来表示， 范围来表示，研究随机现象的统计规律性就转化为研究 随机变量取值的规律性，即取值的概率。 随机变量取值的规律性，即取值的概率。但概率是集合 函数，随机变量定义于抽象空间上，都不便于处理。 函数，随机变量定义于抽象空间上，都不便于处理。 • 能不能找到一种方法，使得我们研究随机变量取值的规 能不能找到一种方法， 律性可以转化为研究普通的实函数？ 律性可以转化为研究普通的实函数？
2.1 随机变量及其分布函数 在前面的讨论中，只是孤立地考虑一些事件的概率， 在前面的讨论中，只是孤立地考虑一些事件的概率， 这种研究方法缺乏一般性， 这种研究方法缺乏一般性，而且不便于分析数学工具的引 为了这一目的，随机变量的引入具有非常重要的意义。 入，为了这一目的，随机变量的引入具有非常重要的意义。 随机变量的引入是概率论发展史上的重大事件。 随机变量的引入是概率论发展史上的重大事件。它使得研 究概率论的数学工具更丰富有力，从此， 究概率论的数学工具更丰富有力，从此，概率论的研究进 入一个崭新的天地。 . 入一个崭新的天地。
P{ X ≥ 1} = 5 / 9 ，求p =
x≤0 ， 0 < x ≤1 x >1
，概率 P{0 ≤ X ≤ 0.25} =
，
；
X |< 0.5} ；2)分布函数 分布函数F(x) 分布函数
概率论第2章精品PPT课件
当X=3时，取的另外两只球只能是1和2，即只有一种可能, 故
P{X
3}
1 C53
1 10
当X=4时，取的另外两只球可以是1、2、3中的任两个，故
P{X
4}
C32 C53
3 10
当X=5时，取的另外两只球可以是1、2、3、4中的任两个，故
P{X
5}
C42 C53
6 10
2
第2章 随机变量及其分布
(2) 根据概率密度的定义可得
fX
(x)
dFX (x) dx
1 / 0,
x,
1 xe 其它
13
第2章 随机变量及其分布
习题22(1)
22(1) 分子运动速度的绝对值X服从麦克斯韦 (Maxwell)分布，其概率密度为
f
(
x)
Ax 2e
x2
/b
,
0,
x0 其他
其中b=m/(2kT), k为玻耳兹曼(Boltzmann)常数，T为 温度，m是分子的质量，试确定常数A.
1 241
t ex / 241dx 1 et / 241
0
综合得到：
1 et /241, t 0
FT
(t)
0,
其他
利用分布函数的性质计算概率：
P{50 T 100} FT (100) FT (50)
e50/ 241 e100/ 241
17
第2章 随机变量及其分布
习题23
23. 某种型号器件的寿命X(以小时计)具有概率密度
解： 甲乙各自做3重伯努力实验，设甲投中次数为X, 乙投中次数为Y, 两 者均遵从二项分布。故所求为
甲乙投篮相互独立
3
概率论及数理统计课件第2章
概率论及数理统计课件第2章
在随机试验中，人们除了对某些特定事件发生的概率感兴趣外，往往还关心某个与随机试验结果相联系的变量。在
本章中，我们将用实数来表示随机试验的各种结果(数量化)，即随机变量。这样，不仅可以更全面揭示随机试验的客 观存在的统计规律性，而且可使我们用（数学分析）微积分的方法来讨论随机试验。
在随机试验中，如果把试验中观察的对象与实数对应起来，即建立对应关系X，使其对试验的每个结果 ，都有一
个实数X( )与之对应，
试验的结果
对应关系X
实数X( )
则X的取值随着试验的重复而不同， X是一个变量，且在每次试验中，究竟取什么值事先无法预知，也就是说X是 一个随机取值的变量，称X为随机变量。
（1）在有些试验中，试验结果本身就是由数量表示的，如掷骰子观察得到骰子的点数1、2、3、4、5、6。
则称P(X=xk)=pk(k=1, 2, … ) 为随机变量X 的概率分布律或称分布律，也称概率函数。
分布律可用表格形式表示为：
X
x1
x2
x3
…
xk
…
P
p1
p2
p3
…
pk
…
# 概率分布
1、写出可能取值－－即写出了样本点 2、写出相应的概率－－即写出了每一个样本点出现的概率
例 设袋中有5只球，其中有2只白球，3只黑球。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率 。
X()1,1，=反正 面面
例 将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现情况的试验中，其样本空间为 S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}.
记每次试验出现正面的总次数为随机变量X,则X作为样本空间S上的函数定义为
在随机试验中，人们除了对某些特定事件发生的概率感兴趣外，往往还关心某个与随机试验结果相联系的变量。在
本章中，我们将用实数来表示随机试验的各种结果(数量化)，即随机变量。这样，不仅可以更全面揭示随机试验的客 观存在的统计规律性，而且可使我们用（数学分析）微积分的方法来讨论随机试验。
在随机试验中，如果把试验中观察的对象与实数对应起来，即建立对应关系X，使其对试验的每个结果 ，都有一
个实数X( )与之对应，
试验的结果
对应关系X
实数X( )
则X的取值随着试验的重复而不同， X是一个变量，且在每次试验中，究竟取什么值事先无法预知，也就是说X是 一个随机取值的变量，称X为随机变量。
（1）在有些试验中，试验结果本身就是由数量表示的，如掷骰子观察得到骰子的点数1、2、3、4、5、6。
则称P(X=xk)=pk(k=1, 2, … ) 为随机变量X 的概率分布律或称分布律，也称概率函数。
分布律可用表格形式表示为：
X
x1
x2
x3
…
xk
…
P
p1
p2
p3
…
pk
…
# 概率分布
1、写出可能取值－－即写出了样本点 2、写出相应的概率－－即写出了每一个样本点出现的概率
例 设袋中有5只球，其中有2只白球，3只黑球。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率 。
X()1,1，=反正 面面
例 将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现情况的试验中，其样本空间为 S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}.
记每次试验出现正面的总次数为随机变量X,则X作为样本空间S上的函数定义为
概率论与数理统计--第二章PPT课件
由概率的可列可加性得X的分布函数为
F(x) pk xk x
分布函数F(x)在x xk , 其跳跃值为pk P{X
对k 所1,有2,满足处x有k 跳 x跃的，k求和。
xk }
第26页/共57页
第四节 连续型随机变量及其概率密度
定义 对于随机变量X的分布函数F(x),如果存在非 负函数f (x)，使对于任意实数有
售量服从参数为 10的泊松分布．为了以95%以上的
概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商 品多少件？ 解 设商店每月销售该种商品X件，月底的进货量为n件，
按题意要求为 PX n 0.95
由X服附从录的泊1松0的分泊布松表分知布k，140 1则k0！k有e1k0n01k00！k.9e1160 6
可以用泊松分布作近似，即
n
k
pk
1
p
nk
np k
k!
enp , k
0,1, 2,
.
例 4 为保证设备正常工作，需要配备一些维修工.如果各台设备
发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是 0.01.
试求在以下情况下，求设备发生故障而不能及时修理的概率.
(1) 一名维修工负责 20 台设备.
于是PX I P(B) Pw X (w) I.
随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个 结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一 定的概率.
按照随机变量可能取值的情况，可以把它们分为两 类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离 散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.因此， 本章主要研究离散型及连续型随机变量.
x
x
4. F(x 0) F(x) 即F(x)是右连续的
第23页/共57页
F(x) pk xk x
分布函数F(x)在x xk , 其跳跃值为pk P{X
对k 所1,有2,满足处x有k 跳 x跃的，k求和。
xk }
第26页/共57页
第四节 连续型随机变量及其概率密度
定义 对于随机变量X的分布函数F(x),如果存在非 负函数f (x)，使对于任意实数有
售量服从参数为 10的泊松分布．为了以95%以上的
概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商 品多少件？ 解 设商店每月销售该种商品X件，月底的进货量为n件，
按题意要求为 PX n 0.95
由X服附从录的泊1松0的分泊布松表分知布k，140 1则k0！k有e1k0n01k00！k.9e1160 6
可以用泊松分布作近似，即
n
k
pk
1
p
nk
np k
k!
enp , k
0,1, 2,
.
例 4 为保证设备正常工作，需要配备一些维修工.如果各台设备
发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是 0.01.
试求在以下情况下，求设备发生故障而不能及时修理的概率.
(1) 一名维修工负责 20 台设备.
于是PX I P(B) Pw X (w) I.
随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个 结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一 定的概率.
按照随机变量可能取值的情况，可以把它们分为两 类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离 散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.因此， 本章主要研究离散型及连续型随机变量.
x
x
4. F(x 0) F(x) 即F(x)是右连续的
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第二章 概率论与数理统计基础(概率和概率分布)-PPT精选文档
A
A
10
必然事件、完备事件组
样本空间
不可能事件
11
4、随机变量(Random Variables)
定义：把取值由实验结果决定的变量称为随机变量。
如抛两枚硬币，“正面朝上的个数”为一随机变量。 通俗地说，随机变量就是使每一个可能的试验结果对 应一个数，就是说为每一个试验的结果赋予一个实数 值。例如在抛硬币的试验中，出现正面时取值 1 ，出 现反面取值0。 我们还要求知道随机变量取某个或某些值的的概率是 多少，即要求随机变量是一个可测函数。
P ( AB ) 1 /6 1 P ( A B ) P ( B ) 1 /2 3
22
条件概率例子
例子2：
（1）一个盒子里装10个球，有1个写“生”，并且 其它9个写“死”，要某人去抓球。此人抓到 “生”球的概率是1/10。 （2）将那个生球上具体标明为“生1号”，如果某人 抓到的是“生”球，问他抓到的是“生1”号球的 概率是多大。 A=“抓到生1号球” B=“抓到生球” PA (B ) 1 /1 0
概率论与数理统计基础 （一）
概率和概率分布
1
一、随机事件和概率
1、随机实验
在相同条件下可以重复进行，有两种以上可能 结果，但事先不能确定哪一种结果会发生的试验。 如：抛一枚硬币、掷一颗骰子、从一副扑克牌里 抽取一张。
2、样本空间（又称“总体”）
随机试验所有可能结果的集合叫样本空间。样 本空间的每种可能结果称为样本点。如：抛两枚硬 币，考察向上的一面，所有结果为“正正”、“正 反”、“反反”、“反正”，样本空间有４个元素。
14
古典概率的计数法则
乘法原理：
如果一个事件的完成要经过K个步骤，每一步 骤分别有n1，n2，……，nk种方法，则完成该事 件共有n1·n2…n(k-1)·nk种方法。
概率统计和随机过程课件第二章随机变量及其分布
= {儿童的发育情况 } X ( ) — 身高
Y ( ) — 体重
Z ( ) — 头围 各随机变量之间可能有一定的关系，也可能 没有关系—— 即 相互独立
课件
16
随机变量的分类 离散型随机变量
非离散型随机变量 — 其中一种重要的类型为 连续性随机变量
引入随机变 量重要意义
◇ 任何随机现象可 被 随机变量描述
P(0 X 1/ 3) F(1/ 3) F(0) 2 / 3 1/ 3 1/ 3
P(0 X 1/ 3) P(X 0) P(0 X 1/ 3) 1/31/3 2/3.
பைடு நூலகம்
课件
22
§2.3 离散型随机变量及其概率分布
离散型随机变量的概念
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或 无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量
课件
14
再如，用随机变量
X
(
)
1, 0,
正面向上 反面向上
描述抛掷一枚硬币可能出现的结果, 则
( X () 1) — 正面向上
也可以用
Y
(
)
0, 1,
正面向上 反面向上
描述这个随机试验的结果
课件
15
例如，要研究某地区儿童的发育情况，往往 需要多个指标，例如，身高、体重、头围等
解 P(1 X 3) P(X 2) P(X 3)
0.42 0.6 0.43 0.6 0.1344
或 P(1 X 3) F (3) F (1)
0.42 0.6 0.43 0.6 0.1344
课件
30
P(X 2) 1 P(X 2)
《概率统计》PPT课件
后抽比先抽的确实吃亏吗？
“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都 一样大.”
到底谁说的对呢？让我们用概率 论的知识来计算一下,每个人抽到“ 入场券”的概率到底有多大?
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”
我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i＝1,2,3,4,5. 则 A 表示“第 i个人未抽到入场券” i 显然，P(A1)=1/5，P( A1)＝4/5
P(A2)=0.4×0.5×(1－0.7)+0.5×0.7×(1－0.4)+ 0.4×0.7×(1－0.5)=0.41, P(A3)=0.4×0.5×0.7=0.14 P(B|A0)=0, P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1, 根据全概率公式有
P( B) P( B | Ai )P( Ai ) 0.458
P(Ai|B)，表示症状B由Ai引起的概率 若P(Ai|B), i=1,2,…,n中,最大的一个是P(A1|B),
我们便认为A1是生病的主要原因,下面的关键是:
计算 P(Ai|B), i=1,2,…,n
P( Ai B) P( B | Ai ) P( Ai ) P( Ai | B) n Bayes公式 P( B) P( B | Ai ) P( Ai )
也就是说，
第1个人抽到入场券的概率是1/5.
由于 由乘法公式
A2 A1 A2
因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.
P ( A2 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 )
也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未 抽到， 计算得：
P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5
新修改 工程数学-概率统计简明教程-第二章-事件的概率
故{生日“无重复”} 的概率为：
P ( A)
P3 6 5 365
30
30
0 .2 9
当人数为 10 时， {生日“无重复”} 的概率为：0.88 当人数为 20 时， {生日“无重复”} 的概率为：0.59
当人数为 40 时， {生日“无重复”} 的概率为：0.11
当人数为 50 时， {生日“无重复”} 的概率为：0.03
频率和概率
频率的稳定性
随机事件A在相同条件下重复多次时，事件A 发生的频率
在一个固定的数值p附近摆动，随试验次数的增加更加明显
事件的概率
事件A的频率稳定在数值 p，说明了数值 p可以用来刻划
事件Ａ发生可能性大小，可以规定为事件A的概率，记为 P( A)
概率的统计定义
对任意事件Ａ，在相同的条件下重复进行n次试验，
12
解容易验证满足古典概型的要求 记A={两件都是次品}， B ={第1件次品，第2件正品}. 只讨论有放回情况（不放回情况是类似的） ,计算样本点总数，注意随机抽取2件产品的 试验可以看成有放回地二次抽取，每次取 一件.而每次抽取均有100种可能结果，依原 理，一共有n＝100 × 100＝10,000种可能结 果，此即样本点总数.
B
A
B A U (B A)
A I (B A)
( B ) P ( A U ( B A )) P ( A ) P ( B A )
P (B － A) = P(B) － P(A)
推广 对任意两个事件A, B, 有
P( B A) P( B) P( AB)
2
1
P (C )
C 96 C 4 C 100
3
古典概率的计算： 有放回抽样和无放回抽样
P ( A)
P3 6 5 365
30
30
0 .2 9
当人数为 10 时， {生日“无重复”} 的概率为：0.88 当人数为 20 时， {生日“无重复”} 的概率为：0.59
当人数为 40 时， {生日“无重复”} 的概率为：0.11
当人数为 50 时， {生日“无重复”} 的概率为：0.03
频率和概率
频率的稳定性
随机事件A在相同条件下重复多次时，事件A 发生的频率
在一个固定的数值p附近摆动，随试验次数的增加更加明显
事件的概率
事件A的频率稳定在数值 p，说明了数值 p可以用来刻划
事件Ａ发生可能性大小，可以规定为事件A的概率，记为 P( A)
概率的统计定义
对任意事件Ａ，在相同的条件下重复进行n次试验，
12
解容易验证满足古典概型的要求 记A={两件都是次品}， B ={第1件次品，第2件正品}. 只讨论有放回情况（不放回情况是类似的） ,计算样本点总数，注意随机抽取2件产品的 试验可以看成有放回地二次抽取，每次取 一件.而每次抽取均有100种可能结果，依原 理，一共有n＝100 × 100＝10,000种可能结 果，此即样本点总数.
B
A
B A U (B A)
A I (B A)
( B ) P ( A U ( B A )) P ( A ) P ( B A )
P (B － A) = P(B) － P(A)
推广 对任意两个事件A, B, 有
P( B A) P( B) P( AB)
2
1
P (C )
C 96 C 4 C 100
3
古典概率的计算： 有放回抽样和无放回抽样
第二章简单事件的概率整章课件课件
浙教版九下第二章：简单事件的概率
2.1简单事件的概率（2）
Copyright 2004-2015 版权所有 盗版必究
知识回顾：
在数学中，我们把事件发生的可能性的大小 称为事件发生的概率 运 确用定公各式 种可PA能 结mn 果求发简生单的事可件能发性生相的同概的率基，础在 上，关键是求什么？
关键是求事件所有可能的结果总数n 和其中事件Ａ发生的可能的结果m(m ≤n）
Copyright 2004-2015 版权所有 盗版必究
课前热身：
1.有100张卡片（从1号到100号）7 ，从中任取1张，取到 的卡号是7的倍数的概率为_____50__ ２.一个口袋内装有形状、大小相等的1个白球和已编有不同
号码的3个黑球，从中摸出2个球.求:
（1）共有多少种不同的结果是__6____
平， ，只
3
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
你改 能变
4
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
做游 到戏
5
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
吗得 ？分
6
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
乙
乙，甲 乙乙，，乙乙 乙，丙
丙
丙，甲 丙，乙 丙丙，，丙丙
P小明与小慧同车
3 9
1 3
Copyright 2004-2015 版权所有 盗版必究
练一练：
设有5个型号相同的杯子,其中一等品4个,二等品1个.从中任意取1个杯子, 记下等级后放回,第二次再从中取1个杯子.求:
(1) 两次取出都是一等品杯子的概率;
2.1简单事件的概率（2）
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知识回顾：
在数学中，我们把事件发生的可能性的大小 称为事件发生的概率 运 确用定公各式 种可PA能 结mn 果求发简生单的事可件能发性生相的同概的率基，础在 上，关键是求什么？
关键是求事件所有可能的结果总数n 和其中事件Ａ发生的可能的结果m(m ≤n）
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课前热身：
1.有100张卡片（从1号到100号）7 ，从中任取1张，取到 的卡号是7的倍数的概率为_____50__ ２.一个口袋内装有形状、大小相等的1个白球和已编有不同
号码的3个黑球，从中摸出2个球.求:
（1）共有多少种不同的结果是__6____
平， ，只
3
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
你改 能变
4
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
做游 到戏
5
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
吗得 ？分
6
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
乙
乙，甲 乙乙，，乙乙 乙，丙
丙
丙，甲 丙，乙 丙丙，，丙丙
P小明与小慧同车
3 9
1 3
Copyright 2004-2015 版权所有 盗版必究
练一练：
设有5个型号相同的杯子,其中一等品4个,二等品1个.从中任意取1个杯子, 记下等级后放回,第二次再从中取1个杯子.求:
(1) 两次取出都是一等品杯子的概率;
概率2PPT课件
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
9
理解：
n
①一个基本事件是一次试验的结果，且每个基本事件的
概率都是 1 ，即是等可能的；
②公式
n
P(A)
m 是求解公式，也是等可能性事件的概
率的定义，它与随n 机事件的频率有本质区别；
③可以从集合的观点来考察事件A的概 P(A) card(A)
率：
．
card (I )
事件I
事件A
2020年10月2日
11.1 随机事件的概率 (二)
2020年10月2日
1
一、复习引入： 事件的定义： 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 定义2:一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生 的频率 m 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把 这个常数n 叫做事件A的概率，记作P(A)．
2、甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10个不同的 题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依 次各抽一题，计算：
（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
2020年10月2日
8
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
（2）某人未记住储蓄卡的密码的最后一位数字，他在 使用这张储蓄卡时，如果前三位号码仍按本卡密码，而 随意按下最后一位数字，正好按对密码的概率是多少？
9
理解：
n
①一个基本事件是一次试验的结果，且每个基本事件的
概率都是 1 ，即是等可能的；
②公式
n
P(A)
m 是求解公式，也是等可能性事件的概
率的定义，它与随n 机事件的频率有本质区别；
③可以从集合的观点来考察事件A的概 P(A) card(A)
率：
．
card (I )
事件I
事件A
2020年10月2日
11.1 随机事件的概率 (二)
2020年10月2日
1
一、复习引入： 事件的定义： 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 定义2:一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生 的频率 m 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把 这个常数n 叫做事件A的概率，记作P(A)．
2、甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10个不同的 题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依 次各抽一题，计算：
（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
2020年10月2日
8
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（2）某人未记住储蓄卡的密码的最后一位数字，他在 使用这张储蓄卡时，如果前三位号码仍按本卡密码，而 随意按下最后一位数字，正好按对密码的概率是多少？