闭区间上连续函数的性质答案

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高等数学II 练习题 第二章 极限与连续

________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______

习题2.6 闭区间上连续函数的性质

一．选择题

1．若1

,1()1,

1

x x f x x +≠⎧=⎨

=⎩，则下列说法中正确的是 （ B ）

（A ）()f x 无间断点 （B ）()f x 只有一个间断点 （C ）()f x 只有2个间断点 （D ）()f x 只有3个间断点

2．若函数ln 1()sin ,12

x x f x a x x π

≥⎧⎪

=⎨<⎪⎩连续，则a = （ A ） （A ）0 （B ）1

2

（C ）1 （D ）2

3．方程3

2

2210x x -+=至少有一个根在下列哪个区间中 （ D ）

（A ）1(,1)6 （B ）1(0,)6

（C ）11(,)66

- （D ）(2,0)- 二．填空题

1

．x →=

2．6

limln(2cos2)x x π

→

=

3．1

lim x

x e →∞= ______________ 4．0sin lim ln

x x

x →=

5．0ln(12)lim sin 3x x x →+=___________

6．=→x x

x 23arcsin lim

0 7．=-→20tan cos 1lim x x x _____1

2

_________ 8．

0x →=____∞_______ 三．计算题

1．20ln(12sin )lim (1)

x x x x e →+- 2．lim [ln(2)ln ]n n n n →∞+-

3．2

1)63(

lim -∞→++x x x

x

4．)

1sin 1)(11(tan sin lim

3

2

-+-+-→x x x

x x

0032123202

2

02sin lim 2lim 2x x x x x x x →→=⋅==2lim ln(1)2lim 2n n n n n n →∞→∞=⋅+=⋅=631

362

3

2

3lim[(1)]

6x x x x x e

+---⋅+→∞-=-+=02021lim

cos 11

()122lim 131111

cos 3232

x x x x x x x x →→=⋅--=⋅=⋅=-⋅⋅

2 / 2

5．⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛++∞→x x x x 2sin 3553lim 2 6．22cot 0lim(13tan )x

x x →+

四．证明题

1．求证区间)2,0(内至少有一点0x ，使020

x e

x =-。

2. 证明方程x

x 24=在)21,0(内至少有一个实根。

2

352lim 5365x x x x →∞⎛⎫

+=⋅ ⎪

+⎝⎭=

21

3

2

3tan 0

3

lim(13tan )

x

x x e ⋅→=+=0022000()2[0,2](0)0210,(2)2240(0,2)()02x

x y f x e x f e f e e x f x e x ==--=--=-<=--=->∴∃∈=-=证明：作辅助函数，此函数在连续，，由零点定理知，，使得，即

。1

21()24[0,]2

11(0)24010,()2420.221

(0,)()02142(0,)2x

x y f x x f f f x ξξξ==-=-⨯=>=-⨯=<∴

∃∈==证明：作辅助函数，此函数在连续，，

由零点定理知，，使得，即是方程在内的一个根。