线性分组码详解

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矢量空间

F表示码元所在的数域，对于二进制码，F代表二 元域{0,1} 设n重有序元素的集合V= {Vi },
Vi (Vi 0 ,Vi1, ,Vij , ,Vi ( n1) ),Vij F


若满足条件：

V中矢量元素在矢量加运算下构成加群； V中矢量元素与数域F元素的标乘封闭在V中； 分配律、结合律成立，
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线性分组码的最小距离、检错和纠错能力
汉明距离、汉明重量和汉明球

汉明距离：在 (n,k)线性码中，两个码字 U、V 之间对应码 元位上符号取值不同的个数，称为码字 U、V 的汉明距离。 例：(7,3) 码的两个码字 U=0011101,V=0100111之间第2、 3、4和6位不同。因此，码字 U 和 V 的距离为4。

对H 各行实行初等变换，将后面 r 列化为单位子阵，于是得到 下面矩阵(行变换所得方程组与原方程组同解)。


监督矩阵H 的标准形式：后面 r 列是一单位子阵的监督矩阵H。 H 阵的每一行都代表一个监督方程，它表示与该行中“1”相对 应的码元的模2和为0。
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H 的标准形式还说明了相应的监督元是由哪些信息元 决定的。例如 (7,3) 码的H 阵的第一行为 (1011000)，
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例: 已知(7,4)线性系统码的监督矩阵为
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对偶码：一个(n,k)线性码 CI，如果以G 作监督矩阵， 而以H 作生成矩阵，可构造另一个 (n,n－k)线性码CId ， 称码CId为原码的对偶码。 (7,3)码的监督矩阵H(7,3)是(7,4)码的生成矩阵G(7,4)

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信息码组 (101)，即C6=1, C5=0, C4=1 由线性方程组得： C3=0, C2=0, C1=1, C0=1 即信息码组 (101) 编出的码字为 (1010011)。 其它7个码字如表。 (7,3)分组码编码表 信息组 对应码字
000 001 010 0000000 0011101 0100111 0111010 1001110 1010011 1101001 1110100
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线性分组码：通过预定的线性运算将长为 k 位的信息码 组变换成 n位的码字 (n>k)。由 2k 个信息码组所编成的 2k 个码字集合，称为线性分组码。 码矢：一个 n 重的码字可以用矢量来表示

C=(Cn－1,Cn－1,…,C1,C0 )
所以码字又称为码矢。

(n,k) 线性码：信息位长为 k，码长为 n 的线性码。 编码效率/编码速率/码率/传信率：R=k /n。它说明了信道 的利用效率，R是衡量编码性能的一个重要参数。

以(100)(010)(001)为基底可张成三维三重空间V, 含 23 =8个元素，V1和V2都是V的子空间。
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矢量空间
每个矢量空间或子空间中必然包含零矢量 两个矢量正交：V1V2＝ 0 两个矢量空间正交：某矢量空间中的任意 元素与另一矢量空间中的任意元素正交 正交的两个子空间V1、V2互为对偶空间 (Dual Space)，其中一个空间是另一个空间 的零空间（null space，也称零化空间）。
维线性空间中的一点。长为 n 的所有 2n 个矢量集合构成 了GF(2)上的 n 维线性空间Vn。把线性码放入线性空间中 进行研究，将使许多问题简化而比较容易解决。

(n,k) 线性码是 n 维线性空间Vn中的一个 k 维子空间 Vk。
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线性分组码的生成矩阵:

在由 (n,k) 线性码构成的线性空间 Vn 的 k 维子空间中， 一定存在 k 个线性独立的码字：g1,g2,…, gk,。码 CI 中 其它任何码字C都可表示为这 k 个码字的线性组合，即
5.4线 性 分 组 码
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本节教学内容、基本要求、重点与难点
1. 教学内容： 线性分组码的概念。 一致监督方程、一致监督矩阵和线性分组码的生成矩阵。 线性分组码的最小距离、检错和纠错能力。 线性分组码的编码方法与译码。 线性分组码的性能分析。 汉明码。 2. 教学基本要求： 掌握线性分组码的编码方法和译码方法。 了解一致监督方程和一致监督矩阵的求法。 理解最小距离与检错和纠错能力的关系。 了解汉明码的特点。 3. 重点与难点： 监督矩阵和生成矩阵。 线性分组码的最小距离、检错和纠错能力。 译码的性能。
则称集合V是数域F上的n维矢量空间，或称n维线 性空间，n维矢量又称n重(n-tuples)。
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矢量空间中矢量的关系
对于域F上的若干矢量 V1 ,V2 , 线性组合：
,Vi 及Vk

Vk aV 1 1 a2V2

aV i i ,(ai F )
线性相关：
aV 1 1 a2V2

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一致监督方程和一致监督矩阵
一致监督方程：

编码就是给已知信息码组按预定规则添加监督码元，以构成码字。 在 k 个信息码元之后附加 r(r=n－k) 个监督码元，使每个监督元是 其中某些信息元的模2和。 例k=3, r=4构成 (7,3) 线性分组码。设码字为

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G中每一行 gi=(gi1,gi2,…, gin ) 都是一个码字； 对每一个信息组m，由矩阵G都可以求得 (n,k) 线性码
对应的码字。 生成矩阵：由于矩阵 G 生成了 (n,k) 线性码，称矩阵 G 为 (n,k) 线性码的生成矩阵。 (n,k) 线性码的每一个码字都是生成矩阵 G 的行矢量的 线性组合，所以它的 2k 个码字构成了由 G 的行张成的 n 维空间Vn的一个 k 维子空间 Vk。
信息数字
校验数字
系统码的码字结构

当生成矩阵 G 确定之后，(n,k) 线性码也就完全被确定 了，只要找到码的生成矩阵，编码问题也同样解决了。
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例:
(7,4) 线性码的生成矩阵为
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生成矩阵与一致监督矩阵的关系:


由于生成矩阵G的每一行都是一个码字，所以G 的每 行都满足Hr×nCTn×1=0Tr×1，则有 Hr×nGTn×k=0Tr×k 或 Gk×nHTn×r=0k×r 线性系统码的监督矩阵 H 和生成矩阵 G 之间可以直接 互换。
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C6 0 C4 C3 0 0 0 0 C C C 0 C 0 0 0 6 5 4 2 C6 C5 0 0 0 C1 0 0 0 C5 C4 0 0 0 C0 0

设码字矢量为C=(C6 C5C4C3C2C1C0) 码的监督矩阵为
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m2 m1 m0
根据方程组可直接画出 (7,3) 码的并行和串行编码电路。
C6 C5 C4 C3
C m
C4 C5 C6
C2
C1
C0 C1 C2 C3
C0
(a)并行编码电路 （b）串行编码电路
(7,3)线性编码电路


(7,4) 码的监督矩阵 H(7,4)是(7,3) 码的生成矩阵 G(7,3)
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线性分组码的编码

(n,k) 线性码的编码就是根据线性码的监督矩阵或生成矩 阵将长为 k 的信息组变换成长为 n(n>k) 的码字。

利用监督矩阵构造 (7,3) 线性分组码的编码电路：


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线性分组码的生成矩阵
线性码的封闭性:

线性码的封闭性：线性码任意两个码字之和仍是一个码字。 [证明]：若 U 和 V 为线性码的任意两个码字，故有

HU T=0T，HV T=0T 那么 H(U+V)T=H(U T+V T)=HU T+HV T=0T 即 U+V 满足监督方程，所以 U+V 一定是一个码字。 一个长为 n 的二元序列可以看作是GF(2)(二元域)上的 n
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011 100 101 110 111
一致监督矩阵：

将监督方程写成矩阵 形式，得：
H CT=0T或 C HT=0 CT、HT、0T分别表 示C、H、0的转置
矩阵。
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系数矩阵 H 的后四列组成一个 (4×4) 阶单位子阵，用 I4 表示，H 的其余部分用 P 表示

aV i i 0,(ai F 且不全为零)
其中任一矢量可表示为其它矢量的线性组合 线性无关或线性独立：一组矢量中的任意一个都 不可能用其它矢量的线性组合来代替。
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矢量空间与基底
一组线性无关的矢量 ，线性组合 的集合就构成了一个矢量空间V，这组矢 量 就是这个矢量空间的基底。 n维矢量空间应包含n个基底 基底不是唯一的，例：线性无关的两个矢 量（1,0）和（0,1）以及（-1,0）和（0,-1） 可张成同一个两维空间 。
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线性系统分组码:
通过行初等变换，将 G 化为前 k 列是单位子阵的标准 形式
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线性系统分组码：用标准生成矩阵 Gk×n 编成的码字， 前面 k 位为信息数字，后面 r=n－k 位为校验字，这种 信息数字在前校验数字在后的线性分组码称为线性系 统分组码。

V1,V2 ,
,Vn
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二元域GF(2)上三重矢量空间

以（100）为基底可张成一维三重子空间V1，含 21 =2 个元素，即 V {(000),(100)}
1

以(010)(001)为基底可张成二维三重子空间V2， 含 22 =4个元素，即
V2 {(000),(001),(010),(011)}
说明此码的第一个监督元等于第一个和第三个信息元 的模2和，依此类推。

H 阵的 r 行代表了 r 个监督方程，也表示由H 所确定
的码字有 r 个监督元。 为了得到确定的码，r 个监督方程（或H 阵的r 行）必 须是线性独立的，这要求H 阵的秩为 r。 若把H 阵化成标准形式，只要检查单位子阵的秩，就 能方便地确定H 阵本身的秩。
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推广到一般情况：对 (n,k) 线性分组码，每个码字中的 r(r=n－k) 个监督元与信息元之间的关系可由下面的线性 方程组确定
2018/10Байду номын сангаас15
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一致监督方程和一致监督矩阵

令系数矩阵为 H，码字行阵列为 C
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一致监督矩阵特性:
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概念

线性分组码的编码过程分为两步：

把信息序列按一定长度分成若干信息码组，每组由 k 位组成； 编码器按照预定的线性规则(可由线性方程组规定)， 把信息码组变换成 n 重 (n>k) 码字，其中 (n－k) 个 附加码元是由信息码元的线性运算产生的。


信息码组长 k 位，有 2k 个不同的信息码组，则应该有 2k 个码字与它们一一对应。

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引入线性码的好处

可以简化分析：将距离谱变成重量谱。 简化译码：

随机分组码译码需要2k次长为n的距离计算及比较。 线性分组码译码只需要n-k次长为n的矢量内积和一 张大小为2n-k宽度为n的表。

说明约束起了作用，但还不够，需要进一步引入其它 约束
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(C6,C5,C4,C3,C2,C1,C0)
C6,C5,C4为信息元，C3,C2,C1,C0为监督元，每个码元取“0”或 “1”
监督元可按下面方程组计算

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一致监督方程/一致校验方程：确定信息元得到监督元 规则的一组方程称为监督方程/校验方程。由于所有码 字都按同一规则确定，又称为一致监督方程/一致校验 方程。 由于一致监督方程是线性的，即监督元和信息元之间是 线性运算关系，所以由线性监督方程所确定的分组码是 线性分组码。
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为什么要引入线性码

发现或构造好码是信道编码研究的主要问题。 编码方案太多，以至全局搜索是不可能的。 现实的做法是对编码方案加以一定的约束，在一个子 集中寻找局部最优。

这种约束即要能包含尽可能好的码，又要便于分析， 便于译码。
目前对线性系统的研究远远比非线性系统要充分。