线性分组码的基本性质
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第3章线性分组码
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第3章 线性分组码
3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
码的生成矩阵（ k 维线性子空间）
由于[n,k,d]线性分组码是一个k维线性空间。因此必 可找到k个线性无关的矢量，能张成该线性空间。设 C1 , C 2 , C k 是k个线性无关的矢量，则对任意 C ，可有：
C m1C1 m2 C 2 mk C k C1 C2 m1 , m2 , mk C k G称为该分组码的生成矩阵 mG
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第3章 线性分组码
3.1 线性分组码的基本概念
线性空间的性质
零元素是唯一的 负元素是唯一的， V 关于0元素有 0 0, k 0 0, ( 1) ,
- 唯一
k ( ) k k
如果
如果 k ＝0，那么k＝0或 ＝0.
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第3章 线性分组码
3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
例：一个[7, 3 ]码，m2 m1 m0 → c6 c5 c4 c3 c2 c1 c0 ，如 果码字的生成规则为：
若用矩阵形式表示这些线性方程 组， 则：
C m2 m1
1 0 0 1 1 1 0 m0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1
0 ;（β 称为 的负元素）
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第3章 线性分组码
3.1 线性分组码的基本概念
数量乘法满足下列两条规则 : ⑤ 1 ⑥ k ( l ) ( kl ) 数量乘法与加法满足下列两条规则： ⑦ (k l ) k l ⑧ k ( ) k k
［ n –i, k -i］缩短码的纠错能力至少与原［n, k ］码 相同。 ［n –i, k -i］缩短码是［n , k ］码缩短i位得到的， 因而码率R 比原码要小， 但纠错能力不一定比原码 强。
线性分组码
系统码的校验矩阵和生成矩阵可以转换。
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线性分组码的性质
线性分组码中任意两个码字的模2加仍为一个码字，这个性 质称为码的封闭性。 零矢量必须是任一线性分组码中的一个码字，称为零码字。 生成矩阵中各行都是一个码字，且生成矩阵的各行是线性 无关的（任意两行相加不为零）。任意码字C是生成矩阵中 各行的某一线性组合。 校验矩阵的各行应该是线性无关的，否则将得不到r个线性 无关的监督关系式，从而得不到r个独立的监督位。
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汉明码
汉明码实际上是(2m-1, 2m-m-1)线性分组码，其校验行有m行，共有 n=2m-1列，任一列都不为零且两两互不相等，因此能纠正任何单 个错误。 汉明码的校验矩阵一般有两种构造方式： 一是校验矩阵的标准形式，即H=[PI] 式中P为m×(n-m)维矩阵，I为m×m维单位阵。按这种校验矩阵编 出的码是系统码。 二是校验矩阵的列是按二进制数的自然顺序从左到右排列的非零 列，例如，当n=7,k=4时，H中的第一列为[0 0 1]，第二列为[0 1 0]，…,第七列为[1 1 1]，按这种校验矩阵编出的码是非系统码。 发生单个错误时，伴随式是H中与错误位置对应的列，所以汉明码 伴随式二进制数的值就是错误位置的序号。
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例题-由生成矩阵生成码字
由生成矩阵 所有码字为
m 000
1 0 0 1 1 1 0 G 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1
生成的（7，3）码的
C 0000000
0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0 1
在校验方程的矩阵形式中，令
1 1 则校验方程可以写成 H 1 0
HCT=0 或CHT=0
线性分组码与循环码
线性分组码与循环码1．线性分组码的概念线性分组码是指信息位和监督位满足一组线性代数方程式的分组码。
其中分组码（n，k）满足条件式中，r＝n－k为监督位数。
2．线性分组码的原理（1）监督矩阵①监督矩阵的表示形式式中，H为r×n阶监督矩阵；A为分组码构成的1×n阶矩阵。
②监督矩阵的典型式式中，P为r×k阶矩阵；I r为r×r阶单位方阵。
（2）生成矩阵式中，G为k×n阶生成矩阵；Q为k×r阶矩阵，是P的转置，即由生成矩阵可以产生整个码组式中，A0为由分组码的信息位构成的1×k阶矩阵。
3．线性分组码的检验（1）检验计算式中，S称为校正子；B为接收码组。
（2）检验规则①若为0，代表该位无错码；②若为1，代表该位有错码。
4．线性分组码的性质（1）封闭性线性分组码的任意两个码组之和仍为这种码中的一个码组。
（2）最小码距最小码距就是码组的最小重量（全“0”码组除外）。
六、循环码1．循环码的原理（1）循环码的定义循环码是指除了具有线性码的一般性质外，还具有循环性的码，即任一码组循环一位以后，仍为该码中的一个码组的编码方式。
（2）循环码的特点a．编码和解码设备简单；b．检（纠）错的能力较强。
（3）循环码的运算①循环码的代数表示将码组中各码元当作是一个多项式的系数，即把一个长度为n的码组表示成式中，x仅是码元位置的标记，该多项式称为码多项式。
②码多项式的按模运算一个长为n的循环码必为按模（x n＋1）运算的一个余式，即式中，的作用是将代表的许用码组向左循环移位次得到许用码组。
③循环码的生成矩阵循环码的生成矩阵G可以写成式中，g(x)为循环码的生成多项式。
④循环码的生成多项式（n，k）循环码的生成多项式g(x)必须是一个常数项不为“0”的（n－k）次多项式且是的一个因子。
如（7，3）循环码的生成多项式g(x)为2．循环码的编解码方法（1）循环码的编码方法①用x n－k乘信息码元多项式m(x)；②用g(x)除x n－k m(x)，得到商Q(x)和余式r(x)，即③令编出的码组为（2）循环码的解码方法①检错a．检错方法在接收端将用原生成多项式g(x)除接收码组B(x)。
线性分组码
线性分组码一、原理：监督矩阵：线性分组码()k n ，中许用码组为k 2个。
定义线性分组码的加法为模二加法，乘法为二进制乘法。
即011=+、101=+、110=+、000=+；111=⨯、001=⨯、000=⨯、010=⨯。
且码组与码组的运算在各个相应比特位上符合上述二进制加法运算规则。
线性分组码具有如下性质()k n ，的性质：1. 封闭性。
任意两个码组的和还是许用的码组。
2. 码的最小距离等于非零码的最小码重。
对于码组长度为n 、信息码元为k 位、监督码元为k n r -=位的分组码，常记作()k n ，码，如果满足n r ≥-12，则有可能构造出纠正一位或一位以上错误的线性码。
下面我们通过（7，4）分组码的例子来说明如何具体构造这种线性码。
设分组码()k n ，中，4=k ，为能纠正一位误码，要求3≥r 。
取3=r ，则7=+=r k n 。
该例子中，信息组为()3456a a a a ,码字为()0123456a a a a a a a 。
用1S ，2S ，3S 的值与错码位置的对应关系可以规定为如表1所列。
由表中规定可知，当已知信息组时，按以下规则得到三个校验元，即：⎪⎩⎪⎨⎧⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=034631356224561aa a a S a a a a S a a a a S （式1.1）表1 错码位置示意表。
在发送端编码时，信息位6a ，5a ，4a 和3a 的值决定于输入信号，因此它们是随机的。
监督位2a ，1a 和0a 应根据信息位的取值按监督关系来确定，即监督位应使上三式中1S ，2S 和3S 的值为零（表示编成的码组中应无错码）。
由上式经移项运算，解出监督位：⎪⎩⎪⎨⎧⊕⊕=⊕⊕=⊕⊕=346035614562aa a a a a a a a a a a （式1.2）给出信息位后，可直接按上式算出监督位，其结果见表2。
接收端收到每个码组后先按式(1.1)计算出1S ，2S 和3S ，再按表1判断错码情况。
线性分组码
二、线性分组码的严格数学定义2
2. 定理1 (码的封闭性）
设CH为由监督矩阵H定义的分组码，则c1,c2CH : c1+c2CH 证明： 由c1CH，得Hc1T=0T;
由c2CH，得Hc2T=0T;
所以 H(c1+c2)T=H(c1T+c2T) =Hc1T+Hc2T=0T c1+c2满足HcT=0T，所以c1+c2 CH
+
+
考虑如何用串行方式？
三、G与H的关系4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
D0
D1
+
D2
+
D3
+
D0
D1
+
D2
+
D3
+
m4m5m6
m6
m6
D0
D1
m6+m5 m6
D0
D1
m6
m6
+
D2
+
D3
+
m4m5
m6+m5
m6+m5
+
D2
m6+m5+m6
=m5
+
D3
+
m4
m5+m4
互为对偶码，若CH=CG, 则称为自对偶码（P62)
[Q In-k] [IkP]T= [QIn-k] [IkT PT]T= Q + PT = 0
所以 P= - QT 或 Q = -PT
由此得 G=[Ik P] = [ Ik –QT] H=[Q In-k]= [ -PT In-k]
三、G与H的关系2
6.2线性分组码
线性特性：码字c的各位码元是消息m各位的线性组 合
一个（ 一个（n,k）线性分组码的码字 c可以表示为 ） 可以表示为
c=mG
其中m：长度为 的消息或 的消息或k维的消息向量 其中 ：长度为k的消息或 维的消息向量 Gk*n：k行n列的生成矩阵 列的生成矩阵 行 列的 矩阵运算采用模二加和模二乘。 矩阵运算采用模二加和模二乘。
1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 G = 0 1 0 1 1 R2 + R3 → R3 →0 1 0 1 1 R1 + R3 → R1 → 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 R1 ← → R 3 →0 1 0 1 1 = G S 0 0 1 1 1
线性分组码的性质
（1）零向量一定是一个码字，记作 θ = (0,0,L ,0) ）零向量一定是一个码字， （2）任意两码字的和仍是一个码字。 ）任意两码字的和仍是一个码字。 都可以表示为G的行向量的线性组合 （3）任意码字 都可以表示为 的行向量的线性组合。 ）任意码字c都可以表示为 的行向量的线性组合。
G的行向量是码集合中的码字（它们线性无关） 的行向量是码集合中的码字（它们线性无关） 的行向量是码集合中的码字
（4）线性分组码的最小距离等于最小非 码的码重： 码的码重： ）线性分组码的最小距离等于最小非0码的码重 码重：码字中的非0符号个数。
d min = min w(c)
c ≠θ
例：c = (0101) d = w(c)
系统码。 （1）则该码称为系统码。 ）则该码称为系统码
容易发现，若系统线性分组码的生成矩阵G 的左（右） 半部分是Ik*K的单位阵，则线性分组码的前（后）k位是 信息位，后n-k位是校验位。 若不是系统码，则可以通过简单行变换得到系统码生成 矩阵。
线 性 分 组 码
即: ( A1+A2 ) ·HT =0
所以 ( A1+A2 )也是一个许用码组.
由封闭性可知两个码组(A1、A2 )的码距必是另一码组 ( A1+A2 )的码重。
1 .2 汉明码
汉明码是一种能够纠正单个错误的线性分组码。它有 以下特点：
（1）最小码距dmin＝3，可纠正一位错误； （2）码长n与监督元个数r之间满足关系式：
1 1 1 0 1 0 0
0
1 1 0 1 0 1 0 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 T 0
1 0 1 1 0 0 1
0
上式可以记作：HAT=0T或AHT=0 。
其中： 0 0 0 0
A a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0
1 1 1 0 1 0 0
H 1 1 0 1 0 1 0 P Ir
E B A
其中பைடு நூலகம்=［en-1,en-2,…,e1,e0］，且：
ei
0
1
；当bi=ai ；当bi≠ai
式(10.6)也可写作
B AE
令S=BHT，称为伴随式或校正子。
S BHT (A E)HT EHT
因此，校正子仅与E有关，即错误图样与校正子之 间有确定的关系。如表10.4所示, 用于检错并能纠正一位 错码。
n 2r 1
通常二进制汉明码可以表示为：
n,k 2r 1 , 2r 1 r
（7，4）系统汉明码的编码器电路：
a6
a6
a5
a5
a4
a4
a3
a3
a2
a1
a0
（7，4）系统汉明码的译码器电路：
b6
a6
b5
a5
第3章 线性分组码
由上式经移项运算，解出监督位为
a2 a6 a5 a4 a1 a 6 a 5 a 3 a0 a6 a4 a3
已知信息位后，就可直接计算出监督位。由此得出16个许用码组 表4-5（7，4）汉明码的许用码组 信息码 a6a5a4a3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 监督码 a2a1a0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 信息码 a6a5a4a3 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 监督码 a2a1a0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1
§3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
一、 码的校验矩阵与生成矩阵
– ［n ，k ，d］分组码的编码问题就是在n 维 线性空间Vn 中，如何找出满足一定要求的， 有2k 个矢量组成的k 维线性子空间Vn ，k 。 – 或者说， 在满足给定条件(码的最小距离d或 码率R)下， 如何从已知的k 个信息元求得r=n -k 个校验元。
• 二进制(5,3)码
– K位信息空间23
• • • • • • • • 000 001 010 011 100 101 110 111
n位编码空间25
00000 00100 01000 01100 10000 10100 11000 11100 00001 00101 01001 01101 10001 10101 11001 11101 00010 00110 01010 01110 10010 10110 11010 11110 00011 00111 01011 01111 10011 10111 11011 11111
a2 a6 a5 a4 a1 a 6 a 5 a 3 a0 a6 a4 a3
已知信息位后，就可直接计算出监督位。由此得出16个许用码组 表4-5（7，4）汉明码的许用码组 信息码 a6a5a4a3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 监督码 a2a1a0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 信息码 a6a5a4a3 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 监督码 a2a1a0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1
§3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
一、 码的校验矩阵与生成矩阵
– ［n ，k ，d］分组码的编码问题就是在n 维 线性空间Vn 中，如何找出满足一定要求的， 有2k 个矢量组成的k 维线性子空间Vn ，k 。 – 或者说， 在满足给定条件(码的最小距离d或 码率R)下， 如何从已知的k 个信息元求得r=n -k 个校验元。
• 二进制(5,3)码
– K位信息空间23
• • • • • • • • 000 001 010 011 100 101 110 111
n位编码空间25
00000 00100 01000 01100 10000 10100 11000 11100 00001 00101 01001 01101 10001 10101 11001 11101 00010 00110 01010 01110 10010 10110 11010 11110 00011 00111 01011 01111 10011 10111 11011 11111
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当仅出现一位误码时，有如下关系
S0 e0 e1 e3 e4 S1 e0 e1 e2 e5 S2 e0 e2 e3 e6
若没有误码： e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 0 应使得
S0 S1 S2 0
表示为矩阵形式
c0
c1 ... cn 1 a0 a0
a1
m0, 0 m1,0 ... ak 1 ... m k 1, 0
m0,1 m1,1 ... mk 1,1
m0,n 1 m1,n 1 ... ... ... mk 1,n 1 ... ...
d min 2t 1
wi
t dmin 1 wj wj
t
禁禁禁禁 禁禁禁禁
性质3 若要线性分组码能够检出任一码字中的 e 位误码，同 时能够纠正其中 t ( e t )位的误码， 则应满足
wi t dmin e 1 wj wj
禁禁禁禁 禁禁禁禁
t
dmin e t 1
线性分组码的生成矩阵与监督矩阵 差错控制编码一般可表示为
则接收码字 R 中一定出现了错误；
若
如果错误图样是一个许用码字，在错误不能被检测出； 如何错误图样不是一个许用图样，则可检测出该错误。
示例：构建一个可纠正一位误码、具有系统码结构的（7，4） 线性分组码。
解：该码的码字长度n＝7，信息位k＝4，监督位有n－k＝3位
伴随式共有 2nk 23 8 刚好可对于无误码，不同位置的7种1比特误码共8种状态 设建立伴随式与误码的对应关系
主要性质 （1）生成矩阵G中的每一行都是一个许用码字；
因为
c0 a0
c1 ... cn 1 a0
方程的矩阵形式
c0 c0 c c 1 1 ... 0 ... ck 1 0 ck 1 T Pk ,n k | I n k 0n k ,1 ... ck ck 1 ck 1 ck 1 ... ... cn 1 cn 1
a1 ... ak 1 I k | Pk ,n k
可得生成矩阵
G I k | Pk ,nk
若系统码结构为
编码 a0a1...ak 2ak 1 k 1a0a1...ak 2ak 1 c0c1...ck 2ck 1ck 2cn1
c4 c0 c1 c3 c5 c0 c1 c2 c6 c0 c2 c3
由上面的(*)式可得监督方程
c0 c 1 1 1 0 1 1 0 0 c2 0 1 1 1 0 0 1 0 c 0 3 1 0 1 1 0 0 1 c 4 0 c5 c 6
生成矩阵相应地为
G P k ,nk | Ik
监督矩阵 在线性分组码的码生成方程组中的监督位为
ck m0,k a0 m1,k a1 ... mk 1,k ak 1 ck 1 m0,k 1a0 m1,k 1a1 ... mk 1,k 1ak 1 ...... ...... cn 1 m0,n 1a0 m1,n 1a1 ... mk 1,n1ak 1
线性分组码的一般记法： n, k 其中k表示码字中信息位的个数，n为码字的长度。
k 2 n , k 线性分组码 中许用码字的个数为 。
许用码字间的距离－－码距
w1 bn1bn2 ...b1b0 与 w2 cn1cn2 ...c1c0 定义8.6.1 两个n元的码字： 两者间的汉明距离定义为
系统码的生成矩阵 系统码的特点
a0a1...ak 2ak 1 编码 a0a1...ak 2ak 1ck 2cn1 c0c1...ck 2ck 1ck 2cn1
系统码的编码输出结构
信息位部份 监督位部份
c0c1...ck 2ck 1 a0a1...ak 2ak 1 ck 2cn1
因为 c0 a0 , c1 a1,...,ck 1 ak 1 因此可得
m0,k c0 m1,k c1 ... mk 1,k ck 1 ck 0 m0,k 1c0 m1,k 1c1 ... mk 1,k 1ck 1 ck 1 0 ...... ...... m0,n 1c0 m1,n 1c1 ... mk 1,n 1ck 1 cn 1 0
8.6
线性分组码的基本性质
线性分组码的基本性质
线性分组码编码的一般表达形式 输入信息码组 a0a1...ak 1 输出编码码字 c0c1...ck 1 其中
c0 f1 a0 , a1 ,...,ak 1
c1 f 2 a0 , a1 ,...,ak 1 ...... cn1 f n a0 , a1 ,...,ak 1
d min min Dwi , w j ,
i j
i, j 1,2,...2k
线性分组码的基本性质 性质1 若要线性分组码能够检测出任一码字中的小于等于 e 位的误码，则应满足
dmin e 1
wi e dmin wj
禁禁禁禁 禁禁禁禁
1
性质2 若要线性分组码能够检出并纠正任一码字中的小于等 于 位的误码，则应满足
由 c0 c1 ... cn 1
a0 a0 a1 1 0 ... ak 1 ... 0 0 ... 0 m0,k 1 ... 0 m1,k ... ... ... ... 0 ... 1 mk 1,k m0,k 1 m1,k 1 ... mk 1,k 1 ... m0, n 1 ... m1,n 1 ... ... ... mk 1,n 1
1 0 G I k | Pk ,n k ... 0 0 ... 0 p11 p12 p22 ... pk 2 p1,n k ... p2,n k ... ... ... pk ,n k ...
1 ... 0 p21 ... ... ... ... 0 ... 1 pk 1
c0 f1 a0 , a1,...,ak 1 , c1 f 2 a0 , a1,...,ak 1 , ......, cn 1 f n a0 , a1,...,ak 1
特别地，对线性分组码
c0 m0,0 a0 m1,0 a1 ... mk 1,0 ak 1 c1 m0,1a0 m1,1a1 ... mk 1,1ak 1 ...... cn 1 m0,n 1a0 m1,n 1a1 ... mk 1,n 1ak 1
T T
定义伴随式为
S HE T
伴随式是一个 n k 维的向量，总共有 2nk 种不同的组合。
2nk 个不同的伴随式可对应 2nk 种不同错误图样。
伴随式只与错误图样和监督矩阵有关。 若
S HE T 01 n k S HE T 01 n k
R C E c0 c0 e0
c1 ... cn 1 e0
e1 ... en 1
c1 e1 ... cn 1 en 1
若没有出错，显然有 R C
伴随式(校正子) 因为
HR H C E HC T HE T HE T
Hale Waihona Puke m1,k m0,k m 0,k 1 m1,k 1 ... ... m0,n 1 m1,n 1
...
mk 1,k
1
0 ...
... mk 1,k 1 0 1 ... ... ... ... ... ... ... mk 1,n 1 0 0 ...
定义监督矩阵为
T H P k ,n k | I n k
相应地监督矩阵为
T H P 4,3
1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 , PT 1 1 1 0 I3 4,3 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1
由监督矩阵与生成矩阵的关系式，可得生成矩阵
（3）三角不等式成立：对任意的三个码字 w1 an1an2 ...a1a0 、
w2 bn1bn2 ...b1b0 和 w3 cn1cn2 ...c1c0 ，它们间的码距关系满足
Dw1, w2 Dw2 , w3 Dw1, w3
码距与码的检错纠错能力之间的关系 码字间的最小距离：最小码距定义为
H P
T k ,nk
| I nk
p11 p 12 ... p1,n k
p21 p22 ... p2 , n k
... ... ...
pk 1 pk 2 ...
... pk ,n k
0 ... 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... 1 1
监督矩阵确定了码字没有错误的必要条件。
错误图样：描述错误及位置的一个矢量。
E e0 e1 ... en 1 , 0, 第i位没有出错 ei 1， 第i位出现错误
对于定义在二元域上的码字，知道了错误的位置等效于知道 了错误。 若将 E e0 e1 ... en1 0 0 ... 0 看作一特殊的错误图样 接收码字可一般地表示为：
a1 ... ak 1 G
生成矩阵 生成矩阵定义为
m0, 0 m1, 0 G ... m k 1, 0 m0,1 m1,1 ... mk 1,1 m0, n 1 ... m1, n 1 ... ... ... mk 1, n 1 ...
D w1 , w2 i 0 bi ci