线性分组码(7,4)码设计说明书
循环码(7,4)
第3 章 循环码编码和译码3.1 循环码概念循环码是线性分组码中一个重要的分支。
它的检、纠错能力较强，编码和译码设备并不复杂，而且性能较好，不仅能纠随机错误，也能纠突发错误。
循环码是目前研究得最成熟的一类码，并且有严密的代数理论基础，故有许多特殊的代数性质，这些性质有助于按所要求的纠错能力系统地构造这类码，且易于实现，所以循环码受到人们的高度重视，在FEC 系统中得到了广泛应用。
3.1.1、循环码定义定义：一个线性分组码，若具有下列特性，则称为循环码。
设码字(3-1) 若将码元左移一位，得(3-2)A (1)也是一个码字。
注意：循环码并非由一个码字的全部循环移位构成。
3.1.2 循环码的特点表3-1列出了某（7，4）循环码的全部码组循环码有两个数学特征：1.线性分组码的封闭型：即如果c1，c2，是与消息m1，m2对应的码字，则c1+c2必定是与m1+m2对应的码字。
)...(0121a a a a A n n --=)...(10112)1(---=n n n a a a a a A2.循环性，即任一许用码组经过循环移位后所得到的码组仍为该许用码组集合中的一个码组。
即若（a n-1 a n-2 … a 1 a 0）为一循环码组，则（a n-2 a n-3 … a n a n-1）、（a n-3 a n-2 … a n-1 a n-2）、……还是许用码组。
也就是说，不论是左移还是右移，也不论移多少位，仍然是许用的循环码组。
以3号码组（0010111）为例，左移循环一位变成6号码组（0101110），依次左移一位构成的状态图如图1.1-2所示。
图3-1 （7，4）循环码中的循环圈可见除全零码组外，不论循环右移或左移，移多少位，其结果均在该循环码组的集合中（全零码组自己构成独立的循环圈）。
3.2 码多项式为了用代数理论研究循环码，可将码组用多项式表示，循环码组中各码元分别为多项式的系数。
长度为n 的码组)...(0121a a a a A n n --=用码多项式表示则为(3-3)式中，x 的幂次是码元位置的标记。
循环码(7,4)
8.4 循环码时间：2012年09月01日信息来源：《通信原理》精品课程网站点击：2452次我要评论(0) 【字体：大中小】循环码是线性分组码重要的一个子类，现有的重要线性分组码都是循环码或与循环码密切相关。
与其他大多数码相比，循环码的编码及译码易于用简单的具有反馈连接的移位寄存器来实现，这是它的优势所在。
另外，对它的研究是建立在比较严密的数学方法基础之上，因此比较容易获得有效的译码方案。
循环码在实际中应用很广。
8.4.1 循环码基本概念一个线性（）分组码，如果它的任一码字经过循环移位后（左移或右移），仍然是该码的一个码字，则称该码为循环码。
上一节中表8-3所示的（7，3）分组码就是一个循环码。
为了便于观察，将（7，3）码重新排列如表8-9所示。
表8-9 循环码的循环移位在代数编码理论中，常用多项式（8.4-1）来描述一个码字。
表8-9中的任一码组可以表示为（8.4-2）这种多项式中，仅是码元位置的标记，因此我们并不关心x的取值，这种多项式称为码多项式。
例如，码字（0100111）可以表示为（8.4-3）左移一位后为（1001110），其码字多项式为（8.4-4）需要注意的是，码字多项式和一般实数域或复数域的多项式有所不同，码字多项式的运算是基于模二运算的。
（1）码多项式相加，是同幂次的系数模二加，不难理解，两个相同的多项式相加，结果系数全为0。
例如（8.4-5）（2）码多项式相乘，对相乘结果多项式作模二加运算。
例如（8.4-6）（3）码多项式相除，除法过程中多项式相减按模二加方法进行。
当被除式的幂次高于等于除式的幂次，就可以表示为一个商式和一个分式之和，即（8.4-7）其中余式的幂次低于的幂次。
把称作对取模的运算结果，并表示为（8.4-8）有了这个运算规则，就可以很方便地表示一个移位后码字多项式。
可以证明，字长为的码字多项式和经过次左移位后的码字多项式的关系为（8.4-9）例如，（7，3）循环码的码字（1001110），其多项式为，移位3次后的多项式可求得如下：（8.4-10）即，它对应的码字为11101008.4.2 循环码生成多项式由表8-9可知，（7，3）循环码的非0码字多项式是由一个多项式分别乘以得到的。
线性分组码
线性分组码一、原理：监督矩阵：线性分组码()k n ，中许用码组为k 2个。
定义线性分组码的加法为模二加法，乘法为二进制乘法。
即011=+、101=+、110=+、000=+；111=⨯、001=⨯、000=⨯、010=⨯。
且码组与码组的运算在各个相应比特位上符合上述二进制加法运算规则。
线性分组码具有如下性质()k n ，的性质：1. 封闭性。
任意两个码组的和还是许用的码组。
2. 码的最小距离等于非零码的最小码重。
对于码组长度为n 、信息码元为k 位、监督码元为k n r -=位的分组码，常记作()k n ，码，如果满足n r ≥-12，则有可能构造出纠正一位或一位以上错误的线性码。
下面我们通过（7，4）分组码的例子来说明如何具体构造这种线性码。
设分组码()k n ，中，4=k ，为能纠正一位误码，要求3≥r 。
取3=r ，则7=+=r k n 。
该例子中，信息组为()3456a a a a ,码字为()0123456a a a a a a a 。
用1S ，2S ，3S 的值与错码位置的对应关系可以规定为如表1所列。
由表中规定可知，当已知信息组时，按以下规则得到三个校验元，即：⎪⎩⎪⎨⎧⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=034631356224561aa a a S a a a a S a a a a S （式1.1）表1 错码位置示意表。
在发送端编码时，信息位6a ，5a ，4a 和3a 的值决定于输入信号，因此它们是随机的。
监督位2a ，1a 和0a 应根据信息位的取值按监督关系来确定，即监督位应使上三式中1S ，2S 和3S 的值为零（表示编成的码组中应无错码）。
由上式经移项运算，解出监督位：⎪⎩⎪⎨⎧⊕⊕=⊕⊕=⊕⊕=346035614562aa a a a a a a a a a a （式1.2）给出信息位后，可直接按上式算出监督位，其结果见表2。
接收端收到每个码组后先按式(1.1)计算出1S ，2S 和3S ，再按表1判断错码情况。
matlab(74)汉明码和(74)循环码的编程设计
二、创新实验设计创新实验一：（7,4）汉明码的编码与译码实现1、实验目的实现（7,4）汉明码的编码与译码，通过这次实验不但加深了对汉明码编码和译码原理了解，而且对线性分组码有所了解。
2、实验原理线性分组码的构造方法比较简单、理论较为成熟，应用比较广泛。
汉明码是一种能够纠正一个错码的效率比较高的线性分组码，下面以（7,4）码为例就汉明码的编码与译码分别进行介绍：（1）编码原理一般来说，若汉明码长为n ，信息位数为k ，则监督位数r=n-k 。
若希望用r 个监督位构造出r 个监督关系式来指示一位错码的n 种可能位置，则要求21r n -≥或211rk r -≥++ (1)设汉明码（n,k ）中k=4，为了纠正一位错码，由式（1）可知，要求监督位数r ≥3。
若取r=3,则n=k+r=7。
这样就构成了（7,4）码。
用6543210a a a a a a a 来表示这7个码元，用123s s s 的值表示3个监督关系式中的校正子，则123s s s 的值与错误码元位置的对应关系可以规定如表1所列。
表2.1 校正子和错码位置的关系则由表1可得监督关系式：16542s a a a a =⊕⊕⊕()226531s a a a a =⊕⊕⊕()3 36430s a a a a =⊕⊕⊕()4 在发送端编码时，信息位6543a a a a 的值决定于输入信号，因此它们是随机的。
监督位2a 、1a 、0a 应根据信息位的取值按监督关系来确定，为使所编的码中无错码，则123,,S S S 等于0，即65426531643000(5)0a a a a a a a a a a a a ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩方程组（5）可等效成如下矩阵形式6543210111010001101010010110010a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（6）式(6)可简化为0T T HA =，H 为监督矩阵，则由式(6)可得到监督矩阵11101001101010=[P I ] (7)1011001r H ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦因为生成矩阵'=[I Q]=[I ]k k G P ，所以由(7)得生成矩阵G 如下：[]k 10001110100110[']00101010001011k G I Q I P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦然后利用信息位和生成矩阵G 相乘产生整个码组，即有[][]65432106543=(8)A a a a a a a a a a a a G=其中A 为整个码组矩阵，6543a a a a 是信息位。
(完整word版)matlab(7,4)汉明码和(7,4)循环码的编程设计
二、创新实验设计创新实验一：（7,4）汉明码的编码与译码实现1、实验目的实现（7,4）汉明码的编码与译码，通过这次实验不但加深了对汉明码编码和译码原理了解，而且对线性分组码有所了解。
2、实验原理线性分组码的构造方法比较简单、理论较为成熟，应用比较广泛。
汉明码是一种能够纠正一个错码的效率比较高的线性分组码，下面以（7,4）码为例就汉明码的编码与译码分别进行介绍：（1）编码原理一般来说，若汉明码长为n ，信息位数为k ，则监督位数r=n-k 。
若希望用r 个监督位构造出r 个监督关系式来指示一位错码的n 种可能位置，则要求21r n -≥或211rk r -≥++ (1)设汉明码（n,k ）中k=4，为了纠正一位错码，由式（1）可知，要求监督位数r ≥3。
若取r=3,则n=k+r=7。
这样就构成了（7,4）码。
用6543210a a a a a a a 来表示这7个码元，用123s s s 的值表示3个监督关系式中的校正子，则123s s s 的值与错误码元位置的对应关系可以规定如表1所列。
表2.1 校正子和错码位置的关系则由表1可得监督关系式：16542s a a a a =⊕⊕⊕()226531s a a a a =⊕⊕⊕()3 36430s a a a a =⊕⊕⊕()4 在发送端编码时，信息位6543a a a a 的值决定于输入信号，因此它们是随机的。
监督位2a 、1a 、a 应根据信息位的取值按监督关系来确定，为使所编的码中无错码，则123,,S S S 等于0，即65426531643000(5)0a a a a a a a a a a a a ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩方程组（5）可等效成如下矩阵形式6543210111010001101010010110010a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（6）式(6)可简化为0T T HA =，H 为监督矩阵，则由式(6)可得到监督矩阵11101001101010=[P I ] (7)1011001r H ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦因为生成矩阵'=[I Q]=[I ]k k G P ，所以由(7)得生成矩阵G 如下：[]k 10001110100110[']00101010001011k G I Q I P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦然后利用信息位和生成矩阵G 相乘产生整个码组，即有[][]65432106543=(8)A a a a a a a a a a a a G=其中A 为整个码组矩阵，6543a a a a 是信息位。
线 性 分 组 码
即: ( A1+A2 ) ·HT =0
所以 ( A1+A2 )也是一个许用码组.
由封闭性可知两个码组(A1、A2 )的码距必是另一码组 ( A1+A2 )的码重。
1 .2 汉明码
汉明码是一种能够纠正单个错误的线性分组码。它有 以下特点：
（1）最小码距dmin＝3，可纠正一位错误； （2）码长n与监督元个数r之间满足关系式：
1 1 1 0 1 0 0
0
1 1 0 1 0 1 0 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 T 0
1 0 1 1 0 0 1
0
上式可以记作：HAT=0T或AHT=0 。
其中： 0 0 0 0
A a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0
1 1 1 0 1 0 0
H 1 1 0 1 0 1 0 P Ir
E B A
其中பைடு நூலகம்=［en-1,en-2,…,e1,e0］，且：
ei
0
1
；当bi=ai ；当bi≠ai
式(10.6)也可写作
B AE
令S=BHT，称为伴随式或校正子。
S BHT (A E)HT EHT
因此，校正子仅与E有关，即错误图样与校正子之 间有确定的关系。如表10.4所示, 用于检错并能纠正一位 错码。
n 2r 1
通常二进制汉明码可以表示为：
n,k 2r 1 , 2r 1 r
（7，4）系统汉明码的编码器电路：
a6
a6
a5
a5
a4
a4
a3
a3
a2
a1
a0
（7，4）系统汉明码的译码器电路：
b6
a6
b5
a5
74线形分组码实验报告
竭诚为您提供优质文档/双击可除74线形分组码实验报告篇一：线性分组码实验报告综合性设计性实验报告专业：学号：姓名：实验所属课程：实验室(中心)：信息技术软件实验室指导教师：2一、题目线性分组码编译码实验二、仿真要求1.分别用不同的生成矩阵进行（7,4）线性分组码的编码，经调制解调后译码，并比较两种线性分组码的纠错能力。
2.掌握线性分组码的编码原理、编码步骤和译码方法。
3.熟悉matlab软件的基本操作，学会用matlab软件进行线性分组码的编码和译码。
三、仿真方案详细设计编码：本实验采用的是（7，4）线性分组码，线性分组码的编码由监督矩阵和生成矩阵实现，监督矩阵h为（3×4）的矩阵，由监督方程和（4×4）的单位矩阵构成，生成矩阵g为（4×7）的矩阵，由（4×4）的单位矩阵和监督矩阵的转置矩阵构成。
实现过程为：1、将要编码的序列先整形，整为4列2、如果序列不能被4整除在后边补0使其能被4整除3、将整形后的序列与生成矩阵g相乘即得到编码后的码字在本实验中，分别生成两种生成矩阵，在产生了生成矩阵后根据输入的四位信息位和生成矩阵相乘即可得到编码矩阵。
译码：在译码过程中，我们利用错误图样和伴随式来进行纠错。
1、设一个接收码字矩阵为R，R*h=s（模2乘），则s为码字对应的伴随式矩阵如果s=0则说明接受码字无差错；2、如果s不为0，查看矩阵s中不为0的那行所在行数，该行即收码字错误所在行i；3、将s转置，将不为0的一列与h每一列进行比较，找到h中相同列，该列的列数即为错误所在列；4、由步骤2和3得到错误具体位置，模2加对应的错误图样就可得到正确码字。
bpsK调制:bpsK调制利用载波的相位变化来传递数字信息，振幅和频率保持不变。
双极性的全占空矩形脉冲序列与正弦载波相乘就得到调制信号。
因此进行调制时首先进行码形变换变为双极性的，再经乘法器与载波相乘得到调制信号。
其具体实现方法如下：1、将0、1序列变为-1、1序列；2、将序列与载波相乘，为‘1’时与载波相位相同，为‘-1’时与载波相位相反。
(完整版)(7,4)汉明码编译码程序说明
（7，4）汉明码编译码原理程序说明书1、线性分组码假设信源输出为一系列二进制数字0和1.在分组码中，这些二进制信息序列分成固定长度的消息分组（message blocks ）。
每个消息分组记为u ，由k 个信息位组成。
因此共有2k 种不同的消息。
编码器按照一定的规则将输入的消息u 转换为二进制n 维向量v ，这里n>k 。
此n 维向量v 就叫做消息u 的码字（codeword ）或码向量（code vector ）。
因此，对应于2k 种不同的消息，也有2k 种码字。
这2k 个码字的集合就叫一个分组码（block code ）。
一个长度为n ，有2k 个码字的分组码，当且仅当其2k 个码字构成域GF （2）上所有n维向量空间的一个k 维子空间时被称为线性（linear ）（n ，k ）码。
对于线性分组码，希望它具有相应的系统结构（systematic structure ），其码字可分为消息部分和冗余校验部分两个部分。
消息部分由k 个未经改变的原始信息位构成，冗余校验部分则是n-k 个奇偶校验位（parity-check ）位，这些位是信息位的线性和（linear sums ）。
具有这样的结构的线性分组码被称为线性系统分组码（linear systematic block code ）。
本实验以（7，4）汉明码的编译码来具体说明线性系统分组码的特性。
其主要参数如下：码长：21mn =-信息位：21mk m =-- 校验位：m n k =-，且3m ≥ 最小距离：min 03d d ==由于一个（n ，k ）的线性码C 是所有二进制n 维向量组成的向量空间n V 的一个k 维子空间，则可以找到k 个线性独立的码字，0,1,1k g g g -…… ，使得C 中的每个码字v 都是这k 个码字的一种线性组合。
（7，4）汉明码的生成矩阵如下，前三位为冗余校验部分，后四位为消息部分。
0123 1 1 0 1 0 0 00 1 1 0 1 0 01 1 1 0 0 1 01 0 1 0 0 0 1g g G g g ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭如果()0123u u u u u =是待编码的消息序列，则相应的码字可如下给出：()0101230011223323g g v u G u u u u u g u g u g u g g g ⎧⎫⎪⎪⎪⎪===+++⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭编码结构即码字()0123456v v v v v v v v =，对于（7，4）线性分组码汉明码而言，3456,,,v v v v 为所提供的消息序列，而0356v v v v =⊕⊕，1345v v v v =⊕⊕，2456v v v v =⊕⊕。
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言
设计数字通信系统时,应首先合理选择信道编译码码组种类，这样才可以在信号的 传输，以及接收环节达到较好的效果，线性分组码具有编译码简单，封闭性好等特点， 采用差错控制编码技术是提高数字通信可靠性的有效方法，是目前较为流行的差错控制 编码技术。 分组码是一组固定长度的码组，可表示为（n , k） ，通常它用于前向纠错。在分组 码中，监督位被加到信息位之后，形成新的码。在编码时，k 个信息位被编为 n 位码组 长度，而 n-k 个监督位的作用就是实现检错与纠错。 对于长度为 n 的二进制线性分组码，它有种可能的码组，从种码组中，可以选择 M= 个码组（k<n）组成一种码。这样，一个 k 比特信息的线性分组码可以映射到一个长度 为 n 码组上， 该码组是从 M=个码组构成的码集中选出来的， 这样剩下的码组就可以对这 个分组码进行检错或纠错。
上述方法构造的能纠正单个误码的线性分组码又称为汉明码。它具有以下一些特 点：码长 n＝2m－1，最小码距为 d＝3，信息码长 k＝2n－m－1，纠错能力 t＝1，监督码 长 r＝n－k＝m。这里 m 为≥2 的正整数。给定 m 后，就可构造出汉明码（n，k）。
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第三章 推导过程
3.1 编码过程
监督阵 H 与生成矩阵 G 的关系： 由 H 与 G 的分块表示的矩阵形式 H [ P I n k ]
其中 A 为纠错输出码序列，E 为错码矩阵，B 为信道输出码。 对接收到的信息进行改正求出正确的编码，从而再提去更正后的接收序列的前四 位来提取信息位，以至获得信息矩阵 I。
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第四章 仿真过程及结果分析
4.1 程序流程图
4.1.1 主程序流程图 主程序一开始就有欢迎界面，并对用户显示出了选择提示语句，可以选择编码器、 译码器、退出三种选择，当用户做出选择后便会进入各自的子程序，执行相应的功能， 整个主程序的流程如下：
H 矩阵与 (n, k ) 码的任何一个许用码字进行相乘的结果必等于 0，即若 C mG 是
T 任一 (n, k ) 码字，则必有 CH 0 。若不属于许用码字，或有传输差错，且差错位数在 (n, k ) 码纠错能力内，则运算结果将为非 0 值，此时，可以纠错或检错重发。如本例中
发生 1 位错时， 其运算结果一定会等于 H 矩阵的某一列，这就表明是接收码组中的该对 应码位发生错误，于是能够即时自动纠错，这一基本原理在下面伴随式解码运算时将进 一步解释。 当编码矩阵与生成矩阵的转置矩阵相乘时，若当其中的一位编码出现差错时会有七 种情况，则更具这些情况列出错码矩阵如下：
摘
要
此系统是（ 7 ，4）线性分组码的编译码实现，它可以对输入的四位的信息码进行 Hamming 编码，对于接受的七位信息码可以进行译码，从而译出四位信息位。当接收到 的信息码中有一位错误时，可以纠正这一位错码，进而译出正确的信息码组，整个过程 是用 Matlab 语言实现的。
关键词：编码; 译码; 纠错;
1
目
录
第一章 设计目标 .......................................................... 3 第二章 基本原理 .......................................................... 4 第三章 推导过程 .......................................................... 6 3.1 编码过程 .......................................................... 6 3.2 译码过程 .......................................................... 7 第四章 仿真过程及结果分析 ................................................ 9 4.1 程序流程图 ........................................................ 9 4.1.1 主程序流程图 ................................................. 9 4.1.2 编码程序流程图 .............................................. 10 4.1.3 译码程序流程图 .............................................. 11 4.2 主引导界面程序运行分析 ........................................... 12 4.3 信道编码程序运行分析 ............................................. 13 4.4 信道译码程序运行分析 ............................................. 14 4.5 纠错程序运行分析 ................................................. 15 4.6 退出程序运行分析 ................................................. 16 4.6.1 正常输入 ................................................... 16 4.6.2 系统不正常输入 ............................................. 17 结计总结 ................................................................ 19 参考文献 ................................................................ 20 附录 .................................................................... 21
3
第二章 基本原理
线性分组码（n，k）中许用码字（组）为 2 个。定义线性分组码的加法为模 2 和， 乘法为二进制乘法。 即 1+1=0、 1+0=1、 0+1=1、 0+0=0； 1×1=1、 1×0=0、 0×0=0、 0×1=0。 且码字 上述二进制加法运算规则。 线性分组码具有如下性质（n，k）的性质： 1、封闭性。任意两个码组的和还是许用的码组。 2、码的最小距离等于非零码的最小码重。 对于码组长度为 n、 信息码元为 k 位、 监督码元为 r＝n－k 位的分组码， 常记作 （n， k）码，如果满足 2r－1≥n，则有可能构造出纠正一位或一位以上错误的线性码。 下面我们通过 （7， 4） 分组码的例子来说明如何具体构造这种线性码。 设分组码 （n， k）中，k = 4，为能纠正一位误码，要求 r≥3。现取 r＝3，则 n＝k＋r＝7。我们用 a0a1a2a3a4a5a6 表示这 7 个码元，用 s0、s1、s2 表示由三个监督方程式计算得到的校 正子，并假设三位 s0、s1、s2 校正子码组与误码位置的对应关系如表 1 所示。 表 2.1 （7，4）码校正子与误码位置 S2s1s0 误码位置 S2s1s0 数值 S2s1s0 误码位置 S2s1s0 数值 与码字 的运算在各个相应比特位上符合
7
错码矩阵： 0 0 0 0 E= 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
而这些情况正好是和校验子有某种对应关系的，根据这些对应关系可以进行相关编程。 若编程检测到了那一位错误可以根据 A=B+E （3.7）
|| 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1
监督位 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
3.2 译码过程
对于译码过程来说，同样已知监督矩阵： 1 H= 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
4
a 2 a 6 a5 a 4 a1 a6 a 4 a3 a 0 a 6 a5 a3
（ 2.1 ） 由上面方程可得到表 12.3 所示的 16 个许用码组。在接收端收到每个码组后，计 算出 s2、s1、s0，如果不全为 0，则表示存在错误，可以由表 12.2 确定错误位置并予 以纠正。例如收到码组为 0000011，可算出 S1S2S3=011,由表 2.2 可知在 a3 上有一误码。 通过观察可以看出，上述（7，4）码的最小码距为 dmin＝3，它能纠正一个误码或检测两 个误码。如果超出纠错能力则反而会因“乱纠”出现新的误码。 表 2.2 （7，4）许用码组 信 息 位 a6a5a4a3 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 监 督 位 a2a1a0 000 011 110 101 101 110 011 000 信 息 位 a6a5a4a3 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 监 督 位 a2a1a0 111 100 001 010 010 001 100 111
（3.1） （3.2） （3.3） （3.4）
G [I k Q]
PQ
T
Q PT
则有
G HT 0
或
H GT 0
（3.5）
已知监督矩阵 1 H= 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
则可以根据监督阵求出生成矩阵
1 G= 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0