文科数学2010-2019高考真题分类训练专题九 解析几何第二十五讲 椭圆

F1
、
F2
是椭圆
E
：
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b 0) 的左、右焦点， P 为直线
x
=
3a 2
上一点，
F2 PF1
是底角为 30o 的等腰三角形，则 E 的离心率为
A、 1 2
B、 2 3
C、 3 4
D、 4 5
二、填空题
16．(2018 浙江)已知点 P(0,1) ，椭圆 x2 + y2 = m ( m 1)上两点 A ， B 满足 AP = 2PB ， 4
小于 4 ，则椭圆 E 的离心率的取值范围是 5
A． (0, 3 ] 2
B． (0, 3] 4
C．[ 3 ,1) 2
D．[ 3 ,1) 4
12．(2014 福建)设 P, Q 分别为 x2 + (y − 6)2 = 2 和椭圆 x2 + y2 = 1上的点，则 P, Q 两点间
10
的最大距离是
A． 5 2 B． 46 + 2 C． 7 + 2 D． 6 2
D．1x82 ＋y92＝1
14．（2013 广东）已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1, 0) ，离心率等于 1 ，则 C; y 2 = 1 B． x2 + y2 = 1
34
43
C． x2 + y 2 = 1 D． x2 + y2 = 1
42
43
15．(2012
新课标)设
4.（2019 江苏 16）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C:
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b
0) 的焦点
为 F1（–1、0），F2（1，0）．过 F2 作 x 轴的垂线 l，在 x 轴的上方，l 与圆 F2: (x −1)2 + y2 = 4a2
交于点 A，与椭圆 C 交于点 D.连结 AF1 并延长交圆 F2 于点 B，连结 BF2 交椭圆 C 于点 E，连
全国卷Ⅰ)已知椭圆 C
：
x2 a2
+
y2 4
= 1的一个焦点为 (2 ，0) ，则 C
的离心率为
A． 1 3
B． 1 2
C． 2 2
D． 2 2 3
2．(2018 全国卷Ⅱ)已知 F1 ， F2 是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点，若 PF1 ⊥ PF2 ，且
PF2F1 = 60 ，则 C 的离心率为
x2 a2
+
y2 b2
= 1的右焦点为 (1, 0) ，且经过点 A(0,1) ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设 O 为原点，直线 l : y = kx + t(t 1) 与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q，直线 AP 与 x
轴交于点 M，直线 AQ 与 x 轴交于点 N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线 l 经过定点．
结 DF1．已知 DF1= 5 ． 2
（1）求椭圆 C 的标准方程； （2）求点 E 的坐标．
5.（2019 浙江 15）已知椭圆 x2 + y2 = 1的左焦点为 F ，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方， 95
若线段 PF 的中点在以原点 O 为圆心， OF 为半径的圆上，则直线 PF 的斜率是
直线 l 相切，圆心 C 在直线 x = 4 上，且 OC ∥ AP ，求椭圆的方程.
8.(2019
全国
III
文
15）设
F1，F2
为椭圆
C:
x2 36
+
y2 20
=
1 的两个焦点，M
为
C
上一点且在第一
象限.若△MF1F2 为等腰三角形，则 M 的坐标为___________.
9.（2019 北京文 19）已知椭圆 C : x2 + y2 = 1的右焦点为 (1, 0) ，且经过点 A(0,1) ． a2 b2
．
20．（2014 江西）设椭圆 C :
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b
0) 的左右焦点为 F1，F2 ，作 F2 作 x 轴的垂
线与 C 交于 A，B 两点， F1B 与 y 轴相交于点 D ，若 AD ⊥ F1B ，则椭圆 C 的离心率
等于________．
21．（2014
安徽）设 F1, F2 分别是椭圆 E : x2
A． 3
B． 6
C． 9
D．12
10．（2015
广东）已知椭圆
x2 + 25
y2 m2
=1（m

0 ）的左焦点为 F1 (−4, 0) ，则 m =
A． 2
B． 3
C． 4
D． 9
11．（2015
福建）已知椭圆 E
:
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b

0) 的右焦点为 F
．短轴的一个端点为 M
，
直线 l : 3x − 4 y = 0 交椭圆 E 于 A, B 两点．若 AF + BF = 4 ，点 M 到直线 l 的距离不
F1(− 3, 0), F2 ( 3, 0) ，圆 O 的直径为 F1F2 ．
y
F1 O
F2 x
(1)求椭圆 C 及圆 O 的方程； (2)设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P ．
①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；
②直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点．若△OAB 的面积为 2 6 ，求直线 l 的方程．
6．（2017 新课标Ⅰ）设 A 、 B 是椭圆 C ： x2 + y2 = 1长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 3m
满足 AMB =120°，则 m 的取值范围是
A． (0,1] [9, +)
B． (0, 3] [9, +)
C． (0,1] [4, +)
D． (0, 3] [4, +)
围.
7.（2019
天津文
19）设椭圆 x2 a2
+
y2 b2
= 1(a b 0) 的左焦点为 F
，左顶点为 A ，顶点为
B.已知 3 | OA |= 2 | OB | （ O 为原点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点 F 且斜率为 3 的直线 l 与椭圆在 x 轴上方的交点为 P ，圆 C 同时与 x 轴和 4
7．（2016 年全国 I 卷）直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其
短轴长的 1 ，则该椭圆的离心率为 4
A． 1 3
B． 1 2
C． 2 3
D． 3 4
8．（2016
年全国
III
卷）已知
O
为坐标原点，F
是椭圆
C：
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b
0) 的左焦
点，A，B 分别为 C 的左，右顶点.P 为 C 上一点，且 PF ⊥ x 轴.过点 A 的直线 l 与线段
2 | FP |=| FA | + | FB | ．
27．（2018
北京）已知椭圆 M
:
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a b 0) 的离心率为
6 ，焦距为 2 3
2 ．斜
率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A ， B ． (1)求椭圆 M 的方程；
(2)若 k = 1 ，求|AB | 的最大值；
+
y2 b2
= 1(a

b

0)
相交
于 A, B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于
．
19．（2014 辽宁）已知椭圆 C ： x2 + y2 = 1，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦 94
点的对称点分别为 A ， B ，线段 MN 的中点在 C 上，则| AN | + | BN |=
7
26．（2018 全国卷Ⅲ）已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：x2 + y2 = 1交于 A ， B 两点．线段 43
AB 的中点为 M (1, m)(m 0) ． (1)证明： k − 1 ；
2 (2)设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且 FP + FA + FB = 0 ．证明：
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设 O 为原点，直线 l : y = kx + t(t 1) 与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q，直线 AP 与 x
轴交于点 M，直线 AQ 与 x 轴交于点 N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线 l 经过定点．
2010-2019 年
一、选择题
1．(2018
B． x2 + y2 = 1 32
C． x2 + y2 = 1 43
D． x2 + y2 = 1 54
2.（2019 全国 II 文 9）若抛物线 y2=2px（p>0）的焦点是椭圆 x2 + y2 = 1的一个焦点，则 3p p
p= A．2 C．4
B．3 D．8
3.（2019 北京文 19）已知椭圆 C :
则当 m =___时，点 B 横坐标的绝对值最大．
17．（2015
浙江）椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1（ a
b

0 ）的右焦点 F (c, 0) 关于直线 y
=
b c
x 的对称
点 Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是
．
18．（2014
江西）过点 M (1,1) 作斜率为 −
1 2
的直线与椭圆 C
：
x2 a2
(3)设 P(−2, 0) ，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C ，直线 PB 与椭圆 M 的另一个
交点为 D ．若 C ， D 和点 Q(− 7 , 1) 共线，求 k ． 42
28．（2018
天津）设椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
+
y2 b2
= 1(0 b 1) 的左、右焦点，过点 F1 的
直线交椭圆 E 于 A, B 两点，若 AF1 = 3 BF1 , AF2 ⊥ x 轴，则椭圆 E 的方程为____．
22．（2013
福建）椭圆

:
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ，焦距为 2c ．若
B． 5 3
C． 2 3
D． 5 9
5．（2017
新课标Ⅲ）已知椭圆 C ：
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b
0) 的左、右顶点分别为
A1 ，
A2 ，
且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx − ay + 2ab = 0 相切，则 C 的离心率为
A． 6 3
B． 3 3
C． 2 3
D． 1 3
专题九 解析几何
第二十五讲 椭圆 2019 年
1.（2019 全国 1 文 12）已知椭圆 C 的焦点为 F1(−1, 0), F2 (1, 0) ，过 F2 的直线与 C 交于 A，B
两点.若| AF2 |= 2 | F2B | ，| AB |=| BF1 | ，则 C 的方程为
A． x2 + y2 = 1 2
A．1 − 3 2
B． 2 − 3
C． 3 −1 2
D． 3 − 1
3．(2018 上海)设 P 是椭圆 x2 + y2 = 1上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 53
A． 2 2
B． 2 3
C． 2 5
D． 4 2
4．（2017 浙江）椭圆 x2 + y2 = 1的离心率是 94
A． 13 3
PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为
A． 1 3
B． 1 2
C． 2 3
D． 3 4
9．（2015 新课标 1）已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为 1 ，E 的右焦点与抛物线 C ： 2
y2 = 8x 的焦点重合， A、B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则 AB =
直线 y = 3 ( x + c) 与椭圆 的一个交点 M 满足 MF1F2 = 2MF2F1 ，则该椭圆的离
心率等于
．
23．（2012 江西）椭圆 x2 + y2 = 1(a b 0) 的左、右顶点分别是 A, B ，左、右焦点分别 a2 b2
是 F1, F2 ．若| AF1 |,| F1F2 |,| F1B | 成等比数列，则此椭圆的离心率为_________．
13．（2013 新课标 1）已知椭圆 x2 + y2 = 1(a b 0) 的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 a2 b2
椭圆于 A、B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为
A．4x52 ＋3y62 ＝1
B．3x62 ＋2y72 ＝1
C．2x72 ＋1y82 ＝1
_______.
6.（2019 全国 II
文 20）已知 F1, F2 是椭圆 C :
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b
0) 的两个焦点，P 为 C
上
一点，O 为坐标原点．
（1）若△POF2 为等边三角形，求 C 的离心率；
（2）如果存在点 P，使得 PF1 ⊥ PF2 ，且△F1PF2 的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范
24．（2011
浙江）设 F1, F2 分别为椭圆
x2 3
+ y2
= 1的左、右焦点，点 A, B 在椭圆上，若
F1A = 5F2B ；则点 A 的坐标是
．
三、解答题
25 ．（ 2018 江 苏 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 椭 圆 C 过 点 ( 3, 1) ， 焦 点 2