第五章作业振动作业及答案

第五章作业振动作业及

答案

Revised as of 23 November 2020

第五章作业

5-1 写出本章你认为重要的知识点。

5-2质量为

kg 10103-⨯的小球与轻弹簧组成的系统，按)SI ()328cos(1.0ππ+=x 的规律作谐振动，求：

(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；

(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等?

(3)s 52=t 与s 11=t 两个时刻的位相差；

解：(1)设谐振动的标准方程为)cos(0φω+=t A x ，则知：

3/2,s 4

12,8,m 1.00πφωππω===∴==T A 又 πω8.0==A v m 1s m -⋅ 51.2=1s m -⋅

2.632==A a m ω2s m -⋅ (2) N 6

3.0==m m a F

J 1016.32

122-⨯==

m mv E J 1058.1212-⨯===E E E k p 当p k E E =时，有p E E 2=，

即 )2

1(212122kA kx ⋅= ∴ m 20

222±=±

=A x

(3) ππωφ32)15(8)(12=-=-=∆t t

5-3一个沿x 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，其振动方程用余弦函数表示．如果0=t 时质点的状态分别是：

(1)A x -=0；

(2)过平衡位置向正向运动；

(3)过2

A x =处向负向运动； (4)过2A

x -=处向正向运动．

试求出相应的初位相，并写出振动方程．

解：因为 ⎩⎨⎧-==00

00sin cos φωφA v A x 将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有

)2cos(1πππ

φ+==t T A x )232cos(232πππ

φ+==t T A x )32cos(33πππφ+==

t T A x )4

52cos(454πππ

φ+==t T A x 5-4一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为

⎪⎩

⎪⎨⎧-=+=m )652cos(3.0m )62cos(4.021ππt x t x

试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。 解：∵ πππφ=-

-=∆)6

5(6 ∴ m 1.021=-=A A A 合

3365cos 3.06cos 4.065sin 3.06sin 4.0cos cos sin sin tan 22122211=+-⨯=++=πππ

π

φφφφφA A A A ∴ 6πφ=

其振动方程为 m )6

2cos(1.0π

+=t x 5-5 图为两个谐振动的t x -曲线，试分别写出其谐振动方程．

题图

解：由题图(a)，∵0=t 时，

s 2,cm 10,,2

3,0,0000===∴>=T A v x 又πφ 即 1s rad 2-⋅==ππωT

故 m )2

3cos(1.0ππ+=t x a

由题图(b)∵0=t 时，3

5,0,2000πφ=∴>=v A x 01=t 时，22,0,0111π

πφ+=∴<=v x

又 ππωφ2

53511=+⨯= ∴ πω6

5= 故 m t x b )3

565cos(1.0ππ+= 5-6一轻弹簧的倔强系数为k ，其下端悬有一质量为M 的盘子．现有一质量为m 的物体从离盘底h 高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动．

(1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同

(2)此时的振动振幅多大

(3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程．

解：(1)空盘的振动周期为k M π

2，落下重物后振动周期为k m M +π

2，即增大． (2)按(3)所设坐标原点及计时起点，0=t 时，则k

mg x -

=0．碰撞时，以M m ,为一系统动量守恒，即 0)(2v M m gh m +=

则有 M

m gh m v +=20 于是 g

M m kh k mg M m gh m k mg v x A )(21))(2()()(2222

02

0++=++=+=ω

（3）g

m M kh x v )(2tan 000+=-=ωφ (第三象限)，所以振动方程为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=g m M kh t M m k g

M m kh k mg x )(2arctan cos )(21