浙江师范大学《微分几何》(期末考试)试卷

浙江师范大学《微分几何》（期末考试）试卷

（2004-2005学年第一学期）

考试类别： 考试 使用学生： 初阳学院数学专业02、03级

考试时间：150分钟 出卷时间2004年12月21日

说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理.

一（10%）是非题（正确打√，错误打×）

1、等距变换一定是保角变换.

2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.

3、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线.

4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.

5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量.

二（33%）填空题

1、已知33{cos ,sin ,cos2}r x x x = ，02

x π<<，则α= ① ，β= ② ， γ= ③ ，κ= ④ ，τ= ⑤ .

2、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v = ，0u >，02

v π≤<，则它的第一基本形式为 ⑥ ，第二基本形式为 ⑦ ，高斯曲率K = ⑧ ，平均曲率 H = ⑨ ，点(1,0,0)处沿方向:2du dv =的法曲率 ⑩ ，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为 ○11 .

三（24%）计算题

1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.

2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地曲率.

四（33%）综合题

1、设空间两条曲线Γ和C 的曲率处处不为零，若曲线Γ和C 可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角.

2、给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.

3、问曲面上曲线Γ的切向量沿曲线Γ本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线Γ是测地线吗？为什么？