九年级上册圆 几何综合单元培优测试卷
九年级上册圆 几何综合单元培优测试卷
一、初三数学 圆易错题压轴题（难）
1．已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AD 2=，AB BC CD 6===，动点P 在
射线BA 上，以BP 为半径的
P 交边BC 于点E （点E 与点C 不重合），联结PE 、
PC ，设x BP =，PC y =.
（1）求证：PE //DC ；
（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；
（3）联结PD ，当PDC B ∠=∠时，以D 为圆心半径为R 的D 与P 相交，求R 的取
值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）2436(09)y x x x =-+<<；（3）3605
R <<
【解析】 【分析】
()1根据梯形的性质得到B DCB ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到B PEB ∠∠=，根据
平行线的判定定理即可得到结论；
()2分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、.G 推出四边形ADGF 是矩形，
//PH AF ，求得2BF FG GC ===，根据勾股定理得到
22226242AF AB BF =-=-=，根据平行线分线段成比例定理得到
223PH x =
，13BH x =，求得1
63
CH x =-，根据勾股定理即可得到结论； ()3作//EM PD 交DC 于.M 推出四边形PDME 是平行四边形.得到PE DM x ==，即 6MC x =-，根据相似三角形的性质得到1218
655
PD EC ==-=，根据相切两圆的性质即可得到结论． 【详解】
()
1证明：梯形ABCD ，AB CD =，
B DCB ∠∠∴=，
PB PE =， B PEB ∠∠∴=， DCB PEB ∠∠∴=，
//PE CD ∴；
()2解：分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、G ．
梯形ABCD 中，//AD BC ， ，BC DG ⊥，BC PH ⊥，
∴四边形ADGF 是矩形，//PH AF ，
2AD =，6BC DC ==， 2BF FG GC ∴===，
在Rt ABF 中，
22226242AF AB BF =-=-=，
//PH AF ，
PH BP BH
AF AB BF
∴
==6242x BH ==，
223PH x ∴=
，1
3
BH x =， 1
63
CH x ∴=-，
在Rt PHC 中，22PC PH CH =
+
22221
(
)(6)33
y x x ∴=+-2436(09)y x x x =-+<<， ()3解：作//EM PD 交DC 于M ．
//PE DC ，
∴四边形PDME 是平行四边形．
PE DM x ∴==，即 6MC x =-，
PD ME ∴=，PDC EMC ∠∠=， 又PDC B ∠∠=，B DCB ∠=∠， DCB EMC PBE PEB ∠∠∠∠∴===． PBE ∴∽ECM ，
PB BE EC MC ∴=
，即232663
x
x x x =--， 解得：18
5x =，
即12
5
BE =，
1218655
PD EC ∴==-
=， 当两圆外切时，PD r R =+，即0(R =舍去)； 当两圆内切时，-PD r R =，即10(R =舍去)，236
5
R =； 即两圆相交时，3605
R <<． 【点睛】
本题属于圆综合题，梯形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.
2．四边形ABCD 内接于⊙O ，连接AC 、BD ，2∠BDC +∠ADB ＝180°．
（1）如图1，求证：AC ＝BC ；
（2）如图2，E 为⊙O 上一点，AE ＝BE ，F 为AC 上一点，DE 与BF 相交于点T ，连接AT ，若∠BFC ＝∠BDC +
1
2
∠ABD ，求证：AT 平分∠DAB ； （3）在（2）的条件下，DT ＝TE ，AD ＝8，BD ＝12，求DE 的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2 【解析】 【分析】
（1）只要证明∠CAB=∠CBA 即可．
（2）如图2中，作TH ⊥AD 于H ，TR ⊥BD 于R ，TL ⊥AB 于L ．想办法证明TL=TH 即可解决问题．
（3）如图3中，连接EA ，EB ，作EG ⊥AB ，TH ⊥AD 于H ，TR ⊥BD 于R ，TL ⊥AB 于
L，AQ⊥BD于Q．证明△EAG≌△TDH（AAS），推出AG=DH，证明
Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），推出DH=DR，同理可得AL=AH，BR=BL，设DH=x，则AB=2x，
由S△ADB=1
2
?BD?AQ=
1
2
?AD?h+
1
2
?AB?h+
1
2
?DB?h，可得AQ=
5
2
h，再根据
sin∠BDE=sin∠ADE，sin∠AED=sin∠ABD，构建方程组求出m即可解决问题．【详解】
解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
即∠ADB+∠BDC+∠ABC＝180°，
∵2∠BDC+∠ADB＝180°，
∴∠ABC＝∠BDC，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC．
（2）如图2中，作TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．
∵∠BFC＝∠BAC+∠ABF，∠BAC＝∠BDC，
∴∠BFC＝∠BDC+∠ABF，
∵∠BFC＝∠BDC+1
2
∠ABD，
∴∠ABF＝1
2
∠ABD，
∴BT平分∠ABD，∵AE＝BE
∴∠ADE＝∠BDE，
∴DT平分∠ADB，
∵TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．
∴TR＝TL，TR＝TH，
∴TL＝TH，
∴AT平分∠DAB．
（3）如图3中，连接EA，EB，作EG⊥AB，TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L，AQ⊥BD于Q．
∵AE＝BE
∴∠EAB＝∠EDB＝∠EDA，AE＝BE，
∵∠TAE＝∠EAB+∠TAB，∠ATE＝∠EDA+∠DAT，
∴∠TAE＝∠ATE，
∴AE＝TE，
∵DT＝TE，
∴AE＝DT，
∵∠AGE＝∠DHT＝90°，
∴△EAG≌△TDH（AAS），
∴AG＝DH，
∵AE＝EB，EG⊥AB，
∴AG＝BG，
∴2DH＝AB，
∵Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），
∴DH＝DR，同理可得AL=AH，BR＝BL，
设DH＝x，则AB＝2x，
∵AD＝8，DB＝12，
∴AL＝AH＝8﹣x，BR＝12﹣x，AB＝2x＝8﹣x+12﹣x，
∴x＝5，
∴DH＝5，AB＝10，
设TR＝TL＝TH＝h，DT＝m，
∵S△ADB=1
2
?BD?AQ=
1
2
?AD?h+
1
2
?AB?h+
1
2
?DB?h，
∴12AQ＝（8+12+10）h，
∴AQ＝5
2 h，
∵sin∠BDE＝sin∠ADE
，可得h
m
＝
AP
AD
＝
AP
8
，
sin∠AED＝sin∠ABD，可得AP
m
＝
AQ
AB
＝
AQ
10
＝
5
2
10
h
，
∴AP
m
＝
5
28
10
mAP
，
解得m＝42或﹣42（舍弃），
∴DE＝2m＝82．
【点睛】
本题属于圆综合题，考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理和判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．
3．如图，点A在直线l上，点Q沿着直线l以3厘米/秒的速度由点A向右运动，以AQ为
边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，tan∠ABQ= 3
4
，点C在点Q右侧，CQ=1厘米，过点C作直
线m⊥l，过△ABQ的外接圆圆心O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上
取点F，使DF=1
3
CD，以DE、DF为邻边作矩形DEGF．设运动时间为t秒．
（1）直接用含t的代数式表示BQ、DF；
（2）当0＜t＜1时，求矩形DEGF的最大面积；
（3）点Q在整个运动过程中，当矩形DEGF为正方形时，求t的值．
【答案】（1）BQ=5t，DF=2
3
t;（2）
1
6
;（3）t的值为
3
5
或3．
【解析】
试题分析：（1）AB与OD交于点H ，根据题中的比例关系和勾股定理可表示出BQ的长；根据垂直于同一条直线的两直线平行和三角形的中位线定理可求得AH的长，再根据矩形的判定定理和矩形的性质可求CD的长，即可表示出FD；
（2）根据题意表示出矩形的长和宽，然后构造二次函数，通过二次函数的最值可求解；（3）当矩形为正方形时，分别让其长与宽相等，列方程求解即可.
试题解析：（1）5t BQ =，2
DF=
t 3
； （2）DE=OD-OE=32t+1-52t=1-t ，()2
2211
·t 13326
S DF DE t t ??==-=--+ ???，∴当t=
12时，矩形DEGF 的最大面积为
1
6
； （3）当矩形DEGF 为正方形时，221133t t t t -=
-=或,解得3
35
t t ==或.
4．如图①、②、③是两个半径都等于2的⊙O 1和⊙O 2，由重合状态沿水平方向运动到互相外切过程中的三个位置，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，分别连结O 1A 、O 1B 、O 2A 、O 2B 和AB ．
(1)如图②，当∠AO 1B =120°时，求两圆重叠部分图形的周长l ；
(2)设∠AO 1B 的度数为x ，两圆重叠部分图形的周长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)在(2)中，当重叠部分图形的周长时，则线段O 2A 所在的直线与⊙O 1有何位置关
系？请说明理由.除此之外，它们是否还有其它的位置关系？如果有，请直接写出其它位置
关系时的x 的取值范
围.
【答案】（1）
83
π
（2）（0≤x ≤180） （3）O 2A 与⊙O 1相切；当0≤x ≤90和
0≤x ≤180时，线段O 2A 所在的直线与⊙O 1相交 【解析】
试题分析：（1）解法一、依对称性得，∠AO 2B =∠AO 1B =120°, ∴
解法二、∵O 1A=O 1B=O 2A=O 2B
∴AO 1BO 2是菱形 ∴∠AO 2B =∠AO 1B =120° ∴l =2×?A
=
(2)∵由（1）知，菱形AO 1BO 2中∠AO 2B =∠AO 1B=x 度, ∴重叠图形的周长, 即
（0≤x ≤180）
(3) 当
时，线段O 2A 所在的直线与⊙O 1相切！
理由如下：∵，由（2）可知：，解之x=90度
∴AO1B=90°,因此菱形AO1BO2是正方形，∴O1AO2=90°,即O2A⊥O1A,
而O1A是⊙O1的半径，且A为半径之外端；∴O2A与⊙O1相切．
还有如下位置关系：当0≤x≤90和0≤x≤180时，线段O2A所在的直线与⊙O1相交
考点：直线与圆的位置关系
点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握判定直线与圆的位置关系是解本题的关键，会求函数的解析式，本题难度比较大
5．如图1，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接
FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝1
3
，BC＝8．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径OC；
（3）如图2，⊙O的弦AH经过半径OC的中点F，连结BH交弦CD于点M，连结FM，试求出FM的长和△AOF的面积．
【答案】（1）见解析；（2）3233
2
2
32
【解析】【分析】
（1）由DF=2OD，得到OF=3OD=3OC，求得
1
3
OE OC
OC OF
==，推出△COE∽△FOE，根据相
似三角形的性质得到∠OCF=∠DEC=90°，于是得到CF是⊙O的切线；
（2）利用三角函数值，设OE=x，OC=3x，得到CE=3，根据勾股定理即可得到答案；（3）连接BD，根据圆周角定理得到角相等，然后证明△AOF∽△BDM，由相似三角形的性质，得到FM为中位线，即可求出FM的长度，由相似三角形的性质，以及中线分三角形的面积为两半，即可求出面积.
【详解】
解：（1）∵DF＝2OD，
∴OF＝3OD＝3OC，
∴
1
3OE OC OC OF ==， ∵∠COE ＝∠FOC ， ∴△COE ∽△FOE ，
∴∠OCF ＝∠DEC ＝90°， ∴CF 是⊙O 的切线； （2）∵∠COD ＝∠BAC ， ∴cos ∠BAC ＝cos ∠COE ＝1
3
OE OC =， ∴设OE ＝x ，OC ＝3x ， ∵BC ＝8， ∴CE ＝4， ∵CE ⊥AD ， ∴OE 2+CE 2＝OC 2， ∴x 2+42＝9x 2，
∴x ＝2（负值已舍去）， ∴OC ＝3x ＝32， ∴⊙O 的半径OC 为32； （3）如图，连结BD ，
由圆周角定理，则∠OAF=∠DBM ，2AOF ADC ∠=∠， ∵BC ⊥AD ， ∴AC AB =， ∴∠ADC=∠ADB ，
∴2AOF ADC BDM ∠=∠=∠， ∴△AOF ∽△BDM ； ∵点F 是OC 的中点， ∴AO ：OF=BD ：DM=2， 又∵BD=DC ， ∴DM=CM ， ∴FM 为中位线，
∴FM=3
2 2
，
∴S△AOF: S△BDM=(32:26)2
3
4 =；
∵
11111
8(322)42 22222
BDM BCD
S S BC DE
??
==??=???-=；
∴S△AOF=
3
42
4
?=32；
【点睛】
本题考查了圆的综合问题，圆周角定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用勾股定理求边长，以及三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，运用属性结合的思想进行解题.
6．四边形ABCD内接于⊙O，AC为对角线，∠ACB＝∠ACD
（1）如图1，求证：AB＝AD；
（2）如图2，点E在AB弧上，DE交AC于点F，连接BE，BE＝DF，求证：DF＝DC；（3）如图3，在（2）的条件下，点G在BC弧上，连接DG，交CE于点H，连接GE，GF，若DE＝BC，EG＝GH＝5，S△DFG＝9，求BC边的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（370
【解析】
【分析】
（1）如图1，连接OA，OB，OD，由∠ACB＝∠ACD，可得AD AB，可得AB＝AD；（2）连接AE，由“SAS”可证△ABE≌△ADF，可得∠BAE＝∠DAC，可证BE＝CD＝DF；（3）如图3，过点F作FN⊥GD于N，过点C作CM⊥GD于M，连接GC，通过证明
△FDN≌△DCM，可得FN＝DM，CM＝DN，由面积公式可求FN＝2，DM＝2，DH＝4，通
过证明△EGC∽△DMC，△GEH∽△CHD，可得EC＝5
2
CD，CD2＝
40
3
，由勾股定理可求
解．
【详解】
证明：（1）如图1，连接OA，OB，OD，
∵∠ACB＝∠ACD，∠AOD＝2∠ACD，∠AOB＝2∠ACB
∴∠AOD＝∠AOB
∴AD AB
∴AD＝AB；
（2）如图2，连接AE，
∵AE AE
∴∠ABE＝∠ADE
在△ABE和△ADF中
AB AD
ABE ADF
BE DF
∴△ABE≌△ADF（SAS）
∴∠BAE＝∠DAC
∴BE CD
∴BE＝DC
∵BE＝DF
∴DF＝DC；
（3）如图3，过点F作FN⊥GD于N，过点C作CM⊥GD于M，连接GC，
∵DE＝BC，BE＝CD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴∠EBC＝∠EDC，
∵四边形BEDC是圆内接四边形，
∴∠EBC+∠EDC＝180°，
∴∠EDC＝∠EBC＝90°，
∴EC是直径，
∴∠FGC＝∠EDC＝90°
∴∠FDN+∠MDC＝90°，且∠MDC+∠MCD＝90°，
∴∠FDN＝∠MCD，且∠FND＝∠CMD＝90°，DF＝DC，∴△FDN≌△DCM（AAS）
∴FN＝DM，CM＝DN，
∵EG＝GH＝5，
∴∠GEH＝∠GHE，且∠GHE＝∠DHC，∠GEH＝∠GDC，∴∠HDC＝∠CHD，
∴CH＝CD，且CM⊥DH，
∴DM＝MH＝FN，
∵S△DFG＝9，
∴1
2
DG×FN＝9，
∴1
2
×（5+2FN）×FN＝9，
∴FN＝2，
∴DM＝2，DH＝4，
∵∠GEC＝∠GDC，∠EGC＝∠DMC，∴△EGC∽△DMC，
∴
5
2 EC EG
CD DM
，
∴EC＝5
2
CD，且HC＝CD，
∴EH ＝
3
2
CD ， ∵∠EGD ＝∠ECD ，∠GEC ＝∠GDC ， ∴△GEH ∽△CHD ， ∴EG EH
CH
DH
， ∴35
24
CD
CD
， ∴2
403
CD ， ∵EC 2﹣CD 2＝DE 2， ∴22
2254
CD CD DE ，
∴
2214043
DE ，
∴DE ＝70 ∴BC ＝70 【点睛】
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的难点．
7．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝
1
3
，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．
【答案】（1）作图见解析；（2）PQ 长最短是1.2；（3）四边形ADCF 面积最大值是
81313
+81313-
【解析】
【分析】
（1）连接线段OP 交⊙C 于A ，点A 即为所求；
（2）过C 作CP ⊥AB 于Q ，P ，交⊙C 于Q ，这时PQ 最短，根据勾股定理以及三角形的面积公式即可求出其最小值；
（3）△ACF 的面积有最大和最小值，取AB 的中点G ，连接FG ，DE ，证明△FAG ～△EAD ，进而证明点F 在以G 为圆心1为半径的圆上运动，过G 作GH ⊥AC 于H ，交⊙G 于F 1，GH 反向延长线交⊙G 于F 2，①当F 在F 1时，△ACF 面积最小，分别求出△ACD 的面积和△ACF 的面积的最小值即可得出四边形ADCF 的面积的最小值；②当F 在F 2时，四边形ADCF 的面积有最大值，在⊙G 上任取异于点F 2的点P ，作PM ⊥AC 于M ，作GN ⊥PM 于N ，利用矩形的判定与性质以及三角形的面积公式即可得出得出四边形ADCF 的面积的最大值． 【详解】
解：（1）连接线段OP 交⊙C 于A ，点A 即为所求，如图1所示；
（2）过C 作CP ⊥AB 于Q ，P ，交⊙C 于Q ，这时PQ 最短．
理由：分别在线段AB ，⊙C 上任取点P '，点Q '，连接P '，Q '，CQ '，如图2，
由于CP ⊥AB ，根据垂线段最短，CP ≤CQ '+P 'Q '， ∴CO +PQ ≤CQ '+P 'Q '， 又∵CQ ＝CQ '，
∴PQ ＜P 'Q '，即PQ 最短． 在Rt △ABC 中2
2
2
2
8610AB AC BC =+=+=，11
22
ABC S AC BC AB CP ?=
?=?， ∴68
4.810
AC BC CP AB ??=
==， ∴PQ ＝CP ﹣CQ ＝6.8﹣3.6＝1.2， ∴22226 4.8 3.6BP BC CP -=-=．
当P 在点B 左侧3.6米处时，PQ 长最短是1.2． （3）△ACF 的面积有最大和最小值． 如图3，取AB 的中点G ，连接FG ，DE ．
∵∠EAF ＝90°，1tan 3
AEF ∠=， ∴
1
3
AF AE = ∵AB ＝6，AG ＝GB ， ∴AC ＝GB ＝3， 又∵AD ＝9， ∴31
93AG AD ==， ∴
D
AF AE AG
A = ∵∠BAD ＝∠
B ＝∠EAF ＝90°， ∴∠FAG ＝∠EAD ， ∴△FAG ～△EAD ， ∴
1
3
FG AF DE AE ==， ∵DE ＝3， ∴FG ＝1，
∴点F 在以G 为圆心1为半径的圆上运动， 连接AC ，则△ACD 的面积＝6
92722
CD AD ?
=?=， 过G 作GH ⊥AC 于H ，交⊙G 于F 1，GH 反向延长线交⊙G 于F 2，
①当F 在F 1时，△ACF 面积最小．理由：由（2）知，当F 在F 1时，F 1H 最短，这时△ACF 的边AC 上的高最小，所以△ACF 面积有最小值， 在Rt △ABC 中，222269313AC AB BC =+=+=∴313sin 313BC BAC AC ∠=
==
在Rt △ACH 中，313913
sin 31313
GH AG BAC =?∠=?=
， ∴11913
1F H GH GF =-=
-，
∴△ACF 面积有最小值是：
11191327313
313(1)22132
AC F H -?=??-=
； ∴四边形ADCF 面积最小值是：2731381313
27--+
=
； ②当F 在F 2时，F 2H 最大理由：在⊙G 上任取异于点F 2的点P ，作PM ⊥AC 于M ，作GN ⊥PM 于N ，连接PG ，则四边形GHMN 是矩形， ∴GH ＝MN ，
在Rt △GNP 中，∠NGF 2＝90°， ∴PG ＞PN ， 又∵F 2G ＝PG ，
∴F 2G +GH ＞PN +MN ，即F 2H ＞PM ， ∴F 2H 是△ACF 的边AC 上的最大高， ∴面积有最大值， ∵22913
1F H GH GF =+=
+， ∴△ACF 面积有最大值是
21191327313
313(1)22AC F H +?=??+=
； ∴四边形ADCF 面积最大值是2731381313
2722
+++
=
； 综上所述，四边形ADCF 面积最大值是81313
+，最小值是81313-．
【点睛】
本题为圆的综合题，考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
8．△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，BD ⊥AC ，垂足为点D ，交⊙O 于点E ，连接AE ．
（1）如图1，求证：∠BAC=2∠CAE ；
（2）如图2，射线AO 交线段BD 于点F ，交BC 边于点G ，连接CE ，求证：BF=CE ； （3）如图3，在（2）的条件下，连接CO 并延长，交线段BD 于点H ，交⊙O 于点M ，连接FM ，交AB 边于点N ，若BH=DH ，四边形BHOG 的面积为2，求线段MN 的长．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）6
MN
【解析】
【分析】
（1）先依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证明∠BAC+2∠C=180°，然后得到
2∠CAE+2∠E=180°，然后根据同弧所对的圆周角相等得到∠E=∠C，即可得到结论；
（2）连接OB、OC．先依据SSS证明△ABO≌△ACO，从而得到∠BAO=∠CAO，然后在依据ASA证明△ABF≌△ACE，最后根据全等三角形的性质可证明BF=CE；
（3）连接HG、BM．由三线合一的性质证明BG=CG，从而得到HG是△BCD的中位线，则∠FHO=∠AFD=∠HFO，于是可得到HO=OF，然后得到∠OGH=∠OHG，从而得到OH=OG，则OF=OG，接下来证明四边形MFGB是矩形，然后由MF∥BC证明△MFH∽△CBH，从而可证明HF=FD．接下来再证明△ADF≌△GHF，由全等三角形的性质的到AF=FG，然后再证明△MNB≌△NAF，于是得到MN=NF．设S△OHF=S△OHG=a，则S△FHG=2a，S△BHG=4a，然后由S四边形BHOG
=52，可求得a=2，设HF=x，则BH=2x，然后证明△GFH∽△BFG，由相似三角形
的性质可得到HG=2x，然后依据S△BHG=1
2
BH?HG=42，可求得x=2，故此可得到HB、
GH的长，然后依据勾股定理可求得BG的长，于是容易求得MN的长．【详解】
解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∴∠BAC+2∠C=180°．
∵BD⊥AC，
∴∠ADE=90°．
∴∠E+∠CAE=90°．
∴2∠CAE+2∠E=180°．
∵∠E=∠ACB，
∴2∠CAE+2∠ACB=180°．
∴∠BAC=2∠CAE．
（2）连接OB、OC．
∵AB=AC，AO=AO，OB=OC，
∴△ABO≌△ACO．
∴∠BAO=∠CAO．
∵∠BAC=2∠CAE，
∴∠BAO=∠CAE．
在△ABF和△ACE中，
ABF ACE
AB AC
BAF CAE
∠=∠
?
?
=
?
?∠=∠
?
，
∴△ABF≌△ACE．
∴BF=CE．
（3）连接HG、BM．
∵AB=AC，∠BAO=∠CAO，
∴AG⊥BC，BG=CG．
∵BH=DH，
∴HG是△BCD的中位线．
∴HG∥CD．
∴∠GHF=∠CDE=90°．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵∠OAC+∠AFD=90°，∠OCA+∠FHO=90°，∴∠FHO=∠AFD=∠HFO．
∴HO=OF．
∵∠HFO+∠OGH=90°，∠OHF+∠OHG=90°，∴∠OGH=∠OHG．
∴OH=OG．
∴OF=OG．
∵OM=OC，
∴四边形MFCG是平行四边形．
又∵MC是圆O的直径，
∴∠CBM=90°．
∴四边形MFGB是矩形．
∴MB=FG，∠FMB=∠AFN=90°．
∵MF∥BC，
∴△MFH∽△CBH．
∴
1
2HF MF BH CB ==． ∴HF ：HD=1：2． ∴HF=FD ．
在△ADF 和△GHF 中，
AFD GFH ADF GHF FH FD ∠=∠??
∠=∠??=?
， ∴△ADF ≌△GHF ． ∴AF=FG ． ∴MB=AF ．
在△MNB 和△NAF 中，
90BMF AFN ANF BNM MB AF ∠=∠=???
∠=∠??=?
， ∴△MNB ≌△NAF ． ∴MN=NF ．
设S △OHF =S △OHG =a ，则S △FHG =2a ，S △BHG =4a ， ∴S 四边形BHOG
． ∴
． 设HF=x ，则BH=2x ．
∵∠HHG=∠GFB ，∠GHF=∠FGB ， ∴△GFH ∽△BFG ． ∴
HF GH HG BH =，即2x HG
HG x
=． ∴
． ∴S △BHG =
12BH?HG=1
2
， 解得：x=2． ∴HB=4，
． 由勾股定理可知：
． ∴
． ∴
． 【点睛】
本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判断、勾股定理的应用、矩形的性质和判定，找出图中相似三角形和全等三角形是解题的关键．
9．如图，在
O 中，AB 为直径，过点A 的直线l 与O 相交于点C ，D 是弦CA 延长线
上一点，BAC ∠，BAD ∠的平分线与
O 分别相交于点E ，F ，G 是BF 的中点，过点
G 作MN AE ，与AF ，EB 的延长线分别交于点M ，N ．
（1）求证：MN 是O 的切线；
（2）若24AE =，18AM =．
①求
O 的半径；
②连接MC ，求tan MCD ∠的值． 【答案】（1）见解析；（2）①13；②2741
【解析】 【分析】
（1）如图1，连接 GO 、GA ，先根据角平分线的定义证明∠MAE=
1
2
（∠BAC+∠BAD ）=90°，由圆周角定理和同圆的半径相等得∠OGA=∠FAG ，则OG ∥AM ，所以∠MGO=180-∠M=90，从而得结论；
（2）①延长GO 交AE 于点P ，证明四边形 MGPA 为矩形，得GP=MA=18，∠GPA=90°，设OA=OG=r ，则OP=18-r ，根据勾股定理列方程解出即可；
②如图3，过M 作MH ⊥l ，连接BC ，延长NE 交l 于I ，连接GO 交延长交AE 于P ，tan ∠MAH=tan ∠ABE=tan ∠BIA=
12
5
，BI=2BE=20，根据三角函数计算MH ，AH ，CI 的长，最后计算MH 和HC 的长，代入tan ∠MCD=MH
HC
，可得结论． 【详解】
（1）证明：如图1，连接GO ，GA ，
人教数学圆的综合的专项培优易错试卷练习题(含答案)附答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x =于点M，BC边交x轴于点N（如图）. （1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积； （2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数； （3）设MBN ?的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论. 【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析 【解析】 试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积； （2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数； （3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子． 试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°， ∴OA旋转了45°． ∴OA在旋转过程中所扫过的面积为 2 452 3602ππ ? =． （2）∵MN∥AC， ∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°． ∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN． 又∵BA=BC，∴AM=CN． 又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN． ∴∠AOM=∠CON=1 2（∠AOC-∠MON）= 1 2 （90°-45°）=22.5°． ∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化． 证明：延长BA交y轴于E点， 则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM， ∴∠AOE=∠CON． 又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
圆培优题
六年级上册圆培优题 圆 ?易错题 1、两个圆的半径比是2:3，他们的直径比是（ ），周长比是（ ）。 2、一个圆的直径扩大到原来的2倍，它的半径就扩大到原来（ ）倍，它的周长扩大到原来的（ ）倍。 3、一座石英钟的时针长6cm ，经过6小时，这时针的尖端所走的路程是（ ）cm ，经过12小时，这时针的尖端所走的路程是（ ）cm 4、周长相等的正方形，长方形和圆，面积最大的是（ ），最小的是（ ）。 5、将一个圆，沿半径剪开，得到若干个小扇形，然后拼成一个近似的长方形。这个长方形的长是圆的（ ），宽是圆的（ ）。如果这个长方形的宽是3cm ，那么这个长方形的长是（ ）cm,周长是（ ）cm ，面积是（ ）平方厘米。如果拼成的长方形的长为12.56dm ，那么原来圆的面积是（ ）cm 2 6、小圆的半径是大圆半径的3 1，小圆的面积是大圆面积的（ ）。 7、一张正方形的周长是16分米，把它剪成一个最大的圆，剪去部分的面积是（ ）平方分米。 8、有一半圆的周长是25.7cm ，它的面积是（ ）平方厘米。 9、在一块直径是1.2米的圆形桌布周围缝在一条花边，接头处长6厘米，这条花边长（ ）米。 10、用一根12.56dm 长的铁丝弯成一个圆形铁环，这个铁环的直径是（ ）dm ，面积是（ ）dm 2 求阴影部分的面积与周长
例1、求下面图形中阴影部分的面积与周长。 练2、.如图，四个扇形的半径相等， 3、如图所示，正方形的面积是18dm2，求阴影部分的面积。(单位:厘米) 求圆的面积。
4、.如图，大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米求阴影部分的面积。 5、求阴影部分的面积。(单位:厘米) 半圆的周长 例1、有一个半圆形的零件如图所示，周长是25.7厘米，求这个半圆形零件的面积。 练1、如图所示，这个四分之一园的周长是17.85厘米，求它的面积。
最新圆的专项培优练习题及答案
《圆》的专项培优练习题 1．如图一，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是EB的中点，则下列结论不成 立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三2．如图二，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．C．6 D． 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P 作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD 与⊙O的位置关系，并说明理由。 9．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA 的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2． 求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线． 圆培优竞赛 1．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（） A 5 13 12 ． 12 5 C 3 13 5 D 2 13 3 【答案】B． 【解析】 试题分析：如答图，连接PO，AO，取AO中点G，连接AG，过点A作AH⊥PO于点H，∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E， ∴PA=PB，CA=CE，DB=DE，∠APO=∠BPO，∠OAP=90o. ∵△PCD的周长等于3r，∴PA=PB=3 r 2 . ∵⊙O的半径为r，∴在Rt△APO中，由勾股定理得 2 2 313 PO t r 2 ?? =+= ? ?? . ∴ 13 GO=. ∵∠OHA=∠OAP=90o, ∠HOA=∠AOP,∴△HOA∽△AOP. ∴AH OH OA PA OA OP ==,即 AH OH 3r13 r r 2 == ∴ 313213 AH OH=.∴ 13213513 GH GO OH =--. ∵∠AGH=2∠APO=∠APB, ∴ AH12 tan APB tan AGH G 313 13 513 r H5∠=∠===. 故选B． 考点：1.切线的性质；2.切线长定理；3.勾股定理；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.直角三角形斜边上中线的性质；7.转换思想的应用. 2．如图，以PQ=2r(r∈Q)为直径的圆与一个以R(R∈Q)为半径的圆相切于点P.正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与边CD切于点Q.若正方形的边长为有理数，则R、r的值可能是( ). =5，r=2 =4，r=3/2 =4，r=2 =5，r=3/2 【答案】D 【解析】 本题考查圆和勾股定理的综合应用，在竞赛思维训练中有典型意义。 可以将选项中的数据代入圆中，看是否满足条件。 做圆心O 和正方形中心O。设正方形边长为a。设AB中点为H，连接OH并延长，交大圆于点J 圆有关知识练习 1.半圆周长为25.7厘米，半径是（）分米，面积是（）平方分米。 2.圆周长是直径的（）倍。 3.半径是3厘米的半个圆周长是（），直径是3厘米的半圆周长是（）。 4.圆半径扩大5倍，直径扩大（）倍，面积扩大（）倍。 5.挂表的分针长10厘米，从8：00到12：00分钟走了（）厘米，时针走了（）圈。 6.（）决定圆的位置，（）决定圆的大小。 7.圆有（）对称轴。 二、请你来当小裁判。 1、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。（） 2、当圆的半径等于2分米时，这个圆的周长和面积相等。（） 3、一个圆的面积和一个正方形的面积相等,它们的周长一定也相等. ( ) 4、同一个圆的直径一定是半径的2倍。（） 5、两端都在圆上的线段，直径是最长的一条。（） 6、半圆的周长是圆周长的一半。（） 三、选一选。（选择正确答案的序号填在括号里） 1、圆周率π（）3.14。A、大于B、等于C、小于 2、下面各图形中，对称轴最多的是（）。A、等腰三角形B、正方形C、圆 3、一个圆的周长是31.4分米，这个圆的面积是（）分米2。 A、314 B、78.5 C、15.7 4、一个半圆，半径是r，它的周长是（）。 A、πr + 2r B、πr C、π/4 5、周长相等的正方形、长方形和圆，（）的面积最大。 A、正方形 B、长方形 C、圆 四．解决问题 （1）电视塔的圆形塔底半径为15米，现在要在它的周围种上5米宽的环形草坪（如下图）： ①需要多少平方米的草坪? ②如果每平方米草坪需用50元，那么植这块草坪至少需要多少元? （2）已知以圆的半径为边长的正方形的面积是20平方厘米。求阴影面积。 （3）有一根6厘米长的绳子，它的一端固定在长是2厘米、宽是1厘米的长方形的一个顶点A处（如图），让绳子另一端C与边AB在一条线上，然后把它按顺时针方向绕长方形一周，绳子扫过的面积是多少？ （4）有三个面积都是6平方厘米的圆，两两相交（如图），交点都在圆心上。求阴影部分 面积。 第4题 第5题 第6题 第1题 第2题 第3题 圆的培优专题1——与圆有关的角度计算 一 运用辅助圆求角度 1、如图，△ABC 内有一点D ，DA ＝DB ＝DC ，若∠DAB ＝20?，∠DAC ＝30?， 则∠BDC ＝ . 2、如图，AE ＝BE ＝DE ＝BC ＝DC ，若∠C ＝100?，则∠BAD ＝ . 3、如图，四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝20?，∠BDC ＝30?，则 ∠BAD ＝ . 解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！ 4、如图，□ABCD 中，点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点，若∠D ＝60?， 则∠AEC ＝ . 5、如图，O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70?， 则∠DAO ＋∠DCO ＝ . 6、如图，四边形ABCD 中，∠ACB ＝∠ADB ＝90?，∠ADC ＝25?，则∠ABC ＝ . 解题策略：第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到ACBD 共圆. 第10题 第11题 第12题 第7题 第8题 第9题 二 运用圆周角和圆心角相互转化求角度 7、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AB 的中点，D 为半圆AB 上一点，则∠ADC ＝ . 8、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 过OA 的中点E 并垂直于OA ，则∠ABC ＝ . 9、如图，AB 为⊙O 的直径，3BC AC =，则∠ABC ＝ . 解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！ 10、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC ＝50?，则∠ADC ＝ . 11、如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝2，弦AC ＝3，则∠BOC ＝ . 12、如图，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 过圆心O ，若AC CD =，∠P ＝30?， 则∠BDC ＝ . （设∠ADC ＝x ，即可展开解决问题） 解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形——等腰三角形或直角三角形或等腰 直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！ 圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！ 九年级上册数学《圆》专项训练 一、选择题（每小题3分，共33分） 1．（2005·资阳）若⊙O 所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最 小距离为b（a>b），则此圆的半径为（） A． 2 b a+ B． 2 b a- C． 2 2 b a b a- + 或D．b a b a- +或 2．（2005·浙江）如图24—A—1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（） A．4 B．6 C．7 D．8 3．已知点O为△ABC的外心，若∠A=80°，则∠BOC的度数为（） A．40°B．80°C．160°D．120° 4．如图24—A—2，△ABC内接于⊙O，若∠A=40°，则∠OBC的度数为（） A．20°B．40°C．50°D．70° 5．如图24—A—3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（） A．12个单位B．10个单位 C．1个单位D．15个单位 6．如图24—A—4，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠B=60°，则∠A等于（）A．80°B．50°C．40°D．30° 7．如图24—A—5，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（） A．5 B．7 C．8 D．10 8．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m，母线长为3m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（） A．2 6m B．2 6m πC．2 12m D．2 12m π 9．如图24—A—6，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦 CD经过点P，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（） A．16πB．36πC．52πD．81π 10．已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC的内切圆的半径为 （） 图24—A—5 图24—A—6 图24—A—1 图24—A—2 图24—A—3 图24—A—4 圆培优竞赛 1.如图，PA 、PB 切③O 于A 、B 两点，CD 切OO 于点E,交PA, PB 于C 、D,若。 O 的半径为r, △ PCD 的周长等 PA=PB, CA=CE, DB=DE, Z APO= Z BPO, Z OAP=90 o. ???△PC D 的周长等于 3r, PA=PB= ?? O O 的半径为 r, .??在 Rt △ APO 中，由勾股定理得 713 GO 」r . 4 . Z OHA= Z OAP=90 o, Z HOA= Z AOP, . HOA AOP. . 考点：1.切线的性质；2.切线长定理；3.勾股定理；4.相似三角形的判定和性质; 三角函数定义；6.直角三角形斜边上中线的性质； 7.转换思想的应用. 3r,贝U tan / APB 的值是( ) 连接 PO, AO,取AO 中点 B 两点，CD 切③。于点 G,连接AG,过点A 作AH ± PO 于点 E, L 2 3 而 PO 」t —r ---- r 2 2 .AH OH PA OA AH OH r 3 r J13 —r ----- r 2 2 ' . 3血 2寸13 AH ---------- r , OH ----------- r . 13 13 2而 5/13 GH GO OH ---- r ------- r ------- r 4 13 52 ???/ AGH=2 Z APO= Z APB, AH tan APB tan AGH GH 3 13 13「12 5.13 5 52 r 5.锐角 【答案】B. 【解析】 试题分析：如答图， H, . ? PA 、PB 切③ O 于 D. 故选B. H 培优数学试题 1、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，b a ， b 的形式，求20062007a b +。 2、三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且|||| || ||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac =+++++则32 1ax bx cx +++的值是多少？ 3、 若|||||| 0,a b ab ab a b ab +-则的值等于多少？ 4、如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 5、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 22006200()()()x a b c d x a b c d -+++++-的值。 6、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。 7、(1)123456-+-+-+…20012002+-的值是__________________。 (2)如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所 示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ） A.2a B.2a - C.0 D.2b (3)已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6 8、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 9、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。 10、已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()()()()1111 112220072007ab a b a b a b ++++++++++ 第7题 第8题 第9题 第4题 第5题 第6题 圆的培优专题1——与圆有关的角度计算 一 运用辅助圆求角度 1、如图，△ABC 内有一点D ，DA ＝DB ＝DC ，若∠DAB ＝20?，∠DAC ＝30?， 则∠BDC ＝ . （∠BDC ＝ 1 2 ∠BAC ＝100?） 2、如图，AE ＝BE ＝DE ＝BC ＝DC ，若∠C ＝100?，则∠BAD ＝ . （50?） 3、如图，四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝20?，∠BDC ＝30?，则 维更明朗！ 4、如图，□ABCD 中，点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点，若∠D ＝60?， 则∠AEC ＝ . （∠AEC ＝2∠B ＝2∠D ＝120?） 5、如图，O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70?， 则∠DAO ＋∠DCO ＝ . （所求＝360?－∠ADC －∠AOC ＝150?） 6、如图，四边形ABCD 中，∠ACB ＝∠ADB ＝90?，∠ADC ＝25?，则∠ABC ＝ . （∠ABC ＝∠ADC ＝25?） 解题策略：第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到ACBD 共圆. 二 运用圆周角和圆心角相互转化求角度 7、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AB 的中点，D 为半圆AB 上一点，则∠ADC ＝ . 8、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 过OA 的中点E 并垂直于OA ，则∠ABC ＝ . 9、如图，AB 为⊙O 的直径，3BC AC =，则∠ABC ＝ . 第10题 第11题 第12题 答案：7、45?； 8、30?； 9、22.5?； 10、40?； 11、150?； 12、110? 解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！ 10、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC ＝50?，则∠ADC ＝ . 11、如图，⊙O 的半径为1，弦AB ，弦AC ∠BOC ＝ . 12、如图，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 过圆心O ，若AC CD =，∠P ＝30?， 则∠BDC ＝ . （设∠ADC ＝x ，即可展开解决问题） 解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形——等腰三角形或直角三角形或等腰 直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！ 圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！ 圆的培优专题2——与垂径定理有关的计算 1、如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB ，垂足为C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上，若∠BED ＝30?，⊙O 的半径为4，则弦AB 的长是 . 略解：∵OD ⊥AB ，∴AB ＝2AC ，且∠ACO ＝90?， ∵∠BED ＝30?，∴∠AOC ＝2∠BED ＝60? ∴∠OAC ＝30?，OC ＝ 1 2 OA ＝2，则AC ＝AB ＝2、如图，弦AB 垂直于⊙O 的直径CD ，OA ＝5，AB ＝6，则BC ＝ . 略解：∵直径CD ⊥弦AB ，∴AE ＝BE ＝1 2 AB=3 ∴OE 4=，则CE ＝5＋4＝9 培优竞赛 试题分析：如答图，连接PO, AO,取AO 中点G,连接AG,过点A 作AH 丄PO 于 点H, ???PA 、PB 切OO 于A 、B 两点，CD 切OO 于点巳 /.PA=PB f CA=CE, DB 二DE,上APO 二上BPO, ZOAP=90°. v Z OHA=ZOAP=90°z / HOA=Z AOP, /. A HOA<^ A AOP. = — = PA OA OP AAH = ^r. OH = ^r.AGH = GO-OH = ^r-^r = ^r. 13 13 4 13 52 ??? z AGH=2 z APO= z APB.二 tanZAPB = tanZAGH =—= 丄 =—? GH 5>/13 5 52 F 考点：1沏线的性质；2?切线长定理；3?勾股定理；4?相似三角形的判定和性质；5?锐角 三角函数定义；6?直角三角形斜边上中线的性质；7?转换思想的应用.1. 如图，PA 、PB 切OO 于A 、B 两点, CD 切OO 于点E,交PA, PB 于C 、D,若 △PCD 的周长等于3r, 则tonZAPB 的值是（ C. -^3 D. -V13 ???△PCD 的周长等于3r, /,PA=PB=-r. 2 vOO 的半径为r,???在RtAAPO 中，由勾股定理得PO = AH OH 2 OO 的半径为 【答案】 B. 【解析】 4 2 2. 如图，以PQ 二2r(r€Q)为直径的圆与一个以R(R€Q)为半径的圆相切于点P ?正方形 ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部旦与边CD 切于点Q.若正方形的 边长为有理数，则R 、「的值可能是()? A.R 二5, r 二2 B.R 二4, r 二3/2 C.R 二4, r 二2 D.R 二5, r 二3/2 【答案】D 【解析】 本题老查圆和勾股定理的综合应用，在竞赛思维训练中有典型意义。 可以将选项中的数据代入圆中，看是否满足条件。 做圆心0'和正方形中心。。设正方形边长为a 。设A3中点为连接并延长, 交大圆于点丿 将各个选项数据代入，知D 正确。 3. 如图，RtAABC 中，上090° , AB 二5, AC 二3,点E 在中线AD 上，以E 为圆心 的OE 分别与AB 、BC 相切，则0E 的半径为()? 所以 “+"+/?— 初三数学圆的综合的专项培优易错难题练习题附详细答案 一、圆的综合 1．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°． （1）OC的长为； （2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=； （3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t （秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标． 【答案】（1）4；（2）3 5 ；（3）点E的坐标为（1，2）、（ 5 3 ， 10 3 ）、（4，2）． 【解析】 分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可． （2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则 MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，进而可求出BR．在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题．（3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°， ②∠BED=90°，③∠DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题． 详解：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），则有∠BHA=90°=∠COA，∴OC∥BH．∵BC∥OA，∴四边形OCBH是矩形，∴OC=BH，BC=OH． ∵OA=6，BC=2，∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4． ∵∠BHA=90°，∠BAO=45°， ∴tan∠BAH=BH HA =1，∴BH=HA=4，∴OC=BH=4． 故答案为4． （2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2）． O A E D B C F O A B C D P 初三《圆》培优专题练习 一、选择题 1、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B =60°，则∠CAO 的度数是( ) A ．15° B ．30° C ． 45° D ．60° 2．如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝22，BD ＝3，则AB 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3. 下列命题中，真命题是 （ ） A ．相等的圆心角所对的弧相等 B ．相等的弦所对的弧相等 C ．度数相等的弧是等弧 D ．在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等 4．边长为2的等边三角形的外接圆的半径是（ ） （A ） 3 3 （B ） 3 （C ）2 3 （D ）2 3 3 5，圆内接四边形ABCD 中，四个角的度数比可顺次为（ ） （A ）4：3：2：1 （B ）4：3：1：2 （C ）4：2：3：1 （D ）4：1： 3：2 6．如图3，已知⊙O 的半径为5，点到弦的距离为3，则⊙O 上到弦所在直线的距离为2的点有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7、 ⊙O 的半径为10cm ，两平行弦AC ，BD 的长分别为12cm ，16cm ，则两弦间的 距离是（ ） A. 2cm B. 14cm C. 6cm 或8cm D. 2cm 或14cm 8、 如图，⊙O 是?ABC 的外接圆，AO BC ⊥于F ，D 为AC ? 的中点，E 是BA 延长线上一点，∠=?D A E 114，则∠C A D 等于（ ） A. 57° B. 38° C. 33° D. 28.5° 二、填空题 1、.已知圆O 的半径为6㎝，弦AB=6㎝，则弦AB 所对的 圆周角是 度。 2、一条弦分圆周为5：7，这条弦所对的圆周角的度数是 。 3、.弓形的半径为10cm ，弦长为12cm ，则弓形高为___________cm. 4、 如图，弦CD ⊥AB 于P ，AB=8，CD=8，⊙O 半径为5，则OP 长为________。 5．如图7所示，⊙O 的两弦AB 、CD 交于点P ，连接AC 、BD ， 得S △ACP ：S △DBP =16:9，则AC ：BD 实用文档 圆培优竞赛 1．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E ，交PA，PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（） A． 5 13 12 B． 12 5 C． 3 13 5 D． 2 13 3 【答案】B． 【解析】 试题分析：如答图，连接PO，AO，取AO中点G，连接AG，过点A作AH⊥PO于点H，∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E， ∴PA=PB，CA=CE，DB=DE，∠APO=∠BPO，∠OAP=90o. ∵△PCD的周长等于3r，∴PA=PB= 3 r 2 . ∵⊙O的半径为r，∴在Rt△APO中，由勾股定理得 2 2 313 PO t r r 22 ?? =+= ? ?? . ∴ 13 GO r =. ∵∠OHA=∠OAP=90o, ∠HOA=∠AOP,∴△HOA∽△AOP. ∴ AH OH OA PA OA OP ==,即AH OH 3r13 r r 2 ==. ∴ 313213 AH r,OH r ==.∴ 13213513 GH GO OH r r r =-=-=. ∵∠AGH=2∠APO=∠APB, ∴ AH12 tan APB tan AGH G 313 r 13 513 r H5 ∠=∠===. 故选B． 考点：1.切线的性质；2.切线长定理；3.勾股定理；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.直角三角形斜边上中线的性质；7.转换思想的应用. 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在形的外部且与边CD 切于点Q.若形的边长为有理数，则R 、r 的值可能是 ( ). A.R=5，r=2 B.R=4，r=3/2 C.R=4，r=2 D.R=5，r=3/2 【答案】D 【解析】 本题考查圆和勾股定理的综合应用，在竞赛思维训练中有典型意义。 可以将选项中的数据代入圆中，看是否满足条件。 做圆心O '和形中心O 。设形边长为a 。设AB 中点为H ，连接OH 并延长，交大圆于点J a 2r R J O'O D B A C P Q 则连接OA .由勾股定理有22a OH R =-22 a JH R R =--所以2222 a r a R R R ++-=。 将各个选项数据代入，知D 正确。 3．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点E 在中线AD 上，以E 为圆心的⊙E 分别与AB 、BC 相切，则⊙E 的半径为（ ）． 765B C E A 圆的专项培优练习题 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是EB的中点，则下列结论不成 立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B C．6 D 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P 作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD 与⊙O的位置关系，并说明理由。 9．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA 的平行线与AF相交于点F，BE=2． 求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线． 圆培优经典题 第七课圆的基本性质 几何定义：线段AB绕点A旋转一周得到的图形叫做圆，其中，点A为圆心，AB为半径。 集合定义：平面内到固定点等于定长的点的集合。 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作AC”，读作“圆弧AC”或“弧 AC”．大于半圆的弧（如图所示ABC叫做优弧，?小于半圆的弧（如图所示）AC或BC叫做劣弧．注意：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，?并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用． 圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角，叫做圆心角。 弧度：圆弧所对应的圆心角。 有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，?相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，?那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角，叫做圆周角。 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弦所对的圆心角的一半． 圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 例1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD，点O是CD的圆心，?其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径． 例2.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=?60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由． 初三数学圆的专项培优练习题（含答案） 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是?EB的中点，则下列结论不成立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．33C．6 D．23 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P 作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD 与⊙O的位置关系，并说明理由。 9．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA 的平行线与AF相交于点F，CD=43，BE=2． 求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线． 一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，在ABC 中，90ACB ∠=，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作 DE AD ⊥交AB 于点E ，以AE 为直径作O ． ()1求证：BC 是O 的切线； ()2若3AC =，4BC =，求tan EDB ∠的值． 【答案】（1）见解析；（2）1tan 2 EDB ∠=． 【解析】 【分析】 ()1连接OD ，如图，先证明OD//AC ，再利用AC BC ⊥得到OD BC ⊥，然后根据切线 的判定定理得到结论； ()2先利用勾股定理计算出AB 5=，设 O 的半径为r ，则OA OD r ==，OB 5r =-， 再证明BDO ∽BCA ，利用相似比得到r ：()35r =-：5，解得15 r 8 = ，接着利用勾股定理计算5BD 2= ，则3CD 2=，利用正切定理得1 tan 12 ∠=，然后证明1EDB ∠∠=，从而得到tan EDB ∠的值． 【详解】 ()1证明：连接OD ，如图， AD 平分BAC ∠， 12∴∠=∠， OA OD =， 23∴∠=∠， 13∴∠=∠， //OD AC ∴， AC BC ⊥， OD BC ∴⊥， BC ∴是O 的切线； () 2解：在Rt ACB 中，5AB ==， 设 O 的半径为r ，则OA OD r ==，5OB r =-， //OD AC ， BDO ∴∽BCA ， OD ∴：AC BO =：BA ， 即r ：()35r =-：5，解得158 r = ， 158OD ∴= ，258 OB =， 在Rt ODB 中，5 2 BD == ， 32 CD BC BD ∴=-= ， 在Rt ACD 中， 3 12tan 132 CD AC ∠=== ， AE 为直径， 90ADE ∴∠=， 90EDB ADC ∴∠+∠=， 190ADC ∠+∠=， 1EDB ∴∠=∠， 1 tan 2 EDB ∴∠=． 【点睛】 本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形． 2．如图，已知Rt △ABC 中，C=90°，O 在AC 上，以OC 为半径作⊙O ，切AB 于D 点，且BC=BD ． （1）求证：AB 为⊙O 的切线； （2）若BC=6，sinA= 3 5 ，求⊙O 的半径； （3）在（2）的条件下，P 点在⊙O 上为一动点，求BP 的最大值与最小值.圆精典培优竞赛题(含详细答案)
圆的培优题
圆的培优专题
中考数学《圆》精选基础题经典培优专题训练(含有答案解析)
圆精典培优竞赛题(含详细答案)
初一数学上培优试题(绝对经典)汇编
圆的培优专题含解答
圆精典培优竞赛题(含详细答案)
初三数学 圆的综合的专项 培优 易错 难题练习题附详细答案
初三《圆》培优专题练习
圆精典培优竞赛题(含详细问题详解)
圆的专项培优练习题(含答案)
圆培优经典题
(完整版)初三数学圆的专项培优练习题(含答案)
备战中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)附详细答案