培优易错试卷圆的综合辅导专题训练附详细答案
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一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,⊙O 的半径为6cm ,经过⊙O 上一点C 作⊙O 的切线交半径OA 的延长于点B ,作∠ACO 的平分线交⊙O 于点D ,交OA 于点F ,延长DA 交BC 于点E .
(1)求证:AC ∥OD ;
(2)如果DE ⊥BC ,求AC 的长度.
【答案】(1)证明见解析;(2)2π.
【解析】
试题分析:(1)由OC =OD ,CD 平分∠ACO ,易证得∠ACD =∠ODC ,即可证得AC ∥OD ; (2)BC 切⊙O 于点C ,DE ⊥BC ,易证得平行四边形ADOC 是菱形,继而可证得△AOC 是等边三角形,则可得:∠AOC =60°,继而求得弧AC 的长度.
试题解析:(1)证明:∵OC =OD ,∴∠OCD =∠ODC .∵CD 平分∠ACO ,
∴∠OCD =∠ACD ,∴∠ACD =∠ODC ,∴AC ∥OD ;
(2)∵BC 切⊙O 于点C ,∴BC ⊥OC .∵DE ⊥BC ,∴OC ∥DE .∵AC ∥OD ,∴四边形ADOC 是平行四边形.∵OC =OD ,∴平行四边形ADOC 是菱形,∴OC =AC =OA ,∴△AOC 是等边三角形,∴∠AOC =60°,∴弧AC 的长度=60
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π⨯=2π. 点睛:本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
2.如图,在锐角△ABC 中,AC 是最短边.以AC 为直径的⊙O ,交BC 于D ,过O 作OE ∥BC ,交OD 于E ,连接AD 、AE 、CE .
(1)求证:∠ACE=∠DCE ;
(2)若∠B=45°,∠BAE=15°,求∠EAO 的度数;
(3)若AC=4,23
CDF COE S S ∆∆=,求CF 的长.
【答案】(1)证明见解析,(2)60°;(3)433 【解析】 【分析】 (1)易证∠OEC =∠
OCE ,∠OEC =∠ECD ,从而可知∠OCE =∠ECD ,即∠ACE =∠DCE ; (2)延长AE 交BC 于点G ,易证∠AGC =∠B +∠BAG =60°,由于OE ∥BC ,所以
∠AEO =∠AGC =60°,所以∠EAO =∠AEO =60°;
(3)易证12COE CAE S S
=,由于23CDF COE S S =,所以CDF CAE S S =13,由圆周角定理可知∠AEC =∠FDC =90°,从而可证明△CDF ∽△CEA ,利用三角形相似的性质即可求出答案.
【详解】 (1)∵OC =OE ,∴∠OEC =∠OCE .
∵OE ∥BC ,∴∠OEC =∠ECD ,∴∠OCE =∠ECD ,即∠ACE =∠DCE ;
(2)延长AE 交BC 于点G .
∵∠AGC 是△ABG 的外角,∴∠AGC =∠B +∠BAG =60°.
∵OE ∥BC ,∴∠AEO =∠AGC =60°.
∵OA =OE ,∴∠EAO =∠AEO =60°.
(3)∵O 是AC 中点,∴12COE CAE S S
=. 23CDF
COE S
S =,∴CDF
CAE S S =13
. ∵AC 是直径,∴∠AEC =∠FDC =90°. ∵∠ACE =∠FCD ,∴△CDF ∽△CEA ,∴
CF CA =3,∴CF =3CA =43.
【点睛】
本题考查了圆的综合问题,涉及平行线的性质,三角形的外角的性质,三角形中线的性质,圆周角定理,相似三角形的判定与性质等知识,需要学生灵活运用所学知识.
3.如图,AB 是半圆O 的直径,C 是的中点,D 是的中点,AC 与BD 相交于点E .
(1)求证:BD平分∠ABC;(2)求证:BE=2AD;
(3)求DE
BE
的值.
【答案】(1)答案见解析(2)BE=AF=2AD(3)21 -
【解析】
试题分析:(1)根据中点弧的性质,可得弦AD=CD,然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可;
(2)延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, 根据全等三角形的性质可得
BE=AF=2AD;
(3)连接OD,交AC于H.简要思路如下:设OH为1,则BC为2,OB=OD=2,
DH=21
-, 然后根据相似三角形的性质可求解.
试题解析:(1)∵D是的中点
∴AD=DC
∴∠CBD=∠ABD
∴BD平分∠ABC
(2)提示:延长BC与AD相交于点F,
证明△BCE≌△ACF,
BE=AF=2AD
(3)连接OD,交AC于H.简要思路如下:
设OH为1,则BC为2,2,
21, DE
BE
=
DH
BC
DE BE 21 -
4.如图,△ABC的内接三角形,P为BC延长线上一点,∠PAC=∠B,AD为⊙O的直径,过C作CG⊥AD于E,交AB于F,交⊙O于G.
(1)判断直线PA与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:AG2=AF·AB;
(3)若⊙O的直径为10,AC=25,AB=45,求△AFG的面积.
【答案】(1)PA与⊙O相切,理由见解析;(2)证明见解析;(3)3.
【解析】
试题分析:(1)连接CD,由AD为⊙O的直径,可得∠ACD=90°,由圆周角定理,证得∠B=∠D,由已知∠PAC=∠B,可证得DA⊥PA,继而可证得PA与⊙O相切.
(2)连接BG,易证得△AFG∽△AGB,由相似三角形的对应边成比例,证得结论.
(3)连接BD,由AG2=AF•AB,可求得AF的长,易证得△AEF∽△ABD,即可求得AE的长,继而可求得EF与EG的长,则可求得答案.
试题解析:解:(1)PA与⊙O相切.理由如下:
如答图1,连接CD,
∵AD为⊙O的直径,∴∠ACD=90°.
∴∠D+∠CAD=90°.
∵∠B=∠D,∠PAC=∠B,∴∠PAC=∠D.
∴∠PAC+∠CAD=90°,即DA⊥PA.
∵点A在圆上,
∴PA与⊙O相切.