九年级上册第24章圆章节培优专题(含答案)
圆的培优专题1——与圆有关的角度计算
一、核心：运用圆周角和圆心角相互转化求角度
解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！
7、如图，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 过圆心O ，若AC =CD ,P ＝，
解题策略：
1.在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形——等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！
2.圆的内接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！
∠30?
二、无圆则先添加辅助圆，再利用核心求角度
1、如图，△ABC 内有一点D ，DA ＝DB ＝DC ，若DAB ＝，DAC ＝，
3、如图，四边形ABCD 中，AB
＝AC ＝AD ，CBD ＝，BDC ＝，则
4、如图，□ABCD 中，点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点，若D ＝，
5、如图，O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，ABC ＝ADC ＝，
解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！
∠20?∠30?∠20?∠30?∠60?∠∠70?
圆的培优专题2——与垂径定理有关的计算
1、如图，AB是⊙O的弦，OD AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，若BED
＝，⊙O的半径为4，则弦AB的长是.
2、如图，弦AB垂直于⊙O的直径CD，OA＝5，AB＝6，则BC＝.
3、如图，⊙O的半径为，弦AB CD，垂足为P，AB＝8，CD＝6，则OP＝.
4、如图，在⊙O内，如果OA＝8，AB＝12，A＝B＝，则⊙O的半径为.
5、如图，正△ABC内接于⊙O，D是⊙O上一点，DCA＝，CD＝10，则BC＝
6、如图，⊙O的直径AB＝4，C为AB的中点，E为OB上一点，AEC＝，CE的延
长线交⊙O于点D，则CD＝
7、如图，A地测得台风中心在城正西方向300千米的B处，
并以每小时千米的速度沿北偏东的BF方向移
动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域.
问：A地是否受到这次台风的影响？若受到影响，请求
出受影响的时间？
⊥∠30?
25⊥
∠∠60?
∠15?
∠60?
10760?
圆的培优专题3——圆与全等三角形
2、如图，AB是⊙O的直径，C是半圆的中点，M、D分别是CB及AB延长线上一点，且
求BC－AC的值.
4、如图，点A、B、C为⊙O上三点，AC=BC，点M为BC上一点，CE AM于E，
AE＝5，
ME＝3，求BM的长
.
⊥
圆的培优专题
4——圆与勾股定理
1、如图，⊙O是△BCN的外接圆，弦AC BC，点N是AB的中点，BNC＝，
求BNBC的值.
3、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为CB延长线上一点，且CAD＝，
CE AB于点E，DF AB于点F.
（1）求证：CE＝EF；
（2）若DF＝2，EF＝4，求AC.
⊥∠60?
∠45?⊥⊥
4、如图，AB 为⊙O 的直径，CD AB 于点D ，CD 交AE 于点F ，AC =CE （1）求证：AF ＝CF ；
（2）若⊙O 的半径为5，AE ＝8，求EF 的长
5、如图，在⊙O 中，直径CD
弦AB 于E
，AM BC 于
M ，交CD 于N ，连接AD. （1）求证：AD
＝AN ；
⊥⊥⊥
圆的培优专题5——圆中两垂直弦的问题
1、在⊙O中，弦AB CD于E，求证：AOD＋BOC＝.
2、在⊙O中，弦AB CD于点E，若⊙O的半径为R，求证：AC2＋BD2＝4R2.
3、在⊙O中，弦AB CD于点E，若点M为AC的中点，求证ME BD.
4、在⊙O中，弦AB CD于点E，若ON BD于N，求证：ON＝AC.
5、在⊙O中，弦AB CD于点E，若AC＝BD，ON BD于N，OM
AC于M.
（1）求证：ME ON；
（2）求证：四边形OMEN为菱形.
⊥∠∠180?
⊥
⊥⊥
⊥⊥
1
2
⊥⊥
⊥
//
点拨：利用等弧所对圆周角和圆心角进行转换
点拨：利用直径所对圆周角为直角，构造直角三角形
点拨：1.利用等弧或同弧所对圆周角相等
2.利用直角三角形斜边上中线性质得到等腰三角形，进而得到等
角
点拨：利用直径与半径的关系构造中位线定理
点拨：利用弦相等得到弦心距相等
圆的培优专题6——圆与内角（外角）平分线
一圆与内角平分线问题往往与线段和有关
1、如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分ACB，ACB＝.
2、如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分ACB，ACB＝，求CA+CBCD的值.
∠∠90?
∠∠120?
二圆中的外角问题往往与线段的差有关
4、如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CP平分△ABC的外角ACQ，ACB＝.
求BC－ACPC的值
求PB－PAPO的值.
圆的培优专题7——与切线有关的角度计算
∠∠90?
4、如图，PA 、PB 为⊙O 的切线，C 为AB 上一点，若
BCA ＝，则APB ＝
.
二 切线与两个圆
7、如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 、AC 分别切小圆于D 、E ，小圆的DE 的度数为，则大圆的BC 的度数为 .
圆的培优专题8——与切线有关的长度计算
∠150?∠110?
E
1、如图，在⊙O 的内接△ACB 中，ABC ＝，AC 的延长线与过点D 的切线BD 交于 点D ，若⊙O 的半径为1，BD OC ，则CD ＝ .
2、如图△ABC 内接于⊙O ，AB ＝BC ，过点A 的切线与OC 的延长线交于D ，BAC ＝， CD ＝，则AD ＝ .
3、如图，⊙O 为△BCD 的外接圆，过点C 的切线交BD 的延长线于A ，ACB ＝，
ABC ＝，则 CDDB 的值为 .
4、如图，AB 为⊙O 的直径，弦DC 交AB 于E ，过C 作⊙O 的切线交DB 的延长线于M ， 若AB ＝4，ADC ＝，M ＝，则CD ＝ .
5、如图，等边△ABC 内接于⊙O ，BD 切⊙O 于B ，AD BD 于D ，AD 交⊙O 于E ，⊙O 的半径为1，则AE ＝ .
6、如图，△ABC 中，C ＝，BC ＝5，⊙O 与ABC 的三边相切于D 、E 、F ，若⊙O 的 半径为2，则△ABC 的周长为 .
7、如图，△ABC 中，C ＝，AC ＝12，BC ＝16，点O 在AB 上，⊙O 与BC 相切于D ， 连接AD ，则BD ＝ .
解题策略：1、连半径，有垂直；寻找特殊三角形；设元，构建勾股定理列方程. 2、等腰，角平分线，平行经常结合出题
圆的培优专题9——圆的切线与垂径定理(基础题)
1、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AE 的中点，CD BE 于D.
∠30?//∠75?3∠75?∠45?∠45?∠75?⊥∠90?∠90?⊥
（1）判断DC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若DC ＝3，⊙O 的半径为5，求DE 的长.
2.如图，AB 与⊙O 相切于点B ，BC 为⊙O 的弦，OC ⊥OA ，OA 与BC 相交于点P ． （1）求证：AP=AB ；
（2）若OB=4，AB=3，求线段BP 的长．
3、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AE CD 于E ，DA 平分BDE.
（1）求证：AE 是⊙O 的切线；
（2）若AE ＝2，DE ＝1，求CD 的长. 4、如图，AE 是⊙O 的直径，DF 切⊙O 于B ，AD DF 于D ，EF DF 于F.
（1）求证：EF ＋AD ＝AE ；
（2）若EF ＝1，DF ＝4，求四边形ADFE 的周长.
圆的培优专题10——圆的切线与勾股定理（简单）
⊥∠⊥⊥ 点拨：面积法
1、如图，已知点A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于点B ，OC ＝BC ， AC ＝
OB. （1）求证：AB 是⊙O 的切线；
（2）若ACD ＝，OC ＝2，求弦CD 的长.
2、如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，点M 在PB 上，且OM AP ，MN AP 于N.
（1）求证：OM ＝AN ；
（2）若⊙O 的半径，PA ＝9，求OM 的长.
3、如图，AB 为⊙O 的直径，半径OC AB ，D 为AB 延长线上一点，过D 作⊙O 的切线，
E 为切点，连接CE 交AB 于F. （1）求证：DE ＝D
F ；
（2）连接AE ，若OF ＝1，BF ＝3，求DE 的长.
4、如图，正方形ABCO 的顶点分别在轴、轴上，以AB 为弦
的⊙M 与轴相切于F ，已知A ，求圆心M 的坐标.
5.如图，已知AB 为⊙O 的直径，AD 、BD 是⊙O 的弦，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，OC
12
∠45?//⊥3r =⊥y x x (0,8)
∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE=1，ED=3，求⊙O的半径．
6.如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，CD是⊙O的切线，切点且C，过点C作CD⊥PA于D，若AD：DC=1：3，AB=8，求⊙O的半径．
圆的培优专题11——圆的切线与全等三角形
1、如图，BD 为⊙O 的直径，A 为的中点，AD 交BC 于E ，
过D 作⊙O 的切线，交BC 的延长线于F. （1）求证：DF ＝EF ；
2、如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 的一点，OC AD ，CF DB 于F.
（1）求证：CF 为⊙O 的切线；
（2）若BF ＝1，DB ＝3，求⊙O 的半径.
3、如图，以⊙O 的弦AB 为边向圆外作正方形ABCD. （1）求证：OC ＝OD ；
（2）过D 作DM 切⊙O 于M ，若AB ＝2，DM ＝， 求⊙O 的半径.
4、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，ACB ＝，以BC 为直径的⊙O 交AB 于D. （1）求证：AD ＝BD ；
（2）弦CE 交BD 于M ，若S △ABC=3S △BCM ，求 BDCE.(不做)
圆的培优专题12——圆的切线与等腰三角形
BC ⊥⊥22∠90?点拨：作垂线构造中位线定理 点拨：1、证全等 2、等角-同角 (45°特殊角) 点拨：三线合一
1、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC 交于D ，与边AC 交于E ， 过D 作DF AC 于F.
（1）求证：DF 为⊙O 的切线； （2）若DE ＝，AB ＝5，求AE 的长.
2、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以边AB 为直径作⊙O ，交BC 于D ，过D 作DE AE.
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）连接OC ，若CAB ＝，求 DEOC 的值.
3、如图，AB ＝AC ，点O 在AB 上，⊙O 过点B ，分别交BC 于D 、AB 于E ，DF AC.
（1）证：DF 为⊙O 的切线；
（2）若AC 切⊙O 于G ，⊙O 的半径为3，CF ＝1，求AC.
4、如图，CD 是⊙O 的弦，A 为的中点，E 为CD 延长线上一
点，EG 切⊙O 于G.
（1）求证：KG ＝GE ；（2）若AC EG ，DKCK ＝ 35，AK ＝，求⊙O 的半径.
圆的培优专题13——圆与三角形的内心
1、如图，AB 是⊙O 的直径，AC = CE ,点M 为BC 上一点，且CM ＝AC.
⊥5⊥∠120?⊥CD //210
点拨：1、三线合一 2、面积法求DF 点拨：1、三线合一，中位线定理 2、DE 和OC 都与OF 建立数量关系
（2）若⊙O的半径为5，AE
2、如图，⊙O
为△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分BAC点M是△ABC的内心.
3、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是BC的中点，DE AB于E，I是△ABD 的内心，DI的延长线交⊙O于N.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，CE＝2，求⊙O的半径和IN的长.
圆的培优专题14——圆中动态问题
∠
⊥
1、如图，点P是等边△ABC外接圆BC上的一个动点，
求证PA＝PB＋PC.
2、已知弦AD BD，且AB＝2，点C在圆上，CD＝1，直线AD、
BC交于点E.
（1）如图1，若点E在⊙O外，求AEB的度数；
（2）如图2，若C、D两点在⊙O上运动，CD的
长度不变，点E在⊙O内，求AEB的度数.
3、已知直线经过⊙O的圆心O，且交⊙O于A、B，点C在⊙O上，且AOC＝，点
P是直线上一个动点（与O不重合），直线CP与⊙O交于Q，且QP＝QO.
（1）如图1，当点P在线段AO上时，求OCP的度数；
（2）如图2，当点P在线段OA的延长线上时，求OCP的度数；
（3）如图3，当点P在线段OB的延长上时，求OCP的度数.
圆的培优专题15——聚焦圆中无图多解题
⊥
∠
∠
l∠30?
l
∠
∠
∠
点拨：利用截取（旋转）构造全等，将短边转移到长边上
6、点P 是半径为5的⊙O 内的一点，且OP ＝3cm ，在过点P 的所有弦中长度为整数的弦一 共有 条.
7、已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB ＝8，P 为AB 上一动点，且OP 长为整数，满足条件的P 点有 个.
8、⊙O 1和⊙O 2交于A 、B 两点，且⊙O 1经过点O 2，若∠AO 1B ＝90°那么∠AO 2B 的度数 是 .
9、从不在⊙O 上的一点A ，作⊙O 的割线交⊙O 于B 、C ，且A B · AC ＝64，OA ＝10，则 ⊙O 的半径等于 .
10、已知⊙O 的半径为5cm ，AB 是弦，P 是直线AB 上的一点，PA ＝3cm ，AB ＝8cm ，
则tan ∠OPB 的值为 .
11、已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线，点C 是⊙O 上异于A 、B 的一点，过C 点切线交PA 、 PB 于D 、E 两点，若∠APB ＝400，则∠DOE ＝ .
12、已知等腰△ABC 内接于⊙O ，底边BC ＝8cm ，圆心O 到BC 的距离等于3cm ，则腰长 AB ＝ .
13、在△ABC 中，∠C ＝90o ，AC ＝3，BC ＝4，若以C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边只 有一个公共点，则R 的取值范围 .
14、若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是 .
15、在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，则这个三角形的外接圆的直径是 .
16、已知⊙O 1和⊙O 2仅有一条公切线，⊙O 1半径为3cm ，且O 1O 2＝5cm,则⊙O 2的半径等 于 .
17、已知⊙O 上有A 、B 、C 三点，若弦AC 的长恰好等于⊙O 的半径，则∠ABC ＝ . 18、已知⊙O 的半径是5cm ，P 是直线上的一点，且OP ＝5cm ，那么直线与⊙O 的位置关
系是 .
19、在△ABC 中，AB ＝AC ＝5cm ，且△ABC 的面积为12cm 2，则△ABC 外接圆的半径 为 .
20、AB 、AC 是⊙O 的两条切线，B 、C 为切点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于A 、B 的一
动点，则∠BPC ＝ .
l l
4、圆的培优专题：圆与勾股定理
圆的培优专题4——圆与勾股定理 1、如图，⊙O 是△BCN 的外接圆，弦AC ⊥BC ，点N 是AB 的中点，∠BNC ＝60?， 求 BN BC 的值. 解：如图，连接AB ，则AB 为直径，∴∠BNA ＝90? 连接AN ，则BN ＝AN ，则△ABN 是等腰直角三角形 ∴BN AB ；又∠BAC ＝∠BNC ＝60?， ∴BC AB ， ∴BN BC （方法2，过点B 作BD ⊥CN ，即可求解） 2、如图，⊙O 的弦AC ⊥BD ，且AC ＝BD ，若AD ＝，求⊙O 半径. 解：如图，作直径AE ，连接DE ，则∠ADE ＝90? 又AC ⊥BD ，则∠ADB ＋∠DAC ＝∠ADB ＋∠EDB ＝90? ∴∠DAC ＝∠EDB ，则CD BE =，∴DE BC =， ∵ AC ＝BD ，∴AC CD =，则AD BC DE == ∴AD ＝DE ，即△ADE 是等腰直角三角形 ∴AE AD ＝4，即⊙O 的半径为2 3、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，D 为CB 延长线上一点，且∠CAD ＝45?， CE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AB 于点F. （1）求证：CE ＝EF ；（2）若DF ＝2，EF ＝4，求AC. （1）证：∵ AB 为⊙O 的直径，∠CAD ＝45?， 则△ACD 是等腰直角三角形，即AC ＝DC 又CE ⊥AB ，则∠CAE ＝∠ECB 如图，过点C 作CG 垂直DF 的延长线于点G 又CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，则四边形CEFG 是矩形，∠AEC ＝∠DGC ＝90? ∴EF ＝CG ，CE ∥DG ，则∠ECB ＝∠CDG ＝∠CAE ∴△ACE ≌△DCG （AAS ），则CE ＝CG ＝EF （2）略解：AC ＝CD =. 4、如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点D ，CD 交AE 于点F ，AC CE =. （1）求证：AF ＝CF ； （2）若⊙O 的半径为5，AE ＝8，求EF 的长
圆的培优专题(含解答)
一运用辅助圆求角度 1、 如图，△ ABC 内有一点 D , DA = DB = DC ，若 DAB = 20 , DAC = 30 , 1 贝U 乙 BDC = _______ . ( ? BDC = "2- ■ BAC = 100 ) 2、 如图，AE = BE = DE = BC = DC ,若 C = 100 ，则 BAD = __________________ . ( 50 ) 3、 如图，四边形 ABCD 中，AB = AC = AD ，/ CBD = 20，/ BDC = 30，贝卩 乙 BAD = _________ .(厶 BAD = Z BAC + Z CAD = 40 °+ 60 ° = 100*) 解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗! 4、 如图，口 ABCD 中，点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点，若 ? D = 60 , 贝U AEC = _________ . (/ AEC = 2 ^B = 2 ^D = 120 ) 5、 如图，O 是四边形 ABCD 内一点，OA = OB = OC , ABC = ADC = 70 , 贝U DAO + DCO = ______________ .(所求=360 - Z ADC —乙 AOC = 150 ) A 第1题 第2题 第3题 第5题 第6题 第4题 :第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到 (ABC = ADC = 25 )
6、如图，四边形ABCD 中，ACB = ■ ADB = 90 , - ADC = 25，则ABC = ___________________ ACBD共圆.
培优易错试卷圆的综合辅导专题训练及答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°． （1）OC的长为； （2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=； （3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t （秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标． 【答案】（1）4；（2）3 5 ；（3）点E的坐标为（1，2）、（ 5 3 ， 10 3 ）、（4，2）． 【解析】 分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可． （2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则 MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，进而可求出BR．在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题．（3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°， ②∠BED=90°，③∠DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题． 详解：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），则有∠BHA=90°=∠COA，∴OC∥BH．∵BC∥OA，∴四边形OCBH是矩形，∴OC=BH，BC=OH． ∵OA=6，BC=2，∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4． ∵∠BHA=90°，∠BAO=45°， ∴tan∠BAH=BH HA =1，∴BH=HA=4，∴OC=BH=4． 故答案为4． （2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2）．
圆的培优专题含解答
第4题 第5题 第6题 第1题 第2题 第3题 圆的培优专题1——与圆有关的角度计算 一 运用辅助圆求角度 1、如图，△ABC 内有一点D ，DA ＝DB ＝DC ，若∠DAB ＝20?，∠DAC ＝30?， 则∠BDC ＝ . （∠BDC ＝ 1 2 ∠BAC ＝100?） 2、如图，AE ＝BE ＝DE ＝BC ＝DC ，若∠C ＝100?，则∠BAD ＝ . （50?） 3、如图，四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝20?，∠BDC ＝30?，则 ∠BAD ＝ . （∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝40?＋60?＝100?） 解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！ 4、如图，□ABCD 中，点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点，若∠D ＝60?， 则∠AEC ＝ . （∠AEC ＝2∠B ＝2∠D ＝120?） 5、如图，O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70?， 则∠DAO ＋∠DCO ＝ . （所求＝360?－∠ADC －∠AOC ＝150?） 6、如图，四边形ABCD 中，∠ACB ＝∠ADB ＝90?，∠ADC ＝25?，则∠ABC ＝ . （∠ABC ＝∠ADC ＝25?） 解题策略：第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到ACBD 共圆.
第10题 第11题 第12题 第7题 第8题 第9题 二 运用圆周角和圆心角相互转化求角度 7、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AB 的中点，D 为半圆AB 上一点，则∠ADC ＝ . 8、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 过OA 的中点E 并垂直于OA ，则∠ABC ＝ . 9、如图，AB 为⊙O 的直径，3BC AC =，则∠ABC ＝ . 答案：7、45?； 8、30?； 9、22.5?； 10、40?； 11、150?； 12、110? 解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！ 10、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC ＝50?，则∠ADC ＝ . 11、如图，⊙O 的半径为1，弦AB 2，弦AC 3∠BOC ＝ . 12、如图，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 过圆心O ，若AC CD =，∠P ＝30?， 则∠BDC ＝ . （设∠ADC ＝x ，即可展开解决问题） 解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形——等腰三角形或直角三角形或等腰 直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！ 圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！
圆心角圆心角专题培优
圆心角和圆周角 一、经典考题赏析 例1.（成都）如图，ABC 内接于O ，AB=BC ，0120ABC ∠=,AD 为O 的直径，AD=6，那么 BD= 变式题组： 1.（河北）如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、O 是小正方形的顶点，O 的半径为1，P 是O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠= 。 2.（芜湖）如图，已知点E 是O 上的点，B 、C 分别是劣弧AD 上的三等分点，0 46BOC ∠=，则AED ∠的度数为 。 3.如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数分别是0 70、0 40，则1∠的度数为 。 例2.（盐城）如图，A 、B 、C 、D 为O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O —C —D —O 路线作匀速运动。设运动时间为()t s ，()0 APB y ∠=，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰 当的是（ ） 变式题组： 4.如图所示，在O 内有折线OABC ，其中OA=8,AB=12,0 60A B ∠=∠=,则BC 的长为（ ） A.19 B.16 C.18 D.20 5.（威海）如图，AB 是O 的直径，点C 、D 在O 上，OD AC ，下列结论错误的是（ ） A.BOD BAC ∠=∠ B.BOD COD ∠=∠ C.BAD CAD ∠=∠ D.C D ∠=∠
6.（青岛）如图，AB 为O 的直径，CD 为O 的弦，0 42ACD ∠=，则BAD ∠= 。 例3.（柳州）如图，AB 为O 的直径，C 为弧BD 的中点，CE AB ⊥,垂足为E ，BD 交CE 于点F 。 （1）求证：CF=BF （2）若AD=2，O 的半径是3，求BC 的长。 变式题组： 7.（广州）如图，在O 中0 60ACB BDC ∠==，23AC =cm. （1）求∠BAC 的度数；（2）求O 的周长 8.（潍坊）如图，O 是ABC 的外接圆，BAC ∠与ABC ∠的平分线相交于点I ，延长AI 交O 于点D ，连接BD 、CD 。 （1）求证：BD DC DI == （2）若O 的半径为10cm ，0120BAC ∠=，求BDC 的面积。 例4.如图，在ABC 中，036B ∠=，0 128ACB ∠=，CAB ∠平分线交BC 于M ，ABC 的外接圆的切线AN 交BC 的延长线于N ，则ANM 的最小角等于 。 变式题组：9.如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在O 上，AB=BD ，BM AC ⊥于M ， 求证：AM DC CM =+
《圆》新定义专题培优训练
《圆》新定义专题培优训练 1．如图，⊙O 的半径为（r ＞0），若点P ′在射线OP 上（P ′可以和射线端点重合），满足OP ′+OP ＝2r ，则称点P ′ 是点P 关于⊙O 的“反演点”． （1）当⊙O 的半径为8时， ①若OP 1＝17，OP 2＝12，OP 3＝4， 则P 1，P 2，P 3中存在关于⊙O 的反演点”的是 ． ②点O 关于⊙O 的“反演点”的集合是 ， 若P 关于⊙O 的“反演点在⊙O 内，则OP 取值范围是 ； （2）如图2，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12，⊙O 的圆心在射线CB 上运动，半径为1．若线段AB 上存在点 P ，使得点P 关于⊙O 的“反演点”P ′在⊙O 的内部，求OC 的取值范围． 2．定义： 对于一个三角形，设其三个内角的度数分别为?x 、?y 和?z ，若x 、y 、z 满足2 22z y x =+， 我们定义这个三角形为和谐三角形． （1）△ABC 中，若 ∠B=50°，∠A=70° ，则△ABC_______(填“是”或“不是” ）和谐三角形； （2）如图，锐角△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C=60° ，AC=4 ， ⊙O 的直径是24 ， 求证：△ABC 是和谐三角形; （3）当△ABC 是和谐三角形，且∠A=30°，则∠C 为 _______°
3.在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0． （1）如图1，⊙O的半径为2， ①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）= ，d（B，⊙O）= ． ②已知直线l：y=与⊙O的密距d（l，⊙O）=，求b的值． （2）如图2，C为x轴正半轴上一点，⊙C的半径为1，直线y=﹣与x轴交于点D，与y轴交于点E，线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜．请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围． 4．在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”． （1）以O为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点”； （2）点M，N是一对“互换点”，点M的坐标为（m，n），且（m＞n），⊙P经过点M，N． ①点M的坐标为（4，0），求圆心P所在直线的表达式； ②⊙P的半径为5，求m－n的取值范围．
九年级数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)含详细答案
九年级数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)含详细答案 一、圆的综合 1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC． （1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线； （2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）8． 【解析】 （1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可； （2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案． 试题解析：连接AD，OA， ∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC， ∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°， 即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线． （2）连接AD，BD，
∵CD是直径， ∴∠DBC=90°， ∵CD=4，B为弧CD中点， ∴BD=BC=， ∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°， 即∠BDE=∠DAB， ∵∠DBE=∠DBA， ∴△DBE∽△ABD， ∴， ∴BE?AB=BD?BD=． 考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若tan A=1 2 ，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明； （3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径． 【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3． 【解析】 试题分析：（1）先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论；（2）先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；
最新圆的专项培优练习题及答案
《圆》的专项培优练习题 1．如图一，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是EB的中点，则下列结论不成 立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三2．如图二，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．C．6 D． 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P 作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD 与⊙O的位置关系，并说明理由。 9．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA 的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2． 求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线． 圆培优竞赛 1．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（） A 5 13 12 ． 12 5 C 3 13 5 D 2 13 3 【答案】B． 【解析】 试题分析：如答图，连接PO，AO，取AO中点G，连接AG，过点A作AH⊥PO于点H，∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E， ∴PA=PB，CA=CE，DB=DE，∠APO=∠BPO，∠OAP=90o. ∵△PCD的周长等于3r，∴PA=PB=3 r 2 . ∵⊙O的半径为r，∴在Rt△APO中，由勾股定理得 2 2 313 PO t r 2 ?? =+= ? ?? . ∴ 13 GO=. ∵∠OHA=∠OAP=90o, ∠HOA=∠AOP,∴△HOA∽△AOP. ∴AH OH OA PA OA OP ==,即 AH OH 3r13 r r 2 == ∴ 313213 AH OH=.∴ 13213513 GH GO OH =--. ∵∠AGH=2∠APO=∠APB, ∴ AH12 tan APB tan AGH G 313 13 513 r H5∠=∠===. 故选B． 考点：1.切线的性质；2.切线长定理；3.勾股定理；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.直角三角形斜边上中线的性质；7.转换思想的应用. 2．如图，以PQ=2r(r∈Q)为直径的圆与一个以R(R∈Q)为半径的圆相切于点P.正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与边CD切于点Q.若正方形的边长为有理数，则R、r的值可能是( ). =5，r=2 =4，r=3/2 =4，r=2 =5，r=3/2 【答案】D 【解析】 本题考查圆和勾股定理的综合应用，在竞赛思维训练中有典型意义。 可以将选项中的数据代入圆中，看是否满足条件。 做圆心O 和正方形中心O。设正方形边长为a。设AB中点为H，连接OH并延长，交大圆于点J 一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，已知扇形MON 的半径为2，∠MON=90°，点B 在弧MN 上移动，联结BM ，作OD ⊥BM ，垂足为点D ，C 为线段OD 上一点，且OC=BM ，联结BC 并延长交半径OM 于点A ，设OA=x ，∠COM 的正切值为y. （1）如图2，当AB ⊥OM 时，求证：AM=AC ； （2）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）当△OAC 为等腰三角形时，求x 的值. 【答案】 (1)证明见解析;(2) 2=+y x 02<≤x 142 2 =x . 【解析】 分析：（1）先判断出∠ABM =∠DOM ，进而判断出△OAC ≌△BAM ，即可得出结论； （2）先判断出BD =DM ，进而得出 DM ME BD AE =，进而得出AE =1 22 x （），再判断出2OA OC DM OE OD OD ==，即可得出结论； （3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论． 详解：（1）∵OD ⊥BM ，AB ⊥OM ，∴∠ODM =∠BAM =90°． ∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ，∴∠ABM =∠DOM ． ∵∠OAC =∠BAM ，OC =BM ，∴△OAC ≌△BAM ， ∴AC =AM ． （2）如图2，过点D 作DE ∥AB ，交OM 于点E ． ∵OB =OM ，OD ⊥BM ，∴BD =DM ． ∵DE ∥AB ，∴DM ME BD AE =，∴AE =EM ．∵OM 2，∴AE =1 22x （）． ∵DE ∥AB ，∴ 2OA OC DM OE OD OD ==， ∴22 DM OA y OD OE x =∴=+，02x ≤＜ 培优专题——圆 1．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC 的中点． （1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由． （2）若⊙O半径为2，∠B＝60°，求图中阴影部分的面积． 2．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC． （1）求证：P A是⊙O的切线； （2）若OH⊥AC，OH＝1，求DH的长． 3．如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交BC于点D，与△ABC的外接圆相交于点E，连接BE． （1）求证：BE＝IE； （2）若AD＝6，DE＝2，求AI的长． 4．如图1，直线MN是⊙O的切线，切点为A，弦BC∥MN，连接AB、AC． （1）求证：AB＝AC； （2）如图2，过点C作CD∥AB交直线MN于点D，交⊙O相交于点E，连接AE、BE．过 点A作AH⊥BE于H．求证：BH＝CE+EH． 5．如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，BC，点E在AB上，且AE＝CE．（1）求证：∠ABC＝∠ACE； （2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，证明PB＝PE； （3）在第（2）问的基础上，设⊙O半径为2，若点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最大值． 6．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O交BC于D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB延长线于点G，连结AD． （1）∠ADB＝°，依据是； （2）求证：DF是圆O的切线； （3）已知BC＝，CF＝2，求AE和BG的长． 7．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥BD，AC切⊙O于点A，点E为⊙O上一点，且AC＝CE，连CE交BD于点D．（1）求证：CD为⊙O的切线； （2）连AD，BE交于点F，⊙O的半径为2，当点F为AD中点时，求BD． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC． （1）求证：四边形ABFC是菱形； （2）若AD＝7，BE＝3，求⊙O和菱形ABFC的面积． 9．已知四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD，连接AC，BD． （I）如图①，若∠CBD＝36°，求∠BAD的大小； （Ⅱ）如图②，若点E在对角线AC上，且EC＝BC，∠EBD＝24°，求∠ABE的大小． 确定圆的条件培优专题 （一）. 求半径： 1、一个点到圆的最大距离为11cm ，最小距离为5cm ，则圆的半径为 cm 。 （拓展练习）如图，已知直线334 y x =-与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以C （0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA 、PB ．则△PAB 面积的最大值是 （ ） A ．8； B ．12； C ． 212；D ．172 ； 2、如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为25cm 2,则该半圆的半径为___________ 3、工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图(1)所示的工件槽，其中工件槽的两 个底角均为90?，尺寸如图(1)所示(单位：cm)．将形状规则的铁球放人槽内时，若同时具有图(1)所示的,,A B E 三个接触点，该球的大小就符合要求． 如图(2)所示的是过球心及,,A B E 三点的截面示意图．已知O 的直径就是铁球的直径，AB 是O 的弦，CD 切O 于点E ，,,AC CD BD CD ⊥⊥请你结合图中的数据，计算这种铁球的直径． 4、如图所示，要把残破的圆片修复完整．已知弧上的三点 A、B、C． （1）用尺规作图的方法找出 AB 所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若△ABC 是等腰三角形，底边 BC＝8cm，腰 AB＝5cm．求圆片的半径． 5、阅读材料： 小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计： 说明：方案一图形中的圆过点A，B，C，圆心O也是正方形的顶点； 回答问题（直接写出结果）： （1）方案二中，直角三角形纸片的两条直角边长分别为_______cm和_______cm； （2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率是________（填准确值），近似值约为38．2%．相比之下，方案二的利用率是________%．小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率是________. 6、【问题提出】苏科版（数学）九年级（上册）习题2.1有这样一道练习题：如图①，BD、CE是△ABC的高， M是BC的中点，点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？说明理由。 在解决此题时，若想要说明“点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上”只需证明． 第7题 第8题 第9题 第4题 第5题 第6题 圆的培优专题1——与圆有关的角度计算 一 运用辅助圆求角度 1、如图，△ABC 内有一点D ，DA ＝DB ＝DC ，若∠DAB ＝20?，∠DAC ＝30?， 则∠BDC ＝ . （∠BDC ＝ 1 2 ∠BAC ＝100?） 2、如图，AE ＝BE ＝DE ＝BC ＝DC ，若∠C ＝100?，则∠BAD ＝ . （50?） 3、如图，四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝20?，∠BDC ＝30?，则 维更明朗！ 4、如图，□ABCD 中，点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点，若∠D ＝60?， 则∠AEC ＝ . （∠AEC ＝2∠B ＝2∠D ＝120?） 5、如图，O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70?， 则∠DAO ＋∠DCO ＝ . （所求＝360?－∠ADC －∠AOC ＝150?） 6、如图，四边形ABCD 中，∠ACB ＝∠ADB ＝90?，∠ADC ＝25?，则∠ABC ＝ . （∠ABC ＝∠ADC ＝25?） 解题策略：第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到ACBD 共圆. 二 运用圆周角和圆心角相互转化求角度 7、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AB 的中点，D 为半圆AB 上一点，则∠ADC ＝ . 8、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 过OA 的中点E 并垂直于OA ，则∠ABC ＝ . 9、如图，AB 为⊙O 的直径，3BC AC =，则∠ABC ＝ . 第10题 第11题 第12题 答案：7、45?； 8、30?； 9、22.5?； 10、40?； 11、150?； 12、110? 解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！ 10、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC ＝50?，则∠ADC ＝ . 11、如图，⊙O 的半径为1，弦AB ，弦AC ∠BOC ＝ . 12、如图，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 过圆心O ，若AC CD =，∠P ＝30?， 则∠BDC ＝ . （设∠ADC ＝x ，即可展开解决问题） 解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形——等腰三角形或直角三角形或等腰 直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！ 圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！ 圆的培优专题2——与垂径定理有关的计算 1、如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB ，垂足为C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上，若∠BED ＝30?，⊙O 的半径为4，则弦AB 的长是 . 略解：∵OD ⊥AB ，∴AB ＝2AC ，且∠ACO ＝90?， ∵∠BED ＝30?，∴∠AOC ＝2∠BED ＝60? ∴∠OAC ＝30?，OC ＝ 1 2 OA ＝2，则AC ＝AB ＝2、如图，弦AB 垂直于⊙O 的直径CD ，OA ＝5，AB ＝6，则BC ＝ . 略解：∵直径CD ⊥弦AB ，∴AE ＝BE ＝1 2 AB=3 ∴OE 4=，则CE ＝5＋4＝9 最新资料推荐圆的培优 专题1 ------ 与圆有关的角度计算一运用辅助圆求角度 DAC1、如图，△ ABC 内有一点D，DA = DB =。。，若=DAB1 100BDC = ) BAC = .( 则=BDC ________ 2 100 50 ).，则(BAD = 、如图，2AE = BE = DE = BC = DC ,若C = 20 30 =，，则=AD，BDCCBD = 3、如图，四边形ABCD 中，AB = AC + + 60 BAD = . () BAD == BAC 题第3 第1题第2题 解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！60□ ，D4、如图，EABCD中，点为AB、BC的垂直平分线的交点，若= .(=AEC2120B =2) D =贝寸AEC = --------------- 70 ADC == OB = OC,, ABC 是四边形5、如图，OABCD 内一点，OA = 150) ADC —360 贝U DAO + DCO = .(所求==—AOC ----------------------------- 9025. ADB = , ADC == ，则ABC =中，6、如图，四边形ABCD ACB ------------------- () ABC = ADC = 25 3020 ,=, CAD = 40100 D 第题第 4 第题 5 6题. 题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到解题策略：第6ACBD共圆1 ............................................. 最新资料推荐................................... 运用圆周角 和圆心角相互转化求角度二ABAB . = O的直径，C为的中点，D为半圆上一点， 则ADC、如图，7AB为O _________ . OA过的中点E并垂直于OA，贝U ABC = 8如 图，AB为O O的直径，CD ___________ ACBC 3. ，则二ABC 9、如图，AB为O O 的直径，— 8、309; 、22.5解题策略：以 50 . 上, BAC = ，贝U ADC = O10、如图，AB为O的直径，点C、D在O O ____________ =，弦11、如图，O O的半径为1AB =，弦AC _________________ 30 CD AC ，P=，过圆心、 如图，12PAB、PCD是O O的两条割线，PABO，若X =.（设，即可展开解决问题）ADC 则 BDC = --------------- 题第12 11 10 第题第题 解题策略：在连接半径时，时常会伴随岀现特殊三角形一一等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！ 题第9第8题第7题 、110；、；1040 ; 11、15012 答案：7、45 ; J f3 2.=，贝0 BOC 弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径! 圆的培优专题1 ――与圆有关的角度计算 一运用辅助圆求角度 1、如图，△ ABC 内有一点D，DA = DB = DC，若DAB = 20 , DAC = 30 , 则BDC = ___________ .( BDC = -2- BAC = 100 ) 2、如图，AE = BE = DE = BC = DC,若C= 100 ，贝U BAD = _____________ . ( 50 ) 3、如图，四边形ABCD 中，AB = AC = AD , CBD = 20 , BDC = 30，贝U BAD = . ( BAD = BAC + CAD = 40 + 60 = 100 ) 第1题第2题第3题 解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗! 4、如图，口ABCD中，点E为AB、BC的垂直平分线的交点，若 D = 60 , 则AEC = .(AEC = 2 B = 2 D = 120 ) 5、如 O是四边形ABCD 内一点，OA = OB = OC, ABC =ADC = 70 ,图, 则DAO + DCO =(所求=360 —ADC —AOC = 150 ) 6、如图，四边形ABCD 中，ACB = ADB = 90 , ADC = 25，贝卩ABC = ____________________ (ABC = ADC = 25 ) 第4题第5题第6题 解题策略：第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到ACBD共圆. 运用圆周角和圆心角相互转化求角度 解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形一一等腰三角形或直角三角形或等腰 直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点! 圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质! 如图, AB 为O O 的直径, e 为A B 的中点, D 为半圆 A B 上一点，贝U ADC = 8、 如图, AB 为O O 的直径, CD 过OA 的中点 E 并垂直于OA ，贝U ABC = AB 为O O 的直径, Be 3A C ，则 ABC = 10、如图, 9、22.5 ; 以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径! AB 为O O 的直径，点C 、D 在O O 上， BAC = 50，则 ADC = 11、如图, O O 的半径为 1,弦 AB = 2，弦 AC = 3，贝y BOC = 12、如图, PAB 、PCD 是O O 的两条割线，PAB 过圆心O ,若AC CD , P = 30 , .（设 ADC = X ，即可展开解决问题） 第10题 第11题 如图, 9、 解题策略: C 10、 40 ; 圆的培优专题13——圆与三角形的内心 1、如图，AB 是⊙O 的直径，AC CE =，点M 为BC 上一点，且CM ＝AC. （1）求证：M 为△ABE 的内心；（2）若⊙O 的半径为5，AE ＝8，求△BEM 的面积. （1）证：如图，连接CE ，则AC ＝CE ＝CM ∴∠CME ＝∠CEM ，∠CEA ＝∠CBE ∴∠CBE ＋∠BEM ＝∠CEA ＋∠AEM ∴∠AEM ＝∠BEM ，又∠ABC ＝∠CBE ∴点M 为△ABE 的内心. （2）解：如图，过点M 作MN ⊥BE 于点N ，则MN 为△ABE 的内切圆的半径. ∵AB ＝10，AE ＝8，则BE 6= ∴MN ＝ 681022+-=， ★★ MN ＝2a b c +-＝ab a b c ++＝2 ∴BME 的面积为12×6×2＝6. 2、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为直径，AD 平分∠BAC 点M 是△ABC 的内心. （1）求证：BC DM ；（2）若DM ＝AB ＝8，求OM 的长. （1）证：如图，连接BD ，CD ， ∵BC 为直径，AD 平分∠BAC ∴BD ＝CD ，∠BDC ＝90?， ∴BC 连接CM ，则∠ACM ＝∠BCM ，∠DAC ＝∠BCD ∴∠DMC ＝∠ACM ＋∠DAC ＝∠BCM ＋∠BCD ＝∠DCM ， ∴DM ＝CD ，即BC DM （2）解：显然，BC DM ＝10，AB ＝8，则AC ＝6，且∠MAE ＝45? 如图，过M 作ME ⊥BC 于点N ，作MF ⊥AC 于点F ，则ME ＝MF ＝AF ＝2 ∴ CF ＝CE ＝4，则OE ＝1 ∴OM =3、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，I 是△ABD 的内心，DI 的延长线交⊙O 于N. （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若DE ＝4，CE ＝2，求⊙O 的半径和IN 的长. O A E D B C F O A B C D P 初三《圆》培优专题练习 一、选择题 1、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B =60°，则∠CAO 的度数是( ) A ．15° B ．30° C ． 45° D ．60° 2．如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝22，BD ＝3，则AB 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3. 下列命题中，真命题是 （ ） A ．相等的圆心角所对的弧相等 B ．相等的弦所对的弧相等 C ．度数相等的弧是等弧 D ．在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等 4．边长为2的等边三角形的外接圆的半径是（ ） （A ） 3 3 （B ） 3 （C ）2 3 （D ）2 3 3 5，圆内接四边形ABCD 中，四个角的度数比可顺次为（ ） （A ）4：3：2：1 （B ）4：3：1：2 （C ）4：2：3：1 （D ）4：1： 3：2 6．如图3，已知⊙O 的半径为5，点到弦的距离为3，则⊙O 上到弦所在直线的距离为2的点有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7、 ⊙O 的半径为10cm ，两平行弦AC ，BD 的长分别为12cm ，16cm ，则两弦间的 距离是（ ） A. 2cm B. 14cm C. 6cm 或8cm D. 2cm 或14cm 8、 如图，⊙O 是?ABC 的外接圆，AO BC ⊥于F ，D 为AC ? 的中点，E 是BA 延长线上一点，∠=?D A E 114，则∠C A D 等于（ ） A. 57° B. 38° C. 33° D. 28.5° 二、填空题 1、.已知圆O 的半径为6㎝，弦AB=6㎝，则弦AB 所对的 圆周角是 度。 2、一条弦分圆周为5：7，这条弦所对的圆周角的度数是 。 3、.弓形的半径为10cm ，弦长为12cm ，则弓形高为___________cm. 4、 如图，弦CD ⊥AB 于P ，AB=8，CD=8，⊙O 半径为5，则OP 长为________。 5．如图7所示，⊙O 的两弦AB 、CD 交于点P ，连接AC 、BD ， 得S △ACP ：S △DBP =16:9，则AC ：BD 圆的专项培优练习题 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是EB的中点，则下列结论不成 立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B C．6 D 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P 作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD 与⊙O的位置关系，并说明理由。 9．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA 的平行线与AF相交于点F，BE=2． 求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线． 圆的培优专题含解答精 编版 MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】 第7题 第8题 第9题 第4题 第5题 第6题 圆的培优专题 1——与圆有关的角度计算 一 运用辅助圆求角度 1、如图，△ABC 内有一点D ，DA ＝DB ＝DC ，若∠DAB ＝20?，∠DAC ＝30?， 则∠BDC ＝ . （∠BDC ＝ 1 2 ∠BAC ＝100?） 2、如图，AE ＝BE ＝DE ＝BC ＝DC ，若∠C ＝100?，则∠BAD ＝ . （50?） 3、如图，四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝20?，∠BDC ＝30?，则 更明朗！ 4、如图，□ABCD 中，点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点，若∠D ＝60?， 则∠AEC ＝ . （∠AEC ＝2∠B ＝2∠D ＝120?） 5、如图，O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70?， 则∠DAO ＋∠DCO ＝ . （所求＝360?－∠ADC －∠AOC ＝150?） 6、如图，四边形ABCD 中，∠ACB ＝∠ADB ＝90?，∠ ADC ＝25?，则∠ABC ＝ . （∠ABC ＝∠ADC ＝25?） 解题策略：第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到ACBD 共圆. 二 运用圆周角和圆心角相互转化求角度 7、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AB 的中点，D 为半圆AB 上一点，则∠ADC ＝ . 8、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 过OA 的中点E 并垂直于OA ，则∠ABC ＝ . 9、如图，AB 为⊙O 的直径，3BC AC =，则∠ABC ＝ . 答案：7、45?； 8、30?； 9、?； 10、40?； 11、150?； 12、110? 解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！ 10、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC ＝50?，则∠ADC ＝ . 11、如图，⊙O 的半径为1，弦AB AC ∠BOC ＝ .圆精典培优竞赛题(含详细答案)
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