2012-2013学年贵州省黔西南州望谟三中高三(上)8月月考数学试卷(文科)(解析版)
2012-2013学年贵州省黔西南州望谟三中高三（上）8月月考数学试卷（文科）一、选择题
1. 若f(x)＝?x2+2ax与g(x)=a
x
在区间[1,?2]上都是减函数，则a的取值范围是（）
A.(0,?1)
B.(0,?1]
C.(?1,?0)∪(0,?1)
D.(?1,?0)∪(0，1
2. 下列判断正确的是（）
A.函数f(x)=x2?2x
x?2
是奇函数
B.函数f(x)=(1?x)√1+x
1?x
是偶函数
C.函数f(x)=x+√x2?1是非奇非偶函数
D.函数f(x)＝1既是奇函数又是偶函数
3. 设球的半径为时间t的函数R(t)．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径．
A.成正比，比例系数为C
B.成正比，比例系数为2C
C.成反比，比例系数为C
D.成反比，比例系数为2C
4. 定义两种运算：a⊕b=√a2?b2，a?b=√(a?b)2，则f(x)=2⊕x
x?2?2
是（）函数．
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数
5. 设函数f(x)=1
3
x?ln x(x>0)，则y=f(x)()
A.在区间(1
e
,1)，(1,?e)内均有零点．
B.在区间(1,?e)，(e,?3)内均有零点．
C.在区间(e,?3)，(3,?e2)内均无零点．
D.在区间内(1,?e)，(3,?e2)内均有零点．
6. 已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）
A.a>b>c
B.b>a>c
C.b>c>a
D.c>b>a 7. 函数y=x
sin x
，x∈(?π,?0)∪(0,?π)的图象可能是下列图象中的（）
A. B.
C. D.
8. 已知f(x)=x+1，g(x)=2x，?(x)=?x+6，设函数F(x)=min{f(x),?g(x),??(x)}，则F(x)的最大值为（）
A.1
B.2
C.7
2
D.4
9. 已知映射f:A→B，其中A=B=R，对应法则：f:x→y=x2?2x+2若对实数k∈B，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是（）
A.k≤1
B.k<1
C.k≥1
D.k>1
10.
在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()
2
y=(x?1)2 D.y=cos x
11. 若函数f(x)=(x?1)(x+a)
x
为奇函数，则a的值为（）
A.2
B.1
C.?1
D.0
12. 定义一种运算：a?b={
a(a≥b)
b(a x?(3?x)，那么函数y=(x+1)的大致图象是 （） A. B. C. D. 二、填空题 P={3,?4,?5}，Q={4,?5,?6,?7}，定义P★Q={(a,?b)|a∈P,?b∈Q}则P★Q中元素的个数________． 函数f(x)=1 1?x +lg(x+1)的定义域是________． 20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，地震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：M=lg A?lg A0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．假设在一次地震中，最大振幅是20，标准地震的振幅是0.001，则此次地震的震级是________.（lg2≈0.3） 定义在R上的函数y=f(x)，若对任意不等实数x1，x2满足f(x1)?f(x2) x1?x2 <0，且对于任意的x，y∈R，不等式 f(x2?2x)+f(2y?y2)≤0成立．又函数y=f(x?1)的图象关于点(1,?0)对称，则当1≤x≤4时，y x 的取值范围为________． 三、解答题 已知函数f(x)定义域为[?1,?1]，若对于任意的x，y∈[?1,?1]，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0时，有f(x)>0． (1)证明：f(x)为奇函数； (2)证明：f(x)在[?1,?1]上为单调递增函数；(3)设f(1)=1，若f(x) 如果函数f(x)的定义域为{x|x>0}，且f(x)为增函数，f(x?y)=f(x)+f(y)． （1）求f(1)的值； （2）求证：f(x y )=f(x)?f(y)； （3）已知f(3)=1，且f(a)>f(a?1)+2，求a的取值范围． 设函数g(x)=1 3 x3+1 2 ax2?bx(a,?b∈R)，在其图象上一点P(x,?y)处的切线的斜率记为f(x)． （1）若方程f(x)=0有两个实根分别为?2和4，求f(x)的表达式； （2）若g(x)在区间[?1,?3]上是单调递减函数，求a2+b2的最小值． 已知函数f(x)满足f(log a x)=a a2?1 (x?x?1)，其中a>0，a≠1 （1）对于函数f(x)，当x∈(?1,?1)时，f(1?m)+f(1?m2)<0，求实数m的集合； （2）当x∈(?∞,?2)时，f(x)?4的值恒为负数，求a的取值范围． 某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测 在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+1 2n )万元（n为正整数）． (Ⅰ)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n万元，进行技术改造后的累计纯利润 为B n万元（须扣除技术改造资金），求A n、B n的表达式； (Ⅱ)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累 计纯利润？ 已知函数f(x)=log a(1+x)，g(x)=log a(1?x)其中(a>0且a≠1)，设?(x)=f(x)?g(x)． （1）求函数?(x)的定义域，判断?(x)的奇偶性，并说明理由； （2）若f(3)=2，求使?(x)<0成立的x的集合． 参考答案与试题解析 2012-2013学年贵州省黔西南州望谟三中高三（上）8月月考数学试卷（文科） 一、选择题 1. 【答案】 B 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【解析】 利用二次函数的单调性与对称轴有关，反比例函数的单调性与比例系数有关，即可得结论． 【解答】 ∵f(x)＝?x2+2ax的对称轴为x＝a，在区间[1,?2]上是减函数， ∴a≤1，① 又∵g(x)=a x 在区间[1,?2]上是减函数， ∴a>0② 由①②，可得0 2. 【答案】 C 【考点】 函数奇偶性的性质与判断 【解析】 先考虑函数的定义域是否关于原点对称，再验证f(?x)与f(x)的关系，即可得到结论． 【解答】 A、函数的定义域为(?∞,?2)∪(2,?+∞)，不关于原点对称，故非奇非偶； B、函数的定义域为[?1,?1)，不关于原点对称，故非奇非偶； C、函数的定义域为(?∞,??1]∪[1,?+∞)，f(?x)=?x+√x2?1=?1 f(x) ，故非奇非偶； D、函数f(x)＝1，图象关于y轴对称，是偶函数，但不是奇函数 3. 【答案】 D 【考点】 球的表面积和体积 【解析】 求出球的体积的表达式，然后球的导数，推出c R(t)R′(t) =4πR(t)，利用面积的导数是体积，求出球的表面积的增长速度与球半径的比例关系． 【解答】 解：由题意可知球的体积为V(t)=4 3πR3(t)，则c=V′(t)=4πR2(t)R′(t)，由此可得c R(t)R′(t) =4πR(t)， 而球的表面积为S(t)=4πR2(t)，所以V 表 =S′(t)=4πR2(t)=8πR(t)R′(t)， 即V 表 =8πR(t)R′(t)=2×4πR(t)R′(t)=2c R(t)R′(t) R′(t)=2c R(t) 故选D 4. 【答案】 A 【考点】 函数奇偶性的判断 进行简单的合情推理 【解析】 先利用新定义把f(x)的表达式找出来，在利用函数的定义域把函数化简，最后看f(x)与f(?x)的关系得结论．【解答】 解：由定义知f(x)=√4?x2 √(x?2)2?2 =√4?x2 |x?2|?2 ， 由4?x2≥0且|x?2|?2≠0，得?2≤x<0或0 所以f(x)=√4?x2 2?x?2 =?√4?x2 x ， 则f(?x)=√4?x2 x =?(?√4?x2 x )=?f(x)， 故f(?x)=?f(x)，即f(x)是奇函数． 故选A． 5. 【答案】 D 【考点】 函数在某点取得极值的条件 函数的零点 【解析】 求f(x)的零点问题，可以令g(x)=1 3 x，?(x)=ln x(x>0)，分别画出g(x)和?(x)的图象，看交点所在的区间，从而进行判断； 【解答】 解：∵函数f(x)=1 3 x?ln x(x>0)， 可以令g(x)=1 3 x，?(x)=ln x(x>0)，由图象得， 可知：f(x)有两个零点A，B， A点在区间(1,?e)内，B点在区间(3,?e2)内，故选D． 6. 【答案】 C 【考点】 对数值大小的比较 【解析】 由a＝log 20.3 2 1＝0，b＝20.3>20＝1，0 【解答】 ∵a＝log 20.3 2 1＝0， b＝20.3>20＝1， 0 ∴b>c>a． 7. 【答案】 D 【考点】 函数的图象变换 【解析】 根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可．【解答】 解：∵y=x sin x 是偶函数，排除A， 当x=2时，y=2 sin2 >2，排除C， 当x=π 6时，y= π 6 sinπ 6 =π 3 >1，排除B、C， 故选D．8. 【答案】C 【考点】 函数的图象变换 函数的值域及其求法 【解析】 根据函数F(x)=min{f(x),?g(x),??(x)}，结合函数f(x)，g(x)，?(x)的函数图象，得到 F(x)= { x+1,x≤0 2x，0 x+1,1≤x≤5 2 ?x+6,x>5 2 的图象，则F(x)的最大值为图中C点的纵坐标（f(x)与?(x)交点的纵坐标）． 【解答】 解：∵f(x)=x+1，g(x)=2x，?(x)=?x+6， 设函数F(x)=min{f(x),?g(x),??(x)}， ∴F(x)= { x+1,x≤0 2x，0 x+1,1≤x ≤5 2 ?x+6,x>5 2 ， 则F(x)的最大值为图中C点的纵坐标(f(x)与?(x)交点的纵坐标）， 即x+1=?x+6，x=5 2 ， ∴F(x)的最大值为7 2 ， 故答案为：7 2 9. 【答案】 B 【考点】 映射 【解析】 设x2?2x+2=k，据题意知此方程应无实根，用判别式表示方程无实根，即判别式小于0，解出k的值．【解答】 解：设x2?2x+2=k，据题意知此方程应无实根 ∴△=(?2)2?4?(2?k)<0， 1?2+k<0 ∴k<1， 故选B 10. 【答案】 B 【考点】 回归分析的初步应用 变量间的相关关系 【解析】 由表中的数据可以看出，自变量基本上是等速增加，而相应的函数值增加的速度越来越快，故应考查四个选项中函数的变化特征来确定应选那一个选项． 【解答】 解：对于函数y=2x，相应的函数值增加的速度是很大的， 而且代入值偏差较大故选项A不是； 对于C，同理可判断，也不符合要求； 对于D，函数值不可能超过1，也不符合要求； 对于B，对数函数的增长是缓慢的，基本符合要求． 故选B. 11. 【答案】 B 【考点】 函数奇偶性的性质 【解析】 函数f(x)为定义域上的奇函数，故图象关于原点对称，利用特使值代入法即可解得a的值 【解答】 解：∵函数f(x)=(x?1)(x+a) x 为奇函数 ∴f(?1)=?f(1) 即?2×(?1+a) ?1 =0 解得a=1 故选B 12. 【答案】 B 【考点】 函数的图象变换 【解析】 由a?b={ a(a≥b) b(a x?(3?x)={ 3?x,x<1 2x，x≥1，这个函数图象的最低点是(1,?2)，由此知函数y=f(x+1)图象的最低点是(0,?2)，结合已知一次函数和指数函数的图象，得到正确选项为B． 【解答】 解：∵a?b={ a(a≥b) b(a ∴f(x)=2x?(3?x)={ 3?x,x<1 2x，x≥1， 这个函数图象的最低点是(1,?2)， ∵函数y=f(x+1)的图象是把函数y=f(x)的图象向左平移一个单位得到的， 故函数y=f(x+1)图象的最低点是(0,?2)， 结合已知一次函数和指数函数的图象， 得到正确选项为B． 故选B． 二、填空题 【答案】 12 【考点】 元素与集合关系的判断 【解析】 首先对新定义的P★Q有充分的理解，然后利用列举法将集合P★Q中元素逐一列出，数一数个数即可．【解答】 解：P★Q={(a,?b)|a∈P,?b∈Q} ={(3,?4)，(3,?5)，(3,?6)，(3,?7)， (4,?4)，(4,?5)，(4,?6)，(4,?7)， (5,?4)，(5,?5)，(5,?6)，(5,?7)} 故P★Q中元素的个数12 故答案为12 【答案】 {x|x>?1且x≠1} 【考点】 函数的定义域及其求法 【解析】 欲求此函数的定义域，可由x+1>0，且1?x≠0，解出x的取值范围，最终得出答案． 【解答】 解：∵x+1>0，且1?x≠0，∴x>?1且x≠1， 故答案为：{x|x>?1且x≠1}． 【答案】 4.3 【考点】 对数及其运算 【解析】 根据题目的条件，将数据代入M=lg A?lg A0，利用对数的运算性质进行求解即可；【解答】 解：由题意可得，A=20，A0=0.001， ∴M=lg20?lg0.001=lg20 0.001 =lg20000=lg2+lg104≈4+0.3=4.3. ∴这次地震的震级为里氏4.3级． 故答案为：4.3. 【答案】 [?1 2 ,?1] 【考点】 函数单调性的判断与证明 函数单调性的性质 函数的求值 【解析】 由f(x1)?f(x2) x1?x2 <0可得：函数f(x)是递减函数．由函数y=f(x?1)的图象关于点(1,?0)对称，可得函数f(x)是奇函数，再结合f(x2?2x)+f(2y?y2)≤0可得(x?y)(x+y?2)≥0(1≤x≤4)，进而利用线性规划的知识解决问题． 【解答】 解：因为对任意不等实数x1，x2 满足f(x1)?f(x2) x1?x2 <0， 所以函数f(x)是定义在R上的单调递减函数． 因为函数y=f(x?1)的图象关于点(1,?0)对称， 所以函数y=f(x)的图象关于点(0,?0)对称，即函数f(x)是定义在R上的奇函数． 又因为对于任意的x，y∈R，不等式f(x2?2x)+f(2y?y2)≤0成立， 所以f(x2?2x)≤f(?2y+y2)成立， 所以根据函数的单调性可得：对于任意的x，y∈R，不等式x2?2x≥y2?2y成立，即(x?y)(x+y?2)≥0(1≤x≤4)， 所以可得其可行域，如图所示：因为y x =y?0 x?0 ， 所以y x 表示点(x,?y)与点(0,?0)连线的斜率， 所以结合图象可得：y x 的最小值是直线OC的斜率?1 2 ，最大值是直线AB的斜率1， 所以y x 的范围为：[?1 2 ,?1]． 故答案为：[?1 2 ,?1]． 三、解答题 【答案】 (1)证明：令x=y=0，∴f(0)=0， 令y=?x，∴f(0)=f(x)+f(?x)=0， ∴f(?x)=?f(x)， ∴f(x)为奇函数. (2)证明：∵f(x)是定义在[?1,?1]上的奇函数， 令?1≤x1 则有f(x2)?f(x1)=f(x2)+f(?x1)=f(x2?x1)>0， 即f(x2)>f(x1)， ∴f(x)在[?1,?1]上为单调递增函数. (3)解：f(x)在[?1,?1]上为单调递增函数，f(x)max=f(1)=1， 使f(x) 只要满足m2?2am+1>1，即m2?2am>0. 令g(a)=m2?2am=?2am+m2， 要使g(a)>0恒成立，则{ g(?1)>0， g(1)>0， ∴m∈(?∞,??2)∪(2,?+∞). 【考点】 函数恒成立问题 奇偶性与单调性的综合 函数奇偶性的性质 函数奇偶性的判断 函数单调性的判断与证明 【解析】 （1）先利用特殊值法，求证f(0)=0，令y=?x即可求证； （2）由（1）得f(x)为奇函数，f(?x)=?f(x)，利用定义法进行证明； （3）由题意f(x) 【解答】 (1)证明：令x=y=0，∴f(0)=0， 令y =?x ，∴ f(0)=f(x)+f(?x)=0， ∴ f(?x)=?f(x)， ∴ f(x)为奇函数. (2)证明：∵ f(x)是定义在[?1,?1]上的奇函数， 令?1≤x 1 则有f(x 2)?f(x 1)=f(x 2)+f(?x 1)=f(x 2?x 1)>0， 即f(x 2)>f(x 1)， ∴ f(x)在[?1,?1]上为单调递增函数. (3)解：f(x)在[?1,?1]上为单调递增函数，f(x)max =f(1)=1， 使f(x) g(1)>0， ∴ m ∈(?∞,??2)∪(2,?+∞). 【答案】 解：（1）f(x ?y)=f(x)+f(y)令x =y =1 则f(1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0 （2）∵ 对一切x ，y >0满足f(x)+f(y)=f(x ?y)， ∴ f(x y )+f(y)=f(x y ×y)=f(x) 因此，满足 f(x y )=f(x)?f(y)， （3）∵ f(3)=1，∴ 2=f(3)+f(3)=f(9)； ∵ f(x)是定义在(0,?+∞)上的增函数， ∴ f(a)>f(a ?1)+2，则f(a)>f(a ?1)+f(9)=f[(a ?1)?9] ∴ {a ?1>0 a >0(a ?1)?9 8 ， 故a 的取值范围(1,?98) 【考点】 抽象函数及其应用 【解析】 （1）根据函数f(x)的定义域为{x|x >0}，f(x ?y)=f(x)+f(y)，取x =y =1，可求出f(1)的值； （2）结合抽象表达式用x y 代替x ，y 不变，即可化简变形得到f(x y )=f(x)?f(y)； （3）首先求得2=f(9)，进而对不等式进行转化，然后结合函数y =f(x)是定义在(0,?+∞)上的单调性，结合变形后的抽象函数即可获得变量a 的满足的条件，解之即可求出a 的取值范围． 【解答】 解：（1）f(x ?y)=f(x)+f(y)令x =y =1 则f(1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0 （2）∵ 对一切x ，y >0满足f(x)+f(y)=f(x ?y)， ∴ f(x y )+f(y)=f(x y ×y)=f(x) 因此，满足 f(x y )=f(x)?f(y)， （3）∵ f(3)=1，∴ 2=f(3)+f(3)=f(9)； ∵ f(x)是定义在(0,?+∞)上的增函数， ∴ f(a)>f(a ?1)+2，则f(a)>f(a ?1)+f(9)=f[(a ?1)?9] ∴ {a ?1>0 a >0(a ?1)?9 8， 故a 的取值范围(1,?98) 【答案】 解：（1）根据导数的几何意义知f(x)=g ′(x)=x 2+ax ?b 由已知?2、4是方程x 2+ax ?b =0的两个实数 由韦达定理，{?2+4=?a ?2×4=?b ∴ {a =?2 b =8 ，f(x)=x 2?2x ?8 （2）g(x)在区间[?1,?3]上是单调减函数， 所以在[?1,?3]区间上恒有f(x)=g ′(x)=x 2+ax ?b ≤0，即f(x)=x 2+ax ?b ≤0在[?1,?3]恒成立 这只需满足{f(?1)≤0f(3)≤0即可，也即{a +b ≥1 b ?3a ≥9 而a 2+b 2可视为平面区域{a +b ≥1 b ?3a ≥9内的点到原点距离的平方，其中点(?2,?3)距离原点最近， 所以当{a =?2 b =3时，a 2+b 2有最小值13． 【考点】 利用导数研究函数的单调性 二次函数的性质 导数的几何意义 求线性目标函数的最值 【解析】 （1）根据导数的几何意义求出f(x)=g ′(x)，再根据?2、4是方程f(x)=0的两个实数，由韦达定理建立方程组，解之即可； （2）根据g(x)在区间[?1,?3]上是单调减函数，得到函数g(x)在区间[?1,?3]上恒有f(x)=g ′(x)≤0，然后建立关于a 和b 的约束条件，而a 2+b 2可视为平面区域{a +b ≥1 b ?3a ≥9内的点到原点距离的平方，其中点(?2,?3)距 离原点最近，从而求出a 2+b 2的最小值． 【解答】 解：（1）根据导数的几何意义知f(x)=g ′(x)=x 2+ax ?b 由已知?2、4是方程x 2+ax ?b =0的两个实数 由韦达定理，{?2+4=?a ?2×4=?b ∴ {a =?2 b =8 ，f(x)=x 2?2x ?8 （2）g(x)在区间[?1,?3]上是单调减函数， 所以在[?1,?3]区间上恒有f(x)=g ′(x)=x 2+ax ?b ≤0，即f(x)=x 2+ax ?b ≤0在[?1,?3]恒成立 这只需满足{f(?1)≤0f(3)≤0即可，也即{a +b ≥1 b ?3a ≥9 而a 2+b 2可视为平面区域{a +b ≥1 b ?3a ≥9内的点到原点距离的平方，其中点(?2,?3)距离原点最近， 所以当{a =?2 b =3时，a 2+b 2有最小值13． 【答案】 解：（1）根据题意，令log a x =t ，则x =a t ， 所以f(t)= a a 2?1 (a t ?a ?t )，即f(x)= a a 2?1 (a x ?a ?x ) 当a >1时，因为a x ?a ?x 为增函数，且a a 2?1>0，所以f(x)在(?1,?1)上为增函数； 当0 a 2?1<0，所以f(x)在(?1,?1)上为增函数； 综上所述，f(x)在(?1,?1)上为增函数． 又因为f(?x)=a a 2?1(a ?x ?a x )=?f(x)，故f(x)为奇函数． 所以f(1?m)+f(1?m 2)<0?f(1?m) ?1<1?m 2<11?m 解得1 则要使x ∈(?∞,?2)，f(x)?4的值恒为负数， 只要f(2)?4<0即可，即f(2)=a a 2?1(a 2?a ?2)=a a 2?1 a 4?1a 2 = a 2+1a <4，又a >0 解得2?√3 又a ≠1，可得符合条件的a 的取值范围是(2?√3,?1)∪(1,?2+√3)． 【考点】 函数单调性的性质 函数单调性的判断与证明 【解析】 （1）首先根据题意，用换元法求出f(x)的解析式，进而分析函数的单调性和奇偶性，将已知不等式转化为f(1?m) ?1)，进而转化为{?1<1?m <1 ?1<1?m 2<11?m ，解可得答案； （2）由（1）中的单调性可将f(x ?4)的值恒为负数转化为f(2)?4≤0，解不等式即可． 【解答】 解：（1）根据题意，令log a x =t ，则x =a t ， 所以f(t)=a a 2?1(a t ?a ?t )，即f(x)=a a 2?1(a x ?a ?x ) 当a >1时，因为a x ?a ?x 为增函数，且a a 2?1>0，所以f(x)在(?1,?1)上为增函数； 当0 a 2?1<0，所以f(x)在(?1,?1)上为增函数； 综上所述，f(x)在(?1,?1)上为增函数． 又因为f(?x)=a a 2?1(a ?x ?a x )=?f(x)，故f(x)为奇函数． 所以f(1?m)+f(1?m 2)<0?f(1?m)