反常积分概念
反常积分
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广义积分
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瑕积分仍然记作 。
[编辑]定义2
设函数f(x)在[a,b)上连续，点b为f(x)的瑕点。取t<b，如果极限
存在，则称此极限为函数f(x)在[a,b)上的反常积分。
[编辑]定义3
设函数f(x)在[a,b]上除点c(a<c<b)外上连续，点c为f(x)的瑕点。如果两个瑕积分
与
都收敛，则定义
[编辑]参见
积分、反常积分
显示▼隐藏▲数学家
牛顿·莱布尼兹·柯西·黎曼
拉格朗日·拉普拉斯·欧拉
查•论•编•历
瑕积分是被积函数带有瑕点的广义积分，参见如下定义。
目录
[隐藏]
1 定义1
2 定义2
3 定义3
十一章反常积分
0
1
b
x
二、两类反常积分的定义. 两类反常积分的定义
定义1: 定义 设函数 f (x)定义在区间[a, +∞)上, 且在任何 有限区间[a, u]上可积，如果存在极限
u →+∞ a
lim
∫ f ( x )dx = J
u
则称此极限为函数 f (x)在无穷区间[a, +∞)上 (x) [a, +∞) 的无穷限反常积分, 记作
u2
u 1
f (x)d <ε. x
２，比较原则
设定义在[ a,+∞)上的两个函数f和g都在任何有限区间上可积，
且满足
f (x ≤g(x x∈ a+ ) ) ), [, ∞
定理11.2（比较原则） （比较原则） 定理
设定义在[ a,+∞)上的两个函数f和g都在任何有限区间上可积，
[, ∞ 且满足 f (x) ≤g(x), x∈ a+ ) 则
若 g(x d 收 ，则 ∫ )x 敛 ∫
a
+ ∞
+ ∞
a
f (x d 收 ; ) x 敛
若 ∫
例1 : 讨论 ∫
+∞ 0
+ ∞
a
f (x d 发 ，则 g(x d 发 . ) x 散 ∫ )x 散
a
+ ∞
sin x dx的收敛性. 2 1+ x
a sin x x +b
3 2
例 2 : 讨论 ∫
+∞
a
+∞
a +∞
[k1 f1 ( x) + k 2 f 2 ( x)]dx也收敛， 且 [k1 f1 ( x) + k 2 f 2 ( x)]dx = k1 ∫
第十一章 反常积分
[
]
=
p 1 +¥ - 2 k p e + 1 - ( 2 k +1 ) p - ( 2 k + 2 ) p e + 2 e + e = . å p 2 k = 0 2 ( e - 1 )
[
]
（3）此为瑕积分，瑕点为 0。令 x = 2t ，化为
x 0
p
+ u ®0 u
亦收敛。而这与 ò f ( x ) dx 为条件收敛的假设相矛盾，所以这两个无穷积分都是发散的，且
ò [ f ( x ) + f ( x ) ]dx = +¥ = ò [ f ( x ) - f ( x ) ]dx ,
a a
+¥
+¥
意即它们都是无穷大量。 （2）这里是要证明（1）中两个正无穷大量是等价无穷大量。为此考察
p
1 n 2 . 2
设 ò f ( x ) dx 为条件收敛。证明：
a +¥ a
（1） ò 都为发散；
[ f ( x ) + f ( x ) ]dx 与 ò [ f ( x ) - f ( x ) ]dx
a
+¥
ò [ f ( t ) + f ( t ) ]dt = 1 . （2） lim ò [ f ( t ) - f ( t ) ]dt
( 2 k + 2 ) p
( 2 k +1 ) p
- x e sin xdx ö ÷ ø
( 2 k + 2 ) p 1 +¥ - x k p - x e (sin x + cos x ) 2 ) å ( 2 k +1 ) p + e (sin x + cos x ( 2 k +1 ) p 2 k = 0
为什么 x的p次方分之一的反常积分
为什么x的p次方分之一的反常积分？一、引言在数学中，我们经常会遇到各种各样的积分问题。
其中有一类特殊的积分叫做反常积分，即在积分区间上存在某种特殊性质，导致积分无法直接计算的情况。
本文将就其中一种特殊的反常积分进行探讨，即“为什么x的p次方分之一的反常积分”。
二、反常积分的基本概念在了解x的p次方分之一的反常积分之前，我们首先需要了解反常积分的基本概念。
反常积分是指在定积分的计算过程中，如果被积函数在积分区间上存在无穷大、间断点或者无界点的情况，导致积分无法直接计算的情况。
这种积分称为反常积分，需要通过一定的方法进行求解。
三、x的p次方分之一的反常积分的特殊性质x的p次方分之一的反常积分在数学中具有一定的特殊性质，主要体现在对函数的积分区间以及函数的渐近性质上。
在进行这类反常积分的计算时，我们需要特别注意积分区间是否存在无穷大或者无界点，以及函数在这些点的渐近性质。
只有通过对函数渐近性质的分析，才能准确地判断反常积分的收敛性和发散性。
四、x的p次方分之一的反常积分的计算方法针对x的p次方分之一的反常积分，我们通常会采用换元积分法、分部积分法或者特殊积分方法进行计算。
在这些方法中，最关键的一点是要先对积分区间进行分析，确定是否存在无穷大或者无界点，并通过适当的变换或者分解化简原积分，使得原反常积分能够转化为可求解的定积分或者收敛级数。
五、个人观点与理解对于x的p次方分之一的反常积分，我个人认为在进行计算时需要特别注意函数的渐近性质，并通过变换或者分解化简原积分，使得原反常积分转化为可求解的定积分。
对于特殊的反常积分，我们还可以通过级数展开或者其他数学方法进行求解。
反常积分在数学中具有重要的地位，需要我们对积分方法有深入的理解和掌握。
六、总结与回顾通过本文的探讨，我们对x的p次方分之一的反常积分有了更深入的了解。
在进行这类反常积分的计算时，需要特别注意函数的积分区间和渐近性质，并通过适当的变换或者分解化简原积分，使得原反常积分能够转化为可求解的定积分或者收敛级数。
反常积分和无穷级数的逻辑体系
反常积分和无穷级数的逻辑体系反常积分和无穷级数是数学中比较重要的两个分支，两者常常使用到极限的概念，但是它们也有着不同的性质和应用场景。
本文将从反常积分和无穷级数的定义、性质、收敛性及其应用等方面，进行较为全面的介绍和分析。
一、反常积分1.定义在正常情况下，积分的上下限是有限的，函数在这个区间内是有定义且有界的。
但是一些情况下，积分的上下限包含无穷或者函数在某些点的值发散，这时就需要用到反常积分。
反常积分的定义可以根据积分区间中极限存在或不存在分为两种情况：①区间有限，且$f(x)$在该区间内有界但出现无穷大的间断点，即$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = \infty$或$\mathop{\lim }\limits_{x\to b} f(x) = \infty$。
此时反常积分的定义为：$$\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x = \mathop {\lim }\limits_{t_1 \toa^+ ,t_2 \to b^- } \int_{t_1}^{t_2} f(x)\mathrm{d}x$$②区间不含一端点，而该端点处$f(x)$趋于无穷大，即$\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) = \infty$。
此时反常积分的定义为：$$\int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x = \mathop {\lim }\limits_{t\to +\infty } \int_{a}^{t} f(x)\mathrm{d}x$$或$$\int_{-\infty}^{b}f(x)\mathrm{d}x = \mathop {\lim }\limits_{t\to -\infty } \int_{t}^{b} f(x)\mathrm{d}x$$2.性质反常积分的基本性质包括线性性质、比较性质和底比复.其中比较性质是判断反常积分收敛与否的重要方法，其主要内容为：比较定理：设$0\leq f(x) \leq g(x)$,$a\leq x\leq b$,则有$$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x \leq \int_a^b g(x)\mathrm{d}x$$比较判别法：设$f(x)$和$g(x)$在$[a,+\infty)$上非负，则有a.如果$\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm{d}x$ 收敛，且 $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)} < +\infty $，则$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛；b.如果$\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm{d}x$ 发散，且 $\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)} > 0 $，则$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 也发散。
无界函数的反常积分
无界函数的反常积分无界函数是指在某一点的邻域内，函数的值没有上下界限的函数。
它在数学领域中具有重要的应用和研究价值。
而反常积分则是无界函数的一个重要概念，它对于解决一些特殊问题以及在物理学、工程学等领域中的应用都具有重要意义。
反常积分是指对于某些无界函数，在某一区间内进行积分运算时，所得到的结果可能是无穷大或者不存在的情况。
这种情况常常出现在函数在积分区间某些点上的奇异性或者发散性导致的。
因此，对于这类函数的积分计算，需要采用一些特殊的方法和技巧来处理。
我们需要了解反常积分的分类。
反常积分可以分为第一类和第二类反常积分。
第一类反常积分是指当积分区间的一个端点是无穷大时，或者函数在积分区间某一点上的极限为无穷大时，所得到的积分结果是无穷大或者不存在的情况。
而第二类反常积分则是指当积分区间为有限区间时，函数在积分区间某一点上的极限为无穷大时，所得到的积分结果是无穷大或者不存在的情况。
对于第一类反常积分，常用的处理方法是通过取极限的方式进行计算。
例如，对于无界函数f(x)在区间[a,b]上的积分∫[a,b]f(x)dx，如果在x=a处存在极限lim(x→a)f(x)=L，则可以将其转化为∫[a,b]f(x)dx=lim(x→a)∫[a,x]f(t)dt+lim(x→a)∫[x,b]f(t)dt。
同样的，如果在x=b处存在极限lim(x→b)f(x)=L，则可以将其转化为∫[a,b]f(x)dx=lim(x→b)∫[a,x]f(t)dt+lim(x→b)∫[x,b]f(t)dt。
通过这种方式，我们可以将无界函数的反常积分转化为有界函数的积分，从而得到积分结果。
对于第二类反常积分，常用的处理方法是通过分部积分、换元积分等技巧进行计算。
通过这些技巧，我们可以将无界函数的反常积分转化为有界函数的积分，从而得到积分结果。
同时，对于某些特殊的无界函数，还可以利用级数展开的方法进行计算。
除了以上的处理方法，还有一些特殊的无界函数的反常积分计算方法。
数学分析(华东师大)第十一章反常积分,DOC
第十一章反常积分§1反常积分概念一问题提出在讨论定积分时有两个最基本的限制:积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制,考虑无穷区间上的“积分”,或是无界函数的“积分”,这便是本章的主题.例1(第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火箭(图11-1),要使火箭克服地球引力无限远离地球,试问初速度v0至少要多大?设地球半径为R,火箭质量为m,地面上的重力加速度为g.仅供个人学习参考r mgR ∫∫2∫d x= mgR21-1 .Rx2R r当r →+∞时,其极限mgR 就是火箭无限远离地球需作的功.我们很自然地会把这极限写作上限为+∞的“积分”:图11-1+∞mgR2d x= limrmgR2Rx2r →+∞Rd x= mgR.x2最后,由机械能守恒定律可求得初速度v 0至少应使122mv 0= mgR.用g =9.81(m 6s /2),R =6.371×106(m )代入,便得例211-2).2∫ ∫ ∫ §1反常积分概念265从物理学知道,在不计摩擦力的情形下,当桶内水位高度为(h -x)时,水从孔中流出的流速(单位时间内流过单位截面积的流量)为 v=2g(h- x),其中g 为重力加速度. 设在很小一段时间d t 内,桶中液面降低的微小量为d x,它们之间应满足πR 2d x=v πr 2d t, 图11-2由此则有t=Rd 2.上可积.(1)+∞J=f(x )d x,(1′)a+∞ +∞ 并称 f(x)d x 收敛.如果极限(1)不存在,为方便起见,亦称f(x)d xaa发散.类似地,可定义f 在(-∞,b]上的无穷积分:bb∫∫ ∫ ∫∫266第十一章反常积分∫f(x)d x=lim∫f(x )d x.(2)-∞u →-∞u对于f 在(-∞,+∞)上的无穷积分,它用前面两种无穷积分来定义:+∞af(x)d x=-∞-∞+∞ f(x)d x+af(x)d x, (3)其中a 为任一实数,当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的.注1无穷积分(3)的收敛性与收敛时的值,都和实数a 的选取无关.注2由于无穷积分(3)是由(1)、(2)两类无穷积分来定义的,因此,f 在任何有限区间[v,u]ì(-∞,+∞)上,首先必须是可积的.+∞注3af(x)d x 收敛的几何意义是:若f 在[a,+线轴之间那一块向右无限延伸的 图11-31∫) +∞ d x 2 x(ln x)p ; 2) +∞d x-∞1+x 2.解1)由于无穷积分是通过变限定积分的极限来定义的,因此有关定积分的换元积分法和图11-4a∫∫§1反常积分概念267分部积分法一般都可引用到无穷积分中来.对于本例来说,就有∫+∞d x+∞d t2x(ln x)p =∫ln2tp.从例3知道,该无穷积分当p >1时收敛,当p ≤1时发散.2)任取实数a,讨论如下两个无穷积分:∫d x+∞d x -∞1+x2和∫a由于a1+x2.lim∫d x = lim (arctan a-arctan u)u →-∞ u1+x 2v u →-∞=arctan a+π,2注定义[u,b]ì(5)(5′)bf(x)a 而无 b界函数反常积分 f(x)d x 又称为瑕积分.a类似地,可定义瑕点为b 时的瑕积分:bu∫f(x)d x=lim∫f(x)d x.au →b-a其中f 在[a,b)有定义,在点b 的任一左邻域内无界,但在任何[a,u]ì[a,b)1 1 x 268 第十一章反常积分上可积.若f 的瑕点c ∈(a,b),则定义瑕积分b c b∫f(x )d x=∫f(x )d x+∫f(x)d xaacub=lim ∫f(x )d x+lim ∫f(x )d x.(6)u →c-av →c+v其中f 在[a,c)∪(c,b]上有定义,在点c 的任一领域内无界,但在任何[a,u]ì[a,c)和[v,b]ì(c,b]上都可积.当且仅当(6)式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.又若a 、b 两点都是f 的瑕点,而f 在任何[u,v]ì(a,b)上可积,这时定义瑕积分b c b∫f(x)d x=∫f(x)d x+∫f(x )d x(7)其中c ,上可积例6(8)故当0<q <1时,瑕积分(8)收敛,且∫d x ∫d x 1q = lim 0 u →0+u x q=1- q ;∫∫§1反常积分概念269而当q ≥1时,瑕积分(8)发散于+∞.上述结论在图11-4中同样能获得直观的反映. 如果把例3与例6联系起来,考察反常积分 +∞我们定义d xx p (p>0). (9)∫+∞d x 1d x+∞d x 0xp=∫0x p+∫1xp,它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分都收敛时才收敛.但由例3与例6的结果可知,这两个反常积分不能同时收敛,故反常积分(9)对任何实数p 都是发散的.习题1.讨论下列无穷积分是否收敛?若收敛,则求其值:+∞2.3.4.举例说明: f(x)d x 收敛且f 在[a,+∞)上连续时,不一定有limax →+∞f(x)=0.+∞5.证明:若af(x)d x 收敛,且存在极限lim x →+∞f(x)=A,则A=0.∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ 270第十一章反常积分+∞6.证明:若f 在[a,+∞)上可导,且a+∞f(x)d x 与 af ′(x )d x 都收敛,则lim x →+∞f(x)=0.§2无穷积分的性质与收敛判别一无穷积分的性质+∞由定义知道,无穷积分auf(x)d x 收敛与否,取决于函数F(u) =f(x)d x 在u →+∞时是否存在极限.因此可由函数极限的柯西准则导出无穷 a积分收敛的柯西准则.+∞定理11.1无穷积分af(x)d x 收敛的充要条件是:任给ε>0,存在G此外,+∞ [k a(1)性质d x 与+∞ b(2)另一充要条件:任给ε>0,存在G ≥a,当u> G 时,总有 +∞f(x)d x<ε.u∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ §2无穷积分的性质与收敛判别271事实上,这可由+∞u +∞∫f(x)d x=∫f(x)d x+∫f(x)d xaau结合无穷积分的收敛定义而得.+∞性质3若f 在任何有限区间[a,u ]上可积,且有a+∞f(x)d x 亦必收敛,并有a|f(x)|d x 收敛,则+∞+∞f(x)d x≤aa+∞f(x) d x. (3)证由≥a,当u等式(u +∞由于 |f(x)|d x 关于上限u 是单调递增的,因此aa|f(x)|d x 收敛的u 充要条件是 a| f(x)|d x 存在上界.根据这一分析,便立即导出下述比较判别法(请读者自己写出证明):定理11.2(比较法则)设定义在[a,+∞)上的两个函数f 和g 都在任何∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫272 第十一章反常积分有限区间[a,u]上可积,且满足f(x)≤g(x),x ∈[a,+∞),+∞+∞ 则当 g(x )d x 收敛时aa+∞ +∞|f(x)|d x 必收敛(或者,当 a|f(x)|d x 发散时,ag(x)d x 必发散).+∞例1讨论sin xd x 的收敛性. 1+x 2+∞解由于sin x1d x π1+x2≤1+x 2,x ∈[0,+∞),以及∫1+x 2=为收敛2(§1sin xd x 为绝对收敛. =c,则有:(i i .则有:.xp a推论3设f 定义于[a,+∞),在任何有限区间[a,u]上可积,且则有: lim x →+∞x pf(x) =λ.+∞(i)当p >1,0≤λ<+∞时, f(x)d x 收敛;a+∞(ii)当p ≤1,0<λ≤+∞时,af(x)d x 发散.+∞∫∫∫1§2无穷积分的性质与收敛判别273例2讨论下列无穷限积分的收敛性:1∫)+∞x αe -xd x;2)1+∞x 2d x. 0x 5+1解本例中两个被积函数都是非负的,故收敛与绝对收敛是同一回事.1)由于对任何实数α都有limx →+∞x 2·x αe -x= lim x →+∞ x α+2ex=0,因此根据上述推论3(p =2,λ=0),推知1)对任何实数α都是收敛的.2)由于12limx →+∞x 2·x x 5+1=1,, g(x)limx →+∞又因u 2>u 1 11于是有uξuf(x)g(x)d x ≤g(u 1)·uuf(x)d x+ g(u 2)·∫ f(x)d x11ξξ u=g(u 1)·∫f(x )d x ∫-f(x)d xaa22u∫∫ ∫ ∫∫∫∫ ∫274第十一章反常积分2+ g(u 2)·ξf(x)d x-∫f(x)d xε4M ·2M+ +∞ aaε4M·2M=ε.根据柯西准则,证得af(x)g(x)d x 收敛.+∞定理11.4(阿贝尔(Abel)判别法)若 af(x)d x 收敛,g(x)在[a,+∞)+∞上单调有界,则a f(x)g(x)d x 收敛.这定理同样可用积分第二中值定理来证明,但又可利用狄利克雷判别法更方便地获得证明(留作习题).:+而1 u∫1cos2x 1 其中12xd x=2 2 cos ttd t 满足狄利克雷判别条件,是收敛的,而+∞d x12x是发散的,因此当0<p ≤1时该无穷积分不是绝对收敛的.所以它是条 件收敛的.例4证明下列无穷积分都是条件收敛的:<∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫+∞ §2无穷积分的性质与收敛判别275+∞sin x 2d x,1+∞cos x 2d x,1+∞x sin x 4d x.1证前两个无穷积分经换元t =x 2得到+∞+∞sin x 2d x=1 1+∞ +∞ cos x 2d x= 11sin t d t, 2 tcos t d t.2 t由例3已知它们是条件收敛的.对于第三个无穷积分,经换元t =x 2而得∫x sin x 4d x=1+∞sin t 2d t,,甚至是无界的,1.2.+∞若a收敛.3.g(x).(1(4.(5∫)ln (1+x)d x;(6)11+x +∞x md x(n 、m ≥0).1xn0 1+xn5.讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛:(1∫)sin xd x;(2)1x+∞sgn(sin x)d x;1+x2+∞+∞∫ ∫∫∫∫∫276第十一章反常积分(3∫)x cos xd x; (4)100+xln(ln x)sin x d x.eln x6.举例说明∫:+∞+∞ +∞f(x)d x 收敛时aaf 2(x )d x 不一定收敛∫; +∞ f(x)d x 绝对收敛时,af 2(x)d x 也不一定收敛. a+∞ +∞7.证明:若af(x)d x 绝对收敛,且lim x →+∞f(x)=0,则a+∞f 2(x)d x 必定收敛.8.证明:若f 是[a,+∞)上的单调函数,且 af(x)d x 收敛,则lim x →+∞f(x)=0,且f(x)=o 1x,x →+∞.+∞9.10,存在δ>性质b∫f 1(x )a敛,(1)性质b c∫f(x)d x 与∫f(x)d x 同敛态,并有aab c b∫f(x)d x=∫f(x )d x+∫f(x)d x,(2)aacb其中 f(x)d x 为定积分.c+∞+∞∫∫∫∫(x- a)p ∫§3瑕积分的性质与收敛判别277性质3设函数f的瑕点为x=a,f在(a,b]的任一内闭区间[u,b]上可b积.则当af(x) d x收敛时∫,b bf(x)d x也必定收敛,并有ab∫f(x)d x ≤∫f(x) d x. (3)a ab b同样地,当a f(x) d x收敛时,称f(x)d x为绝对收敛.又称收敛而不绝a对收敛的瑕积分是条件收敛的.判别瑕积分绝对收敛的比较法则及其推论如下:定理11.6(比较法则)设定义在(a,b]上的两个函数f与g,瑕点同为x=a,在任何[u,b]ì(a,b]上都可积,且满足则当, bg(x)a((成为则有:(ii)当f(x) ≥1,且p≥1时,af(x) d x发散.推论3设f定义于(a,b],a为其瑕点,且在任何[u,b]ì(a,b]上可积. 如果则有: limx→a +(x- a)p f(x) =λ,∫ ∫x278第十一章反常积分b(i )当0<p <1,0≤λ<+∞时af(x)d x 收敛;b(ii)当p ≥1,0<λ≤+∞时a例1判别下列瑕积分的收敛性:f(x)d x 发散.1∫) ln x d x ;2∫)0 x2x1ln xd x.解本例两个瑕积分的被积函数在各自的积分区间上分别保持同号———ln x在(0,1]上恒为负, x 在(1,2]上恒为正———所以它们的瑕积分收敛与绝xln x2(i)x →0+x1-α· 1+x =1,根据定理11.6推论3,当0<p =1-α<1,即α>0且λ=1时,瑕积分I(α)收1∫ §3瑕积分的性质与收敛判别279敛;当p =1-α≥1,即α≤0且λ=1时,I(α)发散.(ii)再讨论J(α),它是无穷积分.由于α-1lim x →+∞ x 2-α·x1+x= lim x →+∞ x 1+x =1,根据定理11.2推论3,当p =2-α>1,即α<1且λ=1时,J(α)收敛;而当p =2-α≤1,即α≥1且λ=1时,J(α)发散.1.2.3.4.5.x)d x=π62/6.(1∫) =-πln20 2(2∫)θsin θd θ=2πln2. 01-cos θπ1∫2∫ 280 第十一章反常积分总练习题1.证明下列等式:1 p-1 +∞-p (1∫) x d x=∫x d x,p>0;0x+1 1 x+1+∞ p-1 +∞-p (2∫) x d x=∫xd x,0<p<1.0 x+1 0 x+12.证明下列不等式:(1)π<∫d x <π;22 (2)1 20 1-1 e 1-x 4 +∞ < 0 2 e -x d x<1+1. 2e3.计算下列反常积分的值:4.5.(2)若6.(也收敛.(2+∞ a●。
反常积分p积分和q积分
反常积分p积分和q积分反常积分是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某些情况下的积分行为。
在实际应用中，我们常常会遇到一些函数无法直接求解定积分的情况，这就需要我们通过研究反常积分来找到解决的办法。
在开始讨论反常积分之前，我们先来回顾一下定积分的概念。
定积分是用来求解函数在一个闭区间内的面积的工具，对于具体的函数来说，我们可以通过积分法确定其定积分的值。
但是，对于一些特殊情况的函数来说，定积分并不能解决所有的问题，这时就需要引入反常积分。
反常积分分为两类：p积分和q积分。
p积分主要用于处理在无穷区间上函数振荡、发散以及非连续等情况下的积分问题；而q积分则用于处理在有界区间上，函数在某一点或两个点的振荡、发散以及非连续等情况下的积分问题。
首先，我们来看一下p积分。
p积分在数学上的定义是指对于一个函数f(x)，如果在一个无穷区间[a, +∞)上积分时满足|f(x)|≤x^p，并且p大于1，那么我们称该积分为p积分。
p积分的求解需要通过极限来定义，我们可以将积分区间[a, x]逐渐扩大至无穷，然后求出极限值，即可得到p积分的结果。
其次，我们来探讨一下q积分。
q积分的定义是指对于一个函数f(x)，如果在一个有界区间[a, b]上积分时满足|f(x)|≤(x-a)^q或|f(x)|≤(b-x)^q，并且q大于1，那么我们称该积分为q积分。
q积分的求解同样需要通过极限来定义，我们可以将积分区间[a, x]或[x, b]逐渐逼近至[a, b]，然后求出极限值，即可得到q积分的结果。
需要注意的是，p积分和q积分在实际应用中需要满足一定的条件才能使用。
例如，函数f(x)必须在积分区间内连续或仅有有限个可去间断点，同时要满足积分或极限存在有限值的条件。
否则，我们需要通过其他方法来解决积分问题。
总结起来，反常积分是解决一些特殊情况下无法使用定积分求解的问题的一个重要工具。
通过p积分和q积分的研究，我们可以处理函数在无穷区间或有界区间上振荡、发散以及非连续等情况下的积分问题。
反常积分的收敛性
反常积分的收敛性反常积分是微积分中的一个重要概念，它是计算函数 f (x)区间a b 上的定积分的过程，用来度量 f (x)这个区间上的积分值。
积分收敛性是研究反常积分的重要部分。
反常积分收敛性可以从以下几个方面进行讨论：1、反常积分的极限收敛性：即当函数的参数接近某一个数时，反常积分的极限是存在的。
这个极限可以用来描述函数的行为，并提供有用的信息。
2、反常积分的有界收敛性：当函数在区间内大于某个边界时，反常积分就会收敛，而当函数在区间内小于某个边界时，反常积分就会无限收敛。
这种收敛性可以用来描述函数在区间内性质，以及函数在区间内可能存在的波动。
3、反常积分的收敛速度：当函数离区间越远时，反常积分的收敛速度越快。
这种收敛速度的描述可以对函数在不同情况下的变化有一定的帮助。
4、反常积分的特定收敛性：当函数经过一定变形或改变参数时，反常积分的收敛性就会发生改变。
这种收敛性的描述会使函数的特性更加清晰，以及更加准确的表示函数的变化趋势。
在研究反常积分的收敛性时，还可以考虑函数在某个点上的变化，如果函数在某点上发生变化，那么反常积分的收敛性将会受到影响。
函数在特定点上的变化可能会导致反常积分收敛更快或更慢。
反常积分是一种重要的数学工具，可以用来计算函数在某个区间上的定积分。
研究反常积分的收敛性，可以更好地理解函数的特性，从而更准确地表示函数的变化趋势。
熟悉反常积分的收敛性会有助于实践中的应用，比如风险管理、财务定价或投资决策等。
总之，反常积分的收敛性是微积分中的一个重要概念，是研究反常积分的重要部分。
从极限收敛性、有界收敛性、收敛速度和特定收敛性等方面来讨论反常积分的收敛性，可以更好地理解函数的特性，从而更准确的表示函数的变化趋势。
数学分析11-1111 反常积分概念
u
R2
t lim
dx
uh 0 r 2 2g h x
2 R2
lim uh
g r2
h hu
2h g
R r
2
.
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二、两类反常积分的定义
定义1 设函数 f 定义在 [ a, +)上, 且在任何有限
区间 [a, u] 上可积. 若存在极限
u
lim f ( x)dx J ,
1, p1 ,
p 1, p 1.
若 f (x) 的原函数为 F (x),
无穷积分的牛顿－莱布尼
y p1
p1
p1
y
1 xp
1
p1
O1
p1
p1 x
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茨公式写作
f ( x) dx F ( x) ,
a
a
F () F (a) lim F (u) F (a). u
例2 讨论无穷积分
解 桶内水位高度为 h x 时,流出水的速度为
v 2g(h x).
在时间d t内,桶中液面降低的微小量为d x,它们
之间应满足 πR2dx vπr 2dt, 因此
dt
R2
dx , x 0,h.
r2 2gh x
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于是流完一桶水所需时间为
h
t
R2
dx.
0 r2 2gh x
但由于被积函数是 0,h 上的无界函数,所以它的
a
ub a
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其中 f 在 [a, b) 有定义, 在 b 的任一左邻域内无界,
在任何 [a,u] [a,b]上可积.
若 f 的瑕点 c (a,b) , 定义