纯函数压轴(初中数学)
八年级下期期中考试数学压轴题训练
八年级下期期中考试数学压轴题专题一、最短路径问题(化折为直）1.如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 为边BC 的中点，点P 在对角线BD 上 移动，则PE +PC 的最小值是__________2.如图，菱形ABCD 中，对角线AC ＝6，BD ＝8，M 、N 分别是BC 、CD 上的动点，P 是线段BD 上的一个动点，则PM +PN 的最小值是________3. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝6，∠ABC ＝60°，点E 在AD 上，且AE ＝2， 点P 是对角线BD 上的一个动点，则PE +P A 的最小值是 ．4.矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为（3，4），D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为 ．5.如图，等边△ABC 中，AB ＝10，点E 为AC 中点，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +BD 的最小值是 ．6.如图，已知菱形ABCD 的边长为，点M 是对角线AC 上的一动点，且∠ABC ＝120°，则∠DAC ＝ °，MA +MB +MD 的最小值是 ．7. 如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ．（1）.当M 点在何处时，AM +CM 的值最小；（2）.如图②，当M 点在何处时，AM +BM +CM 的值最小，请你画出图形，并说明理由．第1题图 第2题图 第3题图 第4题图第5题图 第6题图二、求线段的最值（垂线段最短）1.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，P 为AB 边上（不与A 、B 重合的一动点，过点P 分别作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，则线段EF 的最小值是 ．2.如图，点A 的坐标为（﹣2，0），点B 在直线y ＝x 上运动，当线段AB 最短时点B 的坐标为 ．3.如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，M 为BC 的中点，H 为AB 上一点，过点C 作CG ∥AB ，交HM 的延长线于点G ，若AC ＝8，AB ＝6，则四边形ACGH 周长的最小值是4.（代数新定义）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标都是整数的点称为“中国结”．直线y ＝x ﹣3与y ＝kx +k （k 为整数）交于一点．（1）求直线y ＝kx +k 与x 轴的交点坐标；（2）如图，定点A （﹣5，0），动点B 在直线y ＝x ﹣3上运动．当线段AB 最短时，求出点B 的坐标，并判断点B 是否为“中国结”；（3）当直线y ＝x ﹣3与y ＝kx +k 的交点为“中国结”时，求满足条件的k 值．第1题图第2题图 第3题图三、正方形中的纯几何问题1.（正方形中的旋转）已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若，PB ＝10，下列结论： ①△APD ≌△AEB ；②∠AEB ＝135°；③；④S △APD +S △APB ＝33；⑤CD ＝11．其中正确结论的序号是（ ）A ．①②③④B ．①④⑤C ．①②④D ．③④⑤2.如图，点P 是正方形ABCD 内一点，且点P 到点A 、B 、C 的距离分别为2、1、，则正方形ABCD 的面积为 ．3.（正方形中的半角模型）如图，平面直角坐标系中，正方形OBAC的顶点A 的坐标为（8，8），点D ，E 分别为边AB ，AC 上的动点，且不与端点重合，连接OD ，OE ，分别交对角线BC 于点M ，N ，连接DE ，若∠DOE ＝45°，以下说法正确的是 （填序号）．①点O 到线段DE 的距离为8；②△ADE 的周长为16；③当DE∥BC 时，直线OE 的解析式为y ＝x ； ④以三条线段BM ，MN ，NC 为边组成的三角形是直角三角形．4.如图，正方形ABCD 中，AB ＝12，点E 在边CD 上，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，且BG ＝CG ，连接AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②∠EAG ＝45°；③CE ＝2DE ；④AG ∥CF ；⑤S △FGC ＝．其中正确结论的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5.（正方形中的十字架）如图1所示，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F 分别为CD、BC的中点，AE和DF相交于点G；如图2所示，将图1中边长为4的正方形ABCD折叠，使得点D落在边BC的中点D'处，点A落在点A'处，折痕为MN．现有四个结论：图1中：①AE＝DF；②AE⊥DF；③DG＝；图2中：④MN＝2．其中正确的结论有：．（填序号）6.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的点，且BE＝DF＝t，连接EF，AC，相交于点O，G为对角线AC延长线上一点．（1）求证：△AEF是等腰三角形．（2）当t为何值时，△AEF的周长比△EFC的周长大8．（3）当四边形AEGF为菱形时，设△AEF的面积为S1，△GFC的面积为S2，求S1﹣S2关于t的函数解析式，并写出当∠EAF＝60°时，S1﹣S2的值．7.四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝4，CE＝2，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC 的度数．8.（正方形中的外角角平分线）已知如图，M为正方形ABCD边AB上一点，P为边AB延长线上一点，连接DM，以点M为直角顶点作MN⊥DM交∠CBP的角平分线于N，过点C作CE∥MN交AD于E，连接EM，CN，DN．（1）求证：DM＝MN；（2）求证：EM∥CN．四、函数图像问题（数形结合）1.如图①，在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且AB∥y轴．直线M：y＝﹣x沿x轴正方向平移，被矩形ABCD截得的线段EF的长度l与平移的距离a之间的函数图象如图②，那么矩形ABCD的面积为（）A．10B．12C．15D．182.如图所示，在平面直角坐标系中，函数y＝|x﹣1|的图象由一次函数y＝x﹣1和y＝﹣x+1的图象与x轴的交点及x轴上方的部分组成．根据前面所讲内容，当自变量﹣1≤x≤2时，若函数y＝|x﹣a|（其中a为常量）的最小值为a+5，则满足条件的a的值为（）A．﹣3B．﹣5C．7D．﹣3或﹣5五、分类讨论1.函数的值域．函数y＝2x定义域为[1，2]时，其值域为[2，4]．（1）若一次函数y＝﹣x+3，定义域为[﹣6，2]时，求这个函数的值域．（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0），定义域为[2，3]时，它的值域为[3，5]，求这个一次函数解析式．2.一次函数y＝2x+b的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则b的值为（）A．2B．﹣2或C．D．2或﹣23.数学中，定义符号max{m，n}表示两个数中的最大值，如max{1，2}＝2，max{3，3}＝3，现有函数y＝max{﹣x+1，2x﹣2}，请回答如下问题：（1）①当x＝﹣1时，函数y＝max{﹣x+1，2x﹣2}的函数值y＝；②当x＝1时，函数y＝max{﹣x+1，2x﹣2}的函数值y＝；③当x＝3时，函数y＝max{﹣x+1，2x﹣2}的函数值y＝；（2）求函数y＝max{﹣x+1，2x﹣2}的解析式．（3）在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，点A的坐标为（1，0），函数y＝kx+1（k为常数，且0＜k＜2）与函数y＝max{﹣x+1，2x﹣2}相交于不同两点B（0，1）、C，分别记△OAC，△OBC的面积为S1、S2，且有S1﹣S2＝2，求k的值．4.对于平面直角坐标系xOy中的点P（x，y），若x，y满足|x﹣y|＝1，则点P（x，y）就称为“绝好点”．例如：（5，6），因为|5﹣6|＝1，所以（5，6）是“绝好点”．（1）点M（3，2）“绝好点”；点N（﹣2，3）“绝好点”（填“是”或“不是）；（2）已知一次函数y＝2x+m（m为常数）图象上有一个“绝好点”的坐标是（2，3），一次函数y＝2x+m（m为常数）图象上是否存在其他“绝好点”？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由；（3）点A和点B为一次函数y＝2x+a（a为常数且a＜﹣2）图象上的两个“绝好点”，点Q在x轴上运动，当QA+QB最小时，求点Q的坐标．（用含字母a 的式子表示）六、存在性问题（分类讨论）1.如图，直线y＝﹣x+与x轴、y轴分别交于点A、B，在坐标轴上找点P，使△ABP为等腰三角形，则点P的个数为2.如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为．3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的三个顶点A，O，C在坐标轴上，矩形的面积为12，对角线AC所在直线的解析式为y＝kx﹣4k（k≠0）．（1）若D为AC中点，过D的直线交y轴负半轴于E，交BC于F，且OE＝1，求直线EF的解析式；（2）在（1）的条件下，在坐标平面内是否存在一点G，使以C，D，F，G 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．七、代数几何综合题1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，点B是y轴正半轴上的一点，且位于C点下方，当∠CAB＝∠BAO时，则点B的纵坐标是（）A．B．C．D．2.如图1所示，在平面直角坐标系中，动点A（0，a），B（b，0）分别在y轴、x轴的正半轴上，射线AC、BC是△OAB的两条外角平分线，且它们相交于定点C（3，3）．（1）若点A的坐标为（0，2），求直线AC的解析式；（2）求证：a2+b2＝（6﹣a﹣b）2；（3）在图1中，延长CA、CB分别交x轴、y轴于点D，E，得到的图形如图2所示．试探究△ODE的面积是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．3.在平面直角坐标系中，A（0，8），点B是直线y＝x﹣8与x轴的交点．（1）写出点B的坐标（，）；（2）点C是x轴正半轴上一动点，且不与点B重合，∠ACD＝90°，且CD 交直线y＝x﹣8于D点，求证：AC＝CD；（3）在第（2）问的条件下，连接AD，点E是AD的中点，当点C在x轴正半轴上运动时，点E随之而运动，点E到BD的距离是否为定值？若为定值，求出这个值，若不是定值，请说明理由．4.如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝mx+m（m＞1）与x轴、y轴分别交于A、B两点，点Q为x轴上一动点．（1）若OB＝2OA，求直线l的解析式；（2）在（1）的条件下，若∠QBA＝45°，求满足条件的点Q的坐标；（3）如图2，在x轴的负半轴上是否存在点Q，使得以BQ为边作正方形BQMN 时，点M恰好落在直线l上，且正方形BQMN的面积被x轴分成了1：2的两部分？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．5.如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b（其中a＜b）是方程x2﹣6x+8＝0的两个根．（1）求直线AB的解析式；（2）若点M为直线y＝mx在第一象限上一点，当以AB为直角边△ABM是等腰直角三角形时，求m的值；（3）如图3，过点A的直线y＝kx﹣2k交y轴负半轴于点P，N点的横坐标为﹣1，过N点的直线交AP于点M，给出两个结论：①的值是不变；②的值是不变，只有一个结论是正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值．6．已知一次函数y＝kx+3k（常数k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A点坐标：（2）若该函数当x在﹣1≤x≤2范围内任意取值时，总有y≥﹣2成立，求k 的取值范围；（3）如图，点B在y轴正半轴，且OA＝3OB，C是射线AB上一点，以AC 为对角线作正方形APCQ，点P恰好在y轴上，求出所有符合要求的C点坐标．7如图1，已知平行四边形ABCD，点A的坐标为（1，﹣4），点B的坐标为（7，﹣4），点D的坐标为（﹣3，4），点P是平行四边形ABCD边上的一个动点．（1）点C的坐标为，AD的长为．（2）若点P在边AB，AD上，点P关于x坐标轴对称的点Q落在直线y＝x ﹣1上，求点P的坐标．（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标（直接写出答案）．七、其他数学思想方法1（特殊到一般）.设直线（n为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为S n（n＝1，2，…2008），则S1+S2+…+S2008的值为．2（特殊到一般）．直线y＝kx+k（k为正整数）与坐标轴围成的三角形面积为S k，则S1+S2+…+S100＝．3.（特殊值法）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（）A．B．C．D．4.如图，平行四边形ABCD中，BC＝BD．点F是线段AB的中点．过点C作CG⊥DB交BD于点G，CG延长线交DF于点H．且CH＝DB．（1）如图1，若DH＝1．①求证：△DFB≌△CDH②求FH的值；（2）如图2，连接FG．求证：DB＝FG+HG．。
二次函数应用题及压轴题
优秀教案 欢迎下载 二次函数应用题及压轴题 1．（ 2014?眉山） “丹棱冻粑 ”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销 时发现： 如果每箱产品盈利 10元，每天可售出 50 箱；若每箱产品涨价 1 元，日销售量将减少 2 箱． （1）现该销售点每天盈利 600 元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？ （2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？ 4．（ 2014?本溪）国家推行 “节能减排，低碳经济 ”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商 购进 A，B 两种型号的低排量汽车， 其中 A 型汽车的进货单价比 B 型汽车的进货单
价多 2 万元 花 50 万元购进 A 型汽车的数量与花 40 万元购进 B 型汽车的数量相同，销售中发现 A 型汽车的每周 销量 yA（台）与售价 x（万元 /台）满足函数关系式 yA=﹣x+20 ，B 型汽车的每周销量 yB
（台）与 售价 x（万元 /台）满足函数关系式 yB=﹣ x+14 ． （1）求 A、B 两种型号的汽车的进货单价； （2）已知 A 型汽车的售价比 B 型汽车的售价高 2 万元 /台，设 B 型汽车售价为 t 万元 /台．每周销 售这两种车的总利润为 W 万元，求 W 与 t 的函数关系式， A、B 两种型号的汽车售价各为多少时， 每周销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？
2．（2014?台州）某公司经营杨梅业务，以 3 万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B 两类， A 类杨梅包装后直接销售； B 类杨梅深加工后再销售． A 类杨梅的包装成本为 1 万元 /吨， 根据市场 调查，它的平均销售价格 y（单位：万元 /吨）与销售数量 x（x ≥2）之间的函数关系如图； B 类杨梅 深加工总费用 s（单位：万元）与加工数量 t（单位：吨）之间的函数关系是 s=12+3t ，平均销售价 格为 9 万元 /吨． （ 1）直接写出 A 类杨梅平均销售价格 y 与销售量 x 之间的函数关系式； （2）第一次， 该公司收购了 20吨杨梅， 其中 A 类杨梅有 x 吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为 w 万元（毛利润 =销售总收入﹣经营总成本） ． ① 求 w 关于 x 的函数关系式； ② 若该公司获得了 30 万元毛利润，问：用于直销的 A 类杨梅有多少吨？ （ 3）第二次，该公司准备投入 132 万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利
2023-2024高考模拟压轴卷(二) 数学试卷(含答案解析)
2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（二）本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码､考场号､座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点()06,P y 在焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>上，若152PF =，则p =（ ）A.3B.6C.9D.122.电影《孤注一郑》的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（ ）A.6人B.9人C.12人D.18人3.已知0a b c >>>，则下列说法一定正确的是（ ）A.a b c >+ B.2a bc <C.2ac b >D.2ab bc b ac+>+4.已知向量()()2,3,1,2a b =-=- ，则a b + 在a b - 方向上的投影向量为（ ）A.816,1717⎛⎫-⎪⎝⎭ B.1220,1717⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.1220,1717⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.2020,1717⎛⎫- ⎪⎝⎭5.已知某正六棱柱的体积为（）A.18+B.18+C.24+D.24+6.已知甲､乙两地之间的路线图如图所示，其可大致认为是()()cos 03πf x x x =……的图像.某日小明和小红分别从甲､乙两地同时出发沿着路线相向而行，当小明到达乙地时，小红也停止前行.若将小明行走轨迹的点记为(),a b ，小红行走轨迹的点记为(),c d ，且满足3π2ac +=，函数()2g a bd =-，则()g a 的一个单调递减区间为（）A.4π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.π5π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.4π8π,33⎛⎫⎪⎝⎭D.()2π,3π7.已知椭圆22:1(09,)9x y C m m m+=<<∈Z 的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上但不在坐标轴上，且12PF F 是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为78，则m =（ ）A.4B.5C.6D.88.已知函数()()e eln e 1xmf x m x x=++-的定义域为()0,∞+，若()f x 存在零点，则m 的取值范围为（）A.1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B.(]0,eC.10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦D.[)e,∞+二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1232i,4i z z =+=-，则（ ）A.12z z +的虚部为-1B.1243z z -是纯虚数C.12z z 在复平面内所对应的点位于第一象限D.214iz z =+10.已知()7270127(43)13(13)(13)x a a x a x a x -=+-+-++- ，则（ ）A.4945a =B.77141ii a==-∑C.136024622a a a a +++=+D.613135722a a a a +++=-11.设()M x 是定义在*N 上的奇因函数，是指x 的最大奇因数，比如：()()33,63M M ==，()81M =，则（ ）A.对()()*,212k M k M k ∈-N …B.()()2M k M k =C.()()()1263931M M M +++= D.()126363M +++= 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}2450,{}A xx x B x x m =-->=>∣∣，若0m =，则()A B ⋂=R ð__________；若A B ⋃=R ，则m 的取值范围为__________.13.某校拟开设“生活中的数学”“音乐中的数学”“逻辑推理论”“彩票中的数学”和“数学建模”5门研究性学习课程，要求每位同学选择其中2门进行研修，记事件A 为甲､乙两人至多有1门相同，且甲必须选择“音乐中的数学”，则()P A =__________.14.定义：对于函数()f x 和数列{}n x ，若()()()10n n n n x x f x f x +-+='，则称数列{}n x 具有“()f x 函数性质”.已知二次函数()f x 图像的最低点为()0,4-，且()()121f x f x x +=++，若数列{}n x 具有“()f x 函数性质”，且首项为1的数列{}n a 满足()()ln 2ln 2n n n a x x =+--，记{}n a 的前n 项和为n S ，则数列52n n S ⎧⎫⎛⎫⋅-⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）公众号《全元高考》，且()2tan tan tan b B a B A B =-+.已知函数()在 ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，其中c =（1）求C ；（2）求a 2+b 2的取值范围.16.（15分）ln x f x x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）讨论()f x 的最值；（2）若1a =，且()e x k xf x x-…，求k 的取值范围.17.（15分）在如图①所示的平面图形中，四边形ACDE 为菱形，现沿AC 进行翻折，使得AB ⊥平面ACDE ，过点E 作EF ∥AB ，且12EF AB =，连接,,FD FB BD ，所得图形如图②所示，其中G 为线段BD 的中点，连接FG .（1）求证：FG ⊥平面ABD ；（2）若2AC AD ==，直线FG 与平面BCD，求AB 的值.18.（17分）某汽车销售公司为了提升公司的业绩，现将最近300个工作日每日的汽车销售情况进行统计，如图所示.（1）求a 的值以及该公司这300个工作日每日汽车销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）以频率估计概率，若在所有工作日中随机选择4天，记汽车销售量在区间[200,250)内的天数为X ，求X 的分布列及数学期望；公众号《全元高考》公众号《全元高考》（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：抽奖区有,A B 两个盒子，其中A 盒中放有9张金卡､1张银卡，B 盒中放有2张金卡､8张银卡，顾客在不知情的情况下随机选择其中一个盒子进行抽奖，直到抽到金卡则抽奖结束（每次抽出一张卡，然后放回原来的盒中，再进行下次抽奖，中途可更换盒子），卡片结果的排列对应相应的礼品.已知顾客小明每次抽奖选择两个盒子的概率相同，求小明在首次抽奖抽出银卡的条件下，第二次从另外一个盒子中抽奖抽出金卡的概率.19.（17分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左顶点为A ，直线1:2l y x =-与C 的一条渐近线平行，且与C 交于点B ，直线AB 的斜率为13.（1）求C 的方程；（2）已知直线()2:28l y x m m =+≠与C 交于,P Q 两点，问：是否存在满足EA EP EP EQ EA EQ ⋅=⋅=⋅ 的点()00,E x y ？若存在，求2200x y -的值；若不存在，请说明理由.数学（二）一､选择题1.A 【解析】由抛物线的定义可知15622p PF =+=，解得3p =.故选A 项.2.B 【解析】设中年人抽取x 人，青少年抽取y 人，由分层随机抽样可知20080,48036480x ==36y，解得15,6x y ==，故中年人比青少年多9人.故选B 项.3.D 【解析】当3,2,1a b c ===时，a b c =+，且2ac b <，故A ，C 项错误；因为0a b >>，0a c >>，所以2a bc >，故B 项错误；()()()20ab bc b ac b c a b +-+=-->，故D 项正确.故选D项.4.C 【解析】由题意得()()1,1,3,5a b a b +=--=- ，则a b + 在a b - 方向上的投影向量为2()()1220(),1717||a b a b a b a b +⋅-⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，故选C 项.5.D 【解析】设该正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，其外接球的半径为R，易知34ππ3R =，则R ==①26h ⋅⋅=②，联立①②，因为h ∈Z ，解得1,4a h ==，所以正六棱柱的表面积212624S ah =⋅+=.故选D 项.6.A 【解析】依题意得cos ,cos cos 3πcos 22a a b a d c ⎛⎫===-=- ⎪⎝⎭，且03π,03π3π,2a a⎧⎪⎨-⎪⎩…………解得03πa ……，则()2cos 2cos2cos 2cos 1222a a a g a a =+=+-，令cos 2at =，则[]1,1t ∈-，因为2221y t t =+-在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递减，在区间1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增，所以()g a 在区间4π8π0,,2π,33⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内单调递减.故选A 项.7.B 【解析】依题意得126PF PF +=，设12F F n =，不妨设点P 在第一象限，则112PF F F n ==，则26(06)PF n n =-<<，故222122(6)7cos 28n n n PF F n ∠+--==或()22221(6)7cos 268n n n PF F n n ∠+--==-，解得4n =或2411n =，又2,2n m m ⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭Z 9，所以4,5n m ==.故选B 项.8.C 【解析】由题意得0m >，令()0f x =，则()ln ln ee ln e eln x mx x m x +++=+.令()e e x g x x =+，易知()g x 单调递增，所以()()ln ln g x m g x +=，即ln ln x m x +=，即ln ln m x x =-.令()ln h x x x =-，则()1xh x x'-=，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,x ∞∈+时，()()0,h x h x '<单调递减，又()11h =-，当0x →时，()h x ∞→-，所以ln 1m -…，解得10em <….故选C 项.二､多选题9.BC 【解析】127i z z +=+的虚部为1，故A 项错误；124311i z z -=为纯虚数，故B 项正确；()()1232i 4i 145i z z =+-=+，其在复平面内所对应的点()14,5位于第一象限，故C项正确；24i 14i i iz -==--=，144z +=+，故D 项错误.故选BC 项.10.AC 【解析】依题意得()77(43)[313]x x -=+-，所以4347C 33527a =⨯=⨯=945，故A 项正确；令13x =，得03a =，令0x =，得7704i i a ==∑，所以777143i i a ==-∑，故B 项错误；令23x =，得7012345672a a a a a a a a =-+-+-+-①，又7012345674a a a a a a a a =+++++++②，由①+②可得77135024642222a a a a ++++==+，故C 项正确；同理，由②-①得136135722a a a a +++=-，故D 项错误.故选AC 项.11.ABD 【解析】由题意得()()2M k M k =，故B 项正确；()()()2,2121M k M k k M k k k =-=-……，故A 项正确；516312363632632+++++=⨯=⨯ ，所以()()123636363M M ++++== ，故D 项正确；()()()()1263[1M M M M +++=+ ()()][()()36324M M M M ++++++ ()][()6213631M M =+++++()()()1023121M M M ⎤⎡++=++⎦⎣ ()()][()()33124M M M M ++++++ ()108642030]222222M ==+++++=614136514-=-，故C 项错误.故选ABD 项.三､填空题12.()50,14x x ∞⎧⎫<--⎨⎬⎩⎭… 【解析】集合{1A xx =<-∣或54x ⎫>⎬⎭，所以R A =ð504B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭….若A B ⋃=R ，结合数轴可知1m <-，故m 的取值范围为(,1)∞--.13.925【解析】若甲､乙两人的选课都不相同则共有1243C C 4312=⨯=种；若甲､乙两人的选课有1门相同，则共有2114432C C C 24+=种.故()225512249C C 25P A +==.14.-5112【解析】由题意知()24(0)f x ax a =->，又()()()12121f x f x a x x +-=+=+，所以1a =，则()24f x x =-.由题意得()()2ln 2ln 2ln2n n n n n x a x x x +=+--=-，由()()()10n n n n x x f x f x +-+='，得()()1n n n n f x x x f x +='-，即2214422n n n n n nx x x x x x +-+=-=，又()()2211222,222n n n n nnx x x x x x +++-+=-=，所以()()21212222n n n n x x x x ++++=--，则1122ln 2ln 22n n n nx x x x ++++=--，即12n n a a +=，故{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12,21n n n n a S -==-.令n n c S =.()552122n n n ⎛⎫⎛⎫-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()111822n n nc c n -+-=-⋅-，故当8n …时，1n n c c +<，当9n …时，1n n c c +>，故()9min 5112n c c ==-.四､解答题15.解：（1）因为()()tan tan πtan A B C C +=-=-，所以2tan tan tan b B a B C=+，由正弦定理得sin 2tan sin tan tan B BA B C==+()2sin cos 2sin cos sin cos cos sin sin B C B CB C B C B C ==++2sin cos sin B C A因为sin 0,sin 0A B ≠≠，所以2cos 1C =，则1cos 2C =，又()0,πC ∈，所以π3C =.（2）由余弦定理得223a b ab =+-，因为222a b ab +…，所以22222222,22a b a b a b ab a b +++-+-=…即226a b +….当且仅当a b ==.又223a b ab +=+，且0ab >，所以223a b +>.综上，22a b +的取值范围为(]3,6.16.解：（1）由题意得()f x 的定义域为()0,∞+，()11,ax f x a x x-=-='当()0,0,a x ∞∈+…时，()0f x '<，所以()f x 在区间()0,∞+内单调递减，无最值；当0a >时，令()0f x '=，得1x a=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '<单调递减，当1,x a ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '>单调递增.故当1x a =时，()f x 取得最小值，且最小值为11ln f a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，无最大值.综上，当0a …时，()f x 无最值；当0a >时，()f x 的最小值为1ln a +，无最大值.（2）当1a =时，由()e x k xf x x -…，得e ln x k xx x x--…，整理得2e ln x k x x x x +-…，即2ln e x x x x xk +-….令()2ln e x x x x xh x +-=，则()h x '()()()2221ln 1e ln e e x xx x x x x x x +---+-=()()ln 1e x x x x --=，由（1）知，当1a =时，()ln f x x x =-的最小值为()110f =>，即ln 0x x ->恒成立，所以当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '>单调递增；当()1,x ∞∈+时，()()0,h x h x '<单调递减.故当1x =时，()h x 取得最大值()21e h =，即2e k …，故k 的取值范围为2,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.17.（1）证明：连接CE 交AD 于点O ，连接GO .在菱形ACDE 中，CE AD ⊥，因为AB ⊥平面,ACDE CE ⊂平面ACDE ，所以CE AB ⊥，又,,AB AD A AB AD ⋂=⊂平面ABD ，所以CE ⊥平面ABD .因为,G O 分别为,BD AD 的中点，所以1,2GO AB GO =∥AB ，又1,2EF AB EF =∥AB ，所以GO EF ∥，所以四边形GOEF 为平行四边形，所以FG ∥EO ，所以FG ⊥平面ABD .（2）解：在菱形ACDE 中，因为AC AD =，所以ACD 和ADE 都是正三角形，取ED 的中点H ，连接AH ，则AH AC ⊥，又AB ⊥平面ACDE ，所以,AB AC AB AH ⊥⊥，即,,AB AC AH 两两垂直.以A 为坐标原点，,,AB AC AH 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设2(0)AB a a =>，则1(0,2,0),(2,0,0),(,,2C B a D F a G a ⎛- ⎝则()2,2,0,(0,1BC a CD =-=-，30,,2FG ⎛= ⎝ .设平面BCD 的法向量为(),,m x y z =，则220,0,m BC ax y m CD y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 取1z =，则m ⎫=⎪⎪⎭.记直线FG 与平面BCD 所成角为θ，则||sin |cos ,|||||FG m FG m FG m θ⋅=〈〉===解得1a =，即AB 的值为2.18.解：（1）依题意得(0.0010.0020.00320.006)50 1.a ++++⨯=解得0.004a =.所求平均数为250.1750.15125⨯+⨯+⨯0.21750.32250.22750.05150+⨯+⨯+⨯=.（2）依题意得14,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()4425605625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()314142561C 55625P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭()222414962C ,55625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()33414163C 55625P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭()41145625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭X 01234P 25662525662596625166251625故()14455E X =⨯=.（3）设“选到A 盒”为事件1A ，“选到B 盒”为事件2A ，，摸到金卡”为事件1B ，，摸到银卡”为事件2B ，因为12,B B 是对立事件，所以()119121*********P B =⨯+⨯=.()()2191.20P B P B =-=由题意得()()1212P A P A ==，所以()()()12122P A B P A B P B ==∣()()()2112111102,9920P B A P A P B ⨯==∣则()()2212819P A B P A B =-=∣∣.故所求的概率89123791091045P =⨯+⨯=.19.解：（1）易知C 的一条渐近线方程为y x =，则a b =.设(),2B t t -，又(),0,0A a a ->，直线AB 的斜率为13，所以213t t a -=+，解得62a t +=，则62,22a a B ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入222x y a -=中，解得4a =.故C 的方程为2211616x y -=.（2）因为EA EP EP EQ ⋅=⋅ ，所以()0EP EA EQ ⋅-= ，即0EP QA ⋅=，所以PE AQ ⊥，同理可得,AE PQ EQ AP ⊥⊥.设()()1122,,,P x y Q x y ，联立221,16162.x y y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩整理得2234160x mx m +++=，由题意知()22Δ1612160m m =-+>，且8m ≠，解得m <-m >8m ≠，所以21212416,33m m x x x x ++=-=.过点A 与2l 垂直的直线的方程为122y x =--，设该直线与C 的右支交于另一点H ，联立221,161612,2x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩整理得238800x x --=，解得203x =或4x =-（舍去）.所以2016,33H ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为(1122016,33PH AQ x y x ⎛⎫⋅=---⋅+ ⎪⎝⎭)22121220801644333y x x x x y ⋅=+----(122121220801642333y y x x x x x =+---+()()1212)225(1m x m x m x x -++=--+()()()22128016164802)54233333m m x x m m m m +⎛⎫++--=-⨯-+⋅-+- ⎪⎝⎭222216580168801603333333m m m m m m m -=--+++--=所以PH AQ ⊥，同理可证QH AP ⊥.又AH PQ ⊥，所以H 与E 重合.因为H 在C 上，所以220016x y -=.故存在点E 满足EA EP EP EQ EA EQ ⋅=⋅=⋅ ，且220ij x y -的值为16.。
压轴题03 三角函数压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)
压轴题03三角函数压轴题题型/考向一：三角函数的图像与性质题型/考向二：三角恒等变换题型/考向三：三角函数综合应用一、三角函数的图像与性质热点一三角函数图象的变换1.沿x轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移.沿y轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移.2.沿x轴伸缩：若ω>0，A>0，由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍.沿y轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍.热点二三角函数的图象与解析式已知图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A ，B ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.热点三三角函数的性质1.单调性：由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )可得单调递增区间；由π2＋2k π≤ωx＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )可得单调递减区间.2.对称性：由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )可得对称中心；由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )可得对称轴.3.奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数.二、三角恒等变换热点一化简与求值(角)1.同角三角函数的基本关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan ≠π2＋k π，k ∈2.诱导公式的记忆口诀：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.3.熟记三角函数公式的两类变形：(1)和差角公式的变形；(2)倍角公式的变形.热点二三角函数恒等式的证明三角恒等式常从复杂一边向简单的一边转化，或者两边同时推出一个相同式子，有时要证等式先进行等价交换，进而证明其等价命题.○热○点○题○型一三角函数的图像与性质一、单选题1．将函数()sin cos f x x x =-的图象向左平移7π12个单位长度，得到函数()y g x =的图象，关于函数()y g x =的下列说法中错误的是（）A ．周期是2πB ．非奇非偶函数C ．图象关于点5π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增【答案】D【详解】()πsin cos 2sin 4f x x x x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，则()7πππ2sin 2sin 1243g x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2πT =，故A 正确；因为()π2sin 3g x x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，则()()()(),g x g x g x g x -≠-≠-，故函数()g x 是非奇非偶函数，故B 正确；2．数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（）A ．11sin sin 2sin 323=++y x x xB ．11sin 2sin 323y x x x=--C ．11sin cos 2cos323y x x x=++D ．11cos cos 2cos323y x x x=++3移()0ϕϕ>个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数()g x 的图象．若对于任意的1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在2π,04x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，则ϕ的值可能是（）A ．π6B ．5π24C ．π4D ．2π3A．B．C ．D ．5．已知函数()()2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则满足()()5π605π12f x f f x f ⎛⎫- ⎪⎝⎭>⎛⎫- ⎪⎝⎭的正整数x 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题6．已知函数2π()cos (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且曲线()y f x =关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则（）A ．()f x 以2π为周期B ．()f x 的图象关于直线2π3x =对称C ．将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后对应的函数为偶函数D ．函数9()10y f x =+在[0,π]上有两个零点故选：BD.7．已知函数()()()sin 0,0π,f x A x b A b ωϕϕ=++><<∈R 的部分图像如图，则（）A ．5πb ωϕ=B ．π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．将曲线()y f x =向右平移π9个单位长度得到曲线4cos 32y x =-+D ．点11π,218⎛⎫-⎪⎝⎭为曲线()y f x =的一个对称中心8．已知函数()f x 的定义域为()1,1-，对任意的(),1,1x y ∈-，都有()()1f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当()0,1x ∈时，()0f x >，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()00f =C ．当A ，B 是锐角ABC 的内角时，()()cos sin f B f A <D ．当0n x >，且21112n n n x x x ++=，112x =时，()12n n f x -=【答案】BCD【详解】令0x y ==，得()00f =，故B 正确；9．已知某游乐场循环观光车路线近似为一个半径为1km 的圆，观光车从起始站点P 出发，沿图中顺时针方向行驶，记观光者从某次出发开始，行驶的时间为t 小时.A ，B 是沿途两个站点，C 是终点站，D 是该游乐场的观景点之一.已知该观光车绕行一圈的时间是固定的，且π,,6BOA OA OC OA OD ∠=⊥⊥.若要求起始站点P 无论位于站台B ，C 之间的任何位置（异于B ，C ），观光车在ππ,124t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的时间内，都要至少经过两次终点站C ，则下列说法正确的是（）A ．该观光车绕行一周的时间小于π6B ．该观光车在π0,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内不一定会经过终点站C C ．该观光车的行驶速度一定大于52km /h3D ．该观光车在π0,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内一定会经过一次观景点Ds t 于平衡位置的高度()cm h 可以田ππ2sin 24h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭确定，则下列说法正确的是（）A ．小球运动的最高点与最低点的距离为2cmB ．小球经过4s 往复运动一次C ．()3,5t ∈时小球是自下往上运动D ．当 6.5t =时，小球到达最低点【答案】BD【详解】小球运动的最高点与最低点的距离为()224cm --=，所以选项A 错误；因为2π4π2=，所以小球经过4s 往复运动一次，因此选项B 正确；当()3,5t ∈时，ππ7π11π,2444t ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以是自下往上到最高点，再往下运动，因此选项C 错误；当 6.5t =时，ππ2sin 6.5224h ⎛⎫=⨯+=- ⎪⎝⎭，所以选项D 正确，故选：BD○热○点○题○型二三角恒等变换一、单选题1．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 22sin 21αα+=，则sin α=（）A ．15B 5C ．45D 25【答案】D【详解】π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,cos 0,sin 0αα∴>>22cos 22sin 2cos sin 4sin cos 1αααααα+=-+= ①,又22sin cos 1αα+=②，由①②得25sin 5α=.故选：D.23，5，…，记BAC α∠=，DAC β∠=，则()cos αβ+=（）A 24-B 36C 36D 24+【答案】B⎝⎭A．-B．C．9D．9 94．人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点()()1122,,,A x y B x y ，O 为坐标原点，余弦相似度similarity 为向量,OA OB夹角的余弦值，记作()cos ,A B ，余弦距离为()1cos ,A B -.已知()sin ,cos P αα，()sin ,cos Q ββ，()sin ,cos R αα-，若P ，Q 的余弦距离为13，Q ，R 的余弦距离为12，则tan tan αβ⋅=（）A ．7B ．17C ．4D ．145．已知函数()()*sin cos n n n f x x x n =+∈N ，函数()4324y f x =-在3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知函数())2sin 02f x x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像如图所示，则ω的值为（）A ．13B ．43C ．16D ．76二、多选题7．已知函数2()sin cos f x x x x =-+，则下列说法正确的是（）A ．π()sin(2)3f x x =-B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．函数()f x 的对称轴方程为()5ππZ 12x k k =+∈D ．函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到【答案】ABD中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比=）.在顶角为BAC ∠的黄金ABC 中，D 为BC 边上的中点，则（）A ．cos 342AD AC︒=B ．cos 27sin 27cos 27sin 27AD CD ︒+︒=︒-︒C ．AB在ACACD ．cos BAC ∠是方程324231x x x +-=的一个实根则AB在AC 上的投影向量为设cos x θ=，则()()222212121x x x x x -=--+-，整理得324231x x x +-=，D 正确.故选：ABD9．已知()cos 4cos 3f θθθ=+，且1θ，2θ，3θ是()f θ在()0,π内的三个不同零点，则（）A ．{}123π,,7∈θθθB ．123π++=θθθC ．1231cos cos cos 8θθθ=-D ．1231cos cos cos 2θθθ++=民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD ，其中2π3COD ∠=，33OC OA ==，动点P 在 CD 上（含端点），连结OP 交扇形OAB 的弧 AB 于点Q ，且OQ xOC yOD =+，则下列说法正确的是（）A ．若y x =，则23x y +=B ．若2y x =，则0OA OP ⋅=C ．2AB PQ ⋅≥-D ．112PA PB ⋅≥则13(1,0),(3,0),(,),(22A C B D --设()2πcos ,sin ,0,3Q θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则由OQ xOC yOD =+ 可得cos θ=○热○点○题○型三三角函数综合应用1．已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+.(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)求函数()f x 在区间5ππ[,]126-的值域；2．已知2,1,cos ,cos 2m x n x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，设函数()f x m n =⋅．(1)当π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，分别求函数()f x 取得最大值和最小值时x 的值；(2)设ABC 的内角,,A B C 的对应边分别是,,,a b c 且a =，6,12A b f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，求c 的值．3．已知函数()()21cos cos 02f x x x x ωωωω=+->.(1)若1ω=，求函数()f x 的最小正周期；(2)若()y f x =图象在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且仅有一条对称轴，求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围.4．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，2ϕ<）的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式，并求()f x 的单调递增区间；(2)若对任意π,3x t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()π116f x f x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，求实数t 的取值范围.结合图像可知：5ππ7π4666t ≤-<，解得所以实数t 的取值范围为ππ,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭.5．若实数，，且满足，则称､是“余弦相关”的.(1)若2x π=，求出所有与之“余弦相关”的实数y ；(2)若实数x ､y 是“余弦相关”的，求x 的取值范围；(3)若不相等的两个实数x ､y 是“余弦相关”的，求证：存在实数z ，使得x ､z 为“余弦相关”的，y ､z 也为“余弦相关”的.【答案】（2）由()cos cos cos x y x y +=+得cos cos sin sin cos cos x y x y x y -=+，()1sin sin cos cos cos x y x y x +-=-，()cos y x ϕ+=-，故cos x -≤，222cos cos x x ≤-，11cos x -≤≤，))121arccos ,arccos x π⎡⎤∈-⎣⎦（3）证明：先证明3x y ππ≤+≤，反证法，假设x y π+<，则由余弦函数的单调性可知()cos cos x y x +≤，()0cos cos cos y x y x ∴=+-≤，2y π∴≥，同理2x π≥，相加得x y π+≥，与假设矛盾，故x y π+≥.[]2202,,x y πππ--∈Q ，且()()()()()2222cos cos cos cos cos cos x y x y x y x y ππππ⎡⎤-+-=+=+=-+-⎣⎦故22,x y ππ--也是余弦相关的，()()22x y πππ∴-+-≥，即3x y π+≤.记()3,z x y π=-+则[]02,z π∈.()()3cos cos cos x z y y π+=-=-,()()()3cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos x z x x y x x y x x y y π+=+--=-+=-+=-()cos cos cos x z x z ∴+=+，故x ､z 为“余弦相关”的；同理y ､z 也为“余弦相关”的。
一元函数的导数及其应用(利用导数研究函数零点(方程的根)问题)(压轴题)(原卷版)高考数学高分必刷题
专题08一元函数的导数及其应用（利用导数研究函数零点（方程的根）问题）（全题型压轴题）利用导数研究函数零点（方程的根）问题①判断零点（根）的个数②已知零点（根）的个数求参数③已知零点（根）的个数求代数式的值①判断零点（根）的个数1．（2022·福建·厦门一中高二期中）已知函数()31ln 01203x x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，则函数()()1g x f x x =--的零点个数为（）A ．1B ．0C ．3D ．22．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校一模（理））函数()2e 1axf x x =-在定义域内的零点个数不可能是（）A ．3B ．2C ．1D ．03．（2022·全国·高二课时练习）已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()2x f x xe f x '=+，若()1f e =，则函数()()4g x f x =-的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．34．（2022·广西·钦州一中高二期中（理））函数32()f x x x x c =+++的零点个数为（）A ．1B ．1或2C ．2或3D ．1或2或35．（2022·全国·高二课时练习）方程()()10xx e a a +=>解的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．06．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数是（）A ．2B ．3C ．3或4D ．3或4或57．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））已知函数()ln f x x =.(1)当[)1,x ∞∈+时，证明：函数()f x 的图象恒在函数()322132=-g x x x 的图象的下方；(2)讨论方程()0f x kx +=的根的个数.8．（2022·云南·曲靖一中高二期中）已知函数()ln f x a x a =-．(1)当1a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1T f 处的切线的方程．(2)已知4a ≤，讨论函数()f x 的图象与直线2y x =-的公共点的个数．②已知零点（根）的个数求参数1．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知函数2ln 1,e()e e 1,22e x x x f x x x ⎧≥⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩，设关于x 的方程()()()210R f x af x a +-=∈有m 个不同的实数解，则m 的所有可能的值为（）A ．3B ．4C ．2或3或4或5D ．2或3或4或5或62．（2022·河南·高二阶段练习（文））若函数()21exx x f x a --+=-有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．2261,ee ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．2251,ee ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．25,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．25,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭3．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知a R ∈，函()()2ln (0)e 0x x x ax xf x ax x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，若函数()f x 有三个不同的零点，e 为自然对数的底数，则a 的取值范围是（）A ．10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1(,e)0,2e ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭D ．1(,e)0,e ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭4．（2022·江西·模拟预测（理））已知函数()()22e (e =--x xf x x x a ）有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．（0，1e -）B ．（0，2e -）C ．（0，1）D ．（0，e ）5．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（文））方程()log 00,1xa a a >≠有两个不相等实根，则a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．2e0,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2e 1,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2e e ,6．（2022·河南南阳·高二期中（理））若关于x 的方程12ln 0x x x mx -+-=在区间1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个相异的实根，则实数m 的取值范围为（）A ．(]12ln2e 3--,B ．1e 12ln 2e +⎛⎤- ⎝⎦,C ．1e 12ln2e +⎛⎫- ⎪⎝⎭,D ．()12ln 2e 3--,7．（2022·辽宁·东北育才学校高二期中）方程321303x x x a +--=有三个相异实根，则实数a 的取值范围是（）A ．5,93⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5,93⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．59,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．59,3⎛⎫- ⎪⎝⎭8．（2022·福建·清流县第一中学高二阶段练习）若函数()()1e xf x x =+，当方程()()R f x a a =∈有2个解时，则a 的取值范围（）A ．21e a <-B ．21e a =-或0a ≥C ．210e a -<<D ．21e a =-且0a ≥9．（2022·北京八十中高二期中）已知方程21e x x x a +-=有三个实数解，则实数a 的取值范围是_______.10．（2022·全国·高二）设函数()()212ln f x x x =+-，若关于x 的方程()2f x x x a =++在[]1,3上恰好有两个相异的实数根，则实数a 的取值范围为___________.11．（2022·河南·高二期中（理））若函数()ln e 1xf x x ax =--+不存在零点，则实数a 的取值范围是______.12．（2022·全国·高三专题练习）若函数()2ln 1x f x x e a x =---（）没有零点，则整数a 的最大值为：_________．13．（2022·广西·柳州市第三中学高二阶段练习（理））已知函数32()3f x x x ax b =-++在1x =-处的切线与x 轴平行.(1)求a 的值；(2)若函数()y f x =的图象与抛物线231532y x x =-+恰有三个不同交点，求b 的取值范围.14．（2022·重庆·万州纯阳中学校高二期中）已知函数()ln 2=-f x ax x x .(1)若()f x 在1x =处取得极值，求()f x 在区间[1,2]上的值域；(2)若函数2()()2=-+f x h x x x有1个零点，求a 的取值范围.15．（2022·北京·人大附中高二期中）已知函数()321313f x x x x =--+．(1)求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若方程()f x a =有三个不同的实数根，求实数a 的取值范围．16．（2022·安徽·合肥市第九中学高二期中）当2x =时，函数3()4=-+f x ax bx （,a R b R ∈∈）有极值203-，(1)求函数3()4=-+f x ax bx 的解析式；(2)若关于x 的方程()f x k =有3个解，求实数k 的取值范围．③已知零点（根）的个数求代数式的值1．（2022·陕西·模拟预测（理））已知函数()24,0,e 1,0x x x xf x x ⎧+≤=⎨-->⎩，，若函数()()g x f x k=-有三个不同的零点，123,,x x x ，且123x x x <<，则123x x x 的取值范围是（）A ．44ln 3⎛⎫⎪⎝⎭，B ．45ln 3⎛⎫⎪⎝⎭，C ．4ln 3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．2ln 3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2．（2022·陕西·西安中学二模（理））已知函数()()(]()ln 1,1,11ln 2,1,x x x f x x x ee ⎧+∈-⎪=⎨+-∈+∞⎪⎩，若方程()f x a =有三个不等根123,,x x x ，则123111x x x ++的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．()0,1C ．()1,0-D ．(),1-∞3．（2022·河北·模拟预测）已知实数1x ，2x 满足131e e x x =，()622ln 3e x x -=，则12x x =（）A ．2eB ．5eC ．6eD ．7e 4．（2022·浙江·镇海中学高三期末）已知函数()330|1ln 0x x xf x x x ⎧-≤⎪=⎨+⎪⎩，，，．若存在互不相等的实数a b c d ，，，，使得()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围为（）A ．()20e-，B ．()10e-，C ．()102e -，D ．()01，5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln ,021,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若方程()f x ax =有三个不同的实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则()23123ln ⋅+x x x x x 的取值范围是（）A ．1,122⎛⎫-⎪-⎝⎭ee B ．1,012⎛⎫⎪-⎝⎭e C ．11,221-⎛⎫- ⎪-⎝⎭e e e D ．11,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭e e 6．（2022·湖南·高三阶段练习）已知函数()2f x ax =，()e xg x b =，0ab >，且当0x >时，()f x 与()g x 的图象有且只有一个交点，则1a b+的取值范围为______.7．（2022·江苏南通·高三期末）函数22,0,()4,0x t x f x x x t x ⎧-≥=⎨---<⎩有三个零点x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是__________.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()21e x ax bxf x +-=的最小值为–1，函数()3231g x ax bx =++的零点与极小值点相同，则a b +=___________.9．（2022·广东·顺德一中高二期中）已知函数()()ln ,115,13x x f x x x ≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若21x x >且()()12f x f x =，则12x x -的最大值是___________.10．（2022·全国·高三专题练习）已知实数1x ，2x 满足131xx e e =，()522ln 2x x e -=，则12x x =______.。
考点12 一次函数的图象和性质(解析版)
考点12〖一次函数的图象和性质〗【命题趋势】近三年来，中考一次函数的图象及性质考查题型主要为选择题、填空题。
1、考查内容有：①一次函数的增减性；①一次函数图象上点的坐标特征及函数图象所在象限判定。
2、确定一次函数解析式考查形式有：①单纯的根据一次函数性质求其解析式；①结合反比例函数求一次函数解析式；①压轴题中在第（1）或（2）问中求一次函数解析式。
【考查题型】选择题、填空题【常考知识】一次函数的增减性；一次函数图象上点的坐标特征及函数图象所在象限判定；单纯的根据一次函数性质求其解析式；结合反比例函数求一次函数解析式；压轴题中在第（1）或（2）问中求一次函数解析式。
【夺分技巧】①直线的倾斜方向“①”① k>0,函数值随x的增大而增大。
①直线的倾斜方向“①”① k<0,函数值随x的增大而减小。
①一次函数y=kx+b(k≠0)的上、下平移时，直接在后面加减平移单位；左、右平移时，是左加右减，如直线y=kx+b(k≠0)向左移2个单位得到直线y=k（x+2）+b(k≠0)。
①直线与y轴正半轴相交① b>0;直线与y轴负半轴相交① b<0.①一次函数y=kx+b(k≠0)有两个未知数，因此只需两个独立条件（两个已知点或两组x,y对应值）即可列出一次方程（组）求解。
【易错点】审题不细，误认为k>0，只按一种情况做而漏到另外一种情况。
一、选择题1.（2020·吉林·中考模拟卷）对于一次函数y＝x+2，下列说法不正确的是（）A.图象经过点(1, 3)B.图象与x轴交于点(−2, 0)C.图象不经过第四象限D.当x>2时，y<4【答案】D【考点】一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特点【解析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答】令y＝0，解得x＝−2，① 图象与x轴交于点(−2, 0)，故选项B正确（1）① k＝1>0，b＝2>0，① 不经过第四象限，故选项C正确（2）① k＝1>0，① 函数值y随x的增大而增大，当x＝2时，y＝4，① 当x>2时，y>4，故选项D不正确，2.（2020·四川·中考真卷）过点(1, 3)的正比例函数的解析式是（）A.y=3xB.y=13x C.y=3xD.y=2x+1【答案】A【考点】待定系数法求正比例函数解析式【解析】首先设正比例函数解析式为y=kx(k≠0)，再把(1, 3)点代入函数解析式，算出k的值，即可得到答案．【解答】解：设正比例函数解析式为y=kx(k≠0)，① 过点(1, 3)，① 3=k×1，解得k=3，故正比例函数解析式为：y=3x，3.（2020·海南.模拟卷）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝−2x交于点A、B，则△AOB的面积为（）A.2B.3C.4D.6【答案】B【考点】两直线相交非垂直问题、两直线平行问题、两直线垂直问题、一次函数的性质、相交线【解析】根据方程或方程组得到A(−3, 0)，B(−1, 2)，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】在y＝x+3中，令y＝0，得x＝−3，解得，，① A(−3, 0)，B(−1, 2)，① △AOB的面积＝3×2＝3，4.（2020·云南·中考真卷）直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b≤2的解集是（）A.x≤−2B.x≤−4C.x≥−2D.x≥−4【答案】C【考点】一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象【解析】根据待定系数法求得直线的解析式，然后求得函数y＝2时的自变量的值，根据图象即可求得．【解答】① 直线y＝kx+b与x轴交于点(2, 0)，与y轴交于点(0, 1)，① ，解得① 直线为y＝-+1，当y＝2时，2＝-+1，解得x＝−2，由图象可知：不等式kx+b≤2的解集是x≥−2，5.（2020·广西·模拟卷）已知正比例函数y＝kx(k≠0)的图象过点(2, 3)，把正比例函数y＝kx(k≠0)的图象平移，使它过点(1, −1)，则平移后的函数图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】正比例函数的图象、一次函数图象与几何变换【解析】先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点(1, −1)求出一次函数解析式，即可求解．【解答】把点(2, 3)代入y＝kx(k≠0)得2k＝3，解得，① 正比例函数解析式为，设正比例函数平移后函数解析式为，把点(1, −1)代入得，① ，① 平移后函数解析式为，故函数图象大致为：．6.（2020·山西·模拟卷已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2，在同一直角坐标系下的x图象如图所示，其中符合k1⋅k2>0的是（）A.①①B.①①C.①①D.①①【答案】B【考点】反比例函数的性质、正比例函数的性质【解析】根据各个小题中的函数图象，可以得到k1和k2的正负情况，从而可以判断k1⋅k2的正负情况，从而可以解答本题．【解答】①中k1>0，k2>0，故k1⋅k2>0，故①符合题意；①中k1<0，k2>0，故k1⋅k2<0，故①不符合题意；①中k1>0，k2<0，故k1⋅k2<0，故①不符合题意；①中k1<0，k2<0，故k1⋅k2>0，故①符合题意；7.（2020·湖南·模拟卷）已知一次函数y＝kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（）A.(−1, 2)B.(1, −2)C.(2, 3)D.(3, 4)【答案】B【考点】一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特点【解析】由点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值，结合y随x的增大而减小即可确定结论．【解答】A、当点A的坐标为(−1, 2)时，−k+3＝3，解得：k＝1>0，① y随x的增大而增大，选项A不符合题意；B、当点A的坐标为(1, −2)时，k+3＝−2，解得：k＝−5<0，① y随x的增大而减小，选项B符合题意；C、当点A的坐标为(2, 3)时，2k+3＝3，解得：k＝0，选项C不符合题意；>0，D、当点A的坐标为(3, 4)时，3k+3＝4，解得：k=13① y随x的增大而增大，选项D不符合题意．8.（2020·贵州·模拟卷）一次函数y＝2x−1的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】B【考点】一次函数的图象【解析】根据一次函数的性质，判断出k和b的符号即可解答．【解答】由题意知，k＝2>0，b＝−1<0时，函数图象经过一、三、四象限．9.（2020·安徽·模拟卷）若m<−2，则一次函数y＝(m+1)x+1−m的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】一次函数的图象【解析】由m<−2得出m+1<0，1−m>0，进而利用一次函数的性质解答即可．【解答】① m<−2，① m+1<0，1−m>0，所以一次函数y＝(m+1)x+1−m的图象经过一，二，四象限，10.（2020·湖北·模拟卷）已知函数y ={−x +1(x <2)−2x (x ≥2) ，当函数值为3时，自变量x 的值为（ ） A.−2 B.−23C.−2或−23D.−2或−32【答案】A【考点】一次函数图象上点的坐标特点、反比例函数的性质、一次函数的性质 【解析】根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论． 【解答】若x <2，当y ＝3时，−x +1＝3， 解得：x ＝−2；若x ≥2，当y ＝3时，−2x =3， 解得：x =−23，不合题意舍去； ① x ＝−2，11.（2020·辽宁·模拟卷）一次函数y ＝kx +3(k ≠0)的函数值y 随x 的增大而增大，它的图象不经过的象限是（ ） A.第一 B.第二C.第三D.第四【答案】D【考点】一次函数的性质【解析】根据一次函数y ＝kx +3(k ≠0)的函数值y 随x 的增大而增大，可以得到k >0，与y 轴的交点为(0, 3)，然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题．【解答】① 一次函数y ＝kx +3(k ≠0)的函数值y 随x 的增大而增大， ① k >0，该函数过点(0, 3)，① 该函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，12.（2020·贵州·模拟卷）已知一次函数y =(2m +1)x +m −3的图像不经过第二象限，则m的取值范围( ) A.m >− B.m <3 C.-<m <3 D.-<m ≤3【答案】D【考点】一次函数图象与系数的关系【解析】一次函数的图象不经过第二象限，即可能经过第一，三，四象限，或第一，三象限，所以要分两种情况．【解答】当函数图象经过第一，三，四象限时，{2m +1>0m −3<0，解得：−12<m <3 当函数图象经过第一，三象限时， {2m +1>0m −3=0，解得m =3. ．．−12<m ≤3.13.（2020·江苏·模拟卷）一次函数y ＝kx +b(k ≠0)的图象经过点A(−3, 0)，点B(0, 2)，那么该图象不经过的象限是（ ） A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【考点】待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象与系数的关系、函数的图象【解析】（方法一）根据点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y =23x +2的图象经过第一、二、三象限，即该图象不经过第四象限；（方法二）描点、连线，画出函数y ＝kx +b(k ≠0)的图象，观察函数图象，即可得出一次函数y ＝kx +b(k ≠0)的图象不经过第四象限．【解答】（方法一）将A(−3, 0)，B(0, 2)代入y ＝kx +b ，得：{−3k +b =0b =2 ，解得：{k =23b =2 ，x+2．① 一次函数解析式为y=23>0，b＝2>0，① k=23x+2的图象经过第一、二、三象限，① 一次函数y=23即该图象不经过第四象限．故选：D．（方法二）依照题意，画出函数图象，如图所示．观察函数图象，可知：一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象不经过第四象限．x+2分14.（2020·贵州·模拟卷）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2和直线y=23别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是()x+2A.y=x+2B.y=√2x+2C.y=4x+2D.y=2√33【答案】C【考点】一次函数图象上点的坐标特点【解析】求得A、B的坐标，然后分别求得各个直线与x的交点，进行比较即可得出结论．x+2分别交x轴于点A和点B．【解答】解：① 直线y=2x+2和直线y=23① A(−1, 0)，B(−3, 0)A、y=x+2与x轴的交点为(−2, 0)，故直线y=x+2与x轴的交点在线段AB上；B、y=√2x+2与x轴的交点为(−√2, 0)，故直线y=√2x+2与x轴的交点在线段AB上；C、y=4x+2与x轴的交点为(−12, 0)，故直线y=4x+2与x轴的交点不在线段AB上；D、y=2√33x+2与x轴的交点为(−√3, 0)，故直线y=2√33x+2与x轴的交点在线段AB上.15.（2020·重庆·模拟卷）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=43x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，则k的值为（）A.−12B.−42C.42D.−21【答案】D【考点】一次函数图象上点的坐标特点、反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质【解析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≅△BEC，可得点C坐标，代入求解即可．【解答】① 当x＝0时，y＝0+4＝4，① A(0, 4)，① OA＝4；① 当y＝0时，0=43x+4，① x＝−3，① B(−3, 0)，① OB＝3；过点C作CE⊥x轴于E，① 四边形ABCD是正方形，① ∠ABC＝90∘，AB＝BC，① ∠CBE+∠ABO＝90∘，∠BAO+∠ABO＝90∘，① ∠CBE＝∠BAO．在△AOB和△BEC中，{∠CBE=∠BAO ∠BEC=∠AOBBC=AB，① △AOB≅△BEC(AAS)，① BE＝AO＝4，CE＝OB＝3，① OE＝3+4＝7，① C点坐标为(−7, 3)，① 点A在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，① k＝−7×3＝−21．二、填空题16.（2020·四川·模拟卷）函数y＝x−1的图象一定不经过第________象限．【答案】二【考点】一次函数图象与系数的关系【解析】根据一次函数y＝kx+b的图象的性质作答．【解答】由已知，得：k>0，b<0．故直线必经过第一、三、四象限．则不经过第二象限．17.（2020·广东·模拟卷）一次函数y＝−2x+b，且b>0，则它的图象不经过第________象限．【答案】三【考点】一次函数的性质【解析】直接利用y＝kx+b与y轴交于(0, b)，当b>0时，(0, b)在y轴的正半轴上，进而得出答案．【解答】① 一次函数y＝−2x+b，且b>0，① 它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．18.（2020云南·模拟卷）若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是________．【答案】k>0【考点】一次函数图象与系数的关系【解析】根据一次函数的性质，如果y随x的增大而增大，则一次项的系数大于0，据此求出k的取值范围．【解答】① 一次函数y＝kx+2，函数值y随x的值增大而增大，① k>0．19.（2020·吉林·模拟卷）一次函数y＝(2m−1)x+2的值随x值的增大而增大，则常数m的．取值范围为________>12【答案】m【考点】一次函数图象与系数的关系【解析】先根据一次函数的性质得出关于m的不等式2m−1>0，再解不等式即可求出m的取值范围．【解答】① 一次函数y＝(2m−1)x+2中，函数值y随自变量x的增大而增大，① 2m−1>0，解得m>1．220.（2020·广西·模拟卷）将直线y＝−2x向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为________．【答案】y＝−2x+1【考点】一次函数图象与几何变换【解析】根据一次函数图象上下平移时解析式的变化规律求解．【解答】将直线y＝−2x向上平移1个单位，得到的直线的解析式为y＝−2x+(1)21.（2020·山东·模拟卷）已知正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而________．（填“增大”或“减小”）【答案】减小【考点】正比例函数的性质【解析】根据正比例函数的性质进行解答即可．【解答】函数y=kx(k≠0)的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，22.（2020·贵州·模拟卷）把直线y＝2x−1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为________．【答案】y=2x+3【考点】一次函数图象与几何变换【解析】直接利用一次函数的平移规律进而得出答案．【解答】解：把直线y=2x−1向左平移1个单位长度，得到y=2(x+1)−1=2x+1再向上平移2个单位长度，得到y=2x+323.（2020·黑龙江·模拟卷）已知k为正整数，无论k取何值，直线l1:y=kx+k+1与直线l2:y=(k+1)x+k+2都交于一个固定的点，这个点的坐标是________.【答案】(−1, 1)【考点】一次函数图象上点的坐标特点【解析】变形解析式得到两条直线都经过点(−1, 1)，即可证出无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点(−1, 1)；先求出y＝kx+k+1与x轴的交点和y＝(k+1)x+k+2与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出S k，求出S1=12×(1−12)=14，S2=12×( 12−13)，以此类推S100=12×( 1100−1101)，相加后得到12×(1−1101)．【解答】解：① 直线l1:y=kx+k+1=k(x+1)+1，① 直线l1:y=k(x+1)+1经过点(−1, 1)；① 直线l2:y=(k+1)x+k+2=(k+1)x+k+1+1=(k+1)(x+1)+1，① 直线l2:y=(k+1)x+k+2经过点(−1, 1)．① 无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点(−1, 1)．24.（2020·海南·模拟卷）如图，正比例函数的图象与一次函数y=−x+1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是________．【答案】y=−2x【考点】一次函数图象上点的坐标特点、待定系数法求正比例函数解析式【解析】根据图象和题意，可以得到点P的纵坐标，然后代入一次函数解析式，即可得到点P的坐标，然后代入正比例函数解析式，即可得到这个正比例函数的解析式．【解答】解：① 点P到x轴的距离为2，① 点P的纵坐标为2.① 点P在一次函数y=−x+1上，① 2=−x+1，得x=−1，① 点P的坐标为(−1, 2).设正比例函数解析式为y=kx，则2=−k，得k=−2，① 正比例函数解析式为y=−2x，25.（2020·云南模拟卷）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行________米．【答案】350【考点】一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式【解析】当8≤t≤20时，设s＝kt+b，将(8, 960)、(20, 1800)代入求得s＝70t+400，求出t＝15时s的值，从而得出答案．【解答】解：当8≤t≤20时，设s=kt+b，将(8, 960)，(20, 1800)代入，得：{8k+b=960, 20k+b=1800,解得：{k=70, b=400,① s=70t+400；当t=15时，s=1450，则1800−1450=350（米），① 当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米，26.（2020·湖北·模拟卷）如图，点A在反比例函数y＝(x>0)的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若＝，△AOB的面积为6，则k的值为________．【答案】6【考点】反比例函数系数k的几何意义、一次函数图象上点的坐标特点、反比例函数图象上点的坐标特征【解析】过点A作AD⊥y轴于D，则△ADC∽△BOC，由线段的比例关系求得△AOC和△ACD 的面积，再根据反比例函数的k的几何意义得结果．【解答】过点A作AD⊥y轴于D，则△ADC∽△BOC，① ，① ＝，△AOB的面积为6，① ＝2，① ＝1，① △AOD的面积＝3，根据反比例函数k的几何意义得，，① |k|＝6，① k>0，① k＝6．27 .（2020·四川·模拟卷）如图，直线y＝kx+b(k、b是常数k≠0)与直线y＝2交于点A(4, 2)，则关于x 的不等式kx +b <2的解集为________．【答案】x <4【考点】一次函数与一元一次不等式 【解析】结合函数图象，写出直线y =kx +b 在直线y =2下方所对应的自变量的范围．【解答】解：直线y =kx +b 与直线y =2交于点A (4,2)x <4时，y <2 关于x 的不等式kx +b <2________的解集为：x <428.（2020·湖南模拟卷）如图，已知直线a:y ＝x ，直线b:y =−12x 和点P(1, 0)，过点P 作y 轴的平行线交直线a 于点P 1，过点P 1作x 轴的平行线交直线b 于点P 2，过点P 2作y 轴的平行线交直线a 于点P 3，过点P 3作x 轴的平行线交直线b 于点P 4，…，按此作法进行下去，则点P 2020的横坐标为________．【答案】22010【考点】一次函数图象上点的坐标特点、规律型：点的坐标、规律型：图形的变化类、正比例函数的性质、规律型：数字的变化类【解析】点P(1, 0)，P 1在直线y ＝x 上，得到P 1(1, 1)，求得P 2的纵坐标＝P 1的纵坐标＝1，得到P 2(−2, 1)，即P 2的横坐标为−2＝−21，同理，P 3的横坐标为−2＝−21，P 4的横坐标为4＝22，P 5＝22，P 6＝−23，P 7＝−23，P 8＝24…，求得P 4n ＝212n ，于是得到结论．【解答】① 点P(1, 0)，P 1在直线y ＝x 上，① P1(1, 1)，① P1P2 // x轴，① P2的纵坐标＝P1的纵坐标＝1，① P2在直线y=−12x上，① 1=−12x，① x＝−2，① P2(−2, 1)，即P2的横坐标为−2＝−21，同理，P3的横坐标为−2＝−21，P4的横坐标为4＝22，P5＝22，P6＝−23，P7＝−23，P8＝24…，① P4n＝212 n，① P2020的横坐标为212×2020=21010，29.（2020·江苏·模拟卷）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+1和双曲线y=−1x，在直线上取一点，记为A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交直线于点A3，…，依次进行下去，记点An的横坐标为a n，若a1＝2，则a2020＝________．【答案】2【考点】规律型：数字的变化类、反比例函数的性质、规律型：图形的变化类、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特点、一次函数的性质、规律型：点的坐标【解析】根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出A1、B1、A2、B2、A3、B3…，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2020除以3，根据商的情况确定出a2020即可．【解答】当a1＝2时，B1的横坐标与A1的横坐标相等为a1＝2，A2的纵坐标和B1的纵坐标相同为y2=−1x1=−12，B2的横坐标和A2的横坐标相同为a2=−32，A3的纵坐标和B2的纵坐标相同为y3=−1a2=23，B3的横坐标和A3的横坐标相同为a3=−13，A4的纵坐标和B3的纵坐标相同为y4=−1a3=3，B4的横坐标和A4的横坐标相同为a4＝2＝a1，…由上可知，a1，a2，a3，a4，a5，…，3个为一组依次循环，① 2020÷3＝673...1，① a2020＝a1＝2，30.（2020·重庆·模拟卷）如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为(1, 1)．过点B作EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1，以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为(5, 3)．过点B1作E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2．…．则点B2020的坐标________．【答案】(2×32020−1, 32020)【考点】规律型：数字的变化类、一次函数图象上点的坐标特点、一次函数的性质、相似三角形的性质与判定、规律型：图形的变化类、规律型：点的坐标【解析】由B坐标为(1, 1)根据题意求得A1的坐标，进而得B1的坐标，继续求得B2，B3，B4的坐标，根据这5点的坐标得出规律，再按规律得结果．【解答】① 点B坐标为(1, 1)，① OA＝AB＝BC＝CO＝CO1＝1，① A1(2, 3)，① A1O1＝A1B1＝B1C1＝C1O2＝3，① B1(5, 3)，① A2(8, 9)，① A2O2＝A2B2＝B2C2＝C2O3＝9，① B2(17, 9)，同理可得B3(53, 27)，B4(161, 81)，…由上可知，B n(2×3n−1, 3n)，① 当n＝2020时，B n(2×32020−1, 32020)．。
带着问题继续学 压轴题的认识与求解
带着问题继续学：中考压轴题的认识与求解——“第五届新青年数学教师发展（西部论坛）暨青年教师中考数学压轴题讲题比赛”会议上的发言陕西师范大学数学系（710062）罗增儒去年（8月20日）我在“第四届新青年数学教师发展（西部论坛）暨青年教师中考数学压轴题讲题比赛”会议上的发言说过，我是“带着问题来学习”的（参见文[1]），来学什么呢？我的专业期待有：●关于青年数学教师发展．如“新青年”教师发展情况如何，教师为什么要发展、怎样发展等．●关于中考数学．如什么是中考，中考的基本问题是什么，需不需要建设《数学中考学》，如何建设《数学中考学》等．●关于中考数学压轴题．如什么是中考数学压轴题，怎样求解中考数学压轴题，怎样编拟中考数学压轴题等．●关于讲题．如讲题讲什么，讲题怎么讲；什么是题，怎样解题，数学解题的基本过程是什么样的，成功解题的基本功有哪些要素，解题失误的表现和性质有哪些方面，怎样教会学生解题等．……今年，我是“带着问题继续学”，谈去年尚未谈到或尚未谈透的问题，重点是“压轴题的认识与求解”．首先，还是从现场的点评说起．1 会场上的观察与思考去年，大家用行动告诉了我四个方面，今年，会议保持了去年的基本特色（若干正面的表现有增无减）；同时，我还看到去年没有看到的一些新情况．1-1 看到了“新青年”数学教师的发展风貌（1）规模发展、学术热情、精湛水平．组织上，新青年由2006年成立时的6人发展到70人（人数十倍增长），已设立了4个分站、6个教研基地，开展了许多有影响的专题活动，也在国内产生了学术影响．会场上，来自26个省市（去年21个）、100多所学校的350多位数学同行不惧酷暑、齐聚在陕西省渭南市这块三贤圣地，其实也是思维敏捷的解题高手、龙腾虎跃在“数学解题”的专业旗帜周围，其民间活动的性质决定了参赛本身就是一种职业自觉与数学情怀，决定了比赛活动也是一种发展追求与学术担当．并且，这个解题研究群体，来自教学第一线，人人有良好的解题胃口，处处有浓郁的学术氛围，大家讲起题来，具有“读懂学生”的“内行话”优势，具有“通达课堂”的“接地气”强势．可以说，这是解题精强团队不事张扬的报到，可以说，这是解题集体智慧不无潇洒的亮相，其水平不低于任何一本教辅书（关于解题水平的划分见下文2-3）．这些，都有增无减．（2）参与热情、形式新颖、内容充实．作为发展风貌的表现，我要提到会议本身．刘祖希理事长在开幕式上介绍了讲题比赛有两个背景，其一是新青年数学教师工作室在2016年底制订了第二个十年发展周期的“四向”发展方针，即“向内固本，提升工作室的研究力；向外辐射，输出工作室的教研力；向上发展，寻求高校的学术领导力；向下沉淀，汲取一线的教学实践力”．就是说，新青年数学教师工作室在学术上，紧密依靠高校的研究与中小学实践，高校与中小学齐发力；而在运营上，扎实推进教研基地与工作室协作体，基地与协作体双见效．其二是把握正确导向，培养青年教师中考数学压轴题研究与讲题能力．正是在这个方针的指引下，2017年有了首次中考数学压轴题讲题比赛，并一炮打响，获得成功．今年会议保留了去年的诸多特色，如通知是靠朋友圈刷出来的；会场是有微信、网络、电视直播的；比赛是不设评委的，由“老师讲、老师评、内行看内行”的；会议还有很多联盟参加等等（包括“嗨课堂”独家冠名）．据知，今年7月18日早上八点钟开始抢报名，仅20分钟，对外180个名额即注册完毕，可见参与的热情．今年两天的紧凑安排不仅有12个队（去年是10个队）“高品位、新构思、中考切磋、学术争鸣”的比赛（四个词藏头承办单位“高新中学”），而且穿插有专家寄语、青年沙龙、名师讲题等多项内容，无论是上场的选手还是台下的听众，大家都收获满满，并可以立即将诸多收获用于课堂．我还要提起，“广交四海朋友、认识专家主编”等不仅也是收获，而且还是“长久耐用”的更大收获（潜力股？）．我还想用去年的三句话来对会议“画龙点睛”，“画龙”：活动新形式，发展新途径，合作新机制；“点睛”：创新．今年的会议增加了“读题”的环节，与“一湿二干”三步骤擦黑板同步进行．这些，也都有增无减．1-2看到了“讲题”的深入思路和精彩争鸣我去年期望：会议是智慧的比赛，而不只是知识的比赛；会议是创新的比赛，而不只是记忆的比赛；会议是实力基本功的展示，而不只是豪华多媒体的表演．（对比诗词大会，主要是知识和记忆的比赛，还需要更多的智慧和创新）这三点，去年做到了，今年做得更好．（1）所有选手都表现出强大的实力和过硬的基本功．12个队的讲题老师都富含数学素养，特别突出的是逻辑推理，直观想象，数学运算；他们深厚的专业功底，饱满的教学热情，可人的教学风度，整齐的现场板书等都给我留下了深刻的印象．我还记得去年叫两位老师徒手画圆——用得上两个字：漂亮！今年的画图，同样漂亮（可惜时间长了点，削弱了实用性，为了化解沉闷，16:50分有选手为大家唱歌）．方运加教授在开幕式上寄语：“要做脚踏实地的数学人，作为中学教师就是要用好粉笔、三角板，黑板为媒，与学生进行最直接的交流．这虽然不是什么大事业，但却一定是你的学生最需要你做的．把这个事做好最重要，这就是我的寄语，寄语你，也寄语我．”正如在汽车普遍进入生活的现实中婴儿还要首先学好走路一样，我十分赞成在多媒体普及教学的形势下教师依然要练好基本功（我曾要求我的研究生每周交一篇钢笔字、一篇毛笔字），并且认为，即使“教学语言”基本功也不限于粉笔三角板的板书语言，还有科学准确而不粗俗的口头语言、文明凤仪而不猥琐的体态语言．还要看到，真正过硬的板书基本功不是提前画好图才去上课的，大家想一想，好几个人、用超过十分钟的时间画图，真实的课堂是否可能？是否可取？我见过这样的数学前辈，可以徒手一笔一个圆，两笔两个相切的圆，三笔三个两两相切的圆，四笔四个两两相切的圆，是一面讲一面画的．我们不要多媒体的豪华表演不是无视多媒体的伟大进步和巨大功能，其实质只是摒弃“形式化”表演（也包括非多媒体的其他表演），要实实在在的教学效果．我高兴看到，12支队伍既不是缺少解题实践的理论空头，也不是缺少理论指导的教学苦力，都表现出“既懂数学又懂教学，既有实践又有理论”的良好势头．（2）所有题目都进行了广泛的探讨和深入的挖掘．会场上几何题有几何味、代数题有代数味、坐标系中的几何代数综合题也有解析几何学科味．多数队都是眼花缭乱、异彩纷呈的一题多解，努力接近问题的深层结构，当中不乏新颖的构思和本质的揭示．比如铁一中队（天津24题）对KH极大极小值的揭示，又如大连队对x取值范围转换认知框架的思考，再如山丽娜名师工作室对B,C,D“有且只有”叙述的清晰而易懂，都用得上两个字：深刻！其他队亦都是在努力接近问题的深层结构．并且，当我对比“会议手册”与现场讲解时立即看到，12支队伍的专业表现和理论修养大都超过“会议手册”的预设水平（进步！），一些“会议手册”没有达到的本质揭示，现场达到了；一些“会议手册”没讲清或讲不清的问题，现场讲清了．（3）会场的交流同样精彩．第一节课的讨论没有客套的开头，直奔会议的实质性主题（涉及学科思想指导解题、检验与分类讨论、中考命题等方面），给人耳目一新的震撼；接下来，于永库与赵辉的对话，以及赵辉、于永库、王小武等主持人的点评，都给人留下深刻的印象．至于陕西25题有“垂足三角形周长最小”的背景，讲课教师在15:44提问现场听众“会是什么三角形”（现场听众回答“锐角三角形”），也很新颖，而于永库老师的三个提问尤为深刻．今天第一节的研讨亦很精彩．（挺有意思，每天的第一节都有比较精彩的研讨，而每年的第一节讲课选手都会有点卡壳）今天第四节上海队的师生互动和对答形式更显新颖而精彩，中间还有“学生”纠正“教师”的情节，我问过“纠错”情节是有意的还是真实的，他们说是真实的．这些研讨都是真诚的、友好的、切合主题和非常有益的，应该成为我们这次会议的一个亮点．（当然，研讨的时间可以多一点、交锋可以激烈一点）1-3 看到了以解析几何为主体的压轴题内容（1）压轴题统计．据统计，这次上场的12道题中，题目本身不出现坐标系的有5、6、7、12队的四道纯几何题（涉及综合几何、变换几何，当然也可以建立坐标法来求解），主体是坐标系结合几何图形的综合题，其中坐标系中的重点是二次函数（抛物线），也有一次函数（直线）和反比例函数（双曲线），而几何图形则广泛涉全等或相似三角形、四边形、圆、面积等．这反映了一个事实：中考压轴题喜欢用解析几何（当然，初中没有这个词）．所以，我想谈一谈“解析几何”的学科思想，并期待大家用学科思想去指导解题． （2）“解析几何”的学科思想．解析几何的基本思想是：首先创建坐标系，用平面上的一点到两坐标轴的坐标来确定点的位置,构成“点”与“有序实数对”的对应；接着用运动的观点,把曲线看成点的运动轨迹,建立起曲线与方程的对应．从而，几何问题不仅可以转变为代数形式,而且可以通过代数运算来发现几何性质,证明几何性质,这就改变了自古希腊以来代数与几何的千年分家,把“数”与“形”统一了起来,把几何曲线与代数方程结合了起来．这种对应关系的建立,不仅创立了新的学科——解析几何学，而且标志着变数进入数学, 为函数概念和微积分的创立奠定了基础,使数学在思想方法上发生伟大的转折——由常量数学进入变量数学．几何问题转化为代数问题之后，代数演算有程序性、机械化和普适性的好处，求解时可以运用代数的全部方法和所有技巧，这就是解析几何的一个优势．但有时运算可能是复杂繁难的，教师一方面要作出“硬运算”的示范，另一方面，教师可以选择一些典型的练习题，加强数学思想方法的教学和具体解题技巧的指导，通过回归定义、活用几何结论、数形结合、巧设参数、合理建立坐标系、设而不求、整体代换等，简化计算过程、化解运算难点．比如第1队长沙25题第（2）问，更体现学科思想的做法可以：OPM OCP ⇔OP OM PM OC OP CP== ⇔==⇔5, 2 OM PM ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①②（方程组）解方程，得2294,412,2x xx x⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩或或得2x=．这虽然与先做①式，后检验②式有相同的运算，但存在素养上的差异．1-4 看到了数学课堂上的幽默、生动和文化（1）看到了数学会场上有掌声和笑声．可能很多人都会认同数学课堂难得有掌声和笑声，但是我们的会场有了．如同大家所看到的，讲题研讨有激越煽情型的、也有大气沉稳型的，有精雕细刻面面俱到的、也有大刀阔斧突出特点的，有工于抽象思维的、也有富于形象直观的，但不同的教学风格都由于教学呈现形式的生动和数学专业揭示的到位而引起共鸣，产生掌声和笑声（而不是痞气的噱头或缺少学术深度的插科打诨）．当然，有些笑声也出于语言的艺术或逻辑错位等．如●有老师说，“参加会议”有一种热爱数学的人找到自己队伍的感觉——听来很温暖．●又有老师调侃自己开头：皮（肤）黑心不黑（别看表面看本质）；讲压轴题如同射线，只有起点（研讨没有终点）．……（2）看到了数学会场上的文化．数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动．将数学文化融入教学，有利于激发学生的学习兴趣，有利于学生进一步理解数学，有利于开拓学生视野，提升数学学科核心素养（详见高中课标）．指向数学核心素养的课堂教学应该努力渗透数学史、数学家，数学精神和数学应用等数学文化要素以及更广泛的人文元素，感悟数学价值，提升科学精神，培养应用意识，生成人文素养．据知，高考试题主要从数学史、数学精神、数学应用三个方面渗透数学文化，中考也会向这个方向靠拢．关于会场上一般性的文化元素，主要表现有：许多选手富于哲理的开场白，经验之谈的口诀，和一些我来不及记下的对联（注意，上下联有平仄要求），这些都与去年一样丰富．如●总结口诀：作等角，画圆形，定位Q点要先行；特殊点，要抓牢，垂直处理求坐标；点对称，构图形，一题多解现原形；压轴题，悟本原，多解归一求自然．●总结口诀：画准图靠分析，找出路抓特征，求突破勤转化．●对联1：人生几何，渭高园内煮青梅；武林代数，华山脚下论英雄．●对联2：点线面体，交分离合，主动才觉趣味多；沪湘秦辽，思辨往来，交流方知课堂嗨．如果说数学结论是冰冷的，那么数学教师可以给它插上情感的翅膀，使它成为冰冷的美丽；如果说数学探索是火热的，那么数学教师可以给它融入理性的合金，使它成为火热的思考．数学教师在数学的面前并非只有传承，数学教学本来就是一种充满创造性的学术活动．（数学家创造数学概念，数学教师创造概念的数学理解）顺便指出，“中小学数学”刊物2006年有多篇文章争论过数学教学中“口诀”的作用，应该看到，教学中的口诀、对联等更像“调味料”，数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验才是“主食”，要防止“喧宾夺主”或“矫揉造作”．1-5 也看到了会场上有批判性不足等方面的情况（1）很少听到关于题目的改进意见．不是不应该“重在正面理解”，而是不能没有批判性的声音，这说明我们对解题反思“思什么、怎么思”还需要探讨和强调（齐齐哈尔2018年第12题就数据不科学，最后每人满分，参见例8）．比如●有的题目承担中考压轴的使命压住了没有？太浅压不住，太深又形同虚设、也没压住；我问过一些老师，有的中考题难度系数只有0.1或不足0.1，是形同虚设的．●有的题目有两点距离公式的背景，“会议手册”的几个地方也用到了两点距离公式，初中学距离公式了吗？●有好几道题目都有“如图”的叙述,其中有些会不会带来题意歧义？比如，第10队深圳23题第（2）问“如图1，……在直线AB 上有一点P ，若∠OPM ＝∠MAF ，求△POE 的面积”，会不会给学生造成只有一解的误导？事实上，题目的附图有“特指”（确定）与“泛指”（示意）两种含义，“特指”认为图形是题目条件的一部分，求解只需在所给的确定图形 图1下进行，答案只需适合所给的图形.“泛指”认为图形只是题目内容的一个直观示意或辅助说明，求解还需考虑题目叙述所覆盖的所有可能，答案必须包括全部情况．如果题目的含义不说清，学生中就会有不同的理解．2008年间“中小学数学”刊物曾对此有过争论．（见该刊2008（10）,2009（5）、（10）、（11）等处）例1 （原人教版课标实验教材八年级下册121页练习第7题）如图2，四边形ABCD 中，//AD BC ，M 是AD 的中点，MB MC =，求证四边形ABCD 是等腰梯形．（注：现行初中教材不研究梯形，但小学学过）一种观点认为，图形是“示意”的，条件对于推出结论不充分，还应加 图2上“AB 与CD 不平行”或AD BC ≠，或改“四边形ABCD ”为“梯形ABCD ”．另一种观点认为，图形是“确定”的，已经显示“AB 与CD 不平行”或了AD BC ≠，不需要加上．对下面三道题有无区别也存在分歧：例2-1 如图3，已知O 的半径为5，弦AB 的长为6，弦CD 的长为8，且//AB CD ，求弦AB ，CD 之间的距离．（有一种观点认为此题不用考虑图4）图3 图4例2-2 如图4，已知O 的半径为5，弦AB 的长为6，弦CD 的长为8，且//AB CD ，求弦AB ，CD 之间的距离．（有一种观点认为此题不用考虑图3）例2-3 已知O 的半径为5，弦AB 的长为6，弦CD 的长为8，且//AB CD ，求弦AB ，CD 之间的距离．（都认为要考虑图3、图4，但与例2-1、例2-2有无区别也存在分歧）（2）有的“一题多解”停留在罗列上，目的性不明．上面说到，“多数队都是眼花缭乱、异彩纷呈的一题多解，努力接近问题的深层结构”，但是，也有的“一题多解”只是平铺直叙、平行并列，缺少亮点、高潮和深层结构的揭示．我们说，对于解题获得答案来说，本来有一个解法就够了，为什么还要“一题多解”呢？一题多解有两个潜在的功能：其一，多角度审视有助于接近问题的深层结构；其二，一个问题沟通不同的知识，有助于形成优化的认知结构．但是，潜在功能需要我们去发挥出作用，简单地并列多种解法有时反而会加重学生的负担（可能连一种方法都没掌握好），惟有沟通不同解法的知识联系，我们才有更多机会洞察问题的深层结构，形成优化的认知结构．（3）难点的确定与突破有提高、但还可努力．应该说，当大家分析每一道题目的思路时，都是针对解题难点来讲解的，但是没有明确指出：该题到底一共有几个难点、分别在什么地方、各用什么方法来突破、方法的实质是什么、从中可以获得什么解题启示或教学启示？另外，有的讲解缺少思路的揭示（只有结论的“无私奉献”），一步一步很条理、很流畅，但主要是方法和技巧的完成，方向的思路分析和思想的本质提炼都有待展开；还有些个别情况，是一条条辅助线的变戏法出现，一个个数据的从天而降．正因此，我对北京队的思路总结专门表示赞成，更对上海队的总结过程和总结内容高度赞赏．（思路揭示可先可后，但不能没有）我想起继夸美纽斯之后的著名教学论专家第斯多惠（1790～1866）说过：“坏老师奉送真理，好老师教人发现真理．”（他还有一句名言：教学的艺术不在于传授的本领，而在于激励、唤醒、鼓舞）我希望，学生获得的不只是一些题目的答案，而是有数学运算和逻辑推理的素养熏陶．应该明白，基于数学核心素养的课程实施源于学科知识又超越学科知识，是学生在学习数学课程的过程中所形成的、对数学本质的深刻认识和深度把握，它能够引领学生将习得的数学知识和技能应用到日常生活中去，帮助学生用数学的眼光发现和提出问题、用数学的思维分析和解决问題、用数学的语言表达和交流问题．（4）若干语言或书写还有商榷的余地．比如●对于二次函数在闭区间上的最值问题，说“必须数形结合”是否准确？●说“要找半径必先找圆心”是否准确？●用三角形两边之和（差）大（小）于第三边求最值，要不要考虑能否取到等号？可否改为“两点之间直线距离最短”？●单位圆是不是半径为1的圆？要不要考虑圆心在原点？●要不要注意“轴对称与轴对称图形”的区别？●分段定义的函数是一个函数还是两个函数？对应的图像是一个图像还是两个图像？●还要提起，“是”有三种含义：等于（如等边ABC的边长都是5）、属于（如ABC 是等边三角形）、包含于（如等边三角形是锐角三角形），所以，它被广泛用于各种场合是可以理解的，但依然存在用哪个词更为恰当的问题，比如“边长是5”就不如“边长为5”或“边长等于5”自然．1-6 关于“讲题”的建议方运加教授和我、还有一些代表都认为，随着会议的成功举办，关于“讲题”的理论思考应该提到议事日程上来，我们共同提议：（1）讲题的含义可以推广．“讲题”是一种“解题活动”，而解题活动可以是不出声的“笔解”，也可以是说出声的“讲解”．本次活动的“讲题”仅限于讲“中考压轴题”，主题鲜明，也触及初中数学教学的兴奋中心，作为开头、先抓重点很有必要．但是，广大老师的解题活动远比“中考压轴题”宽广，也远比“中考压轴题”需要，所以，讲题的含义可以逐步拓展为所有数学题，不仅可以讲考试题，而且也可以讲课本题；不仅可以讲解答题，而且也可以讲选择题、填空题等等，让讲题活动遍地开花，与蓬勃发展的“讲课比赛”“说课比赛”“解题比赛”“说题比赛”并列，成为促进教研发展和教师提高的一种新形式．（2）讲题的内容应该明确．为了发挥“讲题”的引领作用，提高“讲题”的学术水平，有几个认识问题需要明确，留给“新青年”们去研究：①明确讲题讲什么？讲题怎么讲？可否按照数学解题的基本过程提出讲题意、讲思路、讲解法、讲反思，以及讲解题感悟、讲命题背景、讲内容推广等等．前者（题意、思路、解法、反思）可以重在学生，后者（感悟、背景、推广等）可以重在教师．“讲题比赛”对“讲什么？怎么讲？”都不清楚，第一年可以说是“创新”，第二年还能说“创新”吗？继续下去不会被叫为守旧吗？②明确讲题的目标重在“解题研究”还是“解题教学”？前者偏重于“教育数学”，后者偏重于“数学教育”；也可以两者兼而有之．一般说来，“解题研究无禁区，解题教学有范围”，对于教师来说，繁简解法、对错解法、优劣解法以及超不超纲的解法等，都应该兼收并蓄；至于将哪一个解法用于课堂，则取决于教学要求和学生实际，有时候首推的不是“巧思妙解”，而是通性通法．③明确讲题的对象重在“教师”还是重在“学生”？前者偏重于“教”，后者偏重于“学”；也可以两者兼而有之．今年的会场上已经出现明显的意见分歧和做法差异.④明确讲题的时间等技术细节．不要“先讲的时间占用长、后讲的占用时间短”“胆大的占用时间长、胆小的占用时间短”，应该时间大体相等，比如每个队都控制在“一节课或半小时”内；交流也应该有一个时间界限（如上所说，希望研讨的时间比现在多一点、交锋比现在激烈一点）．2 中考数学压轴题的认识中考数学压轴题是中考试题的创新重点和难点高潮，思维深度、广度最大的内容，综合性、灵活性最强的设计，一定是放在压轴题上．虽然考生得分的主要来源是中低档试题（并非压轴题，很多压轴题的得分率只有0.1左右，平均得2、3分），但压轴题的瓶颈突破是中考高分突破乃至满分实现的核心、关键和必由之路．上海队的口号“挑战压轴题，挑战满分”说出了他们的目的在于“努力接近满分”．中考数学压轴题首先是数学题，然后才是数学试题和中考题．因此，研究中考压轴题也应该首先明确数学题与数学试题的相关概念，洞察中考数学压轴题的特征（不要解了一辈子题还不知道什么叫题，不要讲了一年又一年的压轴题还不知道什么叫压轴题），掌握数学题求解程序．由于“什么是数学题”去年已经谈过，所以、今年就从数学试题说起，介绍数学试题与数学解题的相关概念，分析中考数学压轴题的基本特征，提出数学解题水平的划分．2-1 数学试题与数学解题的相关概念将讨论数学试题与中考数学题，数学解题与中考数学解题，中考解题的特殊性等内容．（1）数学试题与中考数学题．①数学试题．为了实现诊断、预测、甄别、选拔等特定目的，而系统化、标准化的数学问题组织形式，称为数学试题．如单元测验题、期末或升学考试题、各级各类数学竞赛题等．数学试题与数学试卷有区别，数学试卷是数学试题的一种呈现方式，主要指印有试题的纸张．②中考数学题．用于高中招收新生入学考试的数学试题称为中考数学题．详细说，中考数学题是高中为了诊断、预测、甄别考生数学思维水平而组织起来的一套具有选拔功能的数学问题．中考试卷是中考试题的一种呈现方式，考试之前它是绝密文件．（2）数学解题与中考数学解题．①解题.就是寻找问题的答案，亦即寻找题目条件与题目结论之间的数学联系，它表现为沟通条件与结论的一系列演算或推理．如果说标准的数学题有条件、结论两个基本要素的话，那么数学解题就有条件、结论、解、解题依据共四个要素．②中考数学解题.就是将课堂上获得的数学知识、数学方法和数学活动经验用于解决高中招生考试的数学试题．这是一个从记忆模仿到探索发现的过程，关键在探索发现，核心是。
压轴题03 三角函数压轴题(原卷版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)
压轴题03三角函数压轴题题型/考向一：三角函数的图像与性质题型/考向二：三角恒等变换题型/考向三：三角函数综合应用一、三角函数的图像与性质热点一三角函数图象的变换1.沿x轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移.沿y轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移.2.沿x轴伸缩：若ω>0，A>0，由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍.沿y轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍.热点二三角函数的图象与解析式已知图象求函数y＝A sin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A，B；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.热点三三角函数的性质1.单调性：由－π2＋2kπ≤ωx＋φ≤π2＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间；由π2＋2kπ≤ωx＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )可得单调递减区间.2.对称性：由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )可得对称中心；由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )可得对称轴.3.奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数.二、三角恒等变换热点一化简与求值(角)1.同角三角函数的基本关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan ≠π2＋k π，k ∈2.诱导公式的记忆口诀：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.3.熟记三角函数公式的两类变形：(1)和差角公式的变形；(2)倍角公式的变形.热点二三角函数恒等式的证明三角恒等式常从复杂一边向简单的一边转化，或者两边同时推出一个相同式子，有时要证等式先进行等价交换，进而证明其等价命题.○热○点○题○型一三角函数的图像与性质一、单选题1．将函数()sin cos f x x x =-的图象向左平移7π12个单位长度，得到函数()y g x =的图象，关于函数()y g x =的下列说法中错误的是（）A ．周期是2πB ．非奇非偶函数C ．图象关于点5π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增2．数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（）A ．11sin sin 2sin 323=++y x x xB ．11sin sin 2sin 323y x x x=--C ．11sin cos 2cos323y x x x=++D ．11cos cos 2cos323y x x x=++3．将函数()2sin 21f x x =-图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，并沿x 轴向左平移()0ϕϕ>个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数()g x 的图象．若对于任意的1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在2π,04x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，则ϕ的值可能是（）A ．π6B ．5π24C ．π4D ．2π34．函数e sin xy x =在区间[]2,2ππ-上的图象大致是（）A．B．C．D．5．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则满足()()5π605π12f x f f x f ⎛⎫- ⎪⎝⎭>⎛⎫- ⎪⎝⎭的正整数x 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题6．已知函数2π()cos (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且曲线()y f x =关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则（）A ．()f x 以2π为周期B ．()f x 的图象关于直线2π3x =对称C ．将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后对应的函数为偶函数D ．函数9()10y f x =+在[0,π]上有两个零点7．已知函数()()()sin 0,0π,f x A x b A b ωϕϕ=++><<∈R 的部分图像如图，则（）A ．5πb ωϕ=B ．π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．将曲线()y f x =向右平移π9个单位长度得到曲线4cos 32y x =-+D ．点11π,218⎛⎫- ⎪⎝⎭为曲线()y f x =的一个对称中心8．已知函数()f x 的定义域为()1,1-，对任意的(),1,1x y ∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当()0,1x ∈时，()0f x >，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()00f =C ．当A ，B 是锐角ABC 的内角时，()()cos sin f B f A <D ．当0n x >，且21112n n n x x x ++=，112x =时，()12n n f x -=9．已知某游乐场循环观光车路线近似为一个半径为1km 的圆，观光车从起始站点P 出发，沿图中顺时针方向行驶，记观光者从某次出发开始，行驶的时间为t 小时.A ，B 是沿途两个站点，C 是终点站，D 是该游乐场的观景点之一.已知该观光车绕行一圈的时间是固定的，且π,,6BOA OA OC OA OD ∠=⊥⊥.若要求起始站点P 无论位于站台B ，C 之间的任何位置（异于B ，C ），观光车在ππ,124t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的时间内，都要至少经过两次终点站C ，则下列说法正确的是（）A ．该观光车绕行一周的时间小于π6B ．该观光车在π0,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内不一定会经过终点站CC ．该观光车的行驶速度一定大于52km /h 3D ．该观光车在π0,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内一定会经过一次观景点D10．如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在()s t 时刻相对于平衡位置的高度()cm h 可以田ππ2sin 24h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭确定，则下列说法正确的是（）A．小球运动的最高点与最低点的距离为2cm B．小球经过4s往复运动一次C．()3,5t∈时小球是自下往上运动D．当 6.5t=时，小球到达最低点○热○点○题○型二三角恒等变换一、单选题1．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos22sin21αα+=，则sinα=（）A．15B C．45D2．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus，大约公元前417年—公元前369年）通过下图来…，记BACα∠=，DACβ∠=，则()cosαβ+=（）A．46B．36-C．36+D．463．若π2α<<，π02β-<<，π1cos43α⎛⎫+=⎪⎝⎭，π3cos423β⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin2βα⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．9-B．9C．539D．94．人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点()()1122,,,A x yB x y，O为坐标原点，余弦相似度similarity为向量,OA OB夹角的余弦值，记作()cos,A B，余弦距离为()1cos,A B-.已知()sin,cosPαα，()sin,cosQββ，()sin,cosRαα-，若P，Q的余弦距离为13，Q，R的余弦距离为12，则tan tanαβ⋅=（）A ．7B ．17C ．4D ．145．已知函数()()*sin cos n n n f x x x n =+∈N ，函数()4324y f x =-在3π0,8⎡⎤⎢⎣⎦上的零点的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知函数())2sin 02f x x x ωωω⎛⎫=->⎪⎝⎭的图像如图所示，则ω的值为（）A ．13B ．43C ．16D ．76二、多选题7．已知函数2()sin cos 2f x x x x =-+，则下列说法正确的是（）A ．π()sin(2)3f x x =-B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．函数()f x 的对称轴方程为()5ππZ 12x k k =+∈D ．函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到8．黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中，例如图中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比12=）.在顶角为BAC ∠的黄金ABC 中，D 为BC 边上的中点，则（）A ．cos 342AD AC︒=B ．cos 27sin 27cos 27sin 27AD CD ︒+︒=︒-︒C ．AB 在AC 251AC+D ．cos BAC ∠是方程324231x x x +-=的一个实根9．已知()cos 4cos3f θθθ=+，且1θ，2θ，3θ是()f θ在()0,π内的三个不同零点，则（）A ．{}123π,,7∈θθθB ．123π++=θθθC ．1231cos cos cos 8θθθ=-D ．1231cos cos cos 2θθθ++=10．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD ，其中2π3COD ∠=，33OC OA ==，动点P 在 CD 上（含端点），连结OP 交扇形OAB 的弧 AB于点Q ，且OQ xOC yOD =+，则下列说法正确的是（）A ．若y x =，则23x y +=B ．若2y x =，则0OA OP ⋅=C ．2AB PQ ⋅≥-D ．112PA PB ⋅≥○热○点○题○型三三角函数综合应用一、解答题1．已知函数2()23cos 2cos 1f x x x x =-+.(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)求函数()f x 在区间5ππ[,]126-的值域；2．已知)213,1,cos ,cos 2m x n x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，设函数()f x m n =⋅ ．(1)当π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，分别求函数()f x 取得最大值和最小值时x 的值；(2)设ABC 的内角,,A B C 的对应边分别是,,,a b c 且23a =，6,12A b f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，求c 的值．3．已知函数()()213cos cos 02f x x x x ωωωω=+->.(1)若1ω=，求函数()f x 的最小正周期；(2)若()y f x =图象在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一条对称轴，求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围.4．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式，并求()f x 的单调递增区间；(2)若对任意π,3x t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()π116f x fx ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，求实数t 的取值范围.5．若实数x ，[0,2]y π∈，且满足cos()cos cos x y x y +=+，则称x ､y 是“余弦相关”的.(1)若2x π=，求出所有与之“余弦相关”的实数y ；(2)若实数x ､y 是“余弦相关”的，求x 的取值范围；(3)若不相等的两个实数x ､y 是“余弦相关”的，求证：存在实数z ，使得x ､z 为“余弦相关”的，y ､z 也为“余弦相关”的.。
中考数学压轴题解题技巧
中考数学压轴题解题技巧希望能帮到大家。
中考数学压轴题解题技巧填空题——“直扑结果”题型特点：填空题和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍，考查目标集中，答案简短、明确、具体，不必填写解答过程，评分客观、公正、准确等等，不过填空题和选择题也有质的区别。
首先，表现为填空题没有备选项，因此，解答时既有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足。
对考生独立思考和求解，在能力要求上会高一些。
长期以来，填空题的答对率一直低于选择题的答对率，也许这就是一个重要的原因。
其次，填空题的解构，往往是在一个正确的命题或断言中，抽去其中的一些内容(即可以使条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活，在对题目的阅读理解上，较之选择题有时会显得较为费劲。
当然并非常常如此，这将取决于命题者对试题的设计意图。
填空题的考点少，目标集中。
否则，试题的区分度差，其考试的信度和效度都难以得到保证。
这是因为：填空题要是考点多，解答过程长，影响结论的因素多，那么对于答错的考生便难以知道其出错的真正原因，有的可能是一窍不通，入手就错了;有的可能只是到了最后一步才出错，但他们在答卷上表现出来的情况一样，得相同的成绩，尽管他们的水平存在很大的差异。
解题策略：由于填空题和选择题有相似之处，所以有些解题策略是可以共用的，在此不再多讲，只针对不同的特征给几条建议：一是填空题绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(或性质)判断性的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或合乎逻辑的推演和判断;二是作答的结果必须是数值准确，形式规范，例如集合形式的表示、函数表达式的完整等，结果稍有毛病便是零分;三是《考试说明》中对解答填空题提出的要求是“正确、合理、迅速”，因此，解答的基本策略是：快——运算要快，力戒小题大做;稳——变形要稳，防止操之过急;全——答案要全，避免对而不全;活——解题要活，不要生搬硬套;细——审题要细，不能粗心大意。
2021初中数学中考最全答题模板+真题压轴练!
初中数学最全答题模板+真题压轴练！暑假练起来！答题模板九种题型1.线段、角的计算与证明问题中考的解答题一般是分两到三部分的。
第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。
第二部分往往就是开始拉分的中难题了。
对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。
线段与角的计算和证明，一般来说难度不会很大，只要找到关键“题眼”，后面的路子自己就“通”了。
2.图形位置关系中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。
在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。
3.动态几何从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。
动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。
另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。
所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。
4.一元二次方程与二次函数在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。
几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。
相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。
中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。
一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。
但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合。
5.多种函数交叉综合问题初中数学所涉及的函数就一次函数，反比例函数以及二次函数。
这类题目本身并不会太难，很少作为压轴题出现，一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的掌握。
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1、（2007•大连）如图，二次函数y=ax2的图象与一次函数y=x+b的图象相交于A（﹣2，2）、
B两点，从点A和点B分别引平行于y轴的直线与x轴分别交于C，D两点，点P（t，0），
为线段CD上的动点，过点P且平行于y轴的直线与抛物线和直线分别交于R，S．
（1）求一次函数和二次函数的解析式，并求出点B的坐标；
（2）当SR=2RP时，计算线段SR的长；
（3）若线段BD上有一动点Q且其纵坐标为t+3，问是否存在t的值，使S△BRQ=15．若存在，
求t的值；若不存在，说明理由．
2、（2007•赤峰）如图，一元二次方程x2+2x﹣3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c
与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；
（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．