2017学年温州苍南嘉禾中学高二上期末数学试卷

苍南县嘉禾中学高二数学试卷 2018.1
一、单项选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）
1. 复数
1i
i -的共轭复数是（ ） A ．1122i -- B ．1122i -+ C ．1122i - D ．11
22
i +
2．已知n m 、是不重合的直线，βα、是不重合的平面，则下列命题是真命题的是（ ）
① 若αα//,n m ⊂，则n m // ② ββ//,n m n m 则，若⊥⊥ ③ βαβα////,//,m m n m n 且则若= ④ βαβα//,则，若⊥⊥m m A ．①③ B．②③ C．③④ D．④
3.函数)(x f y =在某点处的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）
A ．充分不必要 B.必要不充分 C.充要条件 D.既不充分也不必要 4.在用数学归纳法证明不等式
11113(2)12224n n n n ++⋅⋅⋅+>≥++
的过程中,当由k n =推到1+=k n 时,不等式左边应（ ） A.增加了)1(21+k
B.增加了221121++
+k k C.增加了
221121++
+k k ,但减少了1
1
+k D. 以上都不对 5．过抛物线y x 42=的焦点F 作直线交抛物线于()()222111,,,y x P y x P 两点，若621=+y y ，则21P P 的值为（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
6．斜率为1的直线l 与椭圆14
22
=+y x 相交于B A ,两点，则||AB 的最大值为( ) A ．2
B ．
554 C ．510
4 D ．5
108
7.设函数()()2
,,f x ax bx c a b c R =++∈，若函数()x
y f x e =在1x =-处取得极值，则下列图象不可能为()y f x =的的图象的是（ ）
A B C
D
8.已知点),()0,1()0,1(00y x P B A ，，-是直线2+=x y 上任意一点，以B A ,为焦点的椭圆过点P ，记椭圆离心率e 关于0x 的函数为)(0x e ，那么下列结论正确的是（ ）
A. e 与0x 一一对应
B. 函数)(0x e 是增函数
C. 函数)(0x e 有最小值，无最大值
D. 函数)(0x e 无最小值，有最大值
9.在正方体1111ABCD A BC D -中，
点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则
sin α的取值范围是（ ） A
.⎣⎦
B
.⎤⎥⎣⎦
C
. ⎤⎥⎣⎦
D
.3⎣⎦
10.如图，椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的短轴为21B B ，长轴端点为21,A A ，两焦点为
21,F F ，将椭圆C 沿短轴21B B 折成直二面角，P 在两个半椭圆所形成的轨迹上运动，则下
列结论正确的是（ ）
①||||21PF PF +取最大值时，点P 在短轴端点； ②||||21PF PF +取最小值时，点P 在长轴端点.
A. ①②
B. ①
C. ②
D. ①②都不对
二、填空题（多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
11．已知直线12:32,:(2)1l mx y m l x m y +=-++=，若12//l l ，则
实数m = ；若12l l ⊥，则实数m = . 12.某几何体的三视图如右图所示，则它的表面积为_______， 体积为________.
13.已知双曲线()2
2
10y x m m
-=>的离心率是2，则m =____，以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是_________________________.
14.已知椭圆的方程为22
194
x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于,A B 两点，2F 是椭圆右焦点，则2ABF ∆的周长的最小值为 ，2ABF ∆的面积的最大值为 ．
15．已知12,F F 是双曲线2
2
21y x b
-=的左、右焦点，点P 是双曲线上在第一象限内的点，且
2122,45PF F PF =∠=︒,延长2PF 交双曲线右支于点Q ，则1F PQ ∆的面积是________.
16.已知(),()f x g x (()0)g x ≠分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，
'()()()'()0f x g x f x g x -<，
且(2)0f -=，则不等式()
0()
f x
g x <的解集为____ ____. 侧视图
正视图
17．如右图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1B F //平面1A BE ，则1B F 与平面
11CDD C 所成角的正切值的最小值是________.
三、解答题(共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤.)
18.（14分）已知()()1,0,1,0A B -，动点C
满足AC =.
(1)求动点C 的轨迹方程；(2)若过点()2,2的直线l 交点C 的轨迹于D E 、
两点，且
DE =l 的方程.
19．(15分)已知如图，四面体ABCD 中，BD CD ⊥，2===AD BD AB ，1=CD ，E 为AD 中点.（1）若5=AC ，求证：BE AC ⊥；（2）若7=AC ，求AC 与平面BCD 所成角的正弦值.
20．(15分)已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且112n n n S a a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
.
（1）分别求出123,,a a a 的值，猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论； （2）求函数()()1ln f x x x =--的单调区间；
（3）求证：()2
2212111ln 1.n n S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++⋅⋅⋅+>+ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
21. (15分) 已知抛物线C 的顶点为()0,0O ，焦点()1,0F .（1）求抛物线C 的标准方程及其准线方程；（2）设P 为抛物线C 上的动点，求点P 到直线230x y -+=和y 轴的距离之和的最小值；（3）若直线()1
:02
l y x b b =-+<与抛物线C 交于A B 、两点，求AOB ∆面积的最大值.
22.（15分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 过点)2,0(，且离心率为2
2
，又直线l
与圆1:2
2
=+y x M 相切，且与椭圆C 相交于Q P ,，连结QO （O 为坐标原点）并延长交椭圆于另一点R ，连接PR .(1)求椭圆C 的方程；(2)求PQR ∆面积的最大值；
(3)试探究PR 是否能和圆M 相切，若能，求出此时直线PR 的方程；若不能，请说明理由.
嘉禾高中2017学年第一学期高二数学参考答案
一、 选择题：本大题共有10小题，每小题4分，共40分
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
11. 3-，32
-
； 12 . 36，12； 13. 3，()22
23x y -+=；
14. 10， 15. 4； 16. ()()2,02,-+∞ ； 17. 2．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18.(1) ()2
2
38x y -+=；(2) 2x =或34140x y +-=．
19．解：（1）因为5=AC ，1=CD 。

2=AD ，所以AD CD ⊥，又BD CD ⊥，可证明⊥CD 面ABD ，BE CD ⊥⇒，又E 为AD 中点，AD BE ⊥∴，可证⊥BE 面ACD ，BE AC ⊥∴；
（2）过A 作⊥AH 面BCD ，连接CH ，连接AO ，如下图，
则AC 与平面BCD 所成角就是ACH ∠，设t OH =，则23t AH -=，
2)1(1t CH ++=，
那么根据勾股定理有：2
2)1(137t t +++-=，解得1=t ，
714
7
2sin =
==
∠∴AC AH ACH ，即AC 与平面BCD 所成角的正弦值为714.
20．证明：（1）1231,1,n a a a a ===证明略……………7分 （2）()0,1,x ∈)(x f 递减; ()1,,x ∈+∞)(x f 递增; （3）略
21． (1) 2
4,1y x x ==-抛物线的标准方程为准线方程为；
(2)
1；
(3)
. 22．(1)
22
142
x y +=；
(2) ()
)max
0PQR S k ∆==；
(3)不能．。