遗传算法求解最大团问题研究

摘要
最 大 团 问 题 是 ＮＰ难 解 的 ， 遗 传 算 法 求 解 的关 键 是 如 何 设 计 有 效 的 评 估 函 数 ． 先 从 理 论 上 分 用 首
析 编 码 规 则 及 适 应 函数 对 个 体 进 化 的 影 响 ， 出个 体 基 因适 应 函 数 和 个 体 适 应 函数 多 重 评 估 方 法 ， 设 计 求 提 并 解算法． 数值 实验 表 明 ， 法 具 有 较 好 的 通 用 性 和 较 高 的 性 能 ． 算
和 Ｒｏｓ首次 提 出求 解最 大 团问题 的确定 性算 法＿ ， 随着 问题 复 杂 度 的提 高 ， ｓ ２但 ］ 确定 性算 法 的缺 点也 越
来 越 明显 ， 主要表 现在 算法 所花 费 的运 行 时间过 长 ， 多 学 者 开始 采 用启 发 式算 法 求解 最 大 团 问题 ， 许 提
第３ ３卷 第 ２期
２１ ０ １年 ６月
湖 北 大 学学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨｕ ｅ ｉｅｓｔ （ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅ ｏ ｒ ａ ｏ ｂ ｉＵｎｖ ｒｉｙ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ）
Ｖｏ． Ｎｏ ２ １ ３３ ．
Ｊ ｎ ，２ １ ｕ． ０１
种 新 的求解 方法 ， 该方 法首 先将 最大 团 问题 转换 为求解 其补 图 的最大独 立集 问题 ， 然后 采用 遗传 算法 对 其补 图编码 、 化 ， 出其 补 图的最 大独立 集 ， 而 得到 原 问题 的最优 解 ． 值 实验 结 果 表 明 ， 方法 能 演 求 从 数 该
有效 地处 理复 杂性很 高 的最大 团 问题 ， 且所得 到 的解全 部为精 确解 ． 而
（ ） Ｅ “， ．
由以上定 义 可知 ， Ｌ 是无 向 图 Ｇ 的最 大 团 ， Ｕ是无 向图 Ｇ 的最 大 独立集 ， 若 ， 则 反之 亦然 ． 图 １中 如
收 稿 日期 ： ０ ０—０ —１ ２１ １ ２ 基 金 项 目 ： 东 省 科 技 计 划 项 目（ ０ ８ ０ ０ ０ ０ ８ 资 助 广 ２ ０ Ｂ ８７ １ １）
（
中
定义 １ ４ ２ 称 补 图 Ｇ 的某个 体第 ｉ 基 因 的适 应值 为 ｆ （ ｋ ｉ） 其值 为与 ｉ 有相 邻边且 ｚ 取 ． ． 个 ｅ Ｇ ］ ， ｒ － 具 １ ．
Ｅ
定义 １ ４ ３ 称 图 Ｇ 的个体 Ｇ ． ． 的适 应值 为 厂（ ｋ ， 厂 Ｇ ）一 Ｇ ）则 （ ｋ
作 者 简 介 ： 能发 （９ ２一 ， ， 士 ， 教 授 ， — ｉ ｈ ｎ ｎ ｆ＠ ｔｍ．ｏ 胡 １６ ） 男 硕 副 Ｅ ｍａｌ ｕ ｅ ｇａ ｏ ｃｍ ：
第 ２ 期
胡 能 发 等 ： 传 算 法求 解 最 大 团 问题 研 究 遗
（ ） （） 补 图。 ｂ为 ａ的
团 圆 团 团
关 键 词 最 大 团 ； 大 独立 集 ； 传 算 法 ； 应 函数 ； 接 表 最 遗 适 邻
中图 分 类 号 Ｔ ２３ Ｐ ７ 文献标志码 Ａ
最 大 团问题是 现 实世界 中 的一类 真 实 问题 ， 经典 的组 合优 化 问题 之 一 ， 于 ＮＰ完 全 问题＿ ， 是 属 ｌ 在 Ｊ 实 践 中有非 常广泛 的应 用 ， 多不 同领 域 的问题都 可转 化为该 问题 来解 决 ， 许 如编码 理论 、 障诊 断 、 算 故 计 机 视觉 、 式 匹配 、 模 信号 传输 、 人工 智能 、 聚类 分析 、 移动 计算 、 息恢 复 、 物信 息学 等 ． ９ ７年 ， ｒｒ 信 生 １５ Ｈａａｖ
文 章 编 号 ：０ ０— ３ ５ ２ １ ） ２— ２ ６ ０ １ ０ ２ ７ （０ １ ０ ０ ５ — ４
遗传 算 法 求解 最 大 团 问题 研 究
胡 能发 唐 为 萍 ，
（． 山 师范 学 院数 学 与信 息 技 术 系 ， 东 潮 州 ５ １４ ；． 山 师 范 学 院 生物 系 ， 东 潮 州 ５ １４ ） １韩 广 ２０１２韩 广 ２ ０ １
由定义 ， 显然 有 ： （ ＝Ｆ （ ＋ Ｆ （ ｋ ． ． Ｇ ）＝ ，Ｇ ） 厂 ： ：Ｇ ）
若 。 为最 大独 立集精 确解 ， 则有 Ｆ （ 。Ｇ ）一 ０ Ｆ （ ） ， 值越 大 ， 明独立 集 中顶点存 在公 共边 越多 ， 说
即所 对应 的独立 集越 不精 确． 之 ， 值越 小 ， 对应 的个 体越好 ． 果 Ｆ （ 达 到最小 值 ０ 则说 明 ， 反 其 所 如 Ｇ ） ，
出 了各 种各 样 的启发 式算 法 ， 且取得 了很 令人 满 意 的效 果 ， 并 如模 拟 退 火 、 禁忌 搜 索 、 人工 智 能 、 蚁群 算
法 等Ｌ ］ 但这 些方 法往往 不 能得到 问题 的精确 解 ， 别是 稠 密 图 的求 解 ， 复杂 性 很 高． 文 中提 出一 ３． 特 其 本
体 的 适应值为 厂 ） ： （ ）为了表述方便， 下论述中 ｉ （ 一 ［ ． ］ 在以 用 表示顶点Ｖ ，一 １ ， ｉ ， …， ２ ．
定 ．称 第条色为 ＝ｚｚ 中 一 义４ 图的尼染体Ｇ＝ ｛ ． ｚ…， 其
值 不 同的顶 点数 ， ． Ｇ Ｅ］ 即 （ ｉ）一
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湖北大学学报（ 自然 科 学 版 ）
第 ３ ３卷
个 体 的适应 值 ＿ Ｇ ） 厂 越小 ， （ 所对 应 的个体 越接 近最优 解 ， ＿ Ｇ ）一 ０ ， 当厂 ｋ （ 时 所求个 体 为精确 解． 同时存 但 在 一个 问题 ， （ ｆ Ｇ ）一 ０仅 仅说 明 了所 求解 是精 确解 的充分 条件 ， 一般 情况 下 ， 这个 条件 很 难成 立 ， 因此 演 化过 程必 须综 合考 虑 ｆ ｃ ）Ｆ。Ｇ ） Ｆ （ 等 函数 的影 响． （ 、 （ 、 ：Ｇ ） 定 理 １ 若 图 Ｇ一 （ ， ）的个 体 Ｇ 中与 Ｖ 对应 的顶 点 的基 因值 ｚ 一 １ 与 对 应 的顶点 的基 因 Ｅ ，
定义 １ １ ２ 称无 向图 Ｇ 的完 全 子 图 【 是 Ｇ 的一个 团 ， ． ． ， 当且 仅 当对 任 意 给定 的图 Ｇ 的完 全 子 图
Ｗ ， Ｕ（ Ｗ ． 有 ｚ ＝
定义 １ １ ３ 称无 向图 Ｇ 的最 大 团为 Ｇ 中所 含顶点 数最 多 的团． ．． 定 义 １ １ ４ 称 【 是 无 向 图 Ｇ 的空子 图 ， ．． ， 当且 仅 当对 于 任 意给 定 的无 向图 Ｇ一 （ Ｅ） 若 Ｖ， ，
如 图 ２所 示 ．
１ ４ 适应 函数 ．
对 给定 图的补 图进行 编码 的 目的是 为 了方便 适应 函数表 示最 大 团的精 确解 ． 应 函数 适
的主要 功能 是用来 判 断群体 中所 有个 体 质 量 的好 坏 ， 描述 了群 体 的状态 ． 应 函数 的设 计 以邻 接 表 它 适 （ ２ 为依据 ， 图 ） 如果 对于 邻接 表 中的表头 结 点 ｉ其 对应 的表结 点 中 的所 有其 他结 点 的 ｚ值 与 之 不 同， ， 则 说 明该结点 具有 较好 的适 应度 ， 可将 表头 结点 与表结 点不 同 ｚ值 的数量记 录 下来 ， 为评 价个 体 中基 因 作 （ 点 ｉ适 应 度 的依 据 ， 所 有 的基 因 ｉ 结 ） 将 适应 度 相加 ， 即可得 到整个 个 体 的适 应值 ． 这里 对 整个 个 体 在 采用 了双重 评价 ， 了评价个 体 的适 应度 以外 ， 除 还对 个体 中 的每个 基 因进行 了评 价 ， 这样 做 的 目的是 为 了加 快演化 的速 度 ， 因为选 择 变异算 子 时 ， 以优先 选择 变异那 些适 应 度较 差 的基 因． 可 设 表示 由图 Ｇ 所 生成 的第 ｋ 染色体 （ ０和 １组成的序列 ）记 的第 ｉ 条 由 ， 个基 因 的适 应值 为 （ Ｅ］ ， ｉ） 则第 ｋ条染 色
为 独立 集 ， 而且这个 结 果是 精确 的． 但此 时并 不 能判 断 。 最 大独立 集 ， 只能作 为 是 最 大独立 集 为 它 的必要 条件 ． 但从 ， Ｇ ）的取值 发 现 ， 果 厂（ ｋ （ｋ 如 Ｇ ）一 ０ 则 有 Ｆ （ ， Ｇ ）一 Ｆ （ ： Ｇ ）一 ０ 因此 ， 般情 况下 ， ， 一
图 １ 无 向 图 Ｇ 和 Ｇ 的 补 图 图 ２ 图 １ ｂ 的 存 储 结 构 （）
１ ２ 遗传算 法 求最大 团 问题 的 基本 思 想 遗 传算 法 是 一 种 模仿 生 物 自然 进 化 的概 率 算 法 ， 通 过选 ． 它 择、 杂交 和变异 等算 子 ， 优胜 劣 汰的原 则而 生成 下一代 个体 ． 按 遗传 算法 具有 高效 的特 点 ， 其关 键 在 于其 遗 传算 子 的设 计． 一 ， 其 通过不 同母 体 的杂交 ， 能产 生不 同 于母体 的后代 ， 后代保 留了母体 的 部分 优 良 其 特征 ． 其二 ， 以一定 的概率 对个 体 的某些基 因进 行变 异 ， 加 了群体 的多样 性 ， 增 从而使 算 法不 易 陷入局 部 最优 解． 于最 大 团问题 ， 对 首先要 确定 个体 的编 码 ， 后对 群体 中所 有个体 进行 适应 度评估 及 遗 传操 作 ， 然 从 而最终 得 到优化后 的个 体 ， 即为所 求得 的最 大 团． １ ３ 编码 设计 对 给定 的无 向 图 Ｇ一（ Ｅ） 先求 其 补 图 Ｇ一（ Ｅ ） 然 后 对 Ｇ 的顶 点 集 Ｖ 的所有 顶 ． ， ， ， ， 点按 自然数 顺序 依次 编号 ， 为 Ｇ所对 应邻 接表 的数 组 的下标 ． 作 例如 下标 为 ｉ 的数组 表 示 编号 为 ｉ的结 点， 邻接表 中表 头结 点 由数据 域和链 域构 成 ， 中数 据域 的值为 １或 ０ １ 示对应 顶 点在最 大 团中 ， 其 ，表 ０ 表示 不在最 大 团 中． 链域则 指 向第一 个 与 ｉ 邻 的结点 ； 结 点 由邻 接 点 域 和链 域 构成 ， 中邻 接点 域 相 表 其 存放与 ｉ 相邻 的结 点所对 应 的数组 的下 标 ， 域则 指 向下一个 与 ｉ 邻 的结点 ． 链 相 例如 图 １ ｂ 的存储 结 构 （）