有理数的加法运算
有理数的加法
（1）（-9.18）+6.18 = -３ （2）6.18+（-9.18）= -3 （3）（-2.37）+（-4.63）= -7 （4）（-4.63）+（-2.37） = -7
加法交换律： 两个数相加，交换加数的位置，和不变。
a+b=b+a
（1）[8+(－5)]+(－4) = -1 （2）8+[(－5)+(－4)] = -1 （3）[(－7)+(－10)]+(－11) = -28 （4）(－7)+[(－10)+(－11)] = -28 （5）[(－22)+(－27)]+(+27) = -22 （6）(－22)+[(－27)+(+27)] = -22
有理数的加法
有理数加法法则
1、同号两数相加，取相同的符号，并 把绝对值相加。
2、异号两数相加，取绝对值较大的加 数的符号，并用较大的绝对值减去 较小的绝对值。
3、互为相反数的两个数相加得0。 4、一个数同0相加，仍得这个数。
分析特征 强化理解 总结步骤
( - 4 ) + ( - 8 ) = - ( 4 + 8 )= - 12
例2 ↓
↓
↓↓
小明遥控一辆玩具赛车，让它从A （5）[(－22)+(－27)]+(+27)
(2) 如果a<0，b<0，那么a+b____0;
地出发，先向东行驶15m，再向西行驶 （1）[8+(－5)]+(－4)
（2）蚂蚁离开出发点O最远是多少厘米？ （1）15+（-13）+18
25m，然后又向东行驶20m，再向西行 （1）[8+(－5)]+(－4)
有理数的加减混合运算
式子它表示求: －8，+10，－6, －4 的和
2、求和式子的简化写法：通常把每个加数的括号和它前面的加号省略不写.
上面的式子可以省略写成：－8 ＋10－6 －4
3、式子的读法：
（1）仍看作和式：读作“负8、正10、负6、负4的和”
（2）按运算意义：读作“负8加10减6减4”
＝－39
＝－48
＝17
＝0
＝－7
＝－41
＝0
＝－4
＝30
＝0.8
例计算：
01
解法指导：先写成省略括号的和的形式，并把小数化为 分数，再根据运算律进行合理运算．
02
例题解析：
计算：
01
先将上述各式化为省略加号和括号的和的形式．
02
同号为＋，异号为－
03
解法指导：
习题解析：
计算：
先将上述各式化为省略加号和括号的和的形式．
0+(- 6) 4) 0 - ( - 4.4)
-2.5+(-3.2) 2)
a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)
a+b=b+a 加法交换律：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加。
有理数加法的运算律
例1 计算： (2)
减去一个数，等于加上这个数的相反数。
1
2
3
4
5
有理数的加法和减法法则
你能都算对吗？
1. (－24)＋(－15) 2. (－65)＋17 3. (＋36)＋(－19) 4. (－7)＋6＋(－3)＋10＋(－6) 5. (－23)－(－16) 6. (－23)－16 7. (－26)－(－26) 8. 1－(－5)－(＋4)－|－6| 9. 30－15＋8－(－15)＋(－8) 10. －3＋4.5－2.2＋1.5
有理数的加法(一)
传钉钉，和拍照的作业一起上传。
运动3m，很显然，两次运动后物体从起点向左运动了2m.
－5
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
+3
-2
类型三：异 号 两 个 数 相 加
5+（—3）=2
+5
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
+2
—3
5+（—5）=0
+5
●
●
●
●
●
●
解：(1)（-4）+(-6)= — (4+6)= —10 (2) 4 + (-6) = — (6—4)= —2 (3) (-4)+ 6 = + (6—4)= 2 (4)(-4)+4= 0
(5)(-4)+14= + (14—4)= 10 (6)(-14)+4= — (14—4)=—10 (7)6+(-6)= 0 (8)0+(-6)= -6
-8
类型二：同 号 两 个 数 相 加
(－5) + (－3) = －8
根据这个算式能否尝试总结负数与负数相加， 它的运算结果与两个加数有什么联系吗？
符号 绝对值
结论： 负数与负数相加，取负号，并把绝对值相加.
类型二：同 号 两 个 数 相 加
( +5) + (+ 3) = ++8 (－- 5) + (－- 3) =－- 8
有理数的加法运算
有理数的加法运算：同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”，符号跟着大的跑；绝对值相等“零”正好。
【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。
合并同类项：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。
去、添括号法则：去括号、添括号，关键看符号，括号前面是正号，去、添括号不变号，括号前面是负号，去、添括号都变号。
一元一次方程:已知未知要分离，分离方法就是移，加减移项要变号，乘除移了要颠倒。
恒等变换：两个数字来相减，互换位置最常见，正负只看其指数，奇数变号偶不变。
（a-b）2n+1=-（b - a）2n+1（a-b）2n=（b - a）2n平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。
完全平方:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。
因式分解：一提（公因式）二套（公式）三分组，细看几项不离谱，两项只用平方差，三项十字相乘法，阵法熟练不马虎，四项仔细看清楚，若有三个平方数（项），就用一三来分组，否则二二去分组，五项、六项更多项，二三、三三试分组，以上若都行不通，拆项、添项看清楚。
“代入”口决：挖去字母换上数（式），数字、字母都保留；换上分数或负数，给它带上小括弧，原括弧内出（现）括弧，逐级向下变括弧（小—中—大）单项式运算：加、减、乘、除、乘（开）方，三级运算分得清，系数进行同级（运）算，指数运算降级（进）行。
一元一次不等式解题的一般步骤：去分母、去括号，移项时候要变号，同类项、合并好，再把系数来除掉，两边除（以）负数时，不等号改向别忘了。
一元一次不等式组解集：大大取较大，小小取较小，小大，大小取中间,大小,小大无处找。
一元二次不等式、一元一次绝对值不等式解集：大(鱼)于(吃)取两边,小(鱼)于(吃)取中间。
分式混合运算法则：分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变（乘）；乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；加减分母需同，分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；变号必须两处，结果要求最简。
有理数的加法的运算律
有理数的加法的运算律有理数的加法是数学中常见的运算法则之一，它是我们日常生活中运用最广泛的数学运算之一。
在这篇文章中，我们将详细讨论有理数加法的运算律。
有理数是可以表示为分数形式的数，包括整数、正分数和负分数。
有理数加法的运算律可以归纳为三个基本法则：结合律、交换律和零元素律。
我们来讨论有理数加法的结合律。
结合律指的是，对于任意的有理数a、b和c，它们的和的和是相等的，即(a+b)+c=a+(b+c)。
换句话说，无论是先计算a和b的和，再与c相加，还是先计算b和c的和，再与a相加，最终的结果是相同的。
例如，我们考虑三个有理数：2/3、-1/5和4/7。
根据结合律，我们可以先计算2/3和-1/5的和，然后再与4/7相加，或者先计算-1/5和4/7的和，再与2/3相加，最终的结果应该是相同的。
接下来，我们来讨论有理数加法的交换律。
交换律指的是，对于任意的有理数a和b，它们的和与它们的顺序无关，即a+b=b+a。
换句话说，无论是先将a和b相加，还是先将b和a相加，最终的结果是相同的。
例如，我们考虑两个有理数：-3/4和5/6。
根据交换律，我们可以先将-3/4和5/6相加，或者先将5/6和-3/4相加，最终的结果应该是相同的。
我们来讨论有理数加法的零元素律。
零元素律指的是，对于任意的有理数a，它与0的和等于a本身，即a+0=a。
换句话说，任何有理数与0相加，最终的结果都是这个有理数本身。
例如，我们考虑一个有理数：-2/5。
根据零元素律，将-2/5与0相加，最终的结果应该是-2/5本身。
在实际生活中，我们经常使用有理数加法的运算律来进行计算。
例如，在购物时计算总价，或者在做财务预算时计算收入和支出的差额等等。
有理数加法的运算律为我们提供了一种有效的计算方法，使我们能够更好地理解和应用数学知识。
总结起来，有理数加法的运算律包括结合律、交换律和零元素律。
结合律指的是加法的结果与加法的顺序无关；交换律指的是加法的结果与加数的顺序无关；零元素律指的是任何有理数与0相加的结果都是这个有理数本身。
第八课时：有理数加法(2)
小心求证
（1）请在下列图案内任意填入一个有理数， 要求相同的图案内填相同的数（至少有一个是负数）。
(-8) 6 □ ＋△ △+□ 6 (-8)
（△＋□）＋○ △＋（□＋○）
（2）算出各算式的结果，比较左、右 两边算式的结果是否相同呢？
（3）请同学们说说自己的结果，你发现了什么？
在有理数运算中，加法交换律和结合律仍成立。
(1)(12) (11) (10) (6) 9 8 7 5 4 3 2 1 0 (2)(12) (11) (9) (7) 10 8 6 5 4 3 2 1 0 (3)(12) (10) (9) (8) 11 9 6 5 4 3 2 1 0
3 1 1 1 C组 (3)( ) ( 2 ) ( ) (3 ) 4 7 4 7
１．有理数加法交换律和结合律
２．运用加法交换律和结合律要注意：
（１）把正数和负数分别结合在一起相加
（２）把互为相反数的结合，能凑整的结合 （３）把同分母的数结合相加
３．运算律的作用能使运算简便
遇到分数，先把同分母的数相加,简称同分母结合法
（１）把正数和负数分别结合在一起相加 （２）把互为相反数的结合， （３）把同分母的数结合相加 ( 4 ) 几个数相加得整数时,可先相加；
练一练 =-10 （1）23＋（－17）＋6＋（－22）
1 3 3 2 (4)3 (2 ) 5 (8 ) =-2 4 5 4 5
3、│a│+│b│=│a+b│,则a,b的关系是（ ）
• • • • A. a,b的绝对值相等 B. a,b异号 C. a+b的和是非负数 D. a,b同号或其中至少一个为零
初中数学有理数的加法
(3)(－0.8)+1.2+(－0.7)+(－2.1)+0.8+3.5.
（4）(－1.75)＋1.5＋(＋7.3)＋(－2.25)＋(－8.5)．
解： （1）
(8)
10
2
(1)
（2） 5 (6) 3 9 (4) (7)
(8) (1) 10 2
5 3 9 (6) (4) (7)
2. 某一出租车一天下午以文化中心为出发地在东西方向营运，
向东走为正，向西走为负，行车里程(单位：km)依先后次序记
录如下： ＋9，－3，－5，＋4，－8，＋6，－3，－6，－4，＋10. (1)将最后一名乘客送到目的地时出租车离出发地多远？在出 发地的什么方向上？ (2)若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？
Hale Waihona Puke （3） 5 2 ( 2) 4 3 (2 5) 575 7
5 2 4 3 ( 2) (2 5) 55 7 7
(5 2 4 3) [( 2) (2 5)] 55 7 7
10 (3)
7.
1.计算：
(1)(－8)+10+2+(－1)； (2)5+(-6)+3+9+(-4)+(-7)；
5.
(1) 30
29.
应用加法运算律运算时常用的三个规律： 1.一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加. 2.有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整. 3.有分母相同的，可先把分母相同的数结合相加.
根据算式的特征，恰当的运 用运算律，可以使运算简便.
计算：
（1）(-32)+7+(-8)； （2）4.37+(-8)+(-4.37)；
第二章 有理数的运算 考点1 有理数的加法(解析版)
第二章有理数的运算（解析板）1、有理数的加法知识点梳理有理数的加法（1）有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）（2）相关运算律交换律：a+b＝b+a；结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．同步练习一．选择题（共12小题）1．下面结论正确的有（）①两个有理数相加，和一定大于每一个加数．②一个正数与一个负数相加得正数．③两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和．④两个正数相加，和为正数．⑤两个负数相加，绝对值相减．⑥正数加负数，其和一定等于0．A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】有理数的加法．【分析】可用举特殊例子法解决本题．可以举个例子．如①3+（﹣1）＝2，得出①、②是错误的．由加法法则：同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加，可以③、④都是正确的．【解答】解：∵①3+（﹣1）＝2，和2不大于加数3，∴①是错误的；从上式还可看出一个正数与一个负数相加不一定得0，∴②是错误的．由加法法则：同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加，可以得到③、④都是正确的．⑤两个负数相加取相同的符号，然后把绝对值相加，故错误．⑥﹣1+2＝1，故正数加负数，其和一定等于0错误．正确的有2个，故选：C．【点评】本题考查了有理数的加法，有理数的选择题可以用特例法来做，其效果往往是事半功倍的，做题时注意应用．2．已知|a|＝1，b是2的相反数，则a+b的值为（）A．﹣3B．﹣1C．﹣1或﹣3D．1或﹣3【考点】相反数；绝对值；有理数的加法．【分析】先根据绝对值和相反数得出a、b的值，再分别计算可得．【解答】解：∵|a|＝1，b是2的相反数，∴a＝1或a＝﹣1，b＝﹣2，当a＝1时，a+b＝1﹣2＝﹣1；当a＝﹣1时，a+b＝﹣1﹣2＝﹣3；综上，a+b的值为﹣1或﹣3，故选：C．【点评】本题主要考查有理数的加法，解题的关键是根据相反数和绝对值的性质得出a、b的值．3．计算﹣（﹣1）+|﹣1|，其结果为（）A．﹣2B．2C．0D．﹣1【考点】绝对值；有理数的加法．【分析】根据有理数的加法和绝对值可以解答本题．【解答】解：﹣（﹣1）+|﹣1|＝1+1＝2，故选：B．【点评】本题考查有理数的加法和绝对值，解答本题的关键是明确有理数加法的计算方法．4．已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是最小的正整数，则a+b+c等于（）A．2B．﹣2C．0D．﹣6【考点】有理数；绝对值；有理数的加法．【分析】根据题意确定出a，b，c的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：根据题意得：a＝﹣1，b＝0，c＝1，则a+b+c＝﹣1+0+1＝0，故选：C．【点评】此题考查了有理数的加法，有理数，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．绝对值大于2且小于5的所有的整数的和是（）A．7B．﹣7C．0D．5【考点】绝对值；有理数的加法．【分析】绝对值大于2且小于5的整数绝对值有3，4．因为±3的绝对值是3，±4的绝对值是4，又因为互为相反数的两个数的和是0，所以，绝对值大于2而小于5的整数的和是0．【解答】解：因为绝对值大于2而小于5的整数为±3，±4，故其和为﹣3+3+（﹣4）+4＝0．故选：C．【点评】考查了有理数的加法和绝对值，注意掌握互为相反数的两个数的绝对值相等，互为相反数的两个数的和是0．6．已知a＞b且a+b＝0，则（）A．a＜0B．b＞0C．b≤0D．a＞0【考点】有理数的加法．【分析】根据互为相反数两数之和为0，得到a与b互为相反数，即可做出判断．【解答】解：∵a＞b且a+b＝0，∴a＞0，b＜0，故选：D．【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握互为相反数两数的性质是解本题的关键．7．若x的相反数是﹣3，|y|＝5，则x+y的值为（）A．﹣8B．2C．﹣8或2D．8或﹣2【考点】相反数；绝对值；有理数的加法．【分析】首先根据x的相反数是﹣3，可得：x＝3，然后根据|y|＝5，可得：y＝±5，据此求出x+y的值为多少即可．【解答】解：∵x的相反数是﹣3，∴x＝3，∵|y|＝5，∴y＝±5，（1）x＝3，y＝5时，x+y＝3+5＝8．（2）x＝3，y＝﹣5时，x+y＝3+（﹣5）＝﹣2．故选：D．【点评】此题主要考查了有理数加法的运算方法，以及相反数、绝对值的含义和求法，要熟练掌握．8．比﹣3大5的数是（）A．﹣15B．﹣8C．2D．8【考点】有理数的加法．【分析】比﹣3大5的数是﹣3+5，根据有理数的加法法则即可求解．【解答】解：﹣3+5＝2．故选：C．【点评】本题考查了有理数加法运算，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定用哪一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．9．下列说法中，正确的有（）①0是最小的整数；②若|a|＝|b|，则a＝b；③互为相反数的两数之和为零；④数轴上表示两个有理数的点，较大的数表示的点离原点较远．A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】有理数；数轴；相反数；绝对值；有理数的加法．【分析】直接利用有理数的加法运算法则以及互为相反数、数轴等定义分别分析得出答案．【解答】解：①0是最小的整数，错误，没有最小的整数；②若|a|＝|b|，则a＝±b，故此选项错误；③互为相反数的两数之和为零，正确；④数轴上表示两个有理数的点，较大的数表示的点离原点较远，只有都是正数时较大的数表示的点离原点较远，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了有理数的加法以及互为相反数、数轴等定义，正确把握相关定义是解题关键．10．计算43+（﹣77）+27+（﹣43）的结果是（）A．50B．﹣104C．﹣50D．104【考点】有理数的加法．【分析】先将互为相反数的两数相加，然后，再依据加法法则进行计算即可．【解答】解：原式＝（﹣43+43）+（﹣77+27）＝﹣50．故选：C．【点评】本题主要考查的是有理数的加法法则，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键．11．温度由﹣4℃上升7℃是（）A．3℃B．﹣3℃C．11℃D．﹣11℃【考点】有理数的加法．【分析】根据题意列出算式，再利用加法法则计算可得．【解答】解：温度由﹣4℃上升7℃是﹣4+7＝3（℃），故选：A．【点评】本题主要考查有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法法则．12．已知|a|＝5，|b|＝2，且a＞b，则a+b的值为（）A．7或﹣3B．﹣7或3C．﹣7或﹣3D．7或3【考点】绝对值；有理数的加法．【分析】先根据|a|＝5，|b|＝2，且a＞b判断出a、b的值，然后把a、b的值相加即可，要注意分类讨论．【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝2，且a＞b，∴a＝5，b＝±2，当a＝5，b＝2时，a+b＝5+2＝7；当a＝5，b＝﹣2时，a+b＝5﹣2＝3．综上所述a+b的值为7或3，故选：D．【点评】本题考查了有理数的加法和绝对值的知识，解题时正确判断出a、b的值是关键，此题难度不大，只要记住分类讨论就不会漏解．二．填空题（共18小题）13．已知|x|＝2，|y|＝5，且x＞y，则x+y＝﹣3或﹣7．【考点】绝对值；有理数的加法．【分析】先求得x、y的值，然后根据x＞y分类计算即可．【解答】解：∵|x|＝2，|y|＝5，∴x＝±2，y＝±5．∵x＞y，∴x＝2，y＝﹣5或x＝﹣2，y＝﹣5．∴x+y＝2+（﹣5）＝﹣3或x+y＝﹣2+（﹣5）＝﹣7．故答案为：﹣3或﹣7．【点评】本题主要考查的是有理数的加法、绝对值的性质，分类讨论是解题的关键．14．观察下面的几个算式：1+2+1＝4，1+2+3+2+1＝9，1+2+3+4+3+2+1＝16，1+2+3+4+5+4+3+2+1＝25，…根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1＝10000．【考点】有理数的加法．【分析】观察可得规律：结果等于中间数的平方．【解答】解：根据观察可得规律：结果等于中间数的平方．∴1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1＝1002＝10000．【点评】解本题的关键在于根据给出的算式，找到规律，并应用到解题中．15．若a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，c是相反数等于它本身的数，d是到原点的距离等于2的负数，e是最大的负整数，则a+b+c+d+e＝﹣2．【考点】有理数；数轴；相反数；绝对值；有理数的加法．【分析】先根据题意确定a、b、c、d、e的值，再把它们的值代入代数式求值即可．【解答】解：∵a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，c是相反数等于它本身的数，d 是到原点的距离等于2的负数，e是最大的负整数，∴a＝1，b＝0，c＝0，d＝﹣2，e＝﹣1，∴a+b+c+d+e＝1+0+0﹣2﹣1＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查的是有理数的相关知识．最小的正整数是1，绝对值最小的有理数是0，相反数等于它本身的数是0，最大的负整数是﹣1．16．已知|a|＝1，|b|＝2，如果a＞b，那么a+b＝﹣1或﹣3．【考点】绝对值；有理数的加法．【分析】根据绝对值的性质可得a＝±1，b＝±2，再根据a＞b，可得①a＝1，b＝﹣2②a ＝﹣1，b＝﹣2，然后计算出a+b即可．【解答】解：∵|a|＝1，|b|＝2，∴a＝±1，b＝±2，∵a＞b，∴①a＝1，b＝﹣2，则：a+b＝1﹣2＝﹣1；②a＝﹣1，b＝﹣2，则a+b＝﹣1﹣2＝﹣3，故答案是：﹣1或﹣3．【点评】此题主要考查了绝对值得性质，以及有理数的加法，关键是掌握绝对值的性质，绝对值等于一个正数的数有两个．17．若x的相反数是3，|y|＝5，则x+y的值为2或﹣8．【考点】相反数；绝对值；有理数的加法．【分析】根据相反数的定义，绝对值的定义求出可知x、y的值，代入求得x+y的值．【解答】解：若x的相反数是3，则x＝﹣3；|y|＝5，则y＝±5．x+y的值为2或﹣8．【点评】主要考查相反数和绝对值的定义．只有符号不同的两个数互为相反数；一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．18．绝对值不大于4.5的所有整数的和为0．【考点】绝对值；有理数大小比较；有理数的加法．【分析】根据有理数大小比较的方法，可得绝对值不大于4.5的所有整数有：﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、4，把它们相加，求出绝对值不大于4.5的所有整数的和为多少即可．【解答】解：∵绝对值不大于4.5的所有整数有：﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、4，∴绝对值不大于4.5的所有整数的和为：（﹣4）+（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3+4＝0．故答案为：0．【点评】此题主要考查了有理数的加法，绝对值的含义和求法，以及有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．19．比﹣3大而比2小的所有整数的和为﹣3．【考点】有理数的加法．【分析】首先找出比﹣3大而比2小的所有整数，在进行加法计算即可．【解答】解：比﹣3大而比2小的所有整数有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，﹣3+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2＝﹣3，故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了有理数的加法，关键是找出符合条件的整数，掌握计算法则．20．计算：﹣3+2＝﹣1．【考点】有理数的加法．【分析】由绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0，即可求得答案．【解答】解：﹣3+2＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考查了有理数的加法．注意在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定用哪一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．21．若x与y互为相反数，m是绝对值最小的数，则2019x+2019y+m＝0．【考点】相反数；绝对值；有理数的加法．【分析】依据相反数、绝对值的性质可求得x+y＝0，m＝0，然后代入所求代数式进行计算即可．【解答】解：∵x与y互为相反数，m是绝对值最小的数，∴x+y＝0，m＝0，原式＝2019（x+y）+m＝0．故答案为：0．【点评】本题主要考查的是求代数式的值，得到x+y＝0，m＝0是解题的关键．22．两个有理数的和为5，其中一个加数是﹣7，那么另一个加数是12．【考点】有理数的加法．【分析】首先根据加减法的关系可得另一个加数＝5﹣（﹣7），再利用有理数的减法法则进行计算即可．【解答】解：5﹣（﹣7）＝5+7＝12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了有理数的加法和减法，关键是掌握加法与减法的关系．23．设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a+b+c＝0．【考点】有理数的加法．【分析】∵a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数∴a＝1，b ＝﹣1，c＝0，则a+b+c＝1+（﹣1）+0＝0．【解答】解：依题意得：a＝1，b＝﹣1，c＝0，∴a+b+c＝1+（﹣1）+0＝0．【点评】熟悉正整数、负整数的概念和绝对值的性质．24．比﹣4大3的数是﹣1．【考点】有理数的加法．【分析】根据题意列出算式﹣4+3，计算即可得到结果．【解答】解：﹣4+3＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．计算：﹣5+3＝﹣2．【考点】有理数的加法．【分析】根据绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值计算．【解答】解：﹣5+3＝﹣（5﹣3）＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了有理数加法．在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．26．如图，从左到右在每个小格子中填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．若前m个格子中所填整数之和是2020，则m的值为1212．9a b c﹣51…【考点】有理数的加法．【分析】根据相邻三个数的和都相等列方程组即可求解．【解答】解：根据题意，得整理，得解得∴m＝＝404．∵相邻三个格子的数是9，﹣5和1，三个数的和是5，前m个格子的和是2020，2020÷5＝404．说明有404个3，应该是1212个格子．所以m＝1212．故答案为1212．【点评】本题考查了列三元一次方程组解决实际问题，解决本题的关键是列出相邻三个数的和都相等的三个方程．27．计算|+24|+|﹣6|＝30．【考点】绝对值；有理数的加法．【分析】根据绝对值的含义和求法，以及有理数的加法的运算方法，求出算式的值是多少即可．【解答】解：|+24|+|﹣6|＝24+6＝30故答案为：30．【点评】此题主要考查了有理数的加法的运算方法，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．28．计算27+（﹣3）的结果是24．【考点】有理数的加法．【分析】根据有理数加法法则计算即可．【解答】解：27+（﹣3）＝+（27﹣3）＝24．故答案为：24【点评】本题主要考查的是有理数的加法法则，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键．29．如图，数轴上点A、点B分别表示数a、b，则a+b＜0（选填“＞”或“＜”）．【考点】数轴；有理数大小比较；有理数的加法．【分析】由数轴上的数右边的数总是大于左边的数可以知道：b＜﹣1＜0＜a＜1，且|a|＜|b|．根据有理数的运算法则即可判断．【解答】解：∵|a|＜|b|，且a＞0，b＜0，则a+b＜0．【点评】本题主要考查了利用数轴比较数的大小的方法，以及有理数的运算法则．30．绝对值大于1而小于5的整数的和是0．【考点】绝对值；有理数的加法．【分析】找出绝对值大于1而小于5的整数，求出之和即可．【解答】解：绝对值大于1而小于5的整数有﹣2，﹣3，﹣4，2，3，4，之和为0．故答案为：0．【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握加法法则是解本题的关键．三．解答题（共9小题）31．王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作+1，向下一楼记作﹣1，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：+6，﹣3，+10，﹣8，+12，﹣7，﹣10．（1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼．（2）该中心大楼每层高3m，电梯每向上或下1m需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度？【考点】有理数的加法．【分析】（1）把上下楼层的记录相加，根据有理数的加法运算法则进行计算，如果等于0则能回到1楼，否则不能；（2）求出上下楼层所走过的总路程，然后乘以0.2即可得解．【解答】解：（1）（+6）+（﹣3）+（+10）+（﹣8）+（+12）+（﹣7）+（﹣10），＝6﹣3+10﹣8+12﹣7﹣10，＝28﹣28，＝0，∴王先生最后能回到出发点1楼；（2）王先生走过的路程是3×（|+6|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|+12|+|﹣7|+|﹣10|），＝3×（6+3+10+8+12+7+10），＝3×56，＝168（m），∴他办事时电梯需要耗电168×0.2＝33.6（度）．【点评】本题主要考查了有理数的加法运算，（2）中注意要求出上下楼层的绝对值，而不是利用（1）中的结论求解，这是本题容易出错的地方．32．计算：（1）（﹣23）+（+58）+（﹣17）；（2）（﹣2.8）+（﹣3.6）+3.6；（3）．【考点】有理数的加法．【分析】（1）（3）应用加法交换律、加法结合律，求出算式的值是多少即可．（2）应用加法结合律，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（1）（﹣23）+（+58）+（﹣17）＝[（﹣23）+（﹣17）]+（+58）＝（﹣40）+（+58）＝18（2）（﹣2.8）+（﹣3.6）+3.6＝（﹣2.8）+[（﹣3.6）+3.6]＝﹣2.8+0＝﹣2.8（3）＝[+（﹣）]+[（﹣）+（+）]＝﹣+＝﹣【点评】此题主要考查了有理数的加法的运算方法，要熟练掌握运算法则，注意加法运算定律的应用．33．有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：与标准质量的差值（单位：千克）﹣3﹣2﹣1.501 2.5筐数142328（1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？（2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？（3）若白菜每千克售价2.6元，则出售这20筐白菜可卖多少元？（结果保留整数）【考点】有理数的乘法．【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：（1）最重的一筐超过2.5千克，最轻的差3千克，求差即可2.5﹣（﹣3）＝5.5（千克），故最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克；（2）列式1×（﹣3）+4×（﹣2）+2×（﹣1.5）+3×0+1×2+8×2.5＝﹣3﹣8﹣3+2+20＝8（千克），故20筐白菜总计超过8千克；（3）用（2）的结果列式计算2.6×（25×20+8）＝1320.8≈1321（元），故这20筐白菜可卖1321（元）．【点评】此题的关键是读懂题意，列式计算，注意计算结果是去尾法．34．10袋大米，以每袋50千克为准：超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：+0.5，+0.3，0，﹣0.2，﹣0.3，+1.1，﹣0.7，﹣0.2，+0.6，+0.7．10袋大米共超重或不足多少千克？总重量是多少千克？【考点】正数和负数；有理数的加法．【分析】“正”和“负”相对，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，把称重记录的数据相加，和为正说明超过了，和为负说明不足；求10袋大米的总重量，可以用10×50加上正负数的和即可．【解答】解：（+0.5）+（+0.3）+0+（﹣0.2）+（﹣0.3）+（+1.1）+（﹣0.7）+（﹣0.2）+（+0.6）+（+0.7）＝1.8（千克），50×10+1.8＝501.8（千克）．答：10袋大米共超重1.8千克，总重量是501.8千克．【点评】本题考查了有理数的运算在实际中的应用．本题是把50千克看做基数，超过的记为正，不足的记为负，把正负数相加时，运用加法的运算律可简便运算．35．某邮局检修队沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天自A点出发到收工时所走路程为（单位：千米）+10，﹣3，+4，﹣8，+13，﹣2，+7，+5，﹣5，﹣2．（1）求收工时，检修队距A点多远？（2）若每千米耗油0.3千克，问从A点出发到收工，共耗油多少千克？【考点】正数和负数；有理数的加法．【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．（1）求收工时，检修队距A点多远，即是求10个数据的代数和的绝对值是多少；（2）要求共耗油多少千克，就是求他们共走了多少千米×每千米耗油数．【解答】解：（1）（+10）+（﹣3）+（+4）+（﹣8）+（+13）+（﹣2）+（+7）+（+5）+（﹣5）+（﹣2）＝19千米．故检修队离A点19千米．（2）|+10|+|﹣3|+|+4|+|﹣8|+|+13|+|﹣2|+|+7|+|+5|+|﹣5|+|﹣2|＝59，0.3×59＝17.7．故共耗油17.7千克．【点评】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．36．计算：（1）；（2）．【考点】有理数的加法．【分析】（1）同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．（2）从左向右依次计算即可．【解答】解：（1）＝﹣4（2）＝4.5+（﹣54）＝﹣49.5【点评】此题主要考查了有理数的加法的运算方法，要熟练掌握运算法则．37．计算（1）（﹣6）+（﹣13）．（2）（﹣）+．【考点】有理数的加法．【分析】（1）根据有理数的加法法则可以解答本题；（2）先通分，后加减即可解答．【解答】解：（1）（﹣6）+（﹣13）＝﹣（6+13）．＝﹣19；（2）（﹣）+＝﹣+＝﹣+＝﹣．【点评】本题考查有理数的加减法运算，解答本题的关键是明确有理数加减法的计算方法．38．数a，b，c在数轴上的位置如图所示且|a|＝|c|；（1）若|a+c|+|b|＝2，求b的值；（2）用“＞”从大到小把a，b，﹣b，c连接起来．【考点】有理数大小比较；有理数的加法．【分析】（1）本题可根据绝对值的性质，有理数的加法法则计算；（2）根据数轴上的数：左小右大．【解答】解：（1）因为|a|＝|c|，且a、c分别在原点的两旁，所以a、c互为相反数，即a+c＝0．因为|a+c|+|b|＝2，所以|b|＝2，所以b＝±2．因为b点在原左侧，所以b＝﹣2．（2）由数轴得，a＞﹣b＞b＞c．【点评】本题考查了有理数的加法法则，互为相反数的两个数相加得0．同时考查了绝对值的性质和数轴点的性质．39．已知|a|＝5，|b|＝3，且a＜b，求a+b的值．【考点】绝对值；有理数的加法．【分析】先去绝对值求出a和b的值，再根据题意合理选择a，b的值，代入求出a+b的值即可．【解答】解：由|a|＝5，|b|＝3得a＝±5，b＝±3，∵a＜b，所以a＝﹣5，b＝3，或a＝﹣5，b＝﹣3，当a＝﹣5，b＝3时，a+b＝﹣2；当a＝﹣5，b＝﹣3时，a+b＝﹣8；综上所述，a+b的值是﹣2或﹣8．【点评】此题主要考查绝对值的性质和有理数的计算，能合理针对题意进行分类讨论是解题的关键。
有理数的加法(教案)
教学设计第1课时教学重点与难点教学重点：1．理解有理数加法的意义，探究有理数加法法则．2．能熟练利用有理数的加法法则解决有关有理数的加法运算．教学难点：异号两数相加的法则．学情分析认知基础：学生在前面几节中学习了有理数、数轴、绝对值、相反数等重要概念，知道可以用正、负数表示具有相反意义的量．在小数阶段知道非负数的加法意义是把两个数合并成一个数的运算．活动经验基础：学生学习数学是一种认识过程，要遵循一般的认识规律，而初一年级的学生，对异号两数相加从未接触过，与小学加法比较，思维强度增大，需要通过绝对值大小的比较来确定和的符号和加法转化为减法两个过程，要求学生在课堂上短时间内完成这个认识过程确有一定的难度，在教学时应从实例出发，充分利用直观借助数轴，从数形结合的观点加以讲授，并通过反复练习和巩固，让学生感知加法法则的应用，以突破这一难点．同时学生对于负数参与运算充满了疑惑与期待，为学生在教师的引导下能主动探索运算法则，提供了动力．教学目标1．经历探索有理数的加法法则，通过探索以及与同学之间的交流，总结出有理数加法法则，并能熟练利用有理数的加法法则解决有关运算问题．2．能够由特殊到一般，总结出有理数的加法法则，注意培养学生的观察、比较、归纳及运算能力．3．在独立思考的基础上，能够积极主动地与同学交流、讨论，认识到通过类比、归纳可以获得数学猜想；能用文字清楚地表达自己解决问题的过程，并能解释所得结果的意义．教学方法学生探索，教师引导法．从简单的绝对值较小的整数运算入手，让学生从直观上感受到“正负抵消”的思想，分类讨论整数加法的几种情形，借助数轴加深理解，归纳出有理数的加法法则，通过练习让学生训练掌握运算法则．在教学过程中，注重体现教师的导向作用和学生的主体地位．本节是新课内容的学习，教学过程中尽力引导学生成为知识的发现者，把教师的点拨和学生解决问题结合起来，为学生创设情境，从而不断激发学生的求知欲望和学习兴趣，使学生轻松愉快地学习不断克服学生学习中的被动情况，在掌握知识的同时，既发展智力又受到教育．教学过程一、创设情境，引入新课设计说明由班级举行知识竞赛的实例引入，激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，调动学生的学习积极性．某班举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加1分，答错一题扣1分，不回答得0分．问题1：如果把答对一题记为“＋1”，答错一题记为什么？问题2：如果某小组答错一题，答对一题，那么该小组得分是多少？这一问题我们可以用有理数的运算来解决，今天我们学习有理数的加法运算．二、探究发现设计说明根据正、负数的意义利用数轴探索有理数的加法法则．1．操作探究：在数轴上，以原点为起点，规定向右的方向为正方向，向左的方向为负方向．如－2表示向左移动2个单位长度．让学生自己画数轴探究：(1)3＋2看作先向右移动3个单位长度再向右移动2个单位长度，现在在数轴上的什么位置？这一位置表示的是什么数？(2)(－3)＋(－2)看作先向左移动3个单位长度再向左移动2个单位长度，现在在数轴上的什么位置？(3)3＋(－2)看作先向右移动3个单位长度再向左移动2个单位长度，现在在数轴上的什么位置？这一位置表示的是什么数？(4)(－3)＋2看作先向左移动3个单位长度再向右移动2个单位长度，现在在数轴上的什么位置？这一位置表示的是什么数？(5)(－4)＋4看作先向左移动4个单位长度再向右移动4个单位长度，现在在数轴上的什么位置？这一位置表示的是什么数？(6)(－2)＋0看作先向左移动2个单位长度再向右移动0个单位长度，现在在数轴上的什么位置？这一位置表示的是什么数？(7)0＋2看作先向左移动0个单位长度再向右移动2个单位长度，现在在数轴上的什么位置？这一位置表示的是什么数？(8)(－3)＋(＋3)看作先向左移动3个单位长度再向右移动3个单位长度，现在在数轴上的什么位置？这一位置表示的是什么数？2．观察发现：(出示投影)(1)3＋2；(2)(－3)＋(－2)；(3)3＋(－2)；(4)(－3)＋2；(5)(－4)＋4；(6)(－2)＋0；(7)0＋2；(8)(－3)＋(＋3)．观察这8个算式，每一个算式都是怎样的两个有理数相加？(引导学生回答)你们还能举出不同以上情况的算式吗？这说明这几个算式概括了有理数加法的不同情况．前两个算式的加数在符号上有什么共同点？(相同)，那么我们就可以说这是什么样的两数相加？(同号两数相加)同学们还能观察出哪几个算式可归为一类吗？〔(3)(4)(5)(8)异号两数相加，(6)(7)一个数同0相加〕同学们已把这8个算式分成了三类，下面我们分别探讨规律．(1)同号两数相加，其和有何规律可循呢？大家观察这两个式子，回答两个问题．(师引导观察，得出答案)，哪位同学能填好这个空？(2)异号两数相加，其和有何规律呢？大家观察这三个式子回答问题．(引导学生分成两类，容易得到绝对值相同情况的结论．再引导学生观察绝对值不相同的情况，回答问题)哪位同学能概括一下这个规律？(引导学生得出，特别地，互为相反数的两数相加得0)(3)一个数同0相加，其和有什么规律呢？(易得出结论)3．归纳总结：同学们经过积极思考，探索出了解决有理数加法的规律，我们把这个规律称为有理数的加法法则．教学说明运用数轴直观地表示运算过程，促进学生对加法的理解，更加形象直观地体现运算过程．教学时尽量用简单的整数相加，讨论整数加法的几种情形，便于学生总结运算法则．由算式(1)(2)可知，同号两数相加，结果符号不变，绝对值相加；由算式(3)(4)可知异号两数相加，和的符号取决于加数的绝对值的大小，哪个加数的绝对值大，就取哪个加数的符号，绝对值相减；由算式(5)可知，互为相反数的两个数相加，和为0；由算式(6)(7)可知，一个数同0相加，仍得这个数．三、应用迁移，典例示范设计说明让学生运用法则进行计算，每一小题尽量使用绝对值较小的整数进行运算，目的让学生掌握运算法则．例1 计算下列算式的结果，并说明理由：(1)(＋4)＋(＋7)；(2)(－4)＋(－7)；(3)(＋4)＋(－7)；(4)(＋9)＋(－4)；(5)(＋4)＋(－4)；(6)(＋9)＋(－2)；(7)(－9)＋(＋2)；(8)(－9)＋0；(9)0＋(＋2)；(10)0＋0.在学生回答的基础上，教师对第(2)小题进行板书示范．解：(2)(－4)＋(－7)(两个加数同号，用加法法则的第2条计算)＝－(4＋7)(和取负号，把绝对值相加)＝－11.下面请同学们计算下列各题：(1)(－0.9)＋(＋1.5)；(2)(＋2.7)＋(－3)；(3)(－1.1)＋(－2.9)．全班学生书面练习，请四位学生在黑板上演示，教师给予讲评．例2 计算下列各题：(1)180＋(－10)；(2)(－10)＋(－2)；(3)(－15)＋5；(4)5＋(－5)；(5)(－5)＋0.答案：(1)170；(2)－12；(3)－10；(4)0；(5)－5.教学说明教学时先让学生观察两个加数的符号，再确定用哪个法则计算，学生逐题口答后，教师小结：进行有理数加法，先要判断两个加数是同号还是异号，有一个加数是否为零；再根据两个加数符号的具体情况，选用某一条加法法则进行计算．计算时通常先确定“和”的符号，再计算“和”的绝对值．四、积累与总结通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？1．有理数的加法运算一般分两步：第一步，确定和的符号；第二步，确定和的绝对值．2．体会在总结有理数加法法则的过程中与同学合作、交流的重要性，并且意识到数学与现实生活是紧密相连的．3．这节课我们从实例出发，经过比较、归纳，得出了有理数加法的法则，今后我们经常要用类似的思想方法研究其他问题．4．学生易困惑的地方：(1)有理数的加法运算要先进行判断属于哪一类型(同号的两数还是异号的两数，异号的两数还要看谁的绝对值大)然后再用法则去计算，学生初步体会分类的思想；(2)对绝对值不相等的异号两数相加，有时和的符号与和的绝对值出现迷糊；(3)这节课的知识我们借助于数轴去理解，进一步体会数形结合的数学方法．评价与反思本节课的教学适当加强有理数加法法则的形成过程，从而在此过程中着力培养学生的观察、比较、归纳能力，相应的适当压缩应用法则的练习，注重引导学生参与探索、归纳有理数加法法则的过程，主动获取知识．这样，学生在这节课上不仅学懂了法则，而且还能感知到研究数学问题的一些基本方法．在探索有理数加法的运算法则时，要激发学生学习兴趣，运用直观形象的实例探究运算法则，借助数轴这一有利的工具加深对运算的理解，并注重由特例归纳出有理数的加法法则．由于加强了探究，课堂组织教学要适当压缩应用法则的练习，在后续的教学中进行弥补．第2课时教学重点与难点教学重点：使学生掌握有理数加法的交换律和结合律，并能运用加法的运算律简化运算．教学难点：灵活运用运算律使运算简便．学情分析认知基础：学生在上节课学习了有理数的加法运算，在小学他们也学习了对于非负数的加法运算律，引入负数后还能不能运用运算律使运算简单呢？这是学生目前关心的问题．活动经验基础：经过几周的学习同学之间已初步形成合作交流的学习方式，学生敢于提出问题、敢于探索与实践，班级里互相探讨、互相评价的气氛较浓．教学目标1．掌握有理数加法的运算律，并能运用加法运算律简化运算，培养学生的运算能力．2．使学生通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想，充分体验数学活动充满着探索性和创造性，培养学生的观察能力和思维能力；通过交流活动，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性．教学方法由于小学阶段学习过加法的运算律，运用运算律能使运算简便，由此类比学习有理数的运算律，通过观察、实验、归纳、类比、推断获得数学猜想．教学过程一、创设情境，引入新课设计说明通过复习小学学过的加法的交换律与结合律，体会运算律的作用．提出问题引起学生的思考与兴趣，既复习旧知，做好新知学习的铺垫，同时也不断激活学生思维、生成新问题，体现由已知转化未知的数学思想，明确学生学习的目标及探究的方向，从而自然引入新课．问题1：小学学过的加法运算律有哪些？举例说明运用运算律有什么好处？(学生回顾小学学过的加法的几个运算律：加法交换律、加法结合律，教师及时进行补充、完善)问题2：计算下列各题，并观察寻找规律：1．(1)(－9.18)＋6.18；(2)6.18＋(－9.18)；2．(1)[8＋(－5)]＋(－4)；(2)8＋[(－5)＋(－4)]；3．(1)[(－22)＋(－27)]＋(＋27)；(2)(－22)＋[(－27)＋(＋27)]．问题3：你能用字母的形式来概括小学学过的加法的两个运算律吗？加法的交换律：________；加法的结合律：________；问题4：加法运算律的作用是什么？能否在有理数的范围内适用呢？教学说明通过以上四个问题的学习，学生对于运算律已经有了一个初步的感知，要善于充分利用学生已有的知识和经验，在学生已经学习过或熟悉的知识上引起认知冲突，形成新的知识；用字母的形式来概括小学学过的加法的两个运算律，使学生对运算律的掌握上升到公式的层次，注意强化使用运算律能明显起到简化计算的好处，以引起学生学习的兴趣．二、探究发现，得出结论1．合作探究问题1：足球赛中若中国队先失两个球后进三个球，与先进三球后失两个球最后净胜球数一样吗？即计算(－2)＋3,3＋(－2)两次所得的和相同吗？学生通过计算得出结果相同．教师继续追问：我们现在学习的有理数的加法是否也满足加法交换律？学生再自己出两道含有负数的题目，学生俩人一组，要求学生用不同的方法计算，观察对比，有什么发现吗？学生发现按照运算顺序和使用交换律计算所得结果相同，得出加法的交换律对有理数的运算依然成立，引导学生得出：交换律——两个有理数相加，交换加数的位置，和不变．用代数式表示上面一段话：a＋b＝b＋a.教师点明：运算律式子中的字母a，b表示任意的一个有理数，可以是正数，也可以是负数或零．在同一个式子中，同一个字母表示同一个数．问题2：计算：(1)[3＋(－5)]＋(－4)；(2)3＋[(－5)＋(－4)]．上面两式所得结果相同吗？类比加法交换律的得出，得到有理数加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．用代数式表示上面一段话：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．这里a，b，c表示任意三个有理数．2．得出结论学生自主得出在有理数范围内加法交换律和结合律仍然成立．(1)归纳结论：在有理数运算中，__________、__________还是成立的．加法交换律：______________，加法交换律用字母表示为：______________.加法结合律：______________，加法结合律用字母表示为：______________.(2)验证结论：学生俩人一组，一个说两组数，另一个计算，共同观察结果，得出结论；互换后继续进行，强化在有理数范围内加法交换律和结合律仍然成立．(3)强调结论：教师说明公式中字母的意义，并强调公式该如何使用，使学生对运算律的掌握上升到公式的层次．教学说明让学生通过自我探究和小组合作，达到相互启发、共同归纳的目的．三、典例示范，巩固应用设计说明利用加法的交换律、结合律可以简化计算，根据加数的特点，从以下几个方面进行：(1)同号的加数放在一起相加；(2)同分母的加数放在一起相加；(3)和为0的加数放在一起相加；(4)和为整数的加数放在一起相加．通过观察分析再动手去计算以提高学生解题能力，培养学生学习数学的兴趣．例1 计算下列各题：(1)14＋(－42)＋24＋(－39)；(2)13＋(－56)＋47＋(－34)；(3)43＋(－77)＋27＋(－43)；(4)5.1＋45＋⎝⎛⎭⎫－47＋(－21.1)＋⎝⎛⎭⎫－35＋⎝⎛⎭⎫－67. 教学说明本例先由学生在练习本上解答，教师引导学生发现，在本例中，把正数与负数分别结合在一起再相加，计算就比较简便，教师根据学生解答情况对(1)进行示范：(1)14＋(－42)＋24＋(－39)＝14＋24＋(－42)＋(－39) (加法交换律)＝14＋24＋[(－42)＋(－39)] (加法结合律)＝38＋(－81) (同号相加法则)＝－43. (异号相加法则)学生在对(1)理解的基础上，对其他题目进行黑板演示，学会题目的解答，并引导学生发现，简化加法运算一般是三种方法：首先消去互为相反数的两数(其和为0)，同号结合或凑整数．例2 10袋小麦，以每袋90千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：7,5，－4,6,4,3，－3，－2,8,1，问这10袋小麦总共重多少？设计说明怎样求这10袋小麦总共重多少呢？这是有理数加法在实际中的应用，本题有两种解法，解法一是先计算总误差，然后再求总重，解法二是先求出每袋的实际重量，再求总重量，让学生学会两种解法，并体会运算律的优越之处，感受学习本节课的必要性．答案：总重量是925千克．教学说明教师通过启发，由学生列出算式，再让学生思考，如何应用运算律，使计算简便．本题有两种解法，教学时应首先让学生提出自己的做法，再相互交流，对不同解法进行比较，使学生体会恰当使用加法运算律可使运算简便，且可以推广到三个或三个以上的有理数．通过此题的教学让学生体会到加法交换律在实际中的应用，培养学生的学习兴趣与解决实际问题的能力．四、积累与总结1．掌握有理数加法的运算律，并能运用加法运算律简化运算，一般方法是：首先消去互为相反数的两数(其和为0)，同号结合或凑整数．2．加法运算律的灵活运用，并能解决有关的实际问题．3．本节课你学会了什么？你最大的收获是什么？评价与反思在解决问题的过程中，由已知熟悉的数学结论类比提出猜想然后验证猜想，符合发现新问题的一般方法．本节课中由小学学习的加法运算律猜想有理数的加法是否也符合这一规律呢？引导学生从特殊的情况验证归纳出一般性的结论，然后应用这一结论解决问题．在这个过程中很好地培养了学生观察、归纳、猜测、验证的能力．教学中教师注意引导学生理解计算法则、运算性质都是进行计算的根据，学生要知道每进行一步运算都要有根有据，这样通过运算就能逐步培养学生的逻辑思维能力．。
有理数的加法运算律
2.25)+(-8.5)
2
凑整
凑整
3
例题:计算
互为相反数相加
解:原式=[(-12)+(-8)]+[(-7)+7]+(+39)
(-12)+(-8)+(-7)+(+39)+7
凑整十
2 填空题： (1)(+＿18)+ 5 = 23 (2) 5 +(-＿8) = -3 (3) 3 +(-1＿2) + (- 5) = - 14 (4)(-＿3) + (- 4) + (- 5) = - 12 (5) 15 +(- ＿4) + (- 11) = 0
(2) 8+[(-5)+(-4)]； (4) (-22)+[(-27)+(+27)]．
使用运算律通常有下列情形：
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符号相同的数可以先相加。
单击此处添加小标题
几个数相加得整数时,可先相加；
单击此处添加小标题
互为相反数的两个数可先相加；
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同分母的分数可以先相加；
例.计算
2.6.2有理数加法的运 算律
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CONTENTS
加法交换 律:a+b=b+a
1
WORKREVIEW
计算下列各题，并说明 是根据哪一条运算法则？
4
FUTUREOUTLOOK -2.37) + (-4.63)
2
UNDERWORK
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有理数的加法运算同号两数来相加，绝对值加不变号。
异号相加大减小，大数决定和符号。
互为相反数求和，结果是零须记好。
【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。
有理数的减法运算减正等于加负，减负等于加正。
有理数的乘法运算符号法则同号得正异号负，一项为零积是零。
合并同类项说起合并同类项，法则千万不能忘。
只求系数代数和，字母指数留原样。
去、添括号法则去括号或添括号，关键要看连接号。
扩号前面是正号，去添括号不变号。
括号前面是负号，去添括号都变号。
小学初中公式，法则三角形的面积＝底×高÷2。
公式 S= a×h÷2正方形的面积＝边长×边长公式 S= a×a长方形的面积＝长×宽公式 S= a×b平行四边形的面积＝底×高公式 S= a×h梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2 公式 S=(a+b)h÷2内角和：三角形的内角和＝180度。
长方体的体积＝长×宽×高公式：V=abh长方体（或正方体）的体积＝底面积×高公式：V=abh正方体的体积＝棱长×棱长×棱长公式：V=aaa圆的周长＝直径×π公式：L＝πd＝2πr圆的面积＝半径×半径×π公式：S＝πr2圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。
公式：S=ch=πdh＝2πrh圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。
公式：S=ch+2s=ch+2πr2圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。
公式：V=Sh圆锥的体积＝1/3底面×积高。
公式：V=1/3Sh分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。
分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
读懂理解会应用以下定义定理性质公式一、算术方面1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。
2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。
3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。
4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。
5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。
如：（2+4）×5＝2×5+4×56、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。
O除以任何不是O的数都得O。
简便乘法：被乘数、乘数末尾有O的乘法，可以先把O前面的相乘，零不参加运算，有几个零都落下，添在积的末尾。
7、么叫等式？等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。
等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。
8、什么叫方程式？答：含有未知数的等式叫方程式。
9、什么叫一元一次方程式？答：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。
学会一元一次方程式的例法及计算。
即例出代有χ的算式并计算。
10、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数,叫做分数。
11、分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
12、分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。
异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。
13、分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。
14、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。
15、分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。
16、真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。
17、假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。
假分数大于或等于1。
18、带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。
19、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外），分数的大小不变。
20、一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。
21、甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。
数量关系计算公式方面1、单价×数量＝总价2、单产量×数量＝总产量3、速度×时间＝路程4、工效×时间＝工作总量5、加数+加数＝和一个加数＝和＋另一个加数被减数－减数＝差减数＝被减数－差被减数＝减数＋差因数×因数＝积一个因数＝积÷另一个因数被除数÷除数＝商除数＝被除数÷商被除数＝商×除数有余数的除法：被除数＝商×除数+余数一个数连续用两个数除，可以先把后两个数相乘，再用它们的积去除这个数，结果不变。
例：90÷5÷6＝90÷（5×6）6、 1公里＝1千米 1千米＝1000米1米＝10分米 1分米＝10厘米 1厘米＝10毫米1平方米＝100平方分米 1平方分米＝100平方厘米1平方厘米＝100平方毫米1立方米＝1000立方分米 1立方分米＝1000立方厘米1立方厘米＝1000立方毫米1吨＝1000千克 1千克= 1000克= 1公斤= 1市斤1公顷＝10000平方米。
1亩＝666.666平方米。
1升＝1立方分米＝1000毫升 1毫升＝1立方厘米7、什么叫比：两个数相除就叫做两个数的比。
如：2÷5或3:6或1/3比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数（0除外），比值不变。
8、什么叫比例：表示两个比相等的式子叫做比例。
如3:6＝9:189、比例的基本性质：在比例里，两外项之积等于两内项之积。
10、解比例：求比例中的未知项，叫做解比例。
如3:χ＝9:1811、正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着化，如果这两种量中相对应的的比值（也就是商k）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。
如：y/x=k( k一定)或kx=y 12、反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系就叫做反比例关系。
如：x×y = k( k一定)或k / x = y百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。
百分数也叫做百分率或百分比。
13、把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。
其实，把小数化成百分数，只要把这个小数乘以100％就行了。
把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
14、把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。
其实，把分数化成百分数，要先把分数化成小数后，再乘以100％就行了。
把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。
15、要学会把小数化成分数和把分数化成小数的化发。
16、最大公约数：几个数都能被同一个数一次性整除，这个数就叫做这几个数的最大公约数。
（或几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。
其中最大的一个，叫做最大公约数。
）17、互质数：公约数只有1的两个数，叫做互质数。
18、最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
19、通分：把异分母分数的分别化成和原来分数相等的同分母的分数，叫做通分。
（通分用最小公倍数）20、约分：把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。
（约分用最大公约数）21、最简分数：分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。
分数计算到最后，得数必须化成最简分数。
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，即能用2进行约分。
个位上是0或者5的数，都能被5整除，即能用5进行约分。
在约分时应注意利用。
22、偶数和奇数：能被2整除的数叫做偶数。
不能被2整除的数叫做奇数。
23、质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）。
24、合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。
1不是质数，也不是合数。
28、利息＝本金×利率×时间（时间一般以年或月为单位，应与利率的单位相对应）29、利率：利息与本金的比值叫做利率。
一年的利息与本金的比值叫做年利率。
一月的利息与本金的比值叫做月利率。
30、自然数：用来表示物体个数的整数，叫做自然数。
0也是自然数。
31、循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做循环小数。
如3. 14141432、不循环小数：一个小数，从小数部分起，没有一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做不循环小数。
如3. 14159265433、无限不循环小数：一个小数，从小数部分起到无限位数，没有一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做无限不循环小数。
如3. 141592654……34、什么叫代数? 代数就是用字母代替数。
35、什么叫代数式?用字母表示的式子叫做代数式。
如：3x =（a+b）*c初中数学知识点归纳.有理数的加法运算同号两数来相加，绝对值加不变号。
异号相加大减小，大数决定和符号。
互为相反数求和，结果是零须记好。
【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。
有理数的减法运算减正等于加负，减负等于加正。
有理数的乘法运算符号法则同号得正异号负，一项为零积是零。
合并同类项说起合并同类项，法则千万不能忘。
只求系数代数和，字母指数留原样。
去、添括号法则去括号或添括号，关键要看连接号。
扩号前面是正号，去添括号不变号。
括号前面是负号，去添括号都变号。
解方程已知未知闹分离，分离要靠移完成。
移加变减减变加，移乘变除除变乘。
平方差公式两数和乘两数差，等于两数平方差。
积化和差变两项，完全平方不是它。
完全平方公式二数和或差平方，展开式它共三项。
首平方与末平方，首末二倍中间放。
和的平方加联结，先减后加差平方。
完全平方公式首平方又末平方，二倍首末在中央。
和的平方加再加，先减后加差平方。
解一元一次方程先去分母再括号，移项变号要记牢。
同类各项去合并，系数化“1”还没好。
求得未知须检验，回代值等才算了。
解一元一次方程先去分母再括号，移项合并同类项。
系数化1还没好，准确无误不白忙。
因式分解与乘法和差化积是乘法，乘法本身是运算。
积化和差是分解，因式分解非运算。
因式分解两式平方符号异，因式分解你别怕。
两底和乘两底差，分解结果就是它。
两式平方符号同，底积2倍坐中央。
因式分解能与否，符号上面有文章。