《圆锥曲线的离心率》热点题型探究

《圆锥曲线的离心率》热点题型探究 圆锥曲线的离心率是圆锥曲线的固有性质，不会随着建系的不同而变化．离心率是一个比值，在椭圆和双曲线中，能得到a，b，c的一个等量关系就可以求出离心率．但要注意椭圆的离心率01，抛物线的离心率e＝1. 方法一 直接求离心率

已知圆锥曲线的标准方程或a，c易求时，可直接利用离心率公式e＝ca来解决． 【例1】 等腰梯形ABCD中，AB∥CD，tan∠ABC＝2，AB＝6, CD＝2，以A，B为焦点的椭圆经过C，D两点，则此椭圆的离心率为( )

A．22－5 B．22 C．12 D．62 A 解析 以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则A(－3,0)，B(3,0)，过C作CE⊥x轴，垂足为E.因为在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，tan∠ABC＝2，所以BE＝2，tan∠ABC＝CEBE＝2，即CE＝4，所以C(1,4)，所以CA＝1＋32＋42＝42，CB＝1－32＋42＝25.因为椭圆以A，B为焦点，且经过C，D两点，所以2a＝CA＋CB＝42＋25，即a＝22＋5，而2c＝AB＝6，即c＝3.所以ca＝322＋5＝22－5.故选A

项． 【变式1】 若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)，F2(3,0)，则其离心率为( ) A．34 B．23 C．12 D．14 C 解析 由F1(1,0)，F2(3,0)知2c＝3－1，所以c＝1，又因为椭圆过原点，所以a－c＝1，a＋c＝3，所以a＝2，c＝1，所以离心率e＝ca＝12.故选C项． 方法二 构造a，c的齐次式求离心率) 根据题设条件，借助a，b，c之间的关系，构造a，c的关系(特别是齐二次式)，进而

得到关于e的一元方程，从而解得离心率e.另外，得到ba或bc也可以求e，在椭圆中，e＝c2a2

＝a2－b2a2＝1－b2a2，e＝c2c2＋b2＝11＋b2c2；在双曲线中，e＝c2a2＝a2＋b2a2＝

1＋b2a2，e＝c2c2－b2＝11－b2c2. 【例2】 已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c(c>0)，抛物线y2＝2cx的准线交双曲线左支于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为( ) A．3＋1 B．2 C．2＋1 D．5＋1

A 解析 由题意得，当x＝－c2时，y2＝c2－4a2b24a2，则A－c2，c2－4a2b24a2，

B－c2，－c2－4a2b24a2，又因为∠AOB＝120°，则c2－4a2b24a2c2＝tanπ3＝3，即c4－8a2c2＋4a4＝0，即c4a4－8c2a2＋4＝0，所以e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4±23，又因为双曲线的离心率e＞1，而4－23<1，所以e2＝4＋23，所以e＝3＋1.故选A项． 【变式2】 双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1，F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为( )

A．3 B．62 C．63 D．33 B 解析 如图所示，不妨设M(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，则|OF2|＝c，|OM|＝b，又因为∠F1MF2＝120°，所以|OF2||OM|＝tan 60°＝3，即cb＝3，所以bc＝13，所以e＝c2c2－b2＝11－b2c2＝62.故选B项．

【例3】 设点P为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上一点，F1，F2分别是左、右焦点，I是△PF1F2的内心，若△IPF1，△IPF2，△IF1F2的面积S1，S2，S3满足2(S1－S2)＝S3，则双曲线的离心率为( ) A．2 B．3 C．4 D．2 A 解析 如图，设圆I与△PF1F2的三边F1F2，PF1，PF2分别相切于点E，F，G，连接IE，IF，IG，则IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2，它们分别是△IF1F2，△IPF1，△IPF2的高，所以S1＝12|PF1|·|IF|＝12|PF1|r，S2＝12|PF2|·|IG|＝12|PF2|r，S3＝12|F1F2|·|IE|＝12|F1F2|r，其中r是△PF1F2

的内切圆的半径．因为2(S1－S2)＝S3，所以|PF1|r－|PF2|r＝12|F1F2|r，两边约去r得 |PF1|－|PF2|＝12|F1F2|，根据双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，所以2a＝c，所以离心率为e＝ca

＝2.故选A项． 【变式3】 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________.

解析 因为△F1PF2为等腰直角三角形，所以b2a＝2c，所以a2－c2a＝2c，所以1－e2＝2e，所以e＝2－1. 答案 2－1 方法三 由已知条件中的不等关系求离心率范围 根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围、存在点或直线使方程成立、Δ的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解．

【例4】 设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其焦距为2c，点

Qc，a2在椭圆的外部，点P是椭圆C上的动点，且|PF1|＋|PQ|<53|F1F2|恒成立，则椭圆离心率的取值范围是( ) A．0，34 B．22，34

C．22，1 D．34，1 D 解析 因为点Qc，a2在椭圆的外部，所以c2a2＋a22b2>1，则a2>b2a，解得2c2>a2，所以ca>22，即e>22.由椭圆定义得|PF1|＋|PQ|＝2a－|PF2|＋|PQ|，又－|PF2|＋|PQ|＝|PQ|－|PF2|≤|QF2|＝a2，且|PF1|＋|PQ|<53|F1F2|恒成立，所以|PF1|＋|PQ|＝2a＋|PQ|－|PF2|≤2a＋|QF2|＝2a＋a2<53×2c，解得ca>34，即e>34，又椭圆的离心率e∈(0,1)，所以34【变式4】 椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为M，N，若|MN|≤2|F1F2|，则该椭圆离心率的取值范围是( ) A．0，12 B．0，22 C．12，1 D．22，1 D 解析 因为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，两条准线x＝±a2c与x轴的交点分别为M，N，所以|MN|＝2a2c，|F1F2|＝2c，若|MN|≤2|F1F2|，则a2c≤2c，该椭圆离心率e≥22.故选D项． 方法四 建立函数关系求范围 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他变量的函数关系式，确定函数的定义域后，利用函数求值域的方法求解离心率的范围．

【例5】 设双曲线C：x2a2－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B，则双曲线C的离心率e的取值范围为________.

解析 由C与l相交于两个不同的点，知方程组 x2a2－y2＝1，x＋y＝1有两个不同的实数解，消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，① 所以 1－a2≠0，4a4＋8a21－a2>0，解得01a2＋1，因为062且e≠2.所以双曲线的离心率e的取值范围为

62，2∪(2，＋∞)． 答案 62，2∪(2，＋∞) 【变式5】 设θ∈0，π4，则二次曲线x2tan θ－y2tan θ＝1的离心率的取值范围为( ) A．12 B．12，22 C．22，2 D．(2，＋∞) D 解析 由x2tan θ－y2tan θ＝1，θ∈0，π4，得a2＝tan θ，b2＝1tan θ，所以c2＝a2＋b2＝tan θ＋1tan θ，所以e2＝c2a2＝1＋1tan2θ，因为θ∈0，π4，所以1tan2θ

>1，所以e2>2，所以e>2.故选

D项． 方法五 根据圆锥曲线本身的不等关系求范围 在求离心率的范围时，有时常用椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>0，b>0)中，－a≤x≤a，P是椭圆上任意一点，则a－c≤|PF1|≤a＋c等；或者根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用a，b，c进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率的范围．

【例6】 已知F1，F2分别为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上任

一点，若|PF1|2|PF2|的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A．(1,2] B．(1,3] C．[2,3] D．[3，＋∞)

B 解析 |PF1|2|PF2|＝2a＋|PF2|2|PF2|＝4a2|PF2|＋|PF2|＋4a≥24a2＋4a＝8a，欲使最小值为8a，需右支上存在一点P，使|PF2|＝2a，而|PF2|≥c－a，即2a≥c－a，所以1【变式6】 椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(c,0)，点A的坐标为a2c，0，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是( ) A．0，22 B．0，12 C．[2－1,1) D．12，1 D 解析 由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即点F到点P