高中数学：求函数值域的常用方法
求函数值域的几种方法
高中数学中求函数值域的几种方法汝南双语学校赵保刚函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题.定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。
平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。
然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄彼，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。
如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。
才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难。
实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函数的理解，从而深化对函数本质的认识。
若有非空数集A到B的映射f:A→B，则函数：y=f(x)(x∈A,y∈B)的值域是自变量x在f作用下的函数值y的集合C，很明显，C B，求函数值域的方法要随函数式的变化而灵活掌握，同时应注重数形结合，等价转换，分类讨论等重要数学思想的理解与运用。
下面通过八个方面的例题来加以说明。
题型一定义法要深刻领会映射与函数值域的定义。
例1．已知函数f:A→B（A，B为非空数集），定义域为M，值域为N，则A，B，M，N的关系：（）。
A．M＝A，N＝B B．M N，N＝BC．M＝A，N B D．M A，N B说明：函数的定义域是映射f：A→B中的原象集合A，而值域即函数值的集合是集合B的子集。
故：应有M＝A，N B，选C。
例2．已知函数f(x)=2log2x的值域是[-1，1]，求函数y=f-1(x)的值域。
分析：要求反函数的值域，只需求原函数的定义域。
求解三角函数值域的几种常见方法
４ 利用几何意义求值域
例 ４ 求 函数 ） ， ＝ —ｓ — ｌ ｎ ｘ 的值域．
。 ＣＯＳ 一
，
点评： 一 般 先 化 为 Ｙ＝Ａ ｆ （ ＋ ）＋ｋ的 形 式 ，
然后利 用三角 函数 的 图 象和 性 质 求 解 ， 此题 往 往 容
易忽 视 对 口的 讨 论
解 ： 。 ． 。 ） ＝ － ２ 口 （ 丢 ｃ 。 ｓ ２ ＋ 譬 ｓ ｉ ｎ ２ ） ＋ ２ 。 ＋ ６
‘
．
３
３ １ ≤ ’
＝ 一 ｓ ｉ ｎ （ ＋ 詈 ） ＋ ＋ ｂ ， ｘ ∈ ０ ， 号 】 ， ． ｓ ｉ ｎ ２ ＋ 詈 ） ∈ 卜 １ ， ・ 】 ．
《 数学之友＞
２ ０ １ ４年第 ２ ４ 期
பைடு நூலகம்
求解三角函数值域的几种常见方法
解 题 探 索
、
张
梁
（ 江苏省阜宁县第一高级中学 ， ２ ２ ４ ４ ０ ０ ）
三角函数是高中数 学的主要内容， 在历年高考
点评 ： 换元后 一定要 及 时确 定 ｔ 的范围， 即 注 意
中频频 出现 ， 特别是三角 函数最值 问题使学生更感 棘手． 如何找到解题途径 ， 培养学生的数学能力尤为
１ 利用 Ｙ ＝ Ａ ｆ （ Ｗ Ｘ ＋ ） ＋ ｋ的性质 求解
例１ 设 函数 ）＝ ２ ａ ｓ ｉ ｎ 一 ２ 口 ｃ ｏ ｓ ｘ ｓ ｉ ｎ ｘ＋ ａ
角， 求ｔ ａ Ｉ ｌ （ Ａ— Ｂ ） 的最大值． 解： ’ ． ‘ ｓ ｉ ｎ Ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ＝ ４ ｃ ｏ ｓ Ａ ｓ ｉ ｎ Ｂ’ ． ． ． ｔ ａ ｎ Ａ＝ ４ ｔ ａ ｎ Ｂ ．
） 一 ＝ ３ ａ＋ ２’ ） ＝ ｂ ，
高中数学破题致胜微方法(求函数值域专题3)：4.求函数值域(三)——反表示法 含解析
反表示法今天我们来学习反表示法求函数值域.借助方程的思想，把函数看做关于x 的方程,利用方程有解的充要条件求出y 的取值范围，同学们要注意体会方程思想，也要注意反表示法与反函数的区别与联系。
先看例题：1。
求函数11x x e y e -=+ 的值域注意到函数定义域为R ，可以进行如下转化,用y 表示x (1)1x x y e e +=-(1)1x e y y -=--注意y =1时方程不成立,所以y ≠1，可将y —1除到等式右边得：11x y e y+=- 因为0x e >，即101y y+>-,解得：11y -<< 所以函数的值域为(1,1)y ∈-注意：我们不必完全写出反函数，只需要能确定出关于y 的函数的取值范围即可.2.函数2211x y x -=+的值域为______22(1)1y x x +=-2221(1)1yx y x y x y +=--=--注意y=1时方程不成立，所以y ≠1，可将y -1除到等式右边得:2101y x y+=≥- (1)(1)0y y +-≤解得11y -≤<所以函数的值域为[1,1)y ∈-总结：用方程思想求函数值域把函数看做关于x 的方程，利用方程有解的充要条件求出y 的取值范围练习：1.求函数21x y x =+的值域2.求函数313x x y =+的值域答案：1。
反表示函数得：22(2)yx y x y x yx x y +=⇒=-=-整理得：2yx y =- ，注意到原函数定义域为x ≠-1,即12y y≠--，注意到y 取任意值,原式值都不会为—1，所以只需2—y ≠0,即y ≠2 所以原函数值域为(,2)(2,)y ∈-∞+∞2.反表示函数得:33x x y y += 整理得：31x yy =-，对于指数函数()3x f x =恒大于0，只需使得0(1)01yy y y >⇔->- 解得：01y <<所以函数值域为:(0,1)y ∈。
高中数学破题致胜微方法(求函数值域专题1)：2.求函数值域(一)——分离常数法 含解析
分离常数法分离常数，是高中数学的常用方法，分离常数的思路是将变量和常量分开研究，是解决矛盾的一种重要思路.该方法在求函数值域中也有非常广泛的应用，今天我们就一起来看看如何用分离常数的方法求函数值域。
先看例题：1。
函数2211x y x -=+的值域为____先将分离常数：2222211221111x x y x x x -+-===-+++ 接下来只需研究分母的取值范围即可：22211,021x x +≥<≤+ 22201x -≤-<+ 所以，函数值域为11y -≤<2.求函数312x y x +=-的值域 先分离常数： 313(2)773,222x x y x x x +-+===+--- 770,3 3.22x x ≠∴+≠-- 31{|3}.2x y y y R y x +∴=∈≠-的值域为且 我们发现，如果一个函数形如(0)cx d y a ax b+=≠+,这时可以考虑使用分离常数的方法，来求其值域.更进一步，如果我们把x 的位置换成一个函数,即()(0)()c f x d y a a f x b⋅+=≠⋅+ 还能够使用分离常数的方法么?继续往下看:3。
求函数11x x e y e -=+的值域 先分离常数:211x y e =-+ 2021x e <<+ 11,(1,1).y -<<-即函数的值域是 对于形如()(0)()c f x d y a a f x b⋅+=≠⋅+的函数，都可以考虑用分离常数的方法进行求解。
总结:1.分离常数的思路,也就是将矛盾分离，一部分一部分进行研究。
2.哪些形状的式子，可以考虑用分离常数的方法进行求解。
3.求解过程中，要注意函数的定义域,注意等价变形。
练习：1.求函数22212x x y x x -+-=+-的值域 2。
求函数||2(12)||1x y x x +=-≤≤+的值域 答案:1。
22221(1)=2(2)(1)x x x y x x x x -+---=+-+-,先看定义域，x≠1,x ≠—2 原式可化简为(1)(2)33=1222x x x x x ---++=-++++ 3301122x x ≠⇒-+≠-++，又因为x≠1，所以3102x -+≠+ 所以函数的值域为(,1)(1,0)(0,)y ∈-∞--+∞ 2.||2||1111||1||1||1x x y x x x +++===++++ 因为12x -≤≤，所以0||2x ≤≤，则1113||1x ≤≤+ 41123||1x ≤+≤+ 所以，函数值域为4[,2]3y ∈。
函数定义域值域求法(全十一种)
文档大全
实用标准
因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD，
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。
高一数学函数的定义域与值域的常用方法
高一数学求函数的定义域与值域的常用法一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。
例1. 已知2211()x x x f x x +++=，试求()f x 。
解：设1x t x +=，则11x t =-，代入条件式可得：2()1f t t t =-+，t ≠1。
故得：2()1,1f x x x x =-+≠。
说明：要注意转换后变量围的变化，必须确保等价变形。
2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个程，联立求解。
例2. （1）已知21()2()345f x f x x x +=++，试求()f x ；（2）已知2()2()345f x f x x x +-=++，试求()f x ； 解：（1）由条件式，以1x 代x ，则得2111()2()345f f x x x x +=++，与条件式联立，消去1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则得：()222845333x f x x x x =+--+。
（2）由条件式，以－x 代x 则得：2()2()345f x f x x x -+=-+，与条件式联立，消去()f x -，则得：()2543f x x x =-+。
说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。
例4. 求下列函数的解析式：（1）已知)(x f 是二次函数，且1)()1(,2)0(-=-+=x x f x f f ，求)(x f ；（2）已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f ，)1(+x f ，)(2x f ；（3）已知x xx x x f 11)1(22++=+，求)(x f ； （4）已知3)(2)(3+=-+x x f x f ，求)(x f 。
【题意分析】（1）由已知)(x f 是二次函数，所以可设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，设法求出c b a ,,即可。
高中数学必修一第二章：函数.第一节：值域
高中数学（人教B 版）必修一：第二章 函数2.1.1 函数函数的值域一.值域：在函数y=f(x)中，由所有函数值构成的集合：{y |y=f(x)，y ∈A}，叫做这个函数的值域。
值域即因变量y 的取值范围，是函数的象的集合。
二.基本函数的值域： ①.一次函数y=kx+b [ y ∈R 或（-∞，+∞) ]②.二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0） ( , +∞)③.二次函数y=ax 2+bx+c （a ＜0） (-∞, ) ④.反比例函数y= [ y ≠0或（-∞，0) ∪（0，+∞)] 二.求函数的值域的方法：方法一.观察法：例一：求函数y= 的值域.例二：求函数y= 的值域.规律总结：当x ≥2时， = 。
当x ≤2时， = 。
当x ≥-2时， = 。
当x ≤-2时， = 。
方法二.分离常数法：——适用于分式。
例三：求函数y= 的值域.4a 4ac-b 2 4a 4ac-b 2 k x 1 1 x 2+1 x 2-1 x 1 x 1 x 1 x 1 2x-1 x+1例四：求函数y= 的值域.方法三.反表示法：用y 表示f(x).——适用于形如y= 的函数。
例五：求函数y= 的值域.方法四.二次函数配方法：配方、画图、截断——适用于形如F(x)=af(x)2+bf(x)+c 的函数。
例六：求函数y=x 2-4x+5的值域.方法五.换元法：——适用于带根号且根号下为一次式的函数。
例七：求函数y=x+ 的值域.方法六.判别式法：——适用于二次分式函数。
例八：求函数y= 的值域.x 2-1 x 2+1 af(x)+b cf(x)+d 2x-1 x+1 2x+1 x 2-3x+4 x +3x+4。
高一函数值域的求法
定义法通过值域的定义求值域是最简单直接的一种方法，但是有时也是我们最常忽略的一种方法，因为它的简单，所以是在学习值域中最早接触过的一种方法，但是在一些考查思维能力的大题中，伴随着一些阅读信息出现时，往往会给我们造成一些困扰。
今天的学习希望大家就从定义出发，理解函数值域。
先看例题：已知函数2,y x x A =∈，其中{|||2,}A x x x Z =≤∈且则函数的值域是_____若函数24y x x =-的定义域是{|15,}x x x N ≤≤∈则其值域为________求函数||x y x =的值域注意：定义域不是有限集，值域可能是有限集总结：函数值域是函数值的集合,它是由定义域和对应法则共同给确定的,求值域时要注意函数的定义域练习：1. 若f (x )的定义域为[a ,b ],值域为[a ,b ] (a <b ),则称函数f (x )是[a ,b ]上的“四维方军”函数.（1）设213()22g x x x =-+是[1,b]上的“四维方军”函数,求常数b 的值; （2）问是否存在常数a ,b (a >－2)使函数1()2h x x =+是区间[a ,b ]上的“四维方军”函数?若存在,求出a ,b 的值,否则,请说明理由.分离常数法分离常数，是高中数学的常用方法，分离常数的思路是将变量和常量分开研究，是解决矛盾的一种重要思路。
该方法在求函数值域中也有非常广泛的应用，今天我们就一起来看看如何用分离常数的方法求函数值域。
1.函数2211x y x -=+的值域为____2.求函数312x y x +=-的值域 我们发现，如果一个函数形如(0)cx d y a ax b+=≠+，这时可以考虑使用分离常数的方法，来求其值域。
更进一步，如果我们把x 的位置换成一个函数，即()(0)()c f x d y a a f x b ⋅+=≠⋅+还能够使用分离常数的方法么？继续往下看：3.求函数11x x e y e -=+的值域 （先分离常数） 对于形如()(0)()c f x d y a a f x b⋅+=≠⋅+的函数，都可以考虑用分离常数的方法进行求解。
高中数学-函数定义域、值域求法总结
函数定义域、值域求法总结一.求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
定义域的求法1、直接定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义， 而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义，∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ⇒ 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37-或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x 2 定义域的逆向问题例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 (定义域的逆向问题) 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-a ax ax∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于练习：322log+-=mx x y 定义域是一切实数，则m 的取值范围；3 复合函数定义域的求法例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域 解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
精品推荐：常见函数值域或最值的求法(一)
常见函数值域或最值的经典求法【考点综述】函数值域是函数概念中三要素之一,是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单函数的值域求解的基本方法.【解题方法思维导图预览】【解题方法】解题方法模板一：直接法使用情景：函数的不等式中含有一些特殊函数，直接观察即可确定函数的值域或最值. 解题模板：第一步 观察函数中的特殊函数；第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域. 例1 求函数2()131xf x =++的值域. 【答案】(1，3) 【解析】 解题模板选择：本题中分式的分母部分是一个指数型函数的形式，属于特殊函数，且函数的解析式整体比较简单，故选取解题方法模板一直接法进行解答. 解题模板应用：第一步 观察函数中的特殊函数； 函数31x y=+为指数型函数，易得31(1,)x +∈+∞，第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域. 由31(1,)x+∈+∞，得2()1(1,3)31x f x =+∈+，故函数2()131x f x =++的值域为(1，3). 【典型例题】1．函数y = A ．[0,)+∞ B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)【答案】C 【解析】函数y =(]20,16,x∈所以[)1620,16x-∈.有[)0,4y =. 故选C.2．函数211y x =+的值域是（ ） A ．[1,)+∞ B ．(0,1]C ．(,1]-∞D ．(0,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数性质求值域. 【详解】因为211x +≥，所以21011x <≤+,选B. 【点睛】本题考查函数值域，考查基本分析求解能力，属基本题. 3．函数21()12f x x =+的值域为（ ）A ．()0,1B ．[)0,1C ．[]0,1D ．(]0,1【答案】D 【解析】 【分析】根据20x ≥，求得()f x 的值域. 【详解】由于20x ≥.所以220x ≥，2121x +≥，210112x<≤+，故()f x 的值域为(]0,1. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查不等式的性质，属于基础题.4．函数y A ．[–1，+∞） B ．[0，+∞）C ．（–∞，0]D ．（–∞，–1]【答案】B 【解析】 【分析】由x +1≥0，得x ≥–1，在[–1，+∞）上函数y 0，进而得到结果. 【详解】由x +1≥0，得x ≥–1，在[–1，+∞）上函数y 0，∴函数y [0，+∞）． 故选B ． 【点睛】这个题目考查了函数的值域的求法，关于函数的值域需要注意的有：首先函数值域不能为空集，其次是指的函数值的集合.求函数的值域的问题，最终结果要写成集合或者区间的形式. 5．已知函数()212f x x =+，则f （x ）的值域是 A ．1{|}2y y ≤ B ．1{|}2y y ≥ C ．1{|0}2y y <≤D ．{|0}y y >【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，求得函数的值域. 【详解】由于220,22x x ≥+≥，故211022x <≤+，故函数的值域为1|02y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭，故选C. 【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查不等式的性质，属于基础题. 6．设函数()()121xf x x R =∈+,则它的值域为( ) A ．(0,1) B ．(0,2)C ．(1,+∞)D ．(2,+∞)【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的值域结合反比例函数值域即可求解. 【详解】由题：x ∈R ，()20,x∈+∞，()211,x+∈+∞，所以()10,121x ∈+()()121xf x x R =∈+的值域为0,1. 故选：A 【点睛】此题考查求函数值域，涉及指数函数值域，反比例型函数值域. 解题方法模板二：配方法使用情景：函数表达式为二次函数或者换元之后为二次函数的类型，即可使用配方法求函数的值域或最值. 解题模板：第一步 将二次函数配方成2()y a x b c =-+；第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域. 例2 已知函数2()41,[2,5]f x x x x =-+∈-，求函数y =f (x )的值域.【答案】[－3，13] 【解析】 解题模板选择：本题中所给的函数解析式为二次函数的形式，是一个二次函数在给定区间求值域的问题，故选取解题方法模板二配方法进行解答. 解题模板应用：第一步 将二次函数配方成2()y a x b c =-+； 函数的解析式22()41(2)3f x x x x =-+=--.第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域. 由二次函数的性质可知： 当x =2时，min 3y =-；当x =－2时，max 13y =.因此函数2()41,[2,5]f x x x x =-+∈-的值域为[－3，13].【典型例题】1．函数y =的值域为（ ） A ．RB ．[0,)+∞C ．3(,]2-∞D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得y =21924x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的取值范围结合幂函数的单调性即可得解. 【详解】函数y ==，21990,244x ⎛⎫⎡⎤--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴函数y =的值域为⎡⎢⎣即30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D. 【点睛】本题考查了复合函数值域的求解，考查了二次函数与幂函数性质的应用，属于基础题. 2．函数[]22,0,3y x x x =-∈的值域为（ ）A ．[]0,3B ．[]1,3C ．[]1,0-D ．[]1,3-【答案】D 【解析】分析：利用二次函数的性质即可得出答案. 解析：()22211y x x x =-=--，∴对称轴为1x =，抛物线开口向上，03x ≤≤，∴当1x =时，min 1y =-，1-距离对称轴远，∴当3x =时，max 3y =， ∴13y -≤≤.故选：D.点睛：二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键都是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论 3．函数24y x x =-，([0,4])x ∈的值域是( ) A ．[3,0]- B ．[4,0]- C ．[0,3] D ．[4,)-+∞【答案】B 【解析】 【分析】先将函数配方224(2)4y x x x =-=--，再利用二次函数的图象和性质求解. 【详解】224(2)4y x x x =-=--又因为[0,4]x ∈ 所以[4,0]y ∈- 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次函数求值域，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．函数[]()2220,3y x x x =-+∈的值域是（ ）A ．[]1,5B ．[]1,2C ．[]2,5D ．[)1,+∞ 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的对称轴，讨论对称轴和区间的关系，即可得到最值，进而得到值域． 【详解】解：函数()2222(1)1y f x x x x ==-+=-+，对称轴为[]10,3x =∈，()f x ∴在[]0,1上单调递减，在[]1,3上单调递增，()11f =，()02f =，()2332325f =-⨯+=()[]1,5f x ∴∈即函数的值域为[]1,5． 故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的值域，注意讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于基础题． 5．函数23622y x x =-+-的值域为（ ） A ．[4,)+∞ B ．(,4]-∞C ．(,10]-∞-D ．[10,)-+∞【答案】B 【解析】 【分析】将二次函数配成顶点式，即可得解. 【详解】 解：()2233622422y x x x =-+-=--+，(],4y ∴∈-∞.故选：B . 【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础题. 解题方法模板三：判别式法使用情景：函数表达式形如22dx ex fy ax bx c++=++类型 解题模板：第一步 观察函数解析式的形式，型如22dx ex fy ax bx c++=++的函数； 第二步 将函数式化成关于x 的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y 的取值范围，即得函数的值域.例3 求函数3274222++-+=x x x x y 的值域.【答案】9,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】 解题模板选择：本题中所给函数的解析式符合利用判别式法求值域的形式，故选取解题方法模板三判别式法进行解答.解题模板应用：第一步，将函数式化成关于x 的方程的形式：因为3274222++-+=x x x x y ，所以()()0732222=++-+-y x y x y ，第二步，根据判别式得出函数值的取值范围：2≠y 时，上式可以看成关于x 的二次方程，该方程的x 范围应该满足()0322≠++=x x x f 即R x ∈此时方程有实数根即0≥∆：=∆()[]()()07324222≥+---y y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒2,29y当2=y 时，方程化为7=0，显然不能成立，所以2≠y ， 将2=y ，29-=y 分别代入检验的2=y 不符合方程，所以9,22y ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭解题方法模板四：分离常数法 使用情景：函数表达式形如()ax bf x cx d+=+类型解题模板：第一步 观察函数()f x 类型，型如()ax bf x cx d+=+；第二步 对函数()f x 变形成()a ef x c cx d=++形式； 第三步 求出函数ey cx d=+在()f x 定义域范围内的值域，进而求函数()f x 的值域. 例4 求函数1(1)1x y x x +=≠-的值域 【答案】{y |y ≠1} 【解析】 解题模板选择：本题中函数的解析式是一个分时形式()ax bf x cx d+=+，故选取解题方法模板四分离常数法进行解答.解题模板应用：第一步 观察函数()f x 类型，型如()ax bf x cx d+=+：1(1)1x y x x +=≠-，其中1,1a b c d ====-； 第二步 对函数()f x 变形成()a e f x c cx d=++形式； 11221111x x y x x x +-+===+---， 第三步 求出函数e y cx d=+在()f x 定义域范围内的值域，进而求函数()f x 的值域. 函数的定义域为{}|1x x ≠-，则201x ≠-，故2111y x =+≠-， 因此原函数的值域为{y |y ≠1}.【名师点睛】此类型的函数，分子、分母都含有自变量，而通过分离常数法，可以将此类函数的变量只含到分母上，分子化为常数，使函数值y 的范围变化容易确定，从而较为简单地求出函数的值域.【典型例题】1．函数()3452x f x x -+=-的值域是（ ） A ．B ．C ．D ．R【答案】B【解析】试题分析：()344341077252252525x x x f x x x x x -+--+==-=-=-+----()2f x ∴≠-，值域为()(),22,-∞-⋃-+∞考点：函数值域2．函数()3452x f x x -+=-的值域是（ ） A ．()(),22,-∞+∞ B ．()(),22,-∞--+∞C ．55,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．R 【答案】B【解析】【分析】先分离常数，再根据反比例函数单调性求值域.【详解】()344341077252252525x x x f x x x x x -+--+==-=-=-+----，()2f x ∴≠-，值域为()(),22,-∞-⋃-+∞． 【点睛】本题考查分式函数单调性以及值域，考查基本求解能力.3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其命名的“高斯函数”为：设用[]表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如[-3.5]=-4，[2.1]=2，已知函数，则函数的值域为（ ） A ．{0,1}B ．{0}C ．{-1,0}D ．{-1,0,1}【答案】C【解析】【分析】由题意首先确定函数的值域，然后求解函数的值域即可. 【详解】函数的解析式，由于，故，结合函数的定义可得函数的值域为{-1,0}.本题选择C 选项.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 4．设函数f (x )＝－，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域为( ) A ．{0}B ．{－1,0}C ．{－1,0,1}D ．{－2,0}【答案】B【解析】【分析】【详解】 依题意()211111122212x x x f x +-=-=-++，由于10121x <<+，所以()11,22f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.当()1,02f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()1f x ⎡⎤=-⎣⎦，当()10,2f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x ⎡⎤=⎣⎦，故()f x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}0,1.故选B.【点睛】本小题主要考查指数函数的值域，考查新定义函数的意义，考查了分类讨论的数学思想方法.属于中档题. 5．函数()1212xxf x -=+的值域为（ ） A ．()1,1-B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()0,1【答案】A【解析】【分析】用分离常数法，并结合指数函数性质求解．【详解】 ()1212xx f x -=+2112x =-++， 因为20x >，所以121x +>，20212x <<+，211112x -<-+<+． ∴()f x 的值域是(1,1)-．故选：A.【点睛】本题考查求函数的值域，方法是分离常数法．对一次分式型函数可以采用分离常数法求函数值域．本题还考查了指数函数的性质．。
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高中数学：求函数值域的常用方法
函数的值域是函数的重要性质之一，它的求法很多。
一、反函数法
利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系，通过求反函数的
定义域而得到原函数的值域。
例如求函数的值域，这种类型的题目也可采用分离常数法。
例1、求函数的值域。
解析：由解得，因为，所以，则，故函数的值域为。
二、换元法
换法元主要是把题目中出现多次的一个复杂的部分看作一个整体，通过简单的换元把复杂函数变为简单函数，我们使用换元法时，要特别注意换元后新元的范围（即定义域）。
换元法是几种常用的数学方法之一，在求函数的值域中发挥很大作用。
例2、若，求函数的值域。
解析：
，因为，则，于是，故的值域是。
三、分离常数法
求一次分式函数值域可用分离常数法，此类问题有时也可以利用反函数法。
例3、求函数的值域。
解析：
，因为，则，故函数的值域为。
四、判别式法
把函数转化成关于x的二次方程，通过方程有实数根，根据判别式，从而求得原函数的值域，形如求函数（、不同时为0）的值域，常用此方法求解。
注意这类函数的定义域一般是实数集时用这种方法一般不会出错，否则不宜用这种方法。
例4、求函数的值域。
解析：原式变形为。
①当时，方程无解；
②当时，因为，所以
，解得。
综合①②得，函数的值域为。
五、函数的单调性法
确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，借助单调性求出函数的值域。
例5、求函数的值域。
解析：因为当x增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，所以函数在定义域上是增函数。
故，所以函数的值域为。
六、利用有界性
利用函数解析式中局部式子的有界性来求整个函数的值域也是常用的求值域的方法。
例6、求函数的值域。
解析：由函数的解析式可以知道函数的定义域为R，对函数进行变形可得，因为，所以，则，故，所以函数的值域为。