29投影与视图教材分析

《第二十九章投影与视图》教材分析

北京一六一中学

一、本章内容在中考中的要求（学校招生考试说明为例）

这部分知识是解决数学问题的工具，用的巧妙可以使问题得到较好的解决，也可使过程更为简洁，因此，在教学时，要突出强调它的这个功能,同时注意培养学生在本章当中应用锐角三角函数的知识解决几何问题的意识。

二、教材分析

图形是描述物体形状及大小的最好语言，视图具有广泛的应用，投影原理是绘制视图的基础。本章在学生已有有关投影和视图的初步感性认识的基础上，通过对一些典型问题的讨论，适当引入基本概念，归纳基本规律，使学生对投影和视图的认识水平再一次提升，并结合具体问题进一步培养运用几何知识分析和解决实际问题的能力。本章对于培养空间想象能力有明显作用。立体图形与平面图形的相互转化问题，是本章中的核心问题。这包括：①从立体图形到平面图形的转化；②从平面图形到立体图形的转化。因此，需要从两方面双向的认识平面图形和立体图形的转化。掌握立体图形与相应平面图形的联系是认识上述转化的关键。“由物画图”和“由图想物”是本章中相互联系的两类问题。从能力上讲，主要是培养空间想象能力。

生活中，投影现象随处可见。物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁等处出现物体的影子。人们根据这种现象加以几何抽象的研究，总结其中的规律，提出用“投影法”来表示物体。投影法就是投射线通过物体，向选定的面投射，并在这个面上得到图形的方法。根据光源、投射线和投射面三要素的相对位置，投影法可分为中心投影法和平行投影法。正投影简称投影，用正投影法绘制出物体的图形叫做视图。本章中介绍的“三视图”属于基本视图。物体的形状与三视图之间存在有如下对应关系：①主视图：从物体前面向后看，主要是得到物体前面的轮廓形状，用粗线绘出。而后面的轮廓为看不见，用虚线绘出。②俯视图：从物体的上面向下看，主要得到上面的轮廓形状。用粗实线绘出。而物体下面被遮挡的轮廓形状，用虚线绘出。③左视图：从物体左面向右看，主要得到物体左面的轮廓形状，用粗实线绘出。

物体右面遮挡的轮廓形状，用虚线绘出。基本视图之间保持“长对正、高平齐、宽相等”的对应关系。

29.1 节首先从物体在日光或灯光下的影子说起，引出投影、平行投影、中心投影、正投影等概念；然后以铁丝和正方形纸板的影子为例，讨论当直线和平面多边形与投影面成三种不同的位置关系时的正投影，归纳出其中蕴涵的正投影的一般规律；最后以正方体为例，讨论立体图形与投影面成不同位置关系时的正投影。可以发现，整个讨论过程是按照一维、二维和三维的顺序发展的。

29.2节讨论的重点是三视图，其中包括三视图的成像原理、三视图的位置和度量规定、一些基本几何体的三视图等。教科书首先根据投影原理，介绍了主视图、俯视图、左视图的概念以及三视图的位置和度量规定。接下来，教科书安排了6道例题，讨论简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化。这包括简单几何体的三视图，简单几何体的组合的三视图，空心几何体的三视图，根据三视图想像立体图形、描述物体形状，三视图和展开图的转化等等。这一节是全章的重点内容，它不仅包括了有关三视图的基本概念和规律，而且包括了反映立体图形和平面图形的联系与转化的内容，与培养空间想象能力有直接的关系。

在第2小节后，教科书安排了一个阅读与思考“视图的产生与应用”。从古埃及建筑设计到世界名画中运用视图的原理，到蒙日创建画法几何，简要介绍了视图的产生与应用。

29．3节安排了观察、想象、制作相结合的实践活动——“课题学习制作立体模型”，包括根据视图制作立体模型、根据视图制作实物模型、根据展开图画三视图三个活动。这是结合实际动脑与动手并重的学习内容。进行这个课题学习既可以采用独立完成的形式，也可以采用合作式学习的方式。应该把这个课题学习看作对前面学习的内容是否切实理解掌握以及能否灵活运用的一次联系实际的检验。

本章内容与其他章有较为明显的区别，它与直观图形的关系密切，需要在图形形状方面进行想象和判断，要完成的题目多是识图、画图、制作模型等类型的问题，而很少涉及定量的计算。

三、本章共分为三节，教学时间约需11课时，具体分配如下（仅供参考）：

29．1 投影2课时

29．2 三视图5课时

29．3 课题学习制作立体模型2课时

数学活动

小结2课时

四、教学建议

1、重视借助直观模型，帮助学生克服立体几何知识不足的困难。

本章教学中不可避免的涉及到立体几何中的一些基础知识。解决这个问题的比较好的做法是重视相关内容与实际的联系，在不刻意追求对抽象概念有透彻理解的前提下，选择一些实例，利用直观的、感性的认识，使学生能结合例子了解这些空间位置关系，并能把这些认识迁移到类似情形。使学生能够联系例子认识到“像．．．．．．那样，就是一条直线平行（或垂直，或倾斜）于一个平面”等，达到这种认识水平就完全可以继续本章的学习了。因此，建议大家在教学过程中要注意结合实物模型，充分利用直观演示。

例如：在去年用的XTZ下册第66页，有一道非常小的填空题目：将一个三角形放在太阳光下，它所形成的的投影的形状是______。学生天的情况并不是太好，原因是受书上102页思考题的影响，没有仔细阅读书上内容，造成错误。如果教学中能重视细节，利用直观模型，效果肯定不错。

例1：（2010 年北京市中考第8题）美术课上，老师要求同学们将右图所示的白纸只沿虚线剪开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部份围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是

以前讲这道题，也只是单纯地从空间展开图的想象去入手，学生往往会有转晕了的感觉，但仔细观察会发现，顺时针转三次，相当于逆时针转一次，这样可以很快的找到答案。

例2：（2011江苏连云港，8）如图，是由8个相同的小立方块

搭成的几何体，它的三个视图都是2×2的正方形，若拿掉

若干个小立方块后（几何体不倒掉

．．．），其三个视图仍都为

2×2的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

利用模型教学实际上是为了让学生将来能在考场上“心里有模型”，所以如何更好地借助模型教学应该是我们探讨的。我个人认为，利用模型教学，不能只局限在用上，而应该注重如何利用模型挖掘图形的本质。

2、重视结合实际例子讨论问题，在直观认识的基础上归纳基本规律。

教材中每次引入一个新概念，都是借助于实际的例子，在学生直观认识的基础上讨论问题。本章最后也同样安排了这样的课题学习，通过制作简单的立体模型来加强对三视图等内容的理解认识。这些安排都体现了利用典型例子、借助直观、适当归纳基本规律的思想。所以应重视借助直观模型的作用，做好由感性认识到理性认识的过渡。

例3：（2011四川内江，8）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如右图所示，其正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是（）

12

3

2

1

A B C D

【答案】B

11

2 1

B A

C

例4：由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如右图所示，其正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的左视

图是（）

A．B．C．D．

【答案】A

总结规律：这种问题都是已知俯视图的数字方块图，让你画主视图或左视图。主视图画法：看列，取大数，左右相对应；左视图画法：看行，取大数，上对左，下对右。

3、重视平面图形与立体图形的联系，从不同角度综合培养空间想象能力。

重视平面图形与立体图形的联系，重在培养空间想象能力。教科书在第29.1节“投影”中，通过介绍有关投影的概念和规律，重点反映如何由物体得到其投影。客观世界中一般的物体形状都是三维的立体图形，而它们的影子则是二维平面图形，由物体产生投影是将立体图形转化为平面图形的过程。从映射角度看，这是从三维空间到二维平面的映射。物体是原像，其投影是影射后的像，原像与像存在对应关系，正投影的规则就是一种映射规则。

教科书在第29.2节“三视图”中，从两方面来反映平面图形与立体图形的联系。这一节的前面部分（例4之前，不含例4），主要有三视图的概念、规则以及画形状简单的几何体的三视图，这些是由立体图形得到相应平面图形的过程；这一节的后面部分（例4以后，含例4），主要为由三视图想出相应物体形状的内容，这些是由平面图形得到相应立体图形的过程。两方面结合起来，就从不同角度反映了平面图形与相应的立体图形是如何联系的。从技能上说，认识平面图形与立体图形的联系，有助于根据需要实现它们之间的相互转化，即学会画三视图和由三视图得出立体图形。从能力上说，认识平面图形与立体图形的联系，对于培养空间想象能力上非常重要的。

这部分有一些题目主要和初一讲过的“正方体展开图”有关。

例5、将下面的正方体盒子沿着图中标示的7条棱剪开，展开后会得到什么样的平面图形？这道题目解决的方法很多，现在介绍一种标字母的方法，感觉学生接受

起来比较容易。

还有一部分题目是考察学生“由物想图”或“由图想物”的能力。例6、“由物想图”

（2011湖北黄石，5）如图（1）所示的几何体的俯视图是

【答案】B C

D

例7、“由图想物”

如图所示的是以一个由一些相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图。设组成这个几何体的小正方体的个数为n，请写出n的所有可能的值。

解题策略：由主视图可见，该几何体（上、下）共有三层，结合俯视图可知，最下面一层有5个小正方体。主视图的第二层有2个小正方体，结合俯视图可以推知，第二层可以放置2、3、4个小正方体。主视图的第三层有一个小正方体，结合俯视图可知，第三层可以放置1、2个小正方体。综合上述的分析，可知小正方体的个数为5+2+1，5+2+2，5+3+1，5+3+2，5+4+1，5+4+2，即n为8，9，10，11.解答这类问题，要充分利用视图给出的信息，尤其是应将几个视图与立体图形结合起来分析。

五、常见题型

1、投影与相似结合

例8、（2011湖北荆州，4）如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角尺的对应边长为

A．8cm B．20cm C．3.2 cm D．10cm

【答案】B

2、三视图画法

例9、（2011浙江杭州，8）如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中的a＝（）A．23B．3C．2D．1

【答案】B

主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高齐平，左视图与俯视图的宽相等。

俯视图

主视图

本题考擦三视图的性质以及学生的空间想象能力，解答此类问题的

关键是通过三视图还原出所观察的立体图形，对应视图中的数量关

系进行计算。还原本题的基本图形如图所示，由题意得：AB=2，

?

=

∠30

ABC,所以AC=1，BC=3,故选B.

3、找规律

例10、（2011山东东营，17）如图，观察由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图①中; 共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图②中;共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图③中；共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；……，则第⑥个图中，看得见的小立方体有______________个

【答案】91

4、立体图形中的最短距离问题

例11、如图，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为8cm，一

只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A点沿棱柱侧面到点C’处吃食物，那

么它需要爬行的最短路径的长是多少？

分析：解这类题应将立体图形展开化为平面图形，把空间两点

的距离转化为平面上两点间的距离，利用“同一平面内两点间的最

短路线是连接这两点的线段”进行计算。

解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC’（在面ADD’A’上爬行是一样的）。将四棱柱剪开铺平，使矩形AA’B’B与BB’C’C相连，连接AC’，使E点在AC’上。（如图2）

)

(

41

2

8

10

'

)

(

'2

2

2

2cm

CC

BC

AB

AC=

+

=

+

+

=。

所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm

41

2。

评注：这道题的计算并不难，难点是如何正确画出展开图。画展开图的要点是使ABB'A'与BCC'B'相连接并成为一个完整的矩形。这样展开的依据是“沿棱柱侧面”。要特别注意，这种把空间转化为平面的转化方法是处理这类问题的基本方法。我们还可以把棱柱变为圆柱、圆锥等，解题思路都是一样的。

B

C

六、2011年中考《投影与视图》专项类型题目

（一）选择题

1. （2011浙江金华，2）如图是六个棱长为1的立方块组成的一个

几何体，其俯视图的面积是（）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】B

2. （2011湖北鄂州，12）一个几何体的三视图如下：其中主视图都是腰长为4、底边为2

的等腰三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为（）

A．2πB．

1

2

πC．4πD．8π

【答案】C

3. （2011安徽芜湖，3）如图所示，下列几何体中主视图、左视图、俯视图都相同的

是（）.

【答案】C

第12题图

4

2 2

4

左视图右视图俯视图

4. （2011山东济宁，8）如图，是有几个相同的小正方体搭成的几

何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是

（）

A. 3个

B. 4个

C. 5个

D. 6个

【答案】B

5. （2011山东日照，5）如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中

的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为（）

【答案】C

6. （2011浙江绍兴，4）由5个相同的正方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（）

A. B. C. D.

主视方向

【答案】D

7. （2011浙江台州，2）下列四个几何体中，主视图是三角形的是（）

【答案】B

8. （2011浙江温州，3）如图所示的物体由两个紧靠在一起的圆柱体组成，它的主视图

是( ) 【答案】A

A. B. C. D.

（第4题）

9. （2011浙江义乌，4）如图，下列水平放置的几何体中，主视图不是

．．长方形的是（）

【答案】B

10. （2011浙江省嘉兴，5）两个大小不同的球在水平面上靠在一起，

组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（）

（A）两个外离的圆（B）两个外切的圆

（C）两个相交的圆（D）两个内切的圆

【答案】D

11.（2011江西，3）将两个大小完全相同的杯子（如图甲）叠放在一起（如图乙），则图乙

中实物的俯视图是（）.

【答案】C

13.（2011山东济宁）如图，是某几何体的三视图及相关数

据，则下面判断正确的是

A．a c

>B．b c

>

C．222

4

a b c

+=D．222

a b c

+=

【答案】D

14.（2011四川乐山）如图（2），在正方体ABCD-A1B1C1D1

中，E、F、G分别是AB、BB1、BC的中点，沿EG、EF、FG

将这个正方体切去一个角后，得到的几何体的俯视图是

【答案】 B

A B C D

A．B．C．D．

主视方向

（第10题）

a c

2b

第13题

15.（2011四川凉山州）一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长

方体的表面积为（）

A．66B．48C．48236

D．57

【答案】A

(二)填空题

1.（2011山东菏泽，12）如图是正方体的展开图，则原正方体相对两

个面上的数字之和的最小值的是．

【答案】6

2. （2011山东枣庄，14）如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而

成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是.

【答案】左视图

3. （2010湖北孝感）一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成

的，其主视图与左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少

有个.

【答案】5

三、解答题（2011广东广州市）

5个棱长为1的正方体组成如图5的几何体．

（1）该几何体的体积是（立方单位），表面积是（平方

单位）

（2）画出该几何体的主视图和左视图

【答案】（1）5，22

（2）

主视图左视图

主视图左视图

正面

图5