立体几何(专题) 学案

立体几何（专题）

考点一 空间几何体的表面积和体积

理解柱、锥、台的侧面积、表面积、体积的计算方法，了解它们的侧面展开图，及其对计算侧面积的作用，会根据条件计算表面积和体积。理解球的表面积和体积的计算方法。

把握平面图形与立体图形间的相互转化方法，并能综合运用立体几何中所学知识解决有关问题。 例2用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，求球的表面积和体积。

变式 有三个球，第一个球内切于正方体六个面，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．

考点三 点、线、面的位置关系

理解空间中点、线、面的位置关系，了解四个公理及其推论；空间两直线的三种位置关系及其判定；异面直线的定义及其所成角的求法。

例3 如图 ，在空间四边形ABCD 中，点E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且C F C B

＝

C G C D

＝

23

，则（ ）

（A ）EF 与GH 互相平行 （B ）EF 与GH 异面

（C ）EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上 （D ）EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上

变式 已知正四棱锥S A B C D -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则A E SD ，所成的角的余弦值为（ ）A ．

13

B

．

3

C

．

3

D ．

23

考点四 直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行、面面平行，会用性质定理解决线面平行、面面平行的问题。

例4如图，在四棱锥O A B C D -中，底面A B C D 四边长为1的菱形，4

A B C π

∠=

, OA ABCD ⊥底面,

2O A =,M 为O A 的中点，N 为B C 的中点。证明：直线M N OCD 平面‖.

变式 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1中点．

(1) 求证：平面AMN ∥平面EFDB ； (2) 求异面直线AM 、BD 所成角的余弦值．

考点五 直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质定理，能用判定定理证明线线垂直、线面垂直、面面垂直，会用性质定理解决线面垂直、面面垂直的问题。

例5 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点，求证： （1）D 1O//平面A 1BC 1;（2）D 1O

⊥平面MAC.

变式 如图，四棱锥P —ABCD 中， PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD=2AB ，E 为PC 中点．(I) 求证：平面PDC ⊥平面PAD ； (II) 求证：BE//平面PAD ．

N

B

A

B

C

D E

P

A 1

A

B

C B 1 C 1 E

F

M N D 1 D

考点六 空间中的夹角

空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角 ，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为(0°，90°]、[0°，90°] 和[0°，180°]。 （1）两条异面直线所成的角 求法：

①先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；

②通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是]2

,0(π

，向量所成的角范

围是],0[π，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角 （2）直线和平面所成的角

求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”。

（3）二面角的度量是通过其平面角来实现的

解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。通常的作法有：（Ⅰ）定义法；（Ⅱ）利用三垂线定理或逆定理；（Ⅲ）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos ＝S

S '，其中S 为斜面

面积，S

例6 如图 ，在三棱锥S —ABC 中，∠=∠SA B SA 求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值。

例7 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD ( 1 ) 证明：PA ∥平面EDB ；

( 2 ) 求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值．

B

A

D

C

E P

例8在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。

例9在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

考点七空间中的距离

空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的

求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。○2等体积法。

例10 长方体AC1中，底面ABCD是边长为a的正方形，AA1=2a，求点B到平面AB1C的距离。

p A

B

L

H

l A

B

P