初中圆题型总结精编版

圆的基本题型

纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；一般在10分－15分左右，圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；利用圆的知识与其他知识点如代数函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位，另外与圆有关的实际应用题，阅读理解题，探索存在性问题仍是热门考题，应引起注意.下面究近年来圆的有关热点题型，举例解析如下。

一、圆的性质及重要定理的考查

基础知识链接：（1）垂径定理；（2）同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关系.(3)圆周角定理及推论（4）圆内接四边形性质

【例1】（江苏镇江）如图，AB 为⊙O 直径，CD 为弦，且CD AB ⊥，垂足为H ．（1）OCD ∠的平分线CE 交⊙O 于E ，连结OE ．求证：E 为弧ADB 的中点；（2）如果⊙O 的半径为1

，CD =， ①求O 到弦AC 的距离；

②填空：此时圆周上存在个点到直线AC 的距离为1

．【解析】（1）OC OE =，E OCE ∴∠=∠ 又OCE DCE ∠=∠，E DCE ∴∠=∠． O E C D

∴∥．又CD AB ⊥，90AOE BOE ∴∠=∠=． E ∴为弧ADB 的中点．

（2）①CD AB ⊥，AB 为⊙O

的直径，CD =

122CH CD ∴==．又1OC =

，2sin 1CH COB OC ∴∠===．

60COB ∴∠=， 30BAC ∴∠=．

作OP AC ⊥于P ，则11

22OP OA ==．

②3.

E O C

的关系为2

222a r d ??

=+ ???.根据此公式,在a 、r 、d 三个量中,知道任何两个量就可

以求出第三个量.平时在解题过程中要善于发现并运用这个基本图形. 【例2】（安徽芜湖）如图，已知点E 是圆O 上的点，

B 、

C 分别是劣弧A

D 的三等分点， 46BOC ∠=，则AED ∠的度数为．

【解析】由B 、C 分别是劣弧AD 的三等分点知，圆心角∠AOB=∠BOC=∠COD, 又46BOC ∠=，所以∠AOD=138o.

根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。从而有AED ∠＝69o. 点评本题根据同圆或等圆中的圆心角、圆周角的关系。【强化练习】

【1】.如图，⊙O 是ABC 的外接圆，60BAC ∠=?，AD ，CE 分别是BC ，AB 上的高，且AD ，CE 交于点H ，求证：AH=AO

(1)如图，在⊙O 中，弦AC ⊥BD ，OE ⊥AB ，垂足为E ，求证：OE=1

(2)如图，AC ，BD 是⊙O 的两条弦，且ACBD ，⊙O 的半径为12

，求AB 2＋CD 2

的值。

【2】（第25题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．

（1）求∠ACB的度数；

（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长．

二、直线与圆的位置关系

基础知识链接：

1、直线与圆的位置关系有三种:

⑴如果一条直线与一个圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离.

⑵如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么就说这条直线与这个圆相切,此时这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点.

⑶如果一条直线与一个圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交,此时这条直线叫做圆的割线,这两个公共点叫做交点.

2、直线与圆的位置关系的判定；

3、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；

4. 和圆有关的比例线段

（1）相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；（2）推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；

（3）切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；

（4）推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

5. 三角形的内切圆

（1）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形；

6、圆的切线的性质与判定。

【例1】（甘肃兰州）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AE CD ⊥，垂足为E ，DA 平分BDE ∠．（1）求证：AE 是⊙O 的切线；

（2）若301cm DBC DE ∠==，，求BD 的长．

【解析】（1）证明：连接OA ，DA 平分BDE ∠，BDA EDA ∴∠=∠．

O A O D O D A =∴∠=∠，．OAD EDA ∴∠=∠．

O A C E ∴∥．

A E D E

⊥，9090AED OAE DEA ∴∠=∠=∠=，． A E O A ∴⊥．AE ∴是⊙O 的切线．

（2）BD 是直径，90BCD BAD ∴∠=∠=． 3060D B C B D C ∠=∠=，，120BDE ∴∠=．

DA 平分BDE ∠，60BDA EDA ∴∠=∠=．

30ABD EAD ∴∠=∠=．

在Rt AED △中，90302AED EAD AD DE ∠=∠=∴=，，

．在Rt ABD △中，903024BAD ABD BD AD DE ∠=∠=∴==，，

． DE 的长是1cm ，BD ∴的长是4cm ．

【点评】证明圆的切线，过切点的这条半径为必作辅助线.

即经过半径的外端且

垂直于这条半径的直线是圆的切线.

【例2】（广东茂名）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D 作DE ∥BC ，DE 交AB 的延长线于点E ，连结AD 、BD ．（1）求证：∠ADB =∠E ；

（2）当点D 运动到什么位置时，DE 是⊙O 的切线？请说明理由．（3）当AB =5，BC =6时，求⊙O 的半径．（4分）【解析】（1）在△ABC 中，∵AB =AC ， ∴∠ABC =∠C ．

∵DE ∥BC ，∴∠ABC =∠E ， ∴∠E =∠C ．又∵∠ADB =∠C ， ∴∠ADB =∠E ．

（2）当点D 是弧BC 的中点时，DE 是⊙O 的切线．

理由是：当点D 是弧BC 的中点时，则有AD ⊥BC ，且AD 过圆心O ．又∵DE ∥BC ，∴ AD ⊥ED ． ∴ DE 是⊙O 的切线．

（3）连结BO 、AO ，并延长AO 交BC 于点F ，

则AF ⊥BC ，且BF =21

BC =3．

又∵AB =5，∴AF =4．

设⊙O 的半径为r ，在Rt△OBF 中，OF =4－r ，OB =r ，BF =3， ∴ r 2＝32＋（4－r ）2 解得r ＝

825，∴⊙O 的半径是8

25．【点评】本题综合运用了等腰三角形的性质，圆的切线判定，解题最关键是抓住题中所给的已知条件，构造直角三角形，探索出不同的结论.

【例4】已知：如图7，点P 是半圆O 的直径BA 延长线上的点，PC 切半圆于C

点，CD ⊥AB 于D 点，若PA ：PC ＝1：2，DB ＝4，求tan ∠PCA 及PC 的长。

C B A

图7

证明：连结CB

∵PC切半圆O于C点，∴∠PCA＝∠B

∵∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB

∴AC：BC＝PA：PC

∴

∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°

又∵CD⊥AB

∴

∴AB＝AD＋DB＝5

∵

∴

【例5】已知：如图8，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D。

求证：（1）AC是⊙D的切线；

（2）AB＋EB＝AC

分析：（1）欲证AC与⊙D相切，只要证圆心D到AC的距离等于⊙D的半径BD。因此要作DF⊥AC于F

（2）只要证AC＝AF＋FC＝AB＋EB，证明的关键是证BE＝FC，这又转化为证△EBD ≌△CFD。

证明：（1）如图8，过D作DF⊥AC，F为垂足

∵AD是∠BAC的平分线，DB⊥AB，∴DB＝DF

∴点D到AC的距离等于圆D的半径

∴AC是⊙D的切线

（2）∵AB⊥BD，⊙D的半径等于BD，

∴AB是⊙D的切线，∴AB＝AF

∵在Rt△BED和Rt△FCD中，ED＝CD，BD＝FD

∴△BED≌△FCD，∴BE＝FC

∴AB＋BE＝AF＋FC＝AC

小结：有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法。此例题属于后一类

【例6】已知：如图9，AB为⊙O的弦，P为BA延长线上一点，PE与⊙O相切

于点E，C为中点，连CE交AB于点F。求证：

分析：由已知可得PE2＝PA·PB，因此要证PF2＝PA·PB，只要证PE＝PF。

即证∠PFE＝∠PEF。

证明一：如图9，作直径CD，交AB于点G，连结ED，

∴∠CED＝90°

∵点C为的中点，∴CD⊥AB，∴∠CFG＝∠D

∵PE为⊙O切线，E为切点

∴∠PEF＝∠D，∴∠PEF＝∠CFG

∵∠CFG＝∠PFE，∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF

∵PE2＝PA·PB，∴PF2＝PA·PB

证明二：如图9－1，连结AC、AE

图9－1

∵点C是的中点，∴，∴∠CAB＝∠AEC

∵PE切⊙O于点E，∴∠PEA＝∠C

∵∠PFE＝∠CAB＋∠C，∠PEF＝∠PEA＋∠AEC

∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF

∵PE2＝PA·PB，∴PF2＝PA·PB

【例7】（1）如图10，已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O 于F（不与B重合），直线l交⊙O于C、D，交BA延长线于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC、AD

图10 图10－1 求证：①∠BAD＝∠CAG；

②AC·AD＝AE·AF

（2）在问题（1）中，当直线l向上平行移动，与⊙O相切时，其它条件不变。

①请你在图10－1中画出变化后的图形，并对照图10标记字母；

②问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果

不成立，请说明理由。

证明：（1）①连结BD

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°

∴∠AGC＝∠ADB＝90°

又∵ACDB是⊙O内接四边形

∴∠ACG＝∠B，∴∠BAD＝∠CAG

②连结CF

∵∠BAD＝∠CAG，∠EAG＝∠FAB

∴∠DAE＝∠FAC

又∵∠ADC＝∠F，∴△ADE∽△AFC

∴，∴AC·AD＝AE·AF

（2）①见图10－1

②两个结论都成立，证明如下：

①连结BC，

∵AB是直径，∴∠ACB＝90°

∴∠ACB＝∠AGC＝90°

∵GC切⊙O于C，∴∠GCA＝∠ABC

∴∠BAC＝∠CAG（即∠BAD＝∠CAG）

②连结CF

∵∠CAG＝∠BAC，∠GCF＝∠GAC，

∴∠GCF＝∠CAE，∠ACF＝∠ACG－∠GFC，∠E＝∠ACG－∠CAE

∴∠ACF＝∠E，∴△ACF∽△AEC，∴

∴AC2＝AE·AF（即AC·AD＝AE·AF）

说明：本题通过变化图形的位置，考查了学生动手画图的能力，并通过探究式的提问加强了对学生证明题的考查，这是当前热点的考题，希望引起大家的关注。

【强化练习】

【1】（第22题）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．

（1）求AC、AD的长；（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

【2】（第23题）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．

（1）求证：AC是⊙O的切线．

（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．

【3】（第25题）如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．

（1）求证：△ABD≌△CDB；

（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．

【4】（第24题）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=2∠CAD．

（1）求∠D的度数；

（2）若CD=2，求BD的长．

【5】（第27题）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．

（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．

三、圆与圆的位置关系的考查

基础知识链接：如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,如图(1)、(2)、(3)所示．其中(1)又叫做外离,(2)、(3)又叫做内含．(3)中两圆的圆心相同,这两个圆还可以叫做同心圆．

如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,如图(4)、(5)所示．其中(4)又叫做外切,(5)又叫做内切．如果两个圆只有两个公共点,那么就说这两个圆相交,如图(6)所示．

【例1】（甘肃兰州）．如图是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是（）

A ．内含

B ．相交

C ．相切

D ．外离

【解析】图中的两圆没有公共点，且一个圆上的所有点都在另一个圆的外部，故两圆外离，选D.

【点评】圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含．其关系可以用圆与圆公共点的个数及点与圆的位置关系来判定, 也可以用数量关系来表示圆与圆的位置关系：

如果设两圆的半径为 1r 、

2r ,两圆的圆心距为d,则圆与圆的位置关系与数量关系如下表

【例2】（赤峰市）如图（1），两半径为r 的等圆⊙O 1和⊙O 2相交于M N ，

两点，

且⊙O 2过点1O ．过M 点作直线AB 垂直于MN ，分别交⊙O 1和⊙O 2于A B ，两点，连结NA NB ，．

（1）猜想点2O 与⊙O 1有什么位置关系，并给出证明；（2）猜想NAB △的形状，并给出证明；

（3）如图（2），若过M 的点所在的直线AB 不垂直于MN ，且点A B ，在点

M 的两侧，那么（2）中的结论是否成立，若成立请给出证明．

【解析】解：（1）2O 在1O 上证明：∵⊙O 2过点1O ，12O O r ∴=．又⊙O 1的半径也是r ，∴点2O 在⊙O 1上．（2）NAB △是等边三角形

证明：MN AB ⊥，90NMB NMA ∴∠=∠=． BN ∴是⊙O 2的直径，AN 是⊙O 1的直径，即2BN AN r ==，2O 在BN 上，1O 在AN 上．连结12O O ，则12O O 是NAB △的中位线． 1222AB O O r ∴==．

A B B N A ∴==，则NAB △是等边三角形．（3）仍然成立．

证明：由（2）得在⊙O 1中弧MN 所对的圆周角为60．

在⊙O 2中弧MN 所对的圆周角为60．∴当点A B ，在点M 的两侧时，在⊙O 1中弧MN 所对的圆周角60MAN ∠=，在⊙O 2中弧MN

所对的圆周角

图（1）

图（2）

图（1）

图（2）

MBN

∠=，

N A B

∴△是等边三角形．

注：（2），（3）是中学生猜想为等腰三角形证明正确给一半分．

【点评】相交两圆的连心线垂直平分公共弦，又且⊙O

2过点

O，构建对称性知，

⊙O

1过O

，再证△NAB是等腰三角形；（2）1是的基础上发散探究，具有一定的

开放性．

四、圆与多边形的计算考查

基础知识链接：

1、圆与正多边形的关系的计算；

2、弧长、扇形面积、圆锥侧面积全面积的计算.

【例1】（赣州）小芳随机地向如图所示的圆形簸箕内撒了几把豆子，则豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是

【解析】设圆的半径为1，则圆的面积为π，易算得正方形的边长为2，正方形

面积为2，则豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是2

【点评】本题考查的是几何概率，解题的关键是圆与圆内接正方形的面积，根据古典概型，可转化为面积之比.

【例2】两同心圆，大圆半径为３，小圆半径为１，则阴影部分面积为

【解析】根据大、小圆的半径，可求得圆环的面积为8π，图中的阴影面积为圆环面积的一半4π.

【点评】有关面积计算问题，不难发现，一些不规则的图形可转化为规则的图形计算，本题就较好的体现了转化方法和整体思想.

五、圆的综合性问题的考查

基础知识链接：圆的有关知识与三角函数、一次函数、二次函数等综合应用。【例1】如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与x轴、y轴分别相

交于()()8006A B --，、，两点．（1）求出直线AB 的函数解析式；

（2）若有一抛物线的对称轴平行于y 轴且经过点M ，顶点C 在⊙M 上，开口向下，且经过点B ，求此抛物线的函数解析式；

（3）设（2）中的抛物线交x 轴于D 、E 两点，在抛物线上是否存在点P ，使得

ABC PDE S S ??=

？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设AB 的函数表达式为.b kx y +=

∵()(),6,0,0,8--B A ∴???=-+-=.6,80b b k ∴?????

-=-=.6,

43b k

∴直线AB 的函数表达式为3

y x =--．

（2）设抛物线的对称轴与⊙M 相交于一点，依题意知这一点就是抛物线的顶点C 。又设对称轴与x 轴相交于点N ，在直角三角形AOB 中，

.10682222=+=+=OB AO AB

因为⊙M 经过O 、A 、B 三点，且为AB AOB ∴=∠,90 ⊙M 的直径，∴半径MA=5，∴N 为AO 的中点AN=NO=4，∴MN=3∴CN=MC -MN=5-3=2，∴C 点的坐标为（-4，2）．设所求的抛物线为c bx ax y ++=2

则?

???

-=-=-=∴???

????=-+-=-=-.6,4,21.6,4162,42c b a c c b a a b ∴所求抛物线为21

462

y x x =---

（3）令，0.6421

2=---x x 得D 、E 两点的坐标为D （-6，0）、E （-2，0），所以

DE=4．

又AC=∴=,54,52BC 直角三角形的面积.2054522

=??=?ABC S 假设抛物线上存在()1,2010

21101,±=∴?=??=??y y DE S S y x p ABC PDE

，即使得．

当.641;241±-=-=±-==x y x y 时，当时，故满足条件的存在．它们是

()()()()

12344,4,41,41P P P P -+-----．

【点评】本题是一次函数、二次函数与圆的综合性问题，解题的关键是抓住图

形中的点的坐标，运用待定系数数的方法求出解析式；【例2】（第27题）如图，在⊙O 的内接△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2BC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为E ．设P 是

上异于A ，C 的一个动点，

射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G ．

（1）求证：△PAC∽△PDF；（2）若AB=5，

，求PD 的长；

（3）在点P 运动过程中，设

=x ，tan∠AFD=y，

求y 与x 之间的函数关系式．（不要求写出x 的取值范围））证明：∵

∴∠DPF=180°﹣∠APD=180°﹣所对的圆周角=180°﹣

所对的圆周

∴BC=

∴AC=2

∴CE=AC?sin∠BAC=AC??

AE=AC?cos∠BAC=AC??

∴AP=

∴

∴PD=

，连接HB，以HB为直径作∴

∴y=tan∠AFD=tan∠PCA=tan∠HBG=

∵HG=tan∠HAG?AG=tan∠BAC?AG=

∴y=

，以O为圆心，OA长为半径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP=3．若点E是CD边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线EF∥BD 交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G．设CE=x，△EFG 与矩形ABCD重叠部分的面积为S．

（1）求证：四边形ABHP是菱形；

（2）问△EFG的直角顶点G能落在⊙O上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；

（3）求S与x之间的函数关系式，并直接写出FG与⊙O相切时，S的值．

第3题图

考点：圆的综合题；含30度角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性质；垂径定理；切线的性质；切线长定理；轴对称的性质；特殊角的三角函数值所有

专题：压轴题．

分析：（1）连接OH，可以求出∠HOD=60°，∠HDO=30°，从而可以求出AB=3，由HP∥AB，HP=3可证到四边形ABHP是平行四边形，再根据切线长定理可得

BA=BH，即可证到四边形ABHP是菱形．

（2）当点G落到AD上时，可以证到点G与点M重合，可求出x=2．

（3）当0≤x≤2时，如图①，S=S

△EGF

，只需求出FG，就可得到S与x之间的函

数关系式；当2＜x≤3时，如图④，S=S

△GEF ﹣S

△SGR

，只需求出SG、RG，就可得到

S与x之间的函数关系式．当FG与⊙O相切时，如图⑤，易得FK=AB=3，KQ=AQ ﹣AK=2﹣2+x．再由FK=KQ即可求出x，从而求出S．

解答：解：（1）证明：连接OH，如图①所示．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC=∠BAD=90°，BC=AD，AB=CD．

∵HP∥AB，

∴∠ANH+∠BAD=180°．

∴∠ANH=90°．

∴H N=PN=HP=．

∵OH=OA=，

∴sin∠HON==．

∴∠HON=60°

∵BD与⊙O相切于点H，

∴OH⊥BD．

∴∠HDO=30°．

∴OD=2．

∴AD=3．

∴BC=3．

∵∠BAD=90°，∠BDA=30°．

∴tan∠BDA===．

∴AB=3．

∵HP=3，

∴AB=HP．

∵AB∥HP，

∴四边形ABHP是平行四边形．

∵∠BAD=90°，AM是⊙O的直径，

∴BA与⊙O相切于点A．

∵BD与⊙O相切于点H，

∴BA=BH．

∴平行四边形ABHP是菱形．

（2）△E FG的直角顶点G能落在⊙O上．

如图②所示，点G落到AD上．

∵EF∥BD，

∴∠FEC=∠CDB．

∵∠CDB=90°﹣30°=60°，

∴∠CEF=60°．

由折叠可得：∠GEF=∠CEF=60°．

∴∠GED=60°．

∵CE=x，

∴GE=CE=x．ED=DC﹣CE=3﹣x．

∴cos∠GED===．

∴x=2．

∴GE=2，ED=1．

∴GD=．

∴OG=AD﹣AO﹣GD=3﹣﹣=．

∴OG=OM．

∴点G与点M重合．

此时△EFG的直角顶点G落在⊙O上，对应的x的值为2．∴当△EFG的直角顶点G落在⊙O上时，对应的x的值为2．（3）①如图①，

在Rt△EGF中，

tan∠FEG===．

∴FG=x．

∴S=GE?FG=x?x=x2．

②如图③，

ED=3﹣x，RE=2ED=6﹣2x，

GR=GE﹣ER=x﹣（6﹣2x）=3x﹣6．

∵tan∠SRG===，

∴SG=（x﹣2）．

∴S

△SGR

=SG?RG=?（x﹣2）?（3x﹣6）．=（x﹣2）2．

∵S

△GEF

=x2，

∴S=S

△GEF ﹣S

△SGR

=x2﹣（x﹣2）2．

=﹣x2+6x﹣6．

综上所述：当0≤x≤2时，S=x2；当2＜x≤3时，S=﹣x2+6x﹣6．

当FG与⊙O相切于点T时，延长FG交AD于点Q，过点F作FK⊥AD，垂足为K，如图④所示．

∵四边形ABCD是矩形，

∴BC∥AD，∠ABC=∠BAD=90°

∴∠AQF=∠CFG=60°．

∵OT=，

∴OQ=2．

∴AQ=+2．

∵∠FKA=∠ABC=∠BAD=90°，

∴四边形ABFK是矩形．

∴FK=AB=3，AK=BF=3﹣x．

∴KQ=AQ﹣AK=（+2）﹣（3﹣x）=2﹣2+x．

在Rt△FKQ中，tan∠FQK==．

∴FK=QK．

∴3=（2﹣2+x）．

解得：x=3﹣．

∵0≤3﹣≤2，

∴S=x2=×（3﹣）2

=﹣6．

∴FG与⊙O相切时，S的值为﹣6．

点评：本题考查了矩形的性质、菱形的性质、切线的性质、切线长定理、垂径定理、轴对称性质、特殊角的三角函数值、30°角所对的直角边等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，综合性非常强．

【例4】（第23题）如图1，在⊙O中，E是弧AB的中点，C为⊙O上的一动点（C 与E在AB异侧），连接EC交AB于点F，EB=（r是⊙O的半径）．

（1）D为AB延长线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与⊙O相切；

（2）求EF?EC的值；

（3）如图2，当F是AB的四等分点时，求EC的值．

EF=

AH==

∴HF=AH=

EF=

∴

∴EC=

(完整word版)初中的圆题型总结.doc

圆的基本题型纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；一般在 10 分－ 15 分左右，圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；利用圆的知识与其他知识点如代数函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位，另外与圆有关的实际应用题，阅读理解题，探索存在性问题仍是热门考题，应引起注意 . 下面究近年来圆的有关热点题型，举例解析如下。一、圆的性质及重要定理的考查基础知识链接：（ 1）垂径定理；（ 2）同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关系 .(3) 圆周角定理及推论（4）圆内接四边形性质【例 1】（江苏镇江）如图， AB 为⊙ O直径， CD 为弦，且 CD AB ，垂足为 H ．（1）OCD 的平分线 CE 交⊙ O于 E ，连结 OE ．求证： E 为弧 ADB的中点；（2）如果⊙ O的半径为 1，CD 3 ， ①求 O 到弦 AC 的距离； ②填空：此时圆周上存在个点到直线 AC 的距离为1．2 【解析】（1）OC OE ，E OCE C 又OCE DCE，E DCE．O E∥C．D A B O H E D 又 CD AB ，AOE BOE 90 ．E 为弧 ADB的中点．（2）①CD AB ， AB 为⊙ O的直径， CD 3 ， 1 CD 3 ．又OC CH 3 3 ． CH 1 ，sin COB 2 2 2 OC 1 2 COB 60 ，BAC 30 ．作 OP AC于 P，则 OP 1 OA 1 ．2 2 ②3.

【点评】本题综合考查了利用垂径定理和勾股定理及锐角三角函数求解问题的能力 . 运用垂径定理时，需添加辅助线构造与定理相关的“基本图形”. 几何上把圆心到弦的距离叫做弦心距, 本题的弦心距就是指线段OD的长 . 在圆中解有关弦心距半径有关问题时, 常常添加的辅助线是连半径或作出弦心距, 把垂径定理和勾股定理结合起来解题. 如图 , ⊙O的半径为r , 弦心距为 d , 弦长 a 之间 d 2a 2 的关系为 r 2 . 根据此公式 , 在 a 、r、d 三个量中 , 知道任何两个量就可 2 以求出第三个量 . 平时在解题过程中要善于发现并运用这个基本图形 . 【例】（安徽芜湖）如图，已知点 E 是圆 O上的点， 2 B、C分别是劣弧 AD 的三等分点，BOC 46 ，则 AED 的度数为．【解析】由B、C 分别是劣弧 AD 的三等分点知，圆心角∠∠∠ AOB= BOC= COD, 又 BOC 46 ，所以∠AOD=138o. 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。从而有AED ＝69o. 点评本题根据同圆或等圆中的圆心角、圆周角的关系。【强化练习】【1】. 如图，⊙O是 ABC的外接圆， BAC 60 ，AD，CE分别是 BC，AB上的高，且 AD， CE交于点 H，求证： AH=AO 1 (1)如图，在⊙ O中，弦 AC⊥BD， OE⊥AB，垂足为 E，求证： OE= CD 2 1 2 2 (2)如图， AC， BD是⊙ O的两条弦，且 ACBD，⊙ O的半径为，求 AB＋CD 的值。 2

圆周运动题型总结

一．角速度线速度周期之间的关系 1．做匀速圆周运动的物体，10s 内沿半径是20m 的圆周运动了100m ，试求物体做匀速圆周运动时：（1)线速度的大小；（2)角速度的大小；（3）周期的大小．【答案】（1）10/m s ；(2）0.5/rad s ；（3)12.56s 2．如图所示，两个小球固定在一根长为l 的杆的两端，绕杆上的O 点做圆周运动，当小球A 的速度为v A 时，小球B 的速度为v B ．则轴心O 到小球B 的距离是（ ) A ． B A B v l v v + B ．A A B v l v v + C ．A B A v v L v + D ．A B B v v L v + 【答案】A 3．转笔（Pen Spinning ）是一项用不同的方法与技巧、以手指来转动笔的休闲活动,如图所示．转笔深受广大中学生的喜爱，其中也包含了许多的物理知识，假设某转笔高手能让笔绕其上的某一点O 做匀速圆周运动,下列有关该同学转笔中涉及到的物理知识的叙述正确的是（） A ．笔杆上的点离O 点越近的，角速度越大 B ．笔杆上的点离O 点越近的,做圆周运动的向心加速度越大 C ．笔杆上的各点做圆周运动的向心力是由万有引力提供的 D ．若该同学使用中性笔,笔尖上的小钢珠有可能因快速的转动做离心运动被甩走【答案】D 二．传动装置 4．如图所示,A 、B 是两个靠摩擦传动且接触面没有相对滑动的靠背轮，A 是主动轮,B 是从动轮，它们的半径R A ＝2R B ， a 和b 两点在轮的边缘，c 和d 分别是A 、B 两轮半径的中点，下列判断正确的有 A ．v a = 2 v b B ．ωb = 2ωa C ．v c = v a D ．a c =a d 【答案】B 5．某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图所示,其半径分别为r 1、r 2、r 3，若甲轮的角速度为ω，则丙轮边缘上某点的向心加速度为 A ．32 21r r ω B. 12223r r ω C 。22223r r ω D 。 32 21r r r ω 【答案】A 6．如图所示的皮带传动装置中，轮A 和B 同轴，A 、B 、C 分别是三个轮边缘的质点，且RA=RC=2RB ，

《圆》题型总结

《圆》题型总结【圆的定义与确定】一、选择题 1.（2015春?张掖校级月考）有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；①直径是弦；①弦是直径；①半圆是弧，但弧不一定是半圆⑤长度相等的弧是等弧⑥经过圆内一定点可以作无数条直径⑦半径不等的圆叫做同心圆⑧优弧一定大于劣弧⑨不同的圆中不可能有相等的弦．其中错误说法的个数是（） A ．4 B ．5 C ． 6 D ．7 2. 平面上的一个点到圆的最小距离是4cm,最大距离是9cm ，则圆的半径是（）. A.2.5cm B.6.5cm C. 2.5cm 或6.5cm D. 5cm 或13cm 4.如图，已知①O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则①O 上到弦AB 所在直线的距离为2的点有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．已知：A ，B ，C ，D ，E 五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )． A ．5个圆 B ．8个圆 C ．10个圆 D ．12个圆 6. 如图，点A 、D 、G 、M 在半圆O 上，四边形ABOC ，DEOF ，HMNO 均为矩形，设BC=a,EF=b,NH=c, 则下列各式正确的是（） A.a ＞b ＞c B.b ＞c ＞a C.c ＞a ＞b D.a=b=c 第6题第7题二、填空题 7.如图，P(x ，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x 、y 都是整数，猜想这样的P 点一共有 . 8．若①ABC 中，①C=90°，AC=10cm ，BC=24cm ，则它的外接圆的直径为___________． 10.如图，在半径不等的同心圆中，圆心角①AOB 所对的的长度有__ ___关 5 5 -5 -5 P x y O

(完整版)初中圆题型总结

②3. 圆的基本题型纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；一般在 10 分－15分左右，圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；利用圆的知识与其他知识点如代数函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位，另外与圆有关的实际应用题，阅读理解题，探索存在性问题仍是热门考题，应引起注意 . 下面究近年来圆的有关热点题型，举例解析如下。一、圆的性质及重要定理的考查基础知识链接：（ 1）垂径定理；（ 2）同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关系 .（3）圆周角定理及推论（4）圆内接四边形性质【例 1】（江苏镇江）如图， AB 为⊙ O 直径， CD 为弦，且 CD AB ，垂足为 H ．（1） OCD 的平分线 CE 交⊙O 于 E ，连结OE ．求证： E 为弧 ADB 的中点； 2）如果⊙ O 的半径为 1，CD 3 ， ①求 O 到弦 AC 的距离； E 为弧 ADB 的中点． 2）①Q CD AB ， AB 为⊙ O 的直径， CD 3 ， 3 CH 1CD 3 ．又OC 1， sin COB CH 2 3 ． 2 2 OC 1 2 COB 60o ， BAC 30o ． 11 作OP AC 于 P ，则 OP OA ． ②填空：此时圆周上存在解析】（1）Q OC OE ，又 OCE DCE ， OE ∥CD ．又CD AB ， AOE BOE 90o ． E B DCE ．

且 AD ，CE 交于点 H ，求证： AH=AO 1 OE=2CD 【点评】本题综合考查了利用垂径定理和勾股定理及锐角三角函数求解问题的能力. 运用垂径定理时，需添加辅助线构造与定理相关的“基本图形”. 几何上把圆心到弦的距离叫做弦心距 , 本题的弦心距就是指线段 OD 的长. 在圆中解有关弦心距半径有关问题时 , 常常添加的辅助线是连半径或作出弦心距 ,把垂径定理和勾股定理结合起来解题 .如图, ⊙O 的半径为 r ,弦心距为 d,弦长a 之间 2 的关系为 r 2 d 2 a .根据此公式 ,在a 、r 、d 三个量中,知道任何两个量就可 2 以求出第三个量 . 平时在解题过程中要善于发现并运用这个基本图形 . 【例 2】（安徽芜湖）如图，已知点 E 是圆 O 上的点， B 、 C 分别是劣弧 A D 的三等分点， BOC 46o ，则 AED 的度数为．【解析】由 B 、C 分别是劣弧 AD 的三等分点知，圆心角∠ AOB=∠BOC=∠COD, 又 BOC 46o ，所以 ∠AOD=13o8. 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。从而有 AED ＝69o. 点评本题根据同圆或等圆中的圆心角、圆周角的关系。强化练习】 1】. 如图， ⊙O 是 ABC 的外接圆， BAC 60 ，AD ， CE 分别是 BC ，AB 上的高，，求 AB 2＋CD 2 的值。

2019中考数学辅导：圆的考点总结及题型分析

2019中考数学辅导：圆的考点总结及题型分析各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢一、考点分析考点考点一、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O 的距离为d，则有： d d=r点P在⊙O上; d>r点P在⊙O外。考点二、过三点的圆 1、过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 4、圆内接四边形性质圆内接四边形对角互补。考点三、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点; 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交d 直线l与⊙O相切d=r; 直线l与⊙O相离d>r; 考点四、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心;②过切点;③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。考点五、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆

初三数学圆的知识点总结及例题详解

圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧. 9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。直线与圆的位置关系 1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切. 2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角. 4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 5．垂直于半径的直线必为圆的切线. 6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线. 7．垂直于半径的直线是圆的切线. 8．圆的切线垂直于过切点的半径. 圆与圆的位置关系 1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切. 2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交. 4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条. 5．相切两圆的连心线必过切点. 正多边形基本性质 1．正六边形的中心角为60°. 2．矩形是正多边形. 3．正多边形都是轴对称图形. 4．正多边形都是中心对称图形.

圆的基本性质 1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数是 . A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 2．已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 3．已知：如图，⊙O 中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 4．已知：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则下列结论中正确的是 . A.∠A+∠C=180° B.∠A+∠C=90° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠B=90 5．半径为5cm 的圆中,有一条长为6cm 的弦,则圆心到此弦的距离为 . A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 6．已知：如图，圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50 7．已知：如图，⊙O 中,弧A B 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 . A.100° B.130° C.200° D.50 8. 已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 9. 在⊙O 中,弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离为3cm,则⊙O 的半径为 cm. A.3 B.4 C.5 D. 10 点、直线和圆的位置关系 1．已知⊙O 的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O 的距离为10㎝,那么这条直线和这个圆的位置关系为 . A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离 2．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交 3．已知圆O 的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P 和这个圆的位置关系是 A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定 4．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 . A.0个 B.1个 C.2个 D.不能确定 5．一个圆的周长为a cm,面积为a cm 2，如果一条直线到圆心的距离为πcm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 不能确定 6．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为6cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D.不能确定 7. 已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . ? ? C B A O ? B O C A D ? B O C A D ? B O C A D ? D B C A O ? D B C A O ? D B C A O

中考数学圆的解题方法归纳总结与例题分析报告

中考数学圆的解题方法归纳总结及例题分析 1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。例1：

例2：

2．遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。 3．遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。例题：如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D；求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线

解：（1）作出圆心O，以点O为圆心，OA长为半径作圆（2）证明：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°∴AD是⊙O的直径连结OC，∵∠A=∠B=30°，∴∠ACB=120°，又∵OA=OC，∴∠ACO=∠A =30° ∴∠BCO=∠ACB-∠ACO =120°-30°=90°∴BC⊥OC，∴BC是⊙O的切线. 4．遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：①可得等腰三角形； ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。如图，△ABC是⊙O的接三角形，AD是⊙O 的直径，若∠ABC=50°，求∠CAD的度数。解：连接CD，∠ADC=∠ABC=50°,∵AD是⊙O 的直径，∴∠ACD=90°∴∠CAD+∠ADC=90°∴∠CAD=90°-∠ADC=90°-50°= 40° 5．遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得到直角或直角三角形。（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

圆的知识点总结及典型例题.

圆的知识点总结（一）圆的有关性质［知识归纳］ 1. 圆的有关概念：圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 1

推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8. 轨迹轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。（1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆；（2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。［例题分析］例1. 已知：如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。图1 ①若AB ＝，ON＝1，求MN的长； ②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。解：①∵AB ＝，半径OM⊥AB，∴AN＝BN ＝ ∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2 ∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1 ②∵半径OM⊥AB，且∠AOB＝120°∴∠AOM＝60° 2

初中数学圆知识梳理题型归纳附答案-(详细知识点归纳中考真题)

圆【知识点梳理】一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ? d r < ? 点C 在圆内； 2、点在圆上 ? d r = ? 点B 在圆上； 3、点在圆外 ? d r > ? 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d r > ? 无交点； 2、直线与圆相切 ? d r = ? 有一个交点； 3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）? 无交点 ? d R r >+；外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+；相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+；内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-；内含（图5）? 无交点 ? d R r <-； A

五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =； ③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 图4 图5 B D

圆的方程题型总结含答案

圆的方程题型总结一、基础知识 1．圆的方程圆的标准方程为___________________；圆心_________，半径________. 圆的一般方程为___________ _________ ____；圆心________ ，半径__________. 二元二次方程2 2 0Ax Cy Dx Ey F 表示圆的条件为： (1)_______ _______； (2) _______ __ . 2.直线和圆的位置关系：直线0Ax By C ++=，圆2 2 2 ()()x a y b r -+-=，圆心到直线的距离为d. 则：（1）d=_________________；（2）当______________时，直线与圆相离；当______________时，直线与圆相切；当______________时，直线与圆相交；（3）弦长公式：____________________. 3. 两圆的位置关系圆1C :2 2 21 1 1x a y b r ；圆2C :2 2 22 2 2x a y b r 则有：两圆相离? _____________________；两圆外切 ?______________________；两圆相交?______________________；两圆内切?_____________________；两圆内含?_____________________.

二、题型总结：（一）圆的方程 1. ★2 2 310x y x y ++--=的圆心坐标，半径 . 2．★★点(1,2-a a )在圆x 2+y 2－2y －4=0的内部，则a 的取值范围是（） A ．－1所表示的曲线关于直线y x =对称，必有（） A ．E F = B ．D F = C ． D E = D ．,,D E F 两两不相等 4．★★★圆03222 2 2 =++-++a a ay ax y x 的圆心在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5. ★若直线34120x y 与两坐标轴交点为A,B,则以线段AB 为直径的圆的方程是（） A. 2 2430x y x y B. 22430x y x y C. 2 2 434 0x y x y D. 2 2 438 0x y x y 6. ★★过圆2 2 4x y +=外一点()4,2P 作圆的两条切线,切点为,A B ,则ABP ?的外接圆方程是（） A. 42x y --2 2 ()+()=4 B. 2x y -2 2 +()=4 C. 42x y ++2 2 ()+()=5 D. 21x y -+2 2 ()+()=5 7. ★过点1,1A ,1,1B 且圆心在直线20x y 上的圆的方程（） A. 2 2 3 14x y B.2 2 3 1 4x y C. 22 1 1 1x y D. 2 2 1 1 1x y 8．★★圆2 2 2690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是（） A ．2 2 (7)(1)1x y +++= B ．2 2 (7)(2)1x y +++= C ． 2 2 (6)(2)1x y +++= D ．2 2 (6)(2)1x y ++-=