可达矩阵的Warshall算法实现
迪杰斯特拉算法和Floyd算法实现无向图的最短路径的计算和求解
摘要本次课程设计主要核心为利用迪杰斯特拉算法和Floyd算法实现无向图的最短路径的计算和求解。
要求理解算法的具体实现流程、学会正确使用该算法求解实际问题。
本次课程设计具体内容是：通过对两个算法的理解与应用来比较两个算法的优缺点。
本程序要求结合最短路算法以及相应的数据结构的定义和使用，实现一个最短路径算法的简单应用。
本课程设计是对书本知识的简单应用，以此培养大家用书本知识解决实际问题的能力；培养实际工作所需要的动手能力；培养以科学理论和工程上能力的技术，规范地开发大型、复杂、高质量的应用软件和系统软件。
关键字：迪杰斯特拉算法，Floyd算法，最短路径，算法设计，数据结构目录摘要 --------------------------------------------------------------- 1一、Dijkstra算法--------------------------------------------------- 31.1定义概览 ---------------------------------------------------- 31.2算法描述 ---------------------------------------------------- 31.2.1算法思想：--------------------------------------------- 31.1.2算法步骤----------------------------------------------- 31.3算法代码实现 ------------------------------------------------ 41.4算法实例 ---------------------------------------------------- 5二、Floyd算法------------------------------------------------------ 72.1定义概览 ---------------------------------------------------- 72.2算法描述 ---------------------------------------------------- 72.2.1算法思想原理------------------------------------------- 72.3算法代码实现 ----------------------------------------------- 10三、结论 ---------------------------------------------------------- 11四、参考文献 ------------------------------------------------------ 12一、Dijkstra算法1.1定义概览Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
图的矩阵表示
4 4
2 6
6 51 215
1设G=<V,E>是简单图,令V={v1,v2,v3,…,vn}, G的
10 2 2 0 b)每行中1的个数为对应结点 1 vi与ej关联 12 0 0 2 从邻接矩阵看图的性质: 1 vi与vj邻接, 即(vi,vj)∈E 或 < vi,vj >∈E
010 01 0 0110
00010
01001
00010
01001
P=A∨A(2)∨A(3)∨A(4)∨A(5) A(5)=A(3)
11111 01011 P= 11111 01011 01011
G2 v1 v3
3*.用可达矩阵求强分图.
出有两个强分图:{v1,v3}和{v2,v4,v5} 下面看怎样用P求强分图.
例如,G2如图所示, 求它的 可达矩阵P.
G2
v1
v2
v3
v4
v5
00100
10010
01101
10010
00010
01011
01011
01011
A= 10010 A(2) = 01101 A(3) = 10010 A(4) = 01101 =A(2)
01001
00010
01000
00010
用的例v4求度如0传 数 ,0给递.0定0闭无1包0向的1图WGa1rs和ha有ll算向法1图0,G见012P如1116图610.所0示0:
21111
v1
1310
2
v2
v3
例 b这p)ij每如是= 行p,以T给中i结j定=1点1的A无与个向(结G 数图点为G1之)1对和间应有的结向邻点1图0接G1关12如系00图确00所定1示的1:矩阵.
离散数学传递闭包求法
离散数学传递闭包求法一、引言离散数学是计算机科学中的重要分支，它研究离散对象及其关系的数学理论。
其中，传递闭包是离散数学中的一个重要概念，它在图论、关系代数等领域有着广泛的应用。
本文将介绍传递闭包的求法，以及其在实际应用中的作用。
二、传递闭包的定义传递闭包是指在一个关系上，若存在从一个元素到另一个元素的路径，则这两个元素之间存在传递关系。
传递闭包就是将这些传递关系全部加入到原有关系中所得到的新关系。
例如，若关系R={(1,2),(2,3)}，则其传递闭包为R*={(1,2),(2,3),(1,3)}。
三、传递闭包的求法1. Warshall算法Warshall算法是一种经典的传递闭包求法，其基本思想是利用矩阵乘法的性质，通过多次迭代来求得传递闭包。
具体步骤如下：（1）初始化矩阵T为原有关系矩阵R；（2）对于矩阵T中的每一个元素T[i][j]，若存在T[i][k]和T[k][j]均为1，则将T[i][j]置为1；（3）重复执行步骤（2），直到矩阵T不再发生变化。
最终得到的矩阵T即为原有关系R的传递闭包。
2. Floyd算法Floyd算法也是一种常用的传递闭包求法，其基本思想是通过多次迭代来求得传递闭包。
具体步骤如下：（1）初始化矩阵T为原有关系矩阵R；（2）对于矩阵T中的每一个元素T[i][j]，若存在T[i][k]和T[k][j]均为1，则将T[i][j]置为1；（3）重复执行步骤（2），直到矩阵T不再发生变化。
最终得到的矩阵T即为原有关系R的传递闭包。
四、传递闭包的应用传递闭包在实际应用中有着广泛的应用，例如：1. 图论中的可达性分析：通过求解传递闭包，可以判断图中任意两个节点之间是否存在路径，从而进行可达性分析。
2. 关系代数中的等价类划分：通过求解传递闭包，可以将原有关系划分为若干个等价类，从而进行等价类划分。
3. 数据库中的关系查询：通过求解传递闭包，可以进行关系查询，例如查询某个节点的所有后继节点。
变电站巡检机器人路径规划及视觉系统设计
第28卷1、引言电力巡检机器人应用对象为电力供电公司无人职守或少人值守的变电站，可代替人工完成变电站高压变电设备的巡检作业。
使用机器人进行巡检作业一方面可以减少人员疏忽、漏检等带来的设备损失，提高电网的运行质量；另一方面可以减少供电系统的人员投入，降低人员成本。
变电站设备巡检机器人整体系统结构主要包括：基站、移动体控制系统、以及可见光摄像机、红外图像摄像机等。
机器人系统为变电站设备非电气信号的采集提供了一个移动载体平台，在这个平台上可以搭建不同的检测系统或装置，如远程在线式红外热成像仪系统、可见光图像采集处理系统、声音采集处理系统和移动物体闯入报警系统。
2、变电站现场的图论模型在车载电池供电情况下，如何利用有限的电源快速而准确地优选巡检的“可行”路径显得尤为重要。
根据实际环境和拓扑法[1]建立环境地图，靠光电传感器与电感式开关定位使机器人感知外界路径的变化。
通过采用图论来实现寻迹功能，可在有效节省电池能源的前提下准确、高效、自主地进行路径选择和定位。
常见的图的存储方式主要有邻接矩阵和邻表。
本文设计了一矩阵类(Matrix Class)动态定义数组大小，这种数组存储方式可以很方便地实现邻接矩阵的定义、存储，对于改变矩阵大小，可以通过改变存储矩阵中的行列参数即可。
用邻接矩阵表示系统的内部节点关系并进行存储，通过分析考察研究对象图中顶点间路径的关联情况，从而查找出全部的有效路径。
3、路径搜索的图论算法及实现对于计划监测节点，通常希望获取其他节点与之关联的信息。
统计所有关联节点，进行分析。
鉴于实际变电站构建情况，应做适当简化假设：首先，所研究的图无自环流的节点；其次，变电站内布局较为规范，以此生成的图亦相对有序，也为地图信息编译工作降低了难度。
路径搜索的经典算法是求单源最短路径的迪杰斯特拉（Dijkstra ）算法[2]和求顶点最短路径的弗洛伊德（Floyd ）算法[3][4]。
两者都可实现顶点间是否存在路径的判断，但是由于这两种算法主要针对路径长短的最优性，所以需要对考察路径进行存储和比较判断，因此占用微机资源，延长了计算时间，在单一的查询路径环节并不能发挥其算法优势。
基于宽带空地通信系统的MIMO天线技术研究
信息记录材料2019年8月第20卷第8期（信息：技禾与应用］基于宽带空地通信系统的MIMO天线技术研究-W-氾荣（伊犁师范大学电子与信息工程学院新疆伊宁835000）【摘要】MIMO天线技术作为当前网络传输领域研究的重点，在网络环境下数据信息的定点传输，可有效提升系统内信号传输的效率，并提升信道容量。
文章对MIM0天线技术进行论述，对MIMO系统的关键技术进行研究，并对此类技术的发展方向进行展望.【关键词】宽带空地通信系统；MIMO;天线技术【中图分类号】TN99【文献标识码】A【文章编号】1009-5624（2019）08-0073-021引言近年来，在科学技术的不断发展下，无线通信网络由1G时期逐渐向4G时期所转变，当下5G传输技术已逐步迈入商用阶段。
网络通讯技术的大力发展，可为其覆盖区域内的用户提供媒体业务、宽带业务、信息业务等，以满足用户使用需求。
MIMO天线技术是对数据信息进行精准传递，依托于发射天线、接收天线、译码设施等，可有效实现网络覆盖区域内的效率型传输，并提升信号传输的质量，以保证各项业务模式的正常化操作。
2MIMO天线技术论述MIMO技术可为通讯网络提供多点位传输模式，在资源等量的情况下，可完成信号信息空间定向传输，实现对接型收发，以提升实际传输质量与传输效率。
MIMO 在实际应用过程中，是将发射端的信号进行点位映射，传输到天线设备中，与此同时，接收端对天线设备接收到的信息进行译码，以此来翻译出发射端信号的传输内容。
MIMO系统模型在建构过程中，是以信号源为基准，在空时译码器的作用下，对发射端、接收端的信息进行预处理，以保证信号在此类传输空间内可进行信号映射一译码一恢复一读取等流程，进而完成数据信息的定向传输，如图1所示。
此类多信道定点传输模式可有效提升信道容量，解决频谱资源不兼容的问题，为无线通信领域提供技术保障。
图1MIMO模型"丫7空■丫丈空射3基于宽带空地通信系统的MIMO天线技术研究3.1BLAST关键技术对于MIMO天线技术来讲，其是对网络系统内信号进行分类传输，在空时编码的应用下，可对衰减信号进行全面检索与收集，进而提升系统内信号传输的精度与稳定度。
周晓聪_zxc_g2basic基本概念
24
2.6 Hamilton 道路
[定理2-8] 若G=(V, E)是一个Hamilton图，SV且S，
则 G的子图GS的连通分支数 W(GS) |S|
[证明] 记G中H-回路为C，C中包含了G中所有顶点。 考察CS：每从C中去除属于S的一个顶点，连通分 支数至多增加1（第一次以及当该顶点处于边缘时 操作不会增加连通分支数），故 W(CS) |S|
2.1 图的概念
[有向图] 设V是一个非空有限集，A是V上的二元关
系。二元组 G=(V,A) 称为（有向）图，V 中元素
称为顶点，A 中元素称为弧（有向边）。
关系A的关系图就是图G的图解。
[自环] A中的自反性图解为环形，称为自环。
[多重边] 在表达实际问题的图解中可能出现重复的
关系定义，称为多重边。
定义其关联集、邻接集如下：
Inc(vi)={ek |(vj)(vjV ek=(vi, vj)E)} Adj(vi)={vj | vjV(ek)(ek=(vi, vj)E)} [正负度] 对G=(V, A) ， vi V，分别定义其正度、负 度、度如下：Deg+(vi) = |Inc+(vi)| Deg(vi) = |Inc(vi)| Deg(vi) = Deg+(vi) + Deg(vi)
11
2.3 同构
[自补图] 图 G=(V,A)，~G是G的补图。若G ~G，则
称图G是自补的（或自补图）。
[例 ]
12
2.4 道路与回路
[有向道路] 有向图G=(V, A) 中，一条有向道路指的是
一个点与弧的有限非空交替序列
= v0 a1 v1 a2 v2 …… ak vk (k1) 其中 viV ( i =0.. k ), ajA ( j =1..k ) 且 aj= <vj1, vj> ( j=0.. k ) v0 和vk分别称为的起点和终点，k称为的长度。
认知诊断理论及其应用
认知诊断理论及其应用作者：郭磊来源：《心理技术与应用》2013年第02期摘要：只能提供单一总分结果的测验已不能满足当前教育教学的需求。
认知诊断理论的出现弥补了只能报告单一总分的缺陷，可提供更加丰富的测量信息，即能够测量出学生在学科知识点上的掌握情况，为教师的教学活动提供个性化的指导。
本文主要介绍了认知诊断的发展历程、相关理论、主要的认知诊断模型、测验编制方法、效度检验及其在实践中的应用等六个方面，以期认知诊断理论能被更多的心理学工作者熟悉，推动该理论日后的发展及运用。
关键词：认知诊断理论；认知诊断模型；测验编制；效度；应用当前大部分测验只能提供单一的测验总分或能力值，但是具有相同分数或能力值学生的认知结构（或称知识状态）可能不同，因此，对他们采取的教学补救措施是不一样的。
由此产生了一个很重要的问题：如何才能精确地测量出学生的知识状态呢？认知诊断理论能够回答该问题。
一、认知诊断的发展理论和实际需求推动了认知诊断的快速发展。
理论上，认知诊断的计量模型可以提供一个有效机制来验证认知理论；实践中，美国政府于2001年提出的《不让一个孩子掉队》的法案更是促进了认知诊断的蓬勃发展。
其实早在20世纪80年代，就已经有众多学者开始注重认知科学和心理测量学的结合对教育领域的指导作用。
Glaser曾批判传统的教育测验缺乏对被测心理特征的关注[1]，Snow和Lohman在其编写的《认知心理学对教育测量的影响》中曾预测，教育测验可能会要求提供更多的学习诊断及教学指导信息。
Nichols首次将认知科学和心理测量学的结合称作认知诊断评估，并在1995年出版专著《认知诊断评估》，从而使得该名称沿用至今[2]。
Stout认为在21世纪，认知诊断将会成为新的测验范式[3]，并得到广泛的研究。
许多认知诊断研究者先后出版专著，从各个角度详细地介绍了认知诊断理论及其应用，其中包括：Leighton和Gierl在2007年出版的《教育认知诊断评估：理论及应用》[4]，Tatsuoka于2009年出版的《认知评估：规则空间简介》[5]，以及Rupp等人于2010年出版的《诊断测量：理论，方法及应用》[6]。
离散数学实验报告）
离散数学实验报告）离散数学实验报告()————————————————————————————————作者:————————————————————————————————⽇期：《离散数学》实验报告专业⽹络⼯程班级姓名学号授课教师⼆Ｏ⼀六年⼗⼆⽉⽬录实验⼀联结词的运算实验⼆根据矩阵的乘法求复合关系实验三利⽤ｗarsｈａｌl算法求关系的传递闭包实验四图的可达矩阵实现实验⼀联结词的运算⼀．实验⽬的通过上机实验操作,将命题连接词运算融⼊到C语⾔的程序编写中，⼀⽅⾯加强对命题连接词运算的理解，另⼀⽅⾯通过编程实现命题连接词运算,帮助学⽣复习和锻炼C语⾔知识,将理论知识与实际操作结合，让学⽣更加容易理解和记忆命题连接词运算。
⼆．实验原理(１) ⾮运算, 符号：?，当P=Ｔ时，?P为F, 当Ｐ=F时，?Ｐ为Ｔ。
(２) 合取，符号: ∧ , 当且仅当P和Q的真值同为真，命题P∧Q的真值才为真；否则，P∧Q的真值为假。
(３) 析取, 符号：∨ , 当且仅当P和Q的真值同为假，命题P∨Q的真值才为假；否则,Ｐ∨Q的真值为真。
（4) 异或，符号: ▽，当且仅当Ｐ和Ｑ的真值不同时，命题P▽Q的真值才为真;否则，P▽Q的真值为真。
(５) 蕴涵, 符号: → , 当且仅当P为T，Q为F时，命题Ｐ→Q的真值才为假;否则，P→Ｑ的真值为真。
(６) 等价, 符号: ?，当且仅当Ｐ,Q的真值不同时,命题P?Q的真值才为假；否则，Ｐ→Q的真值为真。
三.实验内容编写⼀个程序实现⾮运算、合取运算、析取运算、异或运算、蕴涵运算、等价运算。
四．算法程序#inｃlude＜stdｉｏ.h>ｖoｉd mａiｎ(){pｒintｆ（"请输⼊P、Q的真值\n")；ｉｎt a,ｂ;scanｆ（"%d%d",&a,&b);ｉnt c,d;if(a＝=1)ｃ=0;eｌｓe c=1;if（b==1)ｄ=0;ｅlse d=1；printf("⾮Ｐ、Q的结果为%d，%d＼n",c，d）；iｎt e;iｆ(a＝=1&＆b==1)e=1；ｅｌｓe e=0;pｒintｆ("合取的结果为%d＼n＂,e）;inｔf;if(a==0&&b==０)ｆ=0;elｓe f=1;printf("析取的结果为％ｄ\n",f);ｉnｔg;ｉｆ（a==1&＆ｂ＝=0）ｇ=0;eｌse g=１;ｐriｎtf（"单条件的结果为%ｄ＼n",ｇ);iｎtｈ;iｆ(ａ==b）h=1;eｌse h＝０;printf("双条件的结果为%d\n"，h）;}内容格式:新罗马,五号，⾏间距固定值１８磅五．实验结果六.⼼得体会通过编程,学会了析取、合取、单条件连接词、双条件连接词的⽤法。
离散数学第7章 图论 习题
1 0 1 10
A=
1 0 0 00
1 0 1 00
0 0 0 00 i=4时，因为A[4,2]=1，将第四行
用Warshall算法求可
加到第2行，A不变。
达性矩阵。
i=5时，因为A的第5列全为0，所
i=1时，因为A的第一行 以A不变。
0 0 0 00
全为0，所以A不变。
i=2时，因为A的第2列 全为0，所以A不变。
充分性。 如果边e不包含在G的任一条回路中，那么连接结点u和v的边只 有e，而不会有其它连接u和v的任何路。因为如果连接u和v还有 不同于边e的路，此路与边e就组成一条包含边e的回路，从而导 致矛盾。所以删去边e后，u和v就不连通，故边e是割边。
300页（2） 如果u可达v，它们之间可能不止一条
路，在所有这些路中，最短路的长度 称为u和v之间的距离（或短程线）， 记作d<u,v>，如果从u到v是不可达的， 则通常写成 d<u,v> =∞
2
练习7-2（2）：若无向图G中恰有两个奇数度的结点， 则这两个结点之间必有一条路。
证明：设无向图G中两个奇数度的结点为u和v。 从u开始构造一条迹，即从u出发经关联于结点u的边e1到达结点 u1，若deg(u1)为偶数,则必可由u1再经关联于结点u1的边e2到达结 点u2,如此继续下去,每边只取一次,直到另一个奇数度结点停止, 由于图G中只有两个奇数度结点,故该结点或是u或是v。如果是v, 那么从u到v的一条路就构造好了。如果仍是结点u,此路是闭迹。
第7章 习题课
离散数学第7章 图论 习题
1
练习7-1（6）简单图的最大度小于结点数。
证明：设简单图G中有n个结点。 任取一个结点v， 由已知G是简单图没有环和重边，
佛洛依德算法
佛洛依德算法佛洛依德算法（Floyd-Warshallalgorithm）是一种经典的图论算法，用于求解任意两点之间的最短路径。
它由美国计算机科学家罗伯特·弗洛伊德（Robert Floyd）和另一位科学家斯蒂芬·沃沃舍尔（Stephen Warshall）在1959年独立提出，因此得名。
该算法的基本思想是动态规划。
具体来说，它通过不断更新每个顶点到其他顶点的最短路径长度，逐步得到所有顶点之间的最短路径。
该算法的时间复杂度为 O(n^3)，其中 n 表示图的顶点数，因此它适用于较小规模的图。
下面我们来详细介绍一下佛洛依德算法的实现过程。
1. 初始化首先，我们需要将每个顶点之间的距离初始化为它们之间的实际距离（如果存在直接连接的边），或者无穷大（如果它们之间没有直接连接的边）。
同时，对于每个顶点 i，我们将其到自身的距离设为0。
2. 逐步更新接下来，我们通过逐步更新每个顶点之间的距离，逐步得到它们之间的最短路径。
具体来说，我们假设 k 是当前已经处理完的顶点中的最大编号，然后对于每一对顶点 i 和 j，我们检查是否存在一条从 i 到 j 经过顶点 k 的路径，如果存在，就更新 i 到 j 的最短距离为 i 到 k 的距离加上 k 到 j 的距离，即：dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j])其中 dist[i][j] 表示顶点 i 到顶点 j 的最短距离。
这个公式的含义是，我们考虑从 i 到 j 经过顶点 k 的路径是否更短，如果更短，就更新最短距离。
3. 完成最后，当 k 逐渐增大直到达到 n-1（即所有顶点都被处理完毕），我们就得到了所有顶点之间的最短路径。
下面是佛洛依德算法的具体实现代码（使用 Python 语言）：```pythondef floyd_warshall(graph):n = len(graph)dist = [[float('inf') for _ in range(n)] for _ in range(n)] for i in range(n):for j in range(n):if i == j:dist[i][j] = 0elif graph[i][j] != 0:dist[i][j] = graph[i][j]for k in range(n):for i in range(n):for j in range(n):dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j])return dist```该函数的参数 graph 表示输入的邻接矩阵，返回值 dist 表示每个顶点之间的最短距离。
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３ ２
安徽大学学报 （ 自然科学 版）
第３ ５卷
图 １所示 为一 有 向图 ， 称矩 阵 Ａ 为有 向图 Ｇ的邻 接矩 阵 则
ＶＩ Ｖ２
Ｖ４
Ｖ３
图 １ 有 向图 Ｇ
Ｆ ｇ １ Ｄｉｅ ｔ ｄ ｇ ａ ｈ ｉ． ｒｃｅ ｒ ｐ
ｌ
２
３
４
５
１
２１ ０ １年 ７月
安徽 大学学报（自然科学 版）
Ｊｕｎｌ ｆ ｎ ｕ Ｕ ｉｅ ｉ （ ａ ｒｌ ｃｅｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒａ ｏ Ａ ｈ ｉ ｎ ｒ ｔ Ｎ ｔ ａ Ｓ ｉ ｅＥ ｉｏ ） ｖ ｓｙ ｕ ｎ ｉ
Ｊ ｌ ０ １ ｕｙ２ １
Ｖｏ ． ５ Ｎｏ ４ １３ ．
第３ ５卷 第 ４期
可达矩 阵的 Ｗａｓａ 算法 实现 ｒｈ ｌ ｌ
叶 红
（ 安徽工业 大学 计算机学院 ， 安徽 马鞍山 摘 ２ ３０ ） ４ ０ ０
要： 通过图的矩阵表示可 以得 到图的很 多重要性 质 ， 邻接 矩阵看作 图 的结 点集 的关 系矩 阵 ， 将
由此可 以产生可达矩 阵 ， 从而可 以反 映图中各结 点间是 否有路 ． 达矩 阵可用 Ｗａｓａ 算 法求得 ， 可 ｒ ｌ ｈｌ 作者 用Ｖ Ｂ实现 了该算法 ． 关键词 ： 图的矩阵 ； 邻接矩 阵 ； ｒ ａｌ 法 ； Ｂ； Ｗａｓ ｌ算 ｈ Ｖ 可达矩 阵
阵 也可 以用Βιβλιοθήκη Ｗａ ｈｌ算法 计算 得 到． ｒａ ｓ ｌ
１ 相 关 定 义 和 定 理
定义 １ 设 Ｇ＝ ， ） （ Ｅ 是一简单有向图， 结点集为 ＝ ， ， ， ）． ｛ … 构造矩阵 Ａ＝（ … ， 中： 口） 其
一
ｆ ， 邻接 ， １
口 ０ 邻 或 ｉ 不 曩 ， 者
Ｋｅ ｒ ｓ ｇａ ｈｍ ｔｘ ｄａｅ ｃ ａ ｘ ｙｗｏｄ ： ｐ ａ ，ａｊｃｎｙｍ ｔ ，Ｗａｓａ ｌｏ ｔｍ， Ｂ， ｅｃａ ｉｔ ｍ ｔｘ ｒ ｉ ｒ ｉ ｒ ｒ ｌ Ａｇｒｈ Ｖ ｒａｈ ｂｌｙ ａ ｈ ｌ ｉ ｉ ｒ ｉ
图论 是近 年来 发展 迅速 且应 用广 泛 的一 门新兴 学科 ， 最 早起 源 于 一些 数 学游 戏 的难 题 研究 ， 它 如 迷 宫 、 门博 奕 、 匿 棋盘 上 马 的路 线 、 四色 和 哈密顿 环球 旅行 等 问题 ． 图论 中许 多概 论 和定理 的建 立都 与 解 决这 些 问题 有关 ． 着实 际 的需 要 和科 学技 术 的发展 ， 近半个 世 纪 内 ， 随 在 图论 得 到 了迅 猛 的发展 ， 到 受
ｗｈ ｃ ｃ ｕ ｄ ｒ ｆｅ ｔ ｔｅ ｇ ａ ｈ ｂ ｔ ｅ ｈｅ ｎ ｄｅ ｆ ｔ ｒ ｒ ｏ ｄ ． Ｍａ ｒｘ ｃ ｕ ｄ ｂ ｂｔｉ ｅ ａ ｓ ａｌ ｉｈ、ｏ ｌ ｅｌ ｃ ｈ ｒ ｐ ｅ ｗｅ ｎ ｔ ｏ ｓ ｉ ｈｅ ｅ ｗｅ ｅ ｒ ａ ｓ ｔ ｏ ｌ ｅ ｏ ａｎ ｄ ｂｙ Ｗ ｒ ｈ ｌ ｉ ａ ｇ ｒｔ ｍ ．Ｉ ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ，ｔ ｌｏ ｉｈ ｉ ｅ ｎ ｅ ｌｏ ｉ ｈ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ｈｅ ａ ｇ ｒｔ ｍ ｍｐｌｍｅ ｔ ｄ ＶＢ．
工程界和数学界的特别重视 ， 成为解决许多实际问题的基本工具之一． 用矩阵表示图 ， 便于用代数方法 来研究 图的性质及构造算法 ， 也便于用计算机来处理图． 图的矩阵表示 的常用形式有 ： 邻接矩阵、 可达矩 阵和关 联矩 阵 ． 邻接 矩 阵和 可达 矩 阵常用 于研 究 图的各 种 道路 问题 ． 者 研究 在 用邻 接矩 阵 表示 图 时 ， 作 考虑如何将邻接矩阵看作 图的结点集的关系矩阵 ， 这样可达矩阵即为 的传递闭包 ］实现可达矩 ，
收 稿 日期 ： １ — ０ １ ２ ０ １— ７ ０
基金项 目： 安徽 省教育厅 自然科学基金资助项 目（ Ｊ０ ８ １５ Ｋ２０Ｂ０ ） 作者简介 ： 叶 红（ ９ １ ） 女 ， １７ 一 ， 安徽桐城人 ， 安徽工业大学讲师 ， 硕士． 引文格式 ： 叶红 ． 可达矩阵 的 Ｗａｓａ 算法实现 ［ ］ 安徽大学学 报 ： ｒ ｌ ｈｌ Ｊ． 自然科学版 ， １ ，５ ４ ：１ ３ ２ ｉ３ （ ） ３ — ５ ０
ａｊｃｎ ｙｍａ ｘ ｏ ｅ ｇ ｐ ｏ ｅ ｓｔｗ ｓｒｇｒｅ ｓｔｅ ｒｌ ｉ ｓｉ ｔｘ ｈ ｔｘ ｃｕｄ ｇｎ ｒ ｅ ｄａ ｅｃ ｔ ｆｔ ｒ ｈ ｎ ｄ ｅ ａ ｅａｄ ｄ ａ ｈ ｅ ｔ ｎｈｐ ｍａ ，ｔｅｍａ ｏ ｌ ｅ ｅａ ｉ ｒ ｈ ａ ａｏ ｉ ｒ ｉ ｒ ｔ
中图分类号 ：Ｐ９ Ｔ３ １ 文献标 志码 ： Ａ 文章编号 ：００ ２ ６ （０ １０ － ０ １ ０ １０ — １２ ２ １ ）４ ０ ３ － ５
Ｒｅ ｃ ａ ｉｉｙ ｍ ａ ｒｘ ｂ ａ ｓ ａ ｌａ ｇ ｒｔ ａ ａ ｈ ｂ ｌ ｔ ｉ ｙ Ｗ ｒ ｈ ｌ ｌｏ ｉｍ ｔ
０ ０ ０ １ ｌ
１ ０ １ ０ ｌ
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ＹＥ Ｈｏ ｇ ｎ
（ ｃｏｌ ｆ ｏ ｕｅ， ｎ ｕ Ｕ ｉｅ ｉ ｆ ｅｈ ｏ ｇ ， ａｓａ ２ ３ ０ ，Ｃ ｉａ Ｓ ｈｏ ｏ ｍｐｔｒ Ａ ｈｉ ｎｖｒ ｔ ｏ Ｔ ｃｎ ｌ ｙ Ｍａｎｈｎ ４ ０ ０ ｈｎ ） Ｃ ｓｙ ｏ Ａｂ ｔａ ｔ Ａ ｏ ｆｉ ｏｔｎ ｒｐ ｒｉｓｏ ｒｐ ｓｃ ｎ ｂ ｎ ｉａｅ ｙ ｍａｒ ｈ ｏ ｇ ｈ ｒｐ ， ｈ ｎ ｓｒ ｃ ： ｌｔｏ ｍｐ ｒ ｔｐ ｏ ｅ ｅ ｆｇａ ｈ ａ ｅ ｉｄｃｔｄ ｂ ｔ ｘ ｔｒｕ ｈ ｔｅ ｇａ ｈ ｗ ｅ ａ ｔ ｉ