内蒙古包头市第十一中学2015届高三上学期期末考试数学(文)试卷word版含答案
【数学】2015-2016年内蒙古包头九中高三(上)期中数学试卷与答案(文科)
2015-2016学年内蒙古包头九中高三（上）期中数学试卷（文科）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合（∁U M）∩N等于（）A．{2，3}B．{2，3，5，6}C．{1，4}D．{1，4，5，6}2．（5分）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）在△ABC中，，AC=1，∠B=30°，△ABC的面积为，则∠C=（）A．30°B．45°C．60°D．75°5．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=（）A．5 B．6 C．7 D．86．（5分）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）A．B．C．D．7．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A．4 B．5 C．6 D．79．（5分）已知函数，若，则f（﹣a）=（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=（）A．B．C．D．11．（5分）函数y=的图象与函数y=2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．8 B．6 C．4 D．212．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．（5分）已知α∈（，π），tan（α+）=，则sinα+cosα=．14．（5分）已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=．15．（5分）若直线l：+=1（a＞0，b＞0）经过点（1，2），则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是．16．（5分）已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为．三.解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．（12分）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．18．（12分）等比数列{a n}的前n 项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列（1）求{a n}的公比q；（2）若a1﹣a3=3，b n=na n．求数列{b n}的前n 项和T n．19．（12分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，sinCcosC﹣cos2C=，且c=3（1）求角C（2）若向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a、b的值．20．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=AB=2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D ﹣ABC，如图2所示．（1）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；（2）求点C到平面ABD的距离．21．（12分）已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB 于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（10分）已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．（10分）设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．2015-2016学年内蒙古包头九中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合（∁U M）∩N等于（）A．{2，3}B．{2，3，5，6}C．{1，4}D．{1，4，5，6}【解答】解：由补集的定义可得∁U M={2，3，5，6}，则（∁U M）∩N={2，3}，故选：A．2．（5分）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【解答】解：∵复数z满足z（1﹣i）=2i，∴z==﹣1+i故选：A．3．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）在△ABC中，，AC=1，∠B=30°，△ABC的面积为，则∠C=（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解答】解：∵△ABC中，B=30°，AC=1，AB=，由正弦定理可得：=，∴sinC=，∴C=60°或120°，C=60°时，A=90°；C=120°时A=30°，当A=90°时，∴△ABC的面积为•AB•AC•sinA=，当A=30°时，∴△ABC的面积为•AB•AC•sinA=，不满足题意，则C=60°．故选：C．5．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=（）A．5 B．6 C．7 D．8﹣S n=36，得：a n+1+a n+2=36，【解答】解：由S n+2即a1+nd+a1+（n+1）d=36，又a1=1，d=2，∴2+2n+2（n+1）=36．解得：n=8．故选：D．6．（5分）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）A．B．C．D．【解答】解：A中，的三视图为：，满足条件；B中，的侧视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；C中，的侧视图和俯视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；D中，的三视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；故选：A．7．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选：A．8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．第一次运行：满足条件，s=1，k=1；第二次运行：满足条件，s=3，k=2；第三次运行：满足条件，s=11＜100，k=3；满足判断框的条件，继续运行，第四次运行：s=1+2+8+211＞100，k=4，不满足判断框的条件，退出循环．故最后输出k的值为4．故选：A．9．（5分）已知函数，若，则f（﹣a）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）==1+，∴f（﹣x）=1﹣，∴f（x）+f（﹣x）=2；∵f（a）=，∴f（﹣a）=2﹣f（a）=2﹣=．故选：C．10．（5分）在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=（）A．B．C．D．【解答】解：若|+|=|﹣|，则=，即有=0，E，F为BC边的三等分点，则=（+）•（+）=（）•（）=（+）•（+）=++=×（1+4）+0=．故选：B．11．（5分）函数y=的图象与函数y=2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：函数y1=，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，如图，当1＜x≤4时，y1＜0而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（1，）和（，）上是减函数；在（，）和（，4）上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：x A+x H=x B+x G=x C+x F=x D+x E=2，故所求的横坐标之和为8．故选：A．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．（5分）已知α∈（，π），tan（α+）=，则sinα+cosα=．【解答】解：∵∴解得tanα=，∵，∵sin2α+cos2α=1…①tanα=，…②解①②得sinα=，cosα=﹣∴sinα+cosα==﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=．【解答】解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故答案为．15．（5分）若直线l：+=1（a＞0，b＞0）经过点（1，2），则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是3+2．【解答】解：∵直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）∴=1，∴a+b=（a+b）（）=3+≥3+2，当且仅当b=a时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2．故答案为：3+2．16．（5分）已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为4π．【解答】解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=×2R，∴AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2﹣AC2=R2，所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=R2，又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，=×R××R2=，∴V P﹣ABC即R3=9，R3=3，=×πR3=×π×3=4π．所以：球的体积V球故答案为：三.解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．（12分）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．【解答】解：（I）f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x …（2分）=sin（2x﹣）+．…（4分）函数f（x）的最小正周期为T=π．…（6分）因为﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，所以函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，．…（8分）（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]sin（2x﹣）∈[﹣，1]，…（10分）所以函数f（x）的值域为f（x）∈[0，1+]．…（12分）18．（12分）等比数列{a n}的前n 项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列（1）求{a n}的公比q；（2）若a1﹣a3=3，b n=na n．求数列{b n}的前n 项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵等比数列{a n}的前n 项和为S n，∴当q=1时，S1=a1，S3=3a1，S2=2a1，不是等差数列，当q≠1时，S n=，∵S1，S3，S2成等差数列∴2S3=S1+S2，化简得出：2q2﹣q﹣1=0，解得：，q=1（舍去）（Ⅱ）∵a1﹣a3=3，∴a1﹣a1=3，a1=4∵b n=na n．a n=n﹣1∴b n=na n=4n×（）n﹣1∴T n=4[1+2×（﹣）+3×（﹣）2+…+（n﹣1）（﹣）n﹣2+n（﹣）n﹣1]﹣T n=4[1×（﹣）+2×（﹣）2+3×（﹣）3+…+（n﹣1）（﹣）n﹣1+n（﹣）n]错位相减得出T n=4[1+（﹣）+（﹣）2+（﹣）3+n﹣1]nT n=4[﹣n×（）n]，T n=×（1﹣（﹣）n）n（﹣）nT n=（﹣）n n（﹣）n19．（12分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，sinCcosC﹣cos2C=，且c=3（1）求角C（2）若向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a、b的值．【解答】解：（1）∵，∴∴sin（2C﹣30°）=1∵0°＜C＜180°∴C=60°（2）由（1）可得A+B=120°∵与共线，∴sinB﹣2sinA=0∴sin（120°﹣A）=2sinA整理可得，即tanA=∴A=30°，B=90°∵c=3．∴a=，b=220．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=AB=2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D ﹣ABC，如图2所示．（1）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；（2）求点C到平面ABD的距离．【解答】（1）取CD的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，∵E，F分别为AC，DC的中点，∴EF为△ACD的中位线∴AD∥EF，EF⊆平面EFB，AD⊄平面EFB∴AD∥平面EFB．（2）设点C到平面ABD的距离为h，∵平面ADC⊥平面ABC，且BC⊥AC，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AD，而AD⊥DC•∴AD⊥平面BCD，即AD⊥BD•∴•∴三棱锥B﹣ACD的高BC=2，S=2，△ACD∴=∴可解得：h=．21．（12分）已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解答：（I）函数的f（x）的导数f′（x）=，∵过点A（2，f（2））的切线斜率为2，∴f′（2）==2，解得a=4．…（2分）（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a（1﹣）=a（lnx﹣1+）；则函数的导数g′（x）=a（）．…（4分）令g′（x）＞0，即a（）＞0，解得x＞1，∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．∴g（x）最小值为g（1）=0，故f（x）≥a（1﹣）成立．…（6分）（Ⅲ）令h（x）=alnx+1﹣x，则h′（x）=﹣1，令h′（x）＞0，解得x＜a．…（8分）当a＞e时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）＞h（1）=0．…（9分）当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减，∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．…（10分）当a≤1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）≥0，∵h（e）=a+1﹣e＜0不合题意．…（11分）综上，a≥e﹣1…（12分）【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB 于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．【解答】解：（I）∵CF=FG∴∠CGF=∠FCG∵AB圆O的直径∴∵CE⊥AB∴∵∴∠CBA=∠ACE∵∠CGF=∠DGA∴∴∠CAB=∠DAC∴C为劣弧BD的中点（5分）（II）∵∴∠GBC=∠FCB∴CF=FB又因为CF=GF∴BF=FG（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（10分）已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【解答】解：（I）l的普通方程为y=（x﹣1），C1的普通方程为x2+y2=1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣）所以|AB|==1；（II）曲线C2：（θ为参数）．设所求的点为P（cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d==[sin（）+2]当sin（）=﹣1时，d取得最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．（10分）设函数f （x ）=|2x +1|﹣|x ﹣4|． （1）解不等式f （x ）＞0；（2）若f （x ）+3|x ﹣4|≥m 对一切实数x 均成立，求m 的取值范围． 【解答】解：（1）当x ≥4时，f （x ）=2x +1﹣（x ﹣4）=x +5＞0， 得x ＞﹣5，所以x ≥4成立；当﹣≤x ＜4时，f （x ）=2x +1+x ﹣4=3x ﹣3＞0， 得x ＞1，所以1＜x ＜4成立；当x ＜﹣时，f （x ）=﹣x ﹣5＞0，得x ＜﹣5，所以x ＜﹣5成立． 综上，原不等式的解集为{x |x ＞1或x ＜﹣5}； （2）令F （x ）=f （x ）+3|x ﹣4|=|2x +1|+2|x ﹣4| ≥|2x +1﹣（2x ﹣8）|=9， 当﹣时等号成立．即有F （x ）的最小值为9， 所以m ≤9．即m 的取值范围为（﹣∞，9]．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xxx x(q)0x则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
2023届内蒙古包头市高三最后一模数学试题含解析
2023年高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z 满足(1)21z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若直线不平行于平面，且，则（ ）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交3．若()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为-12，则实数a 的值为（ ）A ．-2B ．-3C ．2D ．34．已知函数2(0)()ln (0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围（ ）． A ．[0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,)+∞D ．[,1)-∞5．如图，已知平面αβ⊥，l αβ⋂=，A 、B 是直线l 上的两点，C 、D 是平面β内的两点，且DA l ⊥，CB l ⊥，3AD =，6AB =，6CB =．P 是平面α上的一动点，且直线PD ，PC 与平面α所成角相等，则二面角P BC D--的余弦值的最小值是（ ）A ．55B ．32C ．12D ．16．在ABC ∆中，AB AC AB AC +=-，4AB =，3AC =，则BC 在CA 方向上的投影是（ ） A ．4B ．3C ．-4D ．-37．点P 为棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点M 为11B C 的中点，若满足DP BM ⊥，则动点P 的轨迹的长度为（ ） A ．55π B ．255πC ．455πD ．855π8．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1252a a +=，234+=a a ，则10S =（ ） A ．85B ．852C ．35D ．3529．在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P −ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．12πB ．21π2C ．41π4D ．10π10．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '，当0x ≥时，恒有())03(xf f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（ ）．A ．{|31}x x -<<-B ．1{|1}3x x -<<- C ．{|3x x <-或1}x >-D ．{|1x x <-或1}3x >-11．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）A ．16πB ．323πC ．23πD ．2053π12．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）A ．74B ．5627C ．2D ．16481二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2015-2016年内蒙古包头市包钢四中高一上学期期末数学试卷(理科)与答案Word版
2015-2016学年内蒙古包头市包钢四中高一（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（5.00分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{0，2，3，4}D．{0，2，4}2．（5.00分）若函数f（x）=，则f（f（10））=（）A．lg101 B．2 C．1 D．03．（5.00分）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，+∞）4．（5.00分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．35．（5.00分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=（）X6．（5.00分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π7．（5.00分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．π B．4πC．4πD．6π8．（5.00分）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β，⇒m∥nC．m∥n，n⊥α⇒m⊥α D．m⊥α，m⊥n⇒n∥α9．（5.00分）设a=60.7，b=0.76，c=log0.76，则a，b，c这三个数的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b10．（5.00分）直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0平行，则直线l的方程是（）A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y+7=0 C．2x﹣3y+5=0 D．2x﹣3y+8=011．（5.00分）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．27πB．9πC．3πD．π12．（5.00分）函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．[3，+∞）C．{﹣3}D．（﹣∞，5）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案写在题中横线上）13．（5.00分）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是．14．（5.00分）已知函数f（x）=﹣x2+2x+3在[0，3]上的最小值为．15．（5.00分）如图所示，空间四边形ABCD中，AB=CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，则EF和AB所成的角为．16．（5.00分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD ⊥l，D为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则CD=．三．解答题：（本大题共6小题，共70分，其中22题为10分，其余均为12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知集合A={x|2≤x＜7}，B={x|3＜x＜10}，C={x|x＜a}（1）求A∪B，（∁R A）∩B（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．18．（12.00分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA ⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC．19．（12.00分）已知直线l1：ax+2y+6=0和l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0（a≠1），试求a为何值时，（1）l1∥l2；（2）l1⊥l2．20．（12.00分）求与直线3x+4y+1=0平行且在两坐标轴上截距之和为的直线l 的方程．21．（12.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；（2）证明AE⊥平面PCD．22．（12.00分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=．（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB；（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣P的大小．2015-2016学年内蒙古包头市包钢四中高一（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（5.00分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{0，2，3，4}D．{0，2，4}【解答】解：∵∁U A={0，4}，∴（∁U A）∪B={0，2，4}；故选：D．2．（5.00分）若函数f（x）=，则f（f（10））=（）A．lg101 B．2 C．1 D．0【解答】解：因为函数f（x）=，所以f（10）=lg10=1；f（f（10）=f（1）=2．故选：B．3．（5.00分）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，+∞）【解答】解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；故选：C．4．（5.00分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【解答】解：∵当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，∴f（﹣1）=2（﹣1）2﹣（﹣1）=3，又∵f（x）是定义在R上的奇函数∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣3故选：A．5．（5.00分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=（）X【解答】解：对于A：y=x3是奇函数，对于B：y=|x|+1为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增；对于C：y=﹣x2+1为偶函数，但在（0，+∞）上单调递减；对于D：y=是减函数；故选：B．6．（5.00分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π【解答】解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面为S=4π×12+π×12×2+2π×1×3=12π故选：D．7．（5.00分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．π B．4πC．4πD．6π【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球的体积为：=4π．故选：B．8．（5.00分）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β，⇒m∥nC．m∥n，n⊥α⇒m⊥α D．m⊥α，m⊥n⇒n∥α【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A、若平面AC是平面α，平面BC1是平面β，直线AD是直线m，点E，F分别是AB，CD的中点，则EF∥AD，EF是直线n，显然满足α∥β，m⊂α，n⊂β，但是m与n异面；B、若平面AC是平面α，平面A1C1是平面β，直线AD是直线m，A1B1是直线n，显然满足m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，但是α与β相交；D、若平面AC是平面α，直线AD是直线n，AA1是直线m，显然满足m⊥α，m⊥n，但是n∈α；故选：C．9．（5.00分）设a=60.7，b=0.76，c=log0.76，则a，b，c这三个数的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b【解答】解：∵a=60.7＞60=1，0＜b=0.76＜0.7，c=log0.76＜log0.71=0，∴c＜b＜a．故选：A．10．（5.00分）直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0平行，则直线l的方程是（）A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y+7=0 C．2x﹣3y+5=0 D．2x﹣3y+8=0【解答】解：设与直线2x﹣3y+4=0平行的直线方程为2x﹣3y+c=0，把点P（﹣1，2）代入可得﹣2﹣6+c=0，c=8，故所求的直线的方程为2x﹣3y+8=0，故选：D．11．（5.00分）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．27πB．9πC．3πD．π【解答】解：由题意，正方体的对角线就是球的直径，∴2R=3，∴R=，∴S=4πR2=27π．故选：A．12．（5.00分）函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．[3，+∞）C．{﹣3}D．（﹣∞，5）【解答】解：函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴x=1﹣a，又函数在区间（﹣∞，4）上是减函数，可得1﹣a≥4，得a≤﹣3．故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案写在题中横线上）13．（5.00分）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是（﹣，+∞）．【解答】解：要使函数的解析有有意义则2x+1＞0故函数的定义域为（﹣，+∞）由于内函数u=2x+1为增函数，外函数y=log5u也为增函数故函数f（x）=log5（2x+1）在区间（﹣，+∞）单调递增故函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是（﹣，+∞）故答案为：（﹣，+∞）14．（5.00分）已知函数f（x）=﹣x2+2x+3在[0，3]上的最小值为0．【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，故在[0，3]上，函数的对称轴为x=1，开口向下，当x=3时，函数取得最小值为0；故答案为：0．15．（5.00分）如图所示，空间四边形ABCD中，AB=CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，则EF和AB所成的角为45°．【解答】解：取AC的中点M，连接EM、FM．∵E为BC的中点，∴EM∥AB且EM=AB；同理：FM∥CD且FM=CD，∴∠FEM为异面直线AB、EF所成的角，又∵AB⊥CD，AB=CD，∴FM=EM，FM⊥EM，∴△EFM为等腰直角三角形，∴∠FEM=45°故答案是45°．16．（5.00分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则CD=．【解答】解：连接BC，∵AC⊥l，α⊥β，α∩β=l，∴AC⊥β，BC⊂β，∴AC⊥BC，同理BD⊥α，CD⊂α，BD⊥CD，设CD=x，BC2=12+x2，AB2=BC2+AC2=1+1+x2=4，∴x=，故答案是．三．解答题：（本大题共6小题，共70分，其中22题为10分，其余均为12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知集合A={x|2≤x＜7}，B={x|3＜x＜10}，C={x|x＜a}（1）求A∪B，（∁R A）∩B（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，集合A={x|2≤x＜7}，B={x|3＜x＜10}，所以A∪B={x|2≤x＜10}，又∁R A={x|x＜2或x≥7}，则（∁R A）∩B={x|7≤x＜10}，（2）因为A∩C≠φ，且C={x|x＜a}，所以a＞2．18．（12.00分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA ⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC．【解答】（Ⅰ）证明：∵在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，∴AC⊥AB，AC⊥PA，又AB∩PA=A，∴AC⊥平面PAB，∵PB⊂平面PAB，∴AC⊥PB．（Ⅱ）证明：连接BD，与AC相交于O，连接EO，∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，又E是PD的中点，∴EO∥PB，又PB不包含于平面AEC，EO⊂平面AEC，∴PB∥平面AEC．19．（12.00分）已知直线l1：ax+2y+6=0和l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0（a≠1），试求a为何值时，（1）l1∥l2；（2）l1⊥l2．【解答】解：（1）∵l1：ax+2y+6=0和l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0（a≠1），l1∥l2，∴，解得a=﹣1．（2）∵l1：ax+2y+6=0和l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0（a≠1），l1⊥l2，∴a+2（a﹣1）=0，解得a=．20．（12.00分）求与直线3x+4y+1=0平行且在两坐标轴上截距之和为的直线l 的方程．【解答】解：方法一，设直线l的方程为3x+4y+m=0﹣﹣﹣﹣（3分）令x=0得y轴上的截距b=﹣﹣﹣﹣（5分）令y=0得x轴上的截距a=﹣﹣﹣﹣（7分）所以+（）=﹣﹣﹣﹣（9分）解得m=﹣4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）所以所求直线方程为3x+4y﹣4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）方法二：设直线l的方程为+=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以a+b=﹣﹣﹣﹣（5分）﹣﹣﹣﹣（8分）解得a=b=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以所求直线方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）即3x+4y﹣4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；（2）证明AE⊥平面PCD．【解答】（1）解：在四棱锥P﹣ABCD中，因PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，故PA⊥AB．又AB⊥AD，PA∩AD=A，从而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中，AB=PA，故∠APB=45°．所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°．（2）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PA．因为CD⊥AC，PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．又AE⊂平面PAC，所以AE⊥CD．由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA．因为E是PC的中点，所以AE⊥PC．又PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．22．（12.00分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=．（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB；（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣P的大小．【解答】证明：（I）如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE ⊥AB，又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE，而PA∩AB=A，因此BE⊥平面PAB．又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．解：（II）由（I）知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE．又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A﹣BE﹣P的平面角．在Rt△PAB中，．．故二面角A﹣BE﹣P的大小为60°．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性函数的 性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)．>f(x ．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．yxo②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性函数的 性 质定义图象判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2015-2016年内蒙古包头一中高一(上)数学期末试卷及答案
2015-2016学年内蒙古包头一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分，把唯一正确的答案的代码填在答题卡上）1．（5.00分）已知集合M=﹛x|﹣3＜x≤5﹜，N=﹛x|x＜﹣5或x＞5﹜，则M∪N=（）A．﹛x|x＜﹣5或x＞﹣3﹜B．﹛x|﹣5＜x＜5﹜C．﹛x|﹣3＜x＜5﹜D．﹛x|x＜﹣3或x＞5﹜2．（5.00分）函数y=f（x）的图象与直线x=1的公共点数目是（）A．1 B．0 C．0或1 D．1或23．（5.00分）方程|x2﹣2|=lgx的实数根的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．无数个4．（5.00分）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）A．B．4 C．D．25．（5.00分）直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与直线b的关系是（）A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥b D．a与b不一定垂直6．（5.00分）已知log a＜1，则a的取值范围是（）A．B．（）C．（D．7．（5.00分）经过点P（0，﹣1）作直线l，若直线l与连接A（1，﹣2），B（2，1）的线段没有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．[﹣1，1]D．（﹣1，1）8．（5.00分）已知直线经过点A（﹣2，0），B（﹣5，3），则该直线的倾斜角为（）A．150°B．135°C．75°D．45°9．（5.00分）设n∈N*，n＞1，根据n次方根的意义，下列各式①（）n=a；②不一定等于a：③n是奇数时=a；④n为偶数时，=|a|，其中正确的有（）A．①②③④B．①③④C．①②③D．①②④10．（5.00分）已知正三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=1，且PA，PB，PC两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．3πD．12π11．（5.00分）函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是（）A．B．C．D．12．（5.00分）三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=DB=DC=3，BC=4，AD=，则二面角A﹣BC﹣D的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，将正确答案写在题中横线上）13．（5.00分）给出下列命题：①点P是△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC于点O，若PA=PB=PC，则O是△ABC的外心；②两条直线和一个平面成等角，则这两条直线平行；③三个平面两两相交，则三条交线一定交于一点；④三个平面最多将空间分成8部分；⑤正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AC与BC1所成角为60°．其中正确的命题有．（填序号）14．（5.00分）已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是．15．（5.00分）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β=l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α．其中所有的真命题的序号是．16．（5.00分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）=．三、解答题（本大题共6小题，共计70分，解答应写出必要的文字说明和解题步骤）17．（10.00分）已知直线l1：ax﹣y+a=0，l2：（2a﹣3）x+ay﹣a=0．（1）若l1∥l2，求a的值；（2）若l1⊥l2，求a的值．18．（12.00分）求符合下列条件的直线方程．（1）过点P（3，﹣2），且与直线4x+y﹣2=0平行；（2）过点P（3，﹣2），且在两轴上的截距互为相反数．（3）过点P（3，﹣2），且与两坐标轴围成的三角形面积为5．19．（12.00分）在直三棱柱ABC﹣ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=1．（1）求异面直线B1C1与AC所成的角的大小；（2）若A1C与平面ABC所成角为45°，求三棱锥A1﹣ABC的体积．20．（12.00分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．21．（12.00分）设0≤x≤2，求函数y=的最大值和最小值．22．（12.00分）设f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=lg（x2﹣ax+10），a∈R．（1）若f（1）=1，求f（x）的解析式；（2）若a=0，不等式f（k•2x）+f（4x+k+1）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f（x）的值域为R，求a的取值范围．2015-2016学年内蒙古包头一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分，把唯一正确的答案的代码填在答题卡上）1．（5.00分）已知集合M=﹛x|﹣3＜x≤5﹜，N=﹛x|x＜﹣5或x＞5﹜，则M∪N=（）A．﹛x|x＜﹣5或x＞﹣3﹜B．﹛x|﹣5＜x＜5﹜C．﹛x|﹣3＜x＜5﹜D．﹛x|x＜﹣3或x＞5﹜【解答】解：在数轴上画出集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|x＜﹣5或x＞5}，则M∪N={x|x＜﹣5或x＞﹣3}．故选：A．2．（5.00分）函数y=f（x）的图象与直线x=1的公共点数目是（）A．1 B．0 C．0或1 D．1或2【解答】解：若函数在x=1处有意义，在函数y=f（x）的图象与直线x=1的公共点数目是1，若函数在x=1处无意义，在两者没有交点，∴有可能没有交点，如果有交点，那么仅有一个．故选：C．3．（5.00分）方程|x2﹣2|=lgx的实数根的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．无数个【解答】解：设y=|x2﹣2|=，y=lgx，在同一坐标系中作出其简图，如图，由图知，这两个函数图象的交点有两个，它们都在第一角限，如图．∴方程|x2﹣2|=lgx的实数根的个数是2．故选：B．4．（5.00分）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）A．B．4 C．D．2【解答】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得这个几何体是一个四棱锥由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2故底面菱形的面积为=2侧棱为2，则棱锥的高h==3故V==2故选：C．5．（5.00分）直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与直线b的关系是（）A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥b D．a与b不一定垂直【解答】解：∵直线a⊥平面α，直线b∥α，∴由线面垂直的性质定理得：直线a与直线b垂直，且a，b有可能相交，有可能异面垂直，故选：C．6．（5.00分）已知log a＜1，则a的取值范围是（）A．B．（）C．（D．【解答】解：∵∴①当a＞1时，a＞∴a＞1②当0＜a＜1时，a＜∴0＜a＜综上：a的取值范围是；故选：A．7．（5.00分）经过点P（0，﹣1）作直线l，若直线l与连接A（1，﹣2），B（2，1）的线段没有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．[﹣1，1] D．（﹣1，1）【解答】解：k PA==﹣1，k PB==1．∵直线l与连接A（1，﹣2）、B（2，1）的线段没有公共点，∴得k＜k PA或k l＞k PB，∴k＞1或k＜﹣1．故选：A．8．（5.00分）已知直线经过点A（﹣2，0），B（﹣5，3），则该直线的倾斜角为（）A．150°B．135°C．75°D．45°【解答】解：∵直线经过点A（﹣2，0），B（﹣5，3），∴其斜率k=．设其倾斜角为θ（θ∈[0，π）），则tanθ=﹣1．∴θ=135°．故选：B．9．（5.00分）设n∈N*，n＞1，根据n次方根的意义，下列各式①（）n=a；②不一定等于a：③n是奇数时=a；④n为偶数时，=|a|，其中正确的有（）A．①②③④B．①③④C．①②③D．①②④【解答】解：∵n∈N*，n＞1，∴①（）n=a，；②=，不一定等于a；③n是奇数时=a；④n为偶数时，=|a|．故选：A．10．（5.00分）已知正三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=1，且PA，PB，PC两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．3πD．12π【解答】解；∵正三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=1，且PA，PB，PC两两垂直，∴该三棱锥外接球与以PA，PB，PC为棱长的正方体的外接球的半径相同，∴正方体的体对角线长等于正方体的外接球的半径，∴2R==，R=，∴该三棱锥外接球的表面积为4π×（）2=3π，故选：C．11．（5.00分）函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函数过点（1，1），当0＜x＜1时，y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣+1＜0．∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数；若当x＞1时，y=e lnx﹣x+1=1，故选：D．12．（5.00分）三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=DB=DC=3，BC=4，AD=，则二面角A﹣BC﹣D的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：取BC中点O，连结AO，DO，∵三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=DB=DC=3，BC=4，AD=，∴AO⊥BC，DO⊥BC，∴∠AOD是二面角A﹣BC﹣D的平面角，AO=DO==，∴AO=DO=AD=，∴∠AOD=60°．∴二面角A﹣BC﹣D的大小为60°．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，将正确答案写在题中横线上）13．（5.00分）给出下列命题：①点P是△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC于点O，若PA=PB=PC，则O是△ABC的外心；②两条直线和一个平面成等角，则这两条直线平行；③三个平面两两相交，则三条交线一定交于一点；④三个平面最多将空间分成8部分；⑤正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AC与BC1所成角为60°．其中正确的命题有①④⑤．（填序号）【解答】解：①点P是△ABC所在平面外一点，∵PO⊥平面ABC于点O，PA=PB=PC，∴OA=OB=OC，∴O是△ABC的外心，故①正确；②两条直线和一个平面成等角，则这两条直线平行、相交或异面，故②错误；③三个平面两两相交，则三条交线交于一点或三条交线重合，故③错误；④一切豆腐切三刀，最多切8块，∴三个平面最多将空间分成8部分，故④正确；⑤正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AC与BC1所成角为∠A1C1B，∵△A1C1B是等边三角形，∴∠A1C1B=60°．∴直线AC与BC1所成角为60°，故⑤正确．故答案为：①④⑤．14．（5.00分）已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（﹣4，4] ．【解答】解：设g（x）=x2﹣ax+3a，根据对数函数及复合函数的单调性知：g（x）在[2，+∞）上是增函数，且g（2）＞0；∴；∴﹣4＜a≤4；∴实数a的取值范围是（﹣4，4]．故答案为：（﹣4，4]．15．（5.00分）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β=l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α．其中所有的真命题的序号是①②．【解答】解：由α和β为不重合的两个平面，知：在①中，若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则由面面平行的判定定理得α∥β，故①正确；在②中，若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则由线面平行的判定定理得l∥α，故②正确；③设α∩β=l，若α内有一条直线垂直于l，则α与β相交但不一定垂直，例如翻开一本书时，书的下边总与书脊垂直，但书的两个平面并不总是垂直，故③错误；④若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l与α不一定垂直，当直线l与平面α内的两条平行线垂直时，直线l与平面α有可能相交但不垂直，只有当直线l与平面α内的两条相交直线垂直时，才有l⊥α，故④错误．故答案为：①②．16．（5.00分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）=﹣1．【解答】解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1三、解答题（本大题共6小题，共计70分，解答应写出必要的文字说明和解题步骤）17．（10.00分）已知直线l1：ax﹣y+a=0，l2：（2a﹣3）x+ay﹣a=0．（1）若l1∥l2，求a的值；（2）若l1⊥l2，求a的值．【解答】解：（1）∵l1∥l2，∴a≠0，两条直线方程分别化为：y=ax+a，y=﹣x+1，∴a=﹣，a≠1．解得a=﹣3．（2）当a=0时，两条直线方程分别化为：y=0，x=0，此时两条直线相互垂直，满足条件，∴a=0．当a≠0时，∵l1⊥l2，∴a×=﹣1，a=2．∴综上可得：a=0或a=2．18．（12.00分）求符合下列条件的直线方程．（1）过点P（3，﹣2），且与直线4x+y﹣2=0平行；（2）过点P（3，﹣2），且在两轴上的截距互为相反数．（3）过点P（3，﹣2），且与两坐标轴围成的三角形面积为5．【解答】解：（1）设与直线4x+y﹣2=0平行的直线方程为：4x+y+m=0，把点P（3，﹣2）代入可得：12﹣2+m=0，解得m=﹣10，∴要求的直线方程为：4x+y﹣10=0．（2）当直线经过原点时，可得直线方程为：y=x，化为2x+3y=0．当直线不经过原点时，可设直线方程为：x﹣y=a，把点P（3，﹣2）代入可得：3﹣（﹣2）=a，解得a=5，综上可得：要求的直线方程为：2x+3y=0，或x﹣y﹣5=0．（3）设直线方程为：y=kx+b，与坐标轴相交于两点A（0，b），B（﹣，0）．则﹣2=3k+b，=5．解得：k=，b=．或k=，b=．19．（12.00分）在直三棱柱ABC﹣ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=1．（1）求异面直线B1C1与AC所成的角的大小；（2）若A1C与平面ABC所成角为45°，求三棱锥A1﹣ABC的体积．【解答】解：（1）∵BC∥B1C1，∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角（或它的补角）∵∠ABC=90°，AB=BC=1，∴∠ACB=45°，∴异面直线B1C1与AC所成角为45°．（2）∵AA1⊥平面ABC，∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角，∠ACA=45°．∵∠ABC=90°，AB=BC=1，AC=，∴AA1=．×AA1=．∴三棱锥A1﹣ABC的体积V=S△ABC20．（12.00分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．【解答】证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，21．（12.00分）设0≤x≤2，求函数y=的最大值和最小值．【解答】解：设2x=t，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4原式化为：y=（t﹣a）2+1，1≤t≤4当a≤1时，y=（t﹣a）2+1[1，4]是增函数，故y min=；当1＜a≤时，y=（t﹣a）2+1[1，a]是减函数，在[a，4]上是增函数，故y min=1，y max=y（4）=；当＜a＜4时，y=（t﹣a）2+1[1，a]是减函数，在[a，4]上是增函数，故y min=1，y max=y（1）=；当a≥4时，y min=．22．（12.00分）设f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=lg（x2﹣ax+10），a∈R．（1）若f（1）=1，求f（x）的解析式；（2）若a=0，不等式f（k•2x）+f（4x+k+1）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f（x）的值域为R，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（1）=1，∴f（1）=lg（11﹣a）=1，∴11﹣a=10，即a=1．此时，当x＜0时，﹣x＞0，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣lg（x2+x+10），又f（0）=0，故．（2）若a=0，则由f（x）为奇函数可得它在R上单调递增，故f（k•2x）+f（4x+k+1）＞0，等价于k•2x+4x+k+1＞0．令t=2x（t＞0），于是，t2+kt+k+1＞0在（0，+∞）恒成立，即k＞﹣=∵﹣[（t+1）]﹣2的最大值为2，∴k＞2．（3）要使f（x）有意义，首先需满足x2﹣ax+10＞0在（0，+∞）上恒成立，由基本不等式求得x ，当且仅当x=时，即x=取等号，∴a．其次，要使f （x ）的值域为R ，需要x 2﹣ax +10=1能取遍所有的正数， 故x 2﹣ax +10=1在（0，+∞）上有解， 由a=x +≥6，当且仅当x=3时，等号成立． 综上可得．。
2015-2016年内蒙古包头市包钢四中高一上学期期末数学试卷(文科)与答案Word版
2015-2016学年内蒙古包头市包钢四中高一（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题5分，共计60分）1．（5.00分）设集合M={0，1，2}，N={x∈N|x﹣1≥0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}2．（5.00分）函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A．（0，1） B．[0，1]C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）3．（5.00分）已知a=，b=lo，c=log 2，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c4．（5.00分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A．B．4πC．2πD．5．（5.00分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α6．（5.00分）函数f（x）=e x﹣的零点所在的区间是（）A．B．C．D．7．（5.00分）1.2log6+3log6=（）A．0 B．1 C．6 D．log68．（5.00分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．16B．16+16C．32D．16+329．（5.00分）在y轴上的截距为2，且与直线y=﹣3x﹣4垂直的直线的斜截式方程为（）A． B．C．y=﹣3x+2 D．y=3x﹣210．（5.00分）点P为x轴上的一点，点P到直线3x﹣4y+6=0的距离为6，则点P的坐标为（）A．（8，0） B．（﹣12，0）C．（8，0）或（﹣12，0）D．（0，0）11．（5.00分）正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成角的大小为（）A．0°B．45°C．60°D．90°12．（5.00分）函数的单调递增区间为（）A．（﹣∞，﹣2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）二．填空题（每小题5分，共计20分）13．（5.00分）f（x）=，f[f（2）]=．14．（5.00分）直线2x﹣5y﹣10=0与坐标轴所围成的三角形面积是．15．（5.00分）已知点M（4，﹣1），点P是直线l：y=2x+3上的任一点，则|PM|最小值为．16．（5.00分）若用斜二测画法作△ABC的水平放置的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为．三．解答题（17题10分，18--22题各12分，共计70分）17．（10.00分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，函数f （x）的解析式为．（1）求当x＜0时函数f（x）的解析式；（2）用定义证明f（x）在（0，+∞）上的是减函数．18．（12.00分）求满足下列条件的直线方程：（1）求经过直线l1：x+3y﹣3=0，l2：x﹣y+1=0的交点，且平行于直线2x+y﹣3=0的直线l方程；（2）求在两坐标轴上截距相等，且与点A（3，1）的距离为的直线l的方程．19．（12.00分）已知函数f（x）=4x﹣2•2x+1﹣6，其中x∈[0，3]．（1）求函数f（x）的最大值和最小值；（2）若实数a满足：f（x）﹣a≥0恒成立，求a的取值范围．20．（12.00分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．21．（12.00分）如图，边长为2的正方形ABCD中．（1）点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．求证：A′D⊥EF．（2）当时，求三棱锥A′﹣EFD体积．22．（12.00分）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形（Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．2015-2016学年内蒙古包头市包钢四中高一（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题5分，共计60分）1．（5.00分）设集合M={0，1，2}，N={x∈N|x﹣1≥0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【解答】解：集合M={0，1，2}，N={x∈N|x﹣1≥0}={x∈N|x≥1}，则M∩N={1，2}，故选：D．2．（5.00分）函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A．（0，1） B．[0，1]C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）【解答】解：要使函数有意义，则x2﹣x＞0，即x＞1或x＜0，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞），故选：C．3．（5.00分）已知a=，b=lo，c=log 2，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c【解答】解：a==＞1，b=lo∈（0，1），c=log 2＜0，∴a＞b＞c．故选：A．4．（5.00分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A．B．4πC．2πD．【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．故选：D．5．（5.00分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【解答】解：对于选项A，若m∥α，n∥α，则m与n可能相交、平行或者异面；故A错误；对于B，若m⊥α，m⊥n，则n与α可能平行或者n在α内；故B错误；对于C，若m⊥α，n⊂α，根据线面垂直的性质可得m⊥n；故C正确；对于D，若m∥α，m⊥n，则n⊥α或者n⊂α；故D错误；故选：C．6．（5.00分）函数f（x）=e x﹣的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【解答】解：画出函数y=e x，y=的图象：由图得一个交点，由于图的局限性，下面从数量关系中找出答案．∵，，∴选B．故选：B．7．（5.00分）1.2log6+3log6=（）A．0 B．1 C．6 D．log6【解答】解：2log6+3log6==log62+log63=log66=1．故选：B．8．（5.00分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．16B．16+16C．32D．16+32【解答】解：由已知中的三视力可得该几何体是一个四棱锥，棱锥的底面边长为4，故底面面积为16，棱锥的高为2，故侧面的高为：2，则每个侧面的面积为：=4，故棱锥的表面积为：16+16，故选：B．9．（5.00分）在y轴上的截距为2，且与直线y=﹣3x﹣4垂直的直线的斜截式方程为（）A． B．C．y=﹣3x+2 D．y=3x﹣2【解答】解：直线y=﹣3x﹣4的斜率k=﹣3，则与与直线y=﹣3x﹣4垂直的直线斜率k=∵y轴上的截距为2，∴直线过点（0，2）即直线方程为y﹣2=（x﹣0），即y=x+2故选：A．10．（5.00分）点P为x轴上的一点，点P到直线3x﹣4y+6=0的距离为6，则点P的坐标为（）A．（8，0） B．（﹣12，0）C．（8，0）或（﹣12，0）D．（0，0）【解答】解：设P（a，0），由题意可知，即|3a+6|=30，解得a=﹣12或a=8，P点坐标为（﹣12，0）或（8，0）．故选：C．11．（5.00分）正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成角的大小为（）A．0°B．45°C．60°D．90°【解答】解：取A′A的中点为E，连接BE，则直线B′M与CN所成角就是直线B′M与BE成的角，由题意得B′M⊥BE，故异面直线B′M与CN所成角的大小为90°，故选：D．12．（5.00分）函数的单调递增区间为（）A．（﹣∞，﹣2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）【解答】解：令t=x2﹣4＞0，得x＜﹣2，或x＞2，所以函数的定义域为{x|x＜﹣2，或x＞2}，且f（x）=t是定义域上的单调减函数；又本题即求函数t在定义域内的减区间，利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的减区间为（﹣∞，﹣2），所以，函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）．故选：A．二．填空题（每小题5分，共计20分）13．（5.00分）f（x）=，f[f（2）]=17．【解答】解：当x=2时，f（2）=﹣2×2=﹣4，∴f[f（2）]=f（﹣4）=（﹣4）2+1=17，故答案为：17．14．（5.00分）直线2x﹣5y﹣10=0与坐标轴所围成的三角形面积是5．【解答】解：直线2x﹣5y﹣10=0与坐标轴的交点坐标为（0，﹣2），（5，0），所以直线2x﹣5y﹣10=0与坐标轴所围成的三角形面积是：=5．故答案为：5．15．（5.00分）已知点M（4，﹣1），点P是直线l：y=2x+3上的任一点，则|PM|最小值为．【解答】解：由题意可得|PM|最小值即为点M到直线l的距离，由距离公式可得d==，故答案为：．16．（5.00分）若用斜二测画法作△ABC的水平放置的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为．【解答】解：如下图，在直观图中，有正三角形A′B′C′，其边长为a，故点A到底边BC的距离是a，作AD⊥X′于D，则△ADO′是等腰直角三角形，故可得O'A′=a，由此可得在平面图中三角形的高为a，原△ABC的面积为×a×a=故答案为：三．解答题（17题10分，18--22题各12分，共计70分）17．（10.00分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，函数f （x）的解析式为．（2）用定义证明f（x）在（0，+∞）上的是减函数．【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，∵当x＞0时，函数f（x）的解析式为，∴f（﹣x）=﹣1=﹣﹣1，由偶函数可知当x＜0时，f（x）=f（﹣x）=﹣﹣1；（2）设x1，x2是（0，+∞）上任意两个实数，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣1﹣+1=，由x1，x2的范围和大小关系可得f（x1）﹣f（x2）=＞0，∴f（x1）＞f（x2），故f（x）在（0，+∞）上的是减函数18．（12.00分）求满足下列条件的直线方程：（1）求经过直线l1：x+3y﹣3=0，l2：x﹣y+1=0的交点，且平行于直线2x+y﹣3=0的直线l方程；（2）求在两坐标轴上截距相等，且与点A（3，1）的距离为的直线l的方程．【解答】解：（1）由得，∴直线l1：x+3y﹣3=0，l2：x﹣y+1=0的交点坐标为（0，1），∵直线l平行于直线2x+y﹣3=0，∴直线l的斜率为k=﹣2，∴直线方程为y﹣1=﹣2（x﹣0），即2x+y﹣1=0；（2）设直线l的方程为+=1，则x+y﹣a=0，则由题意得=，解得a=2或a=6，∴直线l的方程为x+y﹣2=0，或x+y﹣6=0．19．（12.00分）已知函数f（x）=4x﹣2•2x+1﹣6，其中x∈[0，3]．（2）若实数a满足：f（x）﹣a≥0恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=4x﹣2•2x+1﹣6（0≤x≤3）∴f（x）=（2x）2﹣4•2x﹣6（0≤x≤3）…（2分）令t=2x，∵0≤x≤3，∴1≤t≤8．令h（t）=t2﹣4t﹣6=（t﹣2）2﹣10（1≤t≤8）…（4分）当t∈[1，2]时，h（t）是减函数；当t∈[2，8]时，h（t）是增函数．∴f（x）min=h（2）=﹣10，f（x）max=h（8）=26…（8分）（2）∵f（x）﹣a≥0恒成立，即a≤f（x）恒成立．∴a≤f（x）min恒成立．由（1）知f（x）min=﹣10，∴a≤﹣10．故a的取值范围为（﹣∞，﹣10]…（14分）20．（12.00分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．21．（12.00分）如图，边长为2的正方形ABCD中．（1）点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．求证：A′D⊥EF．（2）当时，求三棱锥A′﹣EFD体积．【解答】（1）证明：由已知，折叠前，有AD⊥AE，CD⊥CF，折叠后，有A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，又∵A′E∩A′F=A′，A′E、A′F⊂平面A′EF，∴A′D⊥平面A′EF，∵EF⊂平面A′EF，∴A′D⊥EF；（2）解：取EF的中点G，连接A′G，则由BE=BF=可知，△A′EF为腰长，底边长为的等腰三角形，∴，则，与（1）同理可得，A′D⊥平面A′EF，且A′D=2，∴==．22．（12.00分）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形（Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，∵AB∩AC=A，∴AA1⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AC⊥BC，AA1∩AC=A，∴直线BC⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）解：取AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点，则O为AC1的中点．连接MD，OE，则MD∥AC，MD=AC，OE∥AC，OE=AC，∴MD∥OE，MD=OE，连接OM，则四边形MDEO为平行四边形，∴DE ∥MO ，∵DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ， ∴DE ∥平面A 1MC ，∴线段AB 上存在一点M （线段AB 的中点），使直线DE ∥平面A 1MC ．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性函数的 性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在yxo[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
内蒙古包头市第三十三中学2015届高三上学期期中二考试数学(理)(附答案)
内蒙古包头市第三十三中学2015届高三上学期期中二考试数学（理）试题一、选择题（每题5分）1. 设,a b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -= （ ） A ．1 B ． 1- C ．2D ．2-2、如图所示的韦恩图中，A 、B 是非空集合，定义A *B 表示阴影部分集合．若,x y R ∈，{}A x y ==，{}3,0x B yy x ==>，则A *B =（ ）． A ．(2,)+∞ B ．[)0,1(2,)⋃+∞ C ．[]0,1(2,)⋃+∞ D ．[]0,1[2,)⋃+∞ 3、下列命题中，真命题是( )A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0B ．∀x ∈R ，2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是1ab=- D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件4.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( )A.(43π+ B.(4π+C.(82π+ D.(86π+5．已知命题p 1：函数22x x y -=-在R 为增函数．p 2：函数22x x y -=+在R 为减函数．则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：12p p ⌝∨和q 4：12p p ∧⌝中，真命题是( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4D ．q 2，q 46、若()f x =，则()f x 的定义域为A. (,)1-02B. (,]1-02C. (,)1-+∞2D.(,)0+∞7、设3log a π=，b ＝log 23，c ＝log 32，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a 8、已知()()231,1log ,1a a x x f x x x --<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为（ ）A 、203a <<B 、113a ≤<C 、213a <<D 、1233a ≤< 9、函数f (x )＝ln 1－x1＋x的图象只可能是()10、设函数()f x 在R 上可导，其导函数为'()f x ，且函数(1)'()y x f x =-的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f - （D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f 11、已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,2A ϕ><）的部分图象如右图所示，为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ）A.向右平移π6个长度单位B.向右平移π12个长度单位 C.向左平移π6个长度单位 D.向左平移π12个长度单位12、已知函数1()(*)n f x x n N +=∈的图象与直线1x =交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则12013log x ＋22013log x ＋…＋20122013log x 的值为（ ） A ．－1 B ． 1－log 20132012 C ．-log 20132012 D ．1二、填空题（每题5分）13、设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x －y ≥－1，x ≥0，y ≥0且目标函数z 1＝2x ＋3y 的最大值为a ，目标函数z 2＝3x －2y 的最小值为b ，则a ＋b ＝ 14、下列几个命题：① 不等式311x x <+-的解集为{|2,2}x x x <->或；② 已知,a b 均为正数，且141a b+= ，则a b +的最小值为9；③ 已知,x y 均为正数，且320x y +-=，则3271x y ++的最小值为7；其中正确的有 ．（以序号作答） 15、设a ，b 满足2a ＋3b ＝6，a ＞0，b ＞0，则2a ＋3b 的最小值为 。
内蒙古巴彦淖尔市第一中学高三上学期期末考试数学(文)试题(无答案)含答案.doc
巴市一中2015-2016学年第一学期期末考试题第I 卷（选择题共60分）一、选择题（5分X12二60分）在每小题给出的四个选项屮只有一项正确1.设集合 M ={meZ\-3<m<2}f N = {〃 w Z |-1 W 〃 W 3},则 MC\N=()高三数学（文） 试卷类型A4. {0,1} B . {—1,0,1} C. {0,1,2} D. {—1,0,1,2}?; 一2. z =—的共轨复数z=()1-zA . — 1 + zB . — 1 — zC.l + iD . 1 — z 3.设dwR,则a a = V f 是“直线/「dx+2y —6 = 0与直线厶：兀+ （° + 1" + 3 = 0”平彳亍的（ ） A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 4. 已知中，UinA = ,贝ij cos A =（）12 A. 2A c. -A D.』 13 13 13 135. 某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的值B 是 （）A. 5B. 11C. 23D. 476. 在研究打酣与患心脏病Z 间的关系屮，通过收集数据、整 理分析数据得出有99%以上的把握认为“打酬与患心脏病有关”这个结论是成立的.下列说法中正确的是（ ）A .100个心脏病患者中至少有99人打酣B . 1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打酣C . 100个心脏病患者中一定有打酣的人D . 100个心脏病患者屮可能一个打酣的人都没有y 2 x,7.设变量兀，y 满足约束条件：＜x + 2yW2,，则z = x-3y 的最小值（ ）兀三一2・B • —4C • —6D • —8&函数y （x ） = （x+i ）z 在点（0」）处的切线方程为（9.已知等差数列｛a n ｝满足+ tz 4 = 4 , + a 5 = 10 ,则它的前10项的和S 10 =( )A. 138B. 135C. 95D. 2310.已知正四棱柱ABCD — gCQ 屮，A4, = 2AB, E 为A%屮点，则界面直线BE 与CD 】所成的角的余弦值为（ ）C 3>Ao■ 1011.已知双曲线兰;一丄；=1（« > 0# > 0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于（T 方_ 双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为（ ）4 3^5 A . ---- 2C 1 D.丄212•设直线x=t 与函数f(x) = x 2 g(x) = In x 的图像分别交于点M, N,则当|MN|达到最小时t 的值为（ )A . 1 门 1 厂 y/5 c V2B.—c.— D.— 2 2 2出题人：朱玉平 审题人：第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（5分X4二20分）将最后结果直接填在横线上.13. 一个儿何体的三视图如图所示，则这个儿何体的体积为 ___________ .14. 设向量a = （1,2）,方=（2,3）,若向量Aa + b 与向量<? = （一4,一7）垂直，则2= _______ .15. 已知正四棱锥P-ABCD 的所有顶点都在球O 上且AB = a,侧棱 长为止G,则球O 的体积为A . 2x- y-l = Q C. x-2y-\=0 B . 2x - y +1 = 0D.兀一2y+l=0A.迈 1016. 在 AABC 中，角 A.B.C 所对边分别为 a,b,c , 6/cos 2 — + ccos 2 —=—,贝ij sin A • sin C2 2 2的最大值为 _______________ .三、解答题（12分+12分+12分+12分+12分+10分二70分）17. （本小题共12分）已知等差数列｛%｝满足：冬=7,+①=26 , ｛色｝的前n 项和为S”。
内蒙古呼和浩特市2015届高三上学期期中考试数学理试题 Word版含答案
内蒙古呼和浩特市2015届高三（上）期中考试数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．设集合A={x|＜2x＜4}，B={x|x2≤1}，则A∪B=（）A．{x|x＜2} B．{x|﹣＜x≤1} C．{x|﹣1≤x＜2} D．{x|1≤x＜2}2．已知a∈R，i是虚数单位，复数z=a+i，若z2为纯虚数，则z=（）A．1+i B．﹣1+i C．1+i或﹣1+i D．2i或﹣2i 3．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2•a4=9，则log a1+log a2+log a3+log a4+log a5的值为（）A．6 B．5C．﹣6 D．﹣54．下列说法正确的是（）A．函数f（x）=a x+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（0，1）B．函数f（x）=x﹣3在其定义域上是减函数C．函数f（x）=2值域为（0，+∞）D．函数f（x）=|log2x|在区间（1，+∞）上单调递增5．设曲线y=e ax﹣ln（x+1）在点（0，1）处的切线方程为2x﹣y+1=0，则a=（）A．0 B．1C．2D．36．执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取值范围是（）A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]7．设a=dx，则sinxdx=（）A．2πB．πC．2D．18．已知向量，的夹角为120°，且||=1，||=2，则向量﹣在向量+上的投影是（）A．﹣B．C．D．﹣39．函数f（x）=4sin（ωx﹣）sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，且sinα=，则f （α）=（）A．B．﹣C．D．﹣10．变量x，y满足约束条件时，x﹣2y+m≤0恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，0] 11．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象关于直线x=对称，且方程f（x）=m在[0，）上恰有两个不同的实数根，则实数m取值范围是（）A．[0，1]B．[1，2]C．[，2）D．[1，] 12．已知函数f（x）=ax3+bx2﹣2（a≠0）有且仅有两个不同的零点x1，x2，则（）A．当a＜0时，x1+x2＜0，x1x2＞0 B．当a＜0时，x1+x2＞0，x1x2＜0C．当a＞0时，x1+x2＜0，x1x2＞0 D．当a＞0时，x1+x2＞0，x1x2＜0二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知数列{a n}为等差数列，且a1=1，S5=25，则{a n}的通项公式a n=_________．14．已知函数f（x）=a2x﹣2a+1．若命题“∀x∈（0，1），f（x）≠0”是假命题，则实数a的取值范围是_________．15．如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是_________．16．定义在（0，）上的函数f（x）满足f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0，设a=f（），b=f（），c=2f（），则a，b，c的大小关系是_________．三、解答题17．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+x+2．（Ⅰ）若f（x）在R上单调递增，求a的取值范围；（Ⅱ）设f（x）的导函数为f′（x）．若∃α∈（，）使f′（sinα）=f′（cosα）成立．求a 的取值范围．18．（12分）已知向量=（cosx，﹣2），=（1，cos），f（x）=•，角A，B，C分别为△ABC的三个内角．（Ⅰ）当A=A0时，f（A）取最小值f（A0），试求A0与f（A0）；（Ⅱ）当A=A0，且△ABC的面积为时，求边长BC的最小值．19．（12分）已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n+a n+1﹣2，证明++…+＜．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知•=3•．（Ⅰ）求证tanB=3tanA；（Ⅱ）若a2+b2﹣c2=ab，求角A的大小．21．（12分）已知函数f（x）=sinx+lnx﹣kx（k＞0）．（Ⅰ）若f（x）在（0，]上单调递增，求k的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=sinx（x＞0），若y=g（x）的图象在y=f（x）的图象上方，求k的取值范围；（Ⅲ）设n∈N+，证明：（4﹣）＜sin（）i﹣1＜+1+ln2﹣（）n+1．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按多做第一题计分。
【解析】内蒙古北方重工三中2015届高三上学期12月月考数学试卷(文科)Word版含解析
内蒙古北方重工三中2015届高三上学期12月月考数学试卷（文科）一、选择题：每小题5分，共60分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．“k=5”是“两直线kx+5y﹣2=0和（4﹣k）x+y﹣7=0互相垂直”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线垂直的判定．专题：计算题．分析：验证：“k=1”时，两条直线为5x+5y﹣2=0与﹣x+y﹣7=0垂直比较易，对于“⇐”只须两线斜率乘积为﹣1即可．解答：解：“k=1”时，两条直线为5x+5y﹣2=0与﹣x+y﹣7=0垂直，充分条件成立；kx+5y﹣2=0和（4﹣k）x+y﹣7=0互相垂直时，解得k=5或k=﹣1，必要条件不成立所以“k=5”是“两直线kx+5y﹣2=0和（4﹣k）x+y﹣7=0互相垂直”的充分不必要条件．故选A．点评：本题主要考查直线与直线垂直的判定，以及充要条件，是基础题目．2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( )A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥βB．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nC．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n D．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：选项A，根据面面垂直的判定定理进行判定，选项B列举出所有可能，选项C根据面面平行的性质进行判定，选项D列举出所以可能即可．解答：解：选项A，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β，该命题不正确，m⊥n，m⊥α，n∥β⇒α⊥β；选项B，若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n，该命题不正确，m∥α，n∥β，α∥β⇒m与n没有公共点，则也可能异面；选项C，根据m⊥α，α∥β，则m⊥β，而n∥β则m⊥n，则该命题正确；选项D，若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β，该命题不正确，m∥n，m∥α，n∥β，⇒α与β平行或相交故选C点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于基础题．3．设向量、，满足||=||=1，•=﹣，则|+2|=( )A．B．C．D．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题．分析：利用向量模的平方等于向量的平方，求出模的平方，再开方即可．解答：解：∵向量、，满足||=||=1，•=﹣，∴=1﹣2+4=3，∴故选B点评：本题考查求向量模常将向量模平方；利用向量的运算法则求出．4．双曲线方程为x2﹣2y2=1，则它的右焦点坐标为( )A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：把双曲线方程化为标准方程可分别求得a和b，进而根据c=求得c，焦点坐标可得．解答：解：双曲线的，，，∴右焦点为．故选C点评：本题考查双曲线的焦点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用c2=a2+b2求出c 即可得出交点坐标．但因方程不是标准形式，很多学生会误认为b2=1或b2=2，从而得出错误结论．5．若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于( )A．B．C．D．考点：同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：把已知的等式中的cos2α，利用同角三角函数间的基本关系化简后，得到关于sinα的方程，根据α的度数，求出方程的解即可得到sinα的值，然后利用特殊角的三角函数值，由α的范围即可得到α的度数，利用α的度数求出tanα即可．解答：解：由cos2α=1﹣2sin2α，得到sin2α+cos2α=1﹣sin2α=，则sin2α=，又α∈（0，），所以sinα=，则α=，所以tanα=tan=．故选D点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意角度的范围．6．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A．2，﹣B．4，C．4，﹣D．2，﹣考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由周期求出ω，把点（﹣，0）代入，再结合﹣＜φ＜，可得φ的值．解答：解：由题意可得T=×=，∴ω=2．再把点（﹣，0）代入可得0=2sin=0，即sin（φ﹣）=0．再结合﹣＜φ＜，可得φ=﹣，故选：D．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题．7．已知数列{a n}为等差数列，且a1+a7+a13=4π，则tan（a2+a12）的值为( )A．﹣B．C．D．﹣考点：等差数列的性质；运用诱导公式化简求值；两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：因为a1+a7+a13=4π，则a7=，所以tan（a2+a12）=tan2a7=tan，由诱导公式计算可得答案．解答：解：∵a1+a7+a13=4π，则a7=，∴tan（a2+a12）=tan2a7=tan=﹣，故选A．点评：本题考查数列的性质和应用，解题电动机发认真审题，仔细解答．8．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），则此几何体的所有侧面的面积中最大的是( )A．100cm3B．100cm3C．200cm3D．200cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体为四棱锥，OC=OD，PO⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为20的正方形，PO=20．计算比较即可得出．解答：解：由三视图可知：该几何体为四棱锥，OC=OD，PO⊥底面ABCD，底面ABCD 是边长为20的正方形，PO=20．经过计算可得此几何体的所有侧面的面积中最大的是S△PAD==200．故选：C．点评：本题考查了四棱锥的三视图、侧面积计算，属于基础题．9．已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为( ) A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=2考点：圆的标准方程．分析：圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．解答：解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是；圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是．故A错误．故选B．点评：一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．10．已知椭圆C：的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，，则C的离心率为( ) A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：在△AFB中，由余弦定理可得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF，即可得到|BF|，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．即可得到a，c，进而取得离心率．解答：解：如图所示，在△AFB中，由余弦定理可得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF，∴，化为（|BF|﹣8）2=0，解得|BF|=8．设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．∴|BF′|=6，|FF′|=10．∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．∴．故选B．点评：熟练掌握余弦定理、椭圆的定义、对称性、离心率、矩形的性质等基础知识是解题的关键．11．将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为( )A．B．C．D．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：折叠后的四面体的外接球的半径，就是长方形ABCD沿对角线AC的一半，求出球的半径即可求出球的表面积．解答：解：由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，∴长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起二面角，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的半径，是AC=，所求球的体积为：×π（）3=．故选：B点评：本题考查球的内接多面体，求出球的半径，是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为( )A．3 B．4 C．5 D．6考点：利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：由函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解得个数．解答：解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，∴△=4a2﹣12b＞0．解得=．∵x1＜x2，∴，．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，∴此方程有两解且f（x）=x1或x2．不妨取0＜x1＜x2，f（x1）＞0．①把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象，∵f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解．②把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，∵f（x1）=x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同实根．故选：A．点评：本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数、平移变换等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数，若，则a=﹣1或．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用分段函数在不同的区间上的解析式不同即可计算出结果．解答：解：①当a≤0时，f（a）=2a=，解得a=﹣1；②当a＞0时，f（a）=，解得．故答案为﹣1或．点评：正确理解分段函数的意义是解题的关键．14．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为4．考点：简单线性规划的应用．专题：压轴题．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．解答：解：满足约束条件的区域是一个四边形，如下图4个顶点是（0，0），（0，2），（，0），（1，4），由图易得目标函数在（1，4）取最大值8，即8=ab+4，∴ab=4，∴a+b≥2=4，在a=b=2时是等号成立，∴a+b的最小值为4．故答案为：4点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．15．在等差数列{a n}中，a1=7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n=8时S n取得最大值，则d的取值范围为（﹣1，﹣）．考点：等差数列的性质．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据题意当且仅当n=8时S n取得最大值，得到S7＜S8，S9＜S8，联立得不等式方程组，求解得d的取值范围．解答：解：∵S n =7n+，当且仅当n=8时S n取得最大值，∴，即，解得：，综上：d的取值范围为（﹣1，﹣）．点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式，解不等式方程组，属于中档题．16．设函数f（x）=x3（x∈R），若时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，0）．考点：函数恒成立问题．专题：综合题；转化思想；函数的性质及应用．分析：由给出的幂函数为奇函数，且为实数集上的增函数，把不等式f（msinθ）+f（1﹣m）＞0移项变形，借助于函数的奇偶性和单调性转化为msinθ﹣m＞﹣1恒成立，分离参数m后，由角θ的范围求得的最小值，则m的取值范围可求．解答：解：∵f（x）=x3（x∈R）为递增函数且为奇函数，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立等价于f（msinθ）＞﹣f（1﹣m）=f（m﹣1）恒成立，即msinθ＞m﹣1恒成立，也就是msinθ﹣m＞﹣1，m（sinθ﹣1）＞﹣1恒成立，∵，∴﹣1≤sinθ﹣1＜0，0＜1﹣sinθ≤1．∴m＜，∵0＜1﹣sinθ≤1，∴的最小值为1，∴m＜0．∴使f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立的实数m的取值范围是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．点评：本题考查了函数恒成立问题，借助于已知函数的奇偶性和单调性转化，考查了分离变量法，训练了三角函数最值的求法，是中档题．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2=b2+c2+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）设a=，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式代入计算求出cosA的值，即可确定出A 的度数；（Ⅱ）利用正弦定理列出关系式，将a与sinA的值代入表示出b与csinA，利用三角形面积公式表示出S，代入所求式子中，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据余弦函数的性质即可确定出最大值以及此时B的值．解答：解：（Ⅰ）∵a2=b2+c2+ab，即b2+c2﹣a2=﹣bc，∴cosA==﹣，则A=；（Ⅱ）∵a=，sinA=，∴由正弦定理==得：b=，csinA=asinC，∴S=bcsinA=••asinC=3sinBsinC，∴S+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos（B﹣C），当B﹣C=0，即B=C==时，S+3cosBcosC取得最大值为3．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知在递增等差数列{a n}中，前三项的和为9，前三项的积为15，{b n}的前n项和为S n，且S n=2n+1﹣2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=，求{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）设递增等差数列{a n}的公差为d，利用前三项的和为9，前三项的积为15，利用等差数列的通项公式可得a1+a1+d+a1+2d=9，a1（a1+d）（a1+2d）=15，{b n}的前n项和为S n，且S n=2n+1﹣2．b1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出．（2）c n===，利用“裂项求和”即可得出．解答：解：（1）设递增等差数列{a n}的公差为d，∵前三项的和为9，前三项的积为15，∴a1+a1+d+a1+2d=9，a1（a1+d）（a1+2d）=15，解得a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∵{b n}的前n项和为S n，且S n=2n+1﹣2．∴b1=S1=22﹣2=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n+1﹣2﹣（2n﹣2）=2n．当n=1时，上式也成立．∴b n=2n．（2）c n===，∴{c n}的前n项和T n=+…+==．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=．（Ⅰ）证明：PC⊥BD（Ⅱ）若E为PA的中点，求三棱锥P﹣BCE的体积．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）连接AC交BD于O，连接PO．菱形ABCD中，证出AC⊥BD且O是BD的中点，从而得到PO是等腰△PBD中，PO是底边BD的中线，可得PO⊥BD，结合PO、AC是平面PAC内的相交直线，证出BD⊥平面PAC，从而得到PC⊥BD；（II）根据ABCD是边长为2的菱形且∠BAD=60°，算出△ABC的面积为，△PAO中证出AO2+PO2=6=PA2可得PO⊥AC，结合PO⊥BD证出PO⊥平面ABCD，所以PO=是三棱锥P﹣ABC的高，从而三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC=1，再由E为PA中点算出三棱锥E﹣ABC的体积V E﹣ABC=，进而可得三棱锥P﹣BCE的体积等于V P﹣ABC﹣V E﹣ABC=，得到本题答案．解答：解：（I）连接AC交BD于O，连接PO∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且O是BD的中点∵△PBD中，PD=PB，O为BD中点，∴PO⊥BD∵PO、AC⊂平面PAC，PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥BD；（II）∵ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∴BO=AB=1，AC==2，可得△ABC的面积为S=AC×BO=∵△PBD中，PB=PD=BD=2，∴中线PO=BD=因此，△PAO中AO2+PO2=6=PA2∴PO⊥AC，结合PO⊥BD得到PO⊥平面ABCD，得到三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC=×S△ABC×PO==1∵E为PA中点，∴E到平面ABC的距离d=PO=由此可得三棱锥E﹣ABC的体积V E﹣ABC=×S△ABC×d=×=因此，三棱锥P﹣BCE的体积V P﹣EBC=V P﹣ABC﹣V E﹣ABC=．点评：本题给出底面为菱形的四棱锥，求证线线垂直并求锥体的体积，着重考查了线面垂直的判定与性质、菱形的性质及面积计算和锥体体积公式等知识，属于中档题．20．设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．考点：椭圆的应用．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．解答：解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．点评：本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．分析：（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a，b的值．（II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式．解答：解：（I）．由于直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣，且过点（1，1）所以解得a=1，b=1（II）由（I）知f（x）=所以考虑函数，则所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）=0，当x∈（0，1）时，h（x）＞0可得；当从而当x＞0且x≠1时，点评：本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立．一、选修4-1：几何证明选讲22．如图，A、B、C、D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．（Ⅰ）证明：CD∥AB；（Ⅱ）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A、B、G、F四点共圆．考点：圆內接多边形的性质与判定．专题：证明题．分析：（I）根据两条边相等，得到等腰三角形的两个底角相等，根据四点共圆，得到四边形的一个外角等于不相邻的一个内角，2015届高考等量代换得到两个角相等，根据根据同位角相等两直线平行，得到结论．（II）根据第一问做出的边和角之间的关系，得到两个三角形全等，根据全等三角形的对应角相等，根据平行的性质定理，等量代换，得到四边形的一对对角相等，得到四点共圆．解答：解：（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA故∠ECD=∠EBA，所以CD∥AB（Ⅱ）由（I）知，AE=BE，因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC从而∠FED=∠GEC连接AF，BG，△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE又CD∥AB，∠FAB=∠GBA，所以∠AFG+∠GBA=180°故A，B．G，F四点共圆点评：本题考查圆内接多边形的性质和判断，考查两直线平行的判断和性质定理，考查三角形全等的判断和性质，考查四点共圆的判断，本题是一个基础题目．一、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．专题：压轴题；直线与圆．分析：（I）先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值．解答：解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，解得或，∴C1与C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，∴，解得a=﹣1，b=2．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．一、选修4-5：不等式选讲24．已知a，b，c均为正数，证明：≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．考点：基本不等式．专题：证明题；压轴题．分析：证法一：两次利用基本不等式放小，此处不用考虑等号成立的条件，因等号不成立不影响不等号的传递性．证法二：先用基本不等式推出a2+b2+c2≥ab+bc+ac与两者之和用基本不等式放小，整体上只用了一次放缩法．其本质与证法一同．解答：证明：证法一：因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得①所以②故．又③所以原不等式成立．当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立．当且仅当时，③式等号成立．即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立．证法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①同理②故③所以原不等式成立．当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，（ab）2=（bc）2=（ac）2=3时，③式等号成立．即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立．点评：考查放缩法在证明不等式中的应用，本题在用缩法时多次用到基本不等式，请读者体会本题证明过程中不考虑等号是否成立的原理，并与利用基本不等式求最值再据最值成立的条件求参数题型比较．深入分析等号成立的条件什么时候必须考虑，什么时候可以不考虑．。
内蒙古包头市2020届高三上学期期末教学质量检测考试数学(文)试题及答案
2020届内蒙古包头市高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}|1A x x =>-，{}2|4B x x =<，则AB =（ ）A ．(),2-∞-B ．()2,1--C ．()1,2-D ．()2,+∞【答案】C 2．复数21i+（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．1i -+ B ．1i -C ．1i +D ．1i --【答案】C3．已知()3,5AB =，()5,3AC =，则BC =（ ）A ．B ．8C ．D ．128【答案】A4．甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：某同学分析上表后得到如下结论： ①甲、乙两班学生的平均成绩相同；②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分85≥分为优秀）； ③甲、乙两班成绩为85分的学生人数比成绩为其他值的学生人数多； ④乙班成绩波动比甲班小. 其中正确结论有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C5．某种饮料每箱装6罐，每箱中放置2罐能够中奖的饮料，若从一箱中随机抽取2罐，则能中奖的概率为（ ） A ．115B ．13C ．25D ．35【答案】D6．设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()1xf x e =+，则当0x <时，()f x =（ ）A ．e 1x --B ．e 1x ---C ．e 1x -+D ．e 1x --+【答案】B7．直线l 与平面α平行的充要条件是（ ） A ．直线l 上有无数个点不在平面α内 B ．直线l 与平面α内的一条直线平行 C ．直线l 与平面α内的无数条直线都平行 D ．直线l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点 【答案】D8．若抛物线()20y ax a =>的焦点与椭圆2212x y +=的上顶点重合，则a =（ ）A ．12B ．14C ．2D ．4【答案】B9．下列函数中，以π为周期且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增的是（ ） A ．()cos2f x x = B ．()sin2f x x = C ．()cos f x x = D ．()sin f x x =【答案】C10．已知01x <<，01y <<，则）A B ．C D ．【答案】B11．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点为M ，以M 为圆心，b 为半径作圆M ，圆M 与双曲线C 的一条渐近线交于P 、Q 两点.若0PM QM ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ） AB ．2CD【答案】D12．设+,,x y z R ∈，且3x y z e π==，记a ex =，3y b =，c z π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】A二、填空题13．若变量x ，y 满足约束条件00210x x y x y ≤⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =+的最大值是______.【答案】114．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有5个车次正点率为0.97，有10个车次的正点率为0.98，有5个车次正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______. 【答案】0.9815．在圆内接四边形ABCD 中，5AB =，6BC =，3CD =，4=AD ，则ABC ∆的面积为______.16．如图，棱长为1的正方体木块1111ABCD A BC D -经过适当切割，得到棱数为12的正八面体（正多面体是由全等的正多边形围成的多面体）.已知面0000A B C D 平行于正方体的下底面，且该正八面体的各顶点均在正方体的面上，若0A 在侧面11AA D D 内，且该正八面体的体积为16，则该正八面体的棱长为______，点0A 到棱1AA 的距离为______.【答案】2212三、解答题17．如图，在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧面VCD 为正三角形，侧面VCD ⊥底面ABCD ，P 为VD 的中点.（1）求证：⊥CP 平面VAD ；（2）若2AB =，求四棱锥P ABCD -的体积. 【答案】（1）证明：∵底面ABCD 是正方形，∴AD CD ⊥， ∵侧面VCD ⊥底面ABCD ，侧面VCD底面ABCD CD =，∴由面面垂直的性质定理，得AD ⊥平面VCD ， ∵CP ⊂平面VCD ，∴AD CP ⊥，又∵VCD ∆是正三角形，P 为VD 的中点，∴CP VD ⊥， 又∵AD VD D =，∴⊥CP 平面VAD .（2）过点V 作VO CD ⊥，∵侧面VCD ⊥底面ABCD ，侧面VCD 底面ABCD CD =，∴VO ⊥底面ABCD ，∵VCD ∆为正三角形，∴sin 60sin 60VO VD AB =⋅︒=⋅︒= ∵P 为VD 的中点， ∴P 到底面ABCD的距离2VO d == ∴四棱锥P ABCD -的体积11433ABCD V d S =⋅==正方形18．设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知112a b ==，22b a =，324b a =+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）记2nn na cb =，*n N ∈，求数列{}nc 的前n 项和n S . 【答案】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则0q >由题意，得22226q d q d =+⎧⎨=+⎩，解得：22d q =⎧⎨=⎩，故()2212n a n n =+-=，1222n n n b -=⋅=.（2）∵22222n n n nn a n nc b ===⋅， ∴231232222n n nS =+++⋅⋅⋅+ ① ∴()231111222222n nn n n S +-=+++②①-②得：21111122222n n n n S +=++⋅⋅⋅+-111111221122212n n n n n n ++⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=---， ∴11222n n nn S -=--. 19．已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36，24，12.现采用分层抽样的方法从中抽取6人，进行睡眠质量的调查.（1）应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人？（2）设抽出的6人分别用A 、B 、C 、D 、E 、F 表示，现从6人中随机抽取2人做进一步的身体检查.（i ）试用所给字母列出所有可能的抽取结果；（ii ）设K 为事件“抽取的2人来自同一兴趣小组”，求事件K 发生的概率. 【答案】（1）由已知，甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数之比为3:2:1，由于采用分层抽样的方法从中抽取6人，因此从甲、乙、丙三个兴趣小组中分别抽取3人、2人、1人.（2）（i ）从抽出的6人中随机抽取2人的所有可能结果为：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F ，共15种.（ii ）不妨设抽出的6人中，来自甲兴趣小组的是A ，B ，C ，来自乙兴趣小组的是D ，E ，来自丙兴趣小组的是F ，则从6人中随机抽取2人来自同一兴趣小组的可能结果为(),A B ，(),A C ，(),B C ，(),D E ，共4种.所以，事件K 发生的概率()415P K =. 20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为(),0A a -，(),0B a ，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，且1213k k ⋅=-，椭圆的焦距长为4. （1）求椭圆C 的离心率；（2）过右焦点F 且倾斜角为30的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，分别记ABM ∆，ABN ∆的面积为1S 、2S ，求12S S -的值. 【答案】（1）设点()()000,P x y x a ≠，则2200221x y a b+=，①试题∵2000122200013y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==-+--，② ∴联立①②得()()2222030b a xa --=，∴()2203a ab x =≠，∴22222212133a b e a a c -===-=，∴e =. （2）由题意知，24c =，即2c =， 由（1）知，223a b ，∴22224a b c b =+=+，∴22b =，26a =，∴椭圆C 的方程为：22162x y +=，由已知得l：)2y x =-.联立)222162y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得2210x x --=. 设()11,M x y ，()22,N x y ，根据韦达定理，得122x x +=，于是)12121212S S y x x -=⨯+=+21．已知函数()()22ln ,f x x ax bx a b R =+-∈.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为21y x =+，求实数a ，b 的值； （2）若0a =，且()40f x +≤在区间()0,∞+上恒成立，求实数b 的取值范围； （3）若4b =，且01a ≤<，讨论函数()f x 的单调性. 【答案】（1）由题意，得()()220'=+->f x ax b x x， 则()()122213f a b f a b ⎧=+-=⎪⎨=-='⎪⎩，解得36a b =-⎧⎨=-⎩. （2）当0a =时，()2ln f x x bx =-，()40f x +≤在区间()0,∞+上恒成立， 即2ln 4x b x+≥在()0,∞+上恒成立，试题设()2ln 4x g x x +=，则()()22ln 1-+'=x g x x ， 令()0g x '>，可得10x e<<，()g x 单调递增； 令()0g x '<，可得1x e>，()g x 单调递减； 所以()max 12g x g e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即2b e ≥，故[)2,b e ∈+∞.（3）当4b =时，()22ln 4f x x ax x =+-，则()()22242240-+'=+-=>ax x f x ax x x x，令()()22101,0t x ax x a x =-+≤<>，1︒ 当0a =时，()21t x x =-+，所以，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内()0t x >，∴()0f x '>，∴()f x 单调递增，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭内()0t x <，∴()0f x '<，∴()f x 单调递减. 2︒ 当01a <<时，440a ∆=->，令()0t x =，解得x =x =所以，在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭内，()0t x >，∴()0f x '>， ∴()f x 单调递增；在⎝⎭内，()0t x <，∴()0f x '<， ∴()f x 单调递减.综上，1︒ 当0a =时， ()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递减.2︒当01a <<时，∴()f x 在⎫+∞⎪⎪⎝⎭和⎛ ⎝⎭单调递增；在∴⎝⎭单调递减.22．点A 是曲线1C ：()2224x y +-=上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点A 顺时针旋转90︒得到点B ，设点B 的轨迹方程为曲线2C .（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）射线()06πθρ=>与曲线1C 、2C 分别交于P 、Q 两点，定点()4,0M ，求MPQ ∆的面积. 【答案】（1）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，设(),B ρθ，则,2A πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以4sin 4cos 2πρθθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.所以曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （2）由题意得 点M 到射线6πθ=的距离为4sin26d π==， )4cos sin 2166Q P PQ ππρρ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，∴MPQ ∆的面积)1212S PQ d =⋅=.23．已知函数()221f x x =--，()1g x x a x =-++. （1）解不等式()1f x <；（2）若存在12,x x R ∈，使得()()12f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围. 【答案】 （1）由()1f x <，得2211x --<，所以211x ->，即211x ->或211x ，解得：1x >或0x <，所以原不等式的解集为()(),01,-∞⋃+∞.（2）因为存在12,x x R ∈，使得()()12f x g x ≥成立， 所以只需要()()max min f x g x ≥， 因为()2212f x x =--≤，当12x =时，等号成立，即()max 2f x =， ()()()111g x x a x x a x a =-++≥--+=+，当1x =-时，等号成立，即()min 1g x a =+.所以12a +≤，解得31a -≤≤. 所以实数a 的取值范围是{}|31a a -≤≤.试题试题11。
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高三数学文试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分，把唯一正确的答案的代码填在答题卡上） 1.已知集合{1,2,3,4,5,6},{1,4,5},{2,3,4},U S T ===则()u SC T =（ ）A ．{1,4,5,6}B ．{1,5}C ．{4}D ．{1,2,3,4,5} 2.设i 是虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，则实数a 为 （ ） A ．2 B ．2- C ．12- D ．123.曲线221916x y +=的焦点坐标为 （ ）A ．(5,0)±B ．(0,5)±C ．(±D ．(0,±4.已知数列{}n a 满足1220,1n n a a a ++==，则数列{}n a 的前10项和10S 为 ( ) A. 104(21)3- B. 104(21)3+ C . 104(21)3-- D. 104(21)3-+ 5．函数()ln |1|f x x =-的图像大致是（ ）6 甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数用茎叶图表示如图，s 1、s 2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s 1与s 2 的关系是( )甲 乙 8 7 6 75 4 1 8 02 9 43 A ．s 1>s 2 B ．s 1=s 2 C ．s 1<s 2 D ．不确定7. 已知向量m 、n 满足||2=m ，||3=n ，||17-=m n 则⋅=m n ( )A. B. 1-C. 2-D. 4-8. 如果执行右面的程序框图，输出的n 的值为( )A 8B 9C ．10D 119. 已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示， 则该几何体的体积是 ( ) A ． 100 cm 3 B ．108 cm 3 C ．84 cm 3 D ．92 cm 310.函数()sin f x x =-在[)0,+∞内 （ ） A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点 D ．有无穷多个零点11. 已知平面点集()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+=2211y x y x y x y x M ，，平面点集(){}122≤+y xy x ，，在集合M中任取一点P ，则点P 落在集合N 中的概率为 ( )A ．122-π B ．1232-π C ．62-π D ．632-π12. 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(,0)F c ，以原点为圆心，c 为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为A ，若此圆在A，则双曲线C 的离心率为（ ）A1+BC．D第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，将正确答案写在题中横线上）13.设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若6312,a S == 则{}n a 的通项公式n a = .14.奇函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，(3)3f =,则(1)f -=_________. 15. 我舰在敌岛A 南偏西50︒相距12海里的B 处，发现敌舰正由岛A 沿北偏西10︒的方向以10海里/小时的速度航行，我舰要用 2小时追上敌舰，则需要的速度为 海里/小时.16.已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为13，则体积较小的圆锥与球的体积之比为_______． \三、解答题（本大题共6小题，共计70分，解答应写出必要的文字说明和解题步骤）17. （本小题10分）已知曲线C 的极坐标方程为1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平CA 南西北B东面直角坐标系，直线l的参数方程为()122t x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数.(Ⅰ)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)曲线C 经过伸缩变换3x xy y '=⎧⎨'=⎩得到曲线C '，设曲线C '上任一点为(,)M x y ''，求x ''的最小值并求出此时点M 的坐标.18.（本小题12分）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且有)cos cos c B b C -=. (Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)设向量()()4,5,4cos 3,12cos =-+=n A A m ,且n m ⊥，求tan()4A π+的值.19.（本小题12分）如图1，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，ABC 90∠=︒，E 、F 分别为边AD 和BC 上的点，且EF ∥AB ，AD 2AE 2AB 4===，将四边形EFCD 沿EF 折起成如图2的位置，使AD AE =.(Ⅰ)求证：BC ∥平面DAE ； (Ⅱ)求四棱锥D-AEFB 的体积.20.（本小题12分）某校在期末考试成绩中随机抽取100名学生成绩，按成绩分组， 得到的频率分布表如下：F EDCB A图1FDCBA图2频率组距(Ⅰ)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；并确定中位数(直接写出结果，小数点后保留两位小数)(Ⅱ)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求3、4、5组每组各抽多少名学生进入第二轮面试；(III) 在(Ⅱ)的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受考官A 的面试，求第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率. 21.（本小题12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴上，点(,1)A a 在抛物线上,且||2FA = (Ⅰ)求抛物线的标准方程；(Ⅱ)与圆1)1(22=++y x 相切的直线t kx y l +=:交抛物线于不同的两点N M ,若抛物线上一点C 满足)(ON OM OC +=λ)0(>λ，求λ的取值范围.22. （本小题12分）已知函数+1()ln +1a f x x ax x=+-. (Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； (Ⅱ)当102a -≤≤时，讨论()f x 的单调性.2014-2015学年度第一学期期末考试高三年级（文）数学试题——参考答案及评分标准一、选择题（每题5分，共60分）二、填空题（每题5分，共20分）13. 2n 14. -3 15. 14 16. 332三、解答题18.⑴由条件)cos cos c B b C -=可得：()C B B C A cos sin cos sin sin 2=- 2分整理得：()A C B C B C B B A sin sin sin cos cos sin cos sin 2=+=+=…………4分 所以22cos =B ，又π<<B 0，故4π=B ………………………………6分 ⑵由n m ⊥可得：()()04cos 3412cos 5=-++A A ………………………………7分 整理得：08cos 6cos 52=-+A A从而2cos 54cos -==A A 或（舍去）…………………………………………9分又π<<A 0，A ∴为锐角故53sin =A ，43tan =A ………………………………………………10分 于是7tan 1tan 14tan =-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+AAA π………………………………………12分19.解 （1）证：//,//,,CF DE FB AE BF CF F AE DE E ==∴面//CBF 面DAE ……………………………………………………4分又BC ⊂面CBF 所以BC //平面DAE .--------------------------------6分 （2）取AE 的中点H ，连接DH,EF ED EF EA EF ⊥⊥∴⊥平面DAE …………………………8分又DH ⊂平面DAE EF DH ∴⊥2,AE ED DA DH AE DH ===∴⊥=DH ∴⊥面AEFB --------------------------------------10分所以四棱锥D AEFB -的体积1223V =⨯=.---------------12分20. （1）①35②0.3中位数为171.67；---------------------4分 （2）3,2,1--------------------2分 （3）53--------------------6分 21. (1) 设抛物线方程为py x 22=， 由已知得：122p+= 所以 2=p …………………………2分 所以抛物线的标准方程为 y x 42= …………………………4分 (2) 因为直线与圆相切， 所以t t k k t 2111222+=⇒=++ ………………………………5分把直线方程代入抛物线方程并整理得：0442=--t kx x ………………………………………………6分 由016)2(16161622>++=+=∆t t t t k得 0>t 或3-<t ………………………………………7分 设),(,),(2211y x N y x M ，则k x x 421=+…………………………………………8分t k t x x k t kx t kx y y 242)()()(2212121+=++=+++=+…………9分 由))24(,4(),()(22121λλλλt k k y y x x ON OM OC +=++=+= 得 ))24(,4(2λλt k k C + ……………………………………10分 因为点C 在抛物线y x 42=上， 所以，λλ)24(416222t k k += 42114212122++=++=+=⇒t tt t k t λ………………………11分 因为0>t 或3-<t ， 所以 442>+t 或 242-<+t所以 λ的取值范围为 )45,1()1,21( ………………………………12分22（1）当1a =时，2()ln +1f x x x x=+-， 此时'212()+1f x x x=-， ………………………………2分 '12(2)+1124f =-=，又2(2)ln 2+21ln 2+22f =+-=，所以切线方程为：(ln 2+2)2y x -=-，整理得：ln 20x y -+=；………4分（2）2'222111(1)(1)()a ax x a ax a x f x a x x x x ++--++-=+-==， ……5分。