新课标人教版高二数学选修4-4_坐标系_练习题①②(附答案)

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4-4.1.1平面直角坐标系qwx

（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
练习：
1.在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 x’=x y’=3y 后的图形。（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
2.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变为曲线x’2+y’2=1
练习1
1 (1)则点 A( ，－2)经过 φ 变换所得的点 A′的坐标为________； 3 (2)则直线 l： y＝6x 经过 φ 变换后所得直线 l′的方程是________．
【思路点拨】 1 (1)将点 A（x，y）= ( ，－2)的坐标代入变换公式得新 A′ 的坐标； 3 x′ (2)由伸缩变换公式，得 x＝且 y＝2y′，代入已知直线方程可求 l′的 3 方程．
（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。
平面直角坐标系下，曲线伸所变换问题，就是：原曲线f(x,y)=0、 x x 伸缩变换: 、 y y 新曲线f ( x , y ) 0 三者之间“知二求一”的问题。
x′＝3x，在平面直角坐标系中，已知伸缩变换 φ： 2y′＝y.
x′＝3x，伸缩变换 y′＝2y
可以化为
代入圆的方程 x ＋y ＝1， 1 1 2 2 得3x′ ＋2y′ ＝1， 2 2 x′ y′ 即＋＝1， 9 4
x′＝3x，所以经过伸缩变换后， y′＝2y
2
2
圆的方程 x ＋y ＝1 可以变为 x′ y′ ＋＝1，是一个椭圆的方程． 9 4
数学选修4-4
数学选修4-4
第一讲
坐标系
张家界市一中
高二数学组

人教版高中数学选修4-4(1.4)柱坐标系与球坐标系简介ppt课件

解析：点 C1 的空间直角坐标为(6 ,6,12)，点 C1 的柱坐 π π 标为(12，，12)，点 C1 的球坐标为(12 ，， )． 6 6
设点M的直角坐标公式．
解析：由变换公式，得 ρ2＝x2＋y2＝12＋12＝2，ρ＝ 2， y 1 π tan θ＝＝＝1，θ＝ (点 M 在第 1 卦限)． x 1 4 π 因此点 M 的柱坐标为 2，4，3 . 点评：要注意点 M 所在的卦限，从而确定 θ 角的范围．
2 设点M的直角坐标为(1,1， )，求它的球坐标．
分析：利用球坐标公式求解．
解析：由坐标变换公式，可得 r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋12＋ 22＝2， 2 2 π 由 rcos φ＝z，得 cos φ＝＝，φ＝ . r 2 4 y π 又∵tan θ＝＝1，θ＝ (点 M 在第 1 卦限)， x 4 π π ∴点 M 的球坐标为2，4，4 . 点评：要注意 φ 角和 θ 角的取值范围．
1．设点 M 的直角坐标为(－1，－ 3，3)，则它的柱坐标是( C ) π 2π A.2，3，3 B.2， 3 ，3 4π 5π C.2， 3 ，3 D.2， 3 ，3 2．设点 M 的直角坐标为(－1，－1， 2)，则它的球坐标为( B ) π π π 5π A.2，4，4 B.2，4， 4 5π π 3π π C.2， 4 ，4 D.2， 4 ，4
π 5π 3 y＝rsin φsin θ＝4sin sin ＝4×1×－＝－2 3， 2 3 2 π z＝rcos φ＝4×cos ＝0. 2 ∴点 A 的直角坐标为(2，－2 3，0)．
3π 2 点 B：x＝8sin cos π＝8× ×(－1)＝－4 2， 4 2 3π y＝8sin sin π＝0， 4 3π 2 z＝8cos ＝8×－＝－4 2. 4 2 ∴点 B 的直角坐标为(－4 2，0，－4 2)．点 C：∵r＝0， ∴x＝0，y＝0，z＝0，即点 C 的直角坐标为(0,0,0)．

上海华东师范大学第一附属初级中学高中数学选修4-4第一章《坐标系》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．如图所示，某人P 去草场打靶，猎物R 被放在了两个固定物E 、F 之间，满足4EF =，1RF =,此人在移动过程中，始终保持到E ，F 两点的距离和不小于6，当他离猎物最近时开枪命中猎物，则此时他离猎物的距离为（）A ．2B ．152C ．1D ．21032．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换53x xy y ''=⎧⎨=⎩后，曲线C 变为曲线2241x y ''+=，则曲线C 的方程为（）A ．2225361x y +=B ．2291001x y +=C ．10241x y +=D ．22281259x y += 3．已知曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=-，P 为曲线C 上的动点，O 为极点，则PO 的最大值为（） A ．2B ．4C ．5D ．254．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为23cos ρθ=，若曲线1C 与2C 交于A 、B 两点，则AB 等于（）A ．1B ．3C ．2D ．235．()04πθρ=≥表示的图形是( )A ．一条线段B ．一条直线C ．一条射线D ．圆6．在极坐标系中，点到直线的距离是（）．A ．B ．C ．D ． 7．在极坐标系中，圆心为π1,2⎛⎫⎪⎝⎭，且过极点的圆的方程是（）． A ．2sin ρθ= B ．2sin ρθ=- C ．2cos ρθ= D ．2cos ρθ=- 8．圆心在(0,1)且过极点的圆的极坐标方程为（）A ．1ρ=B ．cos ρθ=C ．2cos ρθ=D ．2sin ρθ=9．在极坐标系中，两条曲线1πC :ρsin θ14⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2C :ρ2=的交点为A,B ，则AB =（）A ．4B ．22C ．2D ．110．将正弦曲线sin y x =的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的13，所得曲线的方程为 A ．3sin y x = B ．sin 3y x = C ．1sin3y x = D ．1sin 3y x =11．已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为 A ．22(1)4x y -+= B ．22(1)4x y +-= C ．22(1)1x y -+=D ．22(1)1y x +-=12．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（） A ．2202x y y +==或 B ．2x =C ．2202x y x +==或D ．2y =二、填空题13．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，已知曲线C 1的方程为(x －1)2＋y 2＝1，C 2的方程为x ＋y ＝3，C 3是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求C 1与C 2的极坐标方程；（2）若C 1与C 3的一个公共点为A (异于点O )，C 2与C 3的一个公共点为B ，求|OA |－3OB的取值范围.14．在极坐标系中，直线cos 1ρθ=与圆4cos ρθ=相交于,A B 两点，则AB =___． 15．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为：2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 30cos sin θθ-=，则圆C 截直线l 所得弦长为___________．16．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为:cos 424l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C 的参数方程21222x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（θ为参数）.则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为________.17．在以O 为极点的极坐标系中，曲线2cos ρθ=和直线cos =a ρθ相交于,A B 两点.若AOB ∆是等边三角形，则a 的值为__________．18．在极坐标系中，O 是极点，设点(1,)6A π，(2,)2B π，则OAB ∆的面积是__________．19．在极坐标系中，O 是极点，设点4,3A π⎛⎫⎪⎝⎭，55,6B π⎛⎫-⎪⎝⎭，则OAB ∆的面积是__________．20．极坐标系中，0ρ≥，过点(1,0)且倾斜角为2π的射线的极坐标方程为_____________．三、解答题21．已知直线l 的参数方程为1324x ty t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于, A B 两点，求AB ．22．在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P . （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 23．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,θπ∈），将曲线1C经过伸缩变换：x xy '='=⎧⎪⎨⎪⎩得到曲线2C .（1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程；（2）若直线cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）与12,C C 相交于,A B两点，且1AB =，求α的值.24．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()()cos sin 0m m ρθθ+=>.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若直线()4R πθρ=∈与直线l 交于点A ，与曲线C 交于M ，N 两点，且6OA OM ON ⋅⋅=，求m .25．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的极坐标方程为sin 4ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ--+=，曲线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈.（1）求1C 与2C 的直角坐标方程；（2）若2C 与1C 的交于P 点，2C 与3C 交于A 、B 两点，求PAB ∆的面积. 26．在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为1(x cos y sin ααα=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足||||8OA OB ⋅=，点B 的轨迹为2C . （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为2,2π⎛⎫⎪⎝⎭，求ABM ∆面积的最小值。

武汉市武珞路中学高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测(有答案解析)

一、选择题1．在极坐标系中，圆cos()3πρ=θ+的圆心的极坐标为（） A ．1(,)23π-B ．1(,)23πC ．(1,)3π-D ．(1,)3π2．已知曲线C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C经过伸缩变换12x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（）A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线3．圆5cos ρθθ=-的圆心极坐标是（） A ．45,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5,3π⎛⎫⎪⎝⎭C ．25,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．55,3π⎛⎫⎪⎝⎭4．在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:C ρθ=，3:cos C ρθ=，若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，则线段||AB 的最大值为（） AB ．2C ．1D．5．在极坐标系中，直线sin cos 1ρθρθ-=被曲线ρ截得的线段长为（） AB．2CD ．26．在极坐标系中有如下三个结论:①点P 在曲线C 上,则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程;②tan θ=1(ρ≥0)与θπ(ρ4=≥0)表示同一条曲线;③ρ=3与ρ=-3表示同一条曲线.其中正确的是( ) A ．①③B ．①C ．②③D ．③7．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,{?1x cos y sin αα==+（α为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为（）． A ．0B ．1C ．2D ．38．将直角坐标方程y x =转化为极坐标方程，可以是( )A ．1ρ=B ．ρθ=C ．1()R θρ=∈D ．()4R πθρ=∈9．()04πθρ=≥表示的图形是( )A ．一条线段B ．一条直线C ．一条射线D ．圆10．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－3π)＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点，则MN 的中点的极坐标为（）A ．(1,)3B．(,)36π C ．3π⎫⎪⎪⎝⎭， D．2⎛ ⎝⎭11．极坐标方程2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=表示的曲线是（） A ．一个圆B ．两个圆C ．两条直线D ．一个圆和一条直线12．在极坐标系中，直线cos()4ρθπ-=ρ的公共点的个数为A ．1B ．2C ．0D ．无法确定二、填空题13．已知直线l的极坐标方程为2sin()4πρθ-=A的极坐标为7)4π，则点A 到直线l 的距离为____．14．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos x a y sin θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭若直线l 与圆C 相切，则实数a =______.15．在极坐标系中，以,2a π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以a 为半径的圆的极坐标方程为__________. 16．点M的直角坐标为()1-，则点M 的极坐标是__________．17．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l的参数方程为2242x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩,直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，则a 的值为________.18．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2x cosay =⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________． 19．在极坐标系中，曲线上的点到点的最小距离等于________.20．已知直线的极坐标方程为πρcos θ23⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则点πA 2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线的距离为________ ．三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是8y =，圆C 的参数方程是2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩，（ϕ为参数）.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和圆C 的极坐标方程；（2）若射线:0,02OM πθααρ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与圆C 交于O ，P 两点，与直线l 交于点M ，射线:(0)2ON πθαρ=+与圆C 交于O ，Q 两点，与直线l 交于点N ，求||||||||OP OQ OM ON ⋅的最大值.22．在平面直角坐标系中，已知曲线与曲线（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，已知与,的公共点分别为,，当在区间上变化时，求的最大值．23．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1{x tcos y tsin αα=+=（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos .4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，若点P 的直角坐标为()1,0，试求当4πα=时，PA PB +的值. 24．在平面直角坐标系xOy 中，曲线()22110C x y y =+=≥，曲线222:13y C x +=.（I ）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线1C 的参数方程和2C 的极坐标方程；（II ）若直线cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）与12,C C 相交于,A B 两点，且1AB ，求α的值.25．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），曲线2C 的直角坐标方程为22(4)16x y +-=.（1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB .26．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为3sin ρθ=，曲线2C 的参数方程为11x ty t =-⎧⎨=+⎩（R t ∈）.（1）写出曲线1C 的直角坐标方程与曲线2C 的普通方程；（2）若射线θα=（0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点（不是原点），求OA OB 的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】由圆cos()3πρ=θ+，化为21(cos )2ρρθθ=，∴2212x y x y +=-，化为2211()(44x y -+=，∴圆心为1(,44-，半径r=12．∵tanα=3π-，∴圆cos()3πρ=θ+的圆心的极坐标为1(,)23π-．故选A ．2．C解析：C 【分析】将曲线C 的极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+化为普通方程，再将曲线C 的普通方程进行12x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩的伸缩变换后即可解.【详解】解：由极坐标方程22222123(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ=⇒+=+，可得：223412x y +=，即22143x y +=，曲线C经过伸缩变换12x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩，可得2x x y =⎧=''⎪，代入曲线C 可得：221x y ''+=，∴伸缩变换得到的曲线是圆．故选：C ．【点睛】考查曲线的极坐标方程化普通方程以及曲线方程的变换.其中将123x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩转化为2x xy=⎧=''⎪为解题关键. 3．D解析：D 【分析】先把圆的极坐标方程化成直角坐标方程求出圆心的直角坐标为5(,2，再把直角坐标化成极坐标得解. 【详解】由题得25cos sin ρρθθ=-，所以22225,50x y x x y x +=-∴+-+=，所以圆心的坐标为5(,2--，即5(,2.所以该点的极径5ρ==，极角θ在第四象限，且5tan 3θθπ==. 所以圆心极坐标是5(5,)3π. 故选：D 【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查圆的一般方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．B解析：B 【分析】首先将曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<转化为极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<，再通过联立1C 与2C 得)Aαα,，联立1C 与3C 得到()cos ,B αα，进而利用弦长公式和辅助角公式，结合三角函数的有界性即得结论．【详解】曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩的极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<，因此得到A 的极坐标为)αα,，B 的极坐标为()cos ,αα．所以sin 2sin 3=AB πααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为2．故选：B ．【点睛】本题考查极坐标与参数方程，考查运算求解能力，涉及辅助角公式，注意解题方法的积累，属于中档题．5．C解析：C 【分析】将直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式与勾股定理可得结果.直线sin cos 1ρθρθ-=的直角坐标方程为1y x -=，即10x y -+=，ρ化为22ρ=，直角坐标方程为222x y +=，圆心为原点，半径为r =圆心到直线10x y -+=的距离为2d ==，10x y -+=被圆222x y +=截得的弦长为== C. 【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，属于中档题. 求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式12l x =-，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.6．D解析：D 【解析】分析：利用曲线的极坐标方程的知识逐一判断得解.详解：在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程,如：曲线C 的极坐标方程为1ρ=，点P(-1,0)显然在曲线C 上，但是点P 的极坐标并不满足C 的极坐标方程,故①错误;tanθ=1不仅表示θπ4=这条射线,还表示θ5π4=这条射线,故②错误;ρ=3与ρ=-3差别仅在于方向不同,但都表示圆心为极点,半径为3的圆,故③正确.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查曲线的极坐标方程，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程,如：曲线C 的极坐标方程为1ρ=，点P(-1,0)显然在曲线C 上，但是点P 的极坐标并不满足C 的极坐标方程。

高二数学选修4-4,4-5各章练习ABC卷(含答案)

数学选修4-4 坐标系与参数方程［基础训练A 组］一、选择题x 1 2t1 •若直线的参数方程为（t 为参数），则直线的斜率为（）y 2 3tA. (2,_3) B . (2, _3) C . (2,勺 D . (2,2 k二、填空题x 3 4t1 .直线（t 为参数）的斜率为 ______________________ 。

y 4 5tttx e e2.参数方程 _________________________________________ t t （t 为参数）的普通方程为。

y 2（e e ）x 1 3t2. 3. 4. 5. 2一33一2F 列在曲线 A .(2, 将参数方程 ysin2 cossin 1)为参数）上的点是（）C . (2,、3)D . (1, .3)2 sin 2.2 sin 为参数）化为普通方程为（2 C . y x 2(2x 3) y x 2(0 y 1)2化极坐标方程 cos 0为直角坐标方程为（A . x 2 y 20 或yB . x 1C . x 2y 2 D . y 1点M 的直角坐标是（ 1八3），则点M 的极坐标为（6. 极坐标方程 cos 2sin 2 表示的曲线为（A .一条射线和一个圆B . 两条直线C . 一条直线和一个圆D . —个圆3.已知直线l1 : （t为参数）与直线l2 : 2x 4y 5相交于点B，又点A（1,2）,1 y2 4t数学选修4-4 坐标系与参数方程三、解答题(1 )求2x y 的取值范围;(2)若x y a 0恒成立，求实数a 的取值范围。

x 1 t■2.求直线h ：(t 为参数)和直线l 2:x y 2 3 0的交点P 的坐标，及点P y 5.3t与Q(1, 5)的距离。

ABx4.直线y1t1t2(t 为参数)被圆2y 4截得的弦长为 ___________________5.直线 xcos ysin0的极坐标方程为21•已知点P(x,y)是圆x y 2 2y上的动［综合训练B组］、选择题1.直线I的参数方程为之间的距离是（2.3.4.5.6. t （t为参数）,l上的点R对应的参数是1，则点R与P（a,b）A. t12t! C.D. fibx 参数方程为A .一条直线1t （t为参数）表示的曲线是（B .两条直线C. 一条射线 D •两条射线x 1 A 直线2_ （t为参数）和圆x22则AB的中点坐标为（(3, 3) B. ( . 3,3) C. (、、3,5cos 51. 3 sin 的圆心坐标是（与参数方程为x22 y_4C. x22y_41(0直线• 983)16交于A, B两点，B.(5,3)C.(5,_3)(5,—（t为参数）等价的普通方程为（2.1 t2B. X2冷1(0y 2) D. x2t（t为参数）被圆（xB. 404C. 82x 1)x 1,0 y 2)3)2 (y 1)225所截得的弦长为（D. .93 4.3数学选修4-4 坐标系与参数方程1.曲线的参数方程是1t (t为参数,tt20),则它的普通方程为2.直线x 3 at (t为参数)过定点______________________ 。

数学：4.1.2《极坐标系(1))课件(新人教选修4-4)

引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）. O 这样就建立了一个极坐标系.
X
2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
A(3, 0) 4 D(5, ) 3 5 G (6, ) 3
B(6, 2 ) 5 E (3, ) 6
C (3,

2
)
F (4, )
[小结] 由极坐标描点的步骤： (1) 先按极角找到点所在射线； (2) 在此射线上按极径描点.
思考: ①平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一, 那有多少种表示方法？ ② 不同的极坐标是否可以写出统一表达式？ 3、点的极坐标的表达式的研究如图：OM的长度为4，
M
P (ρ,θ) X
[1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M
O
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。如果限定ρ ＞0,0≤θ ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
例2. 在极坐标系中, (1) 已知两点 P(5, )， (2, 4 )，求线段PQ的长度； Q 3 3 (2) 已知点M的极坐标为(, ), R, 说明满足上述 4 条件的点M的位置.
思考: 对比直角坐标系，比较异同极点、极轴、长度单位、 (1) 要素：____________________ 角度单位和正方向 ____________________；
M
O X
(, ) (2) 平面内点的极坐标用_____表示.

苏州市高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测(含答案解析)

一、选择题1．在极坐标系中，圆cos()3πρ=θ+的圆心的极坐标为（） A ．1(,)23π-B ．1(,)23πC ．(1,)3π-D ．(1,)3π2．已知曲线C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C经过伸缩变换12x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（）A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线3．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为sin 42a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线2C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）.若1C 与2C 有且只有一个公共点，则实数a 的取值范围是（）A．B．(C ．[1,1)-D ．[1,1)-4．将正弦曲线sin y x =先保持纵坐标y 不变，将横坐标缩为原来的12；再将纵坐标y 变为原来的3倍，就可以得到曲线3sin 2y x =，上述伸缩变换的变换公式是（）A ．1'2'3x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．'2'3x xy y =⎧⎨=⎩C ．'21'3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．1'21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5．221x y +=经过伸缩变换23x xy y''=⎧⎨=⎩后所得图形的焦距（） A．B．C ．4D ．66．若22,3P π⎛⎫⎪⎝⎭是极坐标系中的一点，则8552,,2,,2,,2,3333Q R M N ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭四个点中与点P 重合的点有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．在极坐标系中，点A 是曲线8sin ρθ=上一动点，以极点O 为中心，将点A 绕O 顺时针旋转90︒得到点B ，设点B 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的极坐标方程为( ) A ．8cos ρθ= B ．8sin ρθ= C ．8cos ρθ=-D ．8sin ρθ=-8．在满足极坐标和直角坐标互化的条件下，极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+经过直角坐标系下的伸缩变换1'2'x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩后，得到的曲线是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．直线9．已知直线1:1x t l y at =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线221613sin ρθ=+的相交弦中点坐标为(1,1)，则a 等于（）A ．14-B ．14C ．12-D ．1210．极坐标方程2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=表示的曲线是（） A ．一个圆B ．两个圆C ．两条直线D ．一个圆和一条直线11．在同一坐标系中，将直线1x y +=变换为直线236x y +=的一个伸缩变换是（）A ．32x x y y ''=⎧⎨=⎩B ．23x xy y ''=⎧⎨=⎩C ．1312x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩D ．1213x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩12．在极坐标系中，两条曲线1πC :ρsin θ14⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2C :ρ=的交点为A,B ，则AB =（）A ．4B．C ．2D ．1二、填空题13．若直线l 的极坐标方程为ρcos ()4πθ-=C ：ρ＝1上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为________．14．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线C ：2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．15．在极坐标系中，曲线2ρ=与cos sin 00θθθπ+=≤≤（）的交点的极坐标为__________．16．在极坐标系中，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系，点2,6M π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标是__________． 17．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为 .18．已知直线l 和曲线Γ的极坐标方程分别为()sin cos 1ρθθ-=和1ρ=，若l 和Γ相交于两点,A B ，则AB =_______.19．在极坐标系中，已知两点(2,)3P π和)6Q 5π，则PQ 的中点M 的极坐标为_________．20．在极坐标系中，直线cos 10ρθ+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为__________．三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）过极点O 作直线与圆C 交于点A ，求OA 的中点所在曲线的极坐标方程. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中α为参数），曲线()222:11C x y -+=，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程； (2)若射线(0)6πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，求AB .23．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 24sin x y αα=+⎧⎨=⎩ (α为参数)，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求||AB 的值． 24．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为3cos ,3sin x m a y α=+⎧⎨=⎩（α为参数，m 为常数）.在以原点O 为极点、以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭若直线l 与圆C 有两个公共点，求实数m 的取值范围.25．已知平面直角坐标系xOy ，直线l 过点P ，且倾斜角为α，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos()103πρρθ---=．（1）求直线l 的参数方程和圆C 的标准方程；（2）设直线l 与圆C 交于M 、N 两点，若||||PM PN -=，求直线l 的倾斜角α的值．26．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩(ϕ为参数)，过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点．(1)求l 和M 的极坐标方程；(2)当04πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，求OA OB +的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】由圆cos()3πρ=θ+，化为21(cos )2ρρθθ=，∴2212x y x y +=-，化为2211()(44x y -+=，∴圆心为1(,4，半径r=12．∵tanα=3π-，∴圆cos()3πρ=θ+的圆心的极坐标为1(,)23π-．故选A ．2．C解析：C 【分析】将曲线C 的极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+化为普通方程，再将曲线C 的普通方程进行12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩的伸缩变换后即可解. 【详解】解：由极坐标方程22222123(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ=⇒+=+，可得：223412x y +=，即22143x y +=，曲线C经过伸缩变换12x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩，可得2x x y =⎧=''⎪，代入曲线C 可得：221x y ''+=，∴伸缩变换得到的曲线是圆．故选：C ．【点睛】考查曲线的极坐标方程化普通方程以及曲线方程的变换.其中将12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩转化为2x xy =⎧=''⎪为解题关键. 3．D解析：D 【解析】【分析】先把曲线1C ，2C 的极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程和一般方程，若1C 与2C 有且只有一个公共点可转化为直线和半圆有一个公共点，数形结合讨论a 的范围即得解. 【详解】因为曲线1C的极坐标方程为sin ,42a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即)ρθθ= 故曲线1C 的直角坐标方程为：0x y a +-=.消去参数θ可得曲线2C 的一般方程为：221x y +=，由于0θπ，故0y ≥如图所示，若1C 与2C 有且只有一个公共点，直线与半圆相切，或者截距11a -≤< 当直线与半圆相切时122O l d a -==∴=由于为上半圆，故02a a >∴= 综上：实数a 的取值范围是[1,1)-2故选：D 【点睛】本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程、一般方程的互化，以及直线和圆的位置关系，考查了学生数形结合，数学运算的能力，属于中档题.4．A解析：A 【分析】首先设出伸缩变换关系式，把伸缩变换关系式代入变换后的方程，利用系数对应相等，可得答案。

人教版高中数学选修4-4课件：第一讲四柱坐标系与球坐标系简介

＝1，故点 B1 的柱坐标为
π 2，，1. 4
π (2)易知 r＝|OC1|＝ 2，φ＝∠O1OC1＝， 4
π π π θ＝∠AOC＝，故点 C1 的球坐标为 2，4，2. 2 答案：(1) π π π 2，，1 (2) 2，， 4 4 2
2
π 且角 θ 的终边经过点(1，1，0)，所以 θ＝， 4
所以点 M 的柱坐标为
π 2，，1. 4
(2)设点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ， z) ，
因为(ρ，θ，z)＝
3π 2，，2， 4
3π x＝ρcos θ， x＝ 2cos 4 ， x＝－1， 3 π 由公式y＝ρsin θ，得y＝ 2sin ，即y＝1， 4 z＝2. z＝z z＝2，
解：(1)由变换公式，得 ρ2＝x2＋y2＝12＋12＝2，ρ＝ 2， y 1 π tan θ＝x＝＝1，θ＝ (点 M 在第一象限)． 1 4
因此点 M 的柱坐标为
π 2，，3. 4
(2)设点的直角坐标为(x，y，z)．
5π 因为(ρ，θ，z)＝2， 6 ，3，
5π x＝ρcos θ＝2cos 6 ， x＝－ 3， 5 π 所以y＝ρsin θ＝2sin ，即y＝1， 6 z＝3. z＝3，
5π 所以点2， 6 ，3的直角坐标为(－
3，1，3)．
类型 3 球坐标与直角坐标互化(互动探究) [典例 3] (1)将点 A 的直角坐标(1，1， 2)化为球坐标；
)
解析：设方程 r＝2 的解在空间对应点 P 的球坐标为 P(2，φ，θ)，直角坐标为 P(x，y，z)．

2022版高考数学(文理通用新课标)一轮复习教师用书：选修4-4 坐标系与参数方程 Word版含解析

选修4－4⎪⎪⎪坐标系与参数方程第一节坐标系突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换基础联通抓主干学问的“源”与“流”设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．考点贯穿抓高考命题的“形”与“神”平面直角坐标系下图形的伸缩变换典例] 求椭圆x 24＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y 后的曲线方程．解] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.①将①代入x 24＋y 2＝1，得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1.方法技巧]应用伸缩变换公式时的两个留意点(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时肯定要区分变换前的点P 的坐标(x ，y )与变换后的点P ′的坐标(X ，Y )，再利用伸缩变换公式⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax (a >0)，Y ＝by (b >0)建立联系．(2)已知变换后的曲线方程f (x ，y )＝0，一般都要改写为方程f (X ，Y )＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．力量练通抓应用体验的“得”与“失”1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .求点A ⎝⎛⎭⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标．解：设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，所以A ′(1，－1)为所求．2．求直线l ：y ＝6x 经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得到的直线l ′的方程．解：设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由题意，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝⎛⎭⎫13x ′，所以y ′＝x ′，即直线l ′的方程为y ＝x . 3．求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标．解：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由题意，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，本节主要包括2个学问点： 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换； 2.极坐标系.即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线，则所求焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．4．将圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1的一个伸缩变换公式为φ：⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax (a >0)，Y ＝by (b >0)，求a ，b 的值．解：由⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax ，Y ＝by知⎩⎨⎧x ＝1a X ，y ＝1b Y ，代入x 2＋y 2＝1中得X 2a 2＋Y 2b2＝1，所以a 2＝9，b 2＝4，即a ＝3，b ＝2.突破点(二) 极坐标系基础联通抓主干学问的“源”与“流” 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，点O 叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)表示同一个点，特殊地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有很多种表示．假如规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．2．极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x ，y )极坐标(ρ，θ)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)考点贯穿抓高考命题的“形”与“神”极坐标与直角坐标的互化1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤第一步推断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x 轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化其次步通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，肯定要留意变形过程中方程要保持同解，不要消灭增解或漏解第三步依据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ及ρ2＝x 2＋y 2将极坐标方程转化为直角坐标方程2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简洁，只需将直角坐标方程中的x ，y 分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．(2)求直角坐标系中的点(x ，y )对应的极坐标的一般步骤：第一步，依据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离，即计算ρ；其次步，依据角θ的正切值tan θ＝yx (x ≠0)求出角θ(若正切值不存在，则该点在y 轴上)，问题即解．例1] 在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，则直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. 方法技巧]1．应用互化公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以x 轴的正半轴为极轴． (3)两种坐标系规定相同的长度单位． 2．直角坐标化为极坐标时的两个留意点(1)依据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈0,2π)时，除极点外，点M 的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应留意推断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ(θ∈0,2π))的值．极坐标方程的应用例2] (2021·福州五校联考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .(1)若直线l 过原点，且被曲线C 截得的弦长最小，求直线l 的直角坐标方程； (2)若M 是曲线C 上的动点，且点M 的直角坐标为(x ，y )，求x ＋y 的最大值．解] (1)ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2＝0，即ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－2＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4，圆心C (1，－1)，若直线l 被曲线C 截得的弦长最小，则直线l 与OC 垂直，即k l ·k OC ＝－1，k OC ＝－1，因而k l ＝1，故直线l 的直角坐标方程为y ＝x .(2)由于M 是曲线C 上的动点，因而利用圆的参数方程可设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝－1＋2sin φ(φ为参数)，则x ＋y ＝2sinφ＋2cos φ＝22sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4，当sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4＝1时，x ＋y 取得最大值2 2.易错提示]用极坐标系解决问题时要留意题目中的几何关系，假如几何关系不简洁通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不生疏的问题转化为生疏的问题加以解决．力量练通抓应用体验的“得”与“失”1．考点一、二]已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离．解：由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝2，由坐标变换公式，得直线l 的直角坐标方程为y ＋x ＝1，即x ＋y －1＝0. 由点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，所以点A 到直线l 的距离d ＝|2－2－1|2＝22.2．考点一]已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy . 圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.由坐标变换公式，得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.3．考点二]在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求实数a 的值．解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x －y ＋a ＝0，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，所以圆心C 的坐标为(1，－2)，半径r ＝5，所以圆心C 到直线的距离为|1＋2＋a |2＝r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝2，解得a ＝－5或a ＝－1.故实数a 的值为－5或－1.4．考点一、二](2021·洛阳统考)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，由坐标变换公式，得x 2＋y 2＝4. 由于ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2. 由坐标变换公式，得x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. 全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2022·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . 解：(1)消去参数t 得到C 1的一般方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的一般方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上．所以a ＝1.2．(2021·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)由于x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2. 由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.课时达标检测] 基础送分题——高考就考那几点，练通就能把分捡1．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．由于圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝ (2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.2．设M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22上的动点，求M ，N 的最小距离．解：由于M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22上的动点，即M ，N 分别是圆x 2＋y 2＋2y ＝0和直线x ＋y －1＝0上的动点，要求M ，N 两点间的最小距离，即在直线x ＋y －1＝0上找一点到圆x 2＋y 2＋2y ＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x ＋y －1＝0的距离减去半径，故最小值为|0－1－1|2－1＝2－1.3．在极坐标系中，求直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．解：ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为3x －y ＝2，即y ＝3x －2. ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6. 4．(2021·山西质检)在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．解：(1)曲线C ：ρ2＝31＋2sin 2θ，即ρ2＋2ρ2sin 2θ＝3，从而ρ2cos 2θ3＋ρ2sin 2θ＝1. ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1，点R 的直角坐标为R (2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，依据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ， ∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，当θ＝π6时，|PQ |＋|QR |取最小值2，∴矩形PQRS 周长的最小值为4，此时点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.5．(2021·南京模拟)已知直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：圆C 的极坐标方程可化为ρ＝2k cos θ－2k sin θ，即ρ2＝2kρcos θ－2kρsin θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0，即⎝⎛⎭⎫x －22k 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋22k 2＝k 2，所以圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22k ，－22k .直线l 的极坐标方程可化为ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0，所以⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |，两边平方，得|k |＝2k ＋3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＞0，k ＝2k ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，－k ＝2k ＋3，解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－22，22. 6．已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上，且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ分别代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ |·|OP |＝|OR |2，得ρρ1＝ρ22. 又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．7．(2021·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)；(2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的一般方程．解：(1)如图，设圆C 上任意一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π3－θ.由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcos θ－π3＝4，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3. (2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，可设圆C 上任意一点P (1＋2cos α，3＋2sin α)，又令M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，得点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos α2，y ＝2sin α2(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos α，y ＝sin α(α为参数)， ∴点M 的轨迹的一般方程为(x －3)2＋y 2＝1.8．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ0＋π2，若A ，B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．解：(1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴C 1的一般方程为x 24＋y 2＝1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a cos θ(a 为半径)，将D ⎝⎛⎭⎫2，π3 代入，得2＝2a ×12， ∴a ＝2，∴圆C 2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2， ∴C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ. ∴ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0，ρ22＝44sin 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0.∴1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54. 其次节参数方程突破点(一) 参数方程基础联通抓主干学问的“源”与“流”1．参数方程一般地，在平面直角坐标系中，假如曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就本节主要包括2个学问点： 1.参数方程；2.参数方程与极坐标方程的综合问题.叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做一般方程．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．考点贯穿抓高考命题的“形”与“神”参数方程与一般方程的互化1．参数方程化为一般方程基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1等．2．一般方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简洁；当参数取某一值时，可以唯一确定x ，y 的值；(2)具体步骤第一步，引入参数，但要选定合适的参数t ；其次步，确定参数t 与变量x 或y 的一个关系式x ＝f (t )(或y ＝φ(t ));第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入一般方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝g (t )(或x ＝ψ(t ))，问题得解．例1] 将下列参数方程化为一般方程．(1)⎩⎨⎧x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)．解] (1)∵⎝⎛⎭⎫1t 2＋⎝⎛⎭⎫1t t 2－12＝1， ∴x 2＋y 2＝1.∵t 2－1≥0，∴t ≥1或t ≤－1.又x ＝1t ，∴x ≠0. 当t ≥1时，0<x ≤1，当t ≤－1时，－1≤x <0，∴所求一般方程为x 2＋y 2＝1，其中⎩⎨⎧0<x ≤1，0≤y <1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <0，－1<y ≤0.(2)∵y ＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x －2， ∴y ＝－2x ＋4，∴2x ＋y －4＝0. ∵0≤sin 2θ≤1，∴0≤x －2≤1，∴2≤x ≤3，∴所求的一般方程为2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)．易错提示](1)将曲线的参数方程化为一般方程时务必要留意x ，y 的取值范围，保证消参前后的方程的全都性． (2)将参数方程化为一般方程时，要留意参数的取值范围对一般方程中x ，y 的取值范围的影响．直线与圆锥曲线的参数方程及应用1第一步，把直线和圆锥曲线的参数方程都化为一般方程；其次步，依据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．2．当直线经过点P (x 0，y 0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，交点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t 1＋t 2，t 1·t 2，得到|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2.例2] (2021·豫南九校联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|PA |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率．解] (1)将曲线C 的参数方程化为一般方程是x 24＋y 2＝1.当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0.直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，代入曲线C 的一般方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1213，－313.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的一般方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0，由于|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7，所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516.由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0，故tan α＝54.所以直线l 的斜率为54.方法技巧]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为一般方程再依据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)的直线的参数方程，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．1．考点一]将下列参数方程化为一般方程．(1)⎩⎨⎧x ＝3k1＋k 2，y ＝6k21＋k2(k 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)．解：(1)两式相除，得k ＝y 2x ，将其代入x ＝3k1＋k 2得x ＝3·y2x 1＋⎝⎛⎭⎫y 2x 2，化简得4x 2＋y 2－6y ＝0，由于y ＝6k 21＋k 2＝6－11＋k 2，所以0<y <6，所以所求的一般方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(0<y <6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈0,2]，得所求的一般方程为y 2＝2－x ，x ∈0,2]．2．考点二](2021·唐山模拟)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝14y得到曲线C ′.(1)求曲线C ′的一般方程；(2)若点A 在曲线C ′上，点D (1,3)．当点A 在曲线C ′上运动时，求AD 中点P 的轨迹方程．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝4sin θ代入⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝14y ，得曲线C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2cos θ，y ′＝sin θ，∴曲线C ′的一般方程为x 24＋y 2＝1.(2)设点P (x ，y )，A (x 0，y 0)，又D (1,3)且AD 的中点为P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －3.又点A 在曲线C ′上，∴将A 点坐标代入C ′的一般方程x 24＋y 2＝1，得(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4，∴动点P的轨迹方程为(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4.3．考点二](2021·郑州模拟)将曲线C 1：x 2＋y 2＝1上全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到曲线C 2，A 为C 1与x 轴正半轴的交点，直线l 经过点A 且倾斜角为30°，记l 与曲线C 1的另一个交点为B ，与曲线C 2在第一、三象限的交点分别为C ，D .(1)写出曲线C 2的一般方程及直线l 的参数方程； (2)求|AC |－|BD |.解：(1)由题意可得C 2：x 22＋y 2＝1，对曲线C 1，令y ＝0，得x ＝1，所以l ：⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．(2)将⎩⎨⎧x ＝1＋3t 2，y ＝12t代入x 22＋y 2＝1，整理得5t 2＋43t －4＝0.设点C ，D 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－435，且|AC |＝t 1，|AD |＝－t 2.又|AB |＝2|OA |cos 30°＝3，故|AC |－|BD |＝|AC |－(|AD |－|AB |)＝|AC |－|AD |＋|AB |＝t 1＋t 2＋3＝35. 4．考点二]设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)． (1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)，所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率为k ＝52.(2)将圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ，化成一般方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4，① 将直线l 的参数方程代入①式，得 t 2＋2(2cos α＋5sin α)t ＋25＝0.②当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，方程②有两个不相等的实根，即Δ＝4(2cos α＋5sin α)2－100＞0，即20sin αcos α＞21cos 2α，两边同除以cos 2α，由此解得tan α＞2120，即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫2120，＋∞.突破点(二) 参数方程与极坐标方程的综合问题将极坐标方程与参数方程、一般方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程的综合应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要留意：(1)解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆.要娴熟把握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.(2)应用解析法解决实际问题时，要留意选取直角坐标系还是极坐标系，建立极坐标系要留意极点、极轴位置的选择，留意点和极坐标之间的“一对多”关系.(3)求曲线方程，常设曲线上任意一点P (ρ，θ)，利用解三角形的学问，列出等量关系式，特殊是正弦、余弦定理的应用.圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题.(4)参数方程和一般方程表示同一个曲线时，要留意其中x ，y 的取值范围，即留意两者的等价性.考点贯穿抓高考命题的“形”与“神”参数方程与极坐标方程的综合问题典例] (2021·长沙模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋k sin θ)＝－2(k 为实数)．(1)推断曲线C 1与直线l 的位置关系，并说明理由；(2)若曲线C 1和直线l 相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，求直线l 的斜率．解] (1)由曲线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝sin α可得其一般方程为(x ＋1)2＋y 2＝1.由ρ(cos θ＋k sin θ)＝－2可得直线l 的直角坐标方程为x ＋ky ＋2＝0. 由于圆心(－1,0)到直线l 的距离d ＝11＋k 2≤1，所以直线与圆相交或相切，当k ＝0时，d ＝1，直线l 与曲线C 1相切；当k ≠0时，d <1，直线l 与曲线C 1相交． (2)由于曲线C 1和直线l 相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，故圆心到直线l 的距离d ＝11＋k 2＝1－⎝⎛⎭⎫222＝22，解得k ＝±1，所以直线l 的斜率为±1. 方法技巧]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为一般方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．1．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ，求直线被曲线C 截得的弦长．解：(1)∵曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，∴曲线C 的一般方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10，①曲线C 表示以(3,1)为圆心，10为半径的圆．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ，即曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)∵直线的直角坐标方程为y －x ＝1， ∴圆心C 到直线的距离为d ＝322， ∴弦长为210－92＝22.2．在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ(a ≠0)，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋1，y ＝4t ＋3(t 为参数)．(1)求圆C 的标准方程和直线l 的一般方程；(2)若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．解：(1)由ρ＝2a cos θ，ρ2＝2aρcos θ，又ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，所以圆C 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋1，y ＝4t ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x －13＝t ，y －34＝t ，因此x －13＝y －34，所以直线l 的一般方程为4x －3y ＋5＝0.(2)由于直线l 与圆C 恒有公共点，所以|4a ＋5|42＋(－3)2≤|a |，两边平方得9a 2－40a －25≥0，所以(9a ＋5)(a－5)≥0，解得a ≤－59或a ≥5，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－59∪[)5，＋∞.全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2022·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以直线l 的斜率为153或－153. 2．(2022·全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的一般方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．解：(1)C 1的一般方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．由于C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2，当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 3．(2021·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.4．(2022·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的一般方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的一般方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.5．(2022·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，依据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的一般方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．由于C 在点D 处的切线与l垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32.6．(2021·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ， (t 为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为一般方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的一般方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2. 课时达标检测] 基础送分题——高考就考那几点，练通就能把分捡1．(2021·郑州模拟)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2－32t ，y ＝12t ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系． (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)求曲线C 2上的动点M 到曲线C 1的距离的最大值．解：(1)ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2(cos θ＋sin θ)，即ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，可得x 2＋y 2－2x －2y ＝0，故C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)C 1的一般方程为x ＋3y ＋2＝0，由(1)知曲线C 2是以(1,1)为圆心，以2为半径的圆，且圆心到直线C 1的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝3＋32，所以动点M 到曲线C 1的距离的最大值为3＋3＋222.2．在极坐标系中，已知三点O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)求经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程；(2)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)，若圆C 1与圆C 2外切，求实数a 的值．解：(1)O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4对应的直角坐标分别为O (0,0)，A (0,2)，B (2,2)，则过点O ，A ，B 的圆的一般方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入可求得经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (2)圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)对应的一般方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，圆心为(－1，－1)，半径为|a |，而圆C 1的圆心为(1,1)，半径为2，所以当圆C 1与圆C 2外切时，有2＋|a |＝(－1－1)2＋(－1－1)2，解得a ＝±2.3．(2021·太原模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ.(1)写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的一般方程；(2)过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，若|MA |·|MB |＝83，求点M 轨迹的直角坐标方程．解：(1)直线l 的直角坐标方程为y ＝x ，曲线C 的一般方程为x 22＋y 2＝1.(2)设点M (x 0，y 0)，过点M 的直线为l 1：⎩⎨⎧x ＝x 0＋22t ，y ＝y 0＋22t (t 为参数)，由直线l 1与曲线C 相交可得：3t 22＋2tx 0＋22ty 0＋x 20＋2y 20－2＝0，由|MA |·|MB |＝83，得t 1t 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋2y 20－232＝83，即x 20＋2y 20＝6，x 2。

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1 / 4
第一讲测试题①
一、选择题
1．将点的直角坐标(－2，23)化成极坐标得( )．
A．(4，32) B．(－4，32) C．(－4，3) D．(4，3)
2．极坐标方程 cos＝sin2( ≥0)表示的曲线是( )．
A．一个圆 B．两条射线或一个圆 C．两条直线 D．一条射线或一个圆 3．极坐标方程cos＋12＝化为普通方程是( )． A．y2＝4(x－1) B．y2＝4(1－x) C．y2＝2(x－1) D．y2＝2(1－x) 4．点P在曲线  cos＋2 sin＝3上，其中0≤≤4π，＞0，则点P的轨迹是( )． A．直线x＋2y－3＝0 B．以(3，0)为端点的射线 C．圆(x－2)2＋y＝1 D．以(1，1)，(3，0)为端点的线段 5．设点P在曲线 sin ＝2上，点Q在曲线 ＝－2cos 上，则|PQ|的最小值为 A．2 B．1 C．3 D．0 6．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程222sin4＋ cos312＝经过直角坐标系下的伸缩变换y＝yx＝ x3321后，得到的曲线是( )． A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 7．在极坐标系中，直线2＝ 4π＋ sin )(，被圆 ＝3截得的弦长为( )． A．22 B．2 C．52 D．32 8．＝2(cos －sin )(＞0)的圆心极坐标为( )． A．(－1，4π3) B．(1，4π7) C．(2，4π) D．(1，4π5) 9．极坐标方程为lg ＝1＋lg cos ，则曲线上的点(，)的轨迹是( )． A．以点(5，0)为圆心，5为半径的圆 B．以点(5，0)为圆心，5为半径的圆，除去极点 C．以点(5，0)为圆心，5为半径的上半圆 D．以点(5，0)为圆心，5为半径的右半圆 10．方程sin ＋ cos 11＝－表示的曲线是( )． A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
二、填空题
11．在极坐标系中，以(a，2π)为圆心，以a为半径的圆的极坐标方程为．
12．极坐标方程 2cos －＝0表示的图形是．
13．过点(2，4π)且与极轴平行的直线的极坐标方程是．
14．曲线 ＝8sin 和 ＝－8cos (＞0)的交点的极坐标是．
15．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为cos ＝3，＝4cos  (其中0≤＜2π)，则
C1，C2交点的极坐标为．
16．P是圆 ＝2Rcos 上的动点，延长OP到Q，使|PQ|＝2|OP|，则Q点的轨迹方程
是．

第一讲测试题②
2 / 4

一．选择题
1．已知3,5M，下列所给出的不能表示点M的坐标的是（）

A．3,5 B．34,5 C．32,5 D．35,5
2．点3,1P，则它的极坐标是（）
A．3,2 B．34,2 C．3,2 D．34,2

3．极坐标方程4cos表示的曲线是（）
A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．圆
4．圆)sin(cos2的圆心坐标是

A．4,1 B．4,21 C．4,2 D．4,2
5．在极坐标系中，与圆sin4相切的一条直线方程为
A．2sin B．2cos C．4cos D．4cos

6、已知点0,0,43,2,2,2OBA则ABO为
A、正三角形 B、直角三角形 C、锐角等腰三角形 D、直角等腰三角形
7、)0(4表示的图形是
A．一条射线 B．一条直线 C．一条线段 D．圆

8、直线与1)cos(的位置关系是
A、平行 B、垂直 C、相交不垂直 D、与有关，不确定
9.两圆cos2,sin2的公共部分面积是
A.214 B.2 C.12 D.2
10.极坐标方程cos2sin2表示的曲线为（）
A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆

二．填空题（每题5分共25分）
11、曲线的cos3sin直角坐标方程为_

12．极坐标方程52sin42化为直角坐标方程是

13．圆心为6,3C，半径为3的圆的极坐标方程为

14．已知直线的极坐标方程为22)4sin(，则极点到直线的距离是
15、在极坐标系中，点P611,2到直线1)6sin(的距离等于____________。
16、与曲线01cos关于4对称的曲线的极坐标方程是__________________。
17、在极坐标中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线cos4于A、B两点，
则|AB|= 。
3 / 4

第一讲测试题① 答案
一、选择题
1．A 解析：＝4，tan ＝3＝232－－，＝3π2．故选A．
2．B 解析：∵ cos＝2sin  cos ，∴cos ＝0或 ＝2sin，＝0时，曲线是原点；

＞0时，cos ＝0为两条射线，＝2sin时为圆．故选B．
3．B 解析：原方程化为2cos，即x－yx 2 ＝＋22，即y2＝4(1－x)．
4．D解析：∵x＋2y＝3，即x＋2y－3＝0，又∵ 0≤≤4π，＞0，故选D． 5． B 解析：两曲线化为普通方程为y＝2和(x＋1)2＋y2＝1，作图知选B． 6．D解析：曲线化为普通方程后为13422yx，变换后为圆． 7．Ｃ解析：直线可化为x＋y＝22，圆方程可化为x2＋y2＝9．圆心到直线距离d＝2， ∴弦长＝22223－＝52．故选Ｃ． 8．B解析：圆为：x2＋y2－yx2 ＋ 2＝0，圆心为2222－,，即) ，(4π71，故选B． 9．B解析：原方程化为＝10cos ，cos ＞0．∴0≤＜2π和23π＜＜2，故选B． 10．C解析：∵1＝－cos ＋sin ，∴＝cos －sin ＋1，∴x2＋y2＝(x－y＋1)2， 2x－2y－2xy＋1＝0，即xy－x＋y＝21，即(x＋1)(y－1)＝－21，是双曲线xy＝－21的平移，故选Ｃ．二、填空题 11．＝2asin ．解析：圆的直径为2a，在圆上任取一点P(，)，则∠AOP＝2π－或－2π，
∵＝2acos∠AOP，即2cos2 ＝ －a＝2asin ．
12．极点或垂直于极轴的直线．

解析：∵·( cos －1)＝0，∴＝0为极点， cos －1＝0为垂直于极轴的直线．
13． sin ＝1．解析：2＝ sin ×1 ＝ 4πsin．
14．(42，4π3)．

解析：由8sin ＝－8cos  得tan ＝－1．＞0得 cossin ＝4π3；
又由 ＝8sin4π3得 ＝42．

P

，  )  (

O
2 a

x
(第11题)

D
Q
8
8
(第12题)
O
x

＞0，
＜0.
4 / 4

15．6π32 ，．解析：由 cos＝3有 ＝ cos3， cos3＝4cos，cos2＝43，＝6π；
消去得 2＝12，＝23．
16．＝6Rcos ．解析：设Q点的坐标为(，)，
则P点的坐标为 ，31，代回到圆方程中得31＝2Rcos ，＝6Rcos ．

第一讲测试题② 答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D A B D A B C C
二．填空题

11.0322yyxx 12．42552xy； 13．6cos6；

14．22； 15．13； 16． 01sin 17.
32