板的稳定(结构数值原理)

第4章 板的稳定 4.1 板的稳定微分方程 板按照其厚度可分为厚板、薄板和薄膜三种。将板的厚度t与板幅面的最小宽度b相比，如果t/b＞1/5～1/8时，板被称为厚板；当1／80～1／100＜t/b＜1/5～1/8，这个范围内的板称为薄板；而当t/b＜1/80～1/100时，板被称为薄膜。薄膜没有抗弯刚度，完全靠薄膜张力来支承横向荷载作用。薄板不仅具有抗弯刚度，还可能存在薄膜张力。 薄板在横向荷载作用下，如果产生的挠度w ≤t/5，则属于薄板的小挠度弯曲问题。此时，薄板中的物理方程和内力表达式与弹性力学中平面应力问题的物理方程和内力表达式相同。薄板中于薄板上下表面等距离的面称为中面。当薄板在中面内承受平行于中面的荷载而失稳时，也可以根据静力平衡准则来确定板的临界荷载。下面根据小挠度理论给出薄板的弹性稳定微分方程 图4－1

2222244224442)2(ywNyxwNxwNywyxwxwDyxyx

 （4.1）

式中：)1(1223EtD，为单位宽度板的抗弯刚度。式（4.1）是一个以挠度为未知量的常系数线性四阶偏微分方程。 板的边界条件表达式：

1）简支边：挠度w＝0，弯距xM＝0，即 0)(2222ywxwD，由于板的边界各点

挠度均为零，则其曲率022yw，故022xw。 2）固定边：挠度w＝0，斜率0xw。 3）自由边：弯距xM=0，即 0)(2222ywxwD；剪力0xQ；扭矩xyM＝0，均匀分布的扭矩xyM等效于均匀分布的剪力yMxy，xQ与yMxy可合并为0)2(2333yxwx

w。

4.2 受压简支板的弹性失稳 4.2.1 单向均匀受压简支板的弹性失稳 如图4－2所示四边简支矩形板，板的中面上作用有xxPN、xyN＝0、yN＝0；因此，板的弹性稳定微分方程式（4.1）为

图4－2 0)2(224422444xwPywyxwxwDx （4.2）

根据板的边界条件，当 0x 和 ax时，w＝0、022xw、022yw；

0y 和 by时，w＝0、022xw、022yw.

符合这些边界条件的板的挠曲面可用二重三角级数表示为 11sinsinmnmnbyna

xmAw

（4.3）

式中：m和n分别是板失稳时，在x和y方向的半波数，mnAnm;,3,2,1,,3,2,1 为各项的待定常数。 对w微分两次和四次后代入偏微分方程，得

11222444224224440sinsin2mnxmnbynaxmamD

Pbnbanmam

Aw

（4.4）

由于axmsin和bymsin均不为零，mnA也不为零，否则板仍然为平面平衡状态，所以 0222244422422444amDPbnbanma

mx

解得 2222mbanambbDPx （4.5） 式中：)1(1223EtD. 只有当n=1时，式（4.5）有最小值，所以有意义的临界荷载为222



mbaambbDPcrx

 （4.6）

或 22bDKPcrx （4.7） 式中：K — 为稳定系数，2)(mbaambK. （4.8） 由0dmdK，可得bam，K=4，则

224bD

Pcrx

要使上式成立，bam/ 必须是整数，如果 bam/不是整数，则 222)(mbaambbDPcrx 或 2

2

bD

KPcrx

计算临界荷载时，m的取值应使K值最小。当n=1时，即在y方向成一个半波的条件下，K随m和a / b成曲线关系，如图4－2所示。 板的长宽比在2/ba时，m=1，板以一个半波的形式失稳；长宽比在2与6之间时，m=2，板以两个半波的形式失稳；长宽比在6与12之间时，m=3，余类推。而当长宽比0.4/ba时，K值已非常接近于最小值4minK。 由式（4.6）可得板的临界应力

222)/()1(12tbEKtPcrxcrx

 （4.9）

由式（4.9）可知，单向均匀受压板的临界应力与板的宽厚比的平方成反比，而与板的长度无关。对于单向均匀受压的矩形板，当加载边为简支，而非加载边为各种不同的支承条件时，稳定系数K的最小值如表4－1。 表4－1 序号 1 2 3 4 5 非加载边的支承条件 一边简支 一边自由 一边固定 一边自由 两边简支 一边简支 一边固定 两边固定

稳定系数K 0.425 1.280 4.000 5.420 6.970 只有当2/ba时，同时边界条件由简支变为固定，稳定系数K才会有较大提高。通过上述讨论可知，对于单向均匀受压的狭长板，用增加横向加劲肋来改变ba/，从而提高稳定系数的做法并无明显的效果；如果把加劲肋的间距取得小于2b又很不经济。而对于很宽的薄板，如果采用纵向加劲肋以减少板的宽度b倒是有效的。例如在板的纵

向中心加一条加劲肋时2216bPDcrx。

4.2.2 能量法计算简支板的弹性失稳 四边简支的均匀受压板，计算公式中每一项都有bynaxmsinsin，因此，可以从各项中将其分离出来，这样用平衡法求解很方便；而当板的支承条件不是简支时，三角函数则无法分离，这时就需要用能量法来求解。 1）板的总势能 已知 VU，则弹性应变能

dxdyyxwywxwywxwDUab0022222222221

2 外力势能 abxyyxdxdyywxwPywPxwPV0022221 2）瑞利—李兹法 假设符合板的几何边界条件的挠曲面函数为

11),(mnmnyxfAw

将此式代入总势能公式中，经积分后，根据势能驻值原理建立一组0,,0,01211mnAAA的线性代数方程组。其非零解的条件是方程组的系数行列

式为零，即可得板的稳定方程。 3）伽辽金法 已知板的平衡偏微分方程为0)(wL，需假定符合板的几何与自然边界条件的挠曲面函数，现假定挠曲面函数为 niiiyxAw1),(

可得伽辽金方程组



abnababdxdyyxwLdxdyyxwLdxdyyxwL000020010),()(0),()(0),()(



 







上面方程组经积分后可得到nAAA,,21的线性方程组，为得到它们的非零解，其系数行列式应为零，则可得稳定方程，由稳定方程可解的临界荷载。 4.3 均匀受剪简支板的弹性失稳 均匀受剪的四边简支板如图4－4所示，在其对角线方向因受压而失稳，失稳时板的波长与另一对角线方向的拉力有关。对于长板，失稳时的半波长度约为板宽的1.25倍。当采用能量法求解剪切临界荷载时，板的挠曲面函数可用二重三角函数表示。但是对于均匀受剪的四边简支板，可以利用均匀受剪四边简支的正方形板来求解临界荷载的近似值。 图4－4 如采用伽辽金法求解时，板的中面力yxxyyxxyppNN，而0,0yxNN。板的平衡偏微分方程为 022)(24422444yxwDpywyxwxwwLxy 设满足几何和自然边界条件的挠曲面函数为 ayaxAayaxAw2sin2sinsinsin21 （4.10）

伽辽金方程组为 0sinsin)(00dxdyayaxwLaa （4.11a） 02sin2sin)(00dxdyayaxwLaa （4.11b）

将式（4.10）的偏微分代入式（4.11）经积分后得到

09322124ADpAa

xy



0169322241AaAD

pxy

板的失稳条件是 0169329322424aDpDpaxyxy