两列波相干后,互相叠加形成稳定驻波的特点
机械波的干涉和驻波现象
机械波的干涉和驻波现象机械波是一种传播能量的波动现象，其在传播过程中会出现干涉和驻波现象。
干涉是指两个或多个波在空间中相遇后，相互叠加形成新的波纹图案的现象。
驻波是指由于波在空间中来回反射导致波节和波峰固定不动的现象。
一、干涉现象干涉现象是指两个或多个波在空间中相互叠加形成新的波纹图案的现象。
干涉可以分为两种类型：同相干和异相干。
同相干是指波峰和波峰、波谷和波谷相遇时叠加，形成增强效应；异相干是指波峰和波谷相遇时叠加，形成消减效应。
干涉现象的产生需要满足两个条件：一是两个或多个波源的波长要相近，二是两个或多个波源之间的相位差要满足特定条件。
根据波源的数量和位置不同，干涉现象可以分为以下几种情况：1. 双缝干涉：当光波通过两个狭缝时，会形成一系列明暗相间的干涉条纹。
这是因为入射光经过两个缝洞后形成的两个次波在空间中相互干涉。
2. 单缝干涉：当光波通过一个狭缝时，由于狭缝的宽度很窄，波的传播方向发生偏折，形成一系列干涉条纹。
3. 平行板干涉：当光波通过两块平行而透明的玻璃板时，由于玻璃板的折射作用，光波发生了相位差，形成干涉条纹。
干涉现象的应用非常广泛。
例如在光学实验中，利用干涉现象可以测量波长、厚度等物理量；在工程中，干涉仪常被用于光学薄膜的检测和表面形貌的测量。
二、驻波现象驻波是指由于波在空间中来回反射导致波节和波峰固定不动的现象，这是波的反射和干涉相互作用的结果。
驻波现象发生需要满足以下两个条件：波源的频率必须恰好满足空间限制所形成的驻波条件，同时波在空间中的传播方向相反。
驻波现象可以在各种波动现象中观察到，如声波、水波和电磁波等。
在声学中，我们常常能够观察到管道中的驻波现象。
当在一根管子中引入声波后，它会来回在管道内反射，当波的频率满足特定条件时，波的幅度呈现出固定的分布规律，形成驻波。
这种现象被广泛应用于乐器制作中，使得乐器能够产生特定的音调。
除了声波，驻波现象在电磁波中也很常见。
例如，在一个封闭的金属盒中，微波在盒子内反射，形成驻波现象，这是微波炉的工作原理之一。
驻波知识点
驻波知识点驻波是波动现象中的一个重要概念，广泛应用于电磁波、声波等领域。
了解驻波的基本概念和特性对于理解波动现象以及在实际应用中的运用具有重要意义。
本文将从基础概念、形成机制、特性以及实际应用等方面，分步骤地介绍驻波的知识点。
第一步：基础概念驻波是由两个相同频率、振幅相等但传播方向相反的波叠加而形成的一种特殊波动现象。
在驻波中，波动的节点（波幅为零）和波动的腹部（波幅最大）交替出现。
节点和腹部之间的距离被称为波长，而节点之间的距离则是半波长。
第二步：形成机制驻波的形成机制涉及波动的传播和干涉。
当两个波在同一介质中传播时，它们会相互干涉，形成驻波。
在这个过程中，来自两个方向的波经过反射、折射、散射等现象后，在特定位置上出现波动的叠加，形成了节点和腹部。
第三步：特性驻波具有一些独特的特性，其中最重要的特性是节点和腹部的分布。
节点是波动的位置，波幅为零。
相邻两个节点之间的距离是半波长。
相反，腹部是波动的位置，波幅达到最大。
腹部和节点之间的距离也是半波长。
此外，驻波还具有波动的稳定性和固定的频率。
第四步：实际应用驻波在实际应用中有广泛的用途。
其中一个重要应用是在电磁波领域中，如微波炉和天线。
微波炉利用驻波的节点和腹部形成热点，使食物迅速加热。
天线利用驻波的特性来增强信号的传输效果。
此外，在声学领域，如乐器制作和音响系统设计中，驻波也扮演着重要的角色。
总结驻波是一种特殊的波动现象，通过两个相同频率、振幅相等但传播方向相反的波叠加而形成。
了解驻波的基本概念、形成机制、特性以及实际应用对于理解波动现象和在实际应用中的运用具有重要意义。
驻波的知识点在电磁波、声波等领域中有广泛的应用，如微波炉和天线等。
通过深入学习和研究驻波，我们可以更好地理解波动现象，并在各个实际领域中应用这一知识点。
驻波的原理
驻波的原理驻波是指在传播介质中产生的一种特殊的波动情况，其特点是波动形式呈现出相互干涉的现象。
驻波的形成是由于波的传播过程中发生反射现象，在介质中由传播方向相对相反的两个波相遇产生干涉。
驻波的形成原理可以通过以下几个步骤来解释：1. 波的传播：当一波传播到介质中时，它会遇到终端或者障碍物。
在遇到障碍物时，波会发生反射，并以相反的方向传播。
2. 反射：当波达到障碍物时，一部分能量被反射回传了原来的方向，而另一部分能量继续传播。
反射波与入射波在介质中相互干涉，形成驻波。
3. 干涉：当入射波与反射波相遇时，它们会相互干涉。
干涉是指波的相位和振幅的叠加效应。
如果入射波与反射波的振幅相等，相位相反，它们将相互抵消，形成驻波。
在某些点上，波的振幅为零，这些点称为节点；而在其他点上，振幅达到最大值，这些点称为腹部。
4. 波长和频率：驻波的形成需要一定的波长和频率条件。
波长需要满足几何限制，以使得反射波与入射波之间的干涉产生稳定的驻波。
频率则取决于波的源和介质的性质。
总结起来，驻波的形成是通过反射波与入射波在介质中相互干涉产生的，它要求在一定波长和频率下波的振幅和相位满足特定条件。
驻波在电磁波、声波等不同媒介中都有普遍存在，具有重要的理论和应用价值。
继续驻波的原理，我们可以从数学角度来理解。
驻波的形成是由于在传播介质中存在对称的波和反射波之间的相互干涉。
考虑一维情况下的驻波，我们可以将介质分为两个相同的部分，每个部分的波动由自由传播波和反射波构成。
假设传播介质中的波形为 $y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$，其中 $A$ 表示振幅，$k$ 表示波数，$x$ 表示位置，$\omega$ 表示角频率，$t$ 表示时间。
当波达到反射边界时，一部分波会以相反的方向反射回来，并产生反射波。
反射波的形式为 $y(x, t) = A \sin(-kx - \omega t) = -A \sin(kx + \omega t)$。
波的叠加原理、干涉、驻波、多普勒
3.干涉加强、减弱条件 设有两个频率相同的波源
S 1和 S 2
y 10 A10 cos( t 1 )
y 20 A 20 cos( t 2 )
其振动表达式为： ， P
r1 S2
r2
两列波传播到 P 点引起的振动分别为： 2 S1
y 1 A1 cos( t 1
反射波 y 2 A cos( t
2
x)
x 0
x
2
其合成波称为驻波其表达式：
y y 1 y 2 A cos( t
16
2
x ) A cos( t
x)
利用三角函数关系 cos cos 2 cos cos 2 求出驻波的表达式： 2 2 y y 1 y 2 A cos( t x ) A cos( t x) 2 2 A cos x cos t 简谐振动 简谐振动的振幅
2 r
u2
定理证明: 由惠更斯原理，A、B为同一波面上的两点，A、 B点会发射子波， B i 经t后， B点发射的子波到达 u1 t 界面处D点， A点的到达C点， i A
sin i
sin r
BD
AD
AC AD
u1 t AD
u2t
r
D
u2t AD
r
1
C
sin i sin r
y B A cos[ t 0
22
X
B
2 ( 30 x )
]
因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为 静止的点满足：
2 x
驻波的应用和原理
驻波的应用和原理应用领域•无线通信•雷达系统•音频传输•光学领域驻波的原理在物理学中，驻波是由两个相同频率但反向传播的波相互叠加形成的一种波动现象。
具体来说，驻波是由一定的波长和频率的波在空间中互相干涉形成的。
驻波的形成需要两个相同频率的波在空间中传播，并且它们之间存在特定的相位差。
驻波的形成是由于波在两个方向上的传播受到干涉的影响。
当两个波波峰或波谷同时到达一定位置时，它们会相互加强形成一个幅度较大的波动，称为驻波的波节。
而当两个波的波峰和波谷相差半个波长时，它们会相互抵消形成一个幅度较小的波动，称为驻波的波腹。
无线通信领域的应用在无线通信领域，驻波的原理被广泛应用于天线设计和信号分析。
通过将天线设计成一定长度的一半波长，可以最大限度地利用驻波的特性来增强天线的信号传输效果。
此外，在无线电频段上，驻波的强度还可以用于定位和测量信号传输的质量。
雷达系统中的应用驻波的原理也被广泛应用于雷达系统中。
雷达系统利用驻波的干涉效应来探测目标物体的位置和距离。
当雷达信号遇到目标物体后，会产生反射波回到雷达系统中。
这个反射波与原始信号相互干涉形成驻波，通过分析驻波的特性，可以确定目标物体的位置和距离。
音频传输领域的应用在音频传输领域，驻波的原理被应用于音乐厅和录音棚的声学设计中。
通过合理布置反射板和声学吸收材料，可以调整驻波的强度和分布，从而控制声音的衰减和均衡。
这样可以确保音频传输的质量，使得听者能够获得更好的音乐体验。
光学领域的应用驻波的原理也被应用于光学领域中的干涉实验和光波导器件设计中。
通过在光学器件中引入驻波效应，可以实现光波的聚焦、调制和谐波发生等应用。
此外，驻波还在激光和光纤通信等领域中发挥着重要的作用。
总结起来，驻波是由两个相同频率但反向传播的波相互叠加形成的一种波动现象。
它在无线通信、雷达系统、音频传输和光学领域中都有着广泛的应用。
实际应用中，我们可以通过合理利用驻波的特性来进行天线设计、目标物体的定位测量、声学设计和光学器件设计等工作。
机械波的驻波
§10．5 机械波的驻波两列相干波，如果振幅相等，传播方向相反，它们的合成波将不是行波而是驻波。
驻波的特性下文将加以说明，首先注意到形成驻波共有5个条件，即相干波源3个条件加上振幅相等、传播方向相反两个条件。
（一）驻波的数学表式在[例题10．4C]已提到驻波与行波的数学表式有明显的不同。
现在用一个较简单的例子全面分析驻波与行波的不同特点。
设有两列相干波（都是一维余弦行波）分别沿x 轴正负方向传播，其表式可按（10．1．18）与（10．1．19）式表示如下：[两相干行波叠加成驻波的例子，]（10．5．1） 沿x 轴正向传播的行波（10．5．2） 沿x 轴负向传播的行波为简单起见，上式选取x 轴原点的初相。
上述两相干波的叠加结果，按余弦函数的化和为积方法可得：（10．5．3）合振幅（10．5．4） 从此式可知驻波表式由一个含x 的简谐函数和一个含 t 的简谐函数的乘积组成。
这与行波的表式不同，如（10．5．1）及（10．5．2）行波式所示，行波式由一个含x 与t 的简谐函数表示。
（二）驻波有波腹，行波无波腹为了形象化地认识驻波的特点，先看一看驻波的波形图。
将相角代入驻波表式（10．5．3）便可得到，。
这就是时刻各质点位置坐标x 与它的振动位移y 的关系式。
此余弦函数式的曲线图在（图10．5a ）中已画出，的最大值为2A 1，出现在，与等位置。
这就是此驻波在时刻的波形曲线。
将相角代入（10．5．3）式得，。
这就是此驻波在时刻的波形曲线表式。
此波形曲线已描绘在（图10．5a ）中，其最大位移位置仍然在 与等处。
12A A =012==ϕϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λπωx t A y 2cos 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+=λπωx t A y 2cos 22012==ϕϕt x A y y y ωλπcos 2cos 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=λπx A A 2cos 210=t ω1cos =t ω⎪⎭⎫ ⎝⎛=λπx A y 2cos 210=t ωy 0=x 2λ=x λ=x 0=t ω3πω=t 21cos =t ω⎪⎭⎫ ⎝⎛=λπx A y 2cos 13πω=t 0=x 2λ=x 驻波的例子 节 腹 节 腹 节 腹 （图10．5a ）驻波的例子将相角代入（10．5．3）式得，。
驻 波
2
x)]
cos(
2π T
t)
·4 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加
令：
A( x )
2
A
cos(
2
x)
则，驻波方程 ：
§14. 6 驻 波
y
y
A(
x)
cos(
2π T
t
)
o
x
讨论：
☻振幅分布：
驻波振幅： 0
A(x)
2
A
cos(
2
x)
2A
·5 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加
§14. 6 驻 波
m
·2 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加
§14. 6 驻 波
2
2
2
2
2
振动装置
m
·3 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加
二、驻波方程
§14. 6 驻 波
右图：1 2 0
y1
A cos[2
( Tt
x
)]
y2
A
cos[2
(
t T
x
)]
合振动：
y
t 0
o
x
y
y1
y2
[2A
cos(
Chapter 14. 波的传播与叠加
§14. 6 驻 波
§14.6 驻 波
·1 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加
一、驻波的形成
§14. 6 驻 波
形成条件：两列相干波沿相反方向传播并相遇。 现象：叠加区域各点振幅不同，但不随时间变化；
出现 波节点(振幅为零) 和 波腹点(振幅最大) 。
大学物理课件--驻波-[福州大学...李培官]
1 2 π (k ) π 2
k 0,1,2,
k 0,1,2,
波腹 波节
1 k 2 2
相邻波腹（节）间距为
2
驻波条件： Ln
2
, n 1,2......
7
2）每一时刻驻波都有确定的波形，此波形既不左 移，也不右移，没有振动状态和相位的传播，故称为驻 波。
因为两相邻波节之间的间隔为/2 。
(3)因为在x=7m处为波密反射点，该处为波节点。
40 uT 20 4(m) 10
所以在0<x<7m区间的干涉相消点为：
2
y1
O
y2 7
x ( m)
x 1,3,5,7(m)
20
Tips for Better Life
for 2014
14 x y反 A cos[ 10 (t ) ] 20 x A cos[ 10 (t ) 7 ]
20
19
(2)在x=6m处介质质元的振动方程
6 6 y6 A cos( 10t ) A cos( 10t 7 ) 2 2 y6 2 A cos( 10t ) 即：
D C
6
讨论
驻波方程 y 2 A cos 2π cos 2π t x 1）振幅 2 A cos 2π 随 x 而异， 与时间无关.
cos 2 π x
x
x k π 1 2π
0
x
x
k
2
k 0,1, Amax 2 A
k 0,1,2 Amin 0
x
x 2 A cos 2 π cos 2 πt
驻波
x 0,
2
x k
即：
2
波腹的
2 位置为： k 0, 1, 2, 3,...
x k
x ( 2k 1)
2
,
波节的 x ( 2k 1) , 4 位置为：k 0, 1, 2, 3,...
2
相邻波腹(或波节)的间距
相邻波腹和波节间距
1） 解
u 330 m/s, vsA 0, vsB 60 m/s
330-30 ' 500Hz 454.5 Hz 330
26
u vo ' u vs
例1 A、B 为两个汽笛，其频率皆为50Hz，A 静 止，B 以60m/s 的速率向右运动. 在两个汽笛之间有一 观察者O，以30m/s 的速度也向右运动. 已知空气中的 声速为330m/s，求： v sB vO 2）观察者听到来自B 的频率 3）观察者听到的拍频 A O B
2）驻波方程
y y入 y反
x x ) )] 0.2 cos[200 ( t )] 0.2 cos[200（t 200 200 x x 0.2 cos[200 ( t )] 0.2 cos[200 t （ )] 200 200 0.4 sin( x )sin( 200 t )
8
三、半波损失（相位突变）
如图:在绳与墙壁固定B处， 为波节位置。
B
波节 波腹
这一现象说明，在反射端，入射波与反射波在 该点各自引起的两个振动相位相反，两相位相差为， 相当于波程相差/2。 入射波在反射时反射波相位突变了，相当于波 程损失了半个波长的现象称为半波损失。 什么情况下波在两种介质界面上反射时,反射波 有半波损失?如何判断?
7.7波的叠加、驻波
鼓皮上的二维驻波(图为几种简正模式)
二维共振克拉尼图案
小提琴的简正模式
例7.4
l
例7.5 一频率为248.5Hz的音叉放在盛水的细管口， 连续调节水面高度，当空气柱的高度相继为
L1 = 0.34 m 和 L2 = 1.03 m 时发生共鸣。 求：声波在空气中的声速 u
解： 发生共鸣时形成驻波，
但各质元间仍有能量的交换。 能量由两端向中间传，
势能→动能。
瞬时位移为0， 势能为0， 动能最大。
能量由中间向两端传， 动能→势能。
3. A 1 A 2 的情形：
设 A2 ( A1 A) A1 ， 则有
y
x
2A1 cos
2
cos
t
A cos (
t
x
2 )
同一段振动方向相同；相邻段振动方向相反：
x =λ /4 , 波节 x =λ / 2 (-) (+) 2x
x=0
A 2Acos x 2
波腹 (-) (+)
波腹 在波节两侧变号
x = 3λ /4 , 波节
③ 能量：合能流密度为
w u w (u) 0
，
平均说来没有能量的传播，
L1
管口为波腹，水面为波节。
L2
空气柱长满足条件：
L (2n 1) ，n 0, 1, 2
4
L1 (2n 1) 4 0.34m
L2
2(n 1) 1
4
1.03m
L2 L1 2 0.69m
故 2(L2 L1) 1.38m
y2 A2 cos( t k2x 2 ) ~y2 A2 exp i( ω t k2x φ2 )
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两列波相干后,互相叠加形成稳定驻波的特点
频率和振幅均相同、振动方向一致、传播方向相反的两列波叠加后形成的波。波在介质中传
播时其波形不断向前推进，故称行波；上述两列波叠加后波形并不向前推进，故称驻波. 测
量两相邻波节间的距离就可测定波长。各种乐器，包括弦乐器、管乐器和打击乐器，都是由
于产生驻波而发声。为得到最强的驻波， 弦或管内空气柱的长度L必须等于半波长的整数
倍，即，k为整数，λ为波长 。因而弦或管中能存在的驻波波长为，相应的振动频率为，
υ为波速。k＝1时，，称为基频，除基频外，还可存在频率为kn1的倍频。