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2018高考数学理二轮复习每日一题规范练第二周含答案精品

每日一题规范练(第二周)第二周星期一 2018年3月26日[题目1] (本小题满分12分)已知a ，b 分别是△ABC 内角A ，B 的对边，且b sin 2A ＝3a cos A sin B ，函数f (x )＝sin A cos 2x －sin 2A 2sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求A ；(2)求函数f (x )的值域．解：(1)在△ABC 中，b sin 2A ＝3a cos A sinB ，由正弦定理得，sin B sin 2A ＝3sin A cos A sinB ，所以tan A ＝sin Acos A＝ 3. 又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由A ＝π3，得 f (x )＝32cos 2x －14sin 2x ＝34(1＋cos 2x )－14sin 2x ＝ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x ＋34＝34－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，所以3－24≤－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋34≤ 32，所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－24，32. 第二周星期二 2018年3月27日[题目2] (本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ，且3a n ＋S n ＝4(n ∈N *)． (1)证明：{a n }是等比数列；(2)在a n 和a n ＋1之间插入n 个数，使这n ＋2个数成等差数列．记插入的n 个数的和为T n ，求T n 的最大值．(1)证明：因为3a n ＋S n ＝4，所以S n ＝4－3a n (n ∈N *)，所以，当n ≥2时，有S n －1＝4－3a n －1，上述两式相减，得a n ＝－3a n ＋3a n －1，即当n ≥2时，a n a n －1＝34. 又n ＝1时，a 1＝4－3a 1，a 1＝1.所以{a n }是首项为1，公比为34的等比数列．(2)解：由(1)得a n ＝a 1·q n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，所以T n ＝n （a n ＋a n ＋1）2＝n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ＝7n 8⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，因为T n ＋1－T n ＝7（n ＋1）8⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －7n 8⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1＝7（3－n ）32⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，所以T 1＜T 2＜T 3，T 3＝T 4，T 4＞T 5＞T 6… 所以T n 的最大值为T 3＝T 4＝189128.第二周星期三 2018年3月28日[题目3] (本小题满分12分)如图，在直角梯形BB 1C 1C 中，∠CC 1B 1＝90°，BB 1∥CC 1，CC 1＝B 1C 1＝2BB 1＝2，D 是CC 1的中点．四边形AA 1C 1C 可以通过直角梯形BB 1C 1C 以CC 1为轴旋转得到，且二面角B 1CC 1A 为120°.(导学号 54850154)(1)若点E 是线段A 1B 1上的动点，求证：DE ∥平面ABC ； (2)求二面角B AC A 1的余弦值．(1)证明：如图所示，连接B 1D ，DA 1.由已知可得BB 1綊12CC 1綊CD ，所以四边形B 1BCD 是平行四边形，所以B 1D ∥BC . 又BC ⊂平面ABC ，B 1D ⊄平面ABC ；所以B 1D ∥平面ABC . 同理可得DA 1∥平面ABC .又A 1D ∩DB 1＝D ，所以平面B 1DA 1∥平面ABC . 因为DE ⊂平面B 1DA 1，所以DE ∥平面ABC .(2)解：作C 1M ⊥C 1B 1交A 1B 1于点M ，分别以C 1M ，C 1B 1，C 1C 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．则C 1(0，0，0)，A 1(3，－1，0)，B (0，2，1)，C (0，0，2)，A (3，－1，1)．CA →＝(3，－1，－1)，CB →＝(0，2，－1)，C 1C →＝(0，0，2)．设平面ABC 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CA →＝0m ·CB →＝0，即⎩⎨⎧3x 1－y 1－z 1＝02y 1－z 1＝0.取m ＝(3，1，2)．设平面A 1ACC 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CA →＝0n ·C 1C →＝0，即⎩⎨⎧3x 2－y 2－z 2＝02z 2＝0.取n ＝(1，3，0)．所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝238×4＝64.所以二面角B AC A 1的余弦值是64. 第二周星期四 2018年3月29日[题目4] (本小题满分12分)随着生活水平和消费观念的转变，“三品一标”(无公害农产品、绿色食品、有机食品和农产品地理标志)已成为不少人的选择，为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室．假设该品牌植物油每瓶含有机物A 的概率为p (0＜p ＜1)，需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物A ，若化验结果呈阳性则含A ，呈阴性则不含A .若多瓶该种植物油检验时，可逐个抽样化验，也可将若干瓶植物油的油样混在一起化验，仅当至少有一瓶油含有有机物A 时混合油样呈阳性，若混合油样呈阳性，则该组植物油必须每瓶重新抽取油样并全部逐个化验．(1)若p ＝13，试求3瓶该植物油混合油样呈阳性的概率；(2)现有4瓶该种植物油需要化验，有以下两种方案：方案一：均分成两组化验；方案二：混在一起化验；请问哪种方案更适合(即化验次数的期望值更小)，并说明理由．解：(1)设X 为3瓶该植物油中油样呈阳性的瓶数，所求的概率为P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝1927，所以3瓶该种植物油的混合油样呈阳性的概率为1927.(2)设q ＝1－p ，则0＜q ＜1.方案一：设所需化验的次数为Y ，则Y 的所有可能取值为2，4，6次，P (Y ＝2)＝q 4，P (Y ＝4)＝C 12(1－q 2)q 2，P (Y ＝6)＝(1－q 2)2，E (Y )＝2×q 4＋4×C 12(1－q 2)q 2＋6×(1－q 2)2＝6－4q 2.方案二：设所需化验的次数为Z ，则Z 的所有可能取值为1，5，P (Z ＝1)＝q 4，P (Z ＝5)＝1－q 4， E (Z )＝1×q 4＋5×(1－q 4)＝5－4q 4.因为E (Y )－E (Z )＝6－4q 2－(5－4q 4)＝(2q 2－1)2≥0，即E (Y )≥E (Z )，所以方案二更适合．第二周星期五 2018年3月30日[题目5] (本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，设点F 1，F 2与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A ，B ，P 为椭圆C 上三点，满足OP →＝35OA →＋45OB →，记线段AB 中点Q 的轨迹为E ，若直线l ：y ＝x ＋1与轨迹E 交于M ，N 两点，求|MN |.解：(1)由已知得2c ＝4，b ＝2，故c ＝2，a ＝2 2.故椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)法一设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为OP →＝35OA →＋45OB →，所以OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2，由于点P 在椭圆C 上，故有18⎝ ⎛⎭⎪⎫35x 1＋45x 22＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫35y 1＋45y 22＝1，925⎝ ⎛⎭⎪⎫x 218＋y 214＋1625⎝ ⎛⎭⎪⎫x 228＋y 224＋2425⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 28＋y 1y 24＝1，即925＋1625＋2425⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 28＋y 1y 24＝1，即x 1x 28＋y 1y 24＝0. 令线段AB 的中点坐标为Q (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x22y ＝y 1＋y 22.因A ，B 在椭圆C 上，故有相加有x 21＋x 228＋y 21＋y 224＝2.故（x 1＋x 2）2－2x 1x 28＋（y 1＋y 2）2－2y 1y 24＝2，由于x 1x 28＋y 1y 24＝0，故（2x ）28＋（2y ）24＝2，即Q 点的轨迹E 的方程为x 24＋y 22＝1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1y ＝x ＋1，得3x 2＋4x －2＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，所以x 3＋x 4＝－43，x 3x 4＝－23.故|MN |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝1＋k2（x 3＋x 4）2－4x 3x 4＝453. 法二设A (22cos α，2sin α)，B (22cos β，2sin β)，因为OP →＝35OA →＋45OB →，所以OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫62cos α＋82cos β5，6sin α＋8sin β5，因为点P 在椭圆上，所以(3cos α＋4cos β)2＋(3sin α＋4sin β)2＝25，所以cos αcos β＋sin αsin β＝0，所以cos(α－β)＝0，所以α－β＝π2，所以B (22sin α，－2cos α)，所以AB 中点Q 的坐标为(2cos α＋2sin α，sin α－cos α)，设Q 的点坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos α＋2sin α，y ＝sin α－cos α，所以x 22＝cos 2α＋2cos αsin α＋sin 2α＝1＋2cos αsin α，y 2＝cos 2α－2cos αsin α＋sin 2α＝1－2cos αsin α，所以x 22＋y 2＝2，即线段AB 中点Q 的轨迹为E 的方程为x 24＋y 22＝1.设M ，N 两点的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1y ＝x ＋1，消y ，整理得3x 2＋4x －2＝0，所以x 1＋x 2＝－43，x 1x 2＝－23，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝ 453. 第二周星期六 2018年3月31日[题目6] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋ax －1x＋b .(导学号 54850155)(1)若函数g (x )＝f (x )＋2x为减函数，求a 的取值范围；(2)若f (x )≤0恒成立，证明：a ≤1－b .(1)解：因为g (x )＝f (x )＋2x ＝ln x ＋ax ＋1x＋b ，x ＞0.所以g ′(x )＝1x ＋a －1x2，x ＞0.因为g (x )为减函数，所以g ′(x )≤0恒成立．则a ≤1x 2－1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122－14恒成立．所以a ≤－14.(2)证明：f ′(x )＝1x ＋1x 2＋a ＝ax 2＋x ＋1x2(x ＞0)，令y ＝ax 2＋x ＋1，当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，不满足f (x )≤0恒成立；当a ＜0时，Δ＝1－4a ＞0，当ax 2＋x ＋1＝0，得x ＝－1－1－4a 2a ＞0或x ＝－1＋1－4a2a＜0，设x 0＝－1－1－4a2a ，函数f (x )在(0，x 0)上单调递增；在(x 0，＋∞)上单调递减．又f (x )≤0恒成立，所以f (x 0)≤0，即ln x 0＋ax 0－1x 0＋b ≤0.由上式可得b ≤1x 0－ax 0－ln x 0，由ax 20＋x 0＋1＝0，得a ＝－x 0＋1x 20，所以a ＋b ≤1x 0－ax 0－ln x 0－x 0＋1x 20＝－ln x 0＋1x 0－1x 20＋1.令t ＝1x 0，t ＞0，h (t )＝ln t ＋t －t 2＋1，h ′(t )＝1＋t －2t2t＝－（2t ＋1）（t －1）t，当0＜t ＜1时，h ′(t )＞0，函数h (t )在(0，1)上单调递增，当t ≥1时，h ′(t )≤0，函数h (t )在(1，＋∞)上单调递减，h (t )≤h (1)＝1.故a ＋b ≤1，即a ≤1－b .第二周星期天 2018年4月1日[题目7] 请考生在下面两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 1．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－32t y ＝3＋12t (t 为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为(23，θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. (1)求θ的值；(2)若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值．解：(1)曲线C 的参数方程为错误!(α为参数)，普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，极坐标方程为ρ＝4sin θ，因为点A 的极坐标为(23，θ)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以θ＝2π3.(2)直线l 的参数方程为错误!(t 为参数)，普通方程为x ＋错误!y －4错误!＝0，点A 的直角坐标为(－3，3)，射线OA 的方程为y ＝－3x ，代入x ＋3y －43＝0，可得B (－23，6)，因此|AB |＝（－3＋23）2＋（3－6）2＝2 3. 2．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝4－|x |－|x －3|.求不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32≥0的解集．解：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32≥0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －32≤4，当x ≤－32时，不等式可化为－x －32－x ＋32≤4，所以x ≥－2，所以－2≤x ≤－32；当－32＜x ＜32时，不等式化为x ＋32－x ＋32≤4恒成立；当x ≥32时，不等式可化为x ＋32＋x －32≤4，所以x ≤2，所以32≤x ≤2.综上所述，不等式的解集为[－2，2]．。

2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：28 Word版含解析

跟踪强化训练(二十八)一、选择题1．(2017·河北“五个一名校联盟”二模)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A.110B.15C.25D.12[解析] 设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率是：P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1512＝25.故选C. [答案] C2．(2017·邯郸一模)口袋里装有红球、白球、黑球各1个，这3个球除颜色外完全相同，有放回地连续抽取2次，每次从中任意地取出1个球，则2次取出的球的颜色不相同的概率是( )A.29B.13C.23D.89[解析] 解法一：由题意知，基本事件总数n ＝3×3＝9，记事件M 为“2次取出的球的颜色不相同”，则事件M 所包含的基本事件个数m ＝3×2＝6，所以2次取出的球的颜色不相同的概率P (M )＝mn ＝69＝23，故选C.解法二：由题意知，所有的基本事件为：红红、红白、红黑、白红、白白、白黑、黑红、黑白、黑黑，共9个，其中2次取出的球的颜色相同的基本事件有3个，所以2次取出的球的颜色不相同的概率为1－39＝23.[答案] C3．(2017·四川省成都市高三二诊)两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们在5：30～6：00到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，若15分钟后还未见面便离开．则这两位同学能够见面的概率是( )A.1136B.14C.12D.34[解析] 如图所示，以5：30作为原点O ，建立平面直角坐标系，设两位同学到达的时刻分别为x ，y ，设事件A 表示两位同学能够见面，所构成的区域为A ＝{(x ，y )||x －y |≤15}，即图中阴影部分，根据几何概型概率计算公式得P (A )＝30×30－2×12×15×1530×30＝34.[答案] D4．(2017·金华十校模拟)下课后教室里最后还剩下2位男同学和2位女同学，如果没有2位同学一块走，则第二次走的是男同学的概率是( )A.12B.13C.14D.15[解析] C 12·A 33A 44＝12，故选A.[答案] A5．(2017·南宁模拟)从数字1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于12的概率为( )A.225B.13125C.18125D.9125[解析] 从5个数字中任意抽取3个数字组成一个三位数，并且允许有重复的数字，这样构成的数字有53＝125个，但要使各位数字之和等于12且没有重复数字时，则该数只能含有3,4,5三个数字，它们有A 33＝6种；若三位数的各位数字均重复，则该数为444；若三位数中有2个数字重复，则该数为552,525,255，有3种．因此，所求概率为P ＝6＋1＋3125＝225，故选A.[答案] A6．(2017·山东青岛模拟)为了庆祝2016年元旦，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该食品5袋，能获奖的概率为( )A.3181B.3381C.4881D.5081[解析] 获奖可能情况分两类：①12311；12322；12333； ②12312；12313；12323.①P 1＝3×A 55A 3335，②P 2＝3×A 55A 22·A 2235， ∴P ＝P 1＋P 2＝3A 55⎝ ⎛⎭⎪⎫1A 33＋1A 22A 2235＝5081，故选D.[答案] D 二、填空题7．(2017·湖北武汉模拟)已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1，表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为________．[解析] 由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：5727 0293 9857 0347 4373 8636 9647 4698 6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281，共15组随机数， ∴所求概率P ＝1520＝0.75. [答案] 0.758．(2017·青岛模拟)如图所示的阴影部分是由x 轴，直线x ＝1及曲线y ＝e x －1围成的，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是__________．[解析] 由几何概型的概率计算公式可知，所求概率为⎠⎛01(e x－1)d x 1×(e －1)＝e －2e －1.[答案]e －2e －19．(2017·皖南八校联考)某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差D(ξ)＝________.[解析] 从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，选出的男生人数ξ可能为1,2,3，其中，P(ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P(ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P(ξ＝3)＝C 34C 02C 36＝15.所以ξ的数学期望E(ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2，D (ξ)＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25.[答案] 25 三、解答题10．(2017·山东临沂一模)为弘扬传统文化，某校举行诗词大赛．经过层层选拔，最终甲乙两人进入总决赛，争夺冠军．决赛规则如下：①比赛共设有五道题；②双方轮流答题，每次回答一道，两人答题的先后顺序通过抽签决定；③若答对，自己得1分；若答错，则对方得1分；④先得3分者获胜．已知甲、乙答对每道题的概率分别为23和34，且每次答题的结果相互独立．(1)若乙先答题，求甲3∶0获胜的概率；(2)若甲先答题，记乙所得分数为X ，求X 的分布列和数学期望E(X )．[解] (1)分别记“甲、乙回答正确”为事件A 、B ，“甲3∶0获胜”为事件C ，则P (A )＝23，P (B )＝34.由事件的独立性和互斥性得：P (C )＝P (B －A B －)＝P (B －)P (A)P (B －)，＝14×23×14＝124.(2)X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×14＝19，P (X ＝1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×34×14＋C 12×13×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝19，P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋C 12×13×C 12×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×23＝61216，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝107216. X 的分布列为：E (X )＝0×19＋1×19＋2×61216＋3×107216＝467216.11．(2017·广州综合测试)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．[解] (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A)＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960. (2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.P (X ＝k)＝C k4·C 3－k 6C 310(k ＝0,1,2,3)．所以P (X ＝0)＝C 04·C 36C 310＝16，P (X ＝1)＝C 14·C 26C 310＝12，P (X ＝2)＝C 24·C 16C 310＝310，P (X ＝3)＝C 34·C 06C 310＝130.所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65. 12．(2017·石家庄质检)交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60率，完成下列问题：(1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，a＝950.记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望；(数学期望值保留到个位数字)(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值．[解](1)由题意可知，X的可能取值为0.9a,0.8a,0.7a，a,1.1a,1.3a.由统计数据可知：P(X＝0.9a)＝16，P(X＝0.8a)＝112，P(X＝0.7a)＝112，P(X＝a)＝13，P(X＝1.1a)＝14，P(X＝1.3a)＝112.所以X的分布列为所以E(X)＝0.9a×16＋0.8a×112＋0.7a×112＋a×13＋1.1a×14＋1.3a ×112＝11.9a 12＝1130512≈942.(2)①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为13，三辆车中至多有一辆事故车的概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＋C 1313⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2027.②设Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为－5000,10000.所以Y 的分布列为所以E (Y )＝－5000×13＋10000×23＝5000，所以该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌的二手车获得利润的期望值为100×E (Y )＝500000元．。

2018届高考数学理二轮专题复习限时规范训练：第一部分

限时规范训练十六圆锥曲线的定义、性质，直线与圆锥曲线限时40分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等解析：选A.由25＋(9－k )＝(25－k )＋9，知两曲线的焦距相等．2．(2017·宁夏银川质检)抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1D. 3解析：选D.由抛物线y 2＝8x ，有2p ＝8⇒p ＝4，焦点坐标为(2,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，不妨取其中一条3x －y ＝0，由点到直线的距离公式，有d ＝|3×2－0|3＋1＝3，故选D.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点．则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：选B.∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝52x ，则b a ＝52，①又∵椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点，易知c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9， ②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，故选B.4．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：选D.因为抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点(4,0)重合，所以p ＝8.设A (m ，n )，又|AK |＝2|AF |，所以m ＋4＝|n |，又n 2＝16m ，解得m ＝4，|n |＝8，所以△AFK 的面积为S ＝12×8×8＝32.5．(2017·安徽合肥模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0解析：选A.设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，则有y 23＝x 2－1，y 2＝3(x2－1)，PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －182－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，PA 1→·PF 2→取得最小值－2，选A.6．(2017·浙江宁波模拟)点A 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b＞0)的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于( )A. 2B. 3C. 5D. 6解析：选C.取双曲线的一条渐近线为y ＝bax ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝bax ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pa 2b2，y ＝2pab ，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pa 2b2，2pa b .因为点A 到抛物线C 1的准线的距离为p .所以p 2＋2pa 2b 2＝p ，所以a 2b 2＝14.所以双曲线C 2的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝ 5. 7．(2017·山东德州一模)已知抛物线y 2＝8x 与双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：选A.抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，设M (m ，n )，则由抛物线的定义可得|MF |＝m ＋2＝5，解得m ＝3，由n 2＝24，可得n ＝±2 6.将M (3，±26)代入双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)，可得9a 2－24＝1(a ＞0)，解得a ＝35，故双曲线的渐近线方程为y ＝±53x ，即5x ±3y＝0.故选A.8．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A.由题意可知直线AE 的斜率存在，设为k ，直线AE 的方程为y ＝k (x ＋a )，令x ＝0可得点E 坐标为(0，ka )，所以OE 的中点H 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，ka 2，又右顶点B (a,0)，所以可得直线BM 的斜率为－k 2，可设其方程为y ＝－k 2x ＋k2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋a ，y ＝－k 2x ＋k 2a ，可得点M 横坐标为－a3，又点M 的横坐标和左焦点相同，所以－a 3＝－c ，所以e ＝13.9．已知双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，F 为其右焦点，A 1，A 2分别是实轴的左、右端点，设P 为双曲线上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P ，A 2P 与直线x ＝a 分别交于M ，N 两点，若FM →·FN→＝0，则a 的值为( )A.169B.95C.259D.165解析：选B.∵双曲线x 29－y 216＝1，右焦点F (5,0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)，设P (x ，y )，M (a ，m )，N (a ，n )，∵P ，A 1，M 三点共线，∴m a ＋3＝y x ＋3，m ＝y a ＋x ＋3， ∵P ，A 2，N 三点共线，∴na －3＝yx －3，∴n ＝y a －x －3.∵x 29－y 216＝1，∴x 2－99＝y 216，∴y 2x 2－9＝169.又FM →＝⎝⎛⎭⎪⎫a －5，y a ＋x ＋3，FN →＝⎝⎛⎭⎪⎫a －5，y a －x －3，∴FM →·FN →＝(a －5)2＋y 2a 2－x 2－9＝(a －5)2＋a 2－9，∵FM →·FN →＝0，∴(a －5)2＋a 2－9＝0，∴25a 2－90a ＋81＝0，∴a ＝95.故选B.10．(2017·山东东营模拟)设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使PF 1→·PF 2→＝0，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线的离心率为( )A.2＋12 B.2＋1C.3＋12D.3＋1解析：选C.因为双曲线右支上存在一点P ，使PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，因为|PF 1|＝3|PF 2|，所以|F 1F 2|＝2|PF 2|＝4c ，即|PF 2|＝2c ，所以|PF 1|－|PF 2|＝3|PF 2|－|PF 2| ＝(3－1)|PF 2|＝2a ，因为|PF 2|＝2c ，所以2c (3－1)＝2a ，e ＝c a ＝13－1＝3＋12. 11．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B.设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5，∴p ＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为4.12．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10解析：选A.设AB 倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ，又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2＋θ，|DE |＝2p sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝2p cos 2θ而y 2＝4x ，即p ＝2. ∴|AB |＋|DE |＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋1cos 2θ＝4sin 2θcos 2θ＝16sin 22θ≥16，当θ＝π4时取等号，即|AB |＋|DE |最小值为16，故选A.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知离心率e ＝52的双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ，A 两点，若△AOF 的面积为4，则a 的值为________．解析：因为e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝52，所以b a ＝12，|AF ||OA |＝b a ＝12，设|AF |＝m ，|OA |＝2m ，由面积关系得12×m ×2m ＝4，所以m ＝2，由勾股定理，得c ＝m 2＋m2＝25，又c a ＝52，所以a ＝ 4.答案：414．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．解析：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得(－2c ，－b 2)＝3(x 0＋c ，y 0)，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3x 0＋3c ，－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得－b29＋19b 2＝1，解得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝1.答案：x 2＋3y22＝115．(2016·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)， ∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2，由∠BFC ＝90°，可得BF →·CF →＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，即c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2，所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63.答案：6316．(2017·山东潍坊模拟)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|AB ||MN |的最小值为________．解析：设AF ＝a ，BF ＝b ，由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝34(a ＋b )2，因为a ＋b 2＝AF ＋BF2＝MN ，所以|AB |2≥34|2MN |2，所以|AB ||MN |≥3，所以最小值为 3.答案： 3。

2018届高考数学二轮复习小题标准练(二)理新人教A版

3｝，故选C.1-2/象限.2 017f --------- I ---------3. 设 a=201 & , b=log 2016 \ = " " ' , c=log 20仃\ ="""，则 a ,b, c 的大小关系为【解析】选 A.c=log 20仃\ ' ° " &=」'log 20仃2016<亠;b=log 2016、' " " ' log 20162017〉，,所以b>c.2 017a=201 & >1, b<1，所以 a>b ，所以 a>b>c ,故选 A.4. 以下四个命题中:①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样；高考小题标准练（二）满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分! 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有项是符合题目要求的） 1.已知集合 A={1，2，3}，B={x|(x+1)(x-2)<0 ,x € Z}，则 A U B=( ) A.{1} B.{1，2} C.{0，1, 2, 3} D.{-1，0，1，2, 3} 【解析】选 C.集合 B={x|-1<x<2 , x € Z}={0 , 1}，而 A={1 , 2, 3}，所以 A U B={0 ,2.复数z=丄 1 (i 为虚数单位）在复平面内对应的点在（A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选（1 -2i ）（2 + i ）43D .Z = C 一 Hl, +』-时，在复平面上对应的点为在第四)A.a>b>cC.b>a>cD.c>b>aB.a>c>b② 若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于 ③在某项测量中，测量结果E 服从正态分布N(1, d率为0.4，则E 位于区域(0 , 2)内的概率为0.8 ;越大•其中真命题的序号为( )【解析】选D.①应为系统(等距)抽样；②线性相关系数r 的绝对值越接近于1,两变量间线性关系越密切；③变量 E 〜N(1, d 2) , P(0< E <2)=2P(0< E <1)=0.8 ;④随机变量 K 2的观测值k 越大，判断“ X 与Y 有关系”的把握越大5. 已知等差数列｛a n ｝的公差为d(d>0) , a i =1,选A.因为｛a n ｝是等差数列，所以 S 5=5a 计八 d=5+10d=35,解得d=3. 个容量为10的样本数据分组后的频数分布，若利用组中值近似计算本组数据的【解析】选C.根据题意，样本容量为10,利用组中值近似计算本组数据的平均数 -v /' = WX (14 X 2+17X 1+20X 3+23 X 4)=19.7.点，则直线OP 斜率的最大值为( )1数据 [12.5 , 15.5)JF[15.5 , 18.5)[18.5 , 21.5)[21.5 , 24.5)频数2134C.19.7D.20.5B.17.3©1; )(d >0)，若E 位于区域(0,1)内的概 ④对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说, k 越小，判断“ X 与Y 有关系”的把握A.①④B.②④C.①③D.②③S 5=35，则d 的值为()A.3B.-3C.2D.4【解析】6.如表是平均数"，则"的值为()A.16.5 7.在平面直角坐标系 xOy 中，P 为不等式组y < i. x + y-2>0f ■'1所表示的平面区域上一动A.2B.ZD.1率有最大值，此时 k °F =1.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )h /II正观图测视目丄目俯视图3 7T37T (X2jra 3A. 6B.BC .3f3 D. n a1【解析】选A.由三视图可知该几何体为一个圆锥的"，其中圆锥的底面圆的半径为a ,高为11 7TG 32a ,所以该几何体的体积 V=「x n a 2x 2a x"=门.2 2x y9.设双曲线“-门=1的左、右焦点分别为F 1, F 2,过F 1的直线I 交双曲线左支于A ,B 两点，则|BF 2|+|AF 2|的最小值为( )192A. -B.11C.12D.16【解析】选B.由双曲线定义可得 |AF 2|-|AF 1 |=2a=4 , |BF 2|-|BF 1 |=2a=4，两式相加可得2於IAF 2I+IBF 2|=|AB|+8，由于AB 为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB| min = 口 =3,X + 乙得交点坐标为(1 , 1)，如图知在点(1 , 1)处直线0P 斜【解析】选D.联立71< T 鼻.函数f(x)=sin( 3 x+ $ )( 3 >0)的图象关于=k n +上 ①，-gl (「+ $ =k n ②，a )n n n42 口23 x 0++ $ W +2k n 且 3 x 0+ $》-+2k n ③，n n 44所以 |AF 2|+|BF 2|=|AB|+8 > 3+8=11.2x t x < 0,若对任意的 10.设函数f(x)= f(f(x))=2a2t 2+at ，则正实数a 的取值范围是 (t>1 ,都存在唯一的x € R ,满足A. rir + 002X r X < l f【解析】选A.由已知函数可求得f(f(x))=\log 2(log 2x\x>l ；由题意可知,2 2 2 22a t +at>1 对一切 t € (1 , +8)恒成立，而8)，所以 2at-1>0，即 a>」「对一切 t € (1 , +^ aJ11.已知函数f(x)=sin( 3 x+ $ )( 3 >0)的图象关于直线 x 』6对称且八 =0,如果存在实数 X 0，使得对任意的 x 都有f(x 0) W f(x) W f ' 则3的最小值是 ( )A.2B.4C.6D.8"=0,由①②解得3 =4, $ =k n + , (k € Z)，当k=0时，3 =4, $ =，③成立，满足题意•故得3的最小值为4.2 >212. 已知双曲线-U =1(a>0, b>0)的左、双曲线右支上，△ PF1F2内切圆的圆心为Q圆Q与x轴相切于点A,过F2作直线PQ的垂线, 垂足为B ,则|OA|与|OB|的长度依次为()A.a，a a 3aB.a，八債aC.2，2D.」，a【解析】选A.设|AF i|=x，|AF2|=y，由双曲线定义得|PF i|-|PF 2|=2a，由三角形内切圆的性质得x-y=2a，又因为x+y=2c，所以x=a+c，所以|OA|=a.延长F2B交PF i于点C,因为PQ为/ F1PF2的平分线，所以|PF2|=|PC|，再由双曲线定义得|CF i|=2a，所以|OB|=a，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上). . 2 213. 圆x +y =4上恰有三个点到直线x+y+m=0的距离都等于1，则m= ___________ .【解析】由题意知直线x+y+m=0为斜率为1的半径的中垂线，圆心到该直线的距离为1,即网~12 12=1,所以m=± \答案：± '• ~14. 已知偶函数f(x)在卩丿上单调递减，f〔')=0.若f(x-1)>0 ，贝U x的取值范围是【解析】因为f(x)是偶函数，所以不等式f(x-1)>0 ? f(|x-1|)>f(2) ，又因为f(x)在［0 , +g)上单调递减，所以|x-1|<2，解得-1<x<3.答案：(-1，3)15•《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作.书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐•齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里；驽马初日行九十七右焦点分别为F i, F2，点O为坐标原点，点P在里，日减半里•良马先至齐，复还迎驽马•问几何日相逢• ”其意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去•已知长安和齐的距离是 3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里；驽马第一天行 97里，之后每天比前一天少行 0.5里.良马到齐后，返回去迎驽马•多少天后两马相遇• ”利用我们所学的知识，可知离开长安后的第 ______________________________________ 天，两马相n(n 一 1)差分别为13 , -0.5.假设第n 天后两马相遇.由题意得193 n+- • X吆(能一1)13+97n+丄 X 〔(L 】)=6000，整理得 5n 2+227n-4800=0,* Jk Aw-227 + v '2272 -4 x 5 x (-4 800)7)解得n= - 15.71(舍去负值)，所以第 16天相遇. 答案：16x 216.已知函数 f(x)= $ ，若对任意的 X 1, X 2€ ［-1 , 2］，恒有 af(1) > |f(x 1)-f(x 2)| 成立，则实数a 的取值范围是 _________ . 【解析】由题意得2x 一 X 2\(2 - %)f ' (x)=°='，所以当-1<x<0 时，f ' (x)<0 , f(x)单调递减；当 0<x<2时，f ' (x)>0 , f(x)单调递增.因此当 x € [-1 , 2]时，f(x) min =f(0)=0，又因为 f(-1)=e,4 1f(2)=6,所以 f(x) max =e ,因此不等式 af(1) > |f(x 1)-f(x 2)| 恒成立，即 ax' |e-0| , 即a >e 2.所以实数a 的取值范围是［e 2, +^). 答案：［e 2,)【解析】良马、驽马每天的行程分别构成等差数列｛人｝其中a =193。

2018高考数学理二轮复习课时规范练：第二部分专题五

专题五解析几何第1讲直线与圆一、选择题1．(2017·日照二模)已知命题p ：“m ＝－1”，命题q ：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要解析：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m 2＝0⇔m ＝±1.所以命题p 是命题q 的充分不必要条件．答案：A2．(2017·忻州模拟)过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0解析：依题意，点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点．因为圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为12，所以切线的斜率k ＝－2，故圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0.答案：B3．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53 B.213C.253D.43解析：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，所以⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，所以△ABC 外接圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，因此圆心到原点的距离d ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.答案：B4．(2017·济南调研)若直线x －y ＋m ＝0被圆(x －1)2＋y 2＝5截得的弦长为23，则m 的值为( )(导学号 54850124)A ．1B ．－3C ．1或－3D ．2解析：因为圆(x －1)2＋y 2＝5的圆心C (1，0)，半径r ＝ 5.又直线x －y ＋m ＝0被圆截得的弦长为2 3.所以圆心C 到直线的距离d ＝r 2－（3）2＝2，因此|1－0＋m |12＋（－1）2＝2，所以m ＝1或m ＝－3. 答案：C5．(2017·汉中模拟)已知过点(－2，0)的直线与圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0相切于点P (P 在第一象限内)，则过点P 且与直线3x －y ＝0垂直的直线l 的方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0 C.3x ＋y －2＝0D ．x ＋3y －6＝0解析：圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0的标准方程(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C (2，0)，半径r ＝2.又过点(－2，0)的直线与圆C 相切于第一象限，所以易知倾斜角θ＝30°，切点P (1，3)，设直线l 的方程为x ＋3y ＋c ＝0，把点P (1，3)代入，所以1＋3＋c ＝0，所以c ＝－4. 所以直线l 的方程为x ＋3y －4＝0. 答案：B 二、填空题6．(2017·菏泽二模)已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦最短时，直线方程为________．解析：圆C 的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝9，所以圆C 的圆心C (4，1)，半径r ＝3. 又直线y ＝a (x －3)过定点P (3，0)，则当直线y ＝a (x －3)与直线CP 垂直时，被圆C 截得的弦长最短．因此a ·k CP ＝a ·1－04－3＝－1，所以a ＝－1.故所求直线的方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y －3＝07．(2017·北京卷)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________．解析：法一由题意知，AO →＝(2，0)，令P (cos α，sin α)，则AP →＝(cos α＋2，sin α)，AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，故AO →·AP →的最大值为6. 法二由题意知，AO →＝(2，0)，令P (x ，y )，－1≤x ≤1，则AO →·AP →＝(2，0)·(x ＋2，y )＝2x ＋4≤6，故AO →·AP →的最大值为6. 答案：68．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________．解析：由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0，0)，半径r ＝23，所以圆心(0，0)到直线x －3y ＋6＝0的距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3. 因为直线l 的方程为x －3y ＋6＝0，所以直线l 的倾斜角∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°，因此|CD |＝|CE |sin 60°＝23sin 60°＝4.答案：4 三、解答题9．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3，5)．(导学号 54850125)(1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S . 解：(1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，配方，得(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆心C (2，3)．当斜率存在时，设过点A 的圆的切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0. 由d ＝|2k －3＋5－3k |k 2＋1＝1，得k ＝34.又斜率不存在时直线x ＝3也与圆相切，故所求切线方程为x ＝3或3x －4y ＋11＝0. (2)直线OA 的方程为y ＝53x ，即5x －3y ＝0，点C 到直线OA 的距离为d ＝|5×2－3×3|52＋32＝134，又|OA |＝32＋52＝34，所以S ＝12|OA |d ＝12.10．(2017·天津南开中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切．(导学号 54850126)(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程．解：(1)将圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0化为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5－m ，因为圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切，所以圆心(－2，1)到直线x －3y ＋3－2＝0的距离d ＝41＋3＝2＝r ，所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，则可设直线MN 的方程为2x －y ＋c ＝0，因为|MN |＝23，半径r ＝2，所以圆心(－2，1)到直线MN 的距离为22－（3）2＝1.则|－4－1＋c |5＝1，所以c ＝5±5，所以直线MN 的方程为2x －y ＋5± 5＝0.11.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程； (3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．解：(1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6，7)，半径r ＝5，由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0)，且（6－6）2＋（b －7）2＝b ＋5.解得b ＝1，所以圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为k OA ＝2，所以可设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0. 又|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，由题意，圆M 的圆心M (6，7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22＝25－5＝25，即|2×6－7＋m |22＋（－1）2＝25，解得m ＝5或m ＝－15.所以直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. (3)由TA →＋TP →＝TQ →，则四边形AQPT 为平行四边形，又因为P ，Q 为圆M 上的两点，所以|PQ |≤2r ＝10. 所以|TA |＝|PQ |≤10，即（t －2）2＋42≤10，解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的取值范围为[2－221，2＋221 ]．。

18届高三数学二轮复习冲刺提分作业第三篇多维特色练大题标准练压轴解答题一理180118288

压轴解答题(一)时间:30分钟分值:50分1.已知抛物线C:x2=2py(p>0),过焦点F的直线交C于A,B两点,D是抛物线的准线l与y轴的交点.(1)若AB∥l,且△ABD的面积为1,求抛物线的方程;(2)设M为AB的中点,过M作l的垂线,垂足为N,证明:直线AN与抛物线相切.2.已知直线y=x+1与函数f(x)=ae x+b的图象相切,且f '(1)=e.(1)求实数a,b的值;(2)若存在x∈,使得2mf(x-1)+nf(x)=mx(m≠0)成立,求的取值范围.3.已知函数f(x)=x2ln x+1-x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当x≥1时,f(x)≥a(x-1)2恒成立,求实数a的取值范围.4.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆的一个焦点作垂直于x轴的直线l交椭圆于M,N 两点,且|MN|=1.P(-b,0),A为圆O:x2+y2=b2上不同于P的任意一点,过点P作与PA垂直的直线交圆x2+y2=a2于B,C两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)试问|BC|2+|CA|2+|AB|2是否为定值,若是,求出定值;若不是,请说明理由.答案精解精析1.解析(1)∵AB∥l,∴|FD|=p,|AB|=2p.∴S△ABD=p2,∴p=1,故抛物线C的方程为x2=2y.(2)设直线AB的方程为y=kx+,由⇒x2-2kpx-p2=0,∴x1+x2=2kp,x1x2=-p2,其中A,B.∴M,N.∴k AN=====.又x2=2py,∴y'=.∴抛物线x2=2py在点A处的切线斜率k=.∴直线AN与抛物线相切.2.解析(1)设直线y=x+1与函数f(x)=ae x+b的图象的切点为(x0,f(x0)). 由f(x)=ae x+b可得f '(x)=ae x.由题意可得(2)由(1)可知f(x)=e x.存在x∈,使2mf(x-1)+nf(x)=mx(m≠0)成立等价于存在x∈,使2me x-1+ne x=mx成立,∴=,x∈.设g(x)=,x∈,则g'(x)=,当x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)在(0,1)上单调递增,当x∈时,g'(x)<0, g(x)在上单调递减.∴g(x)max=g(1)=-,又g(0)=-,g=-,∴g(0)-g=-<0.∴的取值范围是.3.解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=2xln x+x-1.当x>1时,2xln x>0,x-1>0,所以f '(x)>0;当0<x<1时,2xln x<0,x-1<0,所以f '(x)<0,所以函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).(2)设g(x)=f(x)-a(x-1)2=x2ln x+1-x-a(x-1)2(x≥1),则g'(x)=2xln x+x-1-2a(x-1),g″(x)=2ln x+3-2a.若3-2a≥0,即a≤,对一切x≥1,有g″(x)≥0,所以g'(x)在区间[1,+∞)上单调递增,所以g'(x)≥g'(1)=0,所以g(x)在区间[1,+∞)上单调递增,所以g (x)≥g(1)=0,符合条件.若3-2a<0,即a>,存在x0∈(1,+∞)使得g″(x0)=0,当x∈(1,x0)时,g″(x)<0,所以函数g'(x)在区间(1,x0)上单调递减,所以当x∈(1,x0)时,g'(x)<g'(1)=0,所以函数g(x)在区间(1,x0)上单调递减,故当x∈(1,x0)时,g(x)<g(1)=0,这与题意矛盾.综上,实数a的取值范围为.4.解析(1)假设直线l过椭圆的右焦点(c,0),把x=c代入椭圆方程,得+=1,即y2=b2=,所以|MN|==1.又===,所以a=2b,结合=1,可得a=2,b=1,所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)设A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),由题意知+=1,+=+=4,P(-1,0),所以|BC|2+|CA|2+|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2+(x2-x0)2+(y2-y0)2+(x1-x0)2+(y1-y0)2=2(+)+2(+)+2( +)-2(x1x2+y1y2+x1x0+y1y0+x2x0+y2y0)=18-2(x1x2+y1y2+x1x0+y1y0+x2x0+y2y0).因为PA⊥PB,所以·=0,又=(x0+1,y0),=(x1+1,y1),所以(x0+1)(x1+1)+y0y1=0,即x0x1+y0y1=-1-(x0+x1),所以x1x2+y1y2+x1x0+y1y0+x2x0+y2y0=x2(x0+x1)+y2(y0+y1)-1-(x0+x1)=(x0+x1)(x2-1)+y2(y0+y1)-1.①当BC⊥x轴时,直线BC与圆O仅有一个交点P,此时A(1,0),|BP|=|CP|=,|AB|=|CA|==,所以|BC|2+|CA|2+|AB|2=(2)2+()2+()2=26.②当BC与x轴不垂直时,直线BC与圆O有2个交点,设直线BC交圆O于另一点A',由A'P⊥AP,知A'A为圆O的直径,所以A'(-x0,-y0).由线段A'P的中点与BC的中点重合,可知x1+x2=-x0-1,y1+y2=-y0,即x1+x0=-1-x2,y1+y0=-y2,所以x1x2+y1y2+x1x0+y1y0+x2x0+y2y0=(-1-x2)(x2-1)+y2(-y2)-1=1-(+)-1=-4,所以|BC|2+|CA|2+|AB|2=18-2×(-4)=26.综上,|BC|2+|CA|2+|AB|2是定值,且为26.。

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[推荐学习]2018年高考数学二轮复习专项精练高考22题12+4分项练5三角函数与解三角形理12＋4分项练5 三角函数与解三角形1．(2017·山东)已知cos x ＝34，则cos 2x 等于( )A ．－14B.14 C ．－18D.18答案 D解析 cos 2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18.故选D.2．(2017届陕西省渭南市二模)已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，满足直线ax ＋by ＋2c ＝0与圆x 2＋y 2＝4相离，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上情况都有可能答案 C解析圆心到直线的距离d ＝|2c |a 2＋b 2>2，4．(2017·湖北省武汉市调研)如图所示，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式可以为( )A ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14] B ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋5π4＋20，x ∈[6,14] C ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4＋20，x ∈[6,14] D ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋5π8＋20，x ∈[6,14] 答案 A解析由2πω＝2(14－6)＝16，得ω＝π8，A ＝12(30－10)＝10，b ＝20，由y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ＋20过点(14,30)，得30＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×14＋φ＋20，sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋7π4＝1， φ＋7π4＝2k π＋π2，φ＝2k π－5π4，k ∈Z ，取k ＝1，得φ＝3π4，所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，故选A. 5．已知锐角α，β满足sin α＝1010，cos β＝255，则α＋β的值为( )A.3π4B.π4C.π6 D .3π4或π4 答案 B解析因为锐角α，β，所以cos α＝31010，sin β＝55，因此cos(α＋β)＝cosαcosβ－sin αsin β＝31010×255－1010×55＝22，因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4，故选B.6．(2017届天津市红桥区二模)将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小值为( ) A.π8 B .π4 C.3π8 D.π2答案 C解析函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π4，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －2φ＋π4，所得图象关于直线x ＝π4对称，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－2φ＝±1，则2φ－5π4＝k π＋π2，φ＝k π2＋7π8，k ∈Z ，由φ>0，取k ＝－1，得φ的最小值为3π8，故选C.7．(2017·安徽省蚌埠市质检)已知函数f (x )＝cos 2ωx2＋32sin ωx －12(ω>0，x ∈R)，若函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，512B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，512∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56，1112C.⎝⎛⎦⎥⎤0，56 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，512∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤56，1112答案 D解析 ∵f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos2ωx 2－1＋32sin ωx＝12cos ωx ＋32sin ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，当x ∈(π，2π)时，ωx ＋π6∈⎝⎛⎭⎪⎫ωπ＋π6，2ωπ＋π6，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ωπ＋π6≥k π，2ωπ＋π6≤(k ＋1)π⇒k －16≤ω≤k 2＋512，k ∈Z ，由k2＋512>k －16，可得k <76，k ＝0时，ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，512，当k ＝1时，ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤56，1112，所以ω的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，512∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤56，1112，故选D.8．(2017届辽宁省葫芦岛市二模)《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求职”中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋a 2－b 222，现有周长为10＋27的△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为( ) A ．6 3 B ．47 C ．87 D ．12 答案 A解析因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，所以由正弦定理得a ∶b ∶c ＝2∶3∶7，又因为△ABC 的周长为10＋27，所以可得a ＝4，b ＝6，c ＝27，所以△ABC 的面积为S ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－⎝⎛⎭⎪⎫c 2＋a 2－b 222 ＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤(27)2×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫(27)2＋42－6222＝63，故选A.9．(2017届北京市朝阳区二模)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6 (ω>0)的最小正周期为4π，则( )A ．函数f (x )的图象关于原点对称B ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称C ．函数f (x )图象上的所有点向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D ．函数f (x )在区间(0，π)上单调递增答案 C解析 2πω＝4π⇒ω＝12，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6不是奇函数，图象不关于原点对称；当x ＝π3时f (x )＝32不是最值，图象不关于直线x ＝π3对称；图象上所有点向右平移π3个单位长度后得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝sin 12x 为奇函数，图象关于原点对称；因为x ∈(0，π)⇒12x ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，所以函数f (x )在区间(0，π)上有增有减，综上知选C.10．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b 等于( )A ．10B ．9C ．8D ．5答案 D解析由23cos 2A ＋cos 2A ＝23cos 2A ＋2cos 2A －1 ＝25cos 2A －1＝0. ∴cos A ＝15，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得72＝b 2＋62－12b ×15，解得b ＝5，b ＝－135(舍去)．故选D.11．(2017·广东省湛江市模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋1 (ω>0,0≤φ≤π2)的图象相邻两条对称轴之间的距离为π，且在x ＝π3时取得最大值2，若f (α)＝85，且π3<α<5π6，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值为( )A.1225 B ．－1225C.2425 D ．－2425 答案 D解析函数图象相邻两条对称轴之间的距离为π，说明周期为2π，2πω＝2π，ω＝1，在x＝π3时取得最大值2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＋1＝2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，φ＝2k π＋π6，∵0≤φ≤π2，∴φ＝π6，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1，f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋1＝85，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，∵π3<α<5π6，∴π2<α＋π6<π，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－2425，故选D.12．(2017届山西省太原市模拟)已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)，若方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤136，72B.⎝ ⎛⎦⎥⎤72，256C.⎝ ⎛⎦⎥⎤256，112D.⎝ ⎛⎦⎥⎤112，376答案 B解析函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3，由f (x )＝－1有sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3＝－12，所以有ωx －π3＝2k π－π6或ωx －π3＝2k π－5π6，当ωx －π3＝2k π－π6时，ωx ＝2k π＋π6，k ＝0时显然成立，由于方程f (x )＝－1在(0，π)内有四个交点，所以k ＝1时也成立，k ＝2时，x ＝π是第五个交点，但x ∈(0，π)，此时ω＝256，所以ω≤256；当ωx －π3＝2k π－5π6时，ωx ＝2k π－π2，k ＝1或2，且当k ＝2时，ωx ＝7π2，由于0<x <π，所以ω>72，综上有72<ω≤256，故选B.13．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列．若sin B ＝513，cos B＝12ac，则a ＋c 的值为________．答案 37解析 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . ∵sin B ＝513，cos B ＝12ac，∴ac ＝13，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴a 2＋c 2＝37，∴(a ＋c )2＝63，∴a ＋c ＝37. 14．(2017届江西省新余市第一中学模拟)某沿海四个城市A ，B ，C ，D 的位置如图所示，其中∠ABC ＝60°，∠BCD ＝135°，AB ＝80 n mile ，BC ＝(40＋303) n mile ，AD ＝70 6 n mile ，D 位于A 的北偏东75°方向．现在有一艘轮船从A 出发沿直线航行，一段时间到达D 后，轮船收到指令改向城市C 直线航行，收到指令时城市C 对于轮船的方位角是南偏西θ度，则sin θ＝________.答案2 2解析连接AC，在△ABC中，根据余弦定理得AC＝802＋(40＋303)2－2×80×(40＋303)×cos 60°＝503，再根据正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin B，所以sin∠ACB＝45，则显然可求cos∠ACB＝35，于是sin(135°－∠ACB)＝22×35－⎝⎛⎭⎪⎫－22×45＝7210，在△ACD中，根据正弦定理得AC sin D ＝ADsin (135°－∠ACB )，得sin D ＝12，所以D ＝30°，因此根据题意，θ＝75°－30°＝45°，所以sin θ＝22.15．(2017届黑龙江省哈尔滨市第三中学二模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知c ＝2，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋b 的取值范围是________．答案 (2,4]解析因为sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，由正弦定理可得a 2＋b 2－ab ＝c 2，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ∈(0，π)，所以C ＝π3.由正弦定理得a ＋b ＝433(sin A ＋sin B )＝433⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6，因为A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，所以a ＋b ∈(2,4]．16．(2017届江苏省苏北三市(连云港、徐州、宿迁)三模)已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且C ＝π3，c ＝2.当AC →·AB →取得最大值时，ba的值为______．答案 2＋ 3解析设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝csin C ＝433. AC →·AB →＝bc cos A ＝2b cos A＝2×433sin B cos A ＝833sin B cos A ， ∵B ＝2π3－A ， AC →·AB →＝833cos A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝833cos A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A ＝4cos 2A ＋433sin A cos A ＝2(1＋cos 2A )＋233sin 2A ＝233sin 2A ＋2cos 2A ＋2 ＝433⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2A ＋32cos 2A ＋2＝433sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＋2. ∵0<A <2π3，0<2A <4π3，π3<2A ＋π3<5π3，则当2A ＋π3＝π2，即A ＝π12时，AC →·AB →取得最大值433＋2，此时△ABC 中，B ＝7π12，a sin π12＝b sin 7π12，b a ＝sin 7π12sin π12＝2(3＋1)42(3－1)4＝2＋ 3.。

专题1-8 算法、推理与证明、复数练-2018年高考数学文

2018年高三二轮复习讲练测之练案【新课标版文科数学】专题八算法、推理与证明、复数总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分______1.练高考1.【2017课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)【答案】C【解析】由2(1)2i i +=为纯虚数知选C ．2.【2017课标1，理3】设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为（）A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B【解析】3.【2017江苏，2】已知复数(1i)(12i),z =++其中i 是虚数单位，则z 的模是 . 【答案】10 【解析】(1)(12)1122510z i i i i =++=++=⨯=，故答案为10．4. 【2017课标3，文8】执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D5. 【2017天津，文9】已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i 2i a -+为实数，则a 的值为 . 【答案】2- 【解析】()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数，则20,25a a +==-. 6. 【2017课标II ，文9】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则A.乙可以知道两人的成绩B.丁可能知道两人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D2.练模拟1. 给出下面四个类比结论：①实数a ，b ，若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；类比复数z 1，z 2，若z 1z 2＝0，则z 1＝0或z 2＝0.②实数a ，b ，若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；类比向量a ，b ，若a·b＝0，则a ＝0或b ＝0.③实数a ，b ，有a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；类比复数z 1，z 2，有z ＋z ＝0，则z 1＝z 2＝0.④实数a ，b ，有a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；类比向量a ，b ，若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0.其中类比结论正确的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C2.【2018届北京市昌平区高三上学期期末】执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A. 43B. 55C. 61D. 81【答案】C【解析】=1+24=2524618;=25184318612;S n S n =-=+==-=，，=4312551266;S n +==-=， =55661660;S n +==-=，结束循环输出61S = ,选C.3.阅读如图所示的程序如图，运行相应的程序，若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是（）A ．6n =B ．6n <C ．6n ≤D ．8n ≤【答案】C4.【四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断】设i 是虚数单位，则复数43i i z -=的虚部为（） A ． 4i B ． 4C ． 4i -D ．4- 【答案】D【解析】因为243i i(43i)34i i iz --===--，其虚部为4-，故选D ． 5. 【2018届河北省廊坊市第八高级中学高三模拟】若复数z 满足32i z i ⋅=-+，且其对应的点为Z ，则点Z 的坐标为__________．【答案】()2,3 【解析】3223i z i i-+==+，所以()2,3Z ，填()2,3． 3.练原创1.已知i 为虚数单位，R a ∈，若ia i +-2为纯虚数，则复数i a z 2)12(++=的模等于（） A ．2 B ．3 C ．11 D ．6【答案】D【解析】因为()()()()()2221221i a i a a i i a i a i a i a ----+-==++-+是纯虚数，所以，12102a a -=⇒= 所以，212226z a i i =++=+=，故选D. 2．已知实数[]1,9x ∈，执行如右图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为（） A.58 B.38 C.23 D.13【答案】B.3.执行下面的程序框图，如果输入的]3,1[-∈t ，则输出的S 属于区间 .【答案】[-3，4]【解析】由程序框图可知⎩⎨⎧≥-<=1,41,32t t t t t S ，故当)1,1[-∈t 时)3,3[3-∈=t S ；当]3,1[∈t 时]4,3[4)2(422∈+--=-=t t t S ，所以输入的]3,1[-∈t ，则输出的S 属于区间[-3，4]；故答案为：[-3，4]．4.己知2(,)a i b i a b R i+=+∈．其中i 为虚数单位，则a+b=（） A.-1 B. 1 C. 2 D ．3【答案】B5.定义函数{}{}()f x x x =⋅，其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{}1.52=，{}2.52-=-.当(]0,x n ∈，*n N ∈时，函数()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则12111n a a a +++= ________．【答案】21n n + 【解析】易知：当1n =时，因为(]0,1x ∈，所以{}1x =，所以{}{}1x x =，所以{}111,1A a ==；当2n =时，因为(]1,2x ∈，所以{}2x =，所以{}{}(]2,4x x ∈，所以{}221,3,4,3A a ==；当3n =时，因为(]2,3x ∈，所以{}3x =，所以{}{}{}(]36,9x x x =∈，所以{}331,3,4,7,8,9,6A a ==；当4n =时，因为(]3,4x ∈，所以{}4x =，所以{}{}{}(]412,16x x x =∈，所以{}441,3,4,7,8,9,13,14,15,16,10A a ==；当5n =时，因为(]4,5x ∈，所以{}5x =，所以{}{}{}(]520,25x x x =∈，所以{}551,3,4,7,8,9,13,14,15,16,21,22,23,24,25,15A a ==，由此类推：1n n a a n -=+，所以(1)2n n n a +=，所以12112(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以 1211121n n a a a n +++=+ .。

2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练全集及答案(共33份)

跟踪强化训练(一)一、选择题1．(2017·银川模拟)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( ) A ．4 B ．－4 C.94 D ．－94[解析] ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋|n |2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0. 又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.故选B. [答案] B2．(2017·沈阳模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析] 解法一：由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0，根据首项a 1＝13可推知数列{a n }递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时，S n 最大．故选C.解法二：设{a n }的公差为d ，由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数的性质，知当n ＝7时，S n 最大．故选C.解法三：根据a 1＝13，S 3＝S 11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n＝3＋112＝7时，S n取得最大值．故选C.[答案] C3．(2017·武汉市武昌区高三调研考试)已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1,1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3)C．(－3,1) D．(1，＋∞)[解析] 依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1，故选A.[答案] A4．(2017·济南一模)方程m＋1－x＝x有解，则m的最大值为( ) A．1 B．0 C．－1 D．－2[解析] 由原式得m＝x－1－x，设1－x＝t(t≥0)，则m＝1－t2－t＝54－⎝⎛⎭⎪⎫t＋122，∵m＝54－⎝⎛⎭⎪⎫t＋122在[0，＋∞)上是减函数．∴t＝0时，m的最大值为1，故选A.[答案] A5．(2017·辽宁省沈阳市高三教学质量监测)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(x)<g(1)的解集是( )A．(－∞，1) B．(－∞，0)∪(0,1)C．(－1,1) D．(－1,0)∪(0,1)[解析] 因为g(x)＝x2f(x)，所以g′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)＝x[xf′(x)＋2f (x )]，由题意知，当x >0时，xf ′(x )＋2f (x )>0，所以g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )为偶函数，则g (x )也是偶函数，所以g (x )＝g (|x |)，由g (x )<g (1)得g (|x |)<g (1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0，则x ∈(－1,0)∪(0,1)．故选D.[答案] D6．(2017·杭州质检)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22D ．1 [解析] 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，则y 20＝2px 0，即x 0＝y 22p.设M (x ′，y ′)，由PM →＝2MF →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝－y ，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率为k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0＋y 0≤2p 22p2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．[答案] C 二、填空题7．(2017·厦门一中月考)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a 等于________．[解析] y ′＝x －－x ＋x －2＝－2x －2，将x ＝3代入，得曲线y＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线斜率k ＝－12，故与切线垂直的直线的斜率为2，即－a ＝2，得a ＝－2.[答案] －28．(2017·南昌模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．[解析] 利用双曲线的性质建立关于a ，b ，c 的等式求解．如图，由题意知|AB |＝2b 2a，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理，得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．[答案] 29．(2017·衡水中学检测)已知正四棱锥的体积为323，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________．[解析] 如图所示，设正四棱锥的底面边长为a ，高为h .则该正四棱锥的体积V ＝13a 2h ＝323，故a 2h ＝32，即a 2＝32h .则其侧棱长为l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a 22＋h 2＝16h＋h 2.令f (h )＝16h＋h 2，则f ′(h )＝－16h 2＋2h ＝2h 3－16h2，令f ′(h )＝0，解得h ＝2.显然当h ∈(0,2)时，f ′(h )<0，f (h )单调递减；当h ∈(2，＋∞)时，f ′(h )>0，f (h )单调递增．所以当h ＝2时，f (h )取得最小值f (2)＝162＋22＝12，故其侧棱长的最小值l ＝12＝2 3. [答案] 2 3 三、解答题10．(2017·湖南湘中联考)设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A .(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围． [解] (1)∵a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，∵sin A ≠0， ∴sin B ＝12，又△ABC 为锐角三角形，∴B ＝π6.(2)∵B ＝π6，∴cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6－A＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A＝cos A ＋12cos A ＋32sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3.由△ABC 为锐角三角形知，A ＋B >π2，∴π3<A <π2，∴2π3<A ＋π3<5π6， ∴12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3<32，∴32<3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3<32，∴cos A ＋sin C 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，32. 11．(2017·合肥模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝9，a 2为整数，且S n ≤S 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，求证：T n ≤49. [解] (1)由a 1＝9，a 2为整数可知，等差数列{a n }的公差d 为整数．又S n ≤S 5，∴a 5≥0，a 6≤0，于是9＋4d ≥0,9＋5d ≤0，解得－94≤d ≤－95.∵d 为整数，∴d ＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝11－2n . (2)证明：由(1)，得1a n a n ＋1＝1－2n－2n＝12⎝⎛⎭⎪⎫19－2n －111－2n ，∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫19－2n －111－2n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫19－2n －19. 令b n ＝19－2n ，由函数f (x )＝19－2x 的图象关于点(4.5,0)对称及其单调性，知0<b 1<b 2<b 3<b 4，b 5<b 6<b 7<…<0，∴b n ≤b 4＝1.∴T n ≤12×⎝⎛⎭⎪⎫1－19＝49.12．(2017·长沙模拟)已知椭圆E 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，离心率等于223，P 是椭圆E 上的点．以线段PF 1为直径的圆经过F 2，且9PF 1→·PF 2→＝1.(1)求椭圆E 的方程；(2)作直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N .如果线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，求直线l 的倾斜角的取值范围．[解] (1)依题意，设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，半焦距为c .∵椭圆E 的离心率等于223，∴c ＝223a ，b 2＝a 2－c 2＝a 29.∵以线段PF 1为直径的圆经过F 2， ∴PF 2⊥F 1F 2.∴|PF 2|＝b 2a.∵9PF 1→·PF 2→＝1，∴9|PF 2→|2＝9b4a2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝a 29，9b 4a 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝1，∴椭圆E 的方程为y 29＋x 2＝1. (2)∵直线2x ＋1＝0与x 轴垂直，且由已知得直线l 与直线x ＝－12相交，∴直线l 不可能与x 轴垂直，∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，9x 2＋y 2＝9，得(k 2＋9)x 2＋2kmx ＋(m 2－9)＝0.∵直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N ， ∴Δ＝4k 2m 2－4(k 2＋9)(m 2－9)>0，即m 2－k 2－9<0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2km k 2＋9.∵线段MN 被直线2x ＋1＝0平分， ∴2×x 1＋x 22＋1＝0，即－2kmk 2＋9＋1＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－k 2－9<0，－2kmk 2＋9＋1＝0，得⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋92k 2－(k 2＋9)<0. ∵k 2＋9>0，∴k 2＋94k2－1<0，∴k 2>3，解得k >3或k <－ 3.∴直线l 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3.跟踪强化训练(二)一、选择题1．(2017·沈阳质检)方程sinπx ＝x4的解的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析] 在同一平面直角坐标系中画出y 1＝sinπx 和y 2＝x4的图象，如右图：观察图象可知y 1＝sinπx 和y 2＝x4的图象在第一象限有3个交点，根据对称性可知，在第三象限也有3个交点，再加上原点，共7个交点，所以方程sinπx ＝x4有7个解，故选C.[答案] C2．(2017·郑州模拟)若实数x ，y 满足等式x 2＋y 2＝1，那么yx －2的最大值为( )A.12B.33C.32D. 3[解析] 设k ＝yx －2，如图所示，k PB ＝tan ∠OPB ＝122－12＝33，k PA ＝－tan ∠OPA ＝－33，且k PA ≤k ≤k PB ，∴k max ＝33，故选B.[答案] B3．(2017·宝鸡质检)若方程x ＋k ＝1－x 2有且只有一个解，则k 的取值范围是( )A ．[－1,1)B ．k ＝± 2C ．[－1,1]D ．k ＝2或k ∈[－1,1)[解析] 令y 1＝x ＋k ，y 2＝1－x 2，则x 2＋y 2＝1(y ≥0)．作出图象如图：而y 1＝x ＋k 中，k 是直线的纵截距，由图知：方程有一个解⇔直线与上述半圆只有一个公共点⇔k ＝2或－1≤k <1，故选D.[答案] D4．(2016·广州检测)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2，＋∞)[解析] 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选B.[答案] B5．(2017·西安二模)若方程x 2＋(1＋a )x ＋1＋a ＋b ＝0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则ba的取值范围是( )A ．(－2，－1)B ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12D ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞[解析] 由题意可知，方程的一个根位于(0,1)之间，另一个根大于1.设f (x )＝x 2＋(1＋a )x ＋1＋a ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧f，f，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b >0，2a ＋b ＋3<0.作出可行域如图中阴影部分所示．ba可以看作可行域内的点(a ，b )与原点O (0,0)连线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋3＝0，a ＋b ＋1＝0可解得A (－2,1)，过点A 、O 作l 1，过点O 作平行于直线2a ＋b ＋3＝0的直线l 2，易知kl 2<b a <kl 1，又kl 1＝－12，kl 2＝－2，∴－2<b a<－12.故选C. [答案] C6．(2017·南宁一模)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1][解析] 设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，C (3,0)，得(x －3)2＋y 2＝1. 又∵OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)， ∴|OA →＋OB →＋OD →| ＝x －2＋y ＋32.∴|OA →＋OB →＋OD →|的几何意义是点P (1，－3)与圆(x －3)2＋y 2＝1上点之间的距离(如图)，由|PC |＝7知，|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是1＋7，最小值是7－1，故选D.[答案] D 二、填空题7．(2017·青岛二模)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________．[解析] 作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．[答案] (－1,0)∪(0,1)8．(2017·合肥质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0<x <2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．[解析] 画出函数f (x )的图象如图．要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只需y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个不同的交点，由图象易知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，19．(2017·山西四校模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为________．[解析]由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ≥10，5a 1＋5×42d ≤15，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3.又a 4＝a 1＋3d ，故此题可转化为线性规划问题．画出可行域如图所示．作出直线a 1＋3d ＝0，经平移可知当直线a 4＝a 1＋3d 过可行域内点A (1,1)时，截距最大，此时a 4取最大值4.[答案] 4 三、解答题10．(2017·海口模拟)设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实数α、β.(1)求实数a 的取值范围； (2)求α＋β的值．[解] (1)原方程可化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝－a2，作出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈(0,2π))的图象．由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1<－a2<1，－a 2≠32，即－2<a <－3或－3<a <2.(2)由图知：当－3<a <2，即－a 2∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，32时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象交于C 、D 两点，它们中点的横坐标为7π6，所以α＋β2＝7π6，所以α＋β＝7π3.当－2<a <－3，即－a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，1时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象有两交点A 、B ，由对称性知，α＋β2＝π6，所以α＋β＝π3，综上所述，α＋β＝π3或7π3.11．(2017·福州质检)已知圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )．过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，求PE →·PF →的最小值．[解] 由题意，可知圆心M 的坐标为(2＋5cos θ，5sin θ)，由此可知圆心M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝25，如图，经分析可知，只有当P 在线段MC 上时，才能够使PE →·PF →最小，此时PC ＝4，又Rt △PEC 中，EC ＝2，则PE ＝23，∠EPC ＝30°，∴PF ＝PE ＝23，∠EPF ＝2∠EPC ＝2×30°＝60°，故(PE →·PF →)min ＝(23)2×cos60°＝6.12.右面的图形无限向内延续，最外面的正方形的边长是2，从外到内，第n 个正方形与其内切圆之间的深色图形面积记为S n (n ∈N *)．(1)证明：S n ＝2S n ＋1(n ∈N *)； (2)证明：S 1＋S 2＋…＋S n <8－2π.[证明] (1)设第n (n ∈N *)个正方形的边长为a n ，则其内切圆半径为a n2，第n ＋1个正方形的边长为22a n ，其内切圆半径为24a n ，所以S n ＝a 2n －π⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 22＝a 2n ⎝⎛⎭⎪⎫1－π4(n ∈N *)，S n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22a n 2－π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫24a n 2＝a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－π8＝12S n(n ∈N *)．所以S n ＝2S n ＋1(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S 1＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－π4＝4－π，S 2＝2－π2，…，S n ＝(4－π)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n ＝(4－π)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －1＝(4－π)×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝(8－2π)⎝⎛⎭⎪⎫1－12n<8－2π.跟踪强化训练(三)一、选择题1．(2017·武汉二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)[解析] 解法一：当a <0时，不等式f (a )<1为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.解法二：取a ＝0, f (0)＝0<1，符合题意，排除A ，B ，D. [答案] C2．(2017·大同二模)已知函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(0,4]D ．[0,4)[解析] 因为函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f (x )＝1，其定义域是实数集R ；当m >0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是0≤m ≤4.[答案] B3．(2017·太原模拟)4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用1名大学生的情况有( )A ．24种B ．36种C ．48种D ．60种[解析] 每家企业至少录用一名大学生的情况有两类：一类是每家企业都录用一名，有C 34A 33＝24(种)；一类是其中一家企业录用了2名，有C 24A 33＝36(种)，所以一共有24＋36＝60(种)，故选D.[答案] D4．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π3，则该双曲线的离心率为( )A ．2或 3B ．2或233C.233D ．2[解析] 当双曲线的焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，渐近线方程为y ＝±b a x ，所以b a ＝tan π3＝3，故双曲线的离心率e ＝ca＝1＋b 2a2＝1＋3＝2；当双曲线的焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，渐近线方程为y ＝±a b x ，所以a b ＝tan π3＝3，则b a ＝33，所以双曲线的离心率e ＝ca＝ 1＋b 2a2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＝233.故选B. [答案] B5．(2016·浙江卷)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0[解析] ∵a ，b >0且a ≠1，b ≠1，∴当a >1，即a －1>0时，不等式log a b >1可化为a log a b >a 1，即b >a >1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.当0<a <1，即a －1<0时，不等式log a b >1可化为a log a b <a 1，即0<b <a <1， ∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0. 综上可知，选D. [答案] D6．如图，过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面CB 1D 1平行的直线有( )A ．18条B ．20条C．21条D．22条[解析] 设各边的中点如图所示，其中与直线D1B1平行的有F1G1，E1H1，FG，EH，NL，共5条；与直线CD1平行的有G1M，GN，LE1，KE，H1F，共5条；与直线CB1平行的有F1M，FL，HK，NH1，GE1，共5条．分别取CB1，B1D1，CD1的中点如图，连接CO，D1P，B1T，与直线CO平行的有GH1，FE1，共2条；与直线D1P 平行的有H1L，NF，共2条；与直线B1T平行的有E1N，GL，共2条．故与平面CB1D1平行的直线共有5＋5＋5＋2＋2＋2＝21条．[答案] C二、填空题7．(2017·郑州模拟)过点P(3,4)与圆x2－2x＋y2－3＝0相切的直线方程为______________．[解析] 圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.当直线的斜率不存在时，直线x＝3适合；当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0.由|k－0＋4－3k|k2＋1＝2，得k＝34.此时直线方程为y－4＝34(x－3)，即3x－4y＋7＝0.综上所述，所求切线的方程为x ＝3或3x －4y ＋7＝0. [答案] x ＝3或3x －4y ＋7＝08．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________．[解析] 当矩形长、宽分别为6和4时，体积V ＝2×3×12×4＝43；当长、宽分别为4和6时，体积V ＝43×233×12×6＝833.综上所述，所求体积为43或833.[答案] 43或8339．(2017·深圳模拟)若函数f (x )＝mx 2－x ＋ln x 存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是________．[解析] f ′(x )＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x，即2mx 2－x ＋1<0在(0，＋∞)上有解．当m ≤0时显然成立；当m >0时，由于函数y ＝2mx 2－x ＋1的图象的对称轴x ＝14m>0，故需且只需Δ>0，即1－8m >0，故0<m <18.综上所述，m <18，故实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，18.[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，18三、解答题10．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．[解] (1)设数列{a n}的公差为d，依题意，2,2＋d,2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.当d＝0时，a n＝2；当d＝4时，a n＝2＋(n－1)·4＝4n－2，从而得数列{a n}的通项公式为a n＝2或a n＝4n－2.(2)当a n＝2时，S n＝2n.显然2n<60n＋800，此时不存在正整数n，使得S n>60n＋800成立．当a n＝4n－2时，S n＝n[2＋n－2＝2n2.令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，解得n>40或n<－10(舍去)，此时存在正整数n，使得S n>60n＋800成立，n的最小值为41.综上，当a n＝2时，不存在满足题意的n；当a n＝4n－2时，存在满足题意的n，其最小值为41.11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a cos B.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝a24，求角A的大小．[解] (1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin A cos B，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故－π<A －B <π，所以，B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin2B ＝sin B cos B ，因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.12．(2017·唐山模拟)已知函数f (x )＝ax＋ln x －2，a ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，m )处的切线平行于直线y ＝－32x ＋1，求函数f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使函数f (x )在(0，e 2]上有最小值2？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．[解] (1)∵f (x )＝a x＋ln x －2(x >0)，∴f ′(x )＝－a x 2＋1x(x >0)，又曲线y ＝f (x )在点P (2，m )处的切线平行于直线 y ＝－32x ＋1，∴f ′(2)＝－14a ＋12＝－32⇒a ＝8.∴f ′(x )＝－8x 2＋1x ＝x －8x2(x >0)，令f ′(x )>0，得x >8，f (x )在(8，＋∞)上单调递增；令f ′(x )<0，得0<x <8, f (x )在(0,8)上单调递减．∴f (x )的单调递增区间为(8，＋∞)，单调递减区间为(0,8)． (2)由(1)知f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －a x2(x >0)．(ⅰ)当a ≤0时， f ′(x )>0恒成立，即f (x )在(0，e 2]上单调递增，无最小值，不满足题意．(ⅱ)当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，所以当f ′(x )>0时，x >a ，当f ′(x )<0时，0<x <a ，此时函数f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减．若a >e 2，则函数f (x )在(0，e 2]上的最小值f (x )min ＝f (e 2)＝ae2＋lne 2－2＝a e 2，由ae2＝2，得a ＝2e 2，满足a >e 2，符合题意；若a ≤e 2，则函数f (x )在(0，e 2]上的最小值f (x )min ＝f (a )＝aa＋ln a －2＝ln a －1，由ln a －1＝2，得a ＝e 3，不满足a ≤e 2，不符合题意，舍去．综上可知，存在实数a ＝2e 2，使函数f (x )在(0，e 2]上有最小值2.跟踪强化训练(四)一、选择题1．函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A ．3，－1 B ．3，－2 C ．2，－1D ．2，－2[解析] y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2，所以最大值为2，最小值为－2.[答案] D2．(2017·沈阳质监)在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a ＋c ＝3b ，则tanA2tan C2的值为( ) A.15 B.14 C.12 D.23[解析] 令a ＝4，c ＝5，b ＝3，则符合题意．则由∠C ＝90°，得tan C2＝1，由tan A ＝43，得tan A 2＝12.∴tan A 2·tan C 2＝12·1＝12，选C.[答案] C3．(2017·山西四校联考)P 为双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和圆(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 设双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，则其分别为已知两圆的圆心，由已知|PF1|－|PF2|＝2×3＝6.要使|PM|－|PN|最大，需PM，PN分别过F1、F2点即可．∴(|PM|－|PN|)max＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝9.故选D.[答案] D4．(2017·保定模拟)函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(1)＝0，当x<0时，xf′(x)＋f(x)>0，则使得f(x)<0成立的x的取值范围是( ) A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)[解析] 设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)．∵当x<0时，xf′(x)＋f(x)>0，∴当x<0时，g′(x)>0，∴函数g(x)＝xf(x)在(－∞，0)上为增函数，∵函数f(x)是奇函数，∴g(－x)＝(－x)f(－x)＝(－x)·[－f(x)]＝xf(x)＝g(x)(x∈R)，∴函数g(x)在R上为偶函数，由f(1)＝0，得g(1)＝0，函数g(x)的图象大致如图所示，∵f(x)<0，∴x≠0，g xx<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x <0，g x 或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，g x ，由函数图象知，－1<x <0或x >1.∴使得f (x )<0成立的x 的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)．故选B. [答案] B5．(2017·南昌调研)某重点中学在一次高三诊断考试中要安排8位老师监考某一考场的语文、数学、理综、英语考试，要求每堂安排两位老师且每位老师仅监考一堂，则其中甲、乙老师不监考同一堂的概率是( )A.314B.67C.37D.17[解析] 利用间接法，安排8位老师监考某一考场的方法共有C 28C 26C 24C 22种，而安排甲、乙两位老师监考同一堂的方法有C 14C 26C 24C 22，所以甲、乙两位老师不监考同一堂的概率为1－C 14C 26C 24C 22C 28C 26C 24C 22＝1－17＝67，故选B.[答案] B6．(2017·江南十校联考)若α、β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，且αsin α－βsin β>0，则下面结论正确的是( )A ．α>βB ．α＋β>0C ．α<βD ．α2>β2[解析] 令f (x )＝x sin x ，则f ′(x )＝sin x ＋x ·cos x .∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，f (x )为偶函数，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上为减函数．∴αsin α－βsin β>0⇔f (|α|)>f (|β|)⇒|α|>|β|⇒α2>β2，故选D.[答案] D二、填空题7．(2017·安徽省合肥市高三二检)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________． [解析]因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1.[答案] [1，＋∞)8．如图，已知在△ABC 中，∠BAC ＝120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．[解析] 因为AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)×AB →·AC →－4λ＋9＝0，AB →·AC →＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－3，所以－3(λ－1)－4λ＋9＝0，得λ＝127.[答案]1279．(2017·赣中南五校联考)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值为________．[解析] 连接A 1B ，沿BC 1将△CBC 1展开，使与△A 1BC 1在同一个平面内，如图所示，连接A 1C .则A 1C 的长度就是所求的最小值．易知∠A 1C 1B ＝90°，∠BC 1C ＝45°，所以∠A 1C 1C ＝135°，在△A 1C 1C 中，由余弦定理可得A 1C ＝5 2.故CP ＋PA 1的最小值为5 2. [答案] 5 2 三、解答题10．(2017·广西南宁月考)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ，c ∈R )． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x >0，－fx ，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1的区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．[解] (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a＝－1，解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >0，－x ＋2，x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由a ＝1，c ＝0，得f (x )＝x 2＋bx ，从而|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2.∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．11．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)如图，过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)设圆心C (a,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍去)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k x －，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k x 1－x 1－t ＋k x 2－x 2－t＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒k 2－k 2＋1－2k 2t ＋k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．12．已知函数f (x )＝ln x －(x ＋1)． (1)求函数f (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)(n ∈N *)．[解] (1)∵f (x )＝ln x －(x ＋1)， ∴f ′(x )＝1x－1(x >0)．令f ′(x )>0，解得0<x <1；令f ′(x )<0，解得x >1.∴函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴f (x )极大值＝f (1)＝－2.(2)证明：由(1)知x ＝1是函数f (x )的极大值点，也是最大值点， ∴f (x )≤f (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)，取t ＝1n(n ∈N *)时，则1n>ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴1>ln2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ，叠加得1＋12＋13＋…＋1n>ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·32·43·…·n ＋1n ＝ln(n ＋1)．即1＋12＋13＋…＋1n>ln(n ＋1)．跟踪强化训练(五)1．[直接法](2017·济南二模)某班有6位学生与班主任老师毕业前夕留影，要求班主任站在正中间且女生甲、乙不相邻，则排法的种数为( )A ．96B ．432C ．480D ．528[解析] 当甲、乙在班主任两侧时，甲、乙两人有3×3×2种排法，共有3×3×2×24种排法；当甲乙在班主任同侧时，有4×24种排法，因此共有排法3×3×2×24＋4×24＝528(种)．[答案] D2．[直接法](原创题)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，点B (－1,3)，C (3，－1)，且其“欧拉线”与圆x 2＋(y －2)2＝r 2相切，则该圆的面积为( )A ．π B．2π C．4π D．5π[解析] 依题意，△ABC 的外心、重心、垂心均在边BC 的垂直平分线上，BC 的中点为M (1,1)，直线BC 的斜率为－1，因此△ABC 的“欧拉线”方程是y－1＝x －1，即x －y ＝0.圆心(0,2)到直线x －y ＝0的距离d ＝r ＝22＝2，则该圆的面积为πr 2＝2π.[答案] B3．[特例法]计算tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1[解析] 取α＝π12，则原式＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π12cosπ62cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π12＝3×322×34＝1.故选D.[答案] D4．[特例法]已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2m ·AO →，则m 的值为( ) A.32 B. 2 C ．1 D.12[解析] 如图，当△ABC 为正三角形时，A ＝B ＝C ＝60°，取D 为BC 的中点，AO →＝23AD →，则有13AB →＋13AC →＝2m ·AO →，∴13(AB →＋AC →)＝2m ×23AD →，∴13·2AD →＝43mAD →，∴m ＝32.故选A. [答案] A5．[排除法](2017·重庆一诊)若过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－1,2)C ．(－∞，0)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[解析] 当a ＝0时，P (1,1)，Q (3,0)，因为k PQ ＝0－13－1＝－12<0，此时过点P (1,1)，Q (3,0)的直线的倾斜角为钝角，排除C ，D ；当a ＝1时，P (0,2)，Q (3,2)，因为k PQ ＝0，不符合题意，排除B ，选A.[答案] A6．[排除法](2017·武汉汉中二检)函数f (x )＝sin2x ＋e ln|x |图象的大致形状是( )[解析] 因为f (x )＝sin2x ＋e ln|x |，所以f (－x )＝－sin2x ＋e ln|x |. 显然f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )，所以函数f (x )为非奇非偶函数，可排除A ，C.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1＋π4<0，可排除D.选B.[答案] B7．[图解法]已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°[解析] 如图，因为〈a ，b 〉＝120°，|b |＝2|a |，a ＋b ＋c ＝0，所以在△OBC 中，BC 与CO 的夹角为90°，即a 与c 的夹角为90°.[答案] B8．[图解法](2017·东北三校联考)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cosπx (－2≤x ≤4)的所有零点之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cosπx ＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＝－2cosπx ，令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)，h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)，又因为g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，1≤x ≤4，2x －1，－2≤x <1.在同一坐标系中分别作出函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的图象(如图)，由图象可知，函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|关于x ＝1对称，又x ＝1也是函数h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的对称轴，所以函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的交点也关于x ＝1对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.[答案] C9．[估算法]图中阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是( )[解析] 由题图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.[答案] B10．[估算法]已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积是( )A.36B.26C.23D.22 [解析] 容易得到△ABC 的面积为34，而三棱锥的高一定小于球的直径2，所以V <13×34×2＝36，立即排除A 、C 、D ，答案选B.[答案] B11．[概念辨析法](2017·南昌一模)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 若α＝2π＋π6，β＝π6，α>β，但sin α＝sin β，若α＝π3，β＝2π＋π6，sin α>sin β，但此时α>β不成立，因而“α>β”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件．[答案] D12．[概念辨析法](2017·襄阳调研)非空集合A 中的元素个数用(A )表示，定义(A －B )＝⎩⎪⎨⎪⎧A －B ，A B ，B －A ，AB若A ＝{－1,0}，B ＝{x ||x 2－2x －3|＝a }，且(A －B )≤1，则实数a 的所有可能取值为( )A ．{a |a ≥4}B ．{a |a >4或a ＝0}C ．{a |0≤a ≤4}D ．{a |a ≥4或a ＝0}[解析] 因为A ＝{－1,0}，所以集合A 中有2个元素，即(A )＝2.因为B ＝{x ||x 2－2x －3|＝a }，所以(B )就是函数f (x )＝|x 2－2x －3|的图象与直线y ＝a 的交点个数，作出函数f (x )的图象如图所示．由图可知，(B )＝0或(B )＝2或(B )＝3或(B )＝4.①当(A )≥(B )时，又(A －B )≤1，则(B )≥(A )－1，所以(B )≥1，又(A )≥(B )，所以1≤(B )≤2，所以(B )＝2，由图可知，a ＝0或a >4；②当(A )<(B )时，又(A －B )≤1，则(B )≤(A )＋1，即(B )≤3，又(A )<(B )，所以2<(B )≤3，所以(B )＝3，由图可知，a ＝4.综上所述，a ＝0或a ≥4，故选D. [答案] D跟踪强化训练(六)1．[直接法]对于锐角α，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________.[解析] 由α为锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35，可得cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π12＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12cos π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12sin π4＝45×22－35×22＝210，于是cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2102－1＝－2425. [答案] －24252．[直接法]已知(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x 的系数为2，则实数a 的值为________．[解析] 因为(1－2x )5的展开式中的常数项为1，x 的系数为C 15×(－2)＝－10；(1＋ax )4的展开式中的常数项为1，x 的系数为C 14a ＝4a ，所以(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x 的系数为1×4a ＋1×(－10)＝2，所以a ＝3.[答案] 33．[特例法]已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值是________．[解析] 令a n＝n，则a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10＝1＋3＋92＋4＋10＝1316.[答案] 13 164．[特例法]如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．[解析] 要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点E，F，G分别为中点即可．故可以将三条棱长分别取为OA＝6，OB ＝4，OC＝2，如图，则可计算S1＝35，S2＝210，S3＝13，故S3<S2<S1.[答案] S3<S2<S15．[图解法]设方程1x＋1＝|lg x|的两个根为x1，x2，则x1·x2的取值范围________．[解析] 分别作出函数y＝1x＋1和y＝|lg x|的图象如图，不妨设0<x 1<1<x 2，则|lg x 1|>|lg x 2|， ∴－lg x 1>lg x 2，即lg x 1＋lg x 2<0，∴0<x 1x 2<1. [答案] (0,1)6．[图解法]不等式4－x 2－kx ＋1≤0的解集非空，则k 的取值范围为________．[解析] 由4－x 2－kx ＋1≤0，得4－x 2≤kx －1，设f (x )＝4－x 2，g (x )＝kx －1，其中－2≤x ≤2.如图，作出函数f (x )，g (x )的图象，不等式的解集非空，即直线l 和半圆有公共点．由图可知k AC ＝0－－－2－0＝－12，k BC ＝0－－2－0＝12. 所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞7．[构造法]如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．[解析] 如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.[答案]6π8．[构造法]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1，则{a n }的通项公式为________．[解析] 由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋12＝32·3n －1，故a n ＝3n－12.[答案] a n ＝3n －129．[归纳推理法](2017·辽宁丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为________．[解析] 因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)．[答案] (4,9)10．[归纳推理法]若直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边c 上的高为h ，则1h 2＝1a 2＋1b2.类比以上结论，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P －ABC ，PO为该棱锥的高，记M ＝1PO 2，N ＝1PA 2＋1PB 2＋1PC 2，那么M ，N 的大小关系是M ________N ．(填>，<或＝)[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 2△ABC ＝S 2△ABP ＋S 2△PBC ＋S 2△APC ，S △ABC ·PO ＝12·PA ·PB ·PC ，所以M ＝1PO 2＝S 2△ABCS 2△ABCPO 2＝S 2△ABP ＋S 2△PBC ＋S 2△APC14PA 2·PB 2·PC 2＝1PA 2＋1PB 2＋1PC 2＝N .即M ＝N .[答案] ＝11．[正反互推法]给出以下命题：①双曲线y 22－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x ；②命题p ：“∀x ∈R ＋，sin x ＋1sin x≥2”是真命题；③已知线性回归方程为y ^＝3＋2x ，当变量x 增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；④设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，若P (ξ>1)＝0.2，则p (－1<ξ<0)＝0.6.则正确命题的序号为________(写出所有正确命题的序号)．[解析] ①由y 22－x 2＝0可以解得双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，正确．②命题不能保证sin x ，1sin x 为正，故错误；③根据线性回归方程的含义正确； ④P (ξ>1)＝0.2，可得P (ξ<－1)＝0.2，所以P (－1<ξ<0)＝12P (－1<ξ<1)＝0.3，故错误．。

2018届高三理科数学二轮复习习题第一部分论方法作业4含答案

专题训练·作业(四)一、选择题1．（2017·北京卷改编）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝错误!，则cos(α－β)＝（ )A.错误! B ．－错误!C.错误!D ．－错误! 答案 B解析方法1:因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以cos (α－β）＝cos （－2k π－π＋2α）＝－cos2α＝－（1－2sin 2α）＝－［1－2×（错误!)2]＝－79。

方法2：因为sin α＝错误!〉0，所以角α为第一象限角或第二象限角,当角α为第一象限角时，可取其终边上一点(2错误!,1），则cos α＝错误!，又(2错误!，1）关于y 轴对称的点（－2错误!，1）在角β的终边上，所以sin β＝错误!,cos β＝－错误!，此时cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝错误!×(－错误!）＋错误!×错误!＝－错误!.当角α为第二象限角时,可取其终边上一点(－2错误!,1），则cosα＝－错误!,因为（－2错误!，1）关于y轴对称的点(2错误!,1)在角β的终边上，所以sinβ＝错误!，cosβ＝错误!，此时cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝(－错误!)×错误!＋错误!×错误!＝－错误!。

综上可得,cos(α－β）＝－错误!.2．若直线l上不同的三个点A，B，C与直线l外一点O,使得x2错误!＋x错误!＝2错误!成立，则满足条件的实数x的集合为( ）A．{－1，0} B．｛错误!，错误!｝C．{错误!，错误!} D．｛－1}答案D解析由x2错误!＋x错误!＝2错误!＝2(错误!－错误!)可得，错误!＝错误!错误!＋(错误!＋1）错误!，由A,B,C共线知，错误!＋（错误!＋1）＝1，解得x＝－1或x＝0（舍)，故选D. 3．（2017·山西模拟）已知平面向量a，b,c满足a·b＝1，a·c＝2，b·c＝1，则｜a＋b＋c｜的取值范围为（）A．［0，＋∞) B．[2错误!，＋∞)C．［2错误!，＋∞）D．[4，＋∞)答案D解析建立平面直角坐标系，设a＝（1，0），由于a·b ＝1，a·c＝2，可设b＝（1，m），c＝(2,n）,而b·c＝1，则有2＋mn＝1,即mn＝－1，由于｜a＋b＋c|2＝|a｜2＋|b｜2＋｜c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝｜b｜2＋|c｜2＋9＝1＋m2＋4＋n2＋9＝m2＋n2＋14≥－2mn＋14＝16，故｜a＋b＋c|≥4.4．（2017·课标全国Ⅰ,理)函数f(x）在(－∞，＋∞）上单调递减,且为奇函数．若f（1）＝－1,则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是（)A．［－2,2］B．[－1,1]C．[0,4］D．[1,3]答案D解析∵函数f（x)为奇函数,f（1)＝－1，∴f(－1)＝1.而f （x）在(－∞，＋∞）上单调递减，所以由－1≤f（x－2）≤1可得－1≤x－2≤1,即1≤x≤3。

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顺河中学高三数学天天练12
1．当0a >且1a ≠时，函数()log (1)1a f x x =-+的图像恒过点A ,若点A 在直线0mx y n -+=上，则42m n +的最小值为_ _
2. 函数x x f 2sin 21)(-=的最小正周期为
3. =++5lg 5lg 2lg 2lg 2
4. 复数200811i i i
++-对应的点位于复平面的第象限 5一个算法的流程图如右图所示，则输出S 的值为
6．已知ab c b a c b a ABC =-+∆222,,且三边长分别为，则C ∠=
7把一根均匀木棒随机地按任意点折成两段,则“其中一段的长度大于另一段长度的2倍”的概率为
8．圆2264120x y x y +--+=上一点到3420x y +-=的距离的最小值为
9．函数2sin y x x =-在(0,)π上的单调递增区间为
10. 给出下列四个结论：
①x y a =（0a >且1a ≠）与log x a y a =（0a >且1a ≠）的定义域相同； ②函数)0(3>⋅=k k y x （k 为常数）的图像可由函数3x y =的图像经过平移得到； ③函数11221x y =+
-（0≠x ）是奇函数且函数)2
1131(+-=x x y （0≠x ）是偶函数； ④函数x y cos =是周期函数．
其中正确结论的序号是_________________．（填写你认为正确的所有结论序号）
学生姓名：______ 得分：______
11 设函数)(x
f是奇函数且周期为3，)
f，求
-
(f
=
-
2008
)1
(
1
填空题答案纸：
1、______________
2、_____________
3、______________
4、______________
5、_____________
6、______________
7、______________
8、_____________
9、______________
10、_____________
错误原因及更正：
十二答案
2. π
3. 1 4 一 5. 45 6 60︒
7.2
38.2 9. (,)
3
π
π10. ①②③④11. 1。