反比例函数的图像绘制
函数及其图象反比例函数反比例函数的图象和性质
2023函数及其图象反比例函数反比例函数的图象和性质•反比例函数概述•反比例函数的图象特征•反比例函数的性质•反比例函数的应用目•反比例函数与其他数学内容的联系•研究反比例函数的实验与数值模拟录01反比例函数概述形如$y = \frac{k}{x}$（$k$为常数，$k \neq 0$）的函数称为反比例函数。
定义当$k > 0$时，图象分布在第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小；当$k < 0$时，图象分布在第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。
性质定义与性质描述生活中常见的数量关系例如，当两个变量成反比例关系时，可以用反比例函数来描述它们之间的关系。
例如，路程一定时，速度与时间成反比；物体重量一定时，浮力与排开液体的体积成反比等。
数学中基本概念之间的联系反比例函数与正比例函数、一次函数、二次函数等有密切的联系，研究反比例函数有助于理解这些基本概念之间的联系与区别。
反比例函数的重要性描述自然现象和社会现象许多自然现象和社会现象中都存在反比例关系，例如物理学中的万有引力定律、电学中的欧姆定律等。
研究反比例函数可以描述这些现象，并帮助人们更好地理解它们。
数学应用在数学中，反比例函数与其他函数、方程、不等式等都有密切的联系。
研究反比例函数可以帮助人们更好地理解这些概念，并为解决实际问题提供更好的数学工具。
研究反比例函数的意义与发展02反比例函数的图象特征中心对称反比例函数图象以原点为中心对称。
双曲线反比例函数图象表现为双曲线，两支曲线永远不会相交。
形状特征水平位置当反比例函数解析式中的常数为正数时，图象在第一、三象限；当常数为负数时，图象在第二、四象限。
垂直位置由于反比例函数的图象关于原点对称，因此当常数为正数时，图象向右上方倾斜；当常数为负数时，图象向右下方倾斜。
位置特征当自变量x增大时，函数值y会减小；当自变量x减小时，函数值y会增大。
当|x|增大时，|y|会减小；当|x|减小时，|y|会增大。
17.1.2 反比例函数的图象和性质
3 y= x
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 -1 0
-3 -4 -5
·
1 2 3 4
x
y=
k 的图象关于原点对称 x
y -6 =
k k 、 y = − 的图象关于坐标轴对称 -6 x x
发现函数值y怎样随着自变量 的变化而变化 发现函数值 怎样随着自变量x的变化而变化？ 怎样随着自变量 的变化而变化？
12 把点Ｂ、Ｃ Ｂ、Ｃ和 （２）把点Ｂ、Ｃ和Ｄ的坐标代入 y = x
，可知点Ｂ、 可知点Ｂ、
点Ｃ的坐标满足函数关系式，点Ｄ的坐标不满足函数关系式， 的坐标满足函数关系式， 的坐标不满足函数关系式，
12 所以点Ｂ、 Ｂ、点 的图象上， 所以点Ｂ、点Ｃ在函数 y = 的图象上，点Ｄ不在这个 x
函数的图象上。 函数的图象上。
1、在每一个象限内 、
y
6 6 观察y = 和y = − 的图象 x x
2、在整个自变量的取值范围内 、
6 y=− x
如图x 如图 B< xA 但yB< yA xB
-6 -5 -4 -3 -2 -1
6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1
6 y= x
C
·
y
6 5 4 3 2 1
解析式 图象名称
K>0
y=kx (k≠0) 过原点） 过原点 直 线 (过原点）
图象位于： 图象位于：一、三象限 y随 的增大而增大 的增大而 增减性： 增减性： 随x的增大而增大
性 质
图象位于：二、四象限 图象位于： K<0 增减性： y随x的增大而减小 的增大而减小 增减性： 随 的增大而
研究反比例函数的图象和性质
9.2反比例函数的图像(1)
4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x
-1
-2 -3 -4 -5 -6
分组 反比例函数 y 6 x 交流 图象有哪些特征?
提示 形状: 曲线 分布区域:
两个分支
的函数
y
6 5 4 3 2 1
找一找
在一、三象限
与坐标轴关系:
-6
-5
-4
-3
-2
-1 -1 -2 -3
2、描点： 准
-6 -5 -4 -3 -2 -1
6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 1 2 3 4 5 6
x
-3
-4
-5 -6
x
y= 6 x
… -6 …
-5 -4
-3 -2
-1 -6
1 6
2
3
y
6 5
3 2
4
5
6 1
… …
-1 -1.2 -1.5 -2 -3
1.5 1.2
3、连线
用平滑的曲线 顺次连接第一象限 内各点，得到第一 个分支；顺次连接 第三象限内的各点， 得到图象的另一个 分支。
总结提高
“行家”看门道
k x
你能说说反比例函数y= （k≠0)的分布和k有何关 系吗？
当k>0时,双曲线的两支分别在第一、三象限; 当k<0时,双曲线的两支分别在第二、四象限
驶向胜利 的彼岸
随堂练习
1、下列函数图像中，属于反比例函数图像 的是（ D ）
随堂练习
2、函数y=mx 的图象是双曲线，则 m的值是（A ） A —1 B 0 C 1 D 2
函数图象画法
列 表 描 点 连 线
6.2 反比例函数的图象与性质(1)
B)
A. 2 C. 8
B. 4 D.随P点的变化而变化
课堂小结
请大家围绕以下三个问题小结本节课
①反比例函数的图象是什么样子的?怎样作图象
② 反比例函数的性质是什么?
1.下列函数中：① y=-3x ② y=2x+3 3 3 y ③ ④y x x 其图象位于一、三象限的是 ③
.
论中，不正确的是( ) A.图象必定经过点(1,2) B.图象关于直角坐标系原点成中心对称 C.图象在第一、三象限内 D.若x>1，则y>2 y k y 2 2.反比例函数 在第一象限的图 x 1 象如图所示，则k的值可能是( ) 1 2x A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
m² -5= -1 m﹥ 0
y
-5 y=mxm²
x
AB⊥y轴,AC⊥x轴,则矩形ABOC O 的面积是 .
4 如图，点A是 y 图象上一点， x
y
B A C x
4 y 如图,设P是函数 x
y
P
O 在第一象限的图象上任 x 意一点,点P关于原点的 P’ A 对称点P’,过P作PA∥y 轴，过P’作P’A∥x轴， PA与P’A交于A点，则△PAP’的面积(
画函数图象的方法
描点法 列 表 描 点 连 线
画一画
6 y = 画出反比例函数 x 和y=
的函数图象。
描点法 列 表 描 点
6 x
连 线
x
y= 6 x y= 6 x
注意：①列表时自变量 取值要均匀和对称②x≠0 ③选整数较好计算和描点。
x
… -6 1
y
6 5 4 3 2 1
-5 -4
1.2 1.5
讨 论
反比例函数的图像与性质的课件ppt
06
课程总结与回顾
本课程的总结与收获
掌握反比例函数的基本概念、性质及其几何意义 理解反比例函数的应用场景及解题方法
学会绘制反比例函数的图像 培养数学思维和观察能力
回顾所学知识
反比例函数的概念及表达式 反比例函数的应用及解题技巧
反比例函数的图像特征及性质 数学思维和观察能力的提升
学以致用，实践巩固
数学领域中的应用
解决函数问题
在数学领域中，反比例函数可以用来解决一些函数问题。例如，可以用反比例函 数描述两个变量之间的关系，然后通过求解反比例函数的解析式来解决问题。
数学建模
在数学建模中，反比例函数可以用来描述一些变量之间的关系，然后通过建立数 学模型来解决问题。例如，可以用反比例函数描述正方形的面积和边长之间的关 系，然后通过建立数学模型来求解正方形的面积和边长。
在实际生活中，电力消耗与电流之间存在反比例关系。电流 越大，电力消耗就越快；电流越小，电力消耗就越慢。因此 ，在实际生活中，可以通过控制电流的大小来控制电力消耗 的速度。
汽车油量与速度的关系
在汽车行驶过程中，油量和速度之间存在反比例关系。速度 越快，汽车就需要更多的油来维持行驶；速度越慢，汽车就 可以用更少的油来维持行驶。因此，在实际驾驶中，可以通 过控制车速来控制汽车的油耗。
通过解决实际问题，巩固反比例函数的知识
通过一题多解、一题多变等方式，举一反三，不断拓 展思路
培养解决数学问题的能力，提高综合素质 激发求知欲，为后续学习打下坚实基础
THANK YOU.
与二次函数的关系
形如$y = ax^2 + bx + c,a \neq 0$的二次函数的图 像是一个曲线，即抛物线。当$a > 0$时，抛物线开口 向上；当$a < 0$时，抛物线开口向下。当抛物线顶点 坐标为$(0,0)$时，就变成了正比例函数；当抛物线顶 点坐标不为$(0,0)$时，就变成了复合型反比例函数。
26.1.2反比例函数的图象与性质(1)
o
x
（6）求经过点A、B的一次函数的解析式;
（7）连OA、OB，设点C是直线AB与y轴的交点,
求三角形AOB的面积; （8）当x为何值时反比例函数的值大于一次函数的值; y 4 C
A(1,4)
（-4,-1） B
o1
x
提示： 利用图像比较大小简单明了。
2、在反比例函数 的图像上有两点 A(x1, y1)、B(x2, y2), 当x1< 0 <x2 时,有 y1 < y2, 则 m的取值范围是（ C ） A. m < 0 B. m >0 C. m < 1 D. m > 1 2 2 y y
-6
-5
-4
-3
-2
-1 -1 -2 -3 -4 -5 -6
0
1
2
3
4
5
6
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1 -1 -2 -3 -4
0
1
2
3
4
5
6
x
-5 -6
归纳：反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象是双曲线. 2.图象性质见下表： y=
k x
K>0
K<0
图象
性质
当k＞0时，函数图象 的两个分支分别在第 一、三象限，在每个 象限内，y随x的增大 而减小.
跟踪练习6
考察函数
y
2 x
的图象,当x=-2时,y=
-1 ___
,当x<-2
时,y的取值范围是 -1<y<0 _____ ;当y﹥-1时,x的取值范围 或x>0 是 -2<x<0 _________ .
1.2反比例函数的图像与性质(应用)(第5课时)
m 5
例2：如图是反比例函数 y 的图象一支， x 根据图象回答下列问题 ： （1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值 范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a， b）和b（a′，b′），如果a>a′，那 么b和b′有怎 样的大小关系？
y
y
B
P(m,n)
A
B
P(m,n) A
o
x
o
x
填一填
1.函数 y
2 x
是 反比例 函数，其图象为双曲线 ，
其中k= 2 ，自变量x的取值范围为 x≠ 0
6 x
.
2.函数
y
的图象位于第一、三 象限,
在每一象限内,y的值随x的增大而 减小 , 当x＞0时,y ＞ 0,这部分图象位于第 一 象限.
m 5
（２）∵ｍ－５＞０，在这个函数图象 的任一支上，ｙ随ｘ的增大而减小， ∴当ａ＞ａ′时ｂ＜ｂ′
1、在反比例函数 的图象上有三 x 点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）， 若x1>x2>0>x3，则下列各式中正确的是 （ A ） A、y3>y1>y2 B、y3>y2>y1 C、y1>y2>y3 D、y1>y3>y2
面积性质（一）
( k 0 ) 上任意一点 , 有 :
(1 ) 过 P 作 x 轴的垂线 , 垂足为 A , 则
| m | | n | 1 2 |k |
反函数的图像与性质
图象位于：二、四象限 K<0 增减性： y随x的增大而减小
回顾与思考1
挑战“记忆”
你还记得一次函数的图象与性质吗?
• 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,
称直线y=kx+b. 当k>0时,
当k<0时,
y
y
b>0
b=0
o
x
b<0
b<0
b=0
o
x
b<0
• y随x的增大而增大;
y随x的增大而减小.
26.1.2 反比例函数的 图 象 和 性 质(1)
1.进一步熟悉作函数图象的步骤，会画反比例函 数的图象. 2.体会函数的三种表示方法的相互转换，逐步提 高从函数图象获取信息的能力，探索并掌握反比 例函数的主要性质．
1、什么是反比例函数？
一般地，形如 y k 的函数（k是常数，k≠0） 叫做反比例函数．
· -3
D
-4
-5
-6
-6
4 5 6x
反比例函数的图象和性质 y
1、反比例函数 y
k x
（k为常数线 2、当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象 O 限， 在每个象限内y值随x值的增大而减小。
K<0
X
3、当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，
在每个象限内y值随x值的增大而增大。
• 连线时一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用 平滑的曲线连接,从中体会函数的增减性；
• ……
◆反比例函数y 2 的图象
x
x … -4 -2 -1 -0.5 0.5 1 2 4 …
y
… -0.5 -1 -2
反比例函数图像与性质
可以避免常见的问题
探究绘制反比例函数图象
1．分组利用描点法画出几组反比例函数的图象
目的:纠正学生画图过程中出现的问题
同时为以下研究反比例函数的性质作好准备
探索反比例函数图象的性质
你 能 给 这 些 函 数 图 象 分 类 吗 ？
y y= 2 x y
0 1
y= 4 x
y
0 1
y= 6 x x
0 1
0 1
y
y -6 y= x x
0 1
x
0 1
x
分类二：观察图象特征 归纳总结：当 k 0 时，双曲线的两支 分别位于第一、三象限， 在每个象限内， y 随 x 值 的增大而增大
反比例函数图象本身所具有的特征是关于原点对称,要 结合自己的情况考虑是否给学生做一引导.
观察几何画板课件，验证猜想
归纳小结
6 y x
的图象
什么样的关系?
y x k
归纳总结：在同一
直角坐标系内这样的 两个反比例函数的图 象既关于x轴对称，也 关于y轴对称，具有对 称关系的两个反比例 函数的值互为相反数 。
反比例函数性质的应用
1.已知反比例函数
4k y x
，分别根据下
列条件求出字母k的取值范围 （1）函数图象位于第一、三象限 （2）在第二象限内，y随x的增大而增大
x
x
y y = -2 x
0 1
y = -4 x x
y
y = -6 x
x
y
0 1
0
1
x
y
y= 2 x x
y
0 1
y= 4 x x
y
0 1
y= 6 x x
0 1
分类一：观察图象特征
反比例函数的图象和性质
反比例函数的性质
讨论
y
1. 当k>0时,函数值y随自 请大家结合反比例函数 变量x6 的增大而减小； 6 y= x 和 y= x 的函数图象，围绕以下 两个问题分析反比例函 数的性质。
6 y=x
0
x
y x
0
①当 k>0 时，在图象所在的 2.当k<0 时 ,函数值y随自变量x 每一个象限内，当 的增大而增大。 x增大时， y的变化规律？ ②当k<0?
6 y= x
间的变化关系:
k 观察反比例函数 y ( k 0 ) 的图象,说出y与x之 x
k 0
y
k 0
y
( x1，y1 ) A ( x2，y2 ) B
O
A ( x1，y1 ) B ( x2，y2 )
O
C ( x3，y3 ) D ( x4，y4 )
x
x
D ( x4，y4 )
C ( x3，y3 )
反比例函数的图像和 性质
广德二中：秦天忠
挑战“记忆”
你还记得一次函数的图象与性质吗?
• 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线, 称直线y=kx+b. 当k>0时, 当k<0时,
y
b>0 b=0 o b<0 b>0 b=0
y
x
o b<0
x
• y随x的增大而增大; y随x的增大而减小. 那么反比例函数的图像和性质该在呢么表示呢？
（1）列表.
x y
6 =x
6 在下图中，画出函数 y = x 的图像.
… … 1
x
-6 1 2 -3
-5
-4
-3 2 5
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反比例函数的图像绘制
反比例函数是数学中一种常见的函数类型，它的图像绘制对于理解函数的性质和应用具有重要的意义。
在本文中，我将为大家介绍反比例函数的图像绘制方法，并通过实际例子加深理解。
反比例函数的一般形式为y = k/x，其中k是一个常数。
我们可以通过绘制函数的图像来观察函数的特点和性质。
首先，我们来看一个简单的例子：y = 2/x。
为了绘制该函数的图像，我们需要确定定义域和值域。
由于分母不能为0，所以定义域为x ≠ 0。
接下来，我们选择一些不同的x值，计算对应的y值，然后将这些点连成一条曲线。
例如，当x = 1时，y = 2/1 = 2；当x = 2时，y = 2/2 = 1；当x = 4时，y = 2/4 = 0.5。
我们可以选择更多的x值，计算对应的y值，然后将这些点连成一条曲线。
通过绘制这些点，我们可以得到一条曲线，它穿过原点(0,0)，并且随着x的增大，y的值逐渐减小。
这是因为反比例函数的特点是，当x增大时，y值减小，反之亦然。
这是由于分数的性质决定的，当分母增大时，分数的值减小。
除了绘制曲线，我们还可以通过分析函数的性质来更好地理解反比例函数。
对于y = k/x，我们可以观察到以下几点：
1. 当x趋近于无穷大时，y趋近于0。
这意味着曲线会越来越靠近x轴，但永远不会触碰到它。
2. 当x趋近于0时，y趋近于无穷大。
这意味着曲线会越来越陡峭，但永远不会达到无限大。
3. 当x为正数时，y也为正数；当x为负数时，y为负数。
这说明反比例函数的图像关于y轴对称。
通过对反比例函数的图像绘制和性质分析，我们可以更好地理解函数的特点，并应用到实际问题中。
例如，在电路中，电阻和电流之间的关系就可以用反比例函数来描述。
当电阻增大时，电流减小，反之亦然。
总结起来，反比例函数的图像绘制方法是通过选择不同的x值，计算对应的y 值，然后将这些点连成一条曲线。
通过绘制曲线和分析函数的性质，我们可以更好地理解反比例函数的特点和应用。
希望本文对中学生和他们的父母能够有所帮助，进一步提高数学学习的效果。