第9讲 匀变速直线运动的位移与时间的关系(解析版)

第9讲 匀变速直线运动的位移与时间的关系匀速直线运动的v ­t 图像如图所示，v ­t 图像与对应的时间轴所包围的矩形的(阴影部分)“面积”有什么意义？提示：表示物体在0～t 1时间内的位移。

一、速度与时间的关系1． v ­t 图像中“面积”的意义：v ­t 图像中的图线和时间轴包围的“面积”等于相应时间内的位移。

如图所示，在0～t 1时间内的位移大小等于梯形的“面积”。

2．位移公式：x ＝v 0t ＋12at 2。

式中v 0表示初速度，x 表示物体在时间t 内运动的位移。

二、速度与位移的关系 1．公式：v 2－v 02＝2ax .2．推导：由速度时间关系式v ＝v 0＋at ，位移时间关系式x ＝v 0t ＋12at 2，得v 2－v 02＝2ax .例题1. 一物体做匀变速直线运动,下列说法中正确的是 ( ) A.物体的末速度一定与时间成正比 B.物体的位移一定与时间的平方成正比C.物体的速度在一定时间内发生的变化与这段时间成正比D.若为匀加速直线运动,速度和位移都随时间增加;若为匀减速直线运动,速度和位移都随时间减小 【答案】Cat2可知,若物体的初速度v0不为零,A、B选项不正确;由【解析】根据v=v0+at和x=v0t+12a=Δv可知,Δv=a·Δt,a不变,Δv与Δt成正比,C正确;当物体做匀减速直线运动时,速度减小但位Δt移可以增大,D不正确。

对点训练1.一质点做匀加速直线运动,初速度v0=2 m/s,4 s内位移为20 m,求6 s末质点的速度大小。

【答案】11 m/sat2【解析】根据匀变速直线运动规律:x=v0t+12代入数据解得:a=1.5 m/s2根据v=v0+at得质点6 s末的速度大小:v=11 m/s。

例题2.如图所示,甲图为某质点的位移­时间图像,乙图为某质点的速度­时间图像,下列关于两质点的运动情况说法正确的是()甲乙A.0～2 s内:甲图质点做匀加速直线运动,乙图质点做匀速直线运动B.2～3 s内:甲图质点和乙图质点均静止不动C.3～5 s内:甲图质点和乙图质点均做匀减速运动,加速度为­15 m/s2D.0～5 s内:甲图质点的位移为­10 m,乙图质点的位移为100 m【答案】D【解析】位移­时间图像的斜率表示物体运动的速度,速度­时间图像的斜率表示物体的加速度,则0～2 s内甲图质点做匀速直线运动,乙图质点做匀加速直线运动,故A错误;2～3 s内甲图图线的斜率为零,即质点速度为零,乙图质点速度恒定不变,做匀速直线运动,故B 错误;3～5 s 内甲图图线的斜率恒定,质点做匀速直线运动,而乙图质点速度均匀减小,做匀减速直线运动,故C 错误;位移­时间图像表示质点的位移随时间的变化,则甲图质点位移为0­10 m=­10 m,速度­时间图像中图线与时间轴围成的面积表示位移,则x =[12×(10+30)×2+30×1+12×30×2] m=100 m,故D 正确。

对点训练2.如图所示,一同学沿一直线行走,现用频闪照相法记录了他行走中的9个位置,观察图片可知,选项中能比较正确地反映该同学运动的速度与时间关系的是( )A. B.C.D.【答案】A【解析】 该同学开始向右运动,在相等时间内的位移均匀增大,知该同学做加速直线运动,然后向左运动,知速度方向反向,在相等时间内的位移相等,该同学做匀速直线运动,故A 正确,B 、C 、D 错误。

故选A 。

一、刹车类问题的处理思路实际交通工具刹车后可认为是做匀减速直线运动，当速度减小到零时，车辆就会停止．解答此类问题的思路是：(1)先求出它从刹车到停止的刹车时间t 刹＝v 0a；(2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解．若t >t 刹，不能盲目把时间代入；若t <t 刹，则在t 时间内未停止运动，可用公式求解． 二、逆向思维法求解运动问题逆向思维法是把运动过程的“末状态”作为“初状态”来反向研究问题的方法．如物体做匀减速直线运动可看成反向匀加速直线运动来处理．末状态已知的情况下，若采用逆向思维法往往能起到事半功倍的效果．例题3.如图所示,一辆正以8 m/s的速度沿直线行驶的汽车,突然以1 m/s2的加速度加速行驶,则汽车加速行驶18 m时的速度为()A.8 m/sB.12 m/sC.10 m/sD.14 m/s【答案】C【解析】由v2­v02=2ax和v0=8 m/s、a=1 m/s2、x=18 m,得出v=10 m/s,故C正确。

对点训练3.一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0＝5 m/s，加速度大小为0.5 m/s2，求：(1)物体在前3 s内的位移大小；(2)物体在第3 s内的位移大小．【答案】(1)12.75 m(2)3.75 m【解析】(1)取初速度方向为正方向v0＝5 m/s，a＝－0.5 m/s2前3 s内物体的位移x3＝v0t3＋12at32＝5×3 m＋12×(－0.5)×32 m＝12.75 m.(2)同理，前2 s内物体的位移x2＝v0t2＋12at22＝5×2 m－12×0.5×22 m＝9 m因此第3 s内物体的位移x＝x3－x2＝12.75 m－9 m＝3.75 m.例题4.一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯后便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求：(1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离；(2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离．【答案】(1)30 m(2)40 m【解析】取初速度方向为正方向，汽车的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，末速度v＝0，加速度a ＝－5 m/s 2；汽车运动的总时间t ＝v －v 0a ＝0－20－5s ＝4 s.(1)因为t 1＝2 s<t ，所以汽车在2 s 末时没有停止运动 故x 1＝v 0t 1＋12at 12＝[20×2＋12×(－5)×22] m＝30 m.对点训练4. 一辆汽车在平直公路上匀速行驶,速度大小为v 0=10 m/s,关闭油门后汽车的加速度大小为2 m/s 2。

求:(1)关闭油门后到汽车位移x =24 m 所经历的时间t 1; (2)关闭油门后t 2=10 s 内汽车滑行的距离。

【答案】(1)4 s (2)25 m 【解析】(1)取汽车初速度方向为正方向,v 0=10 m/s,a =­2 m/s 2 根据速度­时间公式,可得汽车停止时间t'=v t ­v 0a代入数据解得t'=5 s 由位移­时间公式x =v 0t +12at 2代入数据解得关闭油门后到汽车位移x =24 m 所经历的时间为t 1=4 s,t 2=6 s(舍去) (2)由(1)知汽车刹停时间为t'=5 s,则在10 s 时汽车已经停止 通过的位移为x'=v02·t'=102×5 m=25 m1. (多选)一质点做匀变速直线运动，其位移表达式为x ＝(10t ＋t 2) m ，则( ) A ．质点的初速度为10 m/s B ．质点的加速度大小为1 m/s 2 C ．质点的加速度大小为2 m/s 2 D ．在4 s 末，质点距出发点24 m 处 【答案】AC【解析】将x ＝(10t ＋t 2) m 与公式x ＝v 0t ＋12at 2对比可知，质点的初速度为10 m/s ，加速度大小为2 m/s 2，故A 、C 正确，B 错误；t ＝4 s 时，x ＝(10×4＋42) m ＝56 m ，故D 错误． 2. 一个物体从静止开始做匀加速直线运动，第1 s 内的位移为2 m ，则下列说法正确的是( )A ．物体运动的加速度为2 m/s 2B ．物体在前2 s 内的位移为8 mC ．物体在第2 s 内的位移为4 mD ．物体在第2 s 内的平均速度为8 m/s 【答案】B【解析】根据x 1＝12at 12得，物体运动的加速度a ＝2x 1t 12＝4 m/s 2，故A 错误；物体在前2 s 内的位移为x 2＝12at 22＝12×4×22 m ＝8 m ，B 正确；物体在第2 s 内的位移x Ⅱ＝x 2－x 1＝6 m ，则第2 s 内的平均速度为6 m/s ，故C 、D 错误．3. 一辆汽车在平直公路上以72 km/h 的速度匀速行驶，遇到紧急情况需要刹车，刹车时加速度大小为4 m/s 2，则汽车从刹车开始到停止通过的距离为( ) A ．20 m B ．40 m C ．50 m D ．100 m【答案】C 【解析】汽车刹车时的初速度v 0＝72 km/h ＝20 m/s由v 2－v 02＝2ax 得x ＝0－2022×－4m ＝50 m ，C 正确．4. 两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1∶2，它们运动的最大位移之比为( )A ．1∶2B ．1∶4C ．4∶1D ．2∶1 【答案】B【解析】因两小车的末速度均为0，由v 2－v 02＝2ax 得 x 1x 2＝v 012v 022＝14，选项B 正确． 5. 一个小球从斜面的顶端由静止开始沿斜面匀加速滑下，经过斜面中点时速度为3 m/s ，则小球到达斜面底端时的速度为( ) A ．4 m/s B ．5 m/s C ．6 m/s D ．3 2 m/s【答案】D 【解析】 2a ·x 2＝22x v －v 022a ·x 2＝v 2－22x v 得v ＝3 2 m/s ，D 正确．6. 汽车在水平地面上因故刹车，可以看作是匀减速直线运动，其位移与时间的关系是：x ＝16t －2t 2(m)，则它在停止运动前最后1 s 内的平均速度为( ) A ．6 m/s B ．4 m/s C ．2 m/s D ．1 m/s【答案】C 【解析】根据匀变速直线运动的位移时间关系 x ＝v 0t ＋12at 2＝16t －2t 2(m)，则v 0＝16 m/s ，a ＝－4 m/s 2；采取逆向思维，汽车在停止运动前最后1 s 内的位移 x 1＝12|a |t 12＝12×4×12 m ＝2 m ，停止运动前最后1 s 内的平均速度v ＝x 1t 1＝21m/s ＝2 m/s ，故选C.7. (多选)汽车以10 m/s 的速度在马路上匀速行驶,驾驶员发现正前方15 m 处的斑马线上有行人,于是刹车礼让,汽车恰好停在斑马线前。